Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cĩ 11 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 11, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng 9 3 2 8 A. .B. .C. .D. . 11 11 11 11 Lời giải Chọn D 2 Số cách chọn hai thẻ tùy ý: n  C11 55 . Gọi A là biến cố rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn. Số cách chọn được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn là 2 n A 5.6 C5 40 n A 40 8 Xác suất cần tìm: P A . n  55 11 Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Lớp 11A cĩ 44 học sinh trong đĩ cĩ 14 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học loại giỏi và 15 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Vật lý loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học hoặc Vật lý loại giỏi cĩ xác suất là 0,5. Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai mơn Hĩa học và Vật lý là A. 8 .B. 7 . C. 9 .D. 6 . Lời giải Chọn B Chọn một học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học hoặc mơn Vật lý loại giỏi thì học sinh đĩ cĩ thể chỉ giỏi một mơn Hĩa học, Vật lý hoặc cĩ thể giỏi cả hai mơn. Số học sinh giỏi ít nhất một mơn là 0,5.44 22. Gọi x ; y ; z lần lượt là số học sinh giỏi mơn Hĩa học; Vật lý; giỏi cả hai mơn. x z 14 x 7 Ta cĩ hệ phương trình y z 15 y 8 . x y z 22 z 7 Vậy số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai mơn Hĩa học và Vật lý là 7 . Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Lớp 11A cĩ 40 học sinh trong đĩ cĩ 12 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học loại giỏi và 13 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học hoặc Vật lí loại giỏi cĩ xác suất là 0,5. Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai mơn Hĩa học và Vật lí là A. 6 .B. 5 .C. 4 . D. 7 . Lời giải Chọn B Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi mơn Hĩa học”. B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi mơn Vật lí”. AC a 3 A B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết mơn Hĩa học hoặc Vật lí loại giỏi”. A B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai mơn Hĩa học và Vật lí”. Ta cĩ: n A B 0,5.40 20 .
2. Mặt khác: n A B n A n B n A.B n A.B n A n B n A B 12 13 20 5 . Câu 4: (THPT Lê Quý Đơn-Hà Nội năm 2017-2018) Lập các số tự nhiên cĩ 7 chữ số từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 . Tính xác suất để số lập được thỏa mãn: các chữ số 1 ; 2 ; 3 cĩ mặt hai lần, chữ số 4 cĩ mặt 1 lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải). 9 3 3 9 A. .B. .C. . D. . 8192 4096 2048 4096 Lời giải Chọn A Ta cĩ: n  47 2 +) Chọn 2 trong 4 vị trí lẻ cho số 1 cĩ C4 cách, 2 vị trí cịn lại cho số 3 : +) Chọn 1 trong 3 vị trí chẵn cho số 4 cĩ 3 cách. +) 2 vị trí cịn lại cho số 2 . C 2.3 9 Vậy P 4 . 47 8192 Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành cĩ 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S . Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là 1 1 1 3 A. .B. . C. .D. . 341 385 261 899 Lời giải Chọn D Số phần tử của khơng gian mẫu là số cách chọn 4 đỉnh trong 32 đỉnh để tạo thành tứ giác, 4  C32 . Gọi A là biến cố "chọn được hình chữ nhật". Để chọn được hình chữ nhật cần chọn 2 trong 16 đường chéo đi qua tâm của đa giác, do đĩ số 2 phần tử của A là C16 . 2 C16 3 Xác suất biến cố A là P A 4 . C32 899 Câu 6: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Đội học sinh giỏi trường THPT Lý Thái Tổ gồm cĩ 8 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh được chọn cĩ đủ 3 khối là 71128 35582 71131 143 A. .B. . C. . D. . 75582 3791 75582 153 Lời giải Chọn A 8 Ta cĩ: n  C19 75582 Gọi A là biến cố: “8 em học sinh được chọn khơng đủ 3 khối” TH1: Xét 8 học sinh được chọn chỉ trong một khối cĩ: 1 (cách). 8 8 8 TH2: Xét 8 học sinh được chọn nằm trong hai khối cĩ: (C14 1) C11 (C13 1) 4453 (cách). n A 1 4453 4454 .
3. 4454 71128 Vậy xác suất để trong 8 học sinh được chọn cĩ đủ 3 khối là 1 P A 1 . 75582 75582 Câu 7: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Số hạng khơng chứa x trong khai triển 2n 3 3 2 2x với x 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2n An 1 là 3 x 12 4 12 0 16 12 4 12 16 0 A. C16 .2 .3 .B. C16.2 .C. C16 .2 .3 .D. C16 .2 . Lời giải Chọn C Với điều kiện n 3, n ¥ , ta cĩ n n 1 n 2 C3 2n A2 2n n 1 n n 1 n 2 12 6 n 1 n n 1 3! 2 n 1(loại) n 9n 8 0 . n 8(thỏa) 16 3 Với n 8 , ta cĩ số hạng thứ k 1 trong khai triển 2x là 3 x k 4 16 k k 16 k 3 k 16 k k 3 C16 2x C16 2 3 x . 3 x 4 Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 16 k 0 k 12 . 3 12 4 12 Do đĩ số hạng khơng chứa x trong khai triển là C16 .2 .3 . Câu 8: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để sin2 x cos2 x cos2 x a bất phương trình 4 5 m.7 cĩ nghiệm là m ; với a , b là các số nguyên b a dương và tối giản. Tổng S a b là b A. S 13.B. S 15 .C. S 9 .D. S 11. Lời giải Chọn A cos2 x cos2 x sin2 x cos2 x cos2 x 1 5 Ta cĩ: 4 5 m.7 4. m . 28 7 cos2 x 1 1 cos2 x cos2 x 1 5 28 28 4 5 Xét f x 4. với x ¡ . Do nên f x hay cos2 x 28 7 5 5 28 7 7 7 6 f x . Dấu đẳng thức xảy ra khi cos2 x 1 sin x 0 x k . 7 6 6 Vậy min f x . Bất phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi m min f x m hay ¡ 7 ¡ 7 6 m ; S 13 . 7
