Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 2 phần 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 2 phần 3 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì x 2y bằng A. x 2y 8 .B. x 2y 9 .C. x 2y 6 .D. x 2y 10 . Lời giải Chọn C Ta có: x 2y 2.5 x 2y 10 x 8 x 2 hoặc . 2 x. 2y 4 x. 2y 16 2y 2 2y 8 Từ đó, ta có x 2y 8 2 6 . Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là 2 Sn 3n 4n , n ¥ *. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u10 55.B. u10 67 .C. u10 61. D. u10 59. Lời giải Chọn C 2 Từ giả thiết ta có S1 u1 3.1 4.1 7 . n 8 6n n 7 6n 1 Ta có S 3n2 4n u 6n 1 u 61. n 2 2 n 10 Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho ba số x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì 3y x bằng? A. 8 .B. 6 .C. 9 .D. 10. Lời giải Chọn A Ta có x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng x 3y 5.2 x 10 3y . Lại có x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x.3y 32 xy 3. y 3 x 1 3y x 8 2 Do đó y 10 3y 3 3y 10y 3 0 1 y x 9 3y x 8 3 Vậy 3y x 8 . Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SMN bằng a 7a 3a a A. .B. .C. .D. . 7 3 7 3 Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , khi đó SG  ABC . · Ta có SA; ABC ·SM ; AG S· AG S· AG 60 . 2 2 a 3 a 3 Ta có AG AM . nên suy ra 3 3 2 3
2. a 3 SG AG.tan S· AG .tan 60 a . 3 Gọi K là giao điểm của BG với MN , khi đó BG  MN , nên suy ra MN  SGK . Kẻ GH  SK , với H SK . Từ MN  SGK MN  GH . Từ GH  SK và MN  GH suy ra GH  SMN , do đó GH d G; SMN . CN Vì 3 nên d C; SMN 3d G; SMN 3GH . GN 2 2 1 1 a 3 a 3 2 2 a 3 a a Ta có GN CN . , GK GN NG . 3 3 2 6 6 4 4 3 1 1 1 1 1 49 a 2 2 2 2 2 2 GH . GH GK SG a a a 7 4 3 3a Vậy d C; SMN 3GH . 7 S H A N B G K M C Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un có u1 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của u1u2 u2u3 u3u1 ? A. - 20 . B. - 6 . C. - 8 .D. - 24 . Lời giải Chọn D Ta gọi d là công sai của cấp số cộng. u1u2 u2u3 u3u1 4 4 d 4 d 4 2d 4 4 2d 2d 2 24d 48 2 d 6 2 24 24 Dấu " " xảy ra khi d 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2 u2u3 u3u1 là 24 . Câu 6: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:
3. 1 5 1 7 3 5 1 3 A. ;1; .B. ;1; .C. ;1; .D. ;1; . 3 3 4 4 4 4 2 2 Lời giải Chọn C Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a d , a , a d 0 d a . Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a 3 a 1. 2 2 1 Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có 1 d 1 d 12 4d 1 d . 4 3 5 Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là ;1; . 4 4 Câu 7: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân u1 1, u6 0,00001. Khi đó q và số hạng tổng quát là 1 1 1 A. q ,u .B. q ,u 10n 1 . 10 n 10n 1 10 n n 1 1 1 1 C. q ,u . D. q ,u . 10 n 10n 1 10 n 10n 1 Lời giải Chọn C n 1 n 5 5 1 1 n 1 1 1 Ta có: u6 u1.q 0,00001 q 5 q un u1.q 1. n 1 . 10 10 10 10 Câu 8: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2 6 , u4 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. A. 3.212 3 .B. 212 1. C. 3.212 1.D. 3.212 . Lời giải Chọn A 2 Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u4 u2.q q 2 . Do CSN có các số hạng không âm nên q 2 . 12 12 1 q 1 2 12 Ta có S12 u1. 3. 3 2 1 . 1 q 1 2 Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y x2 2x và y x2 x ? 9 10 A. .B. 6 .C. 12. D. . 8 3 Lời giải Chọn A éx = 0 2 2 ê Ta có x - 2x = - x +xÛ ê 3 êx = ë 2
