Tài liệu Hình học Lớp 12 - Khối đa diện - Chủ đề 5 - Dạng 1: Cực trị khối chóp (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Tài liệu Hình học Lớp 12 - Khối đa diện - Chủ đề 5 - Dạng 1: Cực trị khối chóp (Có lời giải chi tiết)

1. DẠNG 1: CỰC TRỊ KHỐI CHÓP Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. a3 6 a3 6 a3 6 A. V a3 6. B. V . C. V . D. V . max max 2 max 3 max 6 Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' 18. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S. A. Smax 36 3. B. Smax 18 3. C. Smax 18. D. Smax 36. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 40 80 20 A. V . B. V . C. V . D. V 24. max 3 max 3 max 3 max Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 2 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V . max 6 max 12 max 12 max 12 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD 4 . Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 130 128 125 250 A. V . B. V . C. V . D. V . max 3 max 3 max 3 max 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 2 3 2 3 2 3 4 3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 9 max 3 max 27 max 27 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD 4a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 8a3 4 6 A. V . B. V a3. C. V 8a3. D. V 4 6 a3. max 3 max 3 max max Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB 2 . Cạnh bên SA 1và vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 1 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . max 3 max 4 max 12 max 6 Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SC 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 3 2 2 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 12 max 12 max 27 max 27
2. Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB 1. Các cạnh bên SA SB SC 2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 5 5 2 4 A. V . B. V . C. V . D. V . max 8 max 4 max 3 max 3 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y y 0 và vuông góc với mặt đáy ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM x 0 x a . Tính thể tích 2 2 2 lớn nhất Vmax của khối chóp S.ABCM , biết x y a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V C. V D. V max 3 max 8 max 9 max 5 Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4, SC 6 và mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 40 80 A. V . B. V 40. C. V 80. D. V . max 3 max max max 3 Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có SA x 0 x 3 , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 1 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . max 4 max 8 max 12 max 16 Câu 14: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x 3 2. B. x 6. C. x 2 3. D. x 14. Câu 15: Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA a, OB b, OC c. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA OB OC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC. a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 6 max 8 max 24 max 32 Câu 16: Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC a, SB b, SC c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho. abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 A. V . B. V . C. V . D. V . max 4 max 8 max 12 max 24 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với SM SN mặt đáy ABCD . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho m 0, n 0. SB SD 2 2 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AMN biết 2m 3n 1. a3 a3 6 a3 A. V . B. V . C. ABCD D. V . max 6 max 72 max 48
3. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA x 0 x 3 , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? 3 2 6 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 2 2 Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 1 3 2 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 2 3 Câu 20: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2, S· AB S· CB 900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. a 10 A. AB . B. AB a 3. C. AB 2a. D. AB 3a 5. 2 Câu 21: Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất. a 2 a 6 a 3 A. x a 2. B. x . C. x . D. x . 2 12 2 Câu 22: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC 2 . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ABC lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng ABC sao cho AM.AN 1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC . 1 1 1 2 A. V . B. V . C. V . D. V . min 3 min 6 min 12 min 3 Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA AB 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AHK . 2 3 3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . max 6 max 6 max 3 max 3 Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA 1, SB 2, SC 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N, P . Tính giá trị 1 1 1 nhỏ nhất T của biểu thức T . min SM 2 SN 2 SP2 2 3 18 A. T . B. T . C. T . D. T 6. min 7 min 7 min 7 min Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB; mặt phẳng di động qua các điểm
