Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 4 phần 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 4 phần 4 (Có đáp án)

1. Câu 1: Cho tập A 1;2;3; ;2018 và các số a,b,c A. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng abc sao cho a b c và a b c 2016 . A. 2027070 . B. 2026086 .C. 337681. D. 20270100 . Lời giải Chọn C Xét phương trình a b c 2016 . 2 Ta biết phương trình trên có C2015 nghiệm nguyên dương. TH1: Xét các cặp nghiệm 3 số trùng nhau: a b c 672 . TH2: Xét các cặp nghiệm có a b , c a 2a c 2016 . Suy ra c là số chẵn thỏa 0 c 2016 nên có 1007 giá trị c . Do đó có 1007 cặp, mà có cặp trừ cặp 672,672,672 (loại). Do đó có 1006 cặp. Tương tự ta suy ra có 1006.3 cặp nghiệm có 2 trong 3 số trùng nhau. C 2 3.1006 1 Do số tập hợp gồm ba phần tử có tổng bằng 2016 là 2015 337681. 3! (Chia cho 3! là do a b c nên không tính hoán vị của bộ ba a,b,c ) Câu 2: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 36 18 72 144 A. .B. .C. .D. . 385 385 385 385 Câu 3: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 36 18 72 144 A. .B. .C. .D. . 385 385 385 385 Lời giải Chọn A 3 3 3 3 Ta có số phần tử không gian mẫu là n() C12.C9 .C6 .C3 . Đánh số 4 nhóm là A, B, C, D Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có 4! cách. Bước 2: xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có C5 cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 3! cách. Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có 3!cách. 4!.4.C 2.3!.3! 36 Đáp số: 5 . C3 C3C3C3 385 12 9 6 3 a 3 Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có SA SB CA CB AB a , SC , G là trọng tâm tam giác 2 ABC , là mặt phẳng đi qua G , song song với các đường thẳng AB và SB . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của và các đường thẳng BC , AC , SC . Góc giữa hai mặt phẳng MNP và ABC bằng
2. A. .9B.0o .C. .D. 45o 30o 60o . a 3 Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA SB CA CB AB a , SC , G là trọng tâm tam giác 2 ABC , là mặt phẳng đi qua G , song song với các đường thẳng AB và SB . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của và các đường thẳng BC , AC , SC . Góc giữa hai mặt phẳng MNP và ABC bằng A. 90o .B. 45o .C. 30o .D. 60o . Hướng dẫn giải Chọn D S P a 3 a 2 N A C H G I M B Gọi I là trung điểm của AB , H là hình chiếu của S lên IC , ta có AB  SIC và SH  ABC . a 3 Mặt khác, theo giả thiết ta có SI SC CI nên SIC đều và H là trung điểm của IC . 2 Mà MN //AB nên MN  SIC , suy ra góc giữa hai mặt phẳng MNP ; ABCD là P· GC . Ta có P· GC S· IC 60o . Vậy MNP ; ABCD 60o . Câu 6: Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5 , 10 , 15 , , 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100. Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này.
3. 1 7 19 3 A. P .B. P .C. P .D. P . 4 16 40 16 Câu 7: Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5 , 10 , 15 , , 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100. Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này. 1 7 19 3 A. P .B. P .C. P .D. P . 4 16 40 16 Lời giải Chọn B 100 5 Cách 1: Ta có n  1 20 . 5 Để Bình thắng ta có ba trường hợp. Trường hợp 1. Bình quay một lần ra điểm số lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp 5 1 80;85;90;95;100 . Do đó xác suất là P . 1 20 4 Trường hợp 2. Bình quay lần đầu ra điểm số là a 75 , ta có 15 khả năng. 15 3 Do đó xác suất là P . 2 20 4 Khi đó để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp 5 1 80 a;85 a;90 a;95 a;100 a. Do đó xác suất là P . 3 20 4 1 3 1 7 Vậy xác suất để Bình thắng ngay trong lượt là P P P .P . . 1 2 3 4 4 4 16 Cách 2: TH1: Bình quay một lần và thắng luôn. Vì An quay ở vị trí 75 nên Bình chỉ có thể quay vào 5 trong số 20 vị trí để có thể thắng. 5 1 Do đó P A . 1 20 4 TH2: Bình quay hai lần mới thắng. Nghĩa là lần một Bình quay được kết quả nhỏ hơn hoặc bằng 75 và quay tiếp để tổng hai lần quay lớn hơn 75 đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng 100.
