Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện

99 trang nhungbui22 11/08/2022 2860

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_on_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_12_chuyen_de_the_tich.docx

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện

Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I - LÝ THUYẾT BỔ TRỢ A - Định nghĩa và công thức tính thể tích Thể tích của mỗi khối đa diện H là số dương xác định V H sao cho các tính chất sau đây thỏa mãn: a. Hai khối đa diện H và H ' bằng nhau thì có thể tích bằng nhau b. Nếu khối đa diện H được phân thành hai khối đa diện H1 và H2 thì thể tích của H bằng tổng thể tích của H1 và H2 . c. Khối lập phương đơn vị (tức là có cạnh bằng 1) có thể tích bằng 1. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c là V abc . Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là V B.h 1 Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là V Bh . 3 Trên đây là công thức tính thể tích của các khối đa diện cơ bản. Tiếp theo, ta xét đến các khối đa diện khác, từ đó hình thành công thức giải nhah. B. CÁC KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG GIẢI TOÁN Để tính thể tích của một khối đa diện (lăng trụ và hình chóp) ta thường thực hiện theo các cách sau Cách 1: Tính trực tiếp Sử dụng các công thức 1 * Thể tích khối chóp V h.S ; trong đó h là chiều cao, S là diện tích đáy. 3 d d + Đặc biệt: Nếu hình chóp S.ABC có SA; SB; SC đôi một vuông góc thì 1 S SA.SB.SC . S.ABC 6 * Thể tích khối lăng trụ: V h.Sd ; trong đó h là chiều cao của lăng trụ, Sd là diện tích đáy. 1
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi + Đặc biệt: Hình hộp chữ nhật ba cạnh a, b, c: V abc , hình lập phương cạnh a: V a3 . Cách 2: Tính gián tiếp * Nếu hình H được tách thành hai hình rời nhau H1; H2 thì V V V H1 H H2 * Trên các cạnh SA; SB; SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểmA ' ; B ' SA'.SB '.SC ' ; C '. Ta có: V .V . S.A'B'C ' SA.SB.SC S.ABC Các cách xác định đường cao của hình chóp: - Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao - Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của đáy với mặt bên đó (nói đơn giản là đường cao của mặt bên). - Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên chung của 2 mặt đó. - Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. - Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Ngoài ra trong một số trường hợp khác ta có thể khai thác các tính chất khác của đa diện để xác định đường cao. Một số công thức thường gặp trong hình phẳng a. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH: AB2 AC 2 BC 2 AH.BC AB.AC AC 2 CH.BC AB2 BH.BC 1 1 1 AH 2 BH.HC AH 2 AB2 AC 2 AB BC.sin Cµ BC.cos Bµ AC.tan Cµ AC.cot Bµ b. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c AB c, BC a,CA b 2
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi d1;d2 ;d3 lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với BC;CA; AB ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p. 1. Định lý hàm cosin: a2 b2 c2 2bc cos µA; b2 c2 a2 2ac.cos Bµ ; c2 a2 b2 2abcosCµ ; a b c 2. Định lý hàm sin: 2R . sin A sin B sin C b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 3. Độ dài trung tuyến: d 2 ;d 2 ;d 2 1 4 4 2 2 4 3 2 4 c. Các công thức tính diện tích 1. Diện tích tam giác: 1 1 1 S a.h b.h c.h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 S bcsin µA ac.sin Bµ ab.sin Cµ 2 2 2 abc S pr p p a p b p c 4R 2. Diện tích hình vuông: S a2 với a là độ dài cạnh hình vuông. 3. Diện tích hình chữ nhật S ab với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. 4. Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là m, n và độ dài đường 1 cao là h S m n h . 2 3
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1. Các bài toán tổng quát tính thể tích hình chóp thường gặp Bài toán 1: Tính thể tichs của một hình chóp tứ giác đều S.ABCD (S là đỉnh, đáy là hình vuông ABCD) trong mỗi trường hợp được cho sau đây: 1. AB a, ·ASB . 2. AB a , góc giữa một cạnh bên và đáy bằng β. 3. AB a , góc giữa một mặt bên và đáy bằng γ. 4. AB a và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp bằng R. 5. AB a và khoảng cách từ đường thẳng AC đến đường thẳng SB bằng b. 1. (Hình 5.7) Lời giải Gọi H AC  BD . Kẻ KH  AB K AB . Ta có K là trung điểm của AB. a 1 Khi đó: SK . mà SH  ABCD nên SH  KH . 2 tan 2 Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác SKH ta có: a cos SH SK 2 KH 2 . 2sin 2 1 a3 cos Lúc này V SH.S S.ABCD ABCD 3 6sin 2 2. (Sử dụng hình 5.7) Lời giải 1 a Giả sử S·DH  . Do ABCD là hình vuông cạnh a, nên HD BD 2 2 a SH tan  . 2 1 a3.tan  Vậy thể tích hình chóp là V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 3 2 4
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 3. Dựng hình tương tự ý 1. Lời giải Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SA SB mà K là trung điểm của AB, suy ra SK  AB . Mặt khác KH  AB nên góc giữa SAB và ABCD là góc giữa hai tia KS và KH, a hay S· KH  SH tan . Vậy thể tích của khối chóp: 2 1 1 a a3.tan V SH.S . .tan .a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 4. Lời giải Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD thì O nằm trên đường thẳng SH. Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai điểm O và S nằm cùng phía so với mặt phẳng ABCD . a2 Khi đó: SH SO OH R R2 2 1 1 a2 Lúc này V .SH.S . R R2 a2 S.ABCD ABCD 3 3 2 - Trường hợp 2: Hai điểm O và S nằm khác phía so với mặt phẳng ABCD . a2 Khi đó: SH SO OH R R2 2 1 1 a2 Lúc này V SH.S . R R2 a2 . S.ABCD ABCD 3 3 2 5. Lời giải Kẻ BD '/ / AC ( D ' thuộc tia DC); HK  SB K SB . Ta thấy BD '  BD mà BD '  SH nên BD '  SHB BD '  KH HK  SBD ' . 5
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Do AC / /BD ' AC / / SBD ' . Do đó khoảng cách giữa AC và SB là khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng SBD ' . Từ đó HK chính là khoảng cách giữa AC và SB hay HK b . Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác SHB ta có: 1 1 a2 SH . Lúc này VS.ABCD SH.SABCD . 1 2 3 1 2 3 b2 a2 b2 a2 Bài toán 2: Tính thể tích hình chóp S.ABCD, biết rằng cạnh bên SA a và các cạnh còn lại đều bằng 1. Lời giải Đáy của hình chóp đã cho là hình thoi ABCD. Vì SC SB SD 1, nên chân đường cao H hạ từ S xuống ABCD nằm trên đường trung trực của đoạn BD. Vì ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của BD. Suy ra H thuộc đường thẳng AC. Vậy đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SAC. Gọi O là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Vì SBD CBD (c.c.c), nên SO CO AO . Từ đó tam giác SAC vuông tại S. Vậy: a SH.CA SC.SA SH a2 1 Lúc này từ AC đã được tính ở phía trên. BD được tính bằng việc áp dụng định lý Pytago cho các tam giác OCB; COD. Bài toán 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Giả sử H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng SHC , SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông. Lời giải Vì SHC và SHD cùng vuông góc với đáy ABCD nên SH là đường cao của hình chóp. Hai tam giác SAD và SBC lần lượt vuông tại A và B (theo định lý ba đường vuông góc). Tam giác SCD có SC SD (vì HC HD ) nên nó không thể vuông tại C 6
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi hoặc D. Nếu SCD vuông tại S thì SC CD a . Nhưng do SBC vuông tại B nên SC BC a . Từ đó SCD không phải tam giác vuông. Từ giả thiết suy ra SAB phải là tam giác vuông. Do SA SB (vì HA HB ) nên SAB vuông tại S, suy ra: 1 a SH AB . 2 2 1 1 a a3 Vậy V .S SH a2. . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Bài toán 4: Cho khối chóp S.ABC có BC 2a, B· AC 90, ·ACB . Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông. Tính thể tích của hình chóp S.ABC. Lời giải 2 Tam giác ABC có AB 2asin , AC 2a cos nên SABC a sin 2 . Vì SAB  ABC và SA SB nên SH  ABC với H là trung điểm cạnh AB. Tam giác SBC vuông ở đỉnh nào? Nếu SBC vuông ở B thì CB  BA (theo định lí ba đường vuông góc) điều này vô lí vì ABC vuông ở A. Tương tự nếu SBC vuông ở C thì H· CB 90 (vô lí). Từ đó tam giác SBC vuông tại S. Gọi K là trung điểm cạnh BC thì 1 1 SK BC a, HK / / AC và HK AC a cos . 2 2 SH 2 SK 2 HK 2 a2 sin2 SH asin . 1 1 Từ đó V S .SH a2.sin 2 .a.sin S.ABC 3 ABC 3 1 V a3.sin 2 sin . S.ABC 3 Bài toán 5 (đọc thêm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AB / /CD . Tính thể tích hình chóp trong mỗi trường hợp sau đây: 1. Biết AB AD BC a , CD 2a và SA SB SC SD b . 2. Biết AB AD BC a , CD 2a và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy những góc bằng γ. 1. (Hình 5.12) 7
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Lời giải Gọi A' là hình chiếu của A trên CD; H là trung điểm của ĐƯỢC. a Dễ thấy DA' tam giác ADH là tam giác đều. 2 DA' 1 Ta có: cos ·A' DA DA 2 nên ·A' DA 60 . Từ đó suy ra các tam giác HAD, HBC, HAB là các tam giác đều; nên H cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Vì SA SB SC SD nên chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ABCD nằm trên các đường trung trực của các đoạn thẳng DA, AB, BC và CD. Vậy SH chính là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có: SH SD2 DH 2 b2 a2 . 1 1 a2 3 Lúc này V .SH.S b2 a2 .3.S b2 a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 ADH 4 (Do diện tích hình thang là tổng diện tích của 3 tam giác đều bằng nhau). a2 3 b2 a2 V SABCD 4 2. Lời giải Hạ SH  ABCD ; H thuộc mặt phẳng ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC,CD và DA. Từ điều kiện đã cho ta có S¼QH S¼NH S¼PH S¼MH  HP HN HM HQ r . PM 3a Ta có: r . 2 4 3a Vậy SH tan . . 4 1 a 3 3a2 3 3a3.tan Từ ý (1) ta suy ra V .tan . . S.ABCD 3 4 4 16 Một số ghi nhớ để xác định đường cao của khối đa diện 8
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi TRƯỜNG HỢP 1: Xác định được mặt phẳng P1 qua đỉnh S và vuông góc với P trong đó P là mặt phẳng chứa đáy. Gọi Δ là giao tuyến của P và P1 và H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên . Khi đó SH chính là đường cao khối đa diện. (Ví dụ chính là bài toán 4 ở phía trên). TRƯỜNG HỢP 2: Xác định được hai mặt phẳng P1 , P2 qua đỉnh S của khối đa diện và vuông góc với mặt phẳng đáy P . Gọi là giao tuyến của P1 và P2 thì Δ chứa đường cao của khối đa diện đó. TRƯỜNG HỢP 3: Xét khối chóp S.A1.A2 An ( n 3 ). Sử dụng mối liên hệ giữa đường xiên, hình chiếu và góc nghiêng, ta có ba mệnh đề sau tương đương: 1) Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau 2) Các cạnh bên của hình chóp nghiêng đều trên đáy 3) Đáy hình chóp nội tiếp được và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Kết luận: Một số công thức tính nhanh các khối chóp thường gặp: 9
