Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán thực tế liên quan mặt và khối nón (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán thực tế liên quan mặt và khối nón (Có lời giải chi tiết)

1. TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NÓN Câu 1: Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi một phần rượu sao cho chiều cao phần còn lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu đã được uống là: 3 1 2 7 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 8 Câu 2: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 16 là dm3 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường 9 tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh Sxq của bình nước là: 3 A. S 4 dm2 . B. S dm2 . xq xq 2 9 10 C. S dm2 . D. S 4 10 dm2 . xq 2 xq Câu 3: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R = 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. » 2,8° B. » 66° C. » 294° D. » 12,56° Câu 4: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 64 27 3 3 Câu 5: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng 1 nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên 3 thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm .
2. A. 0,188 cm . B. 0,216 cm . C. 0,5 cm . D. 0,3 cm . Câu 6: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu? l h r O 16000 2 16 2 A. V lít. B. V lít. 3 3 16000 2 160 2 C. V lít. D. V lít. 3 3 Câu 7: Có một miếng tôn hình tam giác ABC đều cạnh 3 dm (như hình vẽ). Gọi K là trung điểm của BC . Người ta dùng compa có tâm là A và bán kính AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB và AC ) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh A . Tính thể tích V của cái phễu. A A M N r B K C 141. 3 A. V dm3 . B. V dm3 . 64 32
3. 3 3. 105. C. V dm3 . D. V dm3 . 32 64 Câu 8: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? . A. 59,93cm . B. 59,98cm . C. 58,80cm . D. 58,67cm . Câu 9: .Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm). A. h 1,73dm . B. h 1,89dm . C. h 1,91dm . D. h 1,41dm . Câu 10: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60 .
4. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 64 27 3 3 8 2 Câu 11: Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng chiều cao hình 3 nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. 0,11 . B. 0,21 . C. 0,08 D. 0,33 . Câu 12: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lổ ở đỉnh S . Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN . (Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục của hình nón nước). O A M N S A. 9 3 9 3 4 1 m . B. 9 3 9 3 2 1 m . C. 9 3 3 3 2 1 m . D. 27 3 2 1 m . Câu 13: Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
5. A. 0,87cm . B. 10cm . C. 1,07cm . D. 1,35cm . Câu 14: Một cây thông Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh bằng 60cm và bán kính đáy r 10cm . Một chú kiến bắt đầu xuất phát từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu. Tính quãng đường ngắn nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu? A. 60 . B. 63. C. 125. D. 45 . Câu 15: Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ. Người X uống một phần rượu sao cho 1 chiều cao của nó giảm đi so với chiều cao của rượu trong cốc. Người Y uống phần rượu còn lại 3 trong cốc. Khi đó khẳng định nào đúng. . A. Người X uống lượng rượu bằng 5,75 lần lượng rượu của người Y uống. B. Hai người X và Y uống lượng rượu bằng nhau. C. Người X uống lượng rượu bằng 2,375 lần lượng rượu của người Y uống. D. Người X uống lượng rượu bằng một nửa lượng rượu của người Y uống. Câu 16: Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng. 11 1 A. . B. . C. . D. . 12 11 12 12 Câu 17: Một cái ly có dạng hình nón như hình vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của 1 lượng nước trong ly bằng chiều cao của ly (không tính chân ly). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi 3 lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu? 3- 3 26 1 3- 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 9
6. Câu 18: Một mảnh giấy hình quạt như hình vẽ. Người ta dán mép AB và AC lại với nhau để được một hình nón đỉnh A. Tính thể tích V của khối nón thu được (xem phần giấy dán không đáng kể). 20 4 21 A. 4 21 . B. . C. . D. 20 . 3 3 Câu 19: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 36 38 38 36 A. r 6 . B. r 4 . C. r 6 . D. r 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 20: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. 2 R 3 R 6 2 R 6 2 R 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 3 3 3 Câu 21: Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là V 9a3 . Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là R sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít nhất. Tính R ? 3a 3a A. R . B. R . C. R 3 9a . D. R 3a . 3 2 6 2 Câu 22: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là. . 2 6 6 2 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Câu 23: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R 5 và chu vi của hình quạt là P 8 10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: 1- Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu 2 - Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu V1 Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính ? V2
7. V 21 V 2 21 V 2 V 6 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 7 V2 7 V2 6 V2 2 Câu 24: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12 (cm3) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là. A. (12 13 15) cm2 . B. 12 13 cm2 . 12 13 C. cm2 . D. (12 13 15) cm2 15 Câu 25: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sin sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức C c ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép l 2 bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m