Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 6 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 6 - Ngô Tùng Hiếu

1. 1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Câu 1. a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125. u 16 1 b) Cho dãy số u có . Tìm số hạng tổng quát u . n 15 n.un 1 n un 1 14 , n 1 n 1 Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125. Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d,a,a d a d a a d 9 Theo giả thiết ta có hệ: 2 2 2 a d a a d 125 3a 9 2 2 3a 2d 125 a 3 d 7 Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4 u 16 1 b)Cho dãy số u có . Tìm số hạng tổng quát u . n 15 n.un 1 n un 1 14 , n 1 n 1 15 n.u 1 Ta có: u 14 n u 14 n 1 15 n.u 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 un 1 15nun 14n 1 (1) Đặt vn nun v1 16 (1) trở thành: vn 1 15vn 14n 1 vn 1 n 1 15 vn n (2) Đặt w n vn n w1 15 n (2) trở thành: wn 1 15wn w n là csn có w1 15,q 15 w n 15 15n n Từ đó ta có: u n n 1.7. CÁC DẠNG KHÁC Câu 2. Cho dãy số un xác định bởi : u1 1;u2 4;un 2 7un 1 un 2,n ¥ *. Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương. Hướng dẫn giải Ta có u1 1;u2 4;u3 25 2 3 18 123 Đặt u v thì v ;v ;v . n n 5 1 5 2 5 3 5 2 2 2 Khi đó un 2 7un 1 un 2,n ¥ * vn 2 7 vn 1 vn 2,n ¥ * 5 5 5 vn 2 7vn 1 vn ,n ¥ * 2 2 2 2 Ta có : vn 2.vn vn 1 (7vn 1 vn ).vn vn 1 vn 1(7vn vn 1) vn vn 1vn 1 vn 9 Suy ra : v .v v2 v v v2 L v v v2 ;n ¥ * n 2 n n 1 n 1 n 1 n 3 1 2 5
2. 2 2 2 2 9 Suy ra : un 2 . un un 1 5 5 5 5 2 4 2 4 4 9 un 2un un 2 un un 1 un 1 5 25 5 25 5 2 4 9 u u 7u 2 u2 u u u u2 2u 1 (u 1)2 ;n ¥ * n 2 n 5 n 1 n 1 5 n 1 5 n 2 n n 1 n 1 n 1 2 Từ hệ thức un 2un (un 1 1) ;n ¥ * và u1;u2 là các số chính phương suy ra un là số chính phương với mọi n nguyên dương. Câu 3. Cho dãy số a tăng, a 0 n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi nn 1 n nn 1 n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn  n i 1 ai 1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy x tăng ngặt nn 1 Trường hợp 1. Nếu 1 a a 1 1 1 1 1 i 1 i x vậy dãy x 1 n nn 1 ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n Trường hợp 2. Nếu 0 1 ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai ai 1ai ai ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 . Ta chứng minh ( ) ai 1 ai Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c ai ;ai 1 thoả mãn ' ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai f c c ai 1 đpcm ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai Từ đó ta có 1 xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n 1 n a1 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN x2 3 2011x 2009 Câu 4. Tính: Lim x 1 x 1 Hướng dẫn giải x2 3 2 2011(x 1) x2 3 4 lim lim[ 2011] x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 3 2) x 1 4021 lim( 2011) x 1 x 3 2 2 4 a1 Câu 5. Cho dãy số an thỏa mãn: 3 n 1,n ¥ 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1
