Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán max-min liên quan khối trụ (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán max-min liên quan khối trụ (Có lời giải chi tiết)

1. TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI TRỤ Câu 1: Người ta cần sản xuất một thùng đựng sơn hình trụ có thể tích 4 . Hỏi cần xác định chiều cao và bán kính đáy như thế nào để tốn ít nguyên vật liệu nhất? A. R 3 2; h 2 3 2 . B. R 2; h 1. C. R 2; h 2 . D. R 3 4; h 3 4 . Câu 2: Một công ty thiết kế các bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa có thể tích V không đổi, chiều cao h h và bán kính đáy R . Tính tỉ số k để nguyên vật liệu làm bồn nước là ít tốn kém nhất. R 3 2 1 A. k . B. k 2 . C. k . D. k . 2 3 2 Câu 3: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là 12 cm . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ đó là: A. 64 cm3 . B. 32 cm3 . C. 8 cm3 . D. 16 cm3 . Câu 4: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất. V V V V A. R 2h 2 . B. h 2R 2 . C. h 2R 2 3 . D. R 2h 2 3 2 2 2 2 . Câu 5: Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có AB a , AB 2a . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . Biết rằng một mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng ABC . a 3 3 a3 3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 3 9 Câu 6: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ. A. 16 cm3 . B. 8 cm3 . C. 32 cm3 . D. 64 cm3 . Câu 7: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: 1 3 1 2 A. R 3 . B. R 3 . C. R 3 . D. R 3 . 2 2 Câu 8: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích1 000cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng 500 5 500 5 A. cm . B. 10. cm . C. 3 cm . D. 10.3 cm . Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A , AB AC 5a, BC 6a . Hình chữ nhật MNPQ có M , N lần lượt thuộc cạnh AB, AC và P, Q thuộc cạnh BC . Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác ABC được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn nhất. A. MN 2a . B. MN 5a . C. MN 4a . D. MN a . Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD 2 . Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là V1,V2 . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. V2 2V1 . B. V1 V2 . C. 2V1 3V2 . D. V1 2V2 . Câu 11: Xét hình trụ T nội tiếp một mặt cầu bán kính R và S là diện tích thiết diện qua trục của T . Tính diện tích xung quanh của hình trụ T biết S đạt giá trị lớn nhất
2. 2 R2 R2 A. S 2 R2 . B. S R2 . C. S . D. S . xq xq xq 3 xq 3 Câu 12: Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1 , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 6 3 3 6 3 6 A. r , h . B. r , h . C. r , h . D. 3 3 3 3 2 2 6 3 r , h . 2 2 Câu 13: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất. V V V V A. h 2R 2 . B. h 2R 2 3 . C. R 2h 2 3 . D. R 2h 2 2 2 2 2 . Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon nước ngọt hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần cua hình trụ là nhỏ nhất (với cùng 1 nguyên liệu). Muốn thể tích khối trụ đó là 2 và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì hình trụ đó có bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,5. B. 0,6 . C. 0,8 . D. 0,7 . Câu 15: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng: V 27V V V A. R 3 . B. R 3 . C. R . D. R 3 . 2 4 2 Câu 16: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 2 m . B. 2,4 m . C. 0,8 m . D. 1,2 m . Câu 17: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. tan 2 . B. tan . C. tan . D. tan 1. 2 2 Câu 18: Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là? A. R 2h . B. h 3R . C. R h . D. h 2R . Câu 19: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. tan . B. tan . C. tan 1. D. tan 2 . 2 2 Câu 20: Cho mặt cầu (S) có bán kính R a 3. Gọi (T ) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và có thiết diện qua trục của (T ) lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của (T ) .
3. 2 2 2 2 A. Stp 6 a 3 . B. Stp 9 a 3 . C. Stp 6 a . D. Stp 9 a .