Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ ‘THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau. 5 79 5 9 A. .B. .C. .D. . 14 84 84 14 Lời giải Chọn D Cách 1. Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau 3 - Có C8 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H. 2 - Có C5 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A. - Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N. 3 2 Do đó số phần tử của không gian mẫu là n  C8 .C5 .3!. Gọi A là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau” - Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có 6 cách xếp 3 chữ H. - Nếu đúng hai chữ H đứng cạnh nhau thì Khi hai chữ H ở hai vị trí đầu hoặc cuối có 5 cách xếp chữ cái H còn lại Khi hai chữ H đứng ở vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại. Do đó có 2.5 5.4 30 cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng hai chữ H đứng cạnh nhau. 2 Như vậy có 30 6 36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có C5 cách chọn vị trí và xếp 2 chữ cái A và 3! cách xếp T, O, N 2 Suy ra n A 36.C5 .3! n A 9 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  14 8! Cách 2. Số phần tử của không gian mẫu là n  3360 2!3! Gọi A là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau” 5! Đầu tiên ta xếp 2 chữ A và ba chữ T, O, N có cách. 2! Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ H và không có chữ H nào đứng 6 liền nhau, có C3 cách. 5! Do đó n A C3 n A n  n A 2160 . 2! 6 n A 9 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  14 Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Biểu thức 2 10 x10 x9 1 x x8 1 x 1 x . . bằng 10! 9! 1! 8! 2! 10! 1 1 A. 10!.B. 20!.C. .D. . 10! 100! Lời giải Chọn C
2. k 10 k x 1 x 1 10! 10 k 1 10 k Ta có . . .xk . 1 x .C k .xk . 1 x với 0 k 10 . k! 10 k ! 10! k! 10 k ! 10! 10 2 10 10 9 8 10 x x 1 x x 1 x 1 x 1 k k 10 k 1 10 1 . . C10.x . 1 x x 1 x . 10! 9! 1! 8! 2! 10! 10! k 0 10! 10! Chú ý: Do đáp số không phục thuộc x nên ta chọn x 0 thì ta được tổng 10 1 0 1 S 0 0 0 10! 10! Câu 3: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có hai bạn A và B, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để hai bạn A và B đứng cạnh nhau là 1 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 5 4 5 10 Lời giải Chọn A Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng có 10! cách n  10! Gọi biến cố A: “Xếp 10 học sinh thành một hàng sao cho A và B đứng cạnh nhau”. Xem A và B là nhóm X . Xếp X và 8 học sinh còn lại có 9! cách. Hoán vị A và B trong X có 2! cách. Vậy có 9!2! cách n A 9!2! n A 1 Xác suất của biến cố A là: P A . n  5 Cách khác: n A 8!.9.2 1 Xếp 8 học sinh rồi mới xếp 2 học sinh A, B có P A . n  10! 5 Câu 4: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Hệ số của x6 trong khai triển 4 6 2 1 2x 1 x x thành đa thức là 4 1 1 A. C 6 .B. C 6 .C. C 6 .D. 4C8 . 2 14 4 14 14 14 Lời giải Chọn B n n 6 6 k 6 k k k k k Xét khai triển 2x 1 1 2x C6 1 2x C6 2 x k 0 k 0 4 8 8 8 8 j 2 1 1 1 8 1 j x x x x C j x 4 2 2  2 j 0 4 n 8 8 j n 8 8 j 6 2 1 k k k J 1 j k k J 1 j k Vậy 2x 1 x x C6 2 x . C8 x C6 2 . C8 x 4   2   2 k 0 j 0 k 0 j 0
3. Số hạng của khai triển chứa x6 khi j k 6 . Xét bảng: k 0 1 2 3 j 6 5 4 3 8 j 2 3 4 5 k k J 1 0 0 6 1 1 1 5 1 2 2 4 1 3 3 3 1 C6 2 .C8 C6 2 .C8 C6 2 .C8 C6 2 .C8 C6 2 .C8 2 2 2 2 2 k 4 5 6 j 2 1 0 8 j 6 5 2 k k J 1 4 4 2 1 5 5 3 1 6 6 0 1 C6 2 .C8 C6 2 .C8 C6 2 .C8 C6 2 .C8 2 2 2 2 4 6 6 2 1 3003 1 6 Vậy hệ số x trong khai triển 2x 1 x x thành đa thức là C14 . 4 4 4 Câu 5: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sinh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Xác suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là 8 2 8 2 7 8 1 3 8 1 3 109 A. .B. C10 .C. A10 .D. . 10 4 4 4 4 262144 Lời giải Chọn D Chọn ngẫu nhiên phương án trả lời cho 10 câu hỏi ta được không gian mẫu có số phần tử là n  410 . Gọi A là biến cố thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 . Một thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 thuộc một trong các trường hợp sau: + Đúng 10 câu (được 10 điểm) có: 1 cách chọn. 1 + Đúng 9 câu và sai 1 câu (được 8,5 điểm) có: C10.3 30 cách chọn. (nhân thêm 3 là do mỗi phươn án sai có 3 cách chọn) 2 2 + Đúng 8 câu và sai 2 câu (được 7 điểm) có: C10.3 405 cách chọn. Khi đó n A 1 30 405 436 . Vậy xác suất để thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là n A 436 109 P A . n  410 262144 Chú ý: Gọi x là số câu đúng (với 0 x 10 , x ¥ ), 10 x là số câu sai thì điểm của thí sinh là 3x d x 0,5 10 x 5 . 2 3x Vì d 7 nên 5 7 x 8 nên x 8;9;10 . Do đó ta có 3 trường hợp như trong lời 2 giải.
4. Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A . Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9 . 625 1 1 1250 A. .B. .C. .D. . 1701 9 18 1701 Lời giải Chọn C Số phần tử của không gian mẫu là n  9000000 9.106 số. Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta đếm số phần tử của A . Ta có các số lẻ chia hết cho 9 là dãy 1000017 , 1000035, 1000053,.,9999999 lập thành một cấp số cộng có u1 1000017 và công sai d 18 nên số phần tử của dãy này là 9999999 1000017 1 500000 . Vậy n A 5.105 . 18 n A 5.105 1 Xác suất cần tìm là P A Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên hai n  9.106 18 biến cố này không đồng thời xảy ra. Câu 7: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau? A. 54 .B. 110. C. 55 .D. 108 Lời giải Chọn C TH1: Có 8 chữ số 8 . Có 1 số TH2: Có 1 chữ số 1, 7 chữ số 8 . Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số. TH3: Có 2 chữ số 1, 6 chữ số 8 . Xếp 6 số 8 ta có 1 cách. Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1. 2 Nên ta có: C7 21 số. TH4: Có 3 chữ số 1, 5 chữ số 8 . Tương tự TH3, từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1. 3 Nên có: C6 20 số. TH5: Có 4 chữ số 1, 4 chữ số 8 . Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1. 4 Nên có: C5 5 . Vậy có: 1 8 21 20 5 55 số. Câu 8: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho khai triển 2018 2017 T 1 x x2017 1 x x2018 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A. 4035 .B. 1.C. 2017 .D. 0 . Lời giải Chọn B 2018 k 2017 k k 2017 k 2018 Cách 1: Ta có T  C2018 x x  C2017 x x . k 0 k 0
5. Hệ số của số hạng chứa x ứng với k k 1. 1 1 Do đó hệ số cần tìm là C2018 C2017 1. 2 2017.2018 Cách 2: Ta có T a0 a1x a2 x a2017.2018 x f x 2017.2018 1 f x a1 2a2 x 2017.2018a2017.2018 x f 0 a1 . 2017 2016 Mà f x 2018 1 x x2017 1 2017x2016 2017 1 x x2018 1 2018x2017 f 0 2018 2017 1 a1 1. Do đó hệ số cần tìm là 1. Câu 9: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Có 16 phần quà giống nhau chia ngẫu nhiên cho 3 học sinh giỏi An, Bình, Công(bạn nào cũng có quà). Tính xác suất để bạn An nhận không quá 5 phần quà. 3 8 5 4 A. .B. .C. .D. . 7 21 7 7 Lời giải Chọn D 2 Số phần tử của không giam mẫu là n  C15 105 . Gọi A là biến cố ‘‘bạn An nhận không quá 5 phần quà’’. 1 1 1 1 1 n A C14 C13 C12 C11 C10 60 n A 60 4 Xác suất để bạn An nhận không quá 5 phần quà là P A . n  105 7 Câu 10: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 106 được thành lập từ hai chữ số 0 và 1. Lấy ngẫu nhiên hai số trong S . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng. 4473 2279 55 53 A. .B. .C. . D. . 8128 4064 96 96 Lời giải Chọn D Có: a1 0 ; a1 , , a6 0;1 . Số phần tử của S là : 2 1.2 1.2.2 1.2.2.2 1.2.2.2.2 1.2.2.2.2.2 64. 2 Lấy ngẫu nhiên hai số trong S , có : C63 (cách lấy). Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 . A là biến cố không lấy được số chia hết cho 3 . Ta xét xem trong 63 số của tập S có bao nhiêu số chia được cho 3 : + TH1: Số có 1 chữ số a1 : có 2 số và hai số này đều không chia được cho 3 . + TH1: Số có 2 chữ số a1a2 với a1 1: có 2 số và 2 số này đều không chia được cho 3 . + TH2: Số có 3 chữ số a1a2a3 với a1 1: có 4 số và trong đó có 1 số chia được cho 3 . + TH3: Số có 4 chữ số a1a2a3a4 với a1 1: có 8 số và trong đó có 3 số chia được cho 3 . + TH4: Số có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với a1 1: có 16 số và trong đó có 6 số chia được cho 3 . + TH5: Số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 với a1 1: có 32 số và trong đó có 11 số chia được cho 3 . Do đó có 21 số chia được cho 3 và có 43 số không chia được cho 3 .
6. 2 C43 43 53 Do đó: P A 2 . Vậy P A 1 P A . C64 96 96 Câu 11: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Trong lễ tổng kết năm học 2017 2018, lớp 12T nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách toán, 7 cuốn sách vật lý, 8 cuốn sách Hóa học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là hai trong số 10 học sinh đó. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 1 17 14 12 A. .B. .C. .D. . 5 90 45 45 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x , y , z lần lượt là số phần quà gồm sách Toán và Vật lý, Toán và Hóa học, Vật lý và Hóa học. x y 5 x 2 Khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình x z 7 y 3 . y z 8 z 5 2 3 5 Số phần tử không gian mẫu là n C10.C8 .C5 2520 . Gọi A là biến cố 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 2 3 5 2 1 5 2 3 3 Số phần tử của A là nA C2 .C8 .C5 C8 .C6.C5 C8 .C6 .C3 784 . 748 14 Vậy xác suất cần tìm là P A 2520 45 Câu 12: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt n 3,n ¥ , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n ? A. n 9 .B. n 7 . C. Không có n thỏa mãn.D. n 8 . Lời giải Chọn D 3 Xem 3 điểm trong 2n điểm đã cho lập nên một mặt phẳng, thế thì ta có C2n mặt phẳng. Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng. 3 3 Vậy số mặt phẳng có được là C2n Cn 1 . 2n ! n! Theo đề bài ta có: C3 C3 1 505 504 2n n 3! 2n 3 ! 3! n 3 ! 2n 2n 1 2n 2 n n 1 n 2 3024 7n3 9n2 2n 3024 0 n 8 . Câu 13: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A 0;1;2;3; ;9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875.
7. 1 1 18 4 A. .B. .C. . D. . 5000 15000 510 3.104 Lời giải Chọn B 5 Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có 6 chữ số từ tập A , do đó n 9.10 . Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875 32.53.7 . 2 3 Số phần tử của B là C6 .C4 60 . 60 1 Suy ra xác suất P B . 9.105 15000 Câu 14: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho một tập hợp có 2018 phần tử. Hỏi tập đó có bao nhiêu tập con mà mỗi tập con đó có số phần tử là một số lẻ. A. 1009.B. 22018 1.C. T 2i .D. 22017 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 3 2017 Số tập con thỏa đề là S C2018 C2018 C2018 Xét khai triển 2018 2018 k k 0 1 2 2 3 3 2017 2017 2018 2018 1 x  C2018 x C2018 C2018 x C2018 x C2018 x C2018 x C2018 x k 0 2018 0 1 2 3 2017 2018 Lấy x 1: 2 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 . 0 1 2 3 2017 2018 Lấy x 1: 0 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 1 3 2017 0 2 2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 . 22018 Vậy S C1 C3 C 2017 22017 . 2018 2018 2018 2 Câu 15: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Đội thanh niên xung kích của một trường THPT gồm 15 học sinh, trong đó có 4 học sinh khối 12 , 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 10 . Chọn ngẫu nhiên ra 6 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất để chọn được 6 học sinh có đủ ba khối. 4248 757 850 151 A. .B. .C. .D. . 5005 5005 1001 1001 Lời giải Chọn C 6 6 Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 15 học sinh có C15 (cách chọn) hay n  C15 5005. Gọi A: “Chọn được 6 học sinh có đủ ba khối” A: “Chọn được 6 học sinh không đủ ba khối” n A 6 6 6 6 151 Suy ra n A C9 C10 C11 C6 755 . Do đó P A . n  1001 850 Vậy xác suất cần tìm là P A 1 P A . 1001 Câu 16: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi P là tích ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho P không chia hết cho 6 .