3. Tìm lim an . Hướng dẫn giải 2 2 * n 2 n Dễ thấy an 0,n ¥ . Từ giả thiết ta có n 1 an 1 an * 1 1 Với mỗi n ¥ , đặt yn ta có y1 1 và an 4 2 2 1 2 1 2 2 n n 2 yn 1 n yn n 1 n 2 yn 1 n yn yn 1 2 yn 4 4 n 2 2 2 2 2 n 1 n 2 1 4 4n2 n 1 Do đó yn y1 2 an 2 n 1 n 1 3 n 1 n2 16 n2 n 1 Vậy lim an 4 1 a Câu 6. Cho dãy số xn thỏa mãn x1 0, xn (3xn 1 3 ), n 2,3, 4 xn 1 Hướng dẫn giải 1 a 4 Ta có xn (xn 1 xn 1 xn 1 3 ) a với mọi n 2 . 4 xn 1 Do đó dãy xn bị chặn dưới. xn 3 a 3 1 Với mọi n 3 , ta có 4 1 xn xn–1 xn 1 4 4xn 1 4 4 Do đó xn là dãy giảm. 4 Từ đó suy ra dãy xn có giới hạn và dễ dàng tìm được lim xn a x1 3 Câu 7. Cho dãy số thực xn : 1 . Xét dãy số yn cho bởi : x 3 ,n 1,2,3, n 1 xn (3 5)n yn n ;n 1,2,3, Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính 2 .x1.x2.x3 xn giớn hạn đó . Hướng dẫn giải 1 . Ta có : xn 1 3 xn .xn 1 3xn 1 ;n 1,2,3, xn . Đặt : zn x1.x2.x3 xn thì ta có zn 2 x1.x2.x3 xn .xn 1.xn 2 zn .xn 1.xn 2 zn .(3xn 1 1) 3zn xn 1 zn 3zn 1 zn z1 x1 3 8 Khi đó : z2 x1.x2 3. 8 Suy ra zn là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 3 zn 2 3zn 1 zn ;n 1,2,3, 3 5 Xét phương trình đặc trưng : t 2 3t 1 0 t 2
4. n n 3 5 3 5 Dãy có số hạng tổng quát dạng z  n 2 2 3 5 3 5  3 5 3 5 2 2 10 trong đó : 7 3 5 7 3 5 5 3 5   8 2 2 10 . Lúc này, ta có n n 3 5 3 5 n (3 5) 2 2 1 yn n n n n 2 .x1.x2.x3 xn zn 3 5 3 5 3 5   2 2 3 5 1 1 1 3 5 5 Suy ra : lim yn n 3 5  5 3 5 2 .lim  10 3 5 3 5 5 . Vậy : y khi n n 2 un 3 Câu 8. Cho dãy số un xác định bởi: u0 1, un 1 n ¥ . Tìm lim n un ? 2 2 n n un un 1 Hướng dẫn giải un un 1 * Từ giả thiết un 1 2 2 n ¥ ta có un 1 2 2 n ¥ nên vn xác định n un un 1 n un n n bởi vn uk có giới hạn hữu hạn, giả sử lim vn c (c hữu hạn).  n k 0 un 1 2 1 Cũng từ un 1 2 2 n ¥ ta có n un n ¥ n un un 1 un 1 un 1 1 2 n un n ¥ . un 1 un 1 1 2 Do đó 0 u0 u1 u0 1 1 2 1 u1 u2 u1 1 1 2 (n 1) un 1 . un un 1 1 1 (n 1)n(2n 1) n 1 Cộng theo vế ta được : uk un u0 6 k 0 1 (n 1)n(2n 1) vn 1 1 3 3 3 . n un 6n n 1 vn Mà lim 0 ( do lim vn c ) nên n n3 n 1 (n 1)n(2n 1) 1 3 lim lim hay lim n un 3 n 3 n 3 n n un 6n 3
5. 4 Câu 9. Cho dãy số xn xác định bởi : x1 1, xn 1 1 , n 1. Chứng minh dãy xn có 1 xn giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 4 4 4 Ta có x 1 3; x 1 2 x ; x 1 x 2 2 3 4 1 4 3 2 4 Hàm số f (x) 1 liên tục và nghịch biến trên [0,+ ), 1 f (x) 5 1 x 4 Ta có xn 1 1 f (xn ),n (xn ) bị chặn 1 xn x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 suy ra dãy (x2n 1) tăng và dãy (x2n ) giảm suy ra (x2n 1),(x2n ) là các dãy hội tụ. Giả sử lim x2n a;lim x2n 1 b (a,b 1) Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) Từ x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) 