Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 10 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 10 - Ngô Tùng Hiếu

1. Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có: a b c 1. a2 7ab b2 b2 7bc c2 c2 7ca a2 Lời giải b c a Đặt x, y, z khi đó x, y, z 0, xyz 1 và bất đẳng thức trở thành: a b c 1 1 1 1. x4 7x2 1 y4 7y2 1 z4 7z2 1 Thật vậy do x, y, z 0 và xyz 1 nên tồn tại các số dương m,n, p sao cho: np pm mn 1 m4 x ; y ; z khi đó ta có . m2 n2 p2 x2 x 1 m4 m2np n2 p2 m4 n4 p4 Và BĐT thức được đưa về : 1. m4 m2np n2 p2 n4 n2 pm p2m2 p4 p2mn m2n2 Ta có mnp m n p m2n2 n2 p2 p2m2 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy Schwars, ta thu được : 2 m2 n2 p2 VT m4 n4 p4 mnp m n p m2n2 n2 p2 p2m2 2 m2 n2 p2 1 m4 n4 p4 2 m2n2 n2 p2 p2m2 Dấu bằng xẩy ra khi m n p 1 hay x y z 1. Câu 2: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a b c 1 . Chứng minh rằng: a b b c c a 3 . ab c bc a ca b a5 b5 c5 Câu 3: Cho a,b,c là ba số dương, chứng minh rằng: a2b b2c c2a . b2 c2 a2 Câu 4: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3. b c a c a b a b c Câu 5: Cho a,b,c là ba số thực dương và a b c 3 . Chứng minh rằng 3 3a 5b 3 3b 5c 3 3c 5a 6. Câu 6: Cho ba số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng: 2 b c a 1 1 1 3 2 2 2 3 . a b c a b c Lời giải 1 1 1 Đặt x , y , z . Ta có x, y, z là các số dương và xy yz zx 1. a b c 2 2 2 x y z 2 Ta cần chứng minh: 3 3 x y z . y z x
2. 2 2 2 x2 y2 z2 x y z x y z Trước hết ta chứng minh : (1). y z x xy yz zx Thật vậy, ta có: x2 (1) xy yz zx  x y z x2 y2 z2 cyc y x3 z x3 y3 z3 x2 z z2 y y2 x  x3 y3 z3  x2 y cyc y sym x3 z y3 x z3 y xz2 zy2 yx2 (2) . y z x Theo bất đẳng thức AM - GM ta có x3 z y3 x y3 x z3 y x3 z z3 y 2x2 y ; 2y2 z ; 2z2 x . y z z x y x Cộng theo vế ba BĐT trên suy ra BĐT (2) được chứng minh. Vậy BĐT (1) được chứng minh. x2 y2 z2 Từ (1) suy ra 3 3 3 3 x y z x2 y2 z2 . y z x Vì vậy ta cần chứng minh: 3 3 x y z x2 y2 z2 x y z 2 . x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 1. x2 y2 z2 x y z 1 3 1 (3) . Do x2 y2 z2 xy yz zx 1 và x y z 3 xy yz zx 3 nên ta có BĐT (3) được chứng minh. Từ đó ta có đpcm. 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z hay a b c 3 . 3 Câu 7: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện: x2 y3 x3 y4 . Chứng minh rằng: x3 y3 x2 y2 x y 2 . 1 1 1 27 Câu 8: Cho x, y, z là các số thức dương thoả mãn: x y z 1. CMR: . 1 xy 1 yz 1 xz 8 Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn ab bc ca 3. Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng a b b c c a k(a b c) 18 3k. Lời giải Cho a b t 0 , khi đó . Bằng cách chia hai vế cho và chuyển qua giới hạn, ta suy ra , hay . Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 4(a b c) 6 (1) . với là các số thực dương thỏa mãn .
3. Bình phương hai vế, (1) tương đương với: 2(a b c) 2 a b b c b c c a c a a b 4(a b c) 6 . a b b c b c c a c a a b a b c 3 . b2 ab bc ca c2 ab bc ca a2 ab bc ca a b c 3. b2 3 c2 3 a2 3 a b c 3 2 b2 3 c2 3 a2 3 a b c 3 2 a2 b2 c2 9 2 a2 3 b2 3 b2 3 c2 3 c2 3 a2 3 a b c 2 6(a b c) 9. a2 3 b2 3 b2 3 c2 3 c2 3 a2 3 3(a b c) ab bc ca. (2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxopxki, ta có: a2 3 b2 3 (ab)2 3(a2 b2 ) 9 (3 ab)2 3(a b)2 (3 ab) 3(a b) 3 3 ab (a b) . 2 12 3 2 2 Tương tự ta cũng có: 3 3 bc 3 3 ca b2 3 c2 3 (b c) , c2 3 a2 3 (c a) . 2 2 2 2 Do đó, a2 3 b2 3 b2 3 c2 3 c2 3 a2 3 9 (ab bc ca) 3(a b c) 3(a b c) 3. 2 Vậy (2) đúng. Ta có điều cần chứng minh. Câu 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC không tù, ta có: 6 3 1 2cos A 3 1 2cos B 3 1 2cosC . 4 4 Câu 11: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a2 b2 c2 1. CMR: c b a 1. 1 ab 1 ac 1 bc Lời giải Từ giả thiết ta có a,b,c 0;1 suy ra 4 a b c 0. abc abc c ab ca cb Ta có: c c c c . 1 ab 2 ab 2 4 Tương tự ta sẽ được: c b a ab bc ca a b c 1 3 a b c a b c 1 1. 1 ab 1 ac 1 bc 2 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Câu 12: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng
4. a b b c c a 3 . ab c bc a ca b Lời giải a b 1 c 1 c Biến đổi: . ab c ab 1 a b 1 a 1 b 1 c 1 b 1 a Từ đó VT . 1 a 1 b 1 a 1 c 1 c 1 b Vì a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c 1nên a,b,c 0;1 1 a;1 b;1 c dương. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta được: 1 c 1 b 1 a VT 33 3 dpcm . 1 a 1 b 1 a 1 c 1 c 1 b 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c . 3