Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp - Ngô Tùng Hiếu

1. . 1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP. u1 11 Bài 1. Cho dãy số un xác định bởi : . Xác định số hạng tổng quát của dãy un 1 10un 1 9n,n N đã cho. Hướng dẫn giải Ta có:. u1 11 10 1 u2 10.11 1 9 102 100 2 . u3 10.102 1 9.2 1003 1000 3 n Dự đoán: un 10 n 1 . Chứng minh theo quy nạp ta có. 1 k u1 11 10 1, công thức 1 đúng với n 1. Giả sử công thức 1 đúng với n k ta có uk 10 k . k k 1 Ta có: uk 1 10 10 k 1 9k 10 k 1 . Công thức 1 đúng với n k 1. n Vậyun 10 n , n N u1 2 Bài 2. Cho dãy số (un ) biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy. un 3un 1 1,n 2 Hướng dẫn giải 1 3 1 1 u 3u 1 u 3u u 3(u )(1) . n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1 1 5 Đặt v u v u . n n 2 1 1 2 2 (1) vn 3vn 1,n 2 . Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q 3. 5 Nên v v .qn 1 .3n 1 . n 1 2 1 5 1 Do đó u v 3n 1 ,n 1,2, n n 2 2 2 3 n 4 * Bài 3. Cho dãy số un xác định bởi u1 1;un 1 un 2 ,n N .Tìm công thức số hạng 2 n 3n 2 tổng quát un của dãy số theo n . HƯỚNG DẪN GIẢI
2. Với mọi n ¥ * , ta có. n 4 2 3 2un 1 3(un ) 2un 1 3(un ) (n 1)(n 2) n 2 n 1 . 3 3 3 3 3 2(un 1 ) 3(un ) un 1 (un ). n 2 n 1 n 2 2 n 1 . 3 3 1 Dãy số (vn ),vn un là cấp số nhân có công bội q và v1 . n 1 2 2 n 1 n 1 3 1 * 3 1 3 * vn . ,n ¥ un ,n ¥ . 2 2 n 1 2 2 Bài 4. Cho hàm số f : Z Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:. (1) f n 1 f n , n Z . (2) f f n n 2000 , n Z . a/Chứng minh: f n 1 f n , n Z b/Tìm biểu thức f n . HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a. Vì f n Z nên từ giả thiết (1) ta được: f n 1 f n 1, n Z Kết hợp giả thiết (2) ta được n Z . n 2001 n 1 2000 f f n 1 f f n 1 n 2001 do đó: f n 1 f n 1, n Z . Câu b. f n f 1 n –1,n Z f f 1  f 1 f 1 –1,. Suyra:1 2000 2 f 1 –1 f 1 1001 f n n 1000,n Z . Thử lại thỏa các điều kiện, nên f n n 1000,n Z Bài 5. a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125. u 16 1 b)Cho dãy số u có . Tìm số hạng tổng quát u . n 15 n.un 1 n un 1 14 , n 1 n 1 Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
3. Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d,a,a d . a d a a d 9 Theo giả thiết ta có hệ: . 2 2 2 a d a a d 125 3a 9 2 2 3a 2d 125 . a 3 d 7 Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4. u 16 1 b)Cho dãy số u có . Tìm số hạng tổng quát u . n 15 n.un 1 n un 1 14 , n 1 n 1 15 n.u 1 Ta có: u 14 n u 14 n 1 15 n.u 1 . n 1 n 1 n 1 n n 1 un 1 15nun 14n 1 (1). Đặt vn nun v1 16 . (1) trở thành: vn 1 15vn 14n 1 vn 1 n 1 15 vn n (2). Đặt w n vn n w1 15 . n (2) trở thành: wn 1 15wn w n là csn có w1 15,q 15 w n 15 . 15n n Từ đó ta có: u . n n Bài 6. Cho dãy số un xác định bởi : u1 1;u2 4;un 2 7un 1 un 2,n ¥ *. Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương. Hướng dẫn giải Ta có u1 1;u2 4;u3 25 . 2 3 18 123 Đặt u v thì v ;v ;v . n n 5 1 5 2 5 3 5 2 2 2 Khi đó un 2 7un 1 un 2,n ¥ * vn 2 7 vn 1 vn 2,n ¥ * 5 5 5 vn 2 7vn 1 vn ,n ¥ *. 2 2 2 2 Ta có : vn 2.vn vn 1 (7vn 1 vn ).vn vn 1 vn 1(7vn vn 1) vn vn 1vn 1 vn . 9 Suy ra : v .v v2 v v v2 L v v v2 ;n ¥ * . n 2 n n 1 n 1 n 1 n 3 1 2 5