Dạng hình chóp Công thức tính nhanh Cho hình chóp đều S.ABCChuyên có đềcạnh Thể đáy tích khối đaa2 diện3b2 ôna2 học sinh giỏi V bằng a, cạnh bên bằng b. SABC 12 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy a3 V .tan bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy S.ABC 24 bằng α. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy a3 V .tan bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy S.ABC 12 bằng α. Cho hình chóp S.ABC có SA; SB; SC đôi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a b c a c b b c a V một vuông góc và AB a ; BC b ; CA c 12 2 Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng 2S S S V 1 2 3 SAB ; SAC ; SBC đôi một vuông góc 3 và có diện tích lần lượt là S1;S2 ;S3 abc Cho hình chóp SABC có V 1 cos2 cos2  cos2  2cos cos  cos SABC 6 SA a;SB b;SC c · · · ASB ; BSC ;CSA  1 Cho hình chóp ABCD có V abd sin SABC 6 AB a;CD b d AB,CD d ·AB,CD abc Cho hình chóp S.ABC có V .sin .sin .sin SABC 6 SA a;SB b;SC c SAB , SAC · · ASB ; ASC  Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên 4a3 tan V 3 bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy 3 2 tan2 bằng α Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a3 tan2 1 V bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng α SABCD 6 10
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi với ; 4 2 Cho lăng trụ tam giác có thể tích là V. Khi đó, thể tích của tứ diện tạo bởi 4 đỉnh bất kì không đồng phẳng là: V 3 Cho khối hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích V. Khi đó thể tích của tứ diện tạo bởi 4 đỉnh bất kì không đồng phẳng là V . 6 Thể tích của tứ diện tạo bởi hai đường chéo của hai mặt phẳng đối diện là V . 3 2. Thể tích khối chóp cụt Bài toán tổng quát 1: Tính thể tích của khối chóp cụt có đáy trên là đa giác β có diện tích B và đáy dưới là đa giác  ' có diện tích B ' . Tính thể tích của hình chóp cụt này, biết chiều cao của hình chóp cụt là h. (hình 5.7) Lời giải Kí hiệu H1 là hình chóp có đáy là đa giác , H2 là hình chóp có đáy là đa giác  '. Nếu h1 và h2 là chiều cao của hình chóp H1 và H2 thì ta có: h1 B và h2 h1 h h2 B ' h1 B B.h B '.h h1 h2 . h h1 B ' B ' B B ' B 1 1 B ' B ' B B Ta có V H V H V H B 'h Bh h. 2 1 2 1 3 3 B ' B B ' B 3 3 1 B ' B 1 h . B B ' BB ' .h 3 B ' B 3 3. Thể tích tứ diện 11
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài toán tổng quát 2: Cho khối tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b , AD BC c . Tính thể tích của tứ diện ABCD. Lời giải Dựng tứ diện D.A' B 'C ' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B 'C ',C ' A' , A' B ' . Khi đó tứ diện D.A' B 'C ' có các cạnh DA', DB ', DC ' đôi một vuông góc. 1 1 Nhận xét V V DA'.DB '.DC ' ABCD 4 D.A'B'C ' 24 1 Tam giác DA 'C ' vuông tại D có DB là trung tuyến DB A'C ' A'C ' 2b 2 DA'2 DC '2 4b2 DA'2 DB '2 4a2 Tương tự ta có 2 2 2 DB ' DC ' 4c DA'2 2 a2 b2 c2 2 2 2 2 DB ' 2 c a b 2 2 2 2 DC ' 2 c b a 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 VABCD 8 a b c c a b c b a 24 1 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2 b2 a2 6 2 Bài toán tổng quát 3: (Thể tích khối tứ diện vuông) Cho khối tứ diện S.ABC có SA a;SB b;SC c và SA;SB;SC đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích tứ diện S.ABC. Lời giải 1 1 1 Ta có thể tích của khối tứ diện vuông: V . SA.SB.SC abc . S.ABC 3 2 6 Một số tính chất của khối tứ diện vuông: 1. Hình chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt phẳng ABC là trực tâm H của tam 1 1 1 1 giác ABC và . SH 2 a2 b2 c2 2 2. SSBC SHBC .SABC 12
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 2 SSAC SHAC .SABC 2 SSAB SHAB .SABC 2 2 2 2 3. SSBC SSAC SSAB SABC 4. Nếu M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA khi đó tứ diện SMNP là tứ 1 1 diện gần đều và V V abc . SMNP 4 SABC 24 Bài toán tổng quát 4: Thể tích của khối tứ diện đều. Lời giải Ta xét hình tứ diện ABCD là tứ diện đều có cạnh là a. a2 3 Diện tích tam giác đều BCD là S . BCD 4 Gọi AH là đường cao của hình chóp A.BCD thì H là tâm của tam giác đều BCD. a2 a 2 Lúc này chiều cao của hình chóp là h AH AB2 BH 2 a2 3 3 1 a3 3 Thể tích của khối tứ diện đều là: V S .h 3 BCD 12 Bài toán tổng quát 5: Thể tích của khối tám mặt đều. Lời giải Ta thấy khối tám mặt đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng tổng thể tích của hai khối hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. 1 1 2 2 Ta có V 2V 2. S .AO 2. .a2.a a3. 1 3 BCDE 3 2 3 a3 2 Vậy V 3 Từ đây ta có luôn công thức của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a a3 2 là V 6 4. Thể tích khối phỏng lăng trụ (đọc thêm) 13
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hình đa diện lồi gọi là hình phỏng lăng trụ nếu các đỉnh của nó nằm trên hai mặt phẳng song song (hình 5.16) Ví dụ: Hình chóp, hình chóp cụt, hình lăng trụ là các hình phỏng lăng trụ. Các mặt của hình phỏng lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song được gọi là các mặt đáy, các mặt khác gọi là các mặt bên. Cắt khối phỏng lăng trụ bởi mặt phẳng song song và cách đều hai đáy ta được một thiết diện gọi là thiết diện trung bình. Từ đây suy ra các mặt bên của hình phỏng lăng trụ là những hình tam giác hoặc những hình thang. Gọi B1, B2 , B0 lần lượt là diện tích hai đáy và diện tích thiết diện trung bình của khối phỏng lăng trụ H, h là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy thì thể tích của H là 1 V . B B 4B h (hình 5.16). 6 1 2 0 Một số phương pháp gián tiếp xác định thể tích khối đa diện Một số kết quả quan trọng: 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm V SA' SB ' SC ' A', B ',C ' khác S. Khi đó S.ABC . . . VS.A'B'C ' SA SB SC 2. Cho hai khối đa diện H và H1 có thể tích tương ứng là V1;V2 , lúc này nếu V1 biết k và V2 a thì V1 ka . V2 3. Nếu chia khối đa diện H thành các khối đa diện H1; H2 ; ; Hn thì V V1 V2 Vn Với V là thể tích khối đa diện H, Vi là thể tích của khối đa diện Hi ,i 1,n 4. Phương pháp tọa độ hóa. II – CÁC VÍ DỤ 14
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1. Thể tích khối chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ·ABC 600 , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Giải: Gọi O AC  BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM. Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên: a 3 a 3 a2 3 CM  AB,OI  AB và CM ,OI , S . 2 4 ABCD 2 Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO  ABCD · · · 0 Do AB  OI AB  SI . Suy ra: SAB , ABCD OI, SI SIO 30 a 3 3 a Xét tam giác vuông SOI, ta có: SO OI.t an300 . . 4 3 4 1 1 a2 3 a a3 3 Vậy thể tích khối chóp là: V .S .SO . . . 3 ABCD 3 2 4 24 Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng 4 lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b. Giải: 15
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S b M A B a H E D N C Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường hợp này ta chứng minh được H nằm trong đáy. Suy ra hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và MN = a. Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì a HM HN HE là bán kính đường tròn và 2 a 1 2 2 SE SM SN b b SH 4b a . 2 2 Đặt CN x thì BM 4x, CE x, BE 4x . Tam giác HBC vuông ở H nên a 2 a a 5a 2 HE2 EB.EC 4x2 x CD , AB 2a . Suy ra S . 4 4 2 ABCD 4 1 5a 2 1 5a 2 Vậy thể tích khối chóp đã cho là: V . . 4b2 a 2 4b2 a 2 . S.ABCD 3 4 2 24 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB BC 4a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 . Tính thể tích của khối chóp S.HBCD. Giải: 16
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S A D K M H E B C N Tam giác SAB cân nên SH  AB SAB)  (ABCD)  (SAB)  (ABCD) AB SH  (ABCD) SH  AB  Kẻ CK  HD, K HD mà SH  (ABCD) SH  CK Do đó CK  (SHD) d(C,(SHD)) CK a 10 Ta tính được CH a 20 HK a 10 CK . Do đó tam giác CHK vuông cân tại K nên K· HC 45 D· HC 45 tan D· HC 1 Tam giác ABH vuông tại B nên tan B· HC 2 tan B· HC tanC· HD tan B· HD tan(B· HC C· HD) 3 1 tan B· HC.tanC· HD AD Mà B· HD ·AHD 180 . Do đó tan ·AHD 3 3 AD 6a AH (AD BC).AB Ta có S 20a2 ABCD 2 2 2 2 SHBCD SABCD SAHD 20a 6a 14a . 17
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 28a3 3 Vậy thể tích khối chóp S.HBCD là: V SH.S . S.HBCD 3 HBCD 3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết HB HC a , H· BC 300 ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC Giải: S B C I A H B' C 60° M K 30° B 1 a2 3 S HB.HC.sin1200 . HBC 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. a a 3 Ta có: AH HM HBsin 300 AK AH.sin 600 . 2 4 3a Góc giữa (SHC) và (ABC) là: S· KA 600 SA AK.tan 600 4 18
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 1 3a a2 3 3a3 Vậy thể tích khối chóp là: V SA.S . . . S.HBC 3 HBC 3 4 4 16 Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là B· CB '. Gọi I là hình chiếu của A trên SK AI  (SHC) . Ta có: BB ' d(B,(SHC)) 2d(M ,(SHC)) 2d(A,(SHC)) 2AI . AK.AS 3 3a2 2 3a 3a Trong tam giác vuông SAK, ta có: AI . BB ' . AK 2 AS 2 16 a 3 8 4 BB ' 3a 3a 3 Do đó: sin B· CB ' . BC 4.2BM 8.HB.cos300 4 3 13 Vậy cos B· CB ' 1 . 16 4 Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với H là tâm của đáy, I là trung điểm của đoạn SH. Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) bằng a và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Giải: Lấy M là trung điểm của BC, ta có IK vuông góc với SM tại K. 19
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Ta chứng minh được S.ABCD có đường cao SH, IK = a, S·MH ·SBC , ABCD Khi đó: SIK vuông tai K đồng dạng SMH vuông tại H: S· IK S·MH , IK a cos S· IK SI . SI cos 2a SH 2SI . cos SH SH 2a SMH có tan S·MH HM . HM tan S·MH sin 2 2 16a Diện tích đáy ABCD là: S AB2 2MH . ABCD sin2 1 32a3 Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: V S .SH . 3 ABCD 3sin2 cos Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA 5, SB SC SD AB BC CD DA 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM ,CD . m BC =3.31 cm m AD =3.51 cm m OS =7.09 cm S m MN =5.64 cm B A M O N Giải: C D Vì tứ giác ABCD là hình thoi, tam giác SBD cân tại S nên BD  SAC . Gọi O là giao điểm của AC và BD , ta thấy SBD ABD CBD c.c.c 20
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 Suy ra OA OC OS  AC nên SAC vuông tại S . 2 Xét SAC , ta có: AC SA2 SC 2 2 2 OC 2,OD CD2 OC 2 1 BD 2 Vậy thể tích khối chóp S.CMD là: 1 1 1 1 15 V V  BD  S 2  5  3 S.CMD 4 S.ABCD 12 SAC 12 2 12 Gọi N là trung điểm của AD nên CD / / SMN . 3V Suy ra: d(CD, SM ) d(CD,(SMN)) d(C,(SMN)) C.SMN S SMN 15 Thể tích khối chóp là: V V (1). C.SMN S.MCD 12 3 13 Ta có MN 3, SM , SN ( sử dụng công thức đường trung tuyến) 2 2 2 23 Theo định lí hàm số cosin trong SMN , ta có: cos S·MN sin S·MN 3 3 3 3 1 23 Vậy S  SM  MN sin S·MN (2). SMN 2 4 3 15 3V 15 Thay (1), (2) vào , ta được: d(CD, SM ) C.SMN 12 . S SMN 23 23 4 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: Ta có diện tích đáy hình vuông ABCD là: S =4 a2. 21