4. Câu 9: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Một nhĩm 10 học sinh gồm 6 nam trong đĩ cĩ Quang, và 4 nữ trong đĩ cĩ Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau cĩ đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang khơng ngồi cạnh Huyền là 109 1 1 109 A. .B. .C. .D. . 30240 280 5040 60480 Lời giải Chọn B Ta cĩ: n  10!. Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10. Để cĩ cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ cĩ đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1, 4 , 7 , 10. Cĩ tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là 6!.4! cách. Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì cĩ 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì cĩ 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Do đĩ, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2 2.2 6 . Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5!. Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau cĩ đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang khơng ngồi cạnh Huyền”. n A 12960 1 n A 4!.6! 6.3!.5! 12960 P A . n  10! 280 1 Vậy xác suất cần tìm là . 280 Câu 10: (THPT Kinh Mơn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai 11 1 triển thành đa thức của x x 4 , với x 0 . x A. 525 .B. 485 .C. 165. D. 238 . Lời giải Chọn C 11 11 3k 11 11k 88 1 4 11 k k Với x 0 , ta cĩ: x x C k .x 2 .x C .x 2 . 4  11  11 x k 0 k 0 Số hạng khơng chứa x trong khai triển ứng với: k 8. 8 Vậy số hạng cần tìm là C11 165 . Câu 11: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương 2 1 trình Ax Ax 3 là A. 1 .B. 3 . C. 1;3. D. 1 . Lời giải Chọn B x ¥ Điều kiện: . x 2
5. 2 1 x! x! 2 x 1 Ax Ax 3 3 x x 1 x 3 x 2x 3 0 . x 2 ! x 1 ! x 3 Kết hợp với điều kiện ta cĩ tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình là 3 . Câu 12: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n n 1 n 2 8 3 2 Cn Cn 78 , số hạng chứa x trong khai triển x là x A. 101376x8 .B. 101376 . C. 112640 . D. 101376x8 . Lời giải Chọn A n! n! n 1 n Ta cĩ: C n 1 C n 2 78 78 n 78 n n n 1 !.1! n 2 !.2! 2 2 n 12 n n 156 0 n 12 (vì n là số nguyên dương). n 13 12 k 3 2 k k 3 12 k 2 k k k 36 4k Số hạng tổng quát trong khai triển x là 1 C12 x 1 C12.2 .x . x x Cho 36 4k 8 k 7 . 12 8 3 2 7 7 8 8 Vậy số hạng chứa x trong khai triển x là C12.2 .x 101376x . x Câu 13: (THPT Lê Quý Đơn-Hải Phịng lần 1 năm 2017-2018) Tổng 1 2 2 3 3 4 2016 2017 S 2.3C2017 3.3 C2017 4.3 C2017  2017.3 C2017 bằng 2017 A. 42016 1.B. 32016 1.C. 32016 .D. 42016 . Lời giải Chọn A 2017 0 1 2 2 3 3 4 4 2017 2017 Xét khai triển: P x 1 x C2017 C2017 x C2017 x C2017 x C2017 x  C2017 x . Lấy đạo hàm hai vế ta được: 2016 1 2 3 2 4 3 2017 2016 2017 1 x C2017 2C2017 x 3C2017 x 4C2017 x  2017C2017 x . Cho x 3 ta được: 2016 1 2 2 3 3 4 2016 2017 2017.4 C2017 2.3C2017 3.3 C2017 4.3 C2017  2017.3 C2017 . 2016 1 2 2 3 3 4 2016 2017 2017.4 C2017 2.3C2017 3.3 C2017 4.3 C2017  2017.3 C2017 . 1 2016 1 2 2 3 3 4 2016 2017 2017.4 2017 2.3C2017 3.3 C2017 4.3 C2017  2017.3 C2017 . 2017 2017 42016 1 S . Câu 14: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 4 chữ số được lập từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 6 . 4 9 1 4 A. .B. .C. .D. . 27 28 9 9 Lời giải Chọn A
6. Số phần tử khơng gian mẫu là n  94 . Gọi A : “ số chia hết cho 6 ”. Giả sử dang của mỗi số cần tìm là abcd . Chọn d 2;4;6;8 cĩ 4 cách. Chọn a ,b cĩ 92 cách. Để chọn c ta xét tổng S a b d : Nếu S chia cho 3 dư 0 thì c 3;6;9 suy ra cĩ 3 cách. Nếu S chia cho 3 dư 1 thì c 2;5;8 suy ra cĩ 3 cách. Nếu S chia cho 3 dư 2 thì c 1;4;7 suy ra cĩ 3 cách. 972 4 Do đĩ n A 4.92.3 972 . Vậy P A . 94 27 Câu 15: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x xác định 1 trên ¡ \ 1;1 và thỏa mãn f x . Biết rằng f 3 f 3 0 . Tính x2 1 T f 2 f 0 f 4 . 1 1 1 1 A. T ln 5 ln 3 .B. T ln 3 ln 5 2 .C. T ln 5 ln 3 1.D. T ln 5 ln 3 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta cĩ: 1 1 1 1 f x f x d x 2 d x d x x 1 2 x 1 x 1 1 1 1 1 x 1 d x d x ln C . 2 x 1 x 1 2 x 1 Do đĩ: 1 1 1 f 3 f 3 0 ln 2 C ln C 0 C 0 . 2 2 2 1 x 1 Như vậy: f x ln . 2 x 1 1 2 1 1 f 2 ln ln 3; 2 2 1 2 1 0 1 f 0 ln 0 ; 2 0 1 1 4 1 1 f 4 ln ln 5 ln 3 . 2 4 1 2 1 1 1 Từ đĩ: T f 2 f 0 f 4 ln 3 0 ln 5 ln 3 ln 5 ln 3 . 2 2 2 Câu 16: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng cĩ ít nhất hai phần quà là A. 28 .B. 36 .C. 56 .D. 72 . Lời giải Chọn A + Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà cịn lại là 9 phần quà. + Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng cĩ ít nhất một phần quà:
7. Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ cĩ 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống trong 8 khoảng trống đĩ để chia 9 phần quà cịn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần cĩ ít 2 2 nhất một phần quà, cĩ C8 . Vậy tất cả cĩ C8 28 cách chia. Câu 17: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi động viên cịn lại. Cho biết cĩ 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên chơi nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 84. Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi? A. 168.B. 156.C. 132.D. 182. Lời giải Chọn D Gọi số vận động viên nam là n . 2 Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là 2.Cn n n 1 . Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là 2.2.n 4n . Vậy ta cĩ n n 1 4n 84 n 12 . 2 Vậy số ván các vận động viên chơi là 2C14 182 . Câu 18: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tìm hệ số của x5 trong khai triển P x x 1 2x 5 x2 1 3x 10 . A. 3240 .B. 3320 .C. 80 .D. 259200 . Lời giải Chọn B k k 2 m m k k k 1 m m m 2 Khải triển P x cĩ số hạng tổng quát xC5 2x x C10 3x 2 C5 x 3 C10 x ( k ¥ , k 5, m ¥ , m 10 ) k 1 5 k 4 Hệ số của x5 ứng với k , m thỏa hệ . m 2 5 m 3 4 4 3 3 Vậy hệ số cần tìm là 2 C5 3 C10 3320 . Câu 19: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tập A gồm n phần tử n 0 . Hỏi A cĩ bao nhiêu tập con? 2 2 n n A. An . B. Cn .C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C k Số tập con gồm k phần tử của tập A là Cn (với 0 k n , k ¢ ). 0 1 2 k n n n Số tất cả các tập con của tập A là Cn Cn Cn  Cn  Cn 1 1 2 . Câu 20: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x7 6 trong khai triển x2 3x 2 bằng
8. A. 6432 .B. 4032 .C. 1632 . D. 5418 . Lời giải Chọn D 6 6 Cách 1. Ta cĩ x2 3x 2 x2 3x 2 6 k k 6 k Số hạng tổng quát trong khai triển x 1 là C6 .x 1 với k 0;1;2 ;6 . 6 i i 6 i Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 là C6.x 2 với i 0;1;2 ;6 . 2 6 6 6 k k 6 k i i 6 i Số hạng tổng quát trong khai triển x 3x 2 x 1 x 2 là C6 x 1 .C6 x 2 k i i k 12 i k 6 i C6 C6 x 1 . 2 Số hạng chứa x7 ứng với i k 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 6 1 5 5 i 1 k 6 hệ số là C6 C6 1 . 2 192 5 2 5 4 i 2 k 5 hệ số là C6 C6 1 . 2 1440 4 3 5 3 i 3 k 4 hệ số là C6 C6 1 . 2 2400 3 4 5 2 i 4 k 3 hệ số là C6 C6 1 . 2 1200 2 5 5 1 i 5 k 2 hệ số là C6 C6 1 . 2 180 1 6 5 0 i 6 k 1 hệ số là C6C6 1 . 2 6 6 Vậy hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển x2 3x 2 bằng 5418 6 6 Cách 2. Ta cĩ x2 3x 2 x2 3x 2 k 2 6 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6 . x 3x 2 với k 0;1;2 ;6 . k i k i i Số hạng tổng quát trong khai triển 3x 2 là Ck .2 3x với 0 i k . 2 6 k 2 6 k i k i i Số hạng tổng quát trong khai triển x 3x 2 là C6 . x Ck .2 3x k i k i i 12 2k i C6 Ck .2 3 . x Số hạng chứa x7 ứng với 12 2k i 7 2k i 5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 3 1 2 1 k 3 i 1 hệ số là C6 C3 2 3 720 4 3 3 1 k 4 i 3 hệ số là C6 C4 3 . 2 3240 5 5 0 5 k 5 i 5 hệ số là C6 C5 2 . 3 1458 6 Vậy hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển x2 3x 2 bằng 5418 . Câu 21: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho số nguyên dương n thỏa 1 2 n mãn 2Cn 3Cn n 1 Cn 2621439 . Số hạng khơng chứa x trong khai triển của biểu n 2 1 thức x bằng x A. 43758 .B. 31824 .C. 18564.D. 1. Lời giải Chọn C
9. Ta cĩ: n 0 1 2 2 3 n n 1 x 1 x Cn x Cn x Cn x Cn x . Lấy đạo hàm hai vế ta được: n n 1 0 1 2 2 n n x 1 nx x 1 Cn 2Cn x 3Cn x n 1 Cn x . Cho x 1, ta cĩ 0 1 2 n n n 1 n 1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn 2 n2 2 2 n . 2621440 2n 1 2 n 1 2621439 2n 1 2 n 2621440 2n .2 . (*) 2 n 2621440 Xét f n 2n là hàm số đồng biến trên 0; và g n 2. là hàm số nghịch biến 2 n trên 0; . Ta cĩ f 18 g 18 n 18 là nghiệm duy nhất của (*). 18 2 1 k 36 3k Khi đĩ số hạng tổng quát của khai triển x là C18 x với k ¢ , 0 k 18. x 12 Vậy số hạng khơng chứa x là C18 18564 . Câu 22: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 10 1 x x2 x3 . A. 582 .B. 1902. C. 7752 . D. 252 . Lời giải Chọn B 10 10 10 10 10 10 2 3 2 10 k 2k i i k i 2k i Ta cĩ: 1 x x x 1 x 1 x C10.x .C10.x C10.C10.x k 0 i 0 k 0 i 0 Hệ số của số hạng chứa x5 nên 2k i 5 . 5 0 5 Trường hợp 1: k 0 , i 5 nên hệ số chứa x là C10.C10 . 5 1 3 Trường hợp 2: k 1, i 3 nên hệ số chứa x là C10.C10 . 5 2 1 Trường hợp 3: k 2 , i 1 nên hệ số chứa x là C10.C10 . 5 0 5 1 3 2 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x là C10.C10 C10.C10 C10.C10 1902 . Câu 23: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ tám chữ số trong đĩ cĩ ba chữ số 0 , khơng cĩ hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 .B. 846000 .C. 907200 .D. 151200. Lời giải Chọn D Cách 1: Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự cĩ 5 A9 cách. Để hai chữ số 0 khơng đứng cạnh nhau ta cĩ 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 khơng thể xếp ở đầu nên cịn 5 vị trí để xếp số 0 . 3 Khi đĩ xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên cĩ C5 cách. 5 3 Vậy cĩ A9 C5 151200 số cần tìm.