4. 2 2 2 2 9 2 4 2 4 4 9 Suy ra : un 2 . un un 1 un 2un un 2 un un 1 un 1 5 5 5 5 5 25 5 25 5 2 4 9 u u 7u 2 u2 u u u u2 2u 1 (u 1)2 ;n ¥ *. n 2 n 5 n 1 n 1 5 n 1 5 n 2 n n 1 n 1 n 1 2 Từ hệ thức un 2un (un 1 1) ;n ¥ * và u1;u2 là các số chính phương suy ra un là số chính phương với mọi n nguyên dương. Bài 7. Cho dãy số a tăng, a 0 n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi nn 1 n nn 1 n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn .  n i 1 ai 1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy x tăng ngặt. nn 1 Trường hợp 1. Nếu 1. a a 1 1 1 1 1 i 1 i x vậy dãy x . 1 n nn 1 ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 bị chặn trên do đó tồn tại lim xn . n Trường hợp 2. Nếu 0 1. ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai . ai 1ai ai ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 . Ta chứng minh ( ). ai 1 ai Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn ' ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai tại số c ai ;ai 1 thoả mãn f c c ai 1 đpcm. ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai Từ đó ta có. 1 xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn . n 1 n a1 Bài 8. Cho dãy số xn được xác định bởi : x4 1 và. xn 1 xn 1 n 2 2 n 3 3 n 4 L n 2 1, với mọi n 4 x Tính giới hạn lim n . . n n4 Hướng dẫn giải Ta có: 1 n 2 2 n 3 3 n 4 n 2 .1. n 1 1 2 n 1 2 3 n 1 3 n 2 n 1 n 2 .
5. 2 n 1 1 2 3 n 2 12 22 32 n 2 . n 2 n 1 n 2 n 1 2m 3 n n 1 n 2 = n 1 . . 2 6 6 n n 1 n 2 Do đó ta suy ra : x x x C3 * . n 1 n 6 n n 4 4 Ta chứng minh xn Cn . Thật vậy với n 4 , ta có x4 1 C4 . 4 Giả sử với n 4 ta có : xn Cn . 4 3 4 3 4 Ta có : xn 1 xn Cn theo (*) hay xn 1 xn Cn Cn Cn Cn trong. x n! 1 lim n lim n n4 n 4! n 4 !n4 6 1 Bài 9. Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f 3x f f 2x 2x với mọi x 0 . 2 Chứng minh rằng f x x với mọi x 0 . Hướng dẫn giải 1 Ta có: f (3x) f f (2x) 2x (1) . 2 1 2x 2x 2x Từ (1) suy ra f (x) f f f (x) , x 0 (2). 2 3 3 3 1 2x 2x 2 1 2x 2x 1 2x 2x 4 2 Khi đó f (x) f f . f f x . 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 2 1 2 Xét dãy (a ) , n 1,2, được xác định như sau: a và a a2 . n 1 3 n 1 3 n 3 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ¥ * luôn có. f (x) an x với x 0 (3). Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3). Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó. 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x f (x) f f a . f a .a . 2 3 3 2 k 3 3 2 k k 3 3 . a2 2 k .x a .x 3 k 1 Vậy (3) đúng với n k 1. * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1. Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n ¥ . Do đó: 1 a a (a 1)(a 2) 0 , suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 n 3 n n n
6. 1 2 Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a l thì l l 2 với l 1, suy ra l 1. Vậy n n 3 3 lim an 1. Do đó từ (3) suy ra f (x) x với mỗi x 0 (đpcm). Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây. 1. f x y f x f y với mọi x, y ¡ . 2. f x ex 1 với mỗi x ¡ . Hướng dẫn giải f x 0 f x f 0 f 0 0 và bởi vì f 0 e0 1 0 cho nên f 0 0. f x x f x f x f x f x 0 1 . x x x f x f f 2 e 2 1 . 2 2 x x x x f x 2 e 2 1 f x f f 4 e 4 1 . 2 2 x Dùng quy nạp theo ta CM được n 2n . n 1,2, f x 2 e 1 x0 Cố định x ¡ ta có f x 2n e 2n 1 . 0 0 x0 Xét dãy a 2n e 2n 1 ta có:. n x0 e 2n 1 lim a lim .x x . n x 0 0 0 2n Vậy f x0 x0 x0 ¡ 2 . Vậy f x f x x x 0 3 . Kết hợp (1) và (3) ta được f x f x 0 . Từ (2) f x x f x x 4 . Kết hợp (2) và (4) ta được f x xx ¡ . Thử lại f x x ta thấy đúng. Vậy f x f x x x 0 3 . Kết hợp (1) và (3) ta được f x f x 0 . Từ (2) f x x f x x 4 . Kết hợp (2) và (4) ta được f x xx ¡ . Thử lại f x x ta thấy đúng.
