Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Tổ hợp (Phần 4) - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Tổ hợp (Phần 4) - Ngô Tùng Hiếu

1. 2011 Câu 1. Cho khai triển: 1 x x2 x3 x2010 a a x a x2 a x3 a x4042110 . 0 1 2 3 4042110 a. Tính tổng a0 a2 a4 a4042110 . b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011. Hướng dẫn giải a./ Từ khai triển trên lần lượt cho x 1; x 1 ta được 2011 a0 a1 a2 a4042110 2011 a0 a1 a2 a4042110 1 Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được 20112011 1 A a a a a . 0 2 4 4042110 2 b./ Xét x 1 từ khai triển trên ta có: 2011 2011 2011 2 4042110 1 x 1 x a0 a1x a2 x a4042110 x . 2011 1 Hệ số của x trong vế trái bằng C2011 2011. Hệ số của x2011 trong vế phải bằng 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 Từ đó ta có đẳng thức 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011. Câu 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. Hướng dẫn giải +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên 8 8 có 9 cách chọn và có A9 cho 8 vị trí còn lại. Vậy n A 9A9 . +) Giả sử B 0;1;2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 453 nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập B \ 0; B \ 3; B \ 6; B \ 9 nên số các số loại này là 9 8 9 8 A9 3.8.A8 11 A9 3.8.A8 . Vậy xác suất cần tìm là 8 . 9.A9 27 2006 1 2004 3 2 2005 2007 Câu 3. Tính giá trị của biểu thức: C = 2009 .C2008 2009 .C2008 2009 .C2008 C2008 . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức nhị thức Niutơn ta có: 2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008 (x 1) x C2008 x C2008 x C2008 x C2008 xC2008 C2008 , 2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008 (x 1) x C2008 x C2008 x C2008 x C2008 xC2008 C2008 . (x 1)2008 (x 1)2008 x2007C1 x2005C3 x3C 2005 xC 2007 . 2 2008 2008 2008 2008 (x 1)2008 (x 1)2008 x2006C1 x2004C3 x2C 2005 C 2007 . 2x 2008 2008 2008 2008 Từ đẳng thức trên cho x = 2009 ta được (2010)2008 (2008)2008 20092006 C1 20092004 C3 20092 C 2005 C 2007 . 2.2009 2008 2008 2008 2008 (2010)2008 (2008)2008 Vậy C = . 2.2009 20 2 20 Câu 4. Khai triển P(x) (1 3x) thành P(x) a0 a1x a2 x a20 x .
2. Tìm Max(a1,a2, ,a20 ) Hướng dẫn giải. k k Ta có ak C20.3 , ak 0, k ¥ a 2(20 k) Xét tỉ số A k 1 ak k 1 59 Khi k thì A>1 do đó a a k 0,1, 14 4 k 1 k 59 Khi k thì A<1 do đó a a k 15,16, 20 4 k 1 k 15 15 Mặt khác a15 a14 . Vậy max (a1,a2 , a20 ) = a15 C20 .3 Câu 5. Trong một buổi liên hoan có 9 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp là vợ chồng, cần chọn 3 người đứng ra tổ chức liên hoan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào? Hướng dẫn giải. 3 Có C 18 cách chọn 3 người trong 9 cặp nam nữ 1 Có 4.C 16 cách chọn 3 người trong đó có 1 cặp vợ chồng 3 1 Vậy có C 18 - 4.C 16 = 752 cách chọn 3 người thỏa mãn bài toán. Câu 6. Chứng minh rằng đa thức P(x) (x2 12x 11)4 23 không thể biểu diễn thành tích của 3 đa thức hệ số nguyên và có bậc không nhỏ hơn 1. Hướng dẫn giải. Giả sử phản chứng rằng P(x) Q(x)H (x)R(x) với Q(x), H (x), R(x) [x] và không phải các đa thức hằng. Từ P(x) 0x R , bậc của Q(x), H (x), R(x) là chẵn. Từ đó suy ra rằng hai trong ba đa thức này là đa thức bậc hai. Giả sử rằng degQ(x) deg H (x) 2 . Từ P(1) P(11) 23 suy ra rằng Q(1),Q(11) là ước của 23. Có nghĩa là Q(1),Q(11) 1; 23 . Nhưng bởi vì Q(11) Q(1)10 nên Q(11) Q(1) . Tương tự, H (11) H (1) . Mặt khác, Q(1)H (1) là ước của 23 do đó ít nhất một trong số Q(1) hoặc H (1) là 1. Không mất tính tổng quát