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam 2a 3 giác SAB đều nên đường cao SE a 3 . 2 Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a . Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì EF 2 SE 2 SF 2 ) Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H 1 1 1 1 1 4 a 3 Ta có SH vuông góc mp(ABCD) nên SH . SH 2 SE 2 SF 2 3a2 a2 3a2 2 1 1 a 3 2a3 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V S(ABCD).SH .4a2 . . 3 3 2 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 27 AB 5, BC 6, AC 9 ; SA SB SC . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 4 Giải: S D C H A B Gọi H là hình chiếu của S trên ABCD . Ta có: SA = SB = SC HA = HB = HC. Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 5 6 9 Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC . Ta có: p 10 . Diện tích tam giác ABC là: 2 S ABC p( p 5)( p 6)( p 9) 10.5.4.1 10 2 . 22
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có: HA HB HC R AB.AC.BC AB.AC.BC 5.6.9 27 Mặt khác: S ABC HA R 4R 4S ABC 4.10 2 4 2 27 SH SA2 AH 2 4 2 S ABCD 2S ABC 20 2 1 1 27 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V S .SH .20 2. 45 S.ABCD 3 ABCD 3 4 2 2. Thể tích khối lăng trụ Ví dụ 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết a 3 khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng . Tính theo a thể tích khối 4 lăng trụ ABC.A'B'C'. B' Giải: A' a 2 3 Diện tích đáy là: S . C' ABC 4 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC D B Gọi E là trung điểm BC. Ta có: E BC  AE A G BC  AA'E BC  A'G C Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA'. Do đó: BC  DE, AA'  DE Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC DE 1 Tam giác ADE vuông tại D suy ra sin D· AE D· AE 300 AE 2 23
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi a Xét tam giác A'AG vuông tại G ta có A'G AG.tan300 3 a3 3 Vậy thể tích khối lăng trụ là:V A'G.S . ABC.A 'B'C' ABC 12 Ví dụ 10: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C. Giải: Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của ABC. Vì A'.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) là = ·A' EH . a 3 a 3 a 3 9b2 3a 2 Tá có: AE , AH , HE A'H A' A2 AH 2 . 2 3 6 3 A'H 2 3b2 a2 Do đó: tan ; HE a a2 3 a2 3b2 a2 S V A'H.S ABC 4 ABC.A' B 'C ' ABC 4 1 a2 3b2 a2 V A'H.S . A'.ABC 3 ABC 12 Do đó: VA' BB 'CC ' VABC.A' B 'C ' VA'.ABC . Vậy thể tích của khối chóp A'.BB'C'C là: 1 a2 3b2 a2 V A'H.S . A' BB 'CC ' 3 ABC 6 Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a, BC 2a, ·ACB 1200 và đường thẳng A'C tạo với mặt phẳng ABB' A' góc 300 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A' B,CC ' và thể tích khối lăng trụ đã cho theo a. 24
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Giải: Trong (ABC), kẻ CH  AB H AB , suy ra CH  ABB ' A' nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó: · · · 0 A'C, ABB ' A' A'C, A' H CA' H 30 . Do CC '/ /AA' CC '/ / ABB' A' . Suy ra: d A' B,CC ' d CC ', ABB ' A' d C, ABB ' A' CH 1 a2 3 S AC.BC.sin1200 và ABC 2 2 AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC.cos1200 7a2 AB a 7 2.S a 21 CH 2a 21 CH ABC Suy ra: A'C AB 7 sin300 7 a 35 Xét tam giác vuông AA’C, ta có: AA' A'C 2 AC 2 . Vậy thể tích khối lăng 7 a3 105 trụ đã cho là: V S .AA' . ABC 14 Ví dụ 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA’= a. Góc tạo bởi đường thẳng BC’ với mặt phẳng (ABB’A’) bằng 6 00 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a. Giải: 25
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi A' C' H Q K B' N M A C P B I Gọi H là trung điểm A’B’. Ta có: C'H  A 'B';C'H  BB' C'H  ABB'A ' a 5 ·BC'; ABB'A ' C· 'BH 600 ; BH BB'2 B'H2 2 5 15 Tam giác HBC’ vuông tại H nên ta có C'H BH.tan 600 a . 3 a 2 2 1 a 2 15 Diện tích tam giác A’B’C’ là: S C'H.A 'B' . A'B'C' 2 4 15 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là V BB'.S a3 . ABCA'B'C' A'B'C' 4 3. Thể tích khối hộp, khối lập phương Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh bằng a và góc B· AD 600 . Hai mặt chéo (ACC'A' ) và ( BDD'B' ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, B'C', biết rằng MN vuông góc với BD'. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Giải: a2 3 Tính theo a thể tích hình chóp S.ABMN. Từ giả thiết ta có S a2 sin 600 ABCD 2 26
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi O, O' lần lượt là tâm hai đáy ABCD và A'B'C'D'. Từ giả thiết ACC ' A'  ABCD ta có BDD'B'  ABCD OO'  ABCD . Mà OO' // AA' nên ta có hình OO' ACC ' A'  BDD'B' hộp đã cho là hình hộp đứng. Vì MN / /OB' và MN  BD' OB'  BD' nên trong hình chữ nhật BDD'B' ta có 1 BD'  B'O . Gọi H là giao điểm của B'O và BD'. Khi đó ta có BH BD' và sử 3 a 2 dụng hệ thức B'O.BH BB'.BO , ta có BD 2BB' BB' . 2 a3 6 Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' là: V S .BB' . ABCD.A'B'C 'D' ABCD 4 Ví dụ 14: Cho hình hộp đứng ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi, A·BC 90o . Góc giữa A'C và mặt đáy ABCD bằng 30o ; góc giữa hai mặt phẳng A' BC và ABCD bằng 45o ; khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng A'CD bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh CD . Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA' DE . Giải: 27
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi B' C' A' D' G H I C B F O E A D J · o Hạ AI ^ BC suy ra góc((A 'BC );(ABCD)) = góc(A 'I ,AI ) = A 'IA = 45 (1) . Góc (A 'C;(ABCD))=A·'CA = 30o (2). Hạ AJ ^ CD , AH ^ A 'J . Khẳng định khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng A'CD bằng AH = a. Từ (1) suy ra AI = AA '. Đáy ABCD là hình thoi nên AJ = AI . Xét tam giác vuông A 'AJ , từ AH = a được AJ = a 2. Đặt AB = x, (x > 0) Þ BC = x. Từ (2) suy ra AC = a 6. Xét tam giác vuông AIC : IC = AC 2 - AI 2 = 2a. IB = IC - BC = 2a - x. 2 3a Xét tam giác vuông AIB : AB 2 = AI 2 + IB 2 Û x2 = (a 2) + (2a- x)2 Û x = × 2 a 3 3a2 2 AC Ç BD = {O} Þ BO = ; S = Þ V = 3a3. 2 ABCD 2 ABCD.A 'B 'C 'D ' Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường thẳng d qua F vuông góc với (ABCD). Mặt phẳng trung trực của AA ' cắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA' DE . 28
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi a Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA' DE là GA = GF 2 + FA2 với GF = × 2 3a 3a a 57 × × a 57 AD.DE.AE 3a 114 Ta tính được: AE = ; FA = = 2 4 4 = × 2 4 4SADE 3a 2 32 2 2 2 2 a a æ3a 114÷ö a 1538 2 ç ÷ Vậy GA = + FA = + ç ÷ = . 2 2 èç 32 ÷ø 32 Ví dụ 15: Thể tích của một hình hộp bằng 216 cm3 và diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng 216 cm2. Chứng minh rằng hình hộp đó là hình lập phương. (Diện tích toàn phần của hình hộp là tổng diện tích các mặt của hình hộp đó) Giải: S1 SABB' A' , S2 SABCD , S3 SADD' A' A' B' D' C' A N B M D C S .S Kẻ A'M  (ABCD), A' N  AB . Ta có: V A'M.S A' N.S 1 2 2 2 a S .S S .S S 2.S 2.S 2 Tương tự: V 1 3 , V 2 3 . Do đó: V 3 1 2 3 b c abc 4 2 2 2 2 Mặt khác: V A'M.S2 ac.AA' abc . Từ đó: V S1 S2 S3 V S1S2S3 29
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Đẳng thức xảy ra khi AB  AD, AD  AA', AA'  AB (1) 3 S1 S2 S3 3 2 2 Hơn nửa: S1S2S3 36 216 V . Đẳng thức xảy ra khi 3 S1 S2 S3 (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra V S1S2S3 Vậy hình hộp đã cho là hình lập phương. 4. Thể tích tứ diện Ví dụ 16: Cho tứ diện SABC có SA a, SB b, SC c và SA  SB, SA  SC, SB  SC . Gọi R , V theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện SABC . Tính diện tích tam giác ABC theo a,b,c và chứng minh rằng: 6 972V 2 R . 2 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 – 2015) Giải: A a N I S c C b M B 30
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi abc Ta có V (1); 6 1 1 1 1 Gọi h là độ dài đường cao kẻ từ S của hình chóp SABC, ta có: (2) h2 a2 b2 c2 3V Gọi diện tích tam giác ABC là dt(ABC), ta có: dt(ABC) (3) h a2b2 b2c2 c2a2 Từ (1), (2), (3), ta có dt(ABC) 2 Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC , M , N lần lượt là trung điểm của 1 1 1 BC, SA . Khi đó: R IS SN 2 SM 2 SA2 SB2 SC 2 a2 b2 c2 . 4 4 2 6 27a2b2c2 6 972V 2 Theo Côsi ta có: R (4). Từ (4) và (1) suy ra R . 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 17: Cho điểm I nằm trong tứ diện ABCD . Các đường thẳng AI, BI, CI, DI lần lượt cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tại A', B', C', D' thỏa mãn AI BI CI DI tích của các đẳng thức 12. Gọi V, V1 lần lượt là thể A khối tứ diệnA A'IBCBD'I và CIB'ICDD. Chứng'I minh rằng V 4V1. Giải: C' Gọi V , V , V lần lượt là thể tích B' 2 3 4 D' I của tứ diện ICDA, IDAB, IABC B D A' Ta có: C AA' d A, BCD V IA V IA V V V V 1 1 2 3 4 1 IA' d I, BCD V1 IA' V1 IA' V1 V1 31
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi IB V V V IC V V V Tương tự, ta có: 1 3 4 2 , 1 2 4 3 , IB' V2 IC' V3 ID V V V 1 2 3 4 ID' V4 AI BI CI DI Từ 1 , 2 , 3 và 4 , ta có: VT A'I B'I C'I D'I V V V V V V V V V V V V 2 3 4 3 4 1 1 2 4 1 2 3 V1 V2 V3 V4 V1 V2 V2 V3 V3 V4 V4 V1 V3 V1 V2 V4 VT 12 V2 V1 V3 V2 V4 V3 V1 V4 V1 V3 V4 V2 V Đẳng thức xảy ra khi V V V V . Suy ra: V 4V . 1 2 3 4 4 1 Ví dụ 18: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM. Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP. Giải: Trong mặt phẳng (ACM) kẻ NI // CM (I AM); trong mặt phẳng (BCD) kẻ BK // CM (K CD). Trong (ABD) DI cắt AB tại P; trong (AKD) DN cắt AK tại Q. Ta có PQ là giao tuyến của (DNI) và (ABK). Do NI // CM, BK // CM nên PQ // CM Gọi E là trung điểm PB, ME là đường trung bình tam giác BPD nên ME // PD hay ME // PI. Mặt khác, từ cách dựng, ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AP 1 AE. Vậy AP = PE = EB. Suy ra . AB 3 MC là đường trung bình tam giác DBK nên BK = 2CM = 3 PQ AP 1 1 3 Suy ra ⟹PQ = BK = BK AB 3 3 3 V AM AN AP 1 1 1 AMNP . . . VAMCB AM AC AB 2 3 6 32
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 VAMCB = VABCD (Do M là trung điểm BD) 2 2 Vì ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên VABCD = (đvtt) 12 1 2 2 1 2 Suy ra VAMCB = . . Vậy VAMNP = V AMCB = . 2 12 24 6 144 5. Tỉ số thể tích Ví dụ 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300 . Giải: Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có S SG 2 suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD. SO 3 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của N SC, SD. M 1 1 G Dễ có: V V V V . D S.ABD S.BCD 2 S.ABCD 2 A Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: O V SA SB SN 1 1 1 S.ABN . . 1.1. V V V SA SB SD 2 2 S.ABN 4 S.ABD B C VS.BMN SB SM SN 1 1 1 1 . . 1. . VS.ABN V VS.BCD SB SC SD 2 2 4 8 Từ đó suy ra: 33
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 3 V V V V. S.ABMN S.ABN S.BMN 8 1 Ta có: V SA.dt(ABCD) . Mà theo giả thiết SA  (ABCD) nên góc hợp bởi AN với 3 mp(ABCD) chính là góc N· AD . Lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD SA cân tại N, suy ra N· AD N· DA 300. Do đó: AD a 3 . tan 300 1 1 3 Vì vậy: V SA.dt(ABCD) a.a.a 3 a3 . 3 3 3 3 5 5 3a3 Vậy thể tích cần tìm là: V V V V V V . MNABCD S.ABCD S.ABMN 8 8 24 Ví dụ 20: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 3a DAB 600 . Chiều cao SO của chóp bằng , (O là giao của hai đường chéo đáy). 2 Gọi M là trung điểm cạnh AD, ( ) là mặt phẳng đi qua BM và song song với SA, cắt SC, SD lần lượt tại K, P. Tính thể tích khối KPBCDM theo a. Giải: S K R P B C O N A D M I Kẻ NK, MP // SA; KP, BM, CD kéo dài cắt nhau tại I. Suy ra M, D là trung điểm CK 2 2 BI và CI. Do N là trọng tâm ABD nên: d K;(ABC) SO a . CS 3 3 34
