›
›
›

Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Các dạng khác - Ngô Tùng Hiếu

docx 29 trang nhungbui22 11/08/2022 2720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Các dạng khác - Ngô Tùng Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_on_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_11_bai_tap_gioi_han_d.docx

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Các dạng khác - Ngô Tùng Hiếu

  1. 3.4. CÁC DẠNG KHÁC x 2016 1 Bài 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để dãy số xn : m có giới hạn hữu hạn. x n N * n 1 2  1 xn Hướng dẫn giải *) m 0 0 xn m n 1. m 2mx Xét hàm số: f (x) ta có f '(x) f x nghịch biến trên 0;m . x2 1 (x2 1)2 Suy ra (x2n ),(x2n 1) đơn điệu và bị chặn. 2017 x1 x3 x5 + 0 m x1 x2 , x3 . 2016 x2 x4 x6 4m m f ( f (1)) 1, x 1 x 1 n N * . m2 4 2 2017 2n a(1 b2 ) m Giả sử lim x a,lim x b a 1, (I) . 2n 2n 1 2 b(1 a ) m a b (II) 3 a a m 1 (I) b . a (III) 1 a m a Khi o m 2 hệ (I) có nghiệm duy nhất xn có giới hạn hữu hạn. 2017 Khi 2 m hệ (II) có nghiệm duy nhất lớn hơn 1 và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a b . Do đó 2016 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn. 2017 x1 x3 x5 m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 . 2016 x2 x4 x6 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn. * + m 2017 2016 xn 2016 n N limxn 2016 . x1 x3 x5 + m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 . x2 x4 x6 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn. *) m 0 tượng tự ta có 0 m 2 và m 2017 2016 .
  2. x3 6x 6 Bài 2. Cho số thực xét dãy số x được xác định bởi x a, x n n ,n 1,2, Tìm a, n n 1 1 n 1 2 3xn 9xn 7 tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a 1thì xn 1,n 1nên lim xn 1. n 3 3 xn 1 1 xn 1 2 Với a 1 thì xn 1 2 , xn 2 2 ,n 2 . 3xn 1 9xn 1 7 3xn 1 9xn 1 7 3 3n 1 xn 2 xn 1 2 a 2 Do đó ,n 1. xn 1 xn 1 1 a 1 n 1 n 1 2 a 1 3 a 2 3 Từ đó, tính được xn n 1 n 1 ,n 1,. a 2 3 a 1 3 3 Kết luận + a a 1 a 2 lim xn 2 . 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xn ,n 1 lim xn 2 2 n 2 1 an 1 an bn Bài 3. Cho hai dãy số dương a , b xác định bởi: a 3,b 2 và 1 a . Với n n 0 n n 0 0 0 n 1 2 2 an 1 bn mọi n 0,1,2, Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh bằng quy nạp a tan ,b ,n 0,1,2, (*) . Thật vậy. n n n 3.2 cos 3.2n 1 Với n 0 , ta có a 3 tan tan ,b 2 , vậy * đúng. 0 0 0 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 Với n 1, ta có a tan tan ,b , vậy * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 cos 3.21 1 Giả sử khẳng định đúng đến n k,k 1, tức là a tan ,b . n n n 3.2 cos 3.2n 1 Ta chứng minh a tan ,b . Thật vậy. Từ 1 ta có. n 1 n 1 n 1 3.2 cos 3.2n 1
  3. sin 1 2sin cos sin2 cos2 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 2 2 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2n 1 3.2n 1 2 sin n 1 cos n 1 3.2 3.2 cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 sin cos tan 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 n 1 cos sin 1 tan 3.2 3.2n 1 3.2n 1 3.2n 1 1 1 Khi đó từ 2 , suy ra b2 a2 1 tan2 1 b . n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2n 1 3.2n 1 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan ,b ,n 0,1,2, . n n n 3.2 cos 3.2n 1 1 Do đó lim an lim tan tan 0 0; lim bn lim 1. n n n n 3.2 n cos cos0 3.2n Kết luận: lim an 0; lim bn 1.■. n n u1 2014 Bài 4. Cho dãy số (un ) xác định như sau : 2 2 . Tìm điều kiện của a un 1 un (1 2a)un a ;n 1,2, để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng knn ; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. 2 2 Giả sử lim un L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: n L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k trái với kết quả lim un L a . n 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a .
