Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 5 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 5 - Ngô Tùng Hiếu

1. Câu 1: Cho ba số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 (a b c) ab bc ca. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P a(a 2b 2) b(b 2c 2) c(c 2a 2) . abc Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 2 ta luôn có: 1 2 n n 1 3 k 1. Cn 2. Cn  n. Cn 2 .n trong đó Cn là số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. 3 2 Câu 3: Cho phương trình x 3x 1 0 . Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 . Giả sử x1 x2 x3 chứng minh rằng x1 x2 và 2 x1 2 x2 2 x3 27 . a2 b2 2 Câu 4: Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a3 b5 a2 b2 .Chứng minh 2b a2 b2 a b c d Câu 5: Cho 4 số không âm a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: 1. Chứng 1 a 1 b 1 c 1 d 1 minh rằng: abcd . 81 Lời giải Từ giả thiết suy ra 1 b c d 1 a 1 b 1 c 1 d b c d Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm ; ; ta có 1 b 1 c 1 d 1 b c d bcd 33 1 a 1 b 1 c 1 d (1 b)(1 c)(1 d) Tương tự có 1 acd 33 1 b (1 a)(1 c)(1 d) 1 abd 33 1 c (1 a)(1 b)(1 d) 1 abc 33 1 d (1 a)(1 b)(1 c) Nhân vế với vế có 1 abcd 81 (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) 1 abcd 81 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c d . 3 Câu 6: Cho a,b,c 0 , a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 1 S a b c . a b c 1 1 1 1 Câu 7: Cho x, y, z 0 và 2 . Chứng minh: xyz . 1 x 1 y 1 z 8 Câu 8: Cho x , y , z dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz 1. Chứng minh: x2 y y2 z z2 x 2xyz . x 1 y 1 z 1
2. Lời giải 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 xy yz zx Xét VT 1 xy y yz z xz x xy yz zx x y z Liên quan tới xy yz zx , từ giả thiết, ta xét: xy yz zx 33 x2 y2 z2 . 3 2 4t 3 3 Đặt t xy yz zx , từ giả thiết có: 1 t 4x2 y2 z2 t hay xy yz zx 27 4 4 1 1 Thay vào giả thiết được: 2xyz 1 xy yz zx hay xyz 4 8 Do đó, xy yz zx 6xyz Suy ra: xy yz zx 2 6xyz xy yz zx 2 Mặt khác: xy yz zx 2 3 xy.yz yz.zx zx.xy 2 xy yz zx 2 6xyz x y z 3 Cộng vế 2 và 3 có: 3 xy yz zx 2 6xyz xy yz zx x y z 4 Kết hợp 1 và 4 ta có đpcm. 1 Dấu “ ” xảy ra khi x y z . 2 Câu 9: Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh 1 1 1 18 . p a p b p c a b c Lời giải 1 1 4 4 4 Ta có: 1 p a p b 2 p (a b) a b c a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có : 2 ; 3 . p a p c b p b p c a 1 1 1 1 1 1 Cộng (1), (2) và (3) 2 4 p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 9 Mặt khác: a b c 9 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 18 2 . p a p b p c a b c a b c Câu 10: Giả sử x, y, z là những số thực lớn hơn 2. Cho biểu thức x y z P y z 4 z x 4 x y 4 Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải Theo BĐT Cauchy cho hai số dương: 4 y z 4 y z y z x 4x 4. y z 4 y z 4 2 2 4 y z 4 y z y 4y z 4z Tương tự ta có: ; z x 4 z x x y 4 x y x y z Từ đó suy ra P 4 y z z x x y
3. x y z 3 Mặt khác ta chứng minh được BĐT: ,x, y, z 0 y z z x x y 2 3 Do đó P 4. 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 4 2 Vậy min P 6 x y z 4 . Câu 11: Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2abc a 1 2 b 1 2 c 1 2 2 a b c 2 2 1 . Lời giải Trong ba số a 1; b 1; c 1 luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý Dirchlet). Không mất tính tổng quát, giả sử b 1 c 1 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 2 2 2 1 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b c 2 2 2 a 1 2 b c 1 2 2 2 Do đó abc 2 a 1 b 1 c 1 abc 2 a 1 2 b c 2 Mà abc 2 a 1 2 b c a b c a b 1 c 1 a b c . 