10. Cách 2: Gọi số cần tìm cĩ dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 +) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luơn cĩ ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0 , sau đĩ thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. 3 Suy ra số cách chọn là C5 10. 5 +) Chọn các số cịn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9 , cĩ A9 cách chọn. 5 Vậy cĩ tất cả 10.A9 151200 số cần tìm. Câu 24: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cĩ 10 quyển sách tốn giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hĩa giống nhau. Cĩ bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh cĩ kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại? 7 3 6 4 3 4 2 A. C15C9 .B. C15C9 .C. C15C9 . D. C30 . Lời giải Chọn B Cĩ duy nhất một cách chia 30 quyển sách thành 15 bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đĩ cĩ: + 4 bộ giống nhau gồm 1 tốn và 1 hĩa. + 5 bộ giống nhau gồm 1 hĩa và 1 lí. + 6 bộ giống nhau gồm 1 lí và tốn. Số cách trao phần thưởng cho 15 học sinh được tính như sau: 4 + Chọn ra 4 người (trong 15người) để trao bộ sách tốn và hĩa cĩ C15 cách. 5 + Chọn ra 5 người (trong 11 người cịn lại) để trao bộ sách hĩa và lí cĩ C11 cách. + Cịn lại 6 người trao bộ sách tốn và lí cĩ 1 cách. 4 5 6 4 Vậy số cách trao phần thưởng là C15.C11 C15.C9 630630 (cách). Câu 25: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Kết quả b; c của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đĩ b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2 bx c 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đĩ vơ nghiệm? 7 23 17 5 A. .B. .C. . D. . 12 36 36 36 Lời giải Chọn C Để phương trình x2 bx c 0 vơ nghiệm thì: b2 4c 0 . Gọi  là khơng gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp một con súc sắc cân đối.  6.6 36 Gọi A là biến cố của phép thử để kết quả b;c trong đĩ b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai thỏa mãn b2 4c 0 Trường hợp 1: b 1 c 1;2;3;4;5;6 Trường hợp 2: b 2 c 2;3;4;5;6 Trường hợp 3: b 3 c 3;4;5;6
11. Trường hợp 4: b 4 c 5;6  A 17  17 Vậy xác suất để phương trình bậc hai vơ nghiệm là P A . A  36 Câu 26: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Tập S gồm các số tự nhiên cĩ 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số được chọn khơng cĩ hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 11 29 13 97 A. .B. .C. .D. . 70 140 80 560 Lời giải Chọn D 5 Số phần tử của S là 8.A8 53760 . Do đĩ, chọn ngẫu nhiên một số từ tập S cĩ 53760 (cách). Vì số được chọn cĩ 6 chữ số nên ít nhất phải cĩ hai chữ số chẵn, và vì khơng cĩ hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn cĩ tối đa 3 chữ số chẵn. TH1: Số được chọn cĩ đúng 2 chữ số chẵn, khi đĩ gọi số cần tìm là abcdef Xếp 4 số lẻ trước ta cĩ 4! cách. lẻ lẻ lẻ lẻ 2 2 1 Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống của các số lẻ cĩ C5 .A5 4.C4 cách. 2 2 1 Trong trường hợp này cĩ 4! C5 .A5 4.C4 4416 (số). TH2: Số được chọn cĩ đúng 3 chữ số chẵn, khi đĩ gọi số cần tìm là abcdef 3 Xếp 3 chữ số lẻ trước ta cĩ A4 cách. lẻ lẻ lẻ 3 3 2 2 Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống của các số lẻ cĩ C4 .A5 C3 .A4 cách. 3 3 3 2 2 Trong trường hợp này cĩ A4 . C4 .A5 C3 .A4 4896 (số). Vậy cĩ tất cả 9312 số cĩ 6 chữ số sao cho khơng cĩ hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau. 9312 97 Xác suất cần tìm là . 53760 560 Câu 27: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển n 1 5 n 1 n 3 x ; x 0 biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 là x A. 1303.B. 313 .C. 495 .D. 13129. Lời giải Chọn C Điều kiện: n ¥ Ta cĩ n 4 ! n 3 ! C n 1 C n 7 n 3 7 n 3 n 4 n 3 n 1 !3! n!3! n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 7 n 3 6 6 3n 36 n 12 .