4. Giả sử lần 1 Bình quay được a điểm, lần 2 quay được b điểm. Cần có: a 75 . Khi đó: Chọn a có 15 cách, chọn b có 5 cách. a b 80,85,90,95,100 Suy ra chọn cặp a,b có 15.5 75 cách. 75 3 Không gian mẫu cho TH2 có 20.20 cách. Do đó P A . 2 20.20 16 1 3 7 Kết luận: P A P A P A . 1 2 4 16 16 Câu 8: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 47 47 47 A. .B. . C. . D. . 256 256 256 256 Câu 9: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 47 47 47 A. .B. .C. .D. . 256 256 256 256 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi A là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng. Số phần tử của không gian mẫu là n  28 256. Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra. Để biến cố A xảy ra có các trường hợp sau: TH1: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là 1 8 9 . TH2: Có 2 đồng xu ngửa. Hai đồng xu ngửa kề nhau: có 8 khả năng. 2 Suy ra số kết quả của trường hợp này là C8 8 20 . TH3: Có 3 đồng xu ngửa. Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả. Trong 3 đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có 8.4 32 kết quả. 3 Suy ra số kết quả của trường hợp này là C8 8 32 16. TH4: Có 4 đồng xu ngửa. Trường hợp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra. Như vậy n A 9 20 16 2 47 . n A 47 Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là P . n  256 Câu 10: Từ các chữ số thuộc tập hợp S 1;2;3; ;8;9 có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2 , chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6 ? A. .3B.62 .8C8. 72576 45360 .D. . 22680
5. Câu 11: Từ các chữ số thuộc tập hợp S 1;2;3; ;8;9 có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2 , chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6 ? A. 36288 .B. 72576 .C. 45360 .D. 22680 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 1, 2 (số 1 đứng trước 2 ): có C9 cách. 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 3 , 4 (số 3 đứng trước 4 ): có C7 cách. 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 5 , 6 (số 5 đứng trước 6 ): có C5 cách. 3 chữ số còn lại có 3! cách. 2 2 2 Vậy có 3!.C9 .C7 .C5 45360 số. Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển , nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó dừng tại đỉnh C . 1862 453 435 1640 A. .B. .C. .D. . 6561 2187 2187 6561 HẾT
6. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B A A C A C C C B D D D A B B D B D A C D D B C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D C A D A B C B B C D A B B D C A C D D A B C C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển , nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó dừng tại đỉnh C . 1862 453 435 1640 A. .B. .C. .D. . 6561 2187 2187 6561 Lời giải Chọn D Không mất tổng quát giả sử tọa độ đỉnh A 0;0;0 và C 1;1;1 . Ta thấy: mỗi lần sâu di chuyển là cộng thêm 1 tại 1 trong 3 vị trí hoành độ, tung độ và cao độ từ vị trí sâu đang đứng. Do đó số phần tử của không gian mẫu là n  39 19683. Sau 9 lần di chuyển sau đứng tại vị trí 1;1;1 khi và chỉ khi sâu di chuyển số lần tại các tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ là : 3;3;3 ; các hoán vị của bộ 1;3;5 ; các hoán vị của bộ 7;1;1 . Do đó số trường hợp thuận lợi của biến cố A : sâu ở C sau 9 bước di chuyển là 3 3 3 5 3 1 7 1 1 n A C9 .C6 .C3 6.C9 .C4 .C1 3.C9 .C2.C1 4920 4920 1640 Câu 14: Vậy xác suất cần tìm P A .Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác 19683 6561 suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1a2a3a4a5 mà a1 a2 1 a3 3 a4 a5 2 bằng 1148 77 7 1001 A. .B. . C. . D. . 90000 1500 5000 30000 Câu 15: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1a2a3a4a5 mà a1 a2 1 a3 3 a4 a5 2 bằng 1148 77 7 1001 A. .B. .C. .D. . 90000 1500 5000 30000 Lời giải Chọn. a2 5 Vì a2 1 a3 3 . a3 4 Số có dạng 1042a5 có 10 cách chọn a5 . Số có dạng 1043a5 có 9 cách chọn a5 . Số có dạng 1049a5 có 3 cách chọn a5 . Vậy những số có dạng 104a4a5 có 3 4 10 52 số. Số có dạng 1053a5 có 9 cách chọn a5 .