8. 82 90 83 60 A. .B. .C. .D. . 216 216 216 216 Câu 17: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi P là tích ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho P không chia hết cho 6 . 82 90 83 60 A. .B. .C. .D. . 216 216 216 216 Lời giải Chọn C Số phần tử của không gian mẫu: n  63 216 Gọi A là biến cố “tích số chấm ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 ” Trường hợp 1. Số chấm ở cả ba lần gieo đều là các chữ số thuộc tập 1,2,4,5 3 + Cả ba lần số chấm khác nhau có A4 khả năng. 3! + Có hai lần số chấm giống nhau có C 2. .2 khả năng. 4 2! + Cả ba lần số chấm giống nhau có 4 khả năng. Có 64 khả năng. Trường hợp 2. Số chấm ở cả ba lần gieo đều là các chữ số thuộc tập 1,3,5 + Cả ba lần số chấm khác nhau có 3! khả năng. 3! + Có hai lần số chấm giống nhau có C 2. .2 khả năng. 3 2! + Cả ba lần số chấm giống nhau có 3 khả năng. Có 27 khả năng. Tuy nhiên ở trường hợp 1 và 2 bị trùng nhau ở khả năng: + Ba lần số chấm giống nhau đối với số chấm 1 và 5: Chỉ có 2 khả năng + Có hai lần số chấm giống nhau đối với 1 và 5: Chỉ có 6 khả năng. Do đó n A 64 27 2 6 83 . 83 Vậy P A . 216 C 2 C 4 C 6 C 2n 2 C 2n 8192 Câu 18: Giả sử số tự nhiên n 2 thỏa mãn C 0 2n 2n 2n 2n 2n . Khẳng 2n 3 5 7 2n 1 2n 1 15 định nào sau đây là đúng: A. 6 n 9 .B. 9 n 12 . C. n 6 .D. Không tồn tại n . Câu 19: Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a b c d hoặc a b c d ). 7 7 7 14 A. .B. .C. .D. . 125 375 250 375 C 2 C 4 C 6 C 2n 2 C 2n 8192 Câu 20: Giả sử số tự nhiên n 2 thỏa mãn C 0 2n 2n 2n 2n 2n . Khẳng 2n 3 5 7 2n 1 2n 1 15 định nào sau đây là đúng: A. 6 n 9 .B. 9 n 12 . C. n 6 .D. Không tồn tại n . Lời giải Chọn D 2n 0 1 2 2 2n 2n Ta có: 1 x C2n C2n x C2n x C2n x .
9. 1 1 2n 1 1 1 1 x dx C 0 x C1 x2 C 2 x3 C 2n x2n 1 2n 2n 2n 2n 0 2 3 2n 1 0 2n 1 1 1 1 x 0 1 1 2 1 2 3 1 2n 2n 1 C2n x C2n x C2n x C2n x 2n 1 2 3 2n 1 0 0 2n 1 2 2 1 2 2 2 2C 0 C1 C 2 C 2n 1 2n 1 2n 2 2n 3 2n 2n 1 2n Mặt khác: 1 1 2n 1 1 1 1 x dx C 0 x C1 x2 C 2 x3 C 2n x2n 1 2n 2n 2n 2n 0 2 3 2n 1 0 2 2 2 2 2C 0 C1 C 2 C 2n 2 2n 1 2n 2 2n 3 2n 2n 1 2n Lấy 1 trừ 2 , ta được: 2n 1 1 4 6 2n 2 2n 2n 1 2 0 C2n C2n C2n C2n C2n 2 8192 2 C2n 2. n 6,44 . 2n 1 3 5 7 2n 1 2n 1 2n 1 15 Vậy không có số tự nhiên n thỏa mãn. Câu 21: Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a b c d hoặc a b c d ). 7 7 7 14 A. .B. .C. .D. . 125 375 250 375 Lời giải Chọn D Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là n  9.10.10.10 9000 . Gọi A là biến cố các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần Gọi số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần có dạng abcd . Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập X 1,2,3,4,5,6,7,8,9và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một số thỏa yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng 4 dần là C9 . Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập Y 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự 4 giảm dần dần là C10 . 4 4 Vậy số phần tử của biến cố A là n A C9 C10 336 . n A 336 14 Xác suất của biến cố A là P A . n  9000 375
10. Câu 22: Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá chứa đồ nằm ngang có 7 ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng. 3 3 3 3 A. .B. .C. .D. . 160 70 80 140 Câu 23: Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá chứa đồ nằm ngang có 7 ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng. 3 3 3 3 A. .B. .C. .D. . 160 70 80 140 Lời giải Chọn B 3 Chọn 3 ô trống trong 7 ô để xếp 3 quả cầu xanh giống nhau có C7 cách. 3 Chọn 3 ô trống trong 4 ô còn lại để xếp 3 quả cầu đỏ khác nhau có A4 cách. 3 3 n  C7 .A4 840 cách. Gọi A là biến cố “3 quả cầu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu xanh xếp cạnh nhau” Xem 3 quả cầu đỏ là nhóm X , 3 quả cầu xanh là nhóm Y . 2 Xếp X , Y vào các ô trống có A3 cách. Hoán vị 3 quả cầu đỏ trong X có 3! cách. 2 n A A3 .3! 36 . n A 3 Xác suất của biến cố A là: P A . n  70 1 1 1 1 1 Câu 24: Giá trị của A bằng 1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010! 22017 1 22018 22018 1 22017 A. .B. .C. .D. . 2018! 2019! 2019! 2018! 1 1 1 1 1 Câu 25: Giá trị của A bằng 1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010! 22017 1 22018 22018 1 22017 A. .B. .C. .D. . 2018! 2019! 2019! 2018! Lời giải Chọn C 1 C k Ta có n . k! n k ! n! Do đó