12. Xét khai triển 12 k 1 12 1 12 k x5 C k x5 0 k 12,k ¥ 3  12 3 x k 0 x 12 60 11k k 2 C12 x . k 0 60 11k Để số hạng chứa x8 thì 8 k 4 . 2 8 4 Vậy hệ số chứa x trong khai triển trên là C12 495 . Câu 28: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024. A. n 10 .B. n 5.C. n 9 .D. n 11. Lời giải Chọn B Ta cĩ 2n 1 2n 1 0 1 2n 1 2 1 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2n 1 0 1 2n 1 0 1 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1 3 2n 1 2n 1 1 3 2n 1 2n Suy ra 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 Do đĩ 22n 2024 22n 210 n 5 . Câu 29: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong một lớp cĩ n học sinh gồm ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng n 3 học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Hà bằng trung bình 13 cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh là . Khi đĩ n thỏa mãn 675 A. n 35;39.B. n 40;45.C. n 30;34 .D. n 25;29. Lời giải Chọn D Số cách xếp n học sinh vào n ghế là n!, do đĩ n  n! Gọi A là biến cố xếp các bạn học sinh sao cho số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh. * Nếu n là số lẻ: n 1 2 Chọn ba số trong n số để ba số đĩ lập thành cấp số cộng: cĩ n 2 n 4 1 . 4 Xếp ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh vào ba ghế cĩ ba số đã chọn thỏa bài tốn: cĩ 2 cách. Xếp n 3 bạn cịn lại vào ghế: cĩ n 3 ! cách. 2 2. n 1 . n 3 ! n 1 Do đĩ số phần tử của A là n A . 4n! 2n n 2 n 1 13 n ¥ Theo đề ta cĩ n 27 2n n 2 675 * Nếu n là số chẵn:
13. n n 2 Chọn ba số trong n số để ba số đĩ lập thành cấp số cộng: cĩ n 2 n 4 2 . 4 Xếp ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh vào ba ghế cĩ ba số đã chọn thỏa bài tốn: cĩ 2 cách. Xếp n 3 bạn cịn lại vào ghế: cĩ n 3 ! cách. 2.n n 2 . n 3 ! 1 Do đĩ số phần tử của A là n A . 4n! 2 n 1 1 13 Theo đề ta cĩ (vơ nghiệm trên ¥ ). 2 n 1 675 Vậy lớp cĩ 27 học sinh. Câu 30: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau trong đĩ hai chữ số 0 và 5 khơng đứng cạnh nhau. A. 384 .B. 120.C. 216 .D. 600 . Lời giải Chọn A Số các số cĩ 6 chữ số được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 là 6! 5!. Số các số cĩ chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5! 4!. Số các số cĩ chữ số 0 và 5 khơng đúng cạnh nhau là 6! 5! 2.5! 4! 384 . Câu 31: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn n n 6 2 4 2 3 Cn 4 nAn 454 , hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x ( x với x 0 ) bằng A. 1972.B. 786 .C. 1692.D. 1792 . Lời giải Chọn D Điều kiện n 6 và n ¥ . n 4 ! n! n 5 n 4 C n 6 nA2 454 n 454 n2 n 1 454 n 4 n n 6 !2! n 2 ! 2 2n3 n2 9n 888 0 n 8 (Vì n ¥ ). 8 2 3 Khi đĩ ta cĩ khai triển: x . x 8 k k 2 3 k k k 8 k 4k 8 Số hạng tổng quát của khai triển là C8 x C8 1 2 x . x Hệ số của số hạng chứa x4 ứng với k thỏa mãn: 4k 8 4 k 3 . 4 3 3 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x là C8 1 2 1792 . Câu 32: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Với hình vuơng A1B1C1D1 như hình vẽ bên, cách tơ màu như phần gạch sọc được gọi là cách tơ màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tơ màu cho một hình vuơng như hình bên, theo quy trình sau:
14. A1 B1 A2 B2 C2 D2 D1 C1 Bước 1: Tơ màu “đẹp” cho hình vuơng A1B1C1D1 . Bước 2: Tơ màu “đẹp” cho hình vuơng A2 B2C2 D2 là hình vuơng ở chính giữa khi chia hình vuơng A1B1C1D1 thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ. Bước 3: Tơ màu “đẹp” cho hình vuơng A3B3C3D3 là hình vuơng ở chính giữa khi chia hình vuơng A2 B2C2 D2 thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tơ màu chiếm 49,99% . A. 9 bước.B. 4 bước.C. 8 bước.D. 7 bước. Lời giải Chọn B * Gọi diện tích được tơ màu ở mỗi bước là un , n ¥ . Dễ thấy dãy các giá trị un là một cấp số 4 1 nhân với số hạng đầu u và cơng bội q . 1 9 9 k u1 q 1 Gọi S là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì S . k k q 1 k u1 q 1 Để tổng diện tích phần được tơ màu chiếm 49,99% thì 0,4999 k 3,8 . q 1 Vậy cần ít nhất 4 bước. Câu 33: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đĩ P bằng 16 1 2 10 A. .B. .C. .D. . 33 2 11 33 Lời giải Chọn A Ta cĩ n C 4 330 . Gọi A : “tổng số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ”.  11 Từ 1 đến 11 cĩ 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để cĩ tổng của 4 số là một số lẻ ta cĩ 2 trường hợp. 1 3 Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn cĩ: C6.C5 60 cách. 3 1 Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn cĩ: C6 .C5 100 cách. 160 16 Do đĩ n A 60 100 160 . Vậy P A . 330 33 Câu 34: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng khi khai triển nhị thức Newton
15. n 1 1 n n 1 1 x a0 x a1 x 2 4 x 4 x thì a0 , a1 , a2 lập thành cấp số cộng. Hỏi trong khai triển cĩ bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên. A. 1. B. 2 .C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C 1 n 1 n n 1 a 1; a C1 ; a C 2 0 1 2 n 2 2 4 n 8 n n 1 n Do a , a , a lập thành cấp số cộng 1 2. n 8 0 1 2 8 2 8 k k 1 1 16 3k k 2 1 4 1 k 4 Khi đĩ sống hạng tổng quát của khai triển cĩ dạng: C8 x . k x k C8 x 2 2 Để số mũ là số nguyên thì 16 3k chia hết cho 4 với 0 k 8 k 0;4;8 Câu 35: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phịng-lần 2 năm 2017-2018) Tổng của tất cả các số tự nhiên n 1 1 7 thỏa mãn 1 2 1 là Cn Cn 1 6Cn 4 A. 13.B. 11. C. 10. D. 12. Lời giải Chọn B Điều kiện: n 1, n N . 1 1 7 1 1 7 1 2 7 1 2 1 n! Cn Cn 1 6Cn 4 n 1 ! 6. n 4 ! n n n 1 6. n 4 n 1 !.1! n 1 !.2! n 3 !.1! 2 n 3 n 11n 24 0 . n 8 1 1 7 Vậy: Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1 2 1 là 3 8 11. Cn Cn 1 6Cn 4 2 n 1 Câu 36: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn An Cn 1 54, n 20 5 2 hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x 3 bằng? x A. 25342x20 .B. 25344 .C. 25344x20 .D. 25342 . Lời giải Chọn B n! n 1 ! Ta cĩ A2 C n 1 54 54 n n 1 n 2 ! n 1 n 1 !. n 1 ! 1 n n 1 n n 1 54 2 n2 n n2 n 108 n2 3n 108 n 12 2 n 12 12 2 12 12 k k x5 x5 2x 3 C k x5 . 2x 3 C k .2k x60 8k . 3  12  12 x k 0 k 0 5 5 Xét 60 8k 20 k 5 hệ số cần tìm là C12.2 25344 .