4 b 1 1 a Giải hệ phương trình a b 4 2 . Vậy lim xn 2 4 a 1 1 b 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 1 u1 2 Câu 10. Cho dãy số bn được xác định bởi: 1 1 u u u 2 n 1 n n n 2 4 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limun . x Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh u cot ;n ¥ (*) n 2n 2n 1 1 1 Thật vậy: n 1 : u cot 1 21 21 1 2 (*) đúng với n 1 1 Giả sử (*) đúng tới n k , k ¥ * , nghĩa là có : u cot k 2k 2k 1 1 1 Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy u u u 2 k 1 k k k 2 4 1 1 1 1 1 cot cot2 cot cot2 1 k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1 1 cot ( vì khi k thì 0; sin 0 ) k 1 k 1 k 1 2 2 sin 2 2k 1
6. cos 1 2cos2 1 k 1 1 k 2 1 . 2 2 cot k 1 k 1 k 1 k 2 2 sin 2 2sin cos 2 2 2k 1 2k 2 2k 2 (*) cũng đúng với n k 1 . 1 Vậy u cot ;n ¥ n 2n 2n 1 cos 2n 1 1 2n 1 2 2 limun lim . lim cos x x n x n 1 2 2 2n 1 2n 1 2 Vậy dãy hội tụ và có limun . x Câu 11. Cho phương trình: xn x2 x 1 0 với n N, n 2 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 2 , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất xn . 2) Xét dãy số sau đây: Un n xn 1 , n 2,3,4, Tìm limUn ? Hướng dẫn giải Xét phương trình: f x x n x 2 x 1 0 , với n nguyên, n 2 (1) +) Ta có: f ’ x nxn 1 – 2x –1 . Do n 2 , nên khi x 1 thì f ’ x 0 . Vậy f x là hàm số đồng biến trên 1; . Lại có: f 1 2 0 ; f 2 2n – 7 0 ( vì n nguyên và n 2 n 3) Ta có: f 1 f 2 0 và f x liên tục, đồng biến nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất trên 1; . +) Mặt khác với 0 x 1 thì xn x2 ( do n 2 ) suy ra f x 0 với mọi 0 x 1 . Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2 . n 2 Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình x – x – x –1 0 . Bây giờ xét dãy Un với Un n xn 1 , n 3,4,5, n 2 n 2 Ta có: xn xn xn 1 0 hay xn xn xn 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 2 xn xn 1 1   1 n 2 2 n so 1 xn xn xn 1 n xn xn 1 .1.1 1 < (2) n 1 sô 1 n 2 (Chú ý rằng ở đây 1 xn nên xn xn 1 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng) 6 +) Mặt khác do x 2 , nên x 2 x 6 , nên từ (2) có: 1 x 1 (3) n n n n n 6 Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và lim 0 nên từ (3) ta có: lim x 1 n n 2 n 2 2 ln xn xn 1 +) Ta có: xn xn xn 1 nln xn ln xn xn 1 n ln xn xn 1 2 Từ đó: n xn 1 ln xn xn 1 (5) ln xn Đặt yn xn 1 lim yn 0 Ta có: suy ra từ (5) limUn lim n xn 1 ln 3