7. 2015 x1 2016 Bài 11. Cho dãy số xác định bởi 2 . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu xn xn 1 xn ,n 1 n hạn. Hướng dẫn giải Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có xn 0 n 1 và dãy số đã cho là dãy tăng. Ta có :. 2 x2 x1 x1 2x1; x2 . x x 2 2x x2 3x ; 3 2 4 1 1 1 x2 Giả sử x kx với k 1. Ta có: x x k kx x2 (k 1)x . k 1 k 1 k k 2 1 1 1 Theo nguyên lý quy nạp ta có xn nx1 n 1. Ta có : xm m 1 m 2017 thật vậy : 1 1 mx m 1 m 1 x 1 m m m 2016 ;. 1 1 1 x 2015 1 1 2016 Do đó xm mx1 m 1. 2 xn 2 1 1 xn 1 xn n xn 1 1 1 1 Ta có với n 2 thì 2 2 . xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 n xn 1 n n(n 1) n 1 n 1 1 n 2018 1 1 Do đó n 2018 thì  x2017 xn i 0 x2017 i x2018 i n 2018 1 1 1 1 1  . i 0 2016 i 2017 i 2016 n 1 2016 1 1 1 2016x2017 Suy ra 0 xn . xn x2017 2016 2016 x2017 Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. u 1;u 2 1 2 Bài 12. Cho dãy số (un ) xác định như sau 3 1 . u u u n 2 n 1 2 n 2 n 1 a) Xác định số hạng tổng quát un . b) Tính limun n . Hướng dẫn giải
8. 1 1 Biến đổi ta được:u u u u với v u u khi đó: v v , n 2 . n 1 n 2 n n 1 n 1 n 1 n n 1 2 n 1 nghĩa là dãy v ,v , v , là một cấp số cộng của v 1; q . 2 3 n 2 2 vn un un 1  vn 1 un 1 un 2  un u1 v2 v3 vn . v2 u2 u1  n 2 n 2 1 1 1 u 1 1 3 n 2 2 2 n 2 1 lim un lim 3 3. x x 2 Bài 13. Cho dãy số un được xác định như sau. 2 u1 2011;un 1 n un 1 un ,. * với mọi n ¥ ,n 2 . Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi của dãy ta được. 1 1 1 1 1 1 u 1 u 1 1 u 1 1 1 u . n 2 n 1 2 2 n 2 2 2 2 1 n n n 1 n n 1 2 n 1 n 1 n 2 n 4.2 3.1 n 1 2011 Do đó un . . .2011 .2011. Từ đó limun . n2 n 1 2 32 22 2n 2 4 2 un 2013 * Bài 14. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014,un 1 3 ,n ¥ . un un 4026 n 1 v , n * Đặt n  3  ¥ . Tính limvn . k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải 4 2 un 2013 * Cho dãy số un xác định bởi u1 2014,un 1 3 ,n ¥ . un un 4026 n 1 v , n * Đặt n  3  ¥ . Tính limvn . k 1 uk 2013 4 2 3 u 2013 un 2013 un 2013 Ta có u 2013 n 2013 . n 1 3 2 un un 4026 un un 1 4026 * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ .
9. 3 un 2013 un 2013 u 2013 1 . n 1 3 un 2013 un 2013 1 1 1 1 1 1 Từ 1 suy ra 3 3 . un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 1 1 Do đó vn  1 . k 1 uk 2013 uk 1 2013 u1 2013 un 1 2013 un 1 2013 Ta chứng minh limun . 2 2 2 un 4026un 2013 un 2013 * Thật vậy, ta có un 1 un 3 3 0,n ¥ . un un 4026 un un 4026 Suy ra un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 Giả sử ngược lại un bị chặn trên và un là dãy tăng nên limun a thì a 2014 . Khi đó a4 20132 a a 2013 2014 (vô lý). Suy ra u không bị chặn trên, do đó limu . a3 a 4026 n n 1 Vậy limvn lim 1 1. uk 1 2013 Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết. 1 u1 2 u2 673 . 2 3 2 2(n 2) u (n 4n 5n 2)u u n 1 n n ¥ ,n 1 n 2 n 3 Hướng dẫn giải 2(n 2)2 u (n3 4n2 5n 2)u Vì u n 1 n nên ta có:. n 2 n 3 2 2 (n 3)un 2 2(n 2) un 1 (n 2)(n 1) un . n 3 u 2(n 2)u (n 1)2 u . n 2 n 2 n 1 n n 3 u (n 3)u (n 1)u (n 1)2 u n 2 n 2 n 1 n 1 n Đặt un n!vn , n ¥ ,n 1 thu được. (n 3)vn 2 (n 3)vn 1 (n 1)vn 1 (n 1)vn . (n 3)(vn 2 vn 1) (n 1)(vn 1 vn ) Đặt wn vn vn 1 , n ¥ ,n 2 thu được. (n 1)wn (n 1)wn 1 .
10. (n 1)nwn n(n 1)wn 1 . Do đó. (n 1)nw n(n 1)w (n 1)(n 2)w 3.2.w n n 1 n 2 2 . 6(v2 v1) 2016. 2016 1 1 Như vậy wn 2016 , n ¥ ,n 2 . n(n 1) n n 1 Từ đó, với n ¥ ,n 1, ta có. 1 1 n 1 vn v1 2016 2016 . 2 n 1 n 1 4033n 4031 v . n 2(n 1) 4033n 4031 Vậy u n! , n ¥ ,n 1. n 2(n 1) 3 n 4 * Bài 16. Cho dãy số un xác định bởi u1 1; un 1 un 2 ,n N . 2 n 3n 2 Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n . Hướng dẫn giải 3 n 4 Vì un 1 un 2 nên. 2 n 3n 2 3 n 4 1,5n 6 2u 3u . . n 1 n 2 n2 3n 2 n 1 n 2 1,5 1,5 2u 3u 2. 3. . n 1 n n 2 n 1 1,5 1,5 2u 2. 3u 3. . n 1 n 2 n n 1 1,5 3 1,5 un 1 un 3. . n 2 2 n 1 1,5 3 Đặt v u , khi đó ta có: v v . n n n 1 n 1 2 n 1,5 1 Lại có: v u . 1 1 2 4 n 1 3 1 Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy vn là: vn . . 2 4 n 1 1,5 3 1 3 Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy un un vn . là: n 1 2 4 2 n 1 .
11. 2 Bài 17. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 với mọi n 1. a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u3 u2011 . Hướng dẫn giải * a) Dễ thấy un 0,n N . 2 2 2 Từ un 1 3un 2 un 1 3un 2 . 2 Đặt vn un thì có: vn 1 3vn 2 vn 1 1 3 vn 1 . Đặt xn vn 1 thì ta có: xn 1 3xn . Từ đây suy ra xn là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3. n 1 n 1 n 1 Nên: xn 2.3 vn 2.3 1 un 2.3 1 . b) S 2.30 2.31 2.32 2.32010 2011. 2 30 31 32 32010 2011. 2 32011 1 2011 32011 2012 . 3 1 n Bài 18. Cho dãy số un được xác định bởi u1 1 và un 1 un 2 với mọi n 1. n a) Chứng minh rằng: un 2 1. b) Tính tổng S u1 u2 u3 un theo n . Hướng dẫn giải 1 2 a) Khi n 1: u2 u1 2 1 2 2 1 đúng. k Giả sử uk 2 1 đúng với k 1,k N . k 1 Ta chứng minh: uk 1 2 1. k k k k 1 Thật vậy: uk 1 uk 2 2 1 2 2 1. b) S 21 1 22 1 2n 1 21 22 2n n . 2n 1 S 2. n 2n 1 n 2. 2 1 u 2 1 Bài 19. Cho dãy số(un) xác định như sau: . un 2 1 un 1 (n 1,n ¥ ) 1 ( 2 1)un a) Chứng minh: tan 2 1. 8