  4. Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, (H/s trình bày ra). Như vậy dãy (un ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 a thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và lim un a . n x1 a Bài 5. Cho dãy số x thỏa mãn 2x3 . Tìm a sao cho dãy số xác định và có giới n x n ,n 1,2,3, n 1 2 3xn 1 hạn hữu hạn. Hướng dẫn giải 2x3 3 Đặt f x , x . Ta có x a, x f x . Ta có. 3x2 1 3 1 n 1 n 2 2 6x4 6x2 6x x 1 f ' x 2 2 . 3x2 1 3x2 1 Bảng biến thiên. 3 Ta xây dựng dãy số như sau a , a f a , a f a , a f a , . 0 3 0 1 1 2 2 3 Nhận thấy a1,a3 , ,a2k 1, 0; a0 ,a2 , ,a2k , 0 . 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a ;0 ,a f 1 a 0; . 1 2 1 3 3 a2 a0 f a3 f a1 a3 a1 f a4 f a2 a4 a2 . 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy a đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy a đơn điệu 2k 3 2k 1 3 tăng và bị chặn bởi và 0. Từ đó tồn tại lim a2k , lim a2k 1 . 3 k k Ta có an f an 1 f f an 2 lim an f f lim an 2 l f f l . 3 2l3 2 2 3l 1 2 1 2 4 2 l 2 l l l 1 20l 15l 5 0 (*). 2l3 5 3 2 1 3l 1 2x3 3 3 3 (do f x , x liên tục trên ;0 , 0; và l lim an ). 2 n 3x 1 3 3 3 3 1 3 5 Xét 0 l . Ta có f f an an an 2 an 0 nên * an . Vậy l . 3 5 3 5
  5. 5 Tương tự ta chứng minh được dãy a đơn điệu tăng, hội tụ về . 2k 1 5 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a thì x2 x1, x3 x2 nên ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. +) Nếu tồn tại n sao cho a an thì ta có. 3 x a f x f a x a f x f a x a , , x a . 1 n 1 n 2 n 1 2 n 1 3 n 2 n 1 0 3 Khi đó không tồn tại xn 2 . Vậy nếu a an thì dãy không xác định. 5 +) Nếu 0 a thì hai dãy con x , x cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0. 5 2k 2k 1 Nếu a 1 thì x2 f a a x1 và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1. Khi đó dãy hội tụ về 1. 3 +) Nếu a 1 thì x f a 1. Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ x . Trường hợp này dãy đơn điệu 3 2 2 giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về1. +) Nếu a = 1 thì xn 1 n nên dãy hội tụ về 1. 5 3 5 3 +) Nếu a ta có lim a2n và a0 nên tồn tại a2k ,a2k 2 sao cho a2k 2 a a2k (Thật 5 3 5 n 3 3 vậy, các số hạng của a không thể cùng nằm bên trái a do a , chúng cũng không thể cùng nằm 2k 0 3 3 5 bên phải a do nếu thế thì a a2n lim a2n ). 3 n 5 3 Vậy a a ;a x a ;a , , x a ;a , x a ; x . Khi đó ta lại có dãy 2k 2 2k 2 2k 2k 2 2k 2 0 2k 2 0 2k 2 3 đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1. 5 3 Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp a 0, 1 a , a 1, a 1 ta khảo sát tương tự. 5 3
  6. Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là. 3 5 a ; a ; a a ,n 1,2,3, 3 5 n n Bài 6. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. Chứng minh rằng an lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak . ak 2 ak k 1 ak k 0 . ak 1 ak k 0 (đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1. an an a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1). an an Áp dụng (1) ta có. a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 . an n an 1 an 1 n 1 an a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 . a2a3 an