7. Vậy: limUn ln 3 ln xn ln yn 1 ln t 1 Câu 12. Cho số thực a, xét dãy số xn được lim lim lim 1 xác định n 1 t 0 xn 1 yn t bởi 3 xn 6xn 6 x1 a, xn 1 2 ,n 1,2, 3xn 9xn 7 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải Với a 1thì xn 1,n 1nên lim xn 1 n 3 3 xn 1 1 xn 1 2 Với a 1 thì xn 1 2 , xn 2 2 ,n 2 3xn 1 9xn 1 7 3xn 1 9xn 1 7 3 3n 1 xn 2 xn 1 2 a 2 Do đó ,n 1 xn 1 xn 1 1 a 1 n 1 n 1 2 a 1 3 a 2 3 Từ đó, tính được xn n 1 n 1 ,n 1, a 2 3 a 1 3 3 Kết luận + a a 1 a 2 lim xn 2 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1 2 n 3 3 3 + a xn ,n 1 lim xn . 2 2 n 2 Câu 13. Cho dãy số (un ) xác định như sau: 2012 u1 2013 . Tìm lim un . n 2 un 2un 1 1 0 , n 1,2,3, Hướng dẫn giải u2 1 Ta có : u 2 2u 1 0 u n n n 1 n 1 2 2 x2 1 x2 1 1 Xét hàm số : f (x) 2 2 2 2 f '(x) x x 1 0 1 2 f x 0 f x 3 0 8 1 2 Ta có : 1 1 1 3 u 1 u 0 u 0 2 1 2 2 2 3 8 Vậy : n 2 thì 1 un 0
8. u2 1 u 2 2u 1 0 u n n n 1 n 1 2 x2 1 1 Gọi a là nghiệm của : x ( x ( ;0)) a 1 2 2 2 Ta có : un 1 a f (un ) f (a) Theo định lí La-grăng : f (un ) f (a) f '(a) . un a 1 1 Do f '(a) f (u ) f (a) u a 2 n 2 n 2 n 1 1 1 un 1 a un a un 1 a u1 a 2 2 2 n 1 Mà lim 0 lim (un 1 a) 0 lim un 1 a 1 2 n 2 n n Vậy : lim un 1 2 n 1 u0 2 Câu 14. Cho dãy số u  xác định như sau: 2 n u 5 n un 1 ,n ¥ 2 un 2 Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Vì 0 u0 1 nên 0 un 1,n ¥ 9 * Áp dụng BĐT Cauchy ta có un 2 6 . Dấu bằng xảy ra un 1 un 2 9 un 2 6 ,n ¥ un 2 2 un 5 1 9 * un 1 un 2 2 1,n ¥ 2 un 2 2 un 2 1 9 * un 1 un un 1 2 2 un 2 1 9 Xét hàm số f x x 1 . 2 2 x 2 1 9 f ' x 0,x 1 f x nghịch biến trên 1; 2 2 x 2 2 * * Vì un 1 f un f 1 0 un 1 un ,n ¥ ungiảm và bị chặn dưới un có giới hạn hữu hạn. 2 un 5 * Giả sử limun a 1 a . Từ un 1 chuyển qua giới hạn ta có 2 un 2 a2 5 a 1 a 2 a 2 a 5(loai) * Vậy limun 1 2 * Câu 15. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u1 4 và un 1 un 2 , với n ¥ . u Tìm lim n 1 n u1.u2 un
9. Hướng dẫn giải Với mọi n 1,2, ; ta có 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 un 1 4 un 2 4 un 4un un un 4 un .un 1(un 1 4) 2 2 2 2 2 2 un un 1 u2 u1 (u1 4) 12 un .un 1 u1 (1) 2 u 4 Từ (1) ta có: n 1 12 ; n 1,2, (2) u .u u 2 1 2 n u1.u2 un 2 Mặt khác, vì u1 4 2 nên từ un 1 un 2 và chứng minh bằng quy nạp ta thu được un 2 với mọi n 1,2, 4 4 Do đó u .u u 2n ; n ¥ * . Khi đó, 0 ; n 1,2, 1 2 n 2 22n u1.u2 un 4 nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim 0 n 2 u1.u2 un 2 u Vậy, từ (2) suy ra: lim n 1 12 n u1.u2 un Mặt khác, hàm số f (x) x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên 2 2 u u u lim n 1 lim n 1 lim n 1 12 n n n u1u2 un u1u2 un u1u2 un u Kết luận: lim n 1 12 n u1.u2 un Câu 16. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (xn )n 0 thỏa mãn x x x 1, 0 x 1n 1và (1 x )2 (1 x )2 n n 1 n 1. 0 n n n 1 2 b) Với dãy (xn ) xác định như trên, xét dãy (yn )n 0 xác định bởi yn x0 x1 xnn 0. Chứng minh rằng dãy (yn )n 0 có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xn xác định duy nhất với mỗi n 0. Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1] , t m phương trình (1 t)2 (1 m)2 có đúng một nghiệm trên [0;1] . 