12. b) Tính: u2015 . Hướng dẫn giải 2 tan a) Ta có: 1 tan tan 8 tan2 2 tan 1 0 . 4 8 8 1 tan2 8 8 8 tan 2 1 8 tan 2 1(Vì tan dương). 8 8 tan 2 1 8 tan a tan tan(a ) tan b) Đặt u 2 tan a , ta có: u 8 tan(a ) , u 8 8 tan(a 2. ) . 1 2 3 1 tan a.tan 8 1 tan tan(a ) 8 8 8 8 Ta chứng minh: u tan(a (n 1) ),n 1,n ¥ (*). n 8 Với n 1: u1 tan a đúng. Giả sử (*) đúng với n k , k 1, hay ta có: u tan(a (k 1) ) . k 8 tan(a (k 1) ) tan u 2 1 Ta có: u k 8 8 tan(a k. ) . k 1 8 1 ( 2 1)uk 1 tan(a (k 1) ).tan 8 8 Vậy (*) đúng với n k 1. Vậy u tan(a (n 1) ),n 1,n ¥ . n 8 3 3 Cho n 2015 , ta có: u tan(a 2014. ) tan(a 251 ) tan(a ) . 2015 8 4 4 2 1 tan(a ) ( 2 1)2 tan2 . 4 2 1 8 u1 1 * Bài 20. Cho dãy số thực un với u2 1 (n N ) . un 2 2un 1 un * a) Chứng minh un 3 2n với mọi n N . b) Tính tổng S u1 u2 u2012 . Hướng dẫn giải a) Dùng phương pháp qui nạp. u1 1 3 2.1, u2 3 2.2 1.
13. Giả sử uk 3 2k k 3 . Ta có: uk 1 2uk uk 1 2(3 2k) (3 2(k 1)) . 1 2k 3 2(k 1) . * Vậy un 3 2n với mọi n N . b) S (3 2.1) (3 2.2) (3 2.2012) . 3.2012 2(1 2 2012) 6036 2013.2012 4044120 . v1 8 * Bài 21. Cho dãy số vn với v2 34 (n N ) . vn 2 8vn 1 1996vn Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011. Hướng dẫn giải u1 8 * Xét dãy số un với u2 34 (n N ) . un 2 8un 1 15un * Ta có vn  un mod 2011 với mọi n N . Xét phương trình đặc trưng:t 2 8t 15 0 . Phương trình trên có nghiệmt 5,t 3. n n 5A 3B 8 un có dạng un A.5 B.3 . Vì u1 5,u2 13 nên .Ta có: A B 1. 25A 9B 34 n n Ta có: un 5 3 . Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:52010 1 mod 2011 . 32010 1 mod 2011 . Suy ra 52013 125 mod 2011 ,32013  27 mod 2011 . Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152. Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152. u1 1 Bài 22. Cho dãy số un : n * . 3 2un 1 un 2, (n ¥ ) a) Chứng minh dãy số un là dãy số giảm. b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Hướng dẫn giải
14. a) Chứng minh dãy số un là dãy số giảm. u 1 Ta có: u n ; Chứng minh: u u n ¥ * bằng phương pháp quy nạp. n 1 2 3n n 1 n u 1 1 Ta có: 5 u2 u1 . u 2 6 Giả sử: uk 1 uk ;k ¥ và k 1. Chứng minh: uk 2 uk 1 . u 1 u 1 u 1 Ta có: u k 1 k k u . Vậy u u n ¥ * . k 2 2 3k 1 2 3k 1 2 3k k 1 n 1 n b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số un . 3 Ta có: 3n (2u u ) 2 3n 1.u 3n.u 3. n 1 n n 1 2 n 3 3 Đặt v 3n u 6 , ta được: v 6 (v 6) 3 v v . n n n 1 2 n n 1 2 n v 9 1 3 Ta được: (vn ) : 3 là cấp số nhân có công bội q . v v , (n ¥ * ) 2 n 1 2 n n 1 n 1 3 3 Suy ra: vn v1. 9. . 2 2 vn 6 1 1 Vậy un n 6. n n . 3 2 3 Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy xn biết rằng:. x 1; x 5; x 125 0 1 2 * 2 2 ( n N ). xn 2 xn xn 1 3 xn 1 xn 1 10xn 1 xn Hướng dẫn giải Từ đề bài ta có: xn 0 với mọi n N . x 3x 10x Ta có: n 2 n 1 n với mọi n N * . xn 1 xn xn 1 xn * Đặt yn ta được yn 2 3yn 1 10yn 0 với mọi n N . xn 1 n n Vì phương trình đặc trưng của dãy yn có hai nghiệm phân biệt 2;5 nên yn A 2 B.5 với mọi n N * .
