Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm nằm trong đoạn ; của phương 2 2 trình sin 5x sin 3x sin 4x là A. 5 .B. 7 . C. 9 .D. 3 . Lời giải Chọn A k x 4 sin 4x 0 sin 5x sin 3x sin 4x 2sin 4x cos x sin 4x 1 x k2 k ¢ . cos x 3 2 x k2 3 k  Trường hợp 1: x , với x ; , ta được x ;0;  . 4 2 2 4 4   Trường hợp 2 : x k2 , với x ; , ta được x . 3 2 2 3   Trường hợp 3 : x k2 , với x ; , ta được x  . 3 2 2 3  Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm nằm trong đoạn ; . 2 2 Câu 2: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số y cos x là hoàn tuần hoàn với chu kì là A. . B. . C. 0 .D. . 2 4 Lời giải Chọn D 1 cos 2x 2 Ta có y cos x cos2 x nên hàm số tuần hoàn với chu kỳ T . 2 2 Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Tất cả các giá trị của m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 có đúng 2 nghiệm x ; là 2 2 A. 1 m 1.B. 1 m 0 .C. 0 m 1.D. 0 m 1. Lời giải Chọn C Ta có cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 2cos2 x 2m 1 cos x m 0 1 cos x 2cos x 1 cos x m 0 2 . cos x m 1 Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ; khi và chỉ khi 0 cos x 1 nên loại cos x 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ; khi và chỉ khi 0 m 1. 2 2
2. Câu 4: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Hàm số y 2cos3x 3sin 3x 2 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A TXD: D ¡ 2 3 y 2cos3x 3sin 3x 2 13 cos3x sin 3x 2 13 13 3 y 13 sin 3x arccos 2 13 3 Để hàm số y có giá trị nguyên 13 sin 3x arccos nguyên 13 3 n sin 3x arccos ( với n là một số nguyên) 13 13 3 Mà: sin 3x arccos  1;1 13 n 1 1 13 n 13 13 Mà: n ¢ n 0; 1; 2 3 y có 7 giá trị nguyên. Câu 5: (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 2017-2018) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình m 1 sin2 x sin 2x cos 2x 0 A. 4037 .B. 4036 .C. 2019 .D. 2020 . Lời giải Chọn D m 1 sin2 x sin 2x cos 2x 0 1 cos 2x m 1 sin 2x cos 2x 0 2 1 m m 1 cos 2x sin 2x 2 2 2 2 1 m 2 m 1 Điều kiện có nghiệm của phương trình 1 m 1 2 2 Suy ra 2018 m 1 Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. sin x 1 Câu 6: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Phương trình có bao x 2 nhiêu nghiệm? A. Vô số nghiệm. B. Vô nghiệm.C. 3 nghiệm.D. 2 nghiệm. Lời giải
3. Chọn D Tập xác định: D ¡ \ 0 . Phương trình tương đương với 2sin x x 1 . Số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y 2sin x và y x . Trên hệ trục Oxy vẽ đồ thị các hàm số y 2sin x và y x y y x y 2sin x x O Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số chỉ cắt nhau tại ba điểm trong đó có một điểm có hoành độ x 0 không thỏa mãn phương trình. Do vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3 Câu 7: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Phương trình cos2 2x cos 2x 0 4 có bao nhiêu nghiệm x 2 ;7 ? A. 16.B. 20 .C. 18. D. 19. Lời giải Chọn C 3 1 3 Ta có: cos2 2x cos 2x 0 cos 2x hoặc cos 2x (loại). 4 2 2 1 Với cos 2x 2x k2 x k k ¢ . 2 3 6 Phương trình có nghiệm x 2 ;7 khi và chỉ khi 2 k 7 . 6 13 41 + Trường hợp 1: 2 k 7 k . Vì k ¢ nên 6 6 6 k 2; 1;0;1;2;3;4;5;6 do đó có 9 nghiệm thuộc khoảng 2 ;7 . 11 43 + Trường hợp 2: 2 k 7 k . Vì k ¢ nên 6 6 6 k 1;0;1;2;3;4;5;6;7 do đó có 9 nghiệm thuộc khoảng 2 ;7 . Vậy có tất cả 18 nghiệm thỏa mãn bài toán. Câu 8: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm cos x 2sin x 3 m : 2cos x sin x 4