4. 3 3 3 2 2 æ x3 x2 ö 2 9 Nên S = 2x2 - 3x dx = 2x2 - 3x dx = ç2 - 3 ÷ = . ò ò( ) ç 3 2 ÷ 8 0 0 è ø0 Câu 10: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un có u5 15, u20 60 . Tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S20 600.B. S20 60.C. S20 250 .D. S20 500 . Lời giải Chọn C u5 15 u1 4d 15 u1 35 Ta có: . u20 60 u1 19d 60 d 5 20.19 20.19 S 20u .d 20. 35 .5 250 . 20 1 2 2 Câu 11: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a2 , b2 , c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan2 A , tan2 B , tan2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot2 A, cot2 B , cot2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A, cos B , cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin2 A , sin2 B , sin2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Lời giải Chọn D Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có a 2Rsin A , b 2Rsin B , c 2Rsin C Theo giả thiết a2 , b2 , c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a2 c2 2b2 4R2.sin2 A 4R2.sin2 C 2.4R2.sin2 B sin2 A sin2 C 2.sin2 B . Vậy sin2 A , sin2 B , sin2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Câu 12: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh SD và mặt đáy bằng 30 . Độ dài cạnh SD bằng 2a 3 a A. 2a .B. .C. .D. a 3 . 3 2 Lời giải Chọn B Vì SA vuông góc với mặt đáy nên hình chiếu vuông góc của SD lên ABCD là AD . Do đó AD 2a 3 góc giữa SD và ABCD là S· DA 30 . Suy ra SD . cos30 3 Câu 13: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và 2 * 2 2 2 2 un 1 un 2 , n ¥ . Tổng S u1 u2 u3 u1001 bằng A. 1002001.B. 1001001. C. 1001002. D. 1002002. Lời giải
5. Chọn A 2 2 2 Từ giả thiết un 1 un 2 ta có un 1 un 2 . Xét dãy số v u2 với n ¥ * ta có v u2 u2 2 hay v v 2 dãy số v là n n n 1 n 1 n n 1 n n 2 một cấp số cộng với số hạng đầu v1 u1 1 và công sai d 2 . Do đó 1001 2.1 1001 1 2 S u2 u2 u2 u2 v v v v 10002001. 1 2 3 1001 1 2 3 1001 2 Câu 14: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho un là cấp số cộng biết u3 u13 80 . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng A. 800 .B. 600 .C. 570 .D. 630 Lời giải Chọn B Cách 1: S15 u1 u2 u3 u15 u1 u15 u2 u14 u3 u13 u7 u9 u8 Vì u1 u15 u2 u14 u3 u13 u7 u9 2u8 và u3 u13 80 S 7.80 40 600 . Cách 2: Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có u3 u13 80 u1 2d u1 12d 80 u1 7d 40. 15 15 Khi đó S u u u u 14d 15 u 7d 15.40 600. 15 2 1 15 2 1 1 1 x2 42018 Câu 15: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) lim 2018 bằng x 22018 x 2 A. .B. 22018 .C. 2 .D. 22019 . Lời giải Chọn D 2 2018 x 22018 x 22018 x 4 2018 2018 2018 2019 Ta có lim 2018 lim 2018 lim x 2 2 2 2 . x 22018 x 2 x 22018 x 2 x 22018 Câu 16: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng 3 1 2 3 A. a .B. a .C. a .D. a . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Cách 1.
6. A O C M B Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó: OM  BC và OM  OA (do OA  OBC ). BC a 2 Do đó d OA, BC OM . 2 2 Cách 2. Gắn hệ trục tọa Oxyz với gốc tọa độ trùng với điểm O , OA  Oz , OB  Ox , OC  Oy . Khi đó, ta có: O 0;0;0 , A 0;0;a , B a;0;0 , C 0;a;0 .     2 2 Ta có: OA 0;0;a , BC a;a;0 OA, BC a ; a ;0 .    2 2 3 OA, BC .OB a .a a .0 0.0 a a 2 d OA, BC   . 4 4 2 a2 2 2 OA, BC a a 0 Câu 17: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho 4 số thực a , b , c , d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính P a3 b3 c3 d 3 . A. P 64 .B. P 80 .C. P 16.D. P 79 . Lời giải Chọn A a d b c Theo giả thiết ta có: a d b c 2 . a b c d 4 a2 b2 c2 d 2 a d 2 b c 2 2 ad bc ad bc a2 b2 c2 d 2 a d 2 b c 2 8 . P a3 b3 c3 d 3 a d a2 ad d 2 b c b2 bc c2 2 a2 b2 c2 d 2 ad bc 64 Câu 18: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.