  7. a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 . a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2). i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1). an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ). an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n * 1 a Bài 7. Cho p ¥ , a 0 và a1 0 . Xét dãy số (an ) được xác định bởi: an 1 ( p 1)an p 1 , p an với mọi n 1. Chứng minh dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Côsi ta có:. 1 a 1 p 1 a p a a a a p. p a . a , với  n 1. (1). n 1 p n nn a p 1 p n a p 1 p 1 n n 1 a an 1 an ( p 1)an p 1 an p a Do đó: n . p an a an a p 1 p 1 0;  n 2 (2) p p.an p.an p Từ (1) và (2) ta có dãy số (an ) giảm và bị chặn dưới bởi a ;. suy ra dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn khi n p Giả sử lim an L ; ( L a ). n
  8. 1 a Chuyển qua giới hạn hệ thức an 1 ( p 1)an p 1 . p an 1 a ta có phương trình L ( p 1)L pLp ( p 1)Lp a . p Lp 1 Lp a L p a (thỏa mãn điều kiện). p Vậy lim an a . n 1 1 Bài 8. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn xn 1 1 với mọi xn * n ¥ . Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f '(x) x 1 ; f '(x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) . 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 . xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . un (0;1) Bài 9. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn n 1đều un 1(1 un ) c hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải
  9. Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1. 4 1 un un (1 un ) 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra u (4c)n 1u . Do 4c 1 nên u khi n . Do đó, c không n 1 n 4 thỏa mãn. 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,b ; , a b sao cho . Thật vây, lấy 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c a ; , đặt b a x (x 0) , thì. 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi. a khi n 2m un . b khi n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ. 4 4(1 un ) 4un (1 un ) 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu n 4 2 n 2 2 * Bài 10. Cho dãy số un xác định như sau: u1 2 , un 1 un un 1, n ¥ . Tìm giới hạn của dãy sn 1 1 1 * với sn , n ¥ . u1 u2 un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2 . 2 Xét tính đơn điệu của dãy un . Từ hệ thức un 1 un un 1 ta suy ra được * 2 n ¥ ,un 1 un un 1 0 , vậy dãy số un tăng. Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un 1 1 un un 1 . 1 1 1 1 1 1 1 * với n ¥ * . un 1 1 un un 1 un 1 un un un 1 un 1 1 Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :.
  10. 1 1 1 1 1 . u1 u2 un un 1 1 Do dãy un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:. 1) Dãy un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un a a 2 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n a a2 a 1 a2 2a 1 0 a 1, vô lý. 2) Dãy không bị chặn trên, do un tăng và không bị chặn trên nên 1 lim un lim un 1 lim 0. n n n un 1 1 1 1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim lim 1 1. n n u1 u2 un un 3 1 un Bài 11. Cho dãy số (un) thỏa mãn : u0 2016;un 1 un . Tính lim . 2 n un n Hướng dẫn giải 3 3 1 3 3 1 (un 1) un 2 un 3 3 6 . un un un 3 3 3 1 3 Do un 0 n => (un 1) un 3 3 6 un 3 ,n . un un 3 3 3 suy ra (un ) u0 3n 2016 3n, n ¥ (1). Lại có. 3 3 1 3 3 1 (un 1) un 2 un 3 3 6 un un un . 3 3 1 3 1 1 un 3 3 2 un 3 2 2016 3n 20163 3n n 3n 3 3 1 1 => (un 1) un 3 n ¥ . n 3n 2 Suy ra. n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 (u )3 u3 3(n 1) u3 3n . n 1   2 1   2 k 1 k k 1 9k k 1 k k 1 9k n 1 1 1 1 1 Do 1 2 2 .  2 k 1 k 1.2 2.3 (n 1)n n 2 n 1 n 1 và n 2n (Bất đẳng thức Bunhiacopxki).   2 k 1 k k 1 k
  11. 2 suy ra (u )3 u3 3n 2n (2). n 1 9 Từ (1) và (2) suy ra. 2 20163 3n (u )3 u3 3n 2n , n ¥ n 1 9 . 20163 (u )3 u3 2 2 3 n 1 3 , n ¥ n n n 9n n u3 Do đó lim n 3. n n Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số xn xác định bởi: x1 a, xn 1 ln 3 cos xn sin xn 2014, n 1,2 Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n Hướng dẫn giải Đặt f x ln 3 sin x cos x 2014,x ¡ . cos x sin x f ' x . 3 sin x cos x 3 f ' x 2 cos x 2 f ' x sin x 4 4 . 2 2 2 9 f ' x 2 2 f ' x f ' x q,x ¡ 7 Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ , thì với mọi số thực x,y tồn tại z ¡ sao cho:. f x f y f ' z x y q x y f x f y q x y ,x, y ¡ . * m n 1 Với m n m,n ¥ , ta có: xm xn f xm 1 f xn 1 q xm 1 xn 1 q xm n 1 x1 . * Mặt khác: 2014 xn 2014 ln 5,n ¥ xn bị chặn. * m n 1 Do đó:  0,N ¥ : q xm n 1 x1 ,m n N. . Vậy xn là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ. u v Bài 13. Cho hai dãy số u  và v  xác định như sau: u 1,v 2,vàu n 1 n 1 ,v u v khi n n 1 1 n 2 n n n 1 n 2 . Chứng minh rằng hai dãy un và vn có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 a b Ta có cos suy ra u cos v mà a n 1 n 1 ,b a b khi n 2 . 3 2 1 3 1 n 2 n n n 1 u v Suy ra u 1 1 2cos2 3 ,v u v 2cos 3 . 2 2 2 2 2 1 2
  12. u v u 2 2 2cos 3 cos2 3 ,v u v 2cos 3 cos . 3 2 2 4 3 3 2 2 3 bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được. u v u n 1 n 1 2cos 3 cos 3 cos 3 cos2 3 . n 2 2 22 23 2n 1 v u v 2cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 . n n n 1 2 22 23 2n 1 sin 2 Mặt khác cos nên ta có. 2sin sin sin 3 sin2 3 n 2 1 u 2 3 . 2 2 sin cot 3 . n 2n 2 3 2n 1 2sin 3 2sin 3 22 sin2 3 2 22 2n 1 sin sin 3 sin 3 sin n 2 1 v 2 3 . 2 2 3 . n 2n 2 2sin 3 2sin 3 2sin 3 sin 3 2 22 2n 1 2n 1 Do đó. 3 cot 1 3 2n 1 limun lim n 2 sin cot n 1 2sin lim n 1 n n 2 3 2 3 n 2 . 2sin 3 2sin n 1 3 3 3 lim 2 3 n 3 tan 3 3 2n 1 n * 2 Bài 14. Với mỗi n ¥ , đặt Qn x  x i . i 0 a) Chứng minh đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm thực xn thuộc 0;1 . b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy xn . Hướng dẫn giải
  13. 2 2 a) Ta có Qn 0 Qn 1 Qn 2 Qn n 0 . 2 0;1 1;4 , , n 1 ;n2 Q x 0 nên trong mỗi khoảng , có 1 nghiệm của phương trình n . Mặt khác, ta có det Qn x n nên đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm xn thuộc khoảng 0;1 1 1 1 b) Ta có Qn x Qn x 2 2 . x x 1 x n Do Qn x có nghiệm không là nghiệm của Qn x nên nghiệm của phương trình Qn x 0 là nghiệm của phương trình:. 1 1 1 f x 0 . n x x 12 x n2 1 1 1 Ta có: fn x 2 2 2 0. x x 1 x n2 Nên fn x nghịch biến trên 0;1 . 1 1 1 Lại có: fn xn 2 2 0 . xn xn 1 xn n 1 1 1 1 1 0 . 2 x x 12 x n2 2 xn n 1 n n n xn n 1 fn 1 xn 0 fn xn fn 1 xn 1 xn xn 1 . Do đó dãy xn là dãy giảm. Lại có xn 0;1 . Vậy dãy xn có giới hạn. Bài 15. Cho x1 a, x2 b a,b ¡ và n.xn 2 (n 1).xn 1 xn 0 , n 1,2, Tìm lim xn . n Hướng dẫn giải x x Ta có x x n 1 n . n 2 n 1 n ( 1)n ( 1)n x x (x x ) . b a . n 2 n 1 n! 2 1 n! n ( 1)k n ( 1)k xn 2 x1  . b a x1 a b  . b a . k 1 k! k 0 k! 1 1 lim x x a b 2a b . n 1 e e 2 * Bài 16. Cho dãy un axác định bởi: u1 2;un 1 un un 1,n ¥ . Tìm M nhỏ nhất thỏa mãn 1 1 1 M , n ¥ * . u1 u2 un Hướng dẫn giải 2 Ta có u1 2 1 và un 1 (un 1) un . Chứng minh bằng quy nạp ta được un 2,n ¥ ,n 2 (*). 2 Ta lại có: ui 1 ui ui 1 ui 1 1 ui (ui 1) .
  14. 1 1 1 1 1 1 . ui 1 1 ui 1 ui ui ui 1 ui 1 1 n 1 1 1 1 (*) Do đó:  1 1,n ¥ * . i 1 ui u1 1 un 1 1 un 1 1 Suy ra M 1. Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy (un ) tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì 2 L 2 . Vì phương trình L L L 1 có duy nhất nghiệm là L 1, bởi vậy dãy (un ) không có giới hạn n 1 hữu hạn. Suy ra lim un lim  1 ( ). i 1 ui n 1 n0 1 Với mọi a 1 thì từ lim  1 suy ra tồn tại n0 sao cho  a . Do đó M 1 M 1. i 1 ui i 1 ui Bài 17. Cho 4028 số thực: a1,a2 , ,a2014 , b1,b2 , ,b2014 . Xét dãy số xn xác định như sau:. 2014 xn ai .n bi , n 1,2,3, . i 1 2014 Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng  ai là số nguyên (với a là phần nguyên của i 1 số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a ). Hướng dẫn giải 2014 2014 Đặt A  ai , B  bi . Gọi d là công sai của cấp số cộng xn , thì: n.d xn 1 x1 . i 1 i 1 * Với mọi n ¥ ta luôn có: ai .n bi 1 ai .n bi  ai .n bi ,i 1,2, ,2014 . Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:. A.n B 2014 xn A.n B . Thay n bởi n 1 và thay n bởi 1, có:. A n 1 B 2014 xn 1 A n 1 B . A B 2014 x1 A B A B x1 A B 2014 . Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:. A.n 2014 xn 1 x1 A.n 2014 . A.n 2014 n.d A.n 2014 . d.n A.n 2014 . 2014 d A . n
  15. 2014 Vì lim 0 nên suy ra d A . Mặt khác dãy x gồm toàn số nguyên nên công sai d cũng là số n n nguyên. Vậy A nguyên. (đpcm). 1 x 1 2 Bài 18. Cho dãy số xn thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1 : x k 2 . k 2 2 2 x 2 x k 1 x k k 1 . k 1 k k 2 xk 2 2 = 2 xk k k 1 . k k 1 k k 1 2 1 k 1 . k 2 2 3 k 1 2 k k 1 . 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 Ta có 2 . xn xn 1 xn n n n 1 1 1 1 2 1 2 . x1 xn n 1 x với mọi n 1. n 2 2 Vậy xn có giới hạn. Bài 19. Cho dãy số a tăng, a 0n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi n n n n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn .  n i 1 ai 1ai
  16. Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy xn tăng ngặt. Trường hợp 1. Nếu 1. ai 1 ai 1 1 1 1 1 1 xn . ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 vậy dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n . Trường hợp 2. Nếu 0 1. ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai . ai 1ai ai ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 . ai 1 ai Ta chứng minh ( ). Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1 . Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c ai ;ai 1 thoả mãn ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai f c c ai 1 (đpcm). ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai 1 Từ đó ta có xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n a1 . n a1a2 an 1 Bài 20. Cho dãy số xác định bởi a0 1;a1 1;an 1 1 n 1,2,3, . Đặt Sn  . a n k 1 ak 1a k 2 2 Chứng minh tồn tại lim Sn ( trong đó x là phần nguyên của x ). n Hướng dẫn giải 1 1 a 1 1 1 Ta có k 1 . a a a a a a a a a a a a a a k 1 k a 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 k 1 2 ak 1 1 n 1 1 1 1 Suy ra Sn  . k 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 a1 a1a2 an 1 Chứng minh lim a1a2 an 1 . n Ta có : an 1 n 2 . n n an 1 an 1 suy ra dãy đã cho là tăng. 2 Như vậy an an 1 1 a1 n 1.
  17. 1 Vậy lim a1a2 an 1 , suy ra lim Sn . n n a1 u1 3, v1 2 2 2 Bài 21. Cho dãy số un ; vn được xác định như sau un 1 un 2vn n N vn 1 2unvn . 2n 2n Tìm các giới hạn sau: lim vn và lim u1.u2 un x x . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: n N : un 1 2.vn 1 un 2vn 2 2.unvn un 2.vn (1). 2 Áp dụng (1) ta suy ra: un 2.vn un 1 2.vn 1 . 2n 1 2n 1 2n Theo quy nạp ta có: un 2.vn u1 2.v1 3 2 2 2 1 (2). 2n Lập luận tương tự ta cũng có: un 2.vn 2 1 (3). 1 2n 2n un 2 1 2 1 2 Từ (2) và (3) ta suy ra: . n n 1 2 2 vn 2 1 2 1 2 2 1 2n 2n 2n 2n Lại có: un 2 1 2 1 2 1 , từ đó suy ra: un 2 1. 2 2n 2n n n 2 2 2 1 n 2 1 1 n 2 Tương tự ta có : 2 . vn 2 1 2 1 vn 2 2 8 8 Mặt khác ta có: vn un . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:. n 1 2 n 2 1 1 2 2n 2n 2n 2 1 vn un 2 1. 8 8 2n 2n Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra lim un lim vn 2 1. n n vn 1 Hơn nữa theo đề bài ta có: vn 1 2unvn un . 2vn v2 v3 vn 1 vn 1 vn 1 Suy ra: u1.u2 un . n n 1 . 2v1 2v2 2vn 2 v1 2 v 1 2n 2n n 1 2n 2n Vậy lim u1.u2 un lim lim vn 1 .lim . n n 2n 1 n n 2n 1
  18. 1 n 1 2n 2n 2 2n 2n 2n lim 2unvn .lim lim 2.lim un .lim vn .lim . n n 2n 1 n n n n 2n 1 1. 2 1 . 2 1 .1 3 2 2 . 2n 2n Tóm lại ta có: lim vn 2 1 và lim u1.u2 un 3 2 2 . n n n Bài 22. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. Chứng minh rằng an lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak . ak 2 ak k 1 ak k 0 . ak 1 ak k 0 (đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1. an an a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1). an an Áp dụng (1) ta có. a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 . an n an 1 an 1 n 1 an
  19. a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 . a2a3 an a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 . a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2). i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1). an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ). an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n 1 1 Bài 23. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn xn 1 1 với mọi xn * n ¥ . Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f (x) x 1 ; f (x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f x :. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) .
  20. 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) . 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 . xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . u ,u (0;1) 1 2 Bài 24. Cho dãy số thực un thỏa mãn 1 4 . Chứng minh rằng dãy (un ) có u u3 3 u , n 1 n 2 5 n 1 5 n giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải x min u ,u  1 1 2 Xét dãy (xn ) : 1 4 . 3 3 xn 1 xn xn 5 5 Ta thấy xn (0;1) . 3 3 3 3 3 13 1 4 x x x x x 5 Ta có x x3 3 x n n n n n x 3 x . n 1 5 n 5 n 5 n n Vậy dãy xn tăng, bị chặn trên nên hội tụ, lim xn a (0 a 1) . 1 4 Chuyển qua giới hạn ta được: a a3 3 a a 1. 3 5 Ta sẽ chứng minh xn u2n 1; u2n 1 (*) bằng quy nạp theo n. Ta có x1 u1;u2 1. Giả sử xn u2n 1;u2n 1. 1 4 1 4 Suy ra x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 2n 5 2n 1 2n 1 1 4 1 4 1 4 x x3 3 x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 n 1 5 n 5 2n 1 5 2n 2n 2 Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra limun 1. x1 2007 Bài 25. Cho dãy số thực x xác định bởi: x . Chứng minh dãy số (x ) có n x 3 n n 1 n n 1 2 xn 1 giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
  21. Dễ dàng quy nạp xn 3 . x 1 Ta có: x 3 n = 3 1 3 2 n 1. n 1 2 x2 1 xn 1 n Vậy xn 2007 với mọi n nên dãy bị chặn. x 1 1 Xét f x 3 f x f x khi x 3 . 2 3 x 1 x2 1 2 2 Ta có:. 2 x 2 x f x x x 3 (x 3) 2 x2 1 x 1 . (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0 x2 3x 1 (L) 2 x 3x 3 . 3 15 x a 2 Áp dụng định lý Lagrang có:. n 1 1 xn 1 a f (xn ) f (a) f '(n ) xn a xn a x1 a n  0 Do đó 2 2 2 2 3 15 lim x a . n 2 u e 2 1 un 1 Bài 26. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 Vì u e 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a 2n 1 Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được un 1 a n , n ¥ . a2 Xét.
  22. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 . 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 e2 4 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 1. Cho dãy số xn xác định bởi. x1 a x2 7 . x n , n 1,2,3, n 1 2 xn 3 Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải Theo Côsy thì. 1 16 xn 1 xn 7 xn xn 3 6 1; xn 1 xn 0. 2 xn 3 2 xn 3 dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn. Từ lim xn a a 1. x1 1 Bài 27. Cho dãy số xn , xác định bởi: 2014 . Chứng minh rằng dãy số xn có x 1 , n 1,2,3 n 1 1 xn giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2014 Xét hàm số f (x) 1 trên 0; . Ta thấy f (x) liên tục và nghịch biến trên 0; (Vì 1 x 2014 f '(x) 0 ). Do đó 1 f (x) 2015 . 1 x 2 2014 Ta có xn 1 1 f (xn ) với mọi n dãy xn bị chặn. 1 xn Mặt khác, ta có x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 .Suy ra dãy x2n 1 là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy x2n là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n 1 , x2n có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim x2n 1 a và lim x2n b , ( a,b 1). Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) . x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) .
  23. 2014 b 1 1 a Vậy ta có hệ a b 2015 . 2014 a 1 1 b Vậy lim xn = 2015 . x1 2,1 2 Bài 28. Cho dãy số xn được xác định bởi x 2 x 8x 4 với mỗi số x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 y nguyên dương n, đặt n  2 . Tìm lim yn . i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có. a 2 a2 8a 4 a 2 a2 4a 4 a 2 a 2 a . 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 Suy ra dãy xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 . Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. x 2 x2 8x 4 x x2 4 x 3 x 2 . 2 phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn . x 2 x2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x2 8x 4 . n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 . 1 xn 3 xn 2 1 1 1 2 2 2 . xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 2 . xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 y 10 Suy ra n  2 . i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . x0 a Bài 29. Dãy số thực x n được xác định bởi: n . Tìm tất cả các giá trị của n ¥ 2  ¥ xn 1 2xn 1 a để xn 0 với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải
  24. Giả sử xn 0 với n ¥ . 2 Từ x 2x2 1 0 có x 0 . n 2 n 1 2 n 1 2 2 2 2 1 Lại từ 2x2 1 0 có x 1 x ,n ¥ . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 1 Suy ra x và x 1,n ¥ . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó x 2x2 1 2 x2 2 x . x x ,n ¥ . n 1 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 n n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 a x0 x1 x2 xn ,n ¥ . 2 2 3 2 3 2 3 2 3 n 2 1 1 Mà lim 0 nên phải có a 0 a . n 3 2 2 1 1 Thử lại với a thì x 0,n . 2 n 2 1 Vậy a là giá trị duy nhất cần tìm. 2 x1 2014 Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: . 3 * xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥ Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x Do đó: f x f 0 0x 0 . mà x2 f x1 0 vì x1 2014 0 * Vậy ta có xn 1 f xn 0,n N . 6x 6sin x x3 Mặt khác: x x 3 6x 6sin x x n n n . n 1 n n n n 2 3 3 2 6xn 6sin xn xn 6xn 6sin xn xn x3 Vì x sin x x,x 0 6x x3 – 6sinx 0,x 0 . 6
  25. 3 6xn – 6sinxn xn 0 do xn 0 xn 1 – xn 0 . xn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limxn x(x 0) , ta có phương trình:. x 3 6x 6sin x x3 6x 6sin x 0. Xét hàm số g x x3 6x 6sin x . g ' x 3x2 – 6 6cosx . g’’ x 6x – 6sinx 0x 0 . g’ x g’ 0 0 . Do đó g x luôn đồng biến và liên tục với mọi x 0 . phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Vậy limxn 0 . 1 an 1 an bn Bài 31. Cho hai dãy số dương a , b xác định bởi: a 3,b 2 và 1 a . Với n n 0 n n 0 0 0 n 1 2 2 an 1 bn mọi n 0,1,2, Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh bằng quy nạp a tan ,b ,n 0,1,2, (*) . Thật vậy. n n n 3.2 cos 3.2n 1 Với n 0 , ta có a 3 tan tan ,b 2 , vậy * đúng. 0 0 0 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 Với n 1, ta có a tan tan ,b , vậy * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 cos 3.21 1 Giả sử khẳng định đúng đến n k,k 1, tức là a tan ,b . n n n 3.2 cos 3.2n 1 Ta chứng minh a tan ,b . Thật vậy. Từ 1 ta có. n 1 n 1 n 1 3.2 cos 3.2n 1
  26. sin 1 2sin cos sin2 cos2 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 2 2 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2n 1 3.2n 1 2 sin n 1 cos n 1 sin cos tan 1 3.2 3.2 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 Khi đó từ 2 , suy cos sin 1 tan cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 3.2n 1 1 1 ra b2 a2 1 tan2 1 b . n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2n 1 3.2n 1 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan ,b ,n 0,1,2, . n n n 3.2 cos 3.2n 1 1 Do đó lim an lim tan tan 0 0; lim bn lim 1. n n n n 3.2 n cos cos0 3.2n Kết luận: lim an 0; lim bn 1.■. n n u1 2014 Bài 32. Cho dãy số (un ) xác định như sau:. 2 2 . Tìm điều kiện của a un 1 un (1 2a)un a ;n 1,2, để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng knn; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. 2 2 Giả sử lim un L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: n L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k trái với kết quả lim un L a . n 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, .
  27. Như vậy dãy (un ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 a thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và lim un a . n u1 1 Bài 33. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi 1 * . Chứng minh u u 2,n n 1 n ¥ un rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó. 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*) 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1) 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 tại limu2n 1 n 2 1 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 2 n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (un ) có giới hạn 1 bằng 2 u1 2 n uk Bài 34. Cho dãy số un xác định 1 . Tính lim . 2 n  un 1 un un un ,n 1 k 1 uk 1 1 2014 Hướng dẫn giải u u 1 Theo giả thiết ta có: u n n u mà u 2 suy ra. n 1 2014 n 1 2 u1 u2 u3 do đó dãy un là dãy tăng.
  28. Giả sử dãy un bị chặn trên suy ra limun L với L 2 khi đó. n 2 2 un 2013un L 2012L L 0 limun 1 lim L . n 2014 2014 L 1 Vô lý do L 2 . Suy ra dãy un không bị chặn trên do đó. 1 limun lim 0 . n n un Ta có. u2 2013u u n n u u 1 2014 u u n 1 2014 n n n 1 n . u 1 1 n 2014 un 1 1 un 1 un 1 1 1 1 Sn 2014 lim Sn 2014. x u1 1 un 1 1 x1 2014 Bài 35. Cho dãy số thực x xác định bởi: . Tính lim x ? . n 3 * n xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥ Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x Do đó: f x f 0 0x 0. mà x2 f x1 0 vì x1 2014 0 *. Vậy ta có xn 1 f xn 0,n N . 6x 6sin x x3 Mặt khác: x x 3 6x 6sin x x n n n . n 1 n n n n 2 3 3 2 6xn 6sin xn xn 6xn 6sin xn xn x3 Vì x sin x x,x 0 6x x3 – 6sinx 0. x 0 . 6 3 6xn – 6sinxn xn 0 do xn 0 xn 1 – xn 0 . xn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limxn x(x 0) , ta có phương trình:. x 3 6x 6sin x x3 6x 6sin x 0.
  29. Xét hàm số g x x3 6x 6sin x . g ' x 3x2 – 6 6cosx . g x 6x – 6sinx 0,"x 0 . g x g 0 0 . Do đó g x luôn đồng biến và liên tục với mọi x 0 phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Vậy limxn 0 .