11. C1 C 2 C3 C1009 C1 C 2 C1009 A 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019! 2019! 2019! 2019! 2019! C 0 C1 C 2 C1009 1 22018 1 2019 2019 2019 2019 . 2019! 2019! n n n 1 k Câu 26: Cho biểu thức P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ *. Biết an 9 an 8 và an 9 an 10 . Giá trị của n bằng: A. 13 .B. 14 .C. 12 .D. 15 . n n n 1 k Câu 27: Cho biểu thức P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ *. Biết an 9 an 8 và an 9 an 10 . Giá trị của n bằng: A. 13 .B. 14 .C. 12 .D. 15 . Lời giải Chọn A * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: n 0 n 0 1 n 1 1 n k k n k n 1 1 n 1 n 0 n P x x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 , n ¥ * n n n 1 k mà P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ * n k n k n k k 8 n 8 8 8 9 9 10 10 Ta có: ak 2 Cn 2 Cn , 0 k n an 8 2 Cn 2 Cn , an 9 2 Cn , an 10 2 Cn * Theo đề bài với n 10, n ¥ *: n! n! 29 28 2 1 25 an 9 an 8 9! n 9 ! 8! n 8 ! 9 n 8 n 2 n 13. an 9 an 10 9 n! 10 n! 1 1 2 2 n 14 9! n 9 ! 10! n 10 ! n 9 5 2 1 Câu 28: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 44. Số hạng không chứa x trong khai triển của n 1 biểu thức x x 4 , với x 0 bằng x A. 165.B. 485 .C. 238 .D. 525 . 2 1 Câu 29: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 44. Số hạng không chứa x trong khai triển của n 1 biểu thức x x 4 , với x 0 bằng x A. 165.B. 485 .C. 238 .D. 525 . Lời giải Chọn A 2 1 n n 1 2 n 11 Cn Cn 44 n 44 n 3n 88 0 . 2 n 8 l Do đó 11 11 k 1 11 k 1 x x C k x x 4  11 4 x k 0 x
12. 11 3k 11 11k 88 k 4 k 11 k 2 2 C11 x C11 x . k 0 k 0 8 Số hạng không chứa x khi 11k 88 0 k 8. Do vậy số hạng cần tìm là C11 165 . 9 3 1 2 Câu 30: Tìm hệ số của x sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của x 2x , x x 0 . A. 2940 .B. 3210 .C. 2940 .D. 3210 . Câu 31: Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên. Xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu bằng 9 2 3 5 A. .B. .C. .D. . 14 7 7 14 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B A B D B A C B D B C D C C D C D A B B C A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A A D A C B B D C D C C A B C D A A C D B D C C D
13. HƯỚNG DẪN GIẢI 9 3 1 2 Câu 32: Tìm hệ số của x sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của x 2x , x x 0 . A. 2940 .B. 3210 .C. 2940 .D. 3210 . Lời giải Chọn A Ta có 9 9 9 9 k 9 k 1 2 1 k 1 k k i k k i i 2k i 9 x 2x x 2x 1 C9 .x . 2x 1 CkC9 1 2 .x . x x k 0 x k 0 i 0 Theo yêu cầu bài toán ta có 2k i 9 3 2k i 12 ; 0 i k 9 ; i,k ¥ Ta có các cặp i;k thỏa mãn là 0;6 , 2;5 , 4;4 . 3 0 6 6 0 0 2 5 5 2 2 4 4 4 4 4 Từ đó hệ số của x là C6 C9 1 .2 C5 C9 1 .2 C4 C9 1 .2 2940 . Câu 33: Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên. Xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu bằng 9 2 3 5 A. .B. .C. .D. . 14 7 7 14 Lời giải Chọn A Cách 1: Vì xác suất không thay đổi khi ta coi ba phần này có xếp thứ tự 1, 2 , 3 . Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên như sau: 3 Phần 1: Chọn 3 viên cho phần 1 có C9 cách. 3 Phần 2 : Chọn 3 viên cho phần 2 có C6 cách. Phần 3 : Chọn 3 viên lại cho phần 3 có 1 cách. 3 3 Do đó số phần tử của không gian mẫu là n  C9 .C6 1680 . Gọi A là biến cố không có phần nào gồm 3 viên cùng màu, khi đó ta chia các viên bi thành 3 bộ như sau: 2 1 Bộ 1: 2 đỏ, 1 xanh: Có C4 C5 cách chọn 1 2 Bộ 2 : 1 đỏ, 2 xanh: Có C2C4 cách chọn Bộ 3 : gồm các viên bi còn lại(1 đỏ, 2 xanh). 3! Vì bộ 2 và 3 có các viên bi giống nhau để không phân biệt hai bộ này nên có sắp xếp 3 bộ 2! vào 3 phần trên. 3! Do đó n A C 2C1C1C 2 1080. 2! 4 5 2 4 n A 1080 9 Ta được P A . n  1680 14 Cách 2: Mã hóa: 4 viên bi đỏ giống nhau là 1, 1, 1, 1. 5 viên bi xanh giống nhau là 0 , 0 , 0 , 0 , 0 . 9!  Xếp 9 phần tử hàng ngang có  126 (cách). 5!.4!  Một cách xếp thỏa yêu cầu là 1 ,1,0 1 ,0,0 1 ,0,0 . 1 2 3
14. 3! o Hoán vị các nhóm có 3 (do có 2 nhóm giống nhau). 2! o Rồi hoán vị các số trong mỗi nhóm có: 3.3.3 27 . Do đó biến cố A có: A 3 27 81.  81 9 Vậy P A A .  126 14 k 1 k k 1 Câu 34: HẾT Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương n, k biết n 20 và các số Cn , Cn , Cn theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng. A. 4 .B. 2 .C. 1.D. 0 . k 1 k k 1 Câu 35: Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương n, k biết n 20 và các số Cn , Cn , Cn theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng. A. 4 .B. 2 .C. 1.D. 0 . Lời giải Chọn A k 1 k k 1 Các số Cn , Cn , Cn theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta n! n! n! có: C k C k 1 C k 1 C k 2 n n n n k 1 !(n k 1)! k 1 !(n k 1)! k!(n k)! 1 1 2 2 n 2k n 2 . k k 1 n k 1 n k k n k Do n 20 n 2 22 mà n 2 là số chính phương, n,k nguyên dương nên có các trường hợp sau: + n 2 4 n 2;k 2 . + n 2 9 n 7;k 2 hoặc n 7;k 5 . + n 2 16 n 14;k 5 hoặc n 14;k 9 . Mà k 1 n nên chỉ có 4 bộ thỏa mãn. 7 2 2 1 2 Câu 36: Hệ số của x trong khai triển của x 2x 1 bằng x A. 4 .B. 40 .C. 35 .D. 39 . 7 2 2 1 2 Câu 37: Hệ số của x trong khai triển của x 2x 1 bằng x A. 4 .B. 40 .C. 35 .D. 39 . Lời giải Chọn D 2 2 Ta có 2x 1 4x2 4x 1 nên hệ số của x2 trong 2x 1 là 4 . k k 2 7 k 1 k 14 3k C7 x C7 x k 7,k ¥ . x Hệ số của x2 ứng với k thỏa 14 3k 2 k 4 .
