Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 5) - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 5) - Ngô Tùng Hiếu

1. Bài 1. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 Hướng dẫn giải 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 6 6 2 5 x k2 x k2 3 6 6 3 1 cotx Bài 2. Giải phương trình: 3tan2x 2 2cos 2x 0 cos 2x 1 cotx Hướng dẫn giải cos 2x 0 cos 2x 0 cos 2x 0 ĐK sin x 0 sin x 0 sin x 0 cot x 1 cos x sin x 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành 3sin 2x 3 sin x cos x 2 2cos 2x 0 cos 2x sin x cos x 3sin 2x 3 cos x sin x 2 2cos 2x 0 cos x sin x cos x sin x sin x cos x 3sin 2x 3 2 cos x sin x 2 2cos2 2x 0 3sin 2x 3 2 1 sin 2x 2 1 sin2 2x 0 1 2sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1;sin 2x 2 +) sin 2x 1 cos 2x 0 không thỏa mãn ĐK 2x k2 x k 1 3 6 +) sin 2x (thỏa mãn ĐK) k ¢ 2 2 2x k2 x k 3 3 1
2. Bài 3. Giải các phương trình sau đây: 1) sin x 1 sin 2x cos 2x 2) (1 t anx)sin2x=2tanx 2 Bài 4. Giải phương trình: 2tan x cot x tan2 x sin 2x Hướng dẫn giải +) §iÒu kiÖn +) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0 +) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S: x k 4 Bài 5. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 4(sin4 x cos4 x) 4(sin6 x cos6 x) sin2 4x m cã nghiÖm x ( ; ) 8 4 Hướng dẫn giải +) §a PT vÒ d¹ng: 2cos2 4x cos4x 2m 1 (1) +) §Æt t = cos4x víi x ( ; ) t (-1; 0) 8 4 +) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0) 1 +) §S: m ( ;1) 2 Bài 6. Giải phương trình: 2sin3 x 6cos3 x cos x 3sin x 0 cos2x Bài 7. Giải phương trình: (sinx 2cos x)cos2x sinx (cos4x 1)cos x 2sinx Bài 8. Giải phương trình: Hướng dẫn giải Dùng công thức hạ bậc ta được: Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2 2
3. Từ đó suy ra nghiệm của pt: x Bài 9. Giải phương tình : sin 2x cos2x sin x 2cos2 0 2 1 3 Bài 10. Cho hàm số y cos x . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên ; 4 2 2 9x Bài 11. Giải phương trình: cos3x cos 4 2 x x Bài 12. Giải phương trình: cos x cos x 2 2 sin sin( ) 2 2 2 Bài 13. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 sin(x ) sin(x ) 2sin(5x ) 0 3 6 6 Bài 14. sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 Hướng dẫn giải Ta có: sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 sin3x cos3x 2 cos x sin x 1 0 sin3x sin x cos3x cos x cos x sin x 1 0 2sin 2xcos x 2sin 2xsin x cos x sin x 1 0 2sin 2x cos x sin x cos x sin x 1 0 Đặt: t cos x - sin x 2 cos x ;t 2; 2 4 Ta có: 2(1 t 2 )t t 1 0 2t3 t 1 0 t 1 x k2 1 t 1: 2 cos x 1 cos x 4 4 2 x k2 2 Bài 15. Cho phương trình sau: với m là tham số. 1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 2) Xác định m để phương trình có nghiệm 3
4. Bài 16. Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình khi . 2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm cos x 1 2cos x 1 Bài 17. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x sinx Bài 18. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 4sin x 5 cos x 2sin2x 5 . Hướng dẫn giải BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh 4sin x 5 cos x 2sin2x 5 4sin x 5 cos x 4sin x 5 0 4sin x 5 (1 cos x) 0 cos x 1 5 sin x 4 Do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ x k3600 0 0 x 33 59'16'' k360 0 0 x 146 0'44'' k360 Bài 19. Cho tam giaùc ABC Coù goùc A,B nhoïn thoûa ñieàu kieän : Sin 2 A SinA.CosB SinBCosA Sin 2 B 0 .Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng Hướng dẫn giải Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (SinA CosB)(SinB CosA) 0 (1) (2đ) Lại có : Sin 2 A Cos 2 B Sin 2 B Cos 2 A (SinA CosB)(SinB CosA) 0 (2) (2đ)   Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB A B C Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ) 2 2 4
5. a) Giải phương trình: sin3x cos3x 2 2cos x 1 0 4 Bài 20. Giải phương trình: x x x 1) Sin sinx - cos . sin2x + 1 = 2 cos2 2 2 4 2 x x x 2) 2 cos 2 2 10 Bài 21. Giải phương trình : 3 1 cot x 3tan2x - 2 2cos 2x = 0 cos 2x 1 cot x Bài 22. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 Hướng dẫn giải 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 6 6 2 5 x k2 x k2 3 6 6 x 3 Bài 23. Giải phương trình: sin x 1 tan x.tan tan x 2 3 2 . 2 cos x Hướng dẫn giải x ĐKXĐ: cos x.cos 0 . Phương trình đã cho tương đương 2 5
6. x x cos x.cos sin x.sin sin x 2 2 tan x 2 3 3 3 tan2 x x cos x.cos 2 sin x tan x 2 3 3 3 tan2 x cosx 1 3 tan2 x 2 tan x 3 0 tan x 3 hoặc tan x . 3 tan x 3 x k . 3 1 tan x x k . 3 6 Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là x k ; x k , k ¢ . 3 6 Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm. 2 3 x x cos (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0 2a 2a 3 cos x 1 2cos x 1 Bài 24. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x sinx 3 x 1 3x Bài 25. Giải phương trình: sin sin 10 2 2 10 2 Bài 26. Giải phương trình: cos x 3 3 sin x cos7x Hướng dẫn giải cos x cos7x 3 3 sin x 0 2sin 3xsin 4x 3 3 sin x 0 2sin 4xsin x(3 4sin 2 x) 3 3 sin x 0 sin x 0 (1) sin x2sin 4x(1 2cos 2x) 3 3 0 2sin 4x(1 2cos 2x) 3 3 (2) Gi¶i (1) ta ®­îc x=k víi k  3 3 3 3 Gi¶i (2): Ta cã (2) 2sin4xcos2x sin4x 4sin2xcos2 2x sin4x (3) 2 2 cos 2 2x cos 2 2x cos2 2x cos2 2x (sin2xcos2 2x)2 Áp dông B§T C«si cho 3 sè: sin 2 2x, , ta có : 1 sin2 2x 33 2 2 2 2 4 2 2 3 3 sin2xcos2 2x sin2xcos2 2x . Do ®ã 4sin 2x cos 2 2x sin 4x 1< 3 3 3 3 2 Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm. 6
7. KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k víi k  2 x Bài 27. Giải phương trình: sin x cos x 2sin2 sin x 2 3sin x 4 3 . 2 Hướng dẫn giải PT 1 2sin x cos x 1 cos x 2 3 sin2 x 4sin x 3 sin x 2 4sin x 2sin x cos x cos x 2 3 sin2 x 3 sin x 2 1 2sin x cos x 2sin x 1 3 sin x 2sin x 1 2sin x 1 0 2sin x 1 3 sin x cos x 2 0 3 sin x cos x 2 0 +) 3 sin x cos x 2 0 sin x 1 6 x k2 x k2 , k ¢ . 6 2 3 x k2 1 6 +) 2sin x 1 0 sin x k ¢ . 2 5 x k2 6 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k2 , x k2 , x k2 k ¢ 3 6 6 7