Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 3) - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 3) - Ngô Tùng Hiếu

1. (cos x 1)(2cos x 1) Bài 1. Giải các phương trình sau: 1 sin 2x 2cos2 x. sin x Hướng dẫn giải. Điều kiện: sin x 0 x m (m Z). Phương trình đã cho tương đương với: 2cos2 x 3cos x 1 sin x 2sin2 x.cos x 2sin x.cos2 x . cos 2x 3cos x 2 sin x cos x(1 cos 2x) sin x(1 cos 2x) . cos x2x 2(sin x cos x 1) cos2x(sin x cos x) 0 . cos 2x 2 0 cos 2x 2 sin x+cos x 1 0 . sin x+cos x 1 0 cos 2x 2 x k2 . 2 (k Z). sin x x k2 4 2 2 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x k2 ( k ¢ ). 2 2 x 2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 4sin 3 cos 2x 1 2cos x . 2 4 Hướng dẫn giải. 3 Phương trình đã cho tương đương với 2 1 cos x 3 cos 2x 1 1 cos 2x . 2 2cos x 3 cos 2x sin 2x . 1 3 sin 2x cos 2x cos x . 2 2 sin 2x cos x . 3 sin 2x sin x . 3 2 5 2 2x x k2 x k 3 2 18 3 (k ¢ ). 5 2x x k2 x k2 3 2 6 Bài 3. Giải phương trình sin 2x 2cos x 0. Hướng dẫn giải. Phương trình đã cho tương đương với 2sin x.cos x 2cos x 0 . 2cos x(sin x 1) 0 . cos x 0 . sin x 1
2. x k 2 x k (k ¢ ). . 2 x k2 2 3tan 2x Bài 4. Giải phương trình: 2 3.sin 2x 3 . 2 sin 2x 1 Hướng dẫn giải. sin 2x 0 1 Điều kiện: sin 2x * ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm). 4 cos2x 0 sin 2x Khi đó: PT(1) 4 3.sin 2x 2 3.sin 2x 3 2 3.sin 2x 3 . cos 2x 2 3.sin 4x 3sin 2x 3 cos 2x . 3 1 sin 4x sin 2x cos2x sin 4x sin 2x 2 2 6 4x 2x k2 x k . 6 12 k,k ' Z 5 4x 2x k '2 x k ' 6 36 3 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 5 x k , x k ' k,k ' Z, k ' 6m 2, k ' 6m 5, m Z . 12 36 3 Bài 5. Cho phương trình: sin4 x cos4 x cos2 4x m. ( m là tham số). 3 1) Giải phương trình khi m . 2 2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; . 4 4 Hướng dẫn giải. Phương trình đã cho tương đương với: 3 cos 4x cos2 4x m. 4 4cos2 4x cos 4x 4m 3 (1).
3. 3 1) Với m ta có phương trình: 2 cos 4x 1 x k 2 4 2 4cos 4x cos 4x 3 0 3 . cos 4x 1 3 4 x arccos k 4 4 2 2) Đặt t = cos4x ta được: 4t 2 t 4m 3 , (2). Với x ; thì t  1;1. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ; khi và chỉ khi 4 4 4 4 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t  1;1. (3). Xét g(t) = 4t 2 t với t  1;1. ta có bảng biến thiên : t 1 1 1 8 5 3 g(t) 1 16 1 47 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra 4m 3 3 m 16 64 2 47 3 Vậy giá trị m cần tìm là: m . 64 2 Bài 6. Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. Hướng dẫn giải Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 . 2 Đáp số: x k2 , x k (k Z) . 3 4
4. 17 Bài 7. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin A.cos B.sin C 3(cos A sin B cosC) . 4 Hướng dẫn giải 2 2 2 3 3 3 Đẳng thức cos A sin B cosC 0 . 2 2 2 Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200. Bài 8. Giải phương trình : 2cos x 3 sin x cos x 1 1. Hướng dẫn giải 2cos x 3 sin x cos x 1 1 . cos 2x 3 sin 2x 2cos x . cos 2x- cos x . 3 2x- x k2 3 . 2x- x k2 3 Bài 9. Giải phương trình: 2sin x + 3 = 0. Hướng dẫn giải 3 2sin x + 3 = 0 sin x . 2 sin x sin . 3 x k2 3 (k ¢ ) . 4 x k2 3 2 cos2x sin 2x Bài 10. Giải phương trình: 3 cot x 3 . sinx cosx Hướng dẫn giải 2 cos2x sin 2x 3 cot x 3 . sinx cosx Điều kiện : sin x.cos x 0 sin 2x 0 x n ,n ¢ . 2
5. cos 2x cos x sin 2x sin x PT 3 cot2 x 3 . sin x cos x cos x 3 cot2 x 3 . sin x cos x 3 3 cot2 x . sin x 1 3 2 0 . sin2 x sin x 1 2 t 1(lo¹i) Đặt : t , | t | 1. Ta có: t 3t 2 0 . sin x t 2 x k2 1 1 6 Với t 2 2 sin x (k Z) . sin x 2 5 x k2 6 x k2 3 k ¢ . 2 x k 9 3 Bài 11. Hướng dẫn giải (Sin2x sin x 4)cos x 2 Xét phương trình: 0 (1). 2sin x 3 3 Điều kiện: sin x . 2 1 Phương trình (1) sin 2x.cos x sin 2x 4cos x 2 0 . 2 1 1 sin 2x cos x 4 cos x 0. 2 2 1 cos x sin 2x 4 0 . 2 x k2 . 3 Đối chiếu với điều kiện: x k2 . 3 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 . 3
6. x x2 1 y y2 1 1 (1) Bài 12. Giải hệ: (x, y ¡ ) . 1 1 x2 x 1 2 1 y2 (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1, y 1. x, y ¡ , ta có x x2 1 x x2 1 1 và y y2 1 y y2 1 1. 2 2 y y 1 x x 1 (3) Kết hợp với 1 ta được: . 2 2 x x 1 y y 1 (4) Cộng 3 và 4 ta được y x , thế vào 2 ta được: 1 1 x2 x 1 2 1 x2 (5) Đặt x sin t,t 0; , phương trình 5 trở thành 2 1 cost sin t(1 2cost) t t t 2 t 2 cos 2sin .cos . 1 2 1 2sin 2 2 2 2 4 t k t 3 t 2 t 6 3 3sin 4sin sin 3 sin . 2 2 2 2 4 4 t k 2 3 t 1 6 x Với t 0; , ta được 2 . 2 t x 1 2 1 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là ; và 1; 1 . 2 2 Bài 13. Giải các phương trình sau: cos5x 5cos x . Bài 14. 1. Cho phương trình: cos 2x m 1 sin x m 0. a) Giải phương trình với m 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; ]. 2. Tính các góc của tam giác ABC biết: cos3A cos3B cos3C 1,5 .
7. 3 Bài 15. Giải phương trình: 2 2cos x 3cos x sinx 0 . 4 Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x cos4 x sin2 x cos xsin x . 2 Bài 17. Cho số thực x thỏa mãn sin x 2 sin x . 7 tan x 7 Bài 18. Tính giá trị biểu thức P . tan 7 (sin 2x sin x 4)cos x 2 Bài 19. Giải phương trình 0 . 2sin x 3