1 2 2 2 suy ra abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c chính là 1 . 2 1 Dấu “ ” khi và chỉ khi a b c 1 hoặc a 0 , b c 1 và các hoán vị. 2 Câu 12: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc 1. Chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 9 a3 b3 c3 . a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Lời giải Ta có 0 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 a4 b4 2a2b2 4ab a2 ab b2 2 a2 b2 4ab a2 ab b2 a2 ab b2 a2 b2 a2 b2 4ab ab 1 a b 1 2 2 a b 4 b a bc 1 b c ca 1 c a Tương tự có 1 2 2 ; 1 2 2 . b c 4 c b c a 4 a c Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schwarz cùng giả thiết abc 1 ta được ab bc ca 1 b c c a a b 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 4 a b c bc b c ca c a ab a b 4abc 1 1 a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3 4 4 3 3 3 ab bc ca Hay a b c 4 2 2 2 2 2 2 9 1 a b b c c a
4. Mặt khác 3 a3 b3 c3 3.33 abc 3 9 2 ab bc ca Từ 1 và 2 suy ra 4 a3 b3 c3 18 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 9 Do vậy a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 3 Câu 13: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn điều kiện a b c . Chứng minh rằng: 4 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 14: Cho các số thực dương x , y , z thoả mãn xyz 1. Chứng minh rằng: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3 . Đẳng thức xảy ra khi nào? xy yz zx Câu 15: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a , b , c ta đều có: 1 1 1 1 1 1 1 . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3 a b c 3 Câu 16: Cho các số x , y , z thay đổi trên 0;1 và thoả mãn điều kiện x y z . Tìm giá trị lớn 2 nhất của biểu thức: P x2 y2 z2 . Câu 17: Cho x , y , z là những số dương. Chứng minh rằng: x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 3 xy yz zx Câu 18: Giả sử x , y , z là các số dương thay đổi thoả mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất x y z của: P . x 1 y 1 z 1 Câu 19: Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3(a2 b2 c2 ) 4abc 13. Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a(x2 y2 ) z2 trong đó a là hằng số thực dương và x , y , z là các biền số thoả mãn điều kiện xy yz zx 1. Câu 21: Chứng minh rằng: a b b c c a 2 1 a b c trong đó a , b , c là các số dương thoả mãn điều kiện: abc 1. a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 9 Câu 22: Chứng minh bất đẳng thức: , trong đó a , b , c là 2abc c2 ab a2 bc b2 ca 2 các số thực dương. 1 1 1 1 1 1 Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3 3 3 , trong đó a , b , c là a b b c c a 3 các số dương thoả mãn điều kiện: a b c . 2 Câu 24: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a , b , c ta luôn có: a b c 1. a (a b)(a c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) Câu 25: Cho x, y, z 0, x y z 1. Chứng minh rằng 4 x3 y3 z3 15xyz 1. Lời giải Ta có 4 x3 y3 z3 15xyz 1 4 x y 3 3xy x y 4z3 15xyz 1
5. 4 1 z 3 3xy 1 z z3 15xyz 1 4 1 z 3 12xy z 1 4z3 15xyz 1 f xy xy 27z 12 4z3 4 1 z 3 1. 2 2 1 z 1 z  Do 0 xy f xy min f 0 , f  4 4  2 2 1 z 2 19 Trong đó f 0 3 2z 1 1 0, f 1 z z 0 . 