2 1 1 1 1 1 b) Để ý rằng y x (x x ) (x x ) L (x x ) x n 1. n 2 0 2 0 1 2 1 2 2 n 1 n 2 n 3 Ta có giới hạn cần tìm bằng . 2 Câu 17. Giả sử Fn n 1,2, là dãy Fibonacci ( F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 với ). Chứng minh Fn 1 rằng nếu a với mọi n 1,2,3, thì dãy số xn , trong đó Fn 1 x1 a, xn 1 n 1,2,3 , là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô 1 xn hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Giả sử x1, x2 , , xm đã được xác định. Khi đó xm 1 được xác định khi xm 1.
10. 1 * Nếu xm 1 thì do xm nên xm 1 2 1 xm 1 F2 F3 Từ giả thiết F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 ta viết xm , xm 1 . F1 F2 Fi 2 Giả sử xm i , với i nào đó, 0 i m 2 . Fi 1 1 1 Fi 1 Fi 3 Vì xm i nên xm i 1 1 1 . 1 xm i 1 xm i Fi 2 Fi 2 Fm 1 Fm 1 Khi đó x1 . Mâu thuẫn với giả thiết x1 . Như vậy (xn ) là dãy số xác định. Fm Fm 1 5 1 5 1 Phương trình x x2 x 1 0 có hai nghiệm u ,v . Có hai 1 x 2 2 trường hợp xảy ra: 5 1 Trường hợp 1: x1 v . Khi đó xn x1,n 1. Do đó lim xn . n 2 1 1 v Trường hợp 2: x1 v . Chú ý v xn xn v . Do đó xn v,n 1. 1 xn v xn u Đặt zn , ta có xn v 1 u x u 1 x (1 u) ux u2 ux u x u u z n 1 n n n . n .z . n 1 x v 1 (1 v) vx v2 vx v x v v n n 1 v n n n 1 xn n u u Từ đó có zn .z1 nên zn 0 khi n (vì 1). v v xn u u vzn Từ zn suy ra xn dần tới u khi n (do zn 0 ). xn v 1 zn 5 1 Tức là trong trường hợp này lim xn . n 2 3 Câu 18. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1. Chứng minh rằng dãy số y  n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0 n 1 n 1 n 3 3 3 Câu 19. Cho un là một dãy số dương. Đặt Sn u1 u2 un với n 1,2, Giả sử 1 un 1 Sn 1 un un 1 với n 2,3, Tìm limun . Sn 1
11. Hướng dẫn giải 3 Ta có Sn 1 Sn un 1 0,n 1,2, Sn là dãy số tăng Nếu dãy số Sn bị chặn trên thì Sn là một dãy hội tụ và 3 limun lim Sn 1 Sn 0 limun 0 . Xét trường hợp dãy số Sn không bị chặn trên thì lim Sn . Từ giả thiết ta có Sn 1un 1 un Snun un 1,n 2,3, . Từ đây ta thu được Snun un 1 S2u2 u1,n 2,3, un 1 S2u2 u1 S2u2 u1 Do đó un 0 un ,n 2,3, Sn Sn Sn Theo nguyên lí kẹp ta có limun 0 . Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limun 0 . u1 1 Câu 20. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi: 1 * . Chứng u u 2,n n 1 n ¥ un minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*). 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ). 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1). 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 chặn dưới nên tồn tại limu2n 1 . n 2 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên 2 1 u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 . n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy 1 (u ) có giới hạn bằng . n 2 1 1 Câu 21. Cho hai dãy số (an );(bn ) biết a1 0,b1 0;an 1 an , bn 1 bn với mọi n = 1, 2, bn an Chứng minh rằng: an bn 2 2n, n 2 .
