Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học phẳng - Dạng 6: Hình học Oxy về đường thẳng - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học phẳng - Dạng 6: Hình học Oxy về đường thẳng - Ngô Tùng Hiếu

1. Loại 6: Hình học Oxy về đường thẳng. Câu 1. [Đề chọn HSG lớp 11] Cho đường tròn (C): x2+y2=R2 và điểm M (a,b) nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 đến đường tròn (T1, T2 là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng T1T2. Câu 2. [ Đề ôn thi đội tuyển festival. Đề số 3 ] Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B 2; 1 , đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt có phương trình là d1 :3x 4y 27 0 và d2 x 2y 5 0. LOẠI 6:Hình học Oxy về đường thẳng. Câu 3. [SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2015 – 2016] Cho tam giác ABC có đỉnh A 1;2 , đường trung tuyến BM có phương trình 2x y 1 0 và phân giác trong CD có phương trình x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC . Hướng dẫn giải Ta có: C t;1 t t 1 3 t Trung điểm M của AC là M ; 2 2 t 1 3 t Ta có M BM 2 1 0 t 7 . Vậy C 7;8 . 2 2 Từ A 1;2 kẻ AK vuông góc CD tại I K BC . Phương trình đường thẳng AK: x y 1 0 . x y 1 0 Tọa độ điểm I: I 0;1 x y 1 0 Ta có tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm AK K 1;0 Phương trình đường thẳng BC đi qua C LOẠI 7:Hình học Oxy về đường tròn. Câu 4. [SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2014 – 2015] 2 2 Trong mặt phẳng, với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C1): x y 13, đường tròn (C2): 2 2 (x 6) y 25 . Gọi giao điểm có tung độ dương của (C 1) và (C2) là A , viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Hướng dẫn giải
2. (C1) có tâm O 0;0 , bán kính R1 13 (C2) có tâm I 6;0 , bán kính R2 5 Giao điểm của (C1) và (C2) là A 2;3 và B 2; 3 (Vì A có tung độ dương nên A(2;3). Đường thẳng d qua A có phương trình: a x 2 b y 3 0 (a 2 b2 0) hay ax by 2a 3b 0 . Gọi d1 d(O,d);d2 d(I,d) 2 2 2 2 2 2 Yêu cầu bài toán trở thành: R2 d2 R1 d1 d2 d1 12 2 2 (4a 3b) (2a 3b) 2 b 0 2 2 2 2 12 b 3ab 0 a b a b b 3a Với b 0 , chọn a 1, suy ra phương trình d là: x 2 0 Với b 3a , chọn a 1 b 3 , suy ra phương trình d là: x 3y 7 0 . Bài 1: (ĐỀ THI HSG – THPT Dương Xá – NH: 2008 – 2009) m 1 m2 Cho họ đường thẳng d : y x . Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ m m2 m 1 m2 m 1 sao cho không có bất kỳ đường thẳng nào thuộc họ dm đi qua. Hướng dẫn giải: m 1 m2 Gọi x , y là điểm cần tìm, khi đó phương trình sau: y x 0 0 0 m2 m 1 0 m2 m 1 2 m y0 1 m y0 x0 y0 x0 0 1 vô nghiệm TH1: y0 1. 1 m 1 x0 1 x0 0 luôn có nghiệm m TH2: y0 1, khi đó (1) vô nghiệm y0 x0 x0 3y0 4 0 y0 x0 0 y0 x0 0 (I) hoặc (II) x0 3y0 4 0 x0 3y0 4 0 Từ đó suy ra các điểm thỏa mãn là phần không bị gạch trong hình nhưng không bao gồm cạnh và không bao gồm đỉnh A 1;1
3. 4 3 A 1 0 1 4 x Bài 2: (ĐỀ THI HSG – THPT Dương Xá – NH: 2008 – 2009) Cho ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến BM ,CN . Gọi là góc giữa hai đường thẳng BM ,CN . Chứng minh 4 rằng khi đó cos . 5 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: y C N G A M B x b c b c A 0;0 , B b;0 ,C 0;c , M ;0 , N 0; ,G ; 2 2 3 3 b c 2b c   2b2 c2 b2 c2 GM ; ; GB ; ; GM.GB 6 3 3 3 18 9 9  b2 4c2  4b2 c2 GM ; GB 6 3     2(b2 c2 ) GM.GB GM GB cos cos b2 4c2 4b2 c2 5(b2 c2 ) Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có (b2 4c2 )(4b2 c2 ) 2 4 Suy ra cos . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b4 4c2 4b2 c2 b c 5 Bài 3: (Kỳ thi HSG cấp tỉnh Trà Vinh năm học 2014 – 2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E 2;2 . Viết phương trình đường thẳng d qua E và cắt hai trục Ox , Oy tại hai điểm A, B sao cho: a. OAB có chu vi nhỏ nhất.