4. M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.MNKQ . V V 3V 2V A. V . B. V . C. V . D. V . max 2 max 3 max 4 max 3 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn SO 1 sao cho SI SO . Mặt phẳng thay đổi đi qua B và I . cắt các cạnh SA, SC, SD lần lượt 3 V m tại M , N, P . Gọi m, n lần lượt là GTLN, GTNN của S.BMPN . Tính . VS.ABCD n 7 9 8 A. 2 . B. . C. . D. . 5 5 5 Câu 27: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 3 , . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. 3a 2 A. AB = 2 a 2. B. AB = . C. AB = 3a. D. AB = 3a 2. 2 Câu 28: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng . Tìm để thể tích S.ABCD là lớn nhất. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA b và vuông góc với ABCD . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABH theo a, b . a2b a2b a2b a2b A. . B. . C. . D. . 12 24 8 18 2a 3 Câu 30: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng và O là tâm của đáy. Mặt 3 phẳng (P) thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm M , N ( M , N khác A ). Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính AM 2 AN 2 2 3a 2 369a2 8a A. a2 . B. C. . D. . 4 400 9 Câu 31: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA SB SC a. Đặt x SD 0 x a 3 . Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất. a 3 a 3 a 6 a 6 A. x . B. x . C. x . D. x . 2 3 2 3 Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại V1 V1 M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD. Tìm S= max +min V V 1 1 17 3 A. S B. S C. S D. S 2 4 24 4
5. Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB 1, cạnh bên SA 1 và vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho M· AN 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là ? 2 1 2 1 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 9 3 6 9 Câu 34: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A, AB 3a, AC a. Mặt phẳng DBC , DAC , DAB lần lượt tạo với mặt phẳng ABC các góc 90, ,  trong đó  90. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng 3a3 3a3 3a3 2 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 13 10 8 Câu 35: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SCD) bằng 2 a . Gọi là góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của thì thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất? 2 2 A. arcsin . B. 450 . C. arccos . D. 600 . 3 3 Câu 36: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Lấy các điểmM , N nằm trên cạnh BC ; P,Q lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N 'P'Q' nội tiếp trong lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có thể tích lớn nhất là : a3 3 a3 a3 3 a3 6 A. B. C. D. 4 8 8 4 Câu 37: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x 6 . B. x 14 . C. x 3 2 . D. x 2 3 . Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB AC BD CD 1. Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 39: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM x; AN y . Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2 1 7 1 2 A. x y B. x y C. x y D. x ; y 3 3 4 2 3 Câu 40: Trong mặt phẳng cho đường tròn T đường kính AB 2R . Gọi C là một điểm di động trên T . Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng lấy điểm S sao cho SA R . Hạ AH  SB và AK  SC . Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích tứ diện SAHK . R3 5 R3 5 R3 3 R3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 75 max 25 max 27 max 9 Câu 41: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC 6 và đôi một vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trong tam giác ABC . Các đường thẳng đi qua M song song DA,DB,DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng DBC , DCA , DAB lần lượt tại A1;B1;C1 . Tìm thể tích lớn nhất của khối tự diện MA1B1C1 khi M thay đổi.
6. 1 2 4 A. B. C. 1 D. 3 3 3 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho M· AN = 450 . Tính tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN . 1 2 1 2 A. 2 2 2 . B. . C. . D. 2 2 1. 2 6 Câu 43: Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng 3 .Khi đó V bằng bao nhiêu? A. V = 3 . B. V = 9 . C. V = 9 3 . D. V = 27 . Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC . Mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là V thể tích của khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1 ? V 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 8 3 8 Câu 45: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện DAMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của S ? 3(4 2) 2 3 2 2 3 2 3(1 2) A. . B. . C. . D. . 9 4 4 9 Câu 46: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3a, AC a. Gọi Q là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm D di động trên Q sao cho tam giác DBC nhọn và hai mặt phẳng DAB và DAC lần lượt hợp với mặt phẳng ABC hai góc phụ nhau. Thể tích lớn nhất của khối chóp D.ABC bằng a3 3 3a3 3a3 2 3a3 A. B. C. . . D. . 4 8 10 13 Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a ; SA SB SC a . Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất bằng a3 3a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Câu 48: Cho tứ diện OABC vuông tại O, gọi , , lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OAC) với mặt phẳng (ABC). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M tan 2 tan 2  tan 2  cot 2 cot 2  cot 2  15 27 A. 6. B. C. 10. D. . 2 2 Câu 49: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Điểm M di động trong tam giác ABC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với DA, BD, DC lần lượt cắt các mặt (DBC),(DCA),(DAB) tại A', B ',C '. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện MA' B 'C ' bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 27 9 18 4
7. Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD / /BC , BC 2a , AB AD DC a , a 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D ) và song song với đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng biết MD x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất. a 3 a 3 a 3 A. x . B. x . C. x . D. x a 3. 4 2 8 Câu 51: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  ABC và SA a . M là một điểm thuộc cạnh AB . Kẻ SH  CM tại H . Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện S.AHC là a3 a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 12 Câu 52: Cho tứ diện ABCD có AB 2a ,CD 2b và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần tứ diện ABCD là 3 3 ab ab 1 A. . B. . C. 1. D. . 12 6 2 Câu 53: Cho hình thoi ABCD có B· AD 600 , AB 2a . Gọi H là trung điểm AB , trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Biết rằng góc giữa SC m m và SAD có số đo lớn nhất khi SH a.4 ( với m, n là các số tự nhiên và là phân số tối giản). n n Khi đó tổng m n bằng: A. 7 B. 25 C. 23 D. 5 Câu 54: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của chóp S.ABCD lớn nhất bằng: 2 3 2 3 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là V , ABCD là hình bình hành có tâm O . Gọi I là trung điểm của SO , P là mặt phẳng qua I sao cho P cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M , N, P,Q . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp S.MNPQ . V V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 12 8 Câu 56: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi S là diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng khác nhau. Khi đó S lớn nhất bằng? a2 a2 a2 3 A. S a 2 . B. S . C. S . D. S . 2 4 4 Câu 57: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA 2a . MNPQ là thiết diện song song với đáy, M SA và AM x . Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ và đường sinh MA . Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là a 2a a 3a A. x . B. x . C. x . D. x . 3 3 2 4
8. Câu 58: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện AB CD, BC AD, AC BD . M là một điểm thay đổi trong không gian. Đặt P = MA+ MB + MC + MD, giá trị nhỏ nhất của P là: 16R A. P 2R 3. B. P 4R. C. P 3R. D. P . min min min min 3 Câu 59: AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x , y chéo nhau, A thuộc x , B thuộc y . Đặt độ dài AB d . M là điểm thay đổi thuộc x , N là điểm thay đổi thuộc y . Đặt AM m , BN n m 0,n 0 . Giả sử luôn có: m2 n2 k 0 , k không đổi. Với giá trị nào của m , n thì độ dài MN nhỏ nhất? k k k A. m n k B. m ,n k . C. m n . D. m k ,n . 2 2 2 Câu 60: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm E của AB, SE=2a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC, SC, điểm M di động trên tia đối của tia BA sao cho E· CM 900 và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Khi thể tích của khối tứ diện EHIJ đạt giá trị lớn nhất. Thì thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện EHIJ là? 11 a3 11 a3 10 3 a3 10 11 a3 11 A. V . B. V . C. V . D. V . 48 6 16 24 Câu 61: Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200 m , góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS 40m (tham khảo hình vẽ) S L K J I H G F E B C A D Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? A. 40 67 40 mét. B. 20 111 40 mét. C. 40 31 40 mét. D. 40 111 40 mét. Câu 62: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn song song với mặt (BCD) cắt các cạnh AB, AC, AD thứ tự tại M , N, P. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPG nhỏ nhất là: a 3 1 3 2 6 6 2 A. B. a C. a D. a 3 3 6 3
9. Câu 63: Cho tứ diện ABCD có CA CB CD a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CB, AD. Gọi G là trung điểm của IJ. Một mặt phẳng ( ) thay đổi đi qua G sao cho mặt phẳng ( ) cắt các cạnh CA, CB, CD lần lượt tại các điểm K, E, F. Tìm theo a giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 . CK 2 CE2 CF2 4 16 16 4 A. . B. . C. . D. . a2 3a2 a2 3a 2 Câu 64: Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V . B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V . Câu 65: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại A , SA  ABC và SA h không đổi; hai điểm B, C thay đổi sao cho AB AC h . Gọi I, J là các điểm lần lượt di động trên các cạnh SB và SC . Tính chu vi ngắn nhất của tam giác AIJ . 3 A. h . B. h 2 . C. h 3 . D. h . 2 Câu 66: Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện. Một mp quay quanh AG , cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N ( M , N không trùng S) . Gọi V là thể tích tứ diện SABC , V1 là thể V tích tứ diện SAMN và gọi m, n lần lượt là GTLN và GTNN của 1 . Hãy tính m n . V 17 18 19 A. m n 1. B. m n . C. m n . D. m n . 18 19 20 Câu 67: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 , góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ABCD bằng . Thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất khi a a cos với a;b ¥ và là phân số tối giản. Tính P 2018a 2019b . b b A. P 2020. B. P 2022 . C. P 4039 . D. P 8077 . Câu 68: Gọi V là thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b . Tìm giá trị lớn nhất của V ? 4b3 b3 b3 3 2b3 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 2 12 9 3 Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân AD//BC và BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Biết SD vuông góc với AC . Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn BD ( M khác B, D ) và song song với hai đường thẳng SD và AC . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) có diện tích lớn nhất là. 3 3 3 3 A. a2 . B. a2 . C. 2a2 . D. a2 . 4 2 Câu 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC . Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích của V khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 . V 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 8 3 8