giả sử Q(1) 1 thì Q(11) Q(1) 1. Từ đó suy ra Q(x) (x 1)(x 11) 1. Nhưng điều này kéo theo Q(x) có ít nhất một nghiệm thực trong khi P(x) 0x R , mâu thuẫn. Bài toán được giải quyết hoàn toàn. Câu 7. Hội khỏe Phù Đổng năm 2014 có tổ chức thi đấu 4 môn thể thao chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung và quy định điều kiện cho mỗi đội tham gia như sau: . Mỗi vận động viên của một đội chỉ thi đấu duy nhất một môn thể thao. . Mỗi đội có thể lựa chọn số vận động viên cho mỗi môn tùy ý (nhưng tổng số vận động viên đúng bằng 20). Tại lễ khai mạc, mỗi đội xếp thành một hàng dọc, các vận động viên chạy 100m cầm cờ đỏ đứng đầu, tiếp theo đến vận động viên nhảy xa cầm cờ vàng rồi đến vận động viên nhảy cao cầm cờ xanh và cuối cùng là vận động viên bắn cung cầm cờ tím. Giả sử số đội tham dự là đủ lớn, hỏi có thể có tối đa bao nhiêu loại hàng dọc (phân biệt theo độ dài mỗi màu của hàng). Hướng dẫn giải Bài này có thể giải theo phương pháp song ánh để tính số phần tử của tập hợp kết hợp với kỹ thuật dùng dãy nhị phân. 0 a,b,c,d 20 Ta thấy mỗi hàng sẽ tương ứng với một bộ 4 số (a, b, c, d) với để chỉ số a b c d 20 lượng vận động viên thi đấu mỗi môn chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung tương ứng. Với
3. 23  mỗi bộ 4 số như thế ta đặt tương ứng với dãy nhị phân 1 101 101 101 1. Dễ thấy tương a b c d ứng đó là một song ánh và có 3 dãy nhị phân khác nhau do đó có tối đa 3 1771 loại C 23 C 23 hàng dọc khác nhau. n Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , thì phần nguyên của số 2 3 là số lẻ. Hướng dẫn giải Theo công thức nhị thức Newton, ta có: n n k k n k 2 3 Cn ( 3) 2 k 0 n n k k k n k 2 3 Cn ( 1) ( 3) 2 k 0 n n n k k k n k Do đó: 2 3 2 3 Cn 1 ( 1) 3 2 (1) k 0 k Chú ý rằng: Khi k chẵn (k 2m) thì 1 ( 1)k 3 2.3m k Khi k lẻ (k 2m 1) thì 1 ( 1)k 3 0 n n Vậy từ (1) suy ra với mọi n thì 2 3 2 3 là số chẵn. (2) n Mặt khác: 0 2 3 1 0 2 3 1; n n n n n Ta có: 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 n n n Vì 2 3 2 3 1 là số nguyên và 0 1 2 3 1, nên theo định nghĩa phần nguyên ta có: n n n n n n 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 1 n Từ (2) suy ra với mọi n thì 2 3 là số lẻ, suy ra điều phải chứng minh . Câu 8. Có 1000 học sinh gồm 499 học sinh nam và 501 học sinh nữ được xếp thành 10 hàng dọc, mỗi hàng 100 học sinh. Người ta muốn chọn từ 1000 học sinh này ra một nhóm 4 học sinh, trong đó số học sinh nữ được chọn là lẻ và thoả mãn điều kiện sau đây: 4 học sinh này được chọn từ 2 hàng khác nhau và có 2 cặp học sinh có cùng thứ tự đứng trong hàng (tính từ người đứng đầu tiên của hàng đó). Chứng minh rằng số cách chọn các nhóm như vậy là một số lẻ. Hướng dẫn giải Gọi mỗi nhóm 4 học sinh lấy từ hai hàng thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đội. Đặt S = { | là một đội}, O = { S|  có số lẻ học sinh nữ}, E = { S|  có số chẵn học sinh nữ}. Ta cần chứng minh rằng | O | là lẻ. Với mỗi tập con A của S, ta định nghĩa f (A)  g( ) , trong đó g( ) là số học sinh nữ của  A . Vì OE =  và OE = S nên f (S) f (O) f (E) . Hơn nữa f (E) là chẵn, suy ra f (S)  f (O) (mod 2) . Mặt khác, xét một học sinh nữ bất kì. Để tạo thành một đội, học sinh này có thể bắt cặp với một học sinh khác trong hàng bởi 99 cách, sau đó tìm 2 học sinh khác ở hàng khác bởi 9 cách. Suy ra, học sinh nữ này là thành viên của 99.9 = 891 đội. Có nghĩa là học sinh nữ này được tính 891 lần trong f (S) . Vì ta có 501 học sinh nữ nên f (S)  891.501 1(mod 2) .