15. x1 y1 5 x0 B 1 n * Với ta có . Suy ra yn 5 với mọi n N . x A 0 y 2 25 2 x1 n2 n n n n 1 n (n 1) 1 2 * Ta có xn 5 .xn 1 5 .5 5.x0 5 5 với mọi n N . n2 n 2 Kết hợp với x0 1, ta suy ra xn 5 với mọi n N . 7 u 1 2 Bài 24. Cho dãy số u : . n 7u 4 n * un 1 , n ¥ 2un 5 a) Chứng minh dãy số un là dãy số giảm. b) Lập công thức tổng quát của dãy số un . Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số un là dãy số giảm. 7 19 Ta có: u ; u u u . 1 2 2 8 1 2 Giả sử: uk uk 1 với k >1. Cần chứng minh: uk 1 uk 2 . 7u 4 7 27 1 7 27 1 Ta có:u k . u . k 1 2u 5 2 2 2u 5 k 2 2 2 2u 5 k k k 1 . 1 1 Mà u u k k 1 2u 5 2u 5 k K 1 . 7 27 1 7 27 1 . . uk 1 uk 2 (điều phải chứng minh). 2 2 2uk 5 2 2 2uk 1 5 b) Lập công thức tổng quát của dãy số un . 7 Ta có 0 u , n ¥ * . n 2 un 2 1 Xét dãy số xn , ta có: x1 un 1 3 . un 1 2 1 un 2 1 1 xn 1 xn (xn ) là cấp số nhân xn n un 1 1 3 un 1 3 3 . n un 2 1 n n 2.3 1 n 3 1 un 2.3 1 un n . u 1 3 3 1 n .
16. 1 u 1 2016 Bài 25. Cho dãy số un : . 2015u 1 u n , n ¥ * n 1 2016 * a) Chứng minh rằng un 1, n ¥ . b) Lập công thức tổng quát của dãy số un . Hướng dẫn giải * a) Chứng minh rằng un 1, n ¥ . 1 Ta có: u1 1 2016 . Giả sử: u 1, (k 1) ; Cần chứng minh: u 1 k k 1 . 2015u 1 Ta có: u 1 2015u 1 2016 k 1 u 1. Vậy u 1, n ¥ * . k k 2016 k 1 n b)Lập công thức tổng quát của dãy số un . 2015 Đặt xn un 1 ta có x1 2016 . 2015un 1 2015 2015 xn 1 un 1 1 1 un 1 xn 2016 2016 2016 . n 2015 xn là cấp số nhân xn 2016 . n 2015 * Vậy un 1 , n ¥ 2016 u1 2 Bài 26. Cho dãy số un xác định bởi: u2 3 . un nun 1 n 2 un 2 2n 4,n 3 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy un . b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 . Hướng dẫn giải v1 1 a) Đặt vn un n ta có: v2 1 . vn n(vn 1 n 1) (n 2)(vn 2 n 2) 3n 4 nvn 1 n 2 vn 2 ,n 3 Khi đó vn vn 1 (n 1)vn 1 (n 2)vn 2 . Lại có:.
17. vn v2 (vn vn 1) (vn 1 vn 2 ) (v4 v3 ) (v3 v2 ) . (n 1)vn 1 (n 2)vn 2  (n 2)vn 2 (n 3)vn 3  (3v3 2v2 ) (2v2 1v1) . (n 1)vn 1 v1 . Do đó vn (n 1)vn 1 . Hay vn (n 1)(n 2)vn 2 (n 1)(n 2) 1.v1 (n 1)!. Vậy un (n 1)! n . b) Ta có u2016 2015! 2016 chia cho 2015 dư 1. x 3 1 Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số x : x . n x n 1 ,n 2 n 2 1 1 xn 1 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 Ta có: 1 2 . Đặt yn , khi đó ta được dãy yn xác định như sau: y1 và xn xn 1 xn 1 xn 3 2 yn yn 1 1 yn 1 . 1 cos 1 Vì y cot y cot 1 cot2 3 cot . 1 2 3 3 3 3 sin 2.3 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được: y cot x tan ,n 1. n 2n 1.3 n 2n 1.3