Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Sự tương giao của đồ thị hàm số - Lý thuyết

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Sự tương giao của đồ thị hàm số - Lý thuyết

1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 - Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: Phương pháp: Cho 2 hàm số y f x , y g x có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. +) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). 2 - Tương giao của đồ thị hàm bậc 3 Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị) +) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x,m 0 (phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x +) Lập BBT cho hàm số y f x . +) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m. *) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x. Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2. +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0 +) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x x0 là 1 nghiệm của phương trình. x x0 +) Phân tích: F x,m 0 x x0 .g x 0 (là g x 0 là phương trình bậc 2 ẩn x g x 0 tham số m ). +) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x 0 . Phương pháp 3: Cực trị *) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm. *) Quy tắc: +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0 (1). Xét hàm số y F x,m y +) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y y F x,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH) f(x) = x3 3∙x 3 - Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R hàm q(x) = x3 + x + 1 O x số không có cực trị y ' 0 hoặc vô O x nghiệm hoặc có nghiệm kép y' 0 - Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd .yct 0 (hình vẽ) +) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x f(x) = x3 3∙x + 1 f(x) = x3 + 3∙x + 1
2. +) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x 3 g(x) = x 3∙x + 2 f(x) = x3 + 3∙x + 2 Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng: 1. Định lí vi ét: b c *) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2 bx c 0 có 2 nghiệm x , x thì ta có: x x , x x 1 2 1 2 a 1 2 a 3 2 *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax bx cx d 0 có 3 nghiệm x1, x2 , x3 thì ta có: b c d x x x , x x x x x x , x x x 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 2 3 a 2.Tính chất của cấp số cộng: +) Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a c 2b 3. Phương pháp giải toán: b +) Điều kiện cần: x là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m. 0 3a +) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra. 3 - Tương giao của hàm số phân thức Phương pháp ax b Cho hàm số y C và đường thẳng d : y px q . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và cx d (d): ax b px q F x,m 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m). cx d *) Các câu hỏi thường gặp: d 1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 1 có 2 nghiệm phân biệt khác . c 2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt d x , x và thỏa mãn : x x . 1 2 c 1 2 3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt d x , x và thỏa mãn x x . 1 2 1 2 c 4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và d thỏa mãn x x . 1 c 2 5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: +) Đoạn thẳng AB k +) Tam giác ABC vuông. +) Tam giác ABC có diện tích S0 * Quy tắc: +) Tìm điều kiện tồn tại A, B (1) có 2 nghiệm phân biệt. +) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)
3. +) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m. *) Chú ý: Công thức khoảng cách: 2 +) A x ; y , B x ; y : AB x x 2 y y A A B B B A B A M x ; y Ax By C +) 0 0 d M , 0 0 2 2 : Ax0 By0 C 0 A B 4 - Tương giao của hàm số bậc 4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4 bx2 c 0 (1) 1. Nhẩm nghiệm: - Nhẩm nghiệm: Giả sử x x0 là một nghiệm của phương trình. x x 2 2 0 - Khi đó ta phân tích: f x,m x x0 g x 0 g x 0 - Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 g x 0 2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2: - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at 2 bt c 0 (2). t1 0 t2 - Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1 t2 0 t1 0 t2 - Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 - Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 - Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 4 2 3. Bài toán: Tìm m để (C): y ax bx c 1 cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at 2 bt c 0 (2). - Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1,t2 t1 t2 thỏa mãn t2 9t1 . - Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m.