10. Câu 71: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 1, các mặt bên là các tam giác có góc ở đỉnh 푆 3 S bằng 450. Cho A’ là trung điểm SA, C’ thuộc cạnh SC sao cho = . Mặt phẳng (P) đi qua A’, 푆 ′ 2 C’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. Số nào gần với giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác A’B’C’D’ . A. 1.79 B. 3.3 C. 2.05 D. 1.3 Câu 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đáy là hình thang vuông tại A và B , và AD BC 2b, với a, b là các số dương cho trước không đổi, C, D là 2 điểm thay đổi. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD (diện tích toàn phần bằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình 4m chóp). Khi đó giá trị có dạng: x.a y.b z.a2 t.b2 , với x, y, z, t là các số nguyên a dương. Tính tổng x y z t A. 16 . B. 18. C. 14 D. 13 . Câu 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC , SA  ABC . Đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , SB a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCB và ABC . Xác định giá trị của sin để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất. 3 2 3 3 A. sin . B. sin . C. sin 1. D. sin . 3 3 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho BC BD 2 3 10 . Gọi V ,V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABMN và ABCD . Tìm BM BN 1 2 V giá trị nhỏ nhất của 1 . V2 3 5 2 6 A. . B. . C. . D. . 8 8 7 25 Câu 75: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , các tam giác SBC và SCD đều là các tam giác vuông cân đỉnh S . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD . 3 3 3 3 A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 2 . 3 6 12 24 Câu 76: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A ( M khác A ). Gọi H , O lần lượt là trực tâm tam giác M BC và ABC . Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện OHBC bằng: a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 121 144 145 112 Câu 77: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC 2a , AD a , AB b . Mặt bên (SAD) là tam giác đều. Mặt phẳng ( ) qua điểm M trên cạnh AB và song song với các cạnh SA , BC . ( ) cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q . Đặt x AM (0 x b) . Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi ( ) và hình chóp S.ABCD là a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 2 Câu 78: Cho ba nửa đường thẳng Dx, Dy, Dz đôi một vuông góc. Trên Dx, Dy, Dz lần lượt lấy ba điểm A, B, C sao cho A, B, C D và S ABC s ( s 0 , s không đổi). Giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là
11. A. 3.s . B. 3s . C. 3 1 .s . D. 2 3.s . Câu 79: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA  (ABC), SC a .Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất 6 6 6 6 A. arccos B. arccos C. arctan D. arc cot 3 2 3 3 Câu 80: Cho tứ diện đều SABC cạnh AB 2a , D là điểm thuộc cạnh AB sao cho BD 2 AD . Gọi I là trung điểm của SD . Một đường thẳng d thay đổi đi qua điểm I cắt các cạnh SA, SB tại M , N . 3 m a3 Khi đường thẳng d thay đổi thì thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.CMN bằng , với n m (m,n) 1,m,n ¥ . Tính m n A. m n 4. B. m n 6 . C. m n 7 . D. m n 5 . 1 Câu 81: Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích tam giác SAC bằng . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng 2 cách từ A đến SBC . 1 1 A. . B. 1. C. 2 . D. . 2 2 Câu 82: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD 4a a 0 , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất thì cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng: 1 2 1 2 A. 10 B. 10 C. 2 10 D. 3 10 . Câu 83: Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất là: a3 2 a3 3 a3 6 a3 2 A. B. C. D. 12 12 12 6 Câu 84: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng SMN luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Đặt AM x, AN y(0 x; y 1) . Gọi M ,m là các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác SMN . Tổng F M m là: 4 6 9 2 4 6 9 2 4 6 3 2 2 6 3 2 A. . B. . C. . D. . 36 18 18 9 Câu 85: Cho tứ diện ABCD có AB.AC.AD 3a2 , O là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác BCD. Từ O kẻ các đường thẳng lần lượt song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD),(ABD),(ABC) lần lượt tại M , N, P . Giá trị lớn nhất của tích OM.ON.OP 3a3 a3 a3 A. . B. a3 . C. . D. . 8 9 3 Câu 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC . Mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là V thể tích của khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1 ? V