7. A. 83,7 (triệu đồng).B. 78,3 (triệu đồng).C. 73,8 (triệu đồng).D. 87,3 (triệu đồng). Lời giải Chọn C Ta có 3 năm bằng 12 quý. Gọi u1 ,u2 , , u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12). Suy ra un là cấp số cộng với công sai 4,5. Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là 2u n 1 d 2 4,5 11 0,3 S n 1 12 73,8 (triệu đồng). 12 2 2 Câu 19: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un có u2013 u6 1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là A. 1009000 .B. 100800 . C. 1008000 .D. 100900 . Lời giải Chọn A Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó: u2013 u6 1000 u1 2012d u1 5d 1000 2u1 2017d 1000 . 2017.2018 Ta có: S 2018u d 1009. 2u 2017d 1009000 . 2018 1 2 1 Câu 20: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm số hạng thứ 501. 2019 2021 A. 1009.B. .C. 1010.D. . 2 2 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức cấp số cộng ta có: 2017 u u n 1 d u u 1001 1 d 2018 1 1001 1 d d . n 1 1001 1 1000 2019 Vậy số hạng thứ 501 là u u 501 1 d . 501 1 2 Câu 21: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn? 2n 1 A. u .B. u 2n sin n . C. u n2 .D. u n3 1. n n 1 n n n Lời giải Chọn A 2n 1 Xét đáp án A, ta có 0 u 2, n ¥ . n n 1 Câu 22: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho 3 số a , b , c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1. Biết cũng theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ a nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai là s 0 . Tính . s
8. 4 4 A. .B. 3 .C. .D. 9 . 9 3 Lời giải Chọn D b2 ac 2 2 Theo đề bài ta có hệ phương trình b a 3s a 3s a a 7s 9s as 0 . c a 7s a Do s 0 nên a 9s 9 . s Câu 23: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng cắt các cạnh bên AA , BB , CC , DD lần lượt tại 4 điểm M , N , P , Q . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng ABCD là 60 . Diện tích của hình tứ giác MNPQ là 2 1 3 A. 2a2 .B. a2 . C. a2 .D. a2 . 3 2 2 Lời giải Chọn A A' B' D' C' N M A B P Q D C S a2 Ta có S ABCD 2a2 . MNPQ cos60 1 2 Câu 24: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho dãy số un gồm 89 số hạng thỏa mãn un tan n , n ¥ , 1 n 89 . Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số. Giá trị của biểu thức log P là A. 1.B. 0 .C. 10. D. 89 . Lời giải Chọn B Ta có: P tan1.tan 2 tan88.tan89 tan1.tan89 . tan 2.tan88 tan 44.tan 46 .tan 45 1. log P log1 0 . Câu 25: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018) Giải phương trình 1 8 15 22  x 7944
9. A. x 330 .B. x 220 . C. x 351.D. x 407 . Lời giải Chọn A Ta có cấp số cộng với u1 1, d 7 , un x , Sn 7944 . Áp dụng công thức n 48 N 2u n 1 d n 2.1 n 1 7 n 1 2 Sn 7944 7n 5n 15888 0 331 . 2 2 n L 7 Vậy x u48 1 47.7 330 . Câu 26: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là A. 215 .B. 315 .C. 415 .D. 515 . Lời giải Chọn B u1 160 u6 1 Từ giả thiết ta có q 5 . u6 5 u1 2 6 1 160 1 6 u1 1 q 2 Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S 315 . 1 q 1 2 Câu 27: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây .Số hàng cây trong khu vườn là A. 31.B. 30 .C. 29 .D. 28 . Lời giải Chọn B Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng un với số un là số cây ở hàng thứ n và u1 1 và công sai d 1. n n 1 2 n 30 Tổng số cây trồng được là: Sn 465 465 n n 930 0 . 2 n 31 l Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 . Câu 28: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho cấp số cộng un có u1 3 và công sai d 7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của un đều lớn hơn 2018 ? A. 287 .B. 289 .C. 288 .D. 286 . Lời giải Chọn B 2022 Ta có: u u n 1 d 3 7 n 1 7n 4 ; u 2018 7n 4 2018 n n 1 n 7 Vậy n 289 .