Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Số phức - Chuyên đề 6: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Số phức - Chuyên đề 6: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A – BÀI TẬP 2 Câu 1. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 6z 5 0 . Tìm iz0 ? 1 3 1 3 1 3 1 3 A. iz i . B. iz i . C. iz i . D. iz i . 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 Câu 2. Tìm nghiệm phức của phương trình: x2 2x 2 0 . A. x1 2 i; x2 2 i . B. x1 1 i; x2 1 i . C. x1 1 i; x2 1 i . D. x1 2 i; x2 2 i . Câu 3. Cho các số phức z1 3 2i , z2 3 2i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z2 6z 13 0 . B. z2 6z 13 0 . C. z2 6z 13 0 . D. z2 6z 13 0 . Câu 4. Phương trình 2x2 5x 4 0 có nghiệm trên tập số phức là. 3 7 3 7 5 7 5 7 A. x i ; x i . B. x i ; x i . 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 5 7 5 7 5 7 5 7 C. x i ; x i . D. x i ; x i . 1 2 4 2 2 4 1 4 4 2 4 4 2 Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 13 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức  z1 2z2 . A.  9 2i . B.  9 2i . C.  9 2i . D.  9 2i . 2 Câu 6. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 5 0 . Tìm tọa độ điểm biểu 7 4i diễn