12. 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 8 3 8 Câu 87: Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng 3 .Khi đó V bằng bao nhiêu? A. V = 3 . B. V = 9 . C. V = 9 3 . D. V = 27 . Câu 88: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4a (a>0), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Khi thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất thì cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là 2 2 1 1 A. B. C. D. 10 10 5 5 Câu 89: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M , N di động trên các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi S1 là diện tích lớn nhất của tam giác AMN . S2 là diện tích nhỏ nhất của tam giác AMN . Tính S T 1 . S2 11 9 8 9 A. T . B. T . C. T . D. T . 9 8 7 7 Câu 90: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho M· AN = 450 . Tìm theo a giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.AMN . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 4 Câu 91: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là V , ABCD là hình bình hành có tâm O . Gọi I là trung điểm của SO , P là mặt phẳng qua I sao cho P cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P,Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp S.MNPQ . V V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 12 8 Câu 92: Cho OABC là tứ diện vuông có OA a,OB b,OC c và chiều cao OH h . Tìm giá trị lớn nhất h của . a b c 1 1 A. 3 3 . B. 3 . C. . D. . 3 3 3 Câu 93: Cho OABC là tứ diện vuông có OA a,OB b,OC c và chiều cao OH h , S S S S S ,S S ,S S . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 . OAB 1 OBC 2 OCA 3 h2 1 9 2 A. 9 . B. . C. . D. . 3 2 9 Câu 94: Cho tứ diện S ABC và M là một điểm di động, nằm bên trong tam giác ABC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng tương ứng (SBC), (SAC), (SAB) lần MA MB MC MA MB MC lượt tại A , B , C . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức T . . SA SB SC SA SB SC là
13. 9 28 62 13 A. . B. . C. . D. . 8 27 27 8 Câu 95: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại A lấy điểm S ( S không trùng với A ) và trên cạnh AD lấy điểm M sao cho SA2 AM 2 a2 . Tính giá trị lớn nhất Vmax của thể tích khối chóp S.ABCM khi S và M thay đổi. a3 3 a3 3 a3 3 3a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 12 max 8 max 24 0 8 Câu 96: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kínhA D 2a 2 ; SD a 3 , góc giữa SD và AC là với sin . Gọi M là điểm thay đổi trên CD , gọi 3 là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và SD . Xác định và tính diện tích thiết diện khi cắt hình chóp S.ABCD . Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện tích thiết diện đó. 3a2 2a2 3 a2 3 4a2 A. S . B. S . C. S . D. S . max 5 max 5 max 5 max 5 Câu 97: Cho tứ diện đều có cạnh bằng a . M là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng. Tính giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện đã cho. a4 a4 a4 6 a4 6 A. . B. . C. . D. . 521 576 81 324 Câu 98: Cho hình chóp S.ABC có SA a 0 a 2 , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng 1. Khi 4 2 VS.ABC đạt giá trị lớn nhất thì giá trị biểu thức P 4a a 2 thuộc khoảng nào sau đây? 15 33 35 37 33 A. ;8 . B. ; . C. 9; . D. 8; . 2 4 4 4 4 Câu 99: Cho tứ diện ABCD có AB AC BD CD 1. Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 100: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1. Tính thể thích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 3 1 1 2 A. V . B. V . C. V D. V . max 12 max 6 max 12 max 12 Câu 101: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi S là diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng khác nhau. Khi đó S lớn nhất bằng? a2 a2 a2 3 A. S a2 . B. S . C. S . D. S . 2 4 4 Câu 102: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng a và thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của cos bằng: 2 1 1 6 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 5 3 3 3 Câu 103: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng . Tìm để thể tích S.ABCD là lớn nhất. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750
14. Câu 104: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA a 3 . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD, thể tích khối chóp S.ABH có giá trị lớn nhất bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 2 Câu 105: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Biết rằng khi 0 thì thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất. Chọn khẳng định đúng. 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 0 40 ;55 . B. 0 0 ;39 . C. 0 58 ;79 . D. 0 72 ;90 . Câu 106: Cho hình tứ diện SABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn x2 y2 z2 27 . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SABC . 9 2 9 9 2 9 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Câu 107: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt 1 1 phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T khi thể tích khối AN 2 AM 2 chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. 5 2 3 13 A. .T 2 B. . T C. . D. . T T 4 4 9 Câu 108: Cho tam giác ABC đều cạnh a ,trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) tại A lấy điểm M bất kỳ khác A . Gọi H là trực tâm tam giác MBC , biết rằng đường thẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng MBC tại H luôn cắt đường thẳng d tại N .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần tứ diện MNBC a2 (2 2 5) a2 (2 5 2) a2 (2 5) a2 (5 2) A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 109: Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn x2 y2 z2 12 . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là 2 2 2 3 2 3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 2 Câu 110. Cho hình chóp S.ABC có SA 1, SB 2, SC 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N, P . Tính giá trị nhỏ 1 1 1 nhất T của biểu thức T . min SM 2 SN 2 SP2 2 3 18 A. T . B. T . C. T . D. T 6. min 7 min 7 min 7 min