12. x0 3 Câu 22. Cho dãy số xn thoả mãn: . Tìm lim xn . 3 n xn 1 3xn 1 xn 2 3.3. CÁC DẠNG KHÁC Câu 23. Cho 4028 số thực: a1,a2 , ,a2014 , b1,b2 , ,b2014 . Xét dãy số xn xác định như sau: 2014 xn ai .n bi , n 1,2,3, i 1 2014 Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng  ai là số nguyên (với a là i 1 phần nguyên của số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a ). Hướng dẫn giải 2014 2014 Đặt A  ai , B  bi . Gọi d là công sai của cấp số cộng xn , thì: n.d xn 1 x1 . i 1 i 1 * Với mọi n ¥ ta luôn có: ai .n bi 1 ai .n bi  ai .n bi ,i 1,2, ,2014 . Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được: A.n B 2014 xn A.n B Thay n bởi n 1 và thay n bởi 1 , có: A n 1 B 2014 xn 1 A n 1 B A B 2014 x1 A B A B x1 A B 2014 Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được: A.n 2014 xn 1 x1 A.n 2014 A.n 2014 n.d A.n 2014 d.n A.n 2014 2014 d A n 2014 Vì lim 0 nên suy ra d A . Mặt khác dãy x gồm toàn số nguyên nên công sai n n d cũng là số nguyên. Vậy A nguyên. (đpcm) un N um n um un {0;1} Câu 24. Cho dãy un thỏa mãn các điều kiện sau : u2 0 . Tìm u2013 u 0 3 u9999 3333 Hướng dẫn giải Ta có : um n um un  ( {0;1}) Bằng quy nạp ta chứng minh được u u u u , với mọi n ,n , ,n . n1 n2 nk n1 n2 nk 1 2 k Ta có: u2 u1 u1 u1 0 u3 u2 u1  0  u3 1 Ta chứng minh rằng nếu n 3333 thì u3n n (1) Thật vậy: Với n 1 thì (1) đúng Ta có u3n n.u3 n,n Giả sử, tồn tại n 3333 , mà u n u u u u n 1, điều này 0 3n0 0 3(n0 1) 3n0 3 3n0 3 0 chứng tỏ, với mọi n n0 thì u3n n . Điều này mâu thuẫn với u9999 3333
13. Vậy, với n 3333 thì u3n n. Do đó u2013 671 1 x 1 2 Câu 25. Cho dãy số xn thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1) n 2 Thật vậy: n 1 đúng k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1 : x k 2 k 2 2 2 x 2 x k 1 x k k 1 k 1 k k 2 xk 2 2 = 2 xk k k 1 k k 1 k k 1 2 1 k 1 k 2 2 3 k 1 2 k k 1 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm) 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n 1 1 1 2 Ta có 2 xn xn 1 xn n n n 1 1 1 1 2 1 2 x1 xn n 1 x với mọi n 1 n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 17 1 2 Câu 26. Cho dãy số xn xác định bởi: x1 5; x2 ; xn 1 xn .xn 1 2xn 4 . Tìm n chẵn thỏa mãn 2 4 n N *vàxn  3 là lập phương của 1 số tự nhiên. Hướng dẫn giải Nhận xét thấy : 21 1 1 4 22 1 1 4 x1 2 1 1 ; x2 2 2 1 ; 22 1 22 1 2n 1 1 4 Khi đó , giả sử : xn 2 n 1 n k;k N *. 22 1 2k 1 4 Cần chứng minh: xk 1 2 k .(1) thật vậy ta có 22 1 1 2 1 2k 1 1 4 2k 2 1 4 2 2k 1 1 4 xk 1 xk xk 1 2xk 4 (2 k 1 )(2 k 2 ) 2(2 k 1 ) 4 4 4 22 1 22 1 22 1