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 a2 3 a3 3 S IC.BC.sin C V IBC 2 2 IBCK 6 KP KR KR SK 1 Kẻ KR// DC. PI ID DC SC 3 3 IP 3 VIMDP IM ID IP 3 13 13 3a Suy ra: . Vì vậy: VKPBCDM .VIBCK IK 4 VIBCK IB IC IK 16 16 96 Ví dụ 21: Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K = h. Giải: S S' N M D C H K A B Vì các tứ giácSABS’ và SDCS’ là hình bình hành nên M, N là trung điểm SB, S’D. Do đó: V VS.ABCD VS.AMND . Ta có: VS.AMD SM 1 VS.MND SM SN 1 VS.AMND VS.AMD VS.MND ; ; . ; VS.ABD SB 2 VS.BCD SB SC 4 1 3 5 V V V ; V V V V S.ABD S.ACD 2 S.ABCD S.AMND 8 S.ABCD 8 S.ABCD 5 Vậy thể tích phải tìm là: V a2h . 24 Ví dụ 22: Cho khối chóp S.ABC có SA 2a, SB 3a, SC 4a , ·ASB S· AC 90 và B· SC 120 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a. 35
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Giải: Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, P sao cho SM=SN=SP=a, ta có: MP=a (vì SAC là tam giác nửa đều), MN a 2, NP a 3 . Suy ra tam giác MNP vuông tại M. Hạ SH vuông góc với mp(MNP) thì H là trung điểm của PN. a 2 2 a a3 2 Mà S , SH nên V . MNP 2 2 S.MNP 12 VS.MNP SM SN SP 1 3 Mặt khác: VS.ABCD 2a 2 VS.ABCD SA SB SC 24 Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là: 3V 6a3 2 d C;(SAB) S.ABCD 2a 2 2 . S SAB 3a Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt phẳng (ABCD) vuông góc với hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). Góc tạo bởi SC với mặt phẳng (SAB) bằng . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC chia khối 12 chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. (Đề thi GVG tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 - 2014) Giải: Vì mặt phẳng (ABCD) vuông góc với hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên SA  (ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của (P) với SB, SC, SD. Ta có SN  SC. Vì SC  (P) suy ra SC  AM. Lại do SA  (ABCD) và ABCD là hình vuông, nên BC  (SAB) suy ra BC  AM. Từ đó suy ra AM  (SBC) hay AM  SB. Chứng minh tương tự suy ra AK  SD. 36
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Vậy thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNK. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD. Khi đó: S 1 V V V . S.ABC S.ADC 2 Gọi V’ là thể tích khối chóp S.AMNK thì: N K 1 V V V ' . S.AMN S.ANK 2 M VS.AMNK VS.AMN SA SM SN D Cho nên: . . A VS.ABCD VS.ABC SA SB SC O B C Vì CB  (SAB) nên góc tạo bởi SC với mặt phẳng (SAB) là BSC . 12 SM SA2 SN SA2 Trong tam giác vuông SAB thì . Tương tự: . SB SB 2 SC SC 2 a 2 cos a Mặt khác SB a cot ;SC ;SA2 SB 2 AB 2 hay SA2 6 12 2 sin sin 12 12 cos SM 6 SN nên ta có: ; cos . SB 2 SC 6 cos 12 2 cos cos V Do đó: S.AMNK 6 .cos 6 . V 2 6 S.ABCD cos cos 12 12 cos 2 3 Vậy tỉ số thể tích của hai phần đó là: 6 . cos 2 cos 2 3 1 12 6 Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD b a,b 0 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA 2a . Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho AM x với 0 x 2a . 37
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) b) Xác định x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 - 2014) S M N H A D B C Giải: a) Vì BC // AD nên mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN ( N SD ) và MN / / AD . Vì AD  SAB MN  SAB MN  BM . Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là hình thang BCNM vuông tại B và M MN SM b 2a x BM x2 a2 , MN AD SA 2a Diện tích thiết diện BCNM là: b 2a x 2 2 b a x 2 2 2a b 4a x a x S . BCNM 2 4a ax b) Kẻ AH  BM tại H, suy ra AH  BCNM , AH a2 x2 d S, BCNM MS a 2a x Do BCNM  SAB d S, BCNM d A, BCNM MA a2 x2 Thể tích khối chóp S.BCNM là: 1 b 2a x 4a x VS.BCNM d S, BCNM .SBCNM 3 12 38
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau 2a2b b 2a x 4a x thì: V 2V S.ABCD SBCNM 3 6 x 3 5 a (lo¹i) x2 6ax 4a2 0 . Vậy x 3 5 a . x 3 5 a Ví dụ 25: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C '. Một mặt phẳng ( ) di động nhưng luôn đi qua điểm C ', song song với đường thẳng A'B' và chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Hãy xác định vị trí của ( ) để hai phần đó có thể tích bằng nhau. Giải: C' B' A' C N B M A Gọi V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. Theo giả thiết, mặt phẳng ( ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh C, V2 V V1 là thể tích của phần còn lại. Ta cần xác định vị trí của ( ) để V 1 V 1 V V 1 2 . (1) 2 1 V 2 V 2 V V 1 1 Nếu ( ) cắt cặp cạnh AC, BC thì 1 C '.ABC nên (1) không thỏa. Vậy, ( ) V V 3 2 phải cắt cặp cạnh AA', BB '. Gọi M và N tương ứng là giao điểm giữa ( ) với các cạnh AA' và BB '. Cũng theo MA' NB ' giả thiết, MN / / A' B '. Đặt x (0;1), ta có: AA' BB ' V 2 V 2 S 2 2  2  MNB' A'  x. V 3 VC '.ABB' A' 3 SABB' A' 3 39
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Suy ra: (1) x 3 4. Kết luận: 6. Cực trị thể tích Ví dụ 26: Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất? Giải: Gọi M, N là trung điểm BC, AD; gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có: S·MN ,d A; SBC d N; SBC NH 2 NH 2 4 S MN S MN2 sin sin ABCD sin 2 tan 1 SI MI.tan sin cos 1 4 1 4 V   H SABCD 3 sin 2 cos 3.sin 2 .cos sin 2 sin 2 2cos2 2 D C sin 2 .sin 2 .2cos2 3 3 N 1 sin 2 .cos I M 3 A B 2 VSABCD min sin .cos max 1 sin 2 2cos2 cos 3 Ví dụ 27: Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi A B là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A ), trên b lấy điểm N (khác B ) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 600. Tính thể tích khối tứ diện ABNM theo x,y. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN. (Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm học 2015 – 2016) Giải: Dựng hình chữ nhật ABNC . 40
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi M x C y A N 6 y · · B (AM ,BN ) = (AM ,AC ) = 600 ì ì ï AB ^ AM ï AB ^ AM Ta có: í Þ í Þ AB ^ ACM ï AB ^ BN ï AB ^ AC ( ) îï îï 1 1 1 3 3 V = V = AB.S = AB.AC.AM sinC·AM = .6.x.y. = xy ABNM MABC 3 ACM 6 6 2 2 2 3 3 (x + y) V = xy £ = 8 3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4. ABNM 2 2 4 Khi đó AM = BN = AC = 4 Lại có AB / /CN Þ CN ^ (AMC ) Þ CN ^ CM Þ MN 2 = CM 2 + CN 2 Mặt khác M·AC = 600 hoặc M·AC = 1200 · 0 2 2 Trường hợp 1: MAC = 60 Þ DAMC đều Þ CM = 4 Þ MN = 4 + 6 = 2 13 Trường hợp 2: M·AC = 1200 Þ CM = AM 2 + AC 2 - 2AM .AC cos1200 = 48 Þ MN = 48 + 62 = 2 41 Ví dụ 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có AB = 1,BC = 2,AA ' = 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C ', mặt phẳng (P) cắt các cạnh AB,AD,AA ' 1 2 3 lần lượt tại E,F,G (khác A ). Chứng minh rằng + + không đổi. Từ đó, AE AF AG xác định vị trí của mặt phẳng (P) để thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Giải: 41
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi z G A' D' B' C' A≡O D B F y C E x Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ở đó: A º O (0;0;0),B (1;0;0),D (0;2;0),A '(0;0;3) Khi đó, E (AE;0;0),F (0;AF;0),G(0;0;AG),C '(1;2;3) x y z Phương trình mặt phẳng (P) là: + + = 1 AE AF AG 1 2 3 Vì C ' Î (P) nên + + = 1. Ta có: AE AF AG 1 1 1 V = AE.AF.AG = ³ = 27 AEFG 6 1 2 3 æ ö3 . . ç 1 2 3 ÷ ç + + ÷ AE AF AG èçAE AF AG ø÷ 27 Do đó, thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất khi và chỉ khi: ì ï AE = 3 1 2 3 1 ï = = = Û í AF = 6 (*) AE AF AG 3 ï ï AG = 9 îï Vậy vị trí của mặt phẳng (P) để thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất là vị trí của (P) đi qua E,F,G thỏa mãn điều kiện (*). Ví dụ 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là . 1. Biết AB = a, 300 , tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng a, tìm để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất. Giải: 42
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S H D C M O N A B 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC; O là tâm của hình vuông ABCD. Do SO  (ABCD) SO là chiều cao của khối chóp và góc giữa mặt phẳng (SBC) và  1 (ABCD) là SNM . Ta có: V SO.S S.ABCD 3 ABCD a 1 a Tam giác vuông SON có SO ON.tan 300 . . 2 3 2 3 1 1 a a3 3 Vì AB a S a2 nên V SO.S . .a2 (đvtt) ABCD S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 18 2. Do AD / /BC mà BC  (SBC) AD / /(SBC) d(AD;SC) d(AD;(SBC)) d(M ;(SBC)) . Trong tam giác SMN kẻ MH  SN (H SN) , ta có: MH  BC (do BC  (SMN)) MH  (SBC) MH  SN d(M;(SBC)) MH a a a2 Tam giác vuông HMN có MN AB S AB2 sin ABCD sin2 1 a Tam giác vuông SON có SO ON.tan MN.tan .tan 2 2sin 43
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 1 a a2 a3 1 Khi đó: V .SO.S . .tan . . S.ABCD 3 ABCD 3 2sin sin2 6 sin2 .cos a3 1 Đặt t cos , điều kiện 0 < t < 1, ta có: V . ; t (0;1) S.ABCD 6 t(1 t 2 ) 2 3 VS.ABCD nhỏ nhất f (t) t(1 t ) t t lớn nhất 1 Ta có : f ' (t) 1 3t 2 ; f ' (t) 0 t 3 1 1 1 Lập bảng biến thiên, ta có f (t) lớn nhất t cos arccos 3 3 3 Ví dụ 30: Cho hình lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy thay đổi và diện tích tam giác ABC ' bằng 4 3 . Tìm thể tích lớn nhất của hình lăng trụ ABC.A' B 'C '. HD: + Gọi cạnh đáy là x (x 0) và H là trung điểm của cạnh AB 8 3 x 3 3(256 x4 ) + C ' H ,CH , CC ' . x 2 2x 3x 256 x4 + V (0 x 4) 8 3(256 3x4 ) + V ' (0 x 4) 8 256 x4 4 + V ' 0 x 4 3 8 6 + V max 4 3 7. Bài toán tổng hợp 44
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Ví dụ 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD. V 1. Khi mp(P)//BD, hãy tính tỉ số thể tích 1 . V 1 V 3 2. Chứng minh rằng: 1 . 3 V 8 Giải: S K N I D M C A O B Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. I là giao điểm của AK và SO. Do (P)//BD, qua I kẻ đường song song với BD cắt SB và SD tại M và M. SM 2 SN 2 Trong tam giác SAC có I là trọng tâm. Suy ra: ; . SB 3 SD 3 1 Vì ABCD là hình bình hành nên VS.ABC = VS.ADC = V. 2 VS.AMK SM SK 2 1 1 1 Ta có: . . VS.AMK V VS.ABC SB SC 3 2 3 6 1 Tương tự, ta có: V V S.ANK 6 V 1 Suy ra 1 V 3 SM SN V Đặt x = , y= . Tính 1 theo x và y. SB SD V VS.AMK SM SK 1 x y Ta có: . x VS.AMK V . Tương tự, ta có: VS.ANK V VS.ABC SB SC 2 4 4 45
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi V x y Suy ra: 1 (1) V 4 1 Lại có: V1 = VS.AMN + VS.MNK và VS.ABC = VS.ADC = V. Mà 2 = . = xy nên VS.AMN = V 1 Từ = . . = xy , ta có: VS.KMN = V. 2 V 3xy Suy ra 1 (2) V 4 x 1 Từ (1) và (2), suy ra y . Do x>0, y> 0 nên x> 3x 1 3 x 1 1 Vì y 1 1 x . Vậy ta có x ;1 3x 1 2 2 V 3xy 3x 2 1 3x(3x 2) Xét hàm số f(x) = 1 = với x ;1 . Có f’(x) = . V 4 4(3x 1) 2 4(3x 1) 2 Bảng biến thiên: x 1 2 1 2 3 f’(x) - 0 + f(x) 3 1 3 8 3 8 1 V 3 Từ bảng biến thiên suy ra: 1 . 3 V 8 Ví dụ 32: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , A· SB 600 ,C· SB 900 ,A· SC 1200 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi VA.A'B'C ' ,VB.A'B'C ' ,VC.A'B'C ' lần lượt là thể tích các khối chóp A.A' B 'C ' , B.A' B 'C ' , C.A' B 'C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P VA.A'B'C ' VB.A'B'C ' VC.A'B'C ' theo a. CN AM 3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho . SC AB 46