4. Vì mỗi  O chứa một số số lẻ các học sinh nữ nên f (O) | O | (mod 2) . Suy ra | O | f (O)  f (S) 1(mod 2) . Như vậy số cách chọn những đội là một số lẻ. 2 3 10 11 2 3 110 Câu 9. Cho khai triển: 1 x x x x a0 a1x a2 x a3 x a110 x . Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 10 11 C11a0 C11a1 C11a2 C11a3 C11 a10 C11 a11 11. Hướng dẫn giải Xét x 1 từ khai triển trên nhân hai vế với x 1 11 ta có: 11 11 11 2 110 x 1 x 1 a0 a1x a2 x a110 x (2) 11 k 11k 11 k 11 1 VT (2) C11x 1 Hệ số của x trong vế trái bằng C11 11 k 0 11 k 11 k k 2 110 VP(2) C11x 1 a0 a1x a2 x a110 x k 0 Hệ số của x11 trong vế phải bằng 0 1 2 3 10 11 C11a0 C11a1 C11a2 C11a3 C11 a10 C11 a11 Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh n C1 2C 2 3C3 1 nC n Câu 10. Tính tổng: S n n n n . 2.3 3.4 4.5 n 1 n 2 Hướng dẫn giải C k n! 1 n 1 ! C k 1 Ta có n . n 1 (3) k 1 k! k 1 n k ! n 1 k 1 ! n 1 k 1 ! n 1 1 k kC k 1 k kC k 2 Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: n n 2 k 1 k 2 n 1 n 2 Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có 3 4 5 n n 2 n 1 n 2 S Cn 2 2Cn 2 3Cn 2 1 nCn 2 2 3 3 4 4 5 n n 1 Cn 1 Cn 1 2 Cn 1 Cn 1 3 Cn 1 Cn 1 1 nCn 1 2 3 4 n n 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 1 Cn 1 C 0 C1 C 0 C1 C 2 C3 C 4 C5 1 n 1 C n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n 1 1 1 n 1 n n Vậy S . n 1 n 2 Câu 11. Có bao nhiêu cách chọn ra k người từ n người xếp hàng dọc sao cho không có 2 người liên tiếp được chọn. Hướng dẫn giải Giả sử k người được chọn là: a1;a2 ; ;ak Gọi x1 là số người đứng trước a1 Gọi x2 là số người đứng giữa a1 và a2 Gọi xk là số người đứng giữa ak 1 và ak Và xk 1 là số người đứng bên phải ak Mỗi cách chọn bộ a1;a2 ; ;ak bằng số cách chọn bộ x1; x2 ; ; xk ; xk 1 thỏa mãn
5. k 1 +)  xi n k i 1 +) x1 0; xk 1 0 +) x j 0 i 2;3; ;k 1 Hàm sinh cho cách chọn x và x giống nhau là: 1 t t 2 1 k 1 1 t t Hàm sinh cho số cách chon mỗi x i 2;k giống nhau là: t t 2 t3 i 1 t k 1 1 1 t t k 1 Hàm sinh cho số cách chọn bộ x1; x2 ; ; xk ; xk 1 là: f t . . k 1 1 t 1 t 1 t 1 k f n k 0 Số cách chọn bộ số: a ;a ; ;a bằng số cách chọn bộ số x ; x ; ; x ; x là: . 1 2 k 1 2 k k 1 n k ! Câu 12. Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số trên. Tính tổng các số viết được từ phần a. Câu 13. Cho 5 người gồm 3 nam, 2 nữ ngồi ngẫu nhiên vào 5 chiếc ghế được xếp thành vòng tròn ( Mỗi người một ghế). Tính xác suất để 2 người nữ không ngồi cạnh nhau. 0 1 1 1 2 1 n Câu 14. Tính tổng: S . n C n C n C n C n 2 3 n 1 Câu 15. Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A 1A2 A2n ( với n là số nguyên lớn hơn 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho. 2 2 2010 Câu 16. Tìm hệ số của x trong khai triển : f (x) (x x 1) . 2 1 2 2 2 n Câu 17. Tính tổng S 1 Cn 2 Cn n Cn . Câu 18. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về 3 tỉnh công tác sao cho mỗi tỉnh có 5 người và có ít nhất một nữ. 1 2 n n Câu 19. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1 ta luôn có: Cn Cn  Cn n(2 1) . 1 3 3 2n-1 2n-1 0 2 2 2n 2n Câu 20. Tìm n biết: 256(2C 2n + 2 C 2n + + 2 C 2n) - 254( C 2n + 2 C 2n + + 2 C 2n) = 474.