16. Câu 37: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Một đề thi mơn Tốn cĩ 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu hỏi cĩ 4 phương án trả lời, trong đĩ cĩ đúng một phương án là đáp án. Học sinh chọn đúng đáp án được 0,2 điểm, chọn sai đáp án khơng được điểm. Một học sinh làm đề thi đĩ, chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời của tất cả 50 câu hỏi, xác suất để học sinh đĩ được 5,0 điểm bằng 25 1 25 25 1 25 1 A50 . A3 1 C50 . C3 A. .B. .C. .D. . 2 1 50 16 1 50 A4 C4 Lời giải Chọn D 1 50 Số phần tử khơng gian mẫu: n  C4 . Gọi A là biến cố học sinh chỉ chọn đúng đáp án của 25 câu hỏi. 25 C 25. C1 25 1 25 n A 50 3 Khi đĩ n A C50 . C3 do đĩ xác suất P A 50 . n  1 C4 Câu 38: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho khai triển 2 9 18 17 16 3 2x x a0 x a1x a2 x a18. Giá trị a15 bằng A. 218700 .B. 489888 .C. 804816 .D. 174960 . Lời giải Chọn C 9 2 9 k 18 2k k Ta cĩ: 3 2x x C9 .x . 3 2x k 0 9 k 9 k k 18 2k i k i i k i i k i 18 2k i C9 .x Ck .3 2x C9 .Ck 2 3 x 0 i k 9 k 0 i 0 k o i 0 3 Giá trị a15 ứng hệ số của số hạng chứa x , do đĩ cần cĩ 18 2k i 3 i 1 i 3 hoặc (nhận). k 8 k 9 8 1 7 1 9 3 6 3 Vậy: a15 C9 .C8.3 . 2 C9 .C9 .3 . 2 804816.  Chú ý: Từ i 2k 15 , ta lập bảng cho i 0;1;2; ;9 và chú ý 0 i k 9 cũng nhận được 2 nghiệm trên. Câu 39: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên cĩ 5 chữ số đơi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đĩ chia hết cho 5 . 11 53 2 17 A. P .B. P .C. P .D. P . 27 243 9 81 Lời giải Chọn D 4 A là tập hợp các số tự nhiên cĩ 5 chữ số đơi một khác nhau n A 9.A9 27216 Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A cĩ 27216 cách chọn n  27216 Gọi B là biến cố “Chọn được một số thuộc A và số đĩ chia hết cho 5 ” Gọi số chia hết cho 5 thuộc tập A là a1a2a3a4a5
17. Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0 4 Cĩ A9 cách chọn 4 chữ số cịn lại. Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5 Chọn chữ số a1 cĩ 8 cách n B 17 Chọn P chữ số cịn lại cĩ A3 n  81 8 4 3 n B A9 8.A8 5712 . n B 17 Vậy P . n  81 Câu 40: (THPT Hồng Bàng – Hải Phịng – năm 2017 – 2018) Tìm hệ số của x5 trong khai triển 2n 3 2 1 3x biết An 2An 100 . A. 61236 .B. 63216 .C. 61326 .D. 66321. Lời giải Chọn A n! n! Ta cĩ: A3 2A2 100 2 100 n n 1 n 2 2n n 1 100 n n n 3 ! n 2 ! n3 n2 100 0 n 5 . 10 2n 10 k k Ta cĩ: 1 3x 1 3x C10 3x . k 0 5 5 5 Hệ số x sẽ là C10 3 61236 . 1 3 Câu 41: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 13n , hệ số n 5 2 1 của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 bằng. x A. 120.B. 252 .C. 45 .D. 210 . Lời giải Chọn A n! n n 1 n 2 Ta cĩ C1 C3 13n n 13n n 13n 6 n2 3n 2 78 n n 3! n 3 ! 6 2 n 7 n 3n 70 0 . Vì n là số nguyên dương nên n 10 . n 10 10 2 1 Ta cĩ khai triển x 3 . x k k 2 10 k 1 k 20 5k Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1 C10 x . 3 C10 x . x 5 3 Số hạng chứa x ứng với 20 5k 5 k 3. Vậy hệ số của số hạng chứa C10 120 . Câu 42: (Chuyên ĐB Sơng Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cĩ bao nhiêu số dương n sao cho 0 0 0 1 1 1 n 1 n 1 n S 2 C1 C2 Cn C1 C2 Cn Cn 1 Cn Cn là một số cĩ 1000 chữ số? A. 2 .B. 3 .C. 0 .D. 1.