4 4 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 26: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: T a2 b2 c2 2abc . Câu 27: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2 (x y z)2 4. Chứng minh rằng xy 1 yz 1 zx 1 3 . (x y)2 (y z)2 (z x)2 Lời giải Theo giả thiết ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx . Khi đó: xy 1 2xy x2 y2 z2 xy yz zx (x y)2 (z x)(y x) (z x)(z y) 2 2 2 2 1 2 (x y) (x y) (x y) (x y) xy 1 (z x)(z y) Hay ta được : 2 2 1 2 1 (x y) (x y) yz 1 (x y)(x z) Tương tự ta có: 2 2 1 2 2 (y z) (y z) zx 1 (y z)(y x) 2 2 1 2 3 (z x) (z x) Cộng tương ứng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: xy 1 yz 1 zx 1 (z x)(z y) (x y)(x z) (y z)(y x) 2 2 2 2 3 2 2 2 (x y) (y z) (z x) (x y) (y z) (z x) (z x)(z y) (x y)(x z) (y z)(y x) 3 33 . . 3 3 6 (x y)2 (y z)2 (z x)2 xy 1 yz 1 zx 1 Khi đó: 3 . (x y)2 (y z)2 (z x)2 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z . 3 Câu 28: Cho ba số thực không âm x, y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 5 P . x2 y2 z2 4 (x y) (x 2z)(y 2z) (y z) (y 2x)(z 2x) Lời giải Với mọi số thực không âm x, y, z Ta có: x y 4z x y 4z x 2z y 2z x y x 2z y 2z x y . 2 2 x y 4z x2 y2 2xy 4yz 4zx Mặt khác ta có: x y 2 x2 y2 z2 1 (Vì 2 2 2xy x2 y2 , 4yz 2 y2 z2 , 4zx 2 z2 x2 )
6. y z 4x Tương tự ta có y z y 2x z 2x y z 2 x2 y2 z2 2 2 4 4 5 Từ (1) và (2) ta suy ra P x2 y2 z2 4 2 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 4 9 Hay P .Đặt t x2 y2 z2 4,t 2 x2 y2 z2 4 2 x2 y2 z2 4 9 4 9 Khi đó P . Xét hàm số f (t) , t 2 t 2(t 2 4) t 2(t 2 4) 3 2 4 9t 4 t 4t 7t 4t 16 f t 2 2 2 , f t 0 t 4 t t 2 4 t 2 t 2 4 (do t 2 nên 4t3 7t 2 4t 16 4 t3 4 t 7t 4 0 ) 5 Lập bảng biến thiên của hàm số f t . Dựa vào bảng biến thiên ta có MaxP khi 8 x y z 2 5 . Câu 29: Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x4 y4 y4 z4 z4 x4 P . x5 y5 x4 y4 y5 z5 y4 z4 z5 x5 z4 x4 Lời giải 1 1 1 Đặt a , b , c , bài toán trở thành: Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn abc 1. x y z ab bc ca Tìm giá trị lớn nhất của P . a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca Ta có ab ab 1 1 1 c a5 b5 ab a3b2 a2b3 ab a2b ab2 1 a2b ab2 abc ab a b c a b c bc a ca b Tương tự ta có: ; b5 c5 bc a b c c5 a5 ca a b c Suy ra P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1a = b = c = 1. Vậy MaxP 1. Câu 30: Chứng minh rằng nếu các góc A , B , C của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện cos 2A cos 2B cos 2C 1 thì sin A sin B sin C 1 2 . Câu 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x, y x2 2xy 6y2 12x 2x 45,x, y ¡ . Câu 32: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng tan2 A tan2 B tan2 C 9 . Câu 33: Cho tan2 x.tan2 y tan2 y.tan2 z tan2 z.tan2 x 2 tan2 x.tan2 y.tan2 z 1. Tính giá trị của biểu thức P sin2 x sin2 y sin2 z . Câu 34: Cho các số thực a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b 2 sin x csin 2x , trong đó x (0; ) . 2 Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích S , các cạnh a BC , b CA, c AB và tam giác A1B1C1 có diện tích S1 và các cạnh a1 B1C1,b1 C1 A1,c1 A1B1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a (b1 c1 a1 ) b (c1 a1 b1 ) c (a1 b1 c1 ) 16SS1 . Câu 36: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng với các đỉnh A , B , C là a , b , c . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, đặt da IA,db IB,dc IC . Chứng minh rằng: 2 2 2 a(bc da ) b(ca db ) c(ab dc ) 6abc . Dấu bằng xảy ra khi nào?
7. a2 b2 c2 Câu 37: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T trong đó a , a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2 b , c là các số thực khác 0 . Câu 38: Tam giác ABC có BC a , CA b , AB c với diện tích S . Gọi ma , mb ,mc lần lượt là độ dài a2m2 b2m2 c2m2 các đường trung tuyến xuất phát từ A , B , C . Chứng minh rằng: S a b c . 3(a2 b2 c2 ) đẳng thức xảy khi nào?