4. b. Khoảng cách từ O đến d lớn nhất. Bài 4: (Đề thi chọn HSG tỉnh Vĩnh Long – NH : 2015 – 2016) Cho ABC có đỉnh A 1;2 , đường trung tuyến BM có phương trình 2x y 1 0 và phân giác trong CD có phương trình x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC . Hướng dẫn giải: t 1 3 t Ta có: C t;1 t . Trung điểm M của AC là M ; 2 2 t 1 3 t Ta có M BM 2 1 0 t 7 . Vậy C 7;8 . 2 2 Từ A 1;2 kẻ AK vuông góc CD tại I K BC . Phương trình đường thẳng AK: x y 1 0 . x y 1 0 Tọa độ điểm I: I 0;1 x y 1 0 Ta có tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm AK K 1;0 Phương trình đường thẳng BC đi qua C và K là: 4x 3y 4 0 Bài 5: (Đề thi đề nghị trường THPT chuyên Lê Quý Đôn TP. Đà Nẵng – hội thi HSG duyên hải Bắc bộ lần thứ VII) Cho n -giác đều A1 A2 An n 3 nội tiếp đường tròn O; R và đường thẳng d tùy ý. Qua các điểm Ak k 1,n vẽ các đường thẳng song song với d cắt 2 2 2 đường tròn O tại các điểm Bk k 1,n . Chứng minh tổng Sn A1B1 A2 B2 An Bn không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d . Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục Oxy , sao cho gốc tọa độ là tâm đa giác, trục Ox vuông góc với d . Không mất tính tổng quát, giả sử có thể giả sử đa giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị ( R 1).  k 1 k 1 Đặt Ox;OA thì A cos ;sin 1 k n n k 1 k 1 và B cos ; sin ,k 1,2, ,n . k n n n n n 2 2 k 1 2 k 1 Sn  Ak Bk 4sin 2n cos 2 k 1 k 1 n k 1 n
5. n 2 k 1 1 n 2 k 1 Tn cos 2 cos 2 cos k 1 n k 1 n n cos n 1 n 2k 1 2k 3  cos 2 cos 2 k 1 n n 2cos n 1 2n 1 cos 2 cos 2 0 n n 2cos n Vậy Sn 2n Tn 2n. Câu 5. [ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM 2013-2014] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình 17 9 vuông ABCD có A 1;3 . Biết M 4;6 thuộc cạnh BC và N ; thuộc đường 2 2 thẳng DC . Tính diện tích hình vuông ABCD . LOẠI 6:Hình học Oxy về đường thẳng. 1 Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): 2 + 2 ―2 ― 3 = 0 và điểm M(0; ) . Chứng 3 minh rằng M nằm trong đường tròn, hãy viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C ) tại hai điểm A, B sao cho AB 3MA. (Quảng Xương II) Hướng dẫn giải: B H I M A Tâm I(1;0) bán kính R 2 4 Ta có IM 2 R2 4 suy ra M nằm trong đường tròn 3 Gọi H là trung điểm AB suy ra 2HM MA, ta tính được IH 1
6. Suy ra đường thẳng cần tìm qua M và khoảng cách từ I tới đt cần tìm bằng 1.Ph. trình đt d 1 có dạng: a(x 0) b(y ) 0 3 1 a(1 0) b(0 ) 3 b 0 Ta có d(I,d) 1 a2 b2 b 3a Tìm được 2 đt d là: x 0 và x 3y 1 0 Câu 7. a) Viết PT đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2x y 1 0 và d2 : x 2y 3 0 đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. b) Cho ABC , biết A 8;9 , B 1;2 , C 2;0 . Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A (Trường THPT Kim Bôi)