4. 2 A. 2 m 0 .B. 2 m 1.C. 0 m 1.D. m 2 . 11 Lời giải Chọn D Có 2cos x sin x 4 0,x ¡ . PT m 2cos x sin x 4 cos x 2sin x 3 2m 1 cos x m 2 sin x 4m 3 0 . Phương trình trên có nghiệm khi 2m 1 2 m 2 2 4m 3 2 2 11m2 24m 4 0 m 2 . 11 cos x sin 2x Câu 9: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho phương trình 1 0 . cos3x Khẳng định nào dưới đây là đúng: A. Phương trình đã cho vô nghiệm. B. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x . 2 C. Phương trình tương đương với phương trình sin x 1 2sin x 1 0 . D. Điều kiện xác định của phương trình là cos x 3 4cos2 x 0 . Lời giải Chọn A Điều kiện: cos3x 0 3x k x k k ¢ . 2 6 3 Ta có cos x sin 2x 1 0 cos3x cos x sin 2x cos3x 0 cos3x cos x 1 2sin x 4cos2 x 3 0 cos3x cos x 1 2sin x 4cos2 x 3 0 cos x 4sin2 x 2sin x 2 0 cos x 0 sin x 1 1 sin x 2 Ta có cos3x cos x 4cos2 x 3 nên ta loại cos x 0 và sin x 1. 1 1 3 1 Ngoài ra sin x cos2 x 1 4cos2 x 3 0 nên ta loại tiếp sin x . 2 4 4 2
5. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. cos 4x Câu 10: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Phương trình tan 2x có bao nhiêu cos 2x nghiệm thuộc khoảng 0, ? 2 A. 1. B. 3 . C. 4 .D. 2 . Lời giải Chọn D Điều kiện cos 2x 0 2x k x k , k ¢ . 2 4 2 Phương trình tương đương với cos 4x sin 2x 2sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1 L 1 sin 2x N 2 2x k2 x k 6 12 , k ¢ . Do x 0; nên phương trình chỉ có hai 5 5 2 2x k2 x k 6 12 5 nghiệm là x và x . 12 12 4 Câu 11: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm thuộc khoảng ; 3 2 của phương trình cos x 3 sin x sin 3x là 2 A. 4 .B. 3 .C. 6 .D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có: cos x 3 sin x sin 3x cos x 3 sin x cos3x 2 2sin 2xsin x 3 sin x 0 sin x 2sin 2x 3 0 x k sin x 0 3 x k , k ¢ . sin 2x 6 2 x k 3 4 4 4 1 Với x k , trên nửa khoảng ; ta có: k k 3 2 3 2 3 2 k 1;0 . Suy ra các nghiệm là x , x 0 . 4 4 3 1 Với x k , trên nửa khoảng ; ta có: k k 6 3 2 3 6 2 2 3
6. 5 k 1;0 . Suy ra các nghiệm là x , x . 6 6 4 4 5 1 Với x k , trên nửa khoảng ; ta có: k k 3 3 2 3 3 2 3 6 2 k 1;0 . Suy ra các nghiệm là x , x . 3 3 4 Suy ra số nghiệm trên nửa khoảng ; của phương trình là 6 . 3 2 Câu 12: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Số nghiệm trên khoảng 0;2 của phương trình 27cos4 x 8sin x 12 là A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn D Ta có: 27cos4 x 8sin x 12 27sin4 x 54sin2 x 8sin x 15 0 3sin2 x 2sin x 3 9sin2 x 6sin x 5 0 3sin2 x 2sin x 3 0 2 9sin x 6sin x 5 0 1 10 sin x 1;1 2 3  3sin x 2sin x 3 0 1 10 sin x 1;1 3 1 10 Với sin x trên khoảng 0;2 phương trình có 2 nghiệm.(dựa vào số giao điểm 3 1 10 giữa đồ thị hàm số y sin x và đường thẳng y ). 3 1 6 sin x 1;1 2 3  9sin x 6sin x 5 0 1 6 sin x 1;1 3 1 6 Với sin x trên khoảng 0;2 phương trình có 2 nghiệm.(dựa vào số giao điểm giữa 3 1 6 đồ thị hàm số y sin x và đường thẳng y ). 3 Vậy trên khoảng 0;2 phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 13: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 5 msin x m 1 cos x xác định trên ¡ ? A. 6 .B. 8 .C. 7 .D. 5 . Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên ¡