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN. Giải: S Xét tứ diện SABC có : SA SB SC a 120 ABS đều :do SA=SB, A· SB 600 AB a a SBC vuông tại S BC a 2 a SAC : AC SA2 SC2 2SA.SC.Cos1200 a 3 a Ta có: AC 2 AB2 BC 2 ABC vuông tại B. C A Hình chóp S.ABC có SA SB SC a . Hạ SH  (ABC) H là H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H là trung điểm của AC B a a2 2 Xét SAC:SH= ; Có : S 2 ABC 2 1 a3 2 V SH.S . S.ABC 3 ABC 12          2) Đặt a SA,b SB,c SC, SA' xSA xa, SB ' ySB yb, SC ' zSC zc(0 x, y, z 1)       C ' A' SA' SC ' xa zc,C ' B ' SB ' SC ' yb zc S       GA GB GC GS 2GI 2GJ 0      C ' A C ' B C 'C C 'S 4C 'G c I  1     1 1 1 A' C 'G (SA SB SC 4SC ') a b c( z)(1) b 4 4 4 4 C' G a Do A’, B’, C’, G đồng phẳng nên C A    B' C 'G mC ' A' nC ' B ' mxa nyb c( mz nz)(2) J B Mà a,b,c không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có 1 mx 4 1 1 1 1 ny 4 4 x y z 1 mz nz z 4 V AA ' SA SA' 1 Ta có: A.A'B'C ' 1 VS.A'B'C ' SA' SA' x 47
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi V V V 1 1 1 Tương tự, ta có: A.A'B'C ' B.A'B'C ' C.A'B'C ' 1 1 1 1 VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' x y z VA.A'B'C ' VB.A'B'C ' VC.A'B'C ' VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' SA' SB ' SC ' . . xyz VS.A'B'C ' xyzVS.ABC VS.ABC SA SB SC Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có: 1 1 1 1 27 27 9a3 2 4 3 xyz P V V V V x y z xyz 64 A.A'B'C ' B.A'B'C ' C.A'B'C ' 64 S.ABC 256 3 9a3 2 9a3 2 Khi x y z thì P nên giá trị nhỏ nhất của P là . 4 256 256 CN AM 3) Đặt m(0 m 1) . S SC AB     NC mSC mc, AM mAB m(b a) c      MN MA AS SC CN m(b a) a c mc N b (m 1)a mb (1 m)c a A 5 C Dấu đẳng thức xẩy ra khi m . Vậy giá trị nhỏ 6 M a 33 nhất của MN là B 6 a2 a2 Do a.b ,b.c 0,a.c nên MN 2 (3m2 5m 3)a2 2 2 5 11 11 a 33 3a2 (m ) a2 a2 MN m [0;1] 6 12 12 6 Ví dụ 33: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng . a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp. b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Giải: 48
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S S·MO a 3 SO tan 6 K L a 3 H SA AO2 SO2 tan2 4 Mặt cầu tiếp 6 I xúc với mặt đáy và mỗi cạnh bên của hình chóp có tâm I cách đều (ABC) và SA, nên I là giao B điểm của tia phân giác góc SAO và SO, bán C O kính của mặt cầu là: r IO . M IO AO IO AO A IS AS OS AO SA S a 3 tan r 2 tan2 4 H Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và phấn giác MT N 1 của góc S·MO, cắt hình chóp theo thiết diện H I 2 là tam giác cân ABN (N là giao điểm của tia phân giác MI và SC). B Gọi H và H là hình chiếu của S và C xuống O C 1 2 M MI, ta có hai tam giác vuông SMH1 và CMH2 A đồng dạng, nên: SH SM 1 1 CH2 CM 3cos Suy ra tỉ thể tích của hai hình tứ diện được cắt ra bởi thiết diện AMB là: V SM 1 SABN . VCABN CM 3cos Ví dụ 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD / /BC ), H là trung điểm của AB . Biết rằng tam giác SAB đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng 2a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 49
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Giải: S A D H B C Kẻ SH vuông góc với AB, suy ra H là trung điểm của BC. Ta có: SH a 3 . Theo gỉa thiết (SAB)  (ABCD) SH  (ABCD) , từ đó d(S,(ABCD)) SH 1 Ta chứng minh được S S , suy ra V 2V HCD 2 ABCD S.ABCD S.HCD 1 Mặt khác: V V d(D;SHC).S S.HCD D.SHC 3 SHC Xét tam giác SHC vuông tại H, SC a 5;SH a 3 suy ra HC a 2 . 1 a2 6 Tính được S .SH.HC SHC 2 2 4 3.a3 Thay số, ta tính được V . S.ABCD 3 Ví dụ 35: Cho hình chóp S.ABCD có SA x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a3 2 a. Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng . 6 Giải: Gọi O là tâm của đáy ABCD . 50
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S B C O A D Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD chung nên OA=OC=OS. Do đó ASC vuông tại S. Ta có: 1 1 a2 x2 1 V 2V 2 SC.SA.SO ax. a2 ax. 3a2 x2 S.ABCD S.ABC 6 3 4 6 Theo giả thiết, ta có phương trình: 3 x a 1 2 2 a 2 ax. 3a x 6 6 x a 2 2sin Asin B(1 cosC) 1 cos(A B) cos(A B)(1 cosC) 1 cos(A B) cosC(1 cosC) 1 (*) Do cos(A B) 1 cos(A B) cosC 1 cosC VT (*) (1 cosC)(1 cosC) sin2 C 1 VP(*) cos(A B) 1 C 900 Vậy đẳng thức xảy ra: 0 sin C 1 A B 45 Ví dụ 36: Cho tứ diện ABCD có bốn đường cao đồng quy tại điểm H. a) Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 b) Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD; S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA.S1 + MB.S2 + MC.S3 + MD.S4 theo V. 51
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Giải: A M B1 A2 D B E A1 F C a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một Ta có CD  AA1, CD  BB1, suy ra AB  CD. Chứng minh tương tự, ta có: AC  BD và AD  CB. Tam giác AFB vuông tại F và tam giác DFC vuông tại F suy ra: AB2 AF2 FB2 và DC2 DF2 FC2 suy ra AB2 CD2 AF2 FC2 BF2 DF2 = AC2 BD2 (1) Chứng minh tương tự, ta có: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 (2) Từ (1) và (2), ta có: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 b) Kẻ AA1, MA2 lần lượt vuông góc với mặt phẳng (BCD), khi đó ta có: AM MA2 AA2 AA1 AM AA1 MA2 (1) . Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M thuộc đường cao AA1. Từ (1) suy ra AM.S1 AA1.S1 MA2 .S1 AM.S1 3V 3VM .BCD (2) . Dấu bằng xẩy ra khi M thuộc đường cao AA1. 52
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hoàn toàn tương tự cho các mặt CDA, DAB, ABC, ta có: BM.S2 3V 3VM .CDA (3) , dấu = xảy ra khi M thuộc đường cao tứ diện hạ từ đỉnh B, CM.S3 3V 3VM .DAB (4) , dấu = xảy ra khi M thuộc đường cao tứ diện hạ từ đỉnh C, DM.S4 3V 3VM .ABC (5) , dấu = xảy ra khi M thuộc đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D, Từ (2), (3), (4) và (5), ta có: MA.S1 + MB.S2 + MC.S3 + MD.S4 9V. Dấu bằng xảy ra khi M trùng H. Vậy MA.S1 + MB.S2 + MC.S3 + MD.S4 = 9V. Ví dụ 37: Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có cạnh bằng a. Trên AB lấy điểm M, trên CC’ lấy điểm N, trên D’A’ lấy điểm P sao cho AM=CN=D’P= x (0 x a ) . 1. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. 2. Khi x = a , hãy tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại 2 tiếp tứ diện. Giải: 1. Ta có MN2 =MC2 + NC2 = MB2 + BC2 + NC2= 2a2 + 2x2 – 2ax => MN = 2 a2 x2 ax Tương tự, ta có MP= PN = MN nên tam giác MNP đều. 1 3 3 2 2 Diện tích tam giác MNP là: SMNP = MN.MN = (a x ax) 2 2 2 3 2 a 2 a a min SMNP = (a ( ) a ) đạt được khi x (hoành độ đỉnh parabol) 2 2 2 2 2. Gọi H là hình chiếu của B, trên mp(MNP), suy ra H là tâm tam giác MNP a2 a 5 do MNP đều, B’M = B’N = B’P = a2 . 4 2 a 3 Từ đó: B’H = B, N 2 NH 2 2 53
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 2 3 , 1 , 1 a 3 3 3a 3a Vậy VB MNP = B H.S 3 MNP 3 2 8 16 Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp B’MNP, suy ra O thuộc B’H do đó OB’ là bán kính mặt cầu. Ta có O còn nằm trên đường thẳng trung trực của B’N (xét trong mặt phẳng B’HN). Hai tam giác vuông B’HN và B’KO đồng dạng nên: a 5 a 5 , , , , . B O B K B N.B K 5a 3 OB, 2 4 B, N B, H B, H a 3 12 2 Ví dụ 38: Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, góc B· AD 60o . Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a. a) Tính thể tích của khối chóp đã cho. b) Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính giá trị cos B· MD . Giải: Từ giả thiết suy ra SAC cân, SBD đều cạnh bằng a. 54
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi H = AC  BD SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có: 2 SH a 3 ; S a 2 sin 600 a 3 . 2 ABCD 2 3 Do đó: V 1 S .SH a (đvtt). 3 ABCD 4 MBD cân tại M, MH là đường phân giác của góc B· MD . Đặt B· MD 2 . Trong SAC, MH là đường trung bình nên MH SA . 2 AH a 3 SH SHA vuông cân tại H SA a 3 MH a 3 . 2 2 2 2 Trong BMH, ta có: tan tan B· MH BH 2 . MH 3 Từ đó: cos2 1 9 cos 2 2cos2 1 1 . 1 tan2 15 5 Vậy: cos B· MD 1 . 5 Ví dụ 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB BC 4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 . Tính thể tích khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. Giải: 55
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi S A D K M H E B C N Tam giác SAB cân nên SH  AB SAB)  (ABCD)  (SAB)  (ABCD) AB SH  (ABCD) SH  AB  Kẻ CK  HD, K HD mà SH  (ABCD) SH  CK Do đó: CK  (SHD) d(C,(SHD)) CK a 10 Tính được CH a 20 HK a 10 CK . Do đó, tam giác CHK vuông cân tại K nên K· HC 45 D· HC 45 tan D· HC 1 Tam giác ABH vuông tại B nên tan B· HC 2 . tan B· HC tanC· HD tan B· HD tan(B· HC C· HD) 3 1 tan B· HC.tanC· HD AD Mà B· HD ·AHD 180 . Do đó, tan ·AHD 3 3 AD 6a AH (AD BC).AB Ta có: S 20a2 . S S S 20a2 6a2 14a2 . ABCD 2 HBCD ABCD AHD 1 28a3 3 Vậy V SH.S S.HBCD 3 HBCD 3 Tính cosin của góc giữa hai đường thắng SC và HD 56
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Tam giác SHC vuông tại H nên SC a 32 Gọi M AC  HD; E BC  HD . Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB AD 4a EC 10a AD AM 6a 3 3 3 3 3a 2 Vì AD//EC nên AM MC AC .a 32 EC MC 10a 5 5 8 8 2 Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN//HD với N thuộc đường AB Do đó, góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC 3 10 4 Ta có: AH HN HN a BN a. 5 3 3 208 4 10 Ta có: SN SH 2 HN 2 a; CN BN 2 BC 2 a. 3 3 SC 2 CN 2 SN 2 5 Áp dụng định lí côsin trong tam giác SCN, ta có: cos S·CN . 2SC.CN 4 cos(SC, HD) cos(CN,SC) cos S·CN 5 Vậy cos(SC, HD) cos S·CN . 4 III – CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Câu hỏi Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC a 2, mặt phẳng SAC vuông góc với mặt đáy ABC . Các mặt bên SAB , SBC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V B. V C. V D. V 2 4 6 12 57
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách 2a từ D đến mặt phẳng SBC bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 3 3 3 3 A. 2a 2 B. a 10 C. 2a 5 D. 2a 10 15 15 15 15 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD .Biết rằng côssin 2 19 của góc giữa SCD và ABCD bằng . Tính a theo thể tích V của khối chóp 19 S.ABCD . 19a3 15a3 19a3 15a3 A. V B. V C. V D. V 6 6 2 2 Câu 4. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60. Gọi M là điểm đối xứng vưới C qua D và N là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện H1 và H2 , trong đó H1 chứa điểm C. Thể tích của khối H1 là 3 3 3 3 A. 7 6a B. 5 6a C. 5 6a D. 7 6a 72 72 36 36 Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABC.DA’B’C’D’có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm BCD'. Thể tích V của khối chóp G.ABC'là 1 1 1 1 A. V B. V C. V D. V 3 6 12 18 Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt ABC là trung điểm của AB . Mặt bên ACC ' A' tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối lăng trụ này theo a là 3 3 3 3 A. 3a B. a 3 C. 2a 3 D. a 16 3 3 16 Câu 7. Cho lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt ABC là trung điểm của AB . Mặt bên ACC ' A' tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối lăng trụ này theo a là 58