15. 7 2 2 1 2 4 Vậy hệ số của x trong khai triển của x 2x 1 bằng 4 C7 39 . x Câu 38: Cho đa giác đểu P có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của P , tính xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của P . 5 3 7 7 A. .B. .C. .D. . 114 38 114 57 Câu 39: Cho đa giác đểu P có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của P , tính xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của P . 5 3 7 7 A. .B. .C. .D. . 114 38 114 57 Lời giải Chọn D 3 Không gian mẫu: Chọn 3 đỉnh bất kì từ 20 đỉnh để tạo thành một tam giác n  C20 Biến cố A : 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của P . Ta có đa giác P nội tiếp một đường tròn, nên tam giác vuông tạo ra từ một đường chéo (qua tâm) bất kì và một điểm khác (tam giác nội tiếp có một cạnh là đường kính là tam giác vuông) Số cách chọn đường chéo qua tâm là 10 cách. Một đường chéo đi qua 2 đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba không thể là 4 đỉnh nằm cạnh hai đỉnh đã chọn có 20 2 4 14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đường chéo nữa) Vậy n A 10 14 140 tam giác. Vậy xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là n A 140 7 cạnh của P là p 3 . n  C20 57 0 1 2 2 n n Câu 40: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2Cn 2 Cn 2 Cn 14348907 . Hệ số cỉa số hạng n 10 2 1 chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 x 0 bằng x A. . B.1 3.C65. 32760 1365.D. . 32760 Câu 41: Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A. .1B.76 .8C. .D. 1771 1350 2024 . 0 1 2 2 n n Câu 42: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2Cn 2 Cn 2 Cn 14348907 . Hệ số cỉa số hạng n 10 2 1 chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 x 0 bằng x A. 1365 .B. 32760 .C. 1365.D. 32760 . Hướng dẫn giải Chọn C
16. Từ giả thiết 0 1 2 2 n n n n 15 Cn 2Cn 2 Cn 2 Cn 14348907 1 2 14348907 3 3 n 15 . 15 15 15 1 2 15 k k 1 k Xét khai triển x2 C k .x . 1 . C k . 1 .x30 5k . 3  15 3k  15 x k 0 x k 0 Hệ số của x10 tương ứng với 30 5k 10 k 4 . 4 4 Hệ số cần tìm là C15. 1 1365 . Câu 43: Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A. 1768.B. 1771.C. 1350.D. 2024 . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử số ghi trên ba thẻ sắp xếp theo thứ tự tăng dần là a b c . Vì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn kém nhau ít nhất a b 1 2 đơn vị nên ta có: 1 a b 1 c 2 24 . b c 1 3 Vậy số cách lấy là: C24 2024 cách. n a a a Câu 44: Cho 1 2x a a x1 a xn , n ¥ * . Biết a 1 2 n 4096 . Số lớn nhất trong 0 1 n 0 2 22 2n các số a0 ,a1,a2 , ,an có giá trị bằng A. 126720.B. 924 .C. 972 .D. 1293600. n a a a Câu 45: Cho 1 2x a a x1 a xn , n ¥ * . Biết a 1 2 n 4096 . Số lớn nhất trong 0 1 n 0 2 22 2n các số a0 ,a1,a2 , ,an có giá trị bằng A. 126720.B. 924 .C. 972 .D. 1293600. Lời giải Chọn A n n k k k 0 0 0 1 1 1 2 2 2 n n n 1 n 1 2x Cn .2 .x Cn .2 x Cn .2 x Cn .2 x Cn .2 x a0 a1x an x . k 0 a a a Ta có: a 1 2 n 4096 C 0 C1 C 2 C n 4096 2n 4096 n 12 . 0 2 22 2n n n n n k k k 1 k 1 k k 1 Ta có: ak ak 1 C12.2 C12 .2 C12 2C12 . Suy ra: a0 a1 a2 a8 . k k k 1 k 1 k k 1 Mặt khác: ak ak 1 C12.2 C12 .2 C12 2C12 . Suy ra: a8 a9 a10 a12 . 8 8 Vậy số lớn nhất trong các số a0 ,a1,a2 , ,an là a8 C12.2 126720 . Câu 46: Một túi có 14 viên bi gồm 5 viên bi màu trắng được đánh số từ 1 đến 5 ; 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 ; 3 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 3 và 2 viên màu vàng được đánh số từ 1 đến 2 . Có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi từng đôi khác số? A. 243.B. 190. C. 120. D. 184. 10 Câu 47: Hệ số của x5 trong khai triển f x 1 x 3x3 thành đa thức là A. 1380.B. 1332. C. 3480 .D. 1836.
17. Câu 48: Một túi có 14 viên bi gồm 5 viên bi màu trắng được đánh số từ 1 đến 5 ; 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 ; 3 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 3 và 2 viên màu vàng được đánh số từ 1 đến 2 . Có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi từng đôi khác số? A. 243.B. 190.C. 120.D. 184. Lời giải Chọn B 3 Có C14 cách chọn 3 viên bi tùy ý. 3 Chọn 3 viên bi cùng số 1 có C4 4 cách chọn. 3 Chọn 3 viên bi cùng số 2 có C4 4 cách chọn. Chọn 3 viên bi cùng số 3 có 1 cách chọn. 2 1 Chọn 2 viên số 1 và 1 viên khác số 1 có C4 .C10 60 . 2 1 Chọn 2 viên số 2 và 1 viên khác số 2 có C4 .C10 60 . 2 1 Chọn 2 viên số 3 và 1 viên khác số 3 có C3 .C11 33. 2 1 Chọn 2 viên số 4 và 1 viên khác số 4 có C2 .C12 12 . 3 Như vậy số cách chọn theo yêu cầu là C14 4 4 1 60 60 33 12 190. 10 Câu 49: Hệ số của x5 trong khai triển f x 1 x 3x3 thành đa thức là A. 1380.B. 1332.C. 3480 . D. 1836. Lời giải Chọn B 10 Ta có f x 1 x 1 3x2 . k i k i 3k Số hạng tổng quát: T C10C10 k 3 x . i 3k 5 5 k 0 k 1 Để T chứa x thì i,k Z hoặc i 5 i 2 0 i 10 k 10 5 0 5 0 1 2 1 Vậy hệ số của x trong khai triển là C10C10 3 C10C9 3 1332. Câu 50: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân. A. 81.B. 165. C. 216 . D. 45 . Câu 51: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân. A. 81.B. 165. C. 216 . D. 45 . Lời giải Chọn B Không mất tính tổng quát, giả sử a b c 2a (Bất đẳng thức tam giác). TH 1: a b 1 c 2 c 1. TH 2: a b 2 c 4 c 1;2;3 . TH 3: a b 3 c 6 c 1;2;3;4;5 . TH 4: a b 4 c 8 c 1;2;3;4;5; ;7 . TH 5: a b 5;6;7;8;9 c 1;2;3; ;9 .