14. 2k 1 4 = 2 k suy ra (1) đúng 22 1 2n 1 1 4 xn 2 n 1 n N * 22 1 2n 1 1 Khi đó xn  3 2 3 , giả sử tồn tại n chẵn để xn  3là lập phương của 1 số tự nhiên: n 1 Khi đó 22 1 3 c3 . Mặt khác n chẵn suy ra n 1 lẻ suy ra 2n 1 13 khi đó đặt n 1 22 1 23k 23k 3 c3 c 2k c2 c.2k 22k 3 mà c2 c.2k 22k c 2k nên: c 2k 1;c2 c.2k 22k 3 (2). Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi k 0 suy ra không tồn tại n chẵn. Vậy không tồn tại n chẵn để xn  3 là lập phương của một số tự nhiên. Câu 27. Cho x1 a, x2 b a,b ¡ và n.xn 2 (n 1).xn 1 xn 0 , n 1,2, Tìm lim xn . n Hướng dẫn giải x x Ta có x x n 1 n n 2 n 1 n ( 1)n ( 1)n x x (x x ) . b a n 2 n 1 n! 2 1 n! n ( 1)k n ( 1)k xn 2 x1  . b a x1 a b  . b a k 1 k! k 0 k! 1 1 lim x x a b 2a b n 1 e e 2 * Câu 28. Cho dãy un axác định bởi: u1 2;un 1 un un 1,n ¥ . Tìm M nhỏ nhất thỏa mãn 1 1 1 M , n ¥ * . u1 u2 un Hướng dẫn giải 2 Ta có u1 2 1 và un 1 (un 1) un . Chứng minh bằng quy nạp ta được un 2,n ¥ ,n 2 (*). 2 Ta lại có: ui 1 ui ui 1 ui 1 1 ui (ui 1) 1 1 1 1 1 1 . ui 1 1 ui 1 ui ui ui 1 ui 1 1 n 1 1 1 1 (*) Do đó:  1 1,n ¥ * . i 1 ui u1 1 un 1 1 un 1 1 Suy ra M 1. Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy (un ) tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì L 2 . Vì phương trình L L2 L 1 có duy nhất nghiệm là L 1, bởi vậy n 1 dãy (un ) không có giới hạn hữu hạn. Suy ra lim un lim  1 ( ). i 1 ui n 1 n0 1 Với mọi a 1 thì từ lim  1 suy ra tồn tại n0 sao cho  a . Do đó i 1 ui i 1 ui M 1 M 1. Câu 29. Cho dãy số un được xác định như sau: u0 0, u1 1, un 2 2un 1 un , n 0,1,2, Chứng 2014 2014 minh rằng 2 un khi và chỉ khi 2 n . Hướng dẫn giải
15. 1 n n Công thức tổng quát u 1 2 1 2 n 2 2 n n Đặt 1 2 a, 1 2 b ab 1 n 1 1 2 2 Ta có un a b , u2n a b un a b 2 2 2 2 n n Đặt Sn a b 1 2 1 2 . Khi đó ta được dãy Sn được xác định như sau: S1 2, S2 6, Sn 2 2Sn 1 Sn , n 1,2, Do S1  2 mod 4 , S2  2 mod 4 nên bằng quy nạp ta được: Sn  2 mod 4 hay a b  2 mod 4 a b 2t, t,2 1 Do đó u2n 2un .t, t,2 1 Giả sử n 2k.t, t,2 1 u u 2k.u .A , trong đó u , A đều lẻ n 2k.t t k t k k k Từ đẳng thức này ta được 2 un khi và chỉ khi 2 n .