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 3 3 3 3 A. 3a B. a 3 C. 2a 3 D. a 16 3 3 16 Câu 8. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , B· AC 120 . Mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 8 8 4 Câu 9. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . S là điểm đối xứng với O qua CD¢. Thể tích của khối đa diện ABCDSA B C D bằng a3 7 2 A. B. a3 C. a 3 D. a3 6 6 3 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA 2a, SA  ABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích V của khói chóp S.MNP. 3 3 3 3 A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3 30 6 15 10 Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60 . Mặt phẳng P chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABMN. 3 3 3 3 A. V 3a3 B. V a3 C. V a3 D. V a3 4 2 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA a 2. Gọi B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng cắt SC tại C'. Thể tích khối chóp S.AB'C'D' là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V B. V C. V D. V 9 3 9 3 59
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy SM ABCD và SA a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1. Khi đó giá trị SA của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là: 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k B. C. D. k k k 2 4 4 2 Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 là thể tích V1 của phần đa diện chứa điểm B, V2 là phần đa diện còn lại. Tính tỉ số V2 V 7 V V V 5 A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 V2 2 V2 V2 V2 2 Câu 15. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm PB 2018 các cạnh AD, BD. Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho . Tính thể tích V PA 2017 của khối tứ diện PMNC A. 27. 2 B. 9.2018. 2 C. 9. 2 D. 9.2017. 2 12 16.2017 16 16.2018 Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' cạnh bằng a và K là một điểm nằm 2a trên cạnh CC’ sao cho CK . Mặt phẳng qua A, K và song song với BD 3 V1 chia khối lập phương thành hai phần có thể tíchV1 ,V2 V1 V2 . Tính tỉ số V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 4 V2 2 V2 3 V2 3 Câu 17. Cho khối chóp S.ABC có SA SB SC a và ASB BSC CSA 30 . Mặt phẳng qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ V nhỏ nhất. Tính k S.A'B'C' VS.ABC 60
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 A. k 2 2 B. k 4 2 3 C. k D. k 2. 2 2 4 Câu 18. Cho hình hộp ABCD.A 'B'C'D'. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện A 'C'BD và khối hộp đã cho. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 6 2 4 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA x; BC y; AB AC SB SC 1 . Thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi tổng x y bằng: 2 4 A. 3 B. C. D. 4 3 3 3 Câu 20. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD .Gọi V1;V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V1 V2 ? A. 17 2 B. 17 2 C. 17 2 D. 2 216 72 144 12 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn x 2 + y2 + z2 = 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là: 2 2 2 3 2 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 2 2. Đáp án và hướng dẫn giải chi tiết Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC a 2, mặt phẳng SAC vuông góc với mặt đáy ABC . Các mặt bên SAB , SBC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC 61
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V B. V C. V D. V 2 4 6 12 Hướng dẫn giải Đáp án D Gọi H là hình chiếu của S trên AC SH  ABC Kẻ HM  AB M AB ,HN  AC N AC Suy ra ·SAB , ABC ·SBC ; ABC S·MH S· NH 60 SHM SHN HM HN H là trung điểm AC SH a 3 Tam giác SHM vuông tại H, có tanS·MH SH HM 2 1 a 2 Diện tích tam giác ABC là: S AB.BC ABC 2 2 1 1 a 3 a 2 a3 3 Vậy thể tích cần tính là: V SH.S . . 3 ABC 3 2 2 12 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách 2a từ D đến mặt phẳng SBC bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD 3 3 3 3 3 A. 2a 2 B. a 10 C. 2a 5 D. 2a 10 15 15 15 15 62
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hướng dẫn giải Đáp án C Gọi H là trung điểm của AB SH  AB SH  ABCD . Kẻ HK  SB K SB mà BC  SAB HK  SBC . Mà 2a AD / / SBC d D; SBC d A; SBC 2d H; SBC . 3 1 1 1 BH.HK a 5 Tam giác SBH vuông tại H,có 2 2 2 . Thể tích HK SH BH BH2 HK2 5 1 1 a 5 2a3 5 khối chóp S.ABCD là V .SH.S . .2a 2 . 3 ABCD 3 5 15 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD .Biết rằng côssin 2 19 của góc giữa SCD và ABCD bằng . Tính a theo thể tích V của khối chóp 19 S.ABCD 19a3 15a3 19a3 15a3 A. V B. V C. V D. V 6 6 2 2 Hướng dẫn giải Đáp án B Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH  AB 63
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Lại có: SAB  ABCD Do đó SH  ABCD . Dựng HE  CD CD  SEH S· EH là góc giữa SCD và ABCD · 1 a 15 Ta có: SH HE tan SEH HE 1 cos2 S· EH 2 1 15a3 Do đó V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 6 Câu 4. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60. Gọi M là điểm đối xứng vưới C qua D và N là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện H1 và H2 , trong đó H1 chứa điểm C. Thể tích của khối H1 là 3 3 3 3 A. 7 6a B. 5 6a C. 5 6a D. 7 6a 72 72 36 36 Hướng dẫn giải Đáp án B Nối MN cắt SD tại Q, MB cắt AD tại P Suy ra mp BMN cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác BPQN và chia H1  V1 khối chóp thành 2 đa diện H  V 2 2 xét tam giác SMN có N, D lần lượt là trung điểm của SC, MC mà SD  MN Q Q là trọng tâm tam giác SMC và MB AD P P là trung điểm của AD V MP MD MQ 1 1 2 1 Ta có M.PQD . . . . . VM.BCN MB MC MN 2 2 3 6 5 5 Mà V V V V V V M.BCN M.PQD 1 1 6 M.BCN 12 S.ABCD 64
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 3 5 1 a 2 2 5 6a Thể tích của khối H1 là V . .tan 60. .a 1 12 3 2 72 Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABC.DA’B’C’D’có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm BCD'. Thể tích V của khối chóp G.ABC'là 1 1 1 1 A. V B. V C. V D. V 3 6 12 18 Hướng dẫn giải Đáp án D Gọi I là trung điểm BC, 2 2 1 1 d G; ABC' d I; ABC' . d C; ABC' d C; ABC' 3 3 2 3 1 1 1 1 1 V V V . V G.ABC' 3 C.ABC' 3 C'.ABC 3 6 ABCD.A'B'C'D' 18 Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt ABC là trung điểm của AB . Mặt bên ACC ' A' tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối lăng trụ này theo a là 3 3 3 3 A. 3a B. a 3 C. 2a 3 D. a 16 3 3 16 Hướng dẫn giải Đáp án A Gọi H là trung điểm của AB A' H  ABC Kẻ HK  AC K AC và A' H  AC AC  A' HK Suy ra ·ACC ' A' ; ABC ·A' K; HK ·A' KH 450 a 3 Tam giác A' HK VUÔNG TẠI H , CÓ ·A' KH 450 A' H 4 a 3 a2 3 3a2 Vậy thể tích khối lăng trụ là V A' H.S . ABC 4 4 16 65
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 7. Cho lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt ABC là trung điểm của AB . Mặt bên ACC ' A' tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối lăng trụ này theo a là 3 3 3 3 A. 3a B. a 3 C. 2a 3 D. a 16 3 3 16 Hướng dẫn giải Đáp án A Gọi H là trung điểm của AB A' H  ABC Kẻ HK  AC K AC và A' H  AC AC  A' HK Suy ra ·ACC ' A' ; ABC ·A' K; HK ·A' KH 450 a 3 Tam giác A' HK VUÔNG TẠI H , CÓ ·A' KH 450 A' H 4 a 3 a2 3 3a2 Vậy thể tích khối lăng trụ là V A' H.S . ABC 4 4 16 Câu 8. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , B· AC 120 . Mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 8 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 66
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi I là trung điểm của B C . Trong A B C : B C 2 A B 2 A C 2 2A B .A C .cos B· A C 3a2 1 a2 3 2S a2 3 a S a.a.sin120 ; A I A B C V A B C 2 4 B C 2a 3 2 AB C  A B C B C Ta có : AI  B C ·AIA 60 A I  B C a 3 Trong tam giác vuông AIA có AA A I.tan 60 . 2 a2 3 a 3 3a3 Vậy thể tích V . . 4 2 8 Câu 9. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . S là điểm đối xứng với O qua CD¢. Thể tích của khối đa diện ABCDSA B C D bằng a3 7 2 A. B. a3 C. a 3 D. a3 6 6 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Chia khối đa diện ABCDSA B C D thành 2 phần: khối lập phương ABCD.A B C D và khối chóp S.CDD C . 3 +) TínhVABCD.A B C D a 1 +) Tính VS.CDC D d S; CDC D .SCDC D 3 67
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 1 a Mà : d S; CDC D d O; CDD C d A; CDD C AD 2 2 2 3 1 1 a 2 a VS.CDC D d S; CDD C .SCDD C a 3 3 2 6 a3 7a3 Vậy thể tích cần tìm V a3 . ABCDSA B C D 6 6 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA 2a, SA  ABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích V của khói chóp S.MNP. 3 3 3 3 A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3 30 6 15 10 Hướng dẫn giải Đáp án A Xét tam giác SAC vuông tại A có AP là đường cao, ta có: 2 2 2 2 SP SA SA 4a 4 SA SP.SC 2 2 2 SC SC SA AC 5a 5 V SM SN SP 1 1 1 1 S.MNP . . . . 1 VS.ABC SA SB SC 2 2 4 5 1 1 a 2 3 3a3 V SA.S .2a. 2 S.ABC 3 ABC 3 4 6 a3 3 Từ (1) và (2), ta có: V . S.MNP 30 Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60 . Mặt phẳng P chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABMN. 3 3 3 3 A. V 3a3 B. V a3 C. V a3 D. V a3 4 2 2 68
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hướng dẫn giải Đáp án C Mặt bên tạo với đáy góc 60 nên S· IO 60 SO a tan 60 a 3 1 2a3 3 V V a 3.2a 2 ; Ta có: S.ACD S.ABC 3 3 VS.ABMN VS.ABM VS.AMN 3 VS.ABM SM 1 a 3 VS.ABM VS.ABC SC 2 3 3 VS.AMN SM SN 1 a 3 . VS.ABM VS.ACD SC SD 4 6 a3 3 a3 3 a3 3 Vậy V V V S.ABMN S.ABM S.AMN 3 6 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA a 2. Gọi B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng cắt SC tại C'. Thể tích khối chóp S.AB'C'D' là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V B. V C. V D. V 9 3 9 3 Hướng dẫn giải 69
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Đáp án C Gọi O là tâm hình vuông ABCD. I SO  B'D' C' AI'SC. BC  AB Ta có: BC  AB' . BC  SA Lại có AB'  SB AB  'SC , tương tự AD'  SC . Do đó: AC'  SC SB' SA2 2 Xét tam giác SAB có: SB'.SB SA2 SB SB2 3 SC' SA2 2 Tương tự: SC SC2 4 V 2 2 1 Do đó: S.AB'C' . . Do tính chất đối xứng nên: VS.ABC 3 4 3 3 3 VS.AB'C'D' 1 a 2 a 2 ;VS.ABCD V . VS.ABCD 3 3 9 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy 70
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi SM ABCD và SA a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1. Khi đó giá trị SA của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là: 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k B. C. D. k k k 2 4 4 2 Hướng dẫn giải Đáp án A SM SN Giả sử MBC cắt SD tại N. Khi đó MN / /BC / /AD suy ra k k 0 SA SD V SM V SM SN V k V k2 Ta có S.MBC k, S.MNC . k2. Do đó: S.MBC ; S.MNC . VS.ABC SA VS.ADC SA SD VABCD 2 VS.ABCD 2 k k2 1 1 5 Bài toán t/m khi k2 k 1 0 k 2 2 2 2 Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 là thể tích V1 của phần đa diện chứa điểm B, V2 là phần đa diện còn lại. Tính tỉ số V2 V 7 V V V 5 A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 V2 2 V2 V2 V2 2 Hướng dẫn giải Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp và tỉ lệ thể tích để làm bài toán. 71