18. Do đó có tất cả 1 3 5 7 9.5 61 bộ số thỏa mãn bài toán trong đó có 9 bộ số là độ dài ba cạnh của một tam giác đều và 52 bộ số là độ dài của ba cạnh tam giác cân không đều. Với mỗi bộ ba số a , b , c là độ dài ba cạnh của tam giác cân, ta có 3 cách sắp xếp để tạo thành một số có ba chữ số. Vậy số các số cần tìm là: 9 52.3 165 . Câu 52: Cho A là tập các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất lấy được một số lẻ và chia hết cho 9 . 1 1 625 1250 A. .B. .C. .D. . 18 9 1701 1701 Câu 53: Cho A là tập các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất lấy được một số lẻ và chia hết cho 9 . 1 1 625 1250 A. .B. .C. .D. . 18 9 1701 1701 Lời giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu là n  9.108 Gọi B là biến cố thỏa yêu cầu bài toán. Ta có các số lẻ có 9 chữ số chia hết cho 9 là 100000017 , 100000035, 100000053, , 999999999 lập thành một cấp số cộng với u1 100000017 và công sai d 18 . 999999999 100000017 Nên số phần tử của dãy là 1 50000000 18 n B 5.107 1 Vậy n B 5.107 . Xác suất là P B . n  9.108 18 n 1 3 6 Câu 27. Tổng tất cả các hệ số của khai triển x bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong x khai triển biểu thức trên. A. 120.B. 210 .C. 330 .D. 126. 2017 1 2016 2 2015 3 2018 Câu 54: Tính tổng S 2.2 C2018 3.2 C2018 4.2 C2018 2019C2018 . A. S 2021.32017 22018 .B. S 2021.32017 . C. S 2021.32018 22017 . D. S 2021.32017 22018 . n 1 3 6 Câu 32. Tổng tất cả các hệ số của khai triển x bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x x trong khai triển biểu thức trên. A. 120.B. 210 .C. 330 .D. 126. Lời giải Chọn B 0 1 2 n n Ta có: Cn Cn Cn Cn 1024 2 1024 n 10 . 10 k 1 3 k 1 3 10 k k 30 4k Số hạng tổng quát của khai triển x là: C10 x C10 x . x x Ta có: 30 4k 6 k 6 . 6 6 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức trên là: C10 210 .
19. 2017 1 2016 2 2015 3 2018 Câu 55: Tính tổng S 2.2 C2018 3.2 C2018 4.2 C2018 2019C2018 . A. S 2021.32017 22018 .B. S 2021.32017 . C. S 2021.32018 22017 . D. S 2021.32017 22018 . Lời giải Chọn A Áp dụng khai triển nhị thức NewTon ta có 2018 0 2018 1 2017 2 2016 2 2018 2018 2 x C2018.2 C2018.2 .x C2018.2 .x C2018 .x 2018 0 2018 1 2017 2 2 2016 3 2018 2019 x 2 x C2018.2 .x C2018.2 .x C2018.2 .x C2018 .x Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được: 2018 2017 0 2018 1 2017 2 2016 2 2018 2018 2 x x.2018. 2 x C2018.2 2.C2018.2 .x 3.C2018.2 .x 2019.C2018 .x Cho x 1 ta được: 2018 2017 0 2018 1 2017 2 2016 2018 3 2018.3 C2018.2 2.C2018.2 3.C2018.2 2019.C2018 2018 2017 0 2018 2017 2018 Suy ra S 3 2018.3 C2018.2 2021.3 2 . Câu 56: Cho đa giác đều H có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của H . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của H . A. .4B.95 .0C. .D. 1800 30 450 . Câu 57: Cho đa giác đều H có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của H . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của H . A. 4950 .B. 1800.C. 30 .D. 450 . Hướng dẫn giải Chọn D Kí hiệu đa giác là A1 A2 A15 . + TH1: Chọn tứ giác có dạng A1 Am An Ap với 1 m n p 15 . Gọi x1, x2 , x3 , x4 là số các đỉnh nằm giữa A1 với Am , Am với An , An với Ap và Ap với A1 . x1 x2 x3 x4 11 Khi đó ta có hệ . xi 1,i 1,2,3,4 3 Đặt xi xi 1 thì xi 0 và x1 x2 x3 x4 7 nên có C10 120 tứ giác. + TH2 : Không chọn đỉnh A1 . Giả sử tứ giác được chọn là Am An Ap Aq với 1 m n p q 15. Gọi x1 là số các đỉnh giữa A1 và Am , x2 là số các đỉnh giữa Am và An , x3 là số các đỉnh giữa An và Ap , x4 là số các đỉnh giữa Ap và Aq , x5 là các đỉnh giữa Aq và A1 . x1 x2 x3 x4 x5 10 4 Ta có hệ . Tương tự trường hợp trên có C11 330 tứ giác. x1, x2 , x3 , x4 1, x5 0 Vậy có 450 tứ giác Câu 58: Thầy Dương có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ? A. 56875 .B. .C. .D. . 42802 41811 32023 Câu 59: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
20. A. 7 .B. .C. .D. . 6 8 5 Câu 60: Thầy Dương có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ? A. 56875 .B. 42802 .C. 41811.D. 32023 . Lời giải Chọn A 2 2 1 TH1: Trong 5 câu có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó, có : C15.C10.C5 23625 đề. 2 1 2 TH2: Trong 5 câu có 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó, có : C15.C10.C5 10500 đề. 3 1 1 TH3: Trong 5 câu có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó, có : C15.C10.C5 22750 đề. Vậy tất cả có số đề là : 23625 10500 22750 56875 đề. Câu 61: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? A. 7 .B. 6 .C. 8 .D. 5 . Lời giải Chọn A 2 Giả sử đa giác có n cạnh ( n 3 ). Suy ra: số đường chéo là Cn n . n n 1 Ta có: C 2 n 2n 3n n 1 6 n 7 . n 2 Câu 62: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d1 và d2 nói trên. Tìm tổng các chữ số của n . A. 3 .B. 6 .C. 4 .D. 5 . Câu 63: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d1 và d2 nói trên. Tìm tổng các chữ số của n . A. 3 .B. 6 .C. 4 .D. 5 . Lời giải Chọn B Ta thấy. cứ một điểm bất kì trên đường thẳng d1 với hai điểm phân biệt trên d2 hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng d2 với hai điểm phân biệt trên d1 tạo thành một tam giác. 2 2 Vậy tổng số tam giác thỏa mãn đề bài là 10.Cn nC10 1725 . n! 10 45n 1725 5n n 1 45n 1725 0 2. n 2 ! 2 n 15 5n 40n 1725 0 . Vậy n 15 . n 23 n 2 1 Câu 64: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x ( x 0 và n là số nguyên dương), biết rằng x tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong khai triển bằng 46 .
21. A. 84 .B. 62 .C. 86 .D. 96 . n 2 1 Câu 65: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x ( x 0 và n là số nguyên dương), biết rằng x tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong khai triển bằng 46 . A. 84 .B. 62 .C. 86 .D. 96 . Lời giải Chọn A n n 2 1 k 2n 3k x Cn x . x k 0 0 1 2 Theo bài ra ta có Cn Cn Cn 46 n 9 . Để có số hạng không chứa x thì 2.9 3k 0 k 6 . 6 Số hạng cần tìm là C9 84 . Câu 66: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 . 17 43 1 11 A. .B. .C. .D. . 81 324 27 324 Câu 67: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 . 17 43 1 11 A. .B. .C. .D. . 81 324 27 324 Lời giải Chọn D 7 Chọn ngẫu nhiên số có tám chữ số đôi một khác nhau, có 9.A9 1632960 (cách chọn). Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 . Khi đó a7a8 chia hết cho 25 nên a7a8 là một trong các số sau 25 , 50 , 75. 5 * Nếu a7a8 25 hoặc a7a8 75 thì số cách chọn các chữ số còn lại là 7.A7 (cách chọn). 6 * Nếu a7a8 50 thì số cách chọn các chữ số còn lại là A8 số (cách chọn). 5 6 Suy ra có 2.7.A7 A8 55440 (cách chọn). 55440 11 Vậy xác suất cần tính là . 1632960 324 Câu 68: Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. An trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại An chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của An không dưới 9,5 điểm. 9 13 2 53 A. .B. .C. .D. . 22 1024 19 512 Câu 69: Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. An trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại An chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của An không dưới 9,5 điểm.
22. 9 13 2 53 A. .B. .C. .D. . 22 1024 19 512 Lời giải Chọn B Để An đúng được không dưới 9,5 điểm thì bạn ấy phải chọn đúng nhiều hơn 2 trong 5 câu còn lại. 1 3 Xác suất mỗi câu chọn đúng là và không chọn đúng là . 4 4 Để An đúng được không dưới 9,5 điểm thì bạn ấy phải chọn đúng hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5 trong 5 câu còn lại. 3 2 4 5 1 3 1 3 1 13 Do đó xác suất cần tìm là . 4 4 4 4 4 1024 12 8 1 5 Câu 70: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức 3 2 x (với x 0 ) bằng x A. 59136 .B. 126720. C. 59136 . D. 126720 . Câu 71: Có 3 chiếc hộp A , B , C . Hộp A chứa 4 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp B chứa 3 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp C chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp đó. Tính xác suất để lấy được một bi đỏ. 1 13 1 39 A. .B. .C. .D. . 8 30 6 70 12 8 1 5 Câu 72: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức 3 2 x (với x 0 ) bằng x A. 59136 .B. 126720. C. 59136 . D. 126720 . Lời giải Chọn B 12 k k 11 k k 36 k 1 5 k 2 Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk 1 C12 3 2 x C12 2 x x 11 Cho k 36 8 k 8 . 2 8 8 8 hệ số của số hạng chứa x là C12 2 126720. Câu 73: Có 3 chiếc hộp A , B , C . Hộp A chứa 4 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp B chứa 3 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp C chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp đó. Tính xác suất để lấy được một bi đỏ. 1 13 1 39 A. .B. .C. .D. . 8 30 6 70 Lời giải Chọn D
23. 1 4 Xác suất để chọn hộp A là , xác suất để chọn được bi đỏ trong hộp A là 3 7 1 4 Xác suất để chọn được bi đỏ trong hộp A là . . 3 7 1 3 1 2 Tương tự, xác suất để chọn được bi đỏ trong hộp B , hộp C lần lượt là . , . . 3 5 3 4 1 4 1 3 1 2 39 Vậy xác suất để lấy được bi đỏ là P . . . . 3 7 3 5 3 4 70 Câu 74: Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7 . A. 12855.B. 12856.C. 1285.D. 1286. Câu 75: Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7 . A. 12855.B. 12856.C. 1285.D. 1286. Lời giải Chọn D abcd1Giả sử abcd1 10.abcd 1 3.abcd 7.abcd 1số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn đề bài là. Ta có chia hết cho 7 khi 3.abcd 1 chia hết cho 7 . k 1 Khi đó, 3.abcd 1 7k abcd 2k ,k ¢ là số nguyên khi k 3l 1. 3 998 9997 Suy ra abcd 7l 2 1000 7l 2 9999 l có 1286 giá trị của l . 7 7 Vậy có 1286 số thỏa mãn bài toán. Câu 76: Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40 . Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6 . 252 26 12 126 A. .B. . .C. .D. . 1147 1147 1147 1147 10 Câu 77: Tìm hệ số của x4 trong khai triển 1 3x 2x3 A. 17550.B. 16758.C. 21130 .D. 270 . Câu 78: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9 . Tính xác suất để lấy được vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 2. A. 0,8533 .B. 0,5533.C. 0,6533.D. 0,2533. Câu 79: Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40 . Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6 . 252 26 12 126 A. .B. . .C. .D. . 1147 1147 1147 1147 Lời giải Chọn D 10 Số cách rút 10 tấm thẻ n  C40 .
24. Gọi A là biến cố: “ lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6 ”. Ta có từ số 1 đến số 40 có 6 số là: M 6;12;18; 36 . 1 Chọn 1 số chia hết trong tập M có C6 cách (số được chọn là số chẵn). 4 Số rút 4 số chẵn từ tập 2;4; 40 \ M là C14 . 5 Số cách rút 5 thẻ mang số lẻ A20 . 1 4 5 C6.C14.C20 126 Vậy p A 10 . C40 1147 10 Câu 80: Tìm hệ số của x4 trong khai triển 1 3x 2x3 A. 17550.B. 16758.C. 21130 .D. 270 . Lời giải Chọn A 10 k 3 10 k 3 1 3x 2x C10 3x 2x k 0 10 k 10 k k i k i 3 i k i k i i k 2i C10.Ck 3x . 2x C10Ck 3 .2 .x k 0 i 0 k 0 i 0 Số hạng chứa x4 khi k 2i 4 k;i 4;0 , 2;1 4 0 4 0 2 1 1 1 Hệ số của số hạng đó là C10.C4 .3 .2 C10.C2.3 .2 17010 540 17550 . Câu 81: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9 . Tính xác suất để lấy được vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 2. A. 0,8533 .B. 0,5533.C. 0,6533.D. 0,2533. Lời giải Chọn A Có 105 vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9 , do đó để lấy ngẫu nhiên một vé xổ số có 105 cách. Số vé xổ số mà không có chữ số 1 là 95 , số vé xổ số mà không có chữ số 2 là 95 . Số vé xổ số mà không có cả chữ số 1 và 2 là 85 . Do đó để lấy được vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 2 có 2.95 85 85330. 85330 Vậy xác suất cần tìm là 0,8533. 105 Câu 82: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcde trong đó 1 a b c d e 9 . 143 138 11 3 A. .B. . C. . D. . 10000 1420 200 7 Câu 83: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcde trong đó 1 a b c d e 9 . 143 138 11 3 A. .B. . C. . D. . 10000 1420 200 7 Lời giải Chọn A