7. Số có dạng 1054a5 có 8 cách chọn a5 . Số có dạng 1059a5 có 3 cách chọn a5 . Vậy những số có dạng 105a4a5 có 52 10 42 số. Vậy những số có dạng 106a4a5 có 42 9 33 số. Vậy những số có dạng 107a4a5 có 33 8 25 số. Vậy những số có dạng 108a4a5 có 25 7 18 số. Vậy những số có dạng 109a4a5 có 18 6 12 số. Kết luận: Những số có dạng 10a3a4a5 có 12 18 25 33 42 52 182 số. Những số có dạng 11a3a4a5 a3 5 có 12 18 25 33 42 130 số. Những số có dạng 12a3a4a5 a3 6 có 12 18 25 33 88 số. Những số có dạng 13a3a4a5 a3 7 có 12 18 25 55 số. Những số có dạng 14a3a4a5 a3 8 có 12 18 30 số. Những số có dạng 15a3a4a5 a3 9 có 12 số. Kết luận: Những số có dạng 1a2a3a4a5 có 12 30 55 88 130 182 497 số. Từ đó ta lập luận như sau: Những số có dạng 2a2a3a4a5 a2 1 có 12 30 55 88 130 315 số. Những số có dạng 3a2a3a4a5 a2 2 có 12 30 55 88 185 số. Những số có dạng 4a2a3a4a5 a2 3 có 12 30 55 97 số. Những số có dạng 5a2a3a4a5 a2 4 có 12 30 42 số. Những số có dạng 6a2a3a4a5 a2 5 có 12 số. Vậy những số thỏa yêu cầu bài toán là 12 42 97 185 315 497 1148 . 1148 Vậy xác suất cần tìm là . 90000 1148 Bài này chỉnh lại đáp án là : . 90000
8. Câu 16: Cho một đa giác đều n đỉnh ( n lẻ, n 3 ). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P 45 là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P . Số các ước nguyên 62 dương của n là A. 3 .B. 4 .C. 6 .D. 5 . Câu 17: Cho một đa giác đều n đỉnh ( n lẻ, n 3 ). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P 45 là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P . Số các ước nguyên 62 dương của n là A. 3 .B. 4 .C. 6 .D. 5 . Lời giải Chọn B 3 Chọn ngẫu nhiên ra 3 đỉnh có n  Cn cách. Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với góc A nhọn, B tù và C nhọn. Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có n cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn, chia đường tròn thành hai phần (trái và phải chẳng hạn). Để tạo thành tam giác tù thì hai đỉnh còn lại được chọn sẽ hoặc cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải. 2 - Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có Cn 1 cách. 2 2 - Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có Cn 1 cách. 2 2 2 Vậy có thể có tất cả n Cn 1 Cn 1 tam giác tù, tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc 2 2 nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành 2 2 n Cn 1 Cn 1 2 2 2 là nCn 1 . 2 2 2 nCn 1 2 45 Mà xác suất P 3 (1). Cn 62 n 1 Do n lẻ nên đặt n 2k 1 ( k 1) k . 2 2 3 (1) 62 2k 1 Ck 45C2k 1 k! 2k 1 ! 62 2k 1 45 2! k 2 ! 3! 2k 2 ! 31 k 1 15 2k 1 k 16 (nhận). Vậy n 2k 1 33. Do đó số các ước nguyên dương của n là 4 . Câu 18: Biển số xe máy tỉnh K gồm hai dòng - Dòng thứ nhất là 68 XY , trong đó X là một trong 24 chữ cái, Y là một trong 10 chữ số; - Dòng thứ hai là abc.de , trong đó a , b , c , d , e là các chữ số. Biển số xe được cho là “đẹp” khi dòng thứ hai có tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số “đẹp” để đem bán đấu giá? A. 12000.B. 143988000.C. 4663440 .D. 71994000 . HẾT
9. BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ 197 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A A C B B D D A D C D A A D D C A A D A D D B D D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C A B D A A B C A A B C D A A C A B B D A D A C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 19: Biển số xe máy tỉnh K gồm hai dòng - Dòng thứ nhất là 68 XY , trong đó X là một trong 24 chữ cái, Y là một trong 10 chữ số; - Dòng thứ hai là abc.de , trong đó a , b , c , d , e là các chữ số. Biển số xe được cho là “đẹp” khi dòng thứ hai có tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số “đẹp” để đem bán đấu giá? A. 12000.B. 143988000.C. 4663440 .D. 71994000 . Lời giải Chọn D Chọn X từ 24 chữ cái và chọn Y từ 10 chữ số, ta có 24.10 240 (cách chọn). Chọn 4 chữ số giống nhau từ các chữ số ta có 10 cách chọn; Mỗi bộ gồm 4 chữ số giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất 1 chữ số còn lại để tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0 , chữ số còn lại sẽ là 8 ; 4 chữ số 1, chữ số còn lại sẽ là 4 ; ; 4 chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2 ). Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có 5 cách xếp. Do đó, có tất cả 10.5 50 (cách chọn số ở dòng thứ hai). Suy ra có tất cả 240.50 12000 (biển số đẹp). 2 Chọn 2 biển số trong các biển số "đẹp" ta có C12000 71994000 (cách). Câu 20: HẾT Có 8 bì thư được đánh số 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 và 8 tem thư cũng được đánh số 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 . Dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư). Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với số của bì thư đó. A. 25489 . B. 25487 .C. 25490 .D. 25488 . Câu 21: Có 8 bì thư được đánh số 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 và 8 tem thư cũng được đánh số 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 . Dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư). Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với số của bì thư đó. A. 25489 . B. 25487 .C. 25490 .D. 25488 . Lời giải Chọn B Ta xét bài toán tổng quát n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó. Đánh số các tem thư là T1 , T2 , , Tn và các bì thư là B1 , B2 , , Bn . Bài toán được giải quyết bằng nguyên lý phần bù: Lấy hoán vị n phần tử trừ đi trường hợp xếp mà không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. ++ Để giải quyết bài toán không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. Ta xây dựng dãy số f n như sau:
10. Công việc dán n tem thư vào n bì thư sao cho không có bì thư nào được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó. Công việc này gồm có hai bước sau: - Bước 1: Dán tem T1 lên một bì thư Bj khác B1 , có n 1 cách. - Bước 2: Dán tem thư Tj vào bì thư nào đó, có hai trường hợp xảy ra như sau: + TH1: tem thư T được dán vào bì thư B . Khi đó còn lại n 2 tem (khác T và T ) là T , , j 1 1 j 2 Tj 1 ,Tj 1 , ,Tn phải dán vào n 2 bì thư (khác B1 và Bj ). Quy trình được lập lại giống như trên. Nên TH này có số cách dán bằng f n 2 . + TH2: tem thư T không được dán vào bì thư B . j 1 Khi đó các tem là T2 , ,Tj 1 ,Tj ,Tj 1 , ,Tn sẽ được đem dán vào các bì B1 , B2 , , Bj 1 , Bj 1 , , B (mà tem thư T không được dán vào bì thư B ). Thì T lúc này bản chất giống T , ta đánh n j 1 j 1 số lại Tj  T1 . Nghĩa là n 1 tem T2 , ,Tj 1 ,T1 ,Tj 1 , ,Tn sẽ được đem dán vào n 1 bì B1 , B2 , , Bj 1 , Bj 1 , , Bn với việc đánh số giống nhau. Công việc này lại được lập lại như từ ban đầu. Nên TH này có số cách dán bằng f n 1 . u1 0 ++ Ta xét dãy un f n như sau: u2 1 . un n 1 un 1 un 2 Như vậy kết quả của bài toán: n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó sẽ là Pn un . Áp dụng với n 8 , ta được kết quả là 8! 14833 25487 . Câu 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa a ,b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân ( kể cả tam giác đều )? A. 45 .B. 81 .C. 165 .D. 216 . Câu 23: Gọi A là tập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45 . 5 2 1 53 A. .B. .C. . D. . 162 81 36 2268 Câu 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa a ,b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân ( kể cả tam giác đều )? A. 45 .B. 81 .C. 165 .D. 216 . Lời giải Chọn C 0 y 2x Gọi độ dài cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân là x , y 0 y 9 0 x 9 0 y 9 Th1: suy ra có 9.5 45 cặp số. 5 x 9 x i Th2: với 1 x 4 . Với mỗi giá trị của i , có 2i 1 số. 1 y 2i 1 Do đó, trường hợp này có: 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.4 1 16 cặp số
11. Suy ra có 61 cặp số x; y . Với mỗi cặp x; y ta viết số có 3 chữ số trong đó có 2 chữ số x , một chữ số y . Trong 61 cặp có: + 9 cặp x y , viết được 9 số. + 52 cặp x y , mỗi cặp viết được 3 số nên có 3.52 156 số. Vậy tất cả có 165 số. Câu 25: Gọi A là tập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45 . 5 2 1 53 A. .B. .C. .D. . 162 81 36 2268 Lời giải Chọn D Gọi số cần tìm có dạng: abcdefgh a có 9 cách chọn 7 Các chữ số còn lại có A9 7 Nên số phần tử của không gian mẫu: 9.A9 1632960 Gọi B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ta có: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 459 Ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 : B\ 0,9, B\ 1,8, B\ 2,7 , B\ 3,6, B\ 4,5. Xét B\ 0,9 1,2,3,4,5,6,7,8 Gọi số cần tìm có dạng: abcdefgh Chọn h có một cách. Chọn 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí có: 7! . Nên trường hợp này có 7! cách. Xét B\ 1,8 0,2,3,4,5,6,7,9 + Tận cùng là chữ số 0 : có 7! cách + Tận cùng là chữ số 5 : a có 6 cách; các chữ số còn lại có: 6 ! cách Suy ra: 7! 6.6 ! 9360 Các trường hợp B\ 2,7 , B\ 3,6 tương tự như B\ 1,8. Xét B\ 4,5 0,1,2,3,6,7,8,9 Gọi số cần tìm có dạng: abcdefgh Chọn h có một cách. Chọn 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí có: 7! . Nên trường hợp này có 7! cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là: 7!.2 9360.3 38160 . 38160 53 Vậy xác suất của biến cố A là: 1632960 2268