Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB a , diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A1B1C1D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 , Tính S S1 S2 S3 S100 . 100 2 100 2 99 2100 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 A. S . B. S . C. S . D. S . 299 a2 299 299 299 Lời giải Chọn C a2 a2 a2 Dễ thấy: S a2 ;S ;S ; ;S . 1 2 2 3 4 100 299 1 Như vậy S , S , S , , S là cấp số nhân với công bội q . 1 2 3 100 2 a2 2100 1 2 1 1 1 S S1 S2 S100 a 1 2 99 99 . 2 2 2 2 Câu 2: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm n n 3 n 2 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n n 1 n 2 n n2 n 3n Lời giải Chọn C Xét A: n 3 n 2 n 2 n 3 4 Ta có u ; u . Khi đó : u u 0 n ¥ n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 n 2 Vậy un là dãy số tăng. Xét B: n n 1 n 1 n 1 Ta có u ; u . Khi đó : u u 0 n ¥ n 2 n 1 2 n 1 n 2 2 2 Vậy un là dãy số tăng. Xét C: 2 2 Ta có un , un 1 n2 n 1 2 2 2 un 1 n n 2 2 1,n ¥ . Vậy un là dãy giảm. un n 1 n Xét D: 1 1 1 Ta có u ; u ; u . Vậy u là dãy số không tăng không giảm . 1 3 2 9 3 27 n Câu 3: [1D3 - 2] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A.
   . B.
   . C.
   . D.
   .
2. Lời giải Chọn A Vì
   . Vậy A đúng. x2 khi x 1, x 0 x Câu 4: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f x 0 khi x 0 . x khi x 1 Khẳng định nào đúng A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0;1. B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc ¡ . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. Lời giải Chọn C Tập xác định D ¡ . Nếu x 0 , x 1 thì hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ;0 , 0;1 và 1; . Nếu x 0 thì f 0 0 và x2 x2 lim f x lim lim x 0; lim f x lim lim x 0 . x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x x 0 Suy ra: lim f x 0 f 0 . x 0 Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 0 . x2 lim f x lim lim x 1 Nếu x 1 thì f 1 1 và x 1 x 1 x x 1 lim f x 1 f 1 . x 1 lim f x lim x 1 x 1 x 1 Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 1 . Vậy hàm số y f x liên tục trên ¡ . Câu 5: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số un được xác định bởi u1 3 . Tính limun . 2 n 1 un 1 nun n 2 A. limun 1. B. limun 4. C. limun 3. D. limun 0. Lời giải Chọn A n n 2 Ta có u u (*) n 1 2n 2 n 2n 2 1 1 Đặt a limu , trong biểu thức (*) cho n ta được a a a 1 limu . n 2 2 n  Chú ý: Để chặt chẽ hơn ta có thể lập luận như sau: Sử dụng quy nạp toán học, ta chứng minh được un 1 với mọi n ¥ * , nên dãy un bị chặn dưới.
3. n.u n 2 n.u n 2 Khi đó ta cũng có u n n .u u nên dãy u là dãy giảm. n 1 2n 2 2n 2 2n 2 2n 2 n n n Vậy, dãy un có giới hạn (Học sinh cần chú ý tính chất: một dãy giảm và bị chặn dưới, hoặc tăng và bị chặn trên, thì có giới hạn). 1 1 Đặt a limu , trong biểu thức (*) cho n ta được a a a 1 limu . n 2 2 n n Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số un với un 1 n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số un là dãy số bị chặn.B. Dãy số un là dãy số giảm. C. Dãy số un là dãy số tăng.D. Dãy số un là dãy số không bị chặn. Lời giải Chọn D n Dãy số un 1 n là dãy số không bị chặn vì lim un lim n . Câu 7: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho dãy số u sin . Chọn khẳng định sai n n trong các khẳng định sau đây: A. Dãy số tăng. B. u sin . n 1 n 1 C. Dãy số bị chặn. D. Dãy số không tăng, không giảm. Lời giải Chọn A  u sin nên B đúng. n 1 n 1  Do 1 sin 1 nên dãy số bị chặn, do đó C đúng. n 3 u1 u2  u1 sin 0 , u2 sin 1, u3 sin . Do nên dãy số không tăng, không 2 3 2 u2 u3 giảm. Vậy D đúng. Do đó A sai. Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó. 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 A. q . B. q .C. q .D. q . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 2 AB2 AC 2 BC 2 Ta có: AM 2 1 . 4 Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: BC.AB AM 2 2 2 AB2 AC 2 BC 2 Thay 2 vào 1 ta được BC.AB 4AB2 4AB.BC BC 2 0 4
4. AB 1 2 2 AB AB BC 2 4 4 1 0 BC BC AB 1 2 loai BC 2 AB 1 2 1 2 2 2 2 q . BC 2 2 2 Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 mx 2 m 0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. A. m 3 . B. m 3 . C. m 0 .D. m tùy ý. Lời giải Chọn A x3 3x2 mx 2 m 0 (1) x 1 x 1 x2 2x 2 m 0 2 x 2x 2 m 0 (2) Phương trình (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi phương trình (2) có 2 nghiệm x1; x2 x1 1 x2 thoả mãn (Vì pt (2) nếu có nghiệm thì tổng các nghiệm là 2 ) x1 x2 2 phương trình (2) có 2 nghiệm 0 3 m 0 m 3. Câu 10: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho dãy số xn thoả mãn x1 40 và xn 1,1.xn 1 với mọi n 2,3,4, Tính giá trị của S x1 x2 x12 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). A. 855,4 .B. 855,3 . C. 741,2 . D. 741,3. Lời giải Chọn A Ta có xn 1,1.xn 1 và x1 40 nên dãy số xn là một cấp số nhân có số hạng đầu x1 40 và x công bội q n 1,1. xn 1 1 1,112 S x x x 40. 855,4 . 1 2 12 1 1,1 u1 1 Câu 11: Cho dãy số với . (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) un 2 un 1 un n ,n ¥ Tính u21. A. u21 3080. B. u21 3312. C. u21 2871. D. u21 3011. Lời giải Chọn C 2 Từ un 1 un n , với mọi n ¥ , ta có:
5. 2 u2 u1 1 . 2 u3 u2 2 . 2 un un 1 n 1 . 2 un 1 un n . 2 2 2 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được: un 1 1 1 2 n , với mọi n ¥ . n n 1 2n 1 Mặt khác, ta luôn có: 12 22 n2 nên suy ra: 6 n n 1 2n 1 u 1 , với mọi n ¥ . n 1 6 20.21. 2.20 1 Cho n 20 , ta được: u 1 2871. 21 6 Câu 12: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Có bao nhiêu cấp số nhân có 5 số hạng? Biết rằng tổng 5 số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024. A. 1.B. 2 .C. 4 .D. 3 . Lời giải Chọn C Gọi cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán có số hạng đầu u1 và công bội q . 2 3 4 5 10 2 Theo giả thiết ta có u1.u1q.u1q .u1q .u1q 1024 u1 .q 1024 u1q 4 1 . 2 3 4 2 3 4 Lại có u1 u1q u1q u1q u1q 31 u1 1 q q q q 31 2 . Giải hệ hai phương trình 1 và 2 ta được các nghiệm: 1 7 33 7 33 q 2 , q , q , q . 1 2 2 3 4 4 4 Vậy có 4 cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán.