Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 8 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 8 - Ngô Tùng Hiếu

1. 1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Bài 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết 1 u1 2 u2 673 2 3 2 2(n 2) u (n 4n 5n 2)u u n 1 n n ¥ ,n 1 n 2 n 3 Hướng dẫn giải 2(n 2)2 u (n3 4n2 5n 2)u Vì u n 1 n nên ta có: n 2 n 3 2 2 (n 3)un 2 2(n 2) un 1 (n 2)(n 1) un n 3 u 2(n 2)u (n 1)2 u n 2 n 2 n 1 n n 3 u (n 3)u (n 1)u (n 1)2 u . n 2 n 2 n 1 n 1 n Đặt un n!vn , n ¥ ,n 1 thu được (n 3)vn 2 (n 3)vn 1 (n 1)vn 1 (n 1)vn (n 3)(vn 2 vn 1) (n 1)(vn 1 vn ). Đặt wn vn vn 1 , n ¥ ,n 2 thu được (n 1)wn (n 1)wn 1 (n 1)nwn n(n 1)wn 1 . Do đó (n 1)nw n(n 1)w (n 1)(n 2)w 3.2.w n n 1 n 2 2 6(v2 v1) 2016. 2016 1 1 Như vậy wn 2016 , n ¥ ,n 2 . n(n 1) n n 1 Từ đó, với n ¥ ,n 1, ta có 1 1 n 1 vn v1 2016 2016 2 n 1 n 1 4033n 4031 v n 2(n 1) 4033n 4031 Vậy u n! , n ¥ ,n 1. n 2(n 1)
2. 3 n 4 * Bài 2. Cho dãy số un xác định bởi u1 1; un 1 un 2 ,n N . 2 n 3n 2 Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n . Hướng dẫn giải 3 n 4 Vì un 1 un 2 nên 2 n 3n 2 3 n 4 1,5n 6 2u 3u . n 1 n 2 n2 3n 2 n 1 n 2 1,5 1,5 2u 3u 2. 3. n 1 n n 2 n 1 1,5 1,5 2u 2. 3u 3. n 1 n 2 n n 1 1,5 3 1,5 un 1 un 3. n 2 2 n 1 1,5 3 Đặt v u , khi đó ta có: v v n n n 1 n 1 2 n 1,5 1 Lại có: v u . 1 1 2 4 n 1 3 1 Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy vn là: vn . 2 4 n 1 1,5 3 1 3 Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy un un vn . là: n 1 2 4 2 n 1 .
3. 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài 1. Cho cấp số cộng un với n là số nguyên dương thoã mãn u2013 2013;u2014 2014 1 1 1 Tính tổng: S . u1u2 u2u3 u2013u2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng un là un n Khi đó 1 1 1 1 1 1 S u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013 2014 1 1 1 1 1 1 1006 503 2 3 3 4 2013 2014 2014 1007 Bài 2. Cho dãy số thực xn được xác định bởi x0 a n 2  ¥ xn 1 2xn 1 Tìm tất cả các giá trị của a để xn 0 với mọi số tự nhiên n . Hướng dẫn giải Giả sử xn 0 với n ¥ . 2 Từ x 2x2 1 0 có x 0 n 2 n 1 2 n 1 2 2 2 2 1 Lại từ 2x2 1 0 có x 1 x ,n ¥ 2 n 2 n 2 n 4 1 3 1 Suy ra x và x 1,n ¥ n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó x 2x2 1 2 x2 2 x . x x ,n ¥ n 1 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: 2 n n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 a x0 x1 x2 xn ,n ¥ 2 2 3 2 3 2 3 2 3 n 2 1 1 Mà lim 0 nên phải có a 0 a n 3 2 2 1 1 Thử lại với a thì x 0,n 2 n 2 1 Vậy a là giá trị duy nhất cần tìm. 2
4. x0 20; x1 30 Bài 3. Cho dãy số xn xác định bởi xn 2 3xn 1 xn ,n ¥ Tìm n để xn 1.xn 1 là số chính phương. Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi của xn ta có n ¥ , x2 x2 3x x x2 x x 3x x2 x x n 1 n n 1 n n 1 n n n 1 n 1 n 2 n và x2 x2 3x x x x 3x x2 x2 x x n 1 n n 1 n n 1 n 1 n n n n 1 n 1 Suy ra x2 x x x2 x x x2 x x 500 n 1 n 2 n n n 1 n 1 1 0 2 x2 x2 3x x 500 n 1 n n 1 n x2 x2 3x x 500 n 1 n n 1 n 2 x x x x 500 n 1 n n 1 n Vậy xn 1xn 500 là số chính phương Giả sử n là số thỏa mãn xn 1xn 500 là số chính phương 2 2 Đặt xn 1xn 500 b , xn 1xn 1 a ,a,b ¥ ,a b Ta có a2 b2 501 a b a b 1.501 3.167 Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì xn 1xn 12600 n 2 7224 Với a = 85, b =82 thì x x  n n 1 n 5 Vậy n = 2 thì xn 1.xn 1 là số chính phương. u1 1,u2 2,u3 40 2 2 Bài 4. Cho dãy số un được xác định bởi 10un 1.un 3 24un 1.un 2 un n 4,5,6, un 2.un 3 Tìm số n nhỏ nhất để un chia hết cho 2048. Hướng dẫn giải 2 un 10un 1.un 3 24.un 2 10un 1 24un 2 un Từ công thức truy hồi cuả dãy , đặt vn , thì un 1 un 2.un 3 un 2 un 3 un 1 v2 2,v3 20 dãy ( vn ) xác định bởi vn 10vn 1 24vn 2 ,n 4,5,6 2 n 1 n 1 Phương trình đặc trưng : x 10x 24 0 , từ đó suy ra : vn 6 4 (n 1)n 2 n 1 n 1 n 2 n 2 un vn .vn 1.vn 2 v2 2 (3 2 ).(3 2 ) (3 2) (n 1)n n 1 n 1 n 2 n 2 2 Do (3 2 ).(3 2 ) (3 2) là số là số lẻ nên un 2048 2 2048
5. n(n 1) 11 n 6 2 Vậy n 6 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1. Cho dãy số xn được xác định bởi x1 2,1 x 2 x2 8x 4 x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 Với mỗi số nguyên dương n, đặt y . Tìm lim y . n  2 n i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có a 2 a 2 8a 4 a 2 a 2 4a 4 a 2 a 2 a 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x 2 x 2 8x 4 x x 2 4 x 3 x 2 2 phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2 Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn x 2 x 2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x 2 8x 4 n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 1 x 3 x 2 1 1 1 n n 2 2 2 xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 2 xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 Suy ra y 10 n  2 i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . x1 1, Bài 2. Cho dãy số x được xác định như sau 3 n xn xn 1 xn n 1 n2 Chứng minh rằng xn có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
6. Hướng dẫn giải Dễ thấy xn 0 , với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự. Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên. * Ta chứng minh xn 8,n ¥ . Thật vậy, với n 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng. Giả sử ta có: xn 8 , với n nguyên dương. Ta cần chứng minh xn 1 8 . n 3 x n 1 Theo công thức xác định dãy số có: x x k 1 2 1 2.2 8 . n 1 1  2  2 k 1 k k 1 k Do đó xn 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1 3 a ;a 1 4 2 10 Bài 3. Cho dãy số thực an xác định bởi 1 a a2 a n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 2 6 3 Chứng minh rằng dãy an có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Có a1,a2 0;1 , giả sử a1,a2 , ,ak 0;1 ,k ¥ ,k 2 . Từ công thức truy hồi ta có: 1 1 a a2 1 1 1 0 0 a k k 1 1, vì 0 a ,a 1 a 0;1 . 2 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 k k 1 * Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an 0;1 ,n ¥ . 1 3 x x y y 1 2 4 1 2 10 Xét hai dãy số mới xn : và yn : với n ¥ ;n 2 1 x x2 1 y y2 x n n 1 y n n 1 n 1 2 6 3 n 1 2 6 3 1 Có 0 x x x 1, giả sử ta có 0 x x x 1,k ¥ ,k 3 , khi đó 1 2 2 3 1 2 k 1 x x2 1 x x2 x k 1 k 2 k k 1 x k 2 6 3 2 6 3 k 1 Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được xn là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn lim xn 3 1 2 Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 2 2 6 3 1 Do xn  0;1 nên suy ra 1
7. Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng có lim yn 1 * Cuối cùng ta chứng minh xn an yn ,n ¥ (1) bằng phương pháp quy nạp: Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2 , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k ¥ ,k 2 , tức là xi ai yi ,i 1,2, ,k . Khi đó 1 x x2 1 a a2 1 y y2 x k k 1 a k k 1 k k 1 y k 1 2 6 3 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 Từ xn an yn ,n ¥ ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an 1. 2 Bài 4. Cho dãy số xn được xác định bởi x1 2016, xn 1 xn xn 1,n 1,2,3, a) Chứng minh rằng xn tăng và lim xn 1 1 1 b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn 2016 . Tính lim yn . x1 x2 xn Hướng dẫn giải 2 2 a) Ta có xn 1 xn xn 2xn 1 xn 1 0 xn 1 xn ,n 1. Do đó xn tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn n 1,n 1 (1) Thật vậy, (1) đúng với n 1.Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì 2 xn 1 xn xn 1 1 n n 1 1 n n 1 n 2 Vậy (1) đúng với mọi n. Từ xn tăng ngặt và xn n 1,n 1 suy ra lim xn . 1 1 1 1 b) Ta có xn 1 1 xn xn 1 . Suy ra xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn 1 1 1 Từ đó xn xn 1 xn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 yn 2016 2016 2016 x x x x 1 x 1 2015 x 1 1 2 n 1 n 1 n 1 1 2016 Từ lim xn lim 0 . Vậy lim yn . xn 2015 x1 2007 Bài 5. Cho dãy số thực x xác định bởi: x n x 3 n n 1 n 1 2 xn 1 Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn 3
8. x 1 Ta có: x 3 n = 3 1 3 2 n 1 n 1 2 x2 1 xn 1 n Vậy xn 2007 với mọi n nên dãy bị chặn x 1 1 Xét f x 3 f x f x khi x 3 . 2 3 x 1 x2 1 2 2 Ta có: 2 x 2 x f x x x 3 (x 3) 2 x2 1 x 1 (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0 x2 3x 1 (L) 2 x 3x 3 3 15 x a 2 Áp dụng định lý Lagrang có: n 1 1 xn 1 a f (xn ) f (a) f '(n ) xn a xn a x1 a n  0 2 2 2 2 3 15 Do đó lim x a . n 2 u e 2 1 un 1 Bài 6. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 Vì u e 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a 2n 1 Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được un 1 a n , n ¥ a2 Xét
9. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 e2 4 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 7. Cho hai dãy số an ; bn xác định bởi 2 2 a1 3,b1 2 , an 1 an 2bn và bn 1 2anbn với n = 1, 2, 3, 2n 2n Tìm lim bn và lim a1a2 an . n n Hướng dẫn giải Với mọi n = 1,2,3, ta có 2 2 2 an 1 bn 1 2 an 2bn 2 2anbn an bn 2 Do đó: 2 22 2n 1 2n 1 2n an bn 2 an 1 bn 1 2 an 2 bn 2 2 a1 b1 2 3 2 2 2 1 2n Tương tự ta có: an bn 2 2 1 . 1 2n 2n 1 2n 2n Từ đó: an 2 1 2 1 ; bn 2 1 2 1 2 2 2 2n 2n n 2 1 n 2 1 2 2n 2n 2 Chú ý: bn an 2 1 và lim 2 1, nên theo nguyên lí kẹp 4 2 n 4 2 2n 2n ta có: lim bn lim an 2 1. n n bn 1 b2 b3 bn 1 bn 1 Mặt khác: bn 1 2anbn hay an (n 1) . Suy ra: a1a2 an . n . Do đó 2bn 2b1 2b2 2bn 2 2 1 2n 2n 2n lim a1a2 an = lim bn 1 2 1 3 2 2 (vì lim 1). n n n 2n Bài 8. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn 1 1 * xn 1 1 với mọi n ¥ xn Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải
10. 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f (x) x 1 ; f (x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f x : x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x n  0 1 1 Vậy lim xn . u ,u (0;1) 1 2 Bài 9. Cho dãy số thực un thỏa mãn 1 4 u u3 3 u , n 1 n 2 5 n 1 5 n Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải x min u ,u  1 1 2 Xét dãy (xn ) : 1 4 3 3 xn 1 xn xn 5 5 Ta thấy xn (0;1) . 3 3 3 3 3 13 1 4 x x x x x 5 Ta có x x3 3 x n n n n n x 3 x . n 1 5 n 5 n 5 n n Vậy dãy xn tăng, bị chặn trên nên hội tụ, lim xn a (0 a 1) .
11. 1 4 Chuyển qua giới hạn ta được: a a3 3 a a 1. 3 5 Ta sẽ chứng minh xn u2n 1; u2n 1 (*) bằng quy nạp theo n. Ta có x1 u1;u2 1. Giả sử xn u2n 1;u2n 1. 1 4 1 4 Suy ra x x3 3 x u3 3 u u 1 n 1 5 n 5 n 5 2n 5 2n 1 2n 1 1 4 1 4 1 4 x x3 3 x x3 3 x u3 3 u u 1 n 1 5 n 5 n 5 n 1 5 n 5 2n 1 5 2n 2n 2 Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra limun 1. a1a2 an Bài 10. Cho dãy số xác định bởi a0 1;a1 1;an 1 1 n 1,2,3, a n 2 n 1 Đặt Sn . Chứng minh tồn tại lim Sn ( trong đó x là phần nguyên của x ).  n k 1 ak 1a k 2 Hướng dẫn giải 1 1 a 1 1 1 Ta có k 1 a a a a a a a a a a a a a a k 1 k a 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 k 1 2 ak 1 1 n 1 1 1 1 Suy ra Sn  . k 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 a1 a1a2 an 1 Chứng minh lim a1a2 an 1 . n Ta có : an 1 n 2 n n an 1 an 1 suy ra dãy đã cho là tăng. 2 Như vậy an an 1 1 a1 n 1. 1 Vậy lim a1a2 an 1 , suy ra lim Sn . n n a1 Bài 11. Cho dãy số un ; vn được xác định như sau u1 3, v1 2 2 2 un 1 un 2vn n N vn 1 2unvn
12. 2n 2n Tìm các giới hạn sau: lim vn và lim u1.u2 un x x . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: n N : un 1 2.vn 1 un 2vn 2 2.unvn un 2.vn (1) 2 Áp dụng (1) ta suy ra: un 2.vn un 1 2.vn 1 . 2n 1 2n 1 2n Theo quy nạp ta có: un 2.vn u1 2.v1 3 2 2 2 1 (2) 2n Lập luận tương tự ta cũng có: un 2.vn 2 1 (3) 1 2n 2n un 2 1 2 1 2 Từ (2) và (3) ta suy ra: n n 1 2 2 vn 2 1 2 1 2 2 1 2n 2n 2n 2n Lại có: un 2 1 2 1 2 1 , từ đó suy ra: un 2 1 2 2n 2n n n 2 1 2 1 1 2 2 2n 2n Tương tự ta có : vn 2 1 2 1 vn 2 2 8 8 Mặt khác ta có: vn un . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau: n 1 2 n 2 1 1 2 2n 2n 2n 2 1 vn un 2 1 8 8 2n 2n Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra lim un lim vn 2 1 n n vn 1 Hơn nữa theo đề bài ta có: vn 1 2unvn un 2vn v2 v3 vn 1 vn 1 vn 1 Suy ra: u1.u2 un . n n 1 2v1 2v2 2vn 2 v1 2 v 1 2n 2n n 1 2n 2n Vậy lim u1.u2 un lim lim vn 1 .lim n n 2n 1 n n 2n 1 1 n 1 2n 2n 2 2n 2n 2n lim 2unvn .lim lim 2.lim un .lim vn .lim n n 2n 1 n n n n 2n 1 1. 2 1 . 2 1 .1 3 2 2 2n 2n Tóm lại ta có: lim vn 2 1 và lim u1.u2 un 3 2 2 . n n
13. n Bài 12. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. an Chứng minh rằng lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1) a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy • Với n 2 ta có a2 2 (đúng) • Giả sử ak k k 2 • Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak ak 2 ak k 1 ak k 0 ak 1 ak k 0 (đúng) Suy ra ak 1 k 1 Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1 an an a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1) an an Áp dụng (1) ta có a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 an n an 1 an 1 n 1 an a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 a2a3 an
14. a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2) i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1) an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ) an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n Bài 13. Cho dãy số a tăng , a 0n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi n n n n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn .  n i 1 ai 1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy xn tăng ngặt Trường hợp 1. Nếu 1 ai 1 ai 1 1 1 1 1 1 xn ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 vậy dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n Trường hợp 2. Nếu 0 1 ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai ai 1ai ai ai 1
15. ai 1 ai 1 ai 1 . ai 1 ai Ta chứng minh ( ) Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1  Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c ai ;ai 1 thoả mãn ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai f c c ai 1 (đpcm) ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai 1 Từ đó ta có xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n a1 .