7. 5 msin x m 1 cos x 0x ¡ msin x m 1 cos x 5x ¡ Max msin x m 1 cos x 5 . x ¡ m2 m 1 2 25 m2 m 12 0 m  4;3 . Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 14: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh đó là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông không cân. 2 17 8 3 A. .B. .C. .D. . 35 114 57 19 Lời giải Chọn C 3 Số cách chọn 3 đỉnh n  C20 Gọi O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 20 cạnh, đường tròn này có 10 đường kính tạo thành từ 20 đỉnh của đa giác đó. Chọn một đường kính bất kì, đường kính này chia đường tròn này thành 2 phần, mỗi phần có 9 đỉnh của đa giác Khi đó mỗi phần có 8 tam giác vuông không cân (trừ đỉnh chính giữa) Vậy số tam giác vuông không cân được tạo thành từ 20 đỉnh của đa giác là n A 8.2.10 160 8 Vậy xác suất cần tìm là p A 57 Câu 15: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Số các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x 1 2cos2 x 2m 1 cos x m 0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn 0;2  là: A. 1.B. 2 .C. 3 .D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn B sin x 1 Ta có phương trình tương đương 2 2cos x 2m 1 cos x m 0 sin x 1 sin x 1 1 cos x 2cos x 1 cos x m 0 2 cos x m Với x 0;2 . Ta có: sin x 1 x vì x 0;2  nên x (thỏa mãn). 2 2
8. x x 1 3 3 cos x cos x cos vì x 0;2  nên (thỏa mãn). 2 3 5 5 x 2 x 3 3 3 Với 1 m 1, đặt m cos , 0;  . Nhận xét: Với x 0;2  thì phương trình x cos x m cos x cos * . x 2 Do đó, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình * có đúng một nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng . 2 5 Trường hợp 1: 2 (thỏa vì khác , , ). Suy ra m cos 1. 2 3 3 3 Trường hợp 3: 2 (thỏa). Suy ra m cos 0 . 2 2 2 Vậy m 0; 1 nên có 2 giá trị m . Câu 16: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số sin x 2cos x 1 y . sin x cos x 2 A. M 2.B. M 3.C. M 3.D. M 1. Lời giải Chọn D Ta có sin x cos x 2 0 , x ¡ . Biến đổi hàm số về dạng phương trình ta được: y sin x cos x 2 sin x 2cos x 1 y 1 sin x y 2 cos x 1 2y . 1 Phương trình 1 có nghiệm khi: y 1 2 y 2 2 1 2y 2 2y2 2y 4 0 2 y 1. Vậy giá trị lớn nhất M 1. Câu 17: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình cos 2x 3 cos x 1 0 trong đoạn ; là: 2 2 A. 4 .B. 3 .C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn C Ta có: cos 2x 3 cos x 1 0 2cos2 x 3 cos x 2 0 . Đặt t cos x , 0 t 1, ta được phương trình: t 2 2 1 2t 3t 2 0 1 t . (vì 0 t 1) t 2 2