18. Lời giải Chọn B 0 0 0 1 1 1 n 1 n 1 n S 2 C1 C2 Cn C1 C2 Cn Cn 1 Cn Cn 0 1 0 1 2 0 1 n 1 0 1 n 2 C1 C1 C2 C2 C2 Cn 1 Cn 1 Cn 1 Cn Cn Cn 2 2 1 1 2 1 1 n 1 1 1 n 2n 1 2 21 22 2n 2 2. S 2n 1 . 2 1 S là một số cĩ 1000 chữ số 10999 S 101000 10999 2n 1 101000 999log2 10 1 n 1000log2 10 1 Do n ¥ nên n 3318;3319;3320. Vậy cĩ 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Câu 43: (Chuyên ĐB Sơng Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Trước kỳ thi học kỳ 2 của lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Tốn lớp FIVE A giao cho học sinh đề cương ơn tập gồm cĩ 2n bài tốn, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kỳ của lớp FIVE A sẽ gồm 3 bài tốn được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài tốn đĩ. Một học sinh muốn khơng phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài tốn đĩ. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa cịn lại học sinh đĩ khơng thể giải được. Tính xác suất để TWO khơng phải thi lại. 1 1 2 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 4 Lời giải Chọn A 3 Số cách chọn ngẫu nhiên 3 bài tốn trong số 2n bài tốn đĩ là C2n . Học sinh TWO giải được n bài tốn và khơng giải được n bài tốn. Để TWO khơng phải thi lại thì cĩ các trường hợp sau: 3 TH1: 3 bài tốn được chọn trong n bài tốn TWO giải được. Số cách là Cn . TH2: 3 bài tốn được chọn cĩ 2 trong n bài tốn TWO giải được và 1 trong n bài tốn TWO 2 1 khơng giải được. Số cách là Cn .Cn . 3 1 2 Cn Cn .Cn 1 Do đĩ xác suất để TWO khơng phải thi lại là 3 . C2n 2 Câu 44: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Giả sử cĩ khai triển n 2 n 1 2x a0 a1x a2 x an x . Tìm a5 biết a0 a1 a2 71. A. 672 .B. 672 . C. 627 . D. 627 . Lời giải Chọn A n n k k 1 2 Ta cĩ 1 2x Cn 2x . Vậy a0 1; a1 2Cn ; a2 4Cn . k 0 Theo bài ra a0 a1 a2 71 nên ta cĩ: n! n! 1 2C1 4C 2 71 1 2 4 71 1 2n 2n n 1 71 n n 1! n 1 ! 2! n 2 ! 2n2 4n 70 0 n2 2n 35 0 n 7 (thỏa mãn) hoặc n 5 (loại).
19. 5 5 Từ đĩ ta cĩ a5 C7 2 672 . Câu 45: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cĩ 5 học sinh khơng quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem cĩ 6 quầy phục vụ. Xác suất để cĩ 3 học sinh cùng vào 1 quầy và 2 học sinh cịn lại vào 1 quầy khác là C3.C1.5! C3.C1.C1 C3.C1.C1 C3.C1.5! A. 5 6 .B. 5 6 5 .C. 5 6 5 .D. 5 6 . 56 65 56 65 Lời giải Chọn B Ta cĩ: n  65 . Ký hiệu A: “3 học sinh cùng vào 1 quầy và 2 học sinh cịn lại vào 1 quầy khác”. C3.C1.C1 Khi đĩ n A C3.C1.C1 . Vậy P A 5 6 5 . 5 6 5 65 Câu 46: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố 2045 409 409 409 A. .B. .C. .D. . 13608 90000 3402 11250 Lời giải Chọn D Gọi số cần tìm cĩ dạng abcde 11k Số cách chọn số cĩ 5 chữ số từ tập số tự nhiên là n  9.104 Gọi A là biến cố: chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. Do số cĩ tận cùng là số nguyên tố nên e 2;3;5;7 Suy ra k cĩ tận cùng là 2 ; 3 ;5 ; 7 . Ta cĩ số cần tìm cĩ 5 chữ số nên 10010 11k 99990 910 11k 9090. Xét các bộ số 910;911, 919 ; 920;921; 929 ; 9080;9081 9089 9090 910 Số các bộ số là 818 bộ. 10 mỗi bộ số sẽ cĩ 4 số k thỏa mãn. Do đĩ nA 818.4 3272 3272 409 Xác suất của biến cố là P . A 9.104 11250 Câu 47: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho khai triển n 2 3 n x 3 a0 a1x a2 x a3 x an x , trong đĩ n ¥ và a0 , a1 , a2 , , an là các số thực. Gọi S là tập hợp chứa các số tự nhiên n để a10 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , , an . Tổng giá trị các phần tử của S bằng A. 205 .B. 123.C. 81. D. 83 . Lời giải Chọn A n n k n k k Ta cĩ: x 3 Cn 3 x . k 0
20. k n k k k n k Số hạng tổng quát của khai triển là Tk Cn 3 x . Suy ra hệ số của Tk là ak Cn 3 . Để a10 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , , an thì: 10 n 10 9 n 9 10 9 a10 a9 Cn .3 Cn .3 Cn 3Cn n 39 39 n 43 . a a 10 n 10 11 n 11 10 11 n 43 10 11 Cn .3 Cn .3 3Cn Cn Vậy S 39;40;41;42;43 . Tổng các phần tử của S là T 39 40 41 42 43 205 . Câu 48: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất cĩ ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 13 4 lớn hơn . Giá trị của k bằng 15 A. 9 .B. 8 .C. 7 .D. 6 . Lời giải Chọn C Gọi biến cố A : Lấy k tấm thẻ cĩ ít nhất một tấm thẻ chia hết cho 4 . Với 1 k 10 . Suy ra A : Lấy k tấm thẻ khơng cĩ tấm thẻ nào chia hết cho 4 . k k C8 C8 10 k 9 k Ta cĩ: P A k P A 1 k 1 . C10 C10 90 10 k 9 k 13 Theo đề: 1 k 2 19k 78 0 6 k 13. 90 15 Vậy k 7 là giá trị cần tìm. Câu 49: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành 2n 0 2 4 2n đa thức của 2 3x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 . A. 2099529 .B. 2099520 .C. 1959552 .D. 1959552. Lời giải Chọn D 2n 1 0 2n 1 1 2n 2n 2n 1 Ta cĩ x 1 C2n 1.x C2n 1.x C2n 1.x C2n 1 1 2n 1 0 1 2n 2n 1 Thay x 1 vào 1 : 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 0 1 2n 2n 1 Thay x 1 vào 1 : 0 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 3 2n 1 0 2 2n Phương trình 2 trừ 3 theo vế: 2 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 Theo đề ta cĩ 22n 1 2.1024 n 5 Số hạng tổng quát của khai triển 2 3x 10 : k 10 k k k 10 k k k Tk 1 C10.2 . 3x C10.2 . 3 .x Theo giả thiết ta cĩ k 5 . 5 5 5 Vậy hệ số cần tìm C10.2 . 3 1959552 . Câu 50: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Hai bạn Bình và Lan cùng dự thi trong Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2018 và ở hai phịng thi khác nhau. Mỗi phịng thi cĩ 24 thí sinh, mỗi mơn thi cĩ 24 mã đề khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho thi sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong hai mơn thi Tốn và Tiếng Anh, Bình và Lan cĩ chung đúng một mã đề thi.