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Cách giải: Vì M , N lần lượt là trung điểm của BB ',CC '. 1 1 1 Suy ra S S V V V V MNC 'B' 2 A'.BCC 'B' A'MNC 'B' 2 BCC 'B' 2 ABC.A'B'C ' A'.ABC 1 1 1 1 Mà VA'.ABC VABC.A'B'C ' VA'MNC 'B' VABC.A'B'C ' VABC.A'B'C ' VABC.A'B'C ' 3 2 3 3 1 V V V V ABC.A'B'C ' ABC.A'B'C ' Vậy tỉ số 1 A'MNABC 3 2 V V 1 2 A'.MNC 'B' V 3 ABC.A'B'C ' Câu 15. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm PB 2018 các cạnh AD, BD. Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho . Tính thể tích V PA 2017 của khối tứ diện PMNC A. 27. 2 B. 9.2018. 2 C. 9. 2 D. 9.2017. 2 12 16.2017 16 16.2018 Hướng dẫn giải Đáp án C A M P N B D H C Gọi H là trọng tâm BCD thì AH  BCD . 2 3 3 Ta có BH . 3 AH AB2 BH 2 9 3 6 3 2 72
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 1 32 3 9 2 Do đó V .AH.S . 6. . ABCD 3 BCD 3 4 4 Lại có 1 d C, ABD .S V MNP S S S S S 1 2017 1 1 2018 1 C.MNP 3 MNP ABD SPM DMN BPN 1 . . 1 VC.ABD SABD SABD 2 4035 4 2 4035 4 d C, ABD .SABD 3 1 9 2 9 2 Vậy V . . C.MNP 4 4 16 Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' cạnh bằng a và K là một điểm nằm 2a trên cạnh CC’ sao cho CK . Mặt phẳng qua A, K và song song với BD 3 V1 chia khối lập phương thành hai phần có thể tíchV1 ,V2 V1 V2 . Tính tỉ số V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 4 V2 2 V2 3 V2 3 Hướng dẫn giải Đáp án B Gọi tâm O, O’ lần lượt là tâm của ABCD, A’B’C’D’. Ta có I AK  OO ' Qua I ta kẻ đường thẳng d song song BD cắt BB', DD' lần lượt tại M, N . Mặt phẳng chính là mặt phẳng KMAN chia khối lập phương thành 2 phần. Ta có 2 phần khối đa diện đối xứng qua AA'C 'C nên ta chỉ cần xét một nửa thể tích của mỗi phần như sau: 3 1 1 a VABC.A' B 'C ' VA.BMKC 1 V2 VA.BMKC AB. BC KC MB 2 . 3 2 6 3 VAKM .A' B 'C ' 2 V1 73
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 17. Cho khối chóp S.ABC có SA SB SC a và ASB BSC CSA 30 . Mặt phẳng qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ V nhỏ nhất. Tính k S.A'B'C' VS.ABC 1 A. k 2 2 B. k 4 2 3 C. k D. k 2. 2 2 4 Hướng dẫn giải Đáp án B Phương pháp: Trải ba mặt bên của hình chóp ra cùng một mặt phẳng. Tìm chu vi của tam giác AB’C’ và tìm SB’, SC’ để chu vi của tam giác AB’C’ là nhỏ nhất. Cách giải: Trải các tam giác SAB,SBC,SAC ra cùng một mặt phẳng A '  A . Ta có SAC SA 'C AC' A 'C' Do đó chu vi tam giác AB’C’ là AB' B'C' C'A AB' B'C' C'A AA ' Dấu “=” xảy ra khi B'  E,C'  F hay SB' SE,SC' SF. Tam giác SAA’ có góc S 90 , SA SA’ a nên tam giác SAA’ vuông cân tại S, do đó SAA ' SA 'A 45 . Xét tam giác SAE có SEA 180 30 45 105 . Áp dụng định SE SA SE a lí sin ta có: SE 1 3 a sin AE sinSEA sin 45 sin105 74
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được SF 1 3 a Vậy chu vi tam giác AB’C” nhỏ nhất khi và chỉ khi SB' SC' 1 3 a V SB' SC' 2 Khi đó S.AB'C' . 1 3 VS.ABC SB SC Câu 18 . Cho hình hộp ABCD.A 'B'C'D'. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện A 'C'BD và khối hộp đã cho. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 6 2 4 Hướng dẫn giải Đáp án A Gọi V là thể tích của khối hộp ABCD.A 'B'C'D' . Khi đó VABCD.A'B'C'D' VA'.ABCD VC.BCD VD.A'C'D' VB.A'B'C' VA.C'BD V V V V 2V V V V V 6 6 6 6 A.C'BD 3 A'.C'BD A'.C'BD 3 V 1 Vậy tỉ số cần tính là A'C'BD . VABCD.A'B'C'D' 3 75
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA x; BC y; AB AC SB SC 1 . Thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi tổng x y bằng: 2 4 A. 3 B. C. D. 4 3 3 3 Hướng dẫn giải Đáp án C SH  BC Gọi H là trung điểm cuả BC khi đó BC  SAH AH  BC 1 1 V V V S HB HC S .BC S.ABC B.AHS C.AHS 3 AHS 3 AHS y2 Ta có: AH SH 1 HB2 1 4 y2 x2 Khi đó HE AH2 AE2 1 Do đó 4 4 x2 y2 x 1 S 1 . V .xy 4 x2 y2 AHS 4 2 12 Câu 20. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD .Gọi V1;V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V1 V2 ? A. 17 2 B. 17 2 C. 17 2 D. 2 216 72 144 12 Hướng dẫn giải Đáp án A 76
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Gọi O là tâm của tam giác BCD OA  BCD Mà AMN  BCD suy ra MN luôn đi qua điểm O. 1 3 Đặt BM x,BN y S .BM.BN.sin M· BN xy. BMN 2 4 2 2 2 2 3 6 Tam giác ABO vuông tại O, có OA AB OB 1 . 3 3 1 2 Suy ra thể tích tứ diện ABMN là V .OA.S xy. 3 BMN 12 Mà MN đi qua trọng tâm của BCD 3xy x y. 2 2 x y 9 xy 1 4 2 2 17 2 Do đó xy xy V ;V . Vậy V V . 4 4 2 9 1 24 2 27 1 2 216 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn x 2 + y2 + z2 = 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là: 77
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 2 2 2 3 2 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 2 Hướng dẫn giải Đáp án A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC . x y z y z x x z y 12 Mà 3 x2 y2 z2 y2 z2 x2 x2 z2 y2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 y2 z2 x2 x2 z2 y2 27 27 2 2 2 2 x y z 2 123 2 2 2 2 Suy ra S.ABC . . Vậy V 12 27 12 27 3 max 3 IV– BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Đề bài Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA 4,OB 5,OC 6 và ·AOB B· OC C· OA 600. Tính thể tích tứ diện OABC. Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA', cắt lăng trụ theo một thiết diện có a2 3 diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 8 Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ tâm của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng a . 6 a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC). b. Tính thể tích của khối lăng trụ. 78
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a . Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD =2a, SA  (ABCD) và SA = a 6 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh CC1,CM 2 .Mặt phẳng đi qua A, M và song somg với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó. Bài 7: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và có 0 0 0 BAD 45 . Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 1200 . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.AFCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AF và DE . Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 45 0. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ  1  A’ xuống (ABC) là H sao cho AP AH . gọi K là trung điểm AA’, là mặt 2 phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích VABCKMN . VA'B'C 'KMN Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. 79
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a và điểm M 2a thuộc cạnh CC' sao cho CM = .Mặt phẳng ( ) qua A, M và song song BD chia 3 khối lập phương thành hai khối đa diện . Tính thể tích hai khối đa diện đó . Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA = a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM = x 2 . ( ) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD). a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) . Tính diện tích thiết diện theo a và x. b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. 2. Hướng dẫn giải Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA 4,OB 5,OC 6 và ·AOB B· OC C· OA 600. Tính thể tích tứ diện OABC. HD: Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB ' OC ' 4 Lấy M là trung điểm của B’C’ OAM  OB 'C ' . Kẻ AH  OM AH  OB 'C ' 2 3 4 6 Ta có AM OM 2 3 MH AH 3 3 1 15 3 1 S OB.OC.sin B· OC Vậy V AH.S 10 2 OBC 2 2 OABC 3 OBC Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA', cắt lăng trụ theo một thiết diện có a2 3 diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 8 80
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi HD: Gọi M là trung điểm của BC, do A’O  (ABC) nên BC  (A' AM ) .Gọi K là điểm thuộc AA’ sao cho KB  AA’, nối KC thì AA’  (KBC) AA’  KM 2 a 3 a 3 a2 3 KM.BC a2 3 a 3 AO . ; KBC có diện tích nên KM 3 2 3 8 2 8 4 Xét A’AM có 2 đường cao A’M và MK nên : A'O.AM KM.AA' (*) đặt A’O = x a 3 a2 a 3 >0 khi đó từ (*) ta có: x.AM AA'.KM x. x2 . ( Do A’AO vuông 2 3 4 a 3 a2 a2 a2 a tại O và AO ) hay 2x x2 4x2 x2 3x2 x . 3 3 3 3 3 Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ tâm của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng a . 6 a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC). b. Tính thể tích của khối lăng trụ. HD: A' C' B' H' H A C O I B Xác định khoảng cách và tính được khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) là a AH’ . 2 a2 3 + Tính được S ABC 4 + Tính đường cao AA’ 81
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Cách 1: 1 1 1 1 4 4 AH '2 AI 2 AA'2 AA'2 a2 3a2 a 6 AA ' 4 Cách 2: ( Phương pháp thể tích ) Gọi AA ' h h a2 3 V . (1) A'.ABC 3 4 1 1 a BC.A' I V AH 'S ( Do A' BC cân tại A’) A.A'BC 3 A'BC 3 2 2 1 3a 2 a2 h2 (2) 12 4 Từ (1) và (2) ta có: 2 2 3 h a 3 1 2 2 3a 3a 2 . a h + VABC.A'B'C ' S ABC .AA ' 3 4 12 4 16 a 6 h 4 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a . HD: 1. H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD SH  AB  Ta có:  SH  ABCD SAB  ABCD  a 3 SH 2 Góc giữa (SCD) và mặt đáy là SMH 600 82
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi SH a Ta có HM tan 600 2 1 a2 a 3 a3 3 V . . S.ABCD 3 2 2 12 2. Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng đi qua H ,  d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K. Khi đó: d BD,SA d I ,(S ,d ) 2d H ,(S ,d ) 2d H ,(SBD) 2HK IH BH BH.AD a 5 Ta có VBIH đồng dạng VBAD IH AD BD BD 10 1 1 1 a 3 Xét VSHI vuông tại H, ta có: HK HK 2 HS 2 HI 2 8 a 3 d BD,SA Vậy 4 . Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD =2a, SA  (ABCD) và SA = a 6 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC HD: 2 VS.HDC SH SH.SB SA 6 Ta có: VH .SDC VS.HDC , 2 2 VS.BDC SB SB SB 7 6 6 1 2 V V . .SA.S a 6.S S.HDC 7 S.BDC 7 3 BDC 7 BDC Gọi K là hình chiếu của B trên AD. AB.BD a 3 1 a2 3 Ta có: BK.AD AB.BD BK= S BK.BC Vậy AD 2 BCD 2 4 3a3 2 V H .SDC 14 83
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh CC1,CM 2 .Mặt phẳng đi qua A, M và song somg với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó. HD: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua A, M và song song với BD . Gọi O AC  BD,O A1C1  B1D1, I AM OO1 . Trong mặt phẳng BDD1B1 qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB1, DD1 lần lượt tại K, N .Khi đó AKMN là thiết diện cần dựng. Đặt V V V V V V . 1 A.BCMK A.DCMN 2 ABCD.A1B1C1D1 1 OI AO 1 1 Ta có: DN BK OI CM 1 CM AC 2 2 Hình chóp A.BCMK có chiều cao là AB 3 ,đáy là hình thang BCMK .Suy ra: 1 1 BC. BK CM 33 9 V AB.S AB. . A.BCMK 3 BCMK 3 2 6 2 9 9 9 Tương tự V . Vậy V 9 V 33 9 18 (đvtt) A.DCMN 2 1 2 2 2 Bài 7: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và có 0 0 0 BAD 45 . Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. HD: 84