25. Có 9.104 số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành. Từ 1 a b c d e 9 1 a b 1 c 2 d 3 e 4 13 . Đặt a1 a , a2 b 1, a3 c 2 , a4 d 3, a5 e 4 1 a1 a2 a3 a4 a5 13 . Mỗi cách chọn bộ số a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 tương ứng ta được một số abcde thỏa mãn bài toán. 5 Số các số có dạng abcde thỏa mãn là C13 1287 số. 1287 143 Vậy xác suất cần tìm là P . 9.104 10000 n Câu 84: Hệ số của x7 trong khai triển 2 x 3x2 là bao nhiêu, biết n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 Cn Cn Cn 29 . A. 53173 . B. 38053 . C. 53172 . D. 38052 . n Câu 85: Hệ số của x7 trong khai triển 2 x 3x2 là bao nhiêu, biết n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 Cn Cn Cn 29 . A. 53173 . B. 38053 . C. 53172 . D. 38052 . Lời giải Chọn B Điều kiên: n 2 . 0 1 2 n n 1 2 n 8 Ta có: Cn Cn Cn 29 1 n 29 n n 56 0 n 7 . 2 n 7 7 7 k 2 7 k k 2 7 k k 2 7 k i k i i i Khi đó: 2 x 3x C7 2 x 3x C7 3x Ck 2 1 x k 0 k 0 i 0 7 k k i k i 7 k i i 14 2k C7 Ck 2 3 1 x k 0 i 0 Hệ số của x7 có k thỏa mãn: i 14 2k 7 2k 7 i . i 1 3 5 7 k 4 5 6 7 Vậy hệ số của x7 là: 4 1 3 3 5 3 2 2 6 5 7 7 C7 C4 2 3 C7 C5 2 3 C7 C6 2.3 C7 C7 30240 7560 252 1 38053. Câu 86: Cho các số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập một số tự nhiên có 6chữ số đôi một khác nhau dạng abcdef . Tính xác suất để số lập được thỏa mãn a b c d e f ? 4 5 4 3 A. .B. .C. .D. . 135 158 85 20 Câu 87: Cho các số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập một số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau dạng abcdef . Tính xác suất để số lập được thỏa mãn a b c d e f ? 4 5 4 3 A. .B. .C. .D. . 135 158 85 20 Lời giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu n  6.6! 4320 . Số lập được thỏa mãn a b c d e f ta có các trường hợp sau: TH1: xét các bộ số 0;6, 1;5 , 2;4 : Nếu a;b 0;6thì có 1 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 8 cách.
26. Nếu a;b 1;5 thì có 2 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 8 cách. Nếu a;b 2;4 thì có 2 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 8 cách. Suy ra có: 8.5 40 (số). TH2: xét các bộ số 0;5 , 1;4, 2;3 : tương tự TH1 có 8.5 40 (số). TH3: xét các bộ số 1;6 , 2;5 , 3;4 : có 3.2.8 48 (số). 40 40 48 4 Vậy xác suất P A . 4320 135 20 10 1 3 1 Câu 88: Sau khi khai triển và rút gọn, biểu thức x 2 x có bao nhiêu số hạng. x x A. 27 .B. 29 .C. 32 .D. 28 . Câu 89: Một hội nghị gồm 6 đại biểu nước A, 7 đại biểu nước B và 7 đại biểu nước C trong mỗi nước có hai đại biểu là nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đại biểu, xác suất chọn được 4 đại biểu để mỗi nước có ít nhất một đại biểu và có cả đại biểu nam và đại biểu nữ bằng 46 3844 49 1937 A. .B. .C. .D. . 95 4845 95 4845 20 10 1 3 1 Câu 90: Sau khi khai triển và rút gọn, biểu thức x 2 x có bao nhiêu số hạng. x x A. 27 .B. 29 .C. 32 .D. 28 . Lời giải Chọn B 20 k 1 k 20 k 1 k k 20 3k Số hạng tổng quát của x 2 là: Tk 1 C20 x . 2 C20 1 x . x x Khi đó ta có : 40 20 3k 20 , có 21 số hạng. 10 m 3 1 m 3 10 m 1 m m 30 4m Số hạng tổng quát của x là: Um 1 C10 x . C10 1 x . x x Khi đó ta có : 10 30 4m 30 , có 11 số hạng. 4m 3k 10 m 4;k 2 Ta lại có : 20 3k 30 4m . 0 m 10 m 7;k 6 0 k 20 m 10;k 10 Vậy khai triển có 21 11 3 29 số hạng. Câu 91: Một hội nghị gồm 6 đại biểu nước A, 7 đại biểu nước B và 7 đại biểu nước C trong mỗi nước có hai đại biểu là nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đại biểu, xác suất chọn được 4 đại biểu để mỗi nước có ít nhất một đại biểu và có cả đại biểu nam và đại biểu nữ bằng 46 3844 49 1937 A. .B. .C. .D. . 95 4845 95 4845 Lời giải Chọn D 4 Số phần tử không gian mẫu là n  C20 4845 . Gọi X là biến cố: “Chọn ra 4 đại biểu sao cho mỗi nước đều có ít nhất một đại biếu”. Gọi A là biến cố: “Chọn ra 4 đại biểu sao cho mỗi nước đều có ít nhất một đại biếu và có cả đại biểu nam và đại biểu nữ”.
27. Gọi B là biến cố: “Chọn ra 4 đại biểu sao cho mỗi nước đều có ít nhất một đại biếu và cả 4 đại biều hoặc toàn nam hoặc toàn nữ”. Ta có: 2 1 1 1 2 1 1 1 2 n X C6 C7C7 C6C7 C7 C6C7C7 2499 . 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 n B C4 C5C5 C4C5 C5 C4C5C5 C2 C2C2 C2C2 C2 C2C2C2 562 . n X n A n B n A n X n B 2499 562 1937 . n A 1937 Vậy P A . n  4845 Câu 92: Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ kháC. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn. A. 816 .B. . 1C.8 . D.8 .! 604 HẾT ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A C A D B C D B D D C C C D D B B A D B A D B C B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C A A D B B A B B A D C B A D A D A C C C B B C A Hướng dẫn giải Câu 93: Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ kháC. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn. A. 816 .B. 18. C. 8!.D. 604 . Hướng dẫn giải Chọn A TH1: Chỉ có một cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, khi đó buộc các bà vợ phải ngồi cùng một bên, các ông chồng ngồi cùng một bên so với cặp vợ chồng đó. 1 có 2.3!.3! .A4 288 (cách xếp). 2 TH2: Có đúng hai cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có 2.A4 .2.6 288 (cách xếp). 3 TH3: Có đúng ba cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có 2.A4 .2.2 192 (cách xếp). 4 TH4: Tất cả 4 cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có 2.A4 48 (cách xếp). Vậy có tất cả là 288 288 192 48 816 (cách xếp) thỏa yêu cầu đề bài. HẾT