21. 32 46 23 23 A. .B. .C. .D. . 235 2209 288 576 Lời giải Chọn C Mỗi mơn thi, Bình và Lan đều cĩ 24 cách chọn một mã đề. Do đĩ, số phần tử của khơng gian mẫu là n  244 . Gọi A là biến cố: “Trong hai mơn thi Tốn và Tiếng Anh, Bình và Lan cĩ chung đúng một mã đề thi”. Ta xét hai trường hợp sau: TH1: Bình và Lan cĩ chung đúng một mã đề thi mơn Tốn, cĩ 24.1.24.23 (cách). TH2: Bình và Lan cĩ chung đúng một mã đề thi mơn Tiếng Anh, cĩ 24.23.24.1 (cách). Suy ra, số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là n A 2. 24.1.24.23 . n A 2. 24.1.24.23 23 Xác suất cần tìm là P A . n  244 288 Câu 51: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho đa thức 2017 2018 2018 2017 P x x 2 3 2x a2018 x a2017 x a1x a0 . Khi đĩ S a2018 a2017 a1 a0 bằng A. 0 .B. 1. C. 2018 .D. 2017 . Lời giải Chọn A 2018 2017 Ta cĩ P x a2018 x a2017 x a1x a0 2017 2018 Cho x 1 P 1 a2018 a2017 a1 a0 1 2 3 2.1 0 . Câu 52: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa 3 2 3 2 n mãn 3Cn 1 3An 52 n 1 . Trong khai triển biểu thức x 2y , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đĩ bằng 34 . Hệ số của Tk là A. 54912 .B. 1287 .C. 2574 .D. 41184 . Lời giải Chọn D Điều kiện : n 2 , n ¥ * . n 1 ! n! Ta cĩ 3C 3 3A2 52 n 1 3. 3 52 n 1 n 1 n 3! n 2 ! n 2 ! n 1 n n 1 3n n 1 52 n 1 n2 n 6n 104 2 2 n 13 n 5n 104 0 n 13 . n 8 13 13 3 2 13 k 3 13 k 2 k k k 39 3k 2k x 2y C13 x 2y C13 2 x y . 0 0 5 5 Ta cĩ : 39 3k 2k 34 k 5 . Vậy hệ số C13 2 41184 .
22. Câu 53: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Gọi S là tập hợp các sơ tự nhiên cĩ 9 chữ số đơi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S . Tính xác suất để số được chọn cĩ đúng bốn chữ số lẻ sao cho số 0 luơn đứng giữa hai chữ số lẻ. 5 5 5 20 A. .B. . C. .D. . 54 648 42 189 Lời giải Chọn A Gọi số cần lập là abcdefghi . Khơng gian mẫu : Tập hợp số cĩ 9 chữ số đơi một khác nhau. Vì a 0 cĩ 9 cách chọn a . bcdefghi khơng cĩ chữ số ở a cĩ 9! cách chọn. Vậy n  9 9!. Biến cố A : Số được chọn cĩ đúng 4 chữ số lẻ sao cho số 0 luơn đứng giữa hai chữ số lẻ. Số 0 luơn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số 0 khơng thể đứng ở a hoặc i . Suy ra cĩ 7 cách sắp xếp chữ số 0 . 2 Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số 0 (cĩ sắp xếp) cĩ A5 cách chọn. 2 2 Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào 2 trong 6 vị trí cịn lại cĩ C3 A6 90 cách chọn. Cịn lại 4 vị trí, chọn từ 4 số chẵn 2;4;6;8 cĩ 4! 24 cách chọn. 2 Vậy n A 7 A5 90 24 302400 cách chọn. n A 302400 5 Xác suất để xảy ra biến cố A là p A . n  9 9! 54 Câu 54: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho khai triển n 2 n 1 2x a0 a1x a2 x  an x , n 1. Tìm số giá trị nguyên của n với n 2018 sao cho tồn tại k 0 k n 1 thỏa mãn ak ak 1 . A. 2018 .B. 673.C. 672 . D. 2017 . Lời giải Chọn B n n k k k k k Ta cĩ 1 2x Cn 2 x , suy ra ak Cn 2 với k 0,1,2,3, ,n . k 0 Do đĩ: n! n! a a C k 2k C k 1 2k 1 2. k k 1 n n k! n k ! k 1 ! n k 1 ! 1 2 2n 1 2n 2k k 1 k . n k k 1 3 Vì 0 k n 1 nên suy ra n 2 . 2.3m 1 1 Nếu n 3m , m ¥ , thì k 2m ¥ . 3 3 2. 3m 1 1 1 Nếu n 3m 1, m ¥ , thì k 2m ¥ . 3 3
23. 2. 3m 2 1 Nếu n 3m 2 , m ¥ , thì k 2m 1 ¥ . Nên với các số n 3m 2 , 3 m ¥ , thì sẽ cho tồn tại k 0 k n 1 thỏa mãn ak ak 1 . Vì 2 n 2018 và n ¥ nên 2 3m 2 2018 0 m 672 và m ¥ . Do đĩ, cĩ 673 số giá trị nguyên của n với n 2018 sao cho tồn tại k 0 k n 1 thỏa mãn ak ak 1 . Câu 55: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Giải bĩng chuyền VTV Cúp gồm 12 đội bĩng tham dự, trong đĩ cĩ 9 đội nước ngồi và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A , B , C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bĩng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau 16 133 32 39 A. .B. .C. .D. . 55 165 165 65 Lời giải Chọn A 4 4 4 Số phần tử của khơng gian mẫu là n  C12.C8 .C4 . 1 3 1 3 1 3 Gọi A: '' 3 đội bĩng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau" n A C3.C9 C2.C6 C1 .C3 . Vậy xác suất để 3 đội bĩng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là 1 3 1 3 1 3 C3.C9 C2.C6 C1 .C3 16 P A 4 4 4 . C12.C8 .C4 55