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Hình lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều 0 0 cao của hình lăng trụ. Từ giả thiết, ta có: C1 AC 45 , B1DB 60 . 0 2 Từ đó suy ra: AC = CC1 = 2 , BD = 2 cot 60 = . 3 Áp dụng định lí côsin, ta có: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD. cos450 ; AC2 = DC2 +AD2 – 2DC.AD.cos1350. Ta có BD2 –AC2 = 4 4 AB.AD 2 DC.AD( 2) 2 2AB.AD 4 2 2AB.AD AB.ADB 3 3 2 A 0 4 2 4 Từ đó V = AB.AD sin45 .AA1 = . .2 ABCD.A1B1C1D1 3 2 2 3 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 1200 . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.AFCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AF và DE . HD: 85
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi a2 3 Ta có: S AB.BC.sin ABC ABCD 2 1 1 3 3a 2 3 S S S S S ABF 2 ABC 4 ABCD AFCD 4 ABCD 8 a 3 BCD đều cạnh a nên DF , kẻ HK  BC tại K . 2 HK BH 1 a 3 Do HK / /DF HK DF BD 3 6 3 0 a 1 a 3 BC  SHK SBC , ABCD SKH 60 SH VS.AFCD SH.SAFCD . 2 3 16 86
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 45 0. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ  1  A’ xuống (ABC) là H sao cho AP AH . Gọi K là trung điểm AA’, là mặt 2 phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích VABCKMN . VA'B'C 'KMN HD: Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’, S h A D M H C a 3 B ta có: AP AH a 3 2 Vì ' AHA' vuông cân tại H nên A' H a 3 VABCA'B'C' S ABC .A'H 1 a 3 a 2 3 a 2 3 3a3 Ta có: S a. V a 3. (1) ABC 2 2 4 ABCA'B'C' 4 4 Vì ' AHA' vuông cân nên HK  AA' HK  BB 'C 'C Gọi E = MN  KH BM = PE = CN (2) a 6 a 6 mà AA’ = A'H 2 AH 2 = 3a 2 3a 2 a 6 AK BM PE CN 2 4 1 Ta có thể tích K.MNJI là: V S .KE 3 MNJI 87
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 1 a 6 KE KH AA' 2 4 4 a 6 a2 6 1 a2 6 a 6 a3 S MN.MI a. (dvdt) V (dvtt) MNJI 4 4 KMNJI 3 4 4 8 3a3 a3 V 1 ABCKMN 8 8 V 3a2 a3 2 A'B'C 'KMN 8 8 Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. S h A D M H B C HD: SH  BM và SA  BM suy ra AH  BM. 1 h VSABH = SA.AH.BH AH.BH . VSABH lớn nhất khi AH.BH lớn nhất. Ta có: AH + 6 6 BH 2 AH.BH AH 2 BH 2 2AH.BH a 2 a 2 2AH.BH . Vậy AH.BH lớn nhất khi AH.BH = khi AH = BH tức là H là 2 a 2 h tâm của hình vuông , khi M  D . Khi đó: VSABH = . 12 88
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a và điểm M 2a thuộc cạnh CC' sao cho CM = . Mặt phẳng ( ) qua A, M và song song BD chia 3 khối lập phương thành hai khối đa diện . Tính thể tích hai khối đa diện đó. HD: Ta có: VAB1MD1BCD = 2VA.MCBB1 1 1 2 D' C' 2. .AB.S .AB .(BB CM ) 3 BCMB1 3 1 A' B' = M 1 1 2 1 .a2.( a a) a3 D1 3 3 3 3 D B1 C 2 3 A Do đó: V = a . B AB1MD1A'B'C'D' 3 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA = a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM = x 2 . ( ) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD). a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) . Tính diện tích thiết diện theo a và x. b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. HD: S M K A N D O H B C a) Ta có: SA(ABCD) 89
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi (a)(ABCD) SA // (a) (a)(SAB) = MN // SA (a)(SAC) = OK // SA (a)(SABCD) = NH qua O (a)(SCD) = KH Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA MN  (ABCD); OK (ABCD) 1 1 S S S (MN KO).ON .OK.OH td htMKON KOH 2 2 MN = BN = x; KO = SA ; 2 Tính ON, theo định lí hàm số côsin, ta có: a2 a 2 OH ON BN 2 BO2 2BN.BO.cosO· BN x2 2x .cos450 2 2 a2 x2 ax 2 Suy ra: (a 2x) 2x2 2ax a2 s1 4 2 a 2x2 2ax a2 s 1 4 2 1 a2 Vậy: Std = (a x). x2 ax 2 2 b) Để thiết diện là hình thang vuông MK// NO// BC N là trung điểm AB a x 2 S M 90 K A D N O H B E C
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi 1 a3 Gọi V là thể tích khối chóp, ta có: V= .SA.dt(ABCD) 3 3 Mặt phắng ( ) chia khối chóp thành 2 phần V1 , V2 với: V1 =VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 V V1 2 1 1 a a a3 Ta có: VK.OECH .OK.dt(OECH ) . 3 3 2 2 24 2 a 1 a a3 VKOE.MNB ON.dt(MNB) . 2 2 2 16 a3 a3 5a3 11a3 Suy ra: V V V V . 1 24 16 48 2 1 48 V – ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN THEO CHUYÊN ĐỀ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn: Toán Chuyên đề: Thể tích khối đa diện Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông. Gọi S là tâm của hình vuông A' B 'C ' D ' . SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 600 và AB a . Câu 2 (2,0 điểm). Cho khối chóp S.ABC có SA 9, SB 4 , SC 8 và đôi một vuông góc. Các điểm       A', B ',C ' thỏa mãn SA 2SA' , SB 3SB ', SC 4SC '. Thể tích khối chóp S.A' B 'C ' Câu 3 (2,0 điểm). Cho khối chóp S.ABC có BC 2a, B· AC 90, ·ACB . Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông. Tính thể tích của 91
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi hình chóp S.ABC. Câu 4 (2,0 điểm). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Giả sử H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng SHC , SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông. Câu 5 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. AB 2a; BC a ; SA SB SC SD a 2 . Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho SE 2EC , F là điểm thuộc 1 cạnh SD sao cho SF FD . Tính thể tích của khối đa diện SABEF. 3 Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh BB '. Mặt phẳng A'MD chia hình lập phương thành hai khối đa diện. GọiV 1,V2 với V1 V2 V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện tạo thành. Tính tỉ số 1 . V2 Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD b a,b 0 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA 2a . Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho AM x với 0 x 2a . a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) . b) Xác định x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Câu 8 (2,0 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông. Khi AA' AB . Gọi R, S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’D, CD’ sao cho RS vuông góc với mặt a 3 phẳng (CB ' D ') và RS . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a . 3 Câu 9 (2,0 điểm). Xét các khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB a . a 5 SA SB SC SD . Khối chóp nào có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. 2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM 92
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu Đáp án Điểm Câu 1 Gọi H là trung điểm của AC => SH là trung tuyến trong tam giác .SAC . Mặt khác SAC cân tại S => SH là đường cao SH  AC 2,0 đ S M 0,25 I H C A 600 a N B SAC  ABC ; SAC  ABC AC   0,25 SH  SAC ;SH  AC  SH  ABC Gọi I là trung điểm của AH , mà M là trung điểm của SA => IM là đường trung IM / /SH 0,25 bình trong tam giác SAH 1 IM SH 2 SH  ABC  · 0  IM  ABC M· NI MN, ABC 60 0,25 IM / /SH  ABC vuông cân tại B , có AB = a => BC = a; AC a 2 => CI = 3 3 CI AC a 2 . 4 4 0,25 1 a NC BC ; ABC vuông cân tại B µA Cµ 450 . 2 2 0,25 Xét CNI có : a 10 a 30 0,25 NI CI 2 CN 2 2CI.CN.cos I·CN MI IM.tan 600 4 4 a 30 1 1 1 a3 30 SH 2MI V .S .SH . .AB.BC.SH 0,25 2 S.ABC 3 ABC 3 2 12 93
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 2 2,0 đ 0,25 Áp dụng công thức: V SA' SB ' SC ' 1 1 1 1 0, 5 S.A'B'C ' . . VS.ABC SA SB SC 2 3 4 24 V V S.ABC 0,25 S.A'B'C ' 24 CS  SB Xét S.ABC có CS  SBA 0, 5 CS  SA CS.S 8.9.4 V V SAB 48 0,25 S.ABC C '.SABC 3 2.3 48 Vậy V 2 . 0,25 S.A'B'C ' 24 Câu 3 Tam giác ABC có AB 2asin , AC 2a cos nên S a2 sin 2 . 0,5 2,0 đ ABC Vì SAB  ABC và SA SB nên SH  ABC với H là trung điểm cạnh AB. 0,25 Tam giác SBC vuông ở đỉnh nào? Nếu SBC vuông ở B thì CB  BA (theo định lí ba 0,25 đường vuông góc) điều này vô lí vì ABC vuông ở A. Tương tự nếu SBC vuông ở C thì H· CB 90 (vô lí). Từ đó tam giác SBC vuông 0,25 tại S. Gọi K là trung điểm cạnh BC thì 1 1 0,25 SK BC a, HK / / AC và HK AC a cos . 2 2 94
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi SH 2 SK 2 HK 2 a2 sin2 SH asin . 0,25 1 1 1 Từ đó V S .SH a2.sin 2 .a.sin . Vậy V a3.sin 2 sin . 0,25 S.ABC 3 ABC 3 S.ABC 3 Câu 4 Vì SHC và SHD cùng vuông góc với đáy ABCD nên SH là đường cao của hình 0,25 2,0 đ chóp. Hai tam giác SAD và SBC lần lượt vuông tại A và B (theo định lí ba đường vuông góc). 0,25 Tam giác SCD có SC SD (vì HC HD ) nên nó không thể vuông tại C hoặc D. 0,25 Nếu SCD vuông tại S thì SC CD a . Nhưng do SBC vuông tại B nên 0,25 SC BC a . Từ đó SCD không phải tam giác vuông 0,25 Từ giả thiết suy ra SAB phải là tam giác vuông. 0,25 1 a Do SA SB (vì HA HB ) nên SAB vuông tại S, suy ra: SH AB . 0,25 2 2 1 1 a a3 Vậy V S SH a2. 0,25 S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 5 Ta có BD AB2 AD2 a 5 . 0,25 2,0 đ DB a 5 Gọi O AC  BD thì BO 0,25 2 2 Tam giác SBD cân tại S suy ra SO là đường cao của tam giác SBD hay SO  BD . 0,25 Tương tự ta có SO  AC . Suy ra SO  ABCD 0,25 a 3 1 a 3 a3 Ta có SO SB2 OB2 . Vậy V . .2a2 . 0,25 2 SABCD 3 2 3 3 VS.ABE SA SB SE 2 2 1 a Ta có . . VS.ABE VS.ABC VS.ABCD (1) 0,25 VS.ABC SA SB SC 3 3 3 3 3 3 VS.AEF SA SE SF 2 1 1 1 1 a . . . VS.AEF .VS.ACD VS.ABCD (2) 0,25 VS.ACD SA SC SD 3 4 6 6 12 12 3 95
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi a3 a3 5a3 3 Từ (1), (2) ta có V V V . 0,25 SABEF SABE SAEF 3 3 12 3 36 Câu 6 Gọi N là giao điểm của A'M và AB, K là giao điểm của DN và BC. 2,0 đ Mặt phẳng A'MD chia hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . 0,25 A' B ' MB ' Áp dụng định lý Thales ta có 1 BN A' B ' a 0,25 BN MB BK BN AB a Tương tự 1 BK CK . 0,5 CK CD CD 2 Ta có công thức tính thể tích khối tứ diện S.ABC có các cạnh bên SA;SB;SC đôi một 1 0,25 vuông góc với nhau tại S là V SA.SB.SC . 6 1 a3 Lúc này áp dụng ta có V BM.BN.BK . 0,25 BMNK 6 24 1 a3 V .AA'.AN.AD AA'ND 6 3 a3 a3 7a3 Ta thấy V V V V . 0,25 AA'ND BMNK A'MKDAB A'MKDAB 3 24 24 3 3 7a 17a V1 7 Suy ra V1 V2 . 0,25 24 24 V2 17 Do BC / / AD mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN 0,25 ( N SD ) và MN / / AD . 96
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Câu 7a S 2,0 đ M N H A D B C AD  SAB MN  SAB MN  BM 0,25 Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là hình 0,5 thang BCNM vuông tại B và M MN SM b 2a x BM x2 a2 , MN 0,5 AD SA 2a Diện tích thiết diện BCNM: b 2a x 2 2 0,5 b a x 2 2 2a b 4a x a x S BCNM 2 4a ax Kẻ AH  BM tại H, suy ra AH  BCNM , AH 0,25 2 2 Câu 7b a x d S, BCNM MS 2,0 đ Do BCNM  SAB 0,25 d A, BCNM MA a 2a x d S, BCNM 0,25 a2 x2 Thể tích khối chóp S.BCNM: 1 b 2a x 4a x 0,25 VS.BCNM d S, BCNM .SBCNM 3 12 97
Chuyên đề Thể tích khối đa diện ôn học sinh giỏi Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng 2a2b b 2a x 4a x 0,5 nhau: V 2V S.ABCD SBCNM 3 6 x 3 5 a (lo¹i) x2 6ax 4a2 0 0,25 x 3 5 a Vậy x 3 5 a . 0,25            Đặt A' A m, A' D ' n, A' B ' p m n p b;m.n n.p p.m 0     Câu 8 D' C' và A' R x.A' D; D 'S y.D 'C n 2,0 đ A' B' p 0,25 S R m D C A B          Ta có A' R x.m x.n; D 'S y.m y.p RS RA' A' D ' D 'S   0,25 y x m 1 x n y p Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có      RS.B 'C 0 y x m 1 x n y p . m n 0 0,25       RS.D 'C 0 y x m 1 x n y p . m p 0 2 x 1 y 2x 0 3 0,25 2y x 0 1 y 3  2   1  Vậy R, S là các điểm sao cho A' R A' D; D 'S D 'C 0,5 3 3  1  1 1  b2 RS m n p RS 2 0,25 3 3 3 3 98