9. 1 cos x x k2 1 1 2 3 Với t , ta có: cos x x k k ¢ . 2 2 1 2 3 cos x x k2 2 3 Trên đoạn ; phương trình có nghiệm là x . 2 2 3 Câu 18: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Phương trình: 2sin 2x 3 0 có 3 mấy nghiệm thuộc khoảng 0;3 . A. 6 .B. 2 .C. 4 .D. 8 . Lời giải Chọn A 2x k2 3 3 3 Ta có 2sin 2x 3 0 2sin 2x 3 3 2 2x k2 3 3 x k 3 4 7 3 5  , k ¢ . Vì x 0;3 nên x ; ; ; ; ;  . 3 3 3 2 2 2  x k 2 Câu 19: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình sin xsin 2x 2sin x cos2 x sin x cos x 3 cos 2x trong khoảng ; là: sin x cos x A. 2 .B. 4 .C. 3 .D. 5 . Lời giải Chọn A Điều kiện sin x cos x 0 sin x 0 x k x k , k Z . 4 4 4 sin xsin 2x 2sin x cos2 x sin x cos x Ta có: 3 cos 2x sin x cos x sin 2x sin x cos x sin x cos x 3 cos 2x sin x cos x sin 2x 1 sin x cos x 3 cos 2x sin x cos x sin 2x 3 cos 2x 1 sin 2x sin 3 6
10. 2x k2 x k 3 6 12 k Z . 3 2x k2 x k 3 6 4 Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: x k k Z . 12 11 Trên ; phương trình đã cho có các nghiệm là: ; . 12 12 Câu 20: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tổng S các nghiệm của phương trình: 2cos2 2x 5cos 2x 3 0 trong khoảng 0;2 là 7 11 A. S 5 .B. S .C. S 4 .D. S . 6 6 Lời giải Chọn C cos 2x 3 1 2 Ta có 2cos 2x 5cos 2x 3 0 1 . cos 2x 2 2x k2 x k 1 3 6 Với cos 2x k ¢ . 2 2x k2 x k 3 6 7 5 11 Do x 0;2 nên ta có các nghiệm x , x , x , x . 6 6 6 6 7 5 11 Tổng các nghiệm của phương trình S 4 . 6 6 6 6 Câu 21: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Biết phương trình ax3 bx2 cx d 0 với a 0 có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 .B. 5 .C. 2 .D. 4 . Lời giải Chọn A Vì phương trình ax3 bx2 cx d 0 với a 0 có đúng hai nghiệm thực nên đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d có hai điểm cực trị trong đó một điểm cực trị nằm trên trục hoành. Các dạng 3 2 của đồ thị hàm số y ax bx cx d trong trường hợp này được mô tả như sau: Trường hợp 1: a 0
11. Trường hợp 2: a 0 Vậy với a 0 đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d luôn có ba điểm cực trị. Câu 22: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 1 0 trong đoạn 0;  là: 11 2 5 A. x .B. x .C. x .D. x . 12 3 6 Lời giải Chọn D 2x k2 x k 1 3 6 Phương trình 2cos 2x 1 0 cos2x . 2 2x k2 x k 3 6 1 5 0 k k x 6 6 6 k 0 6 Xét x 0;  mà k ¢ suy ra . 1 7 k 1 5 0 k k x 6 6 6 6 5 Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 1 0 trong đoạn 0;  là x . 6
12. Câu 23: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin x cos x y lần lượt là: 2sin x cos x 3 1 1 A. m 1; M .B. m 1; M 2 .C. m ; M 1.D. m 1; M 2 . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2sin x cos x 3 0 với x ¡ . sin x cos x y y 2sin x cos x 3 sin x cos x . 2sin x cos x 3 2y 1 sin x y 1 cos x 3y (*). sin x cos x Hàm số y xác định với x ¡ nên (*) có nghiệm. 2sin x cos x 3 2y 1 2 y 1 2 3y 2 . 1 y 2 . sin x cos x Nên giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y lần lượt là: 2sin x cos x 3 m 1; M 2 . Câu 24: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho phương trình m msin x m 1 cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình cos x có nghiệm là: A. 9 .B. 8 .C. 10. D. 7 . Lời giải Chọn A m msin x m 1 cos x msin x cos x m 1 cos2 x m cos x m m 1 sin 2x 1 cos 2x m msin 2x m 1 cos 2x m 1 0 có nghiêm khi và chỉ 2 2 khi 2 2 2 2 m 4 m m 1 1 m m 4m 0 . Do đó số các giá trị nguyên dương của m m 0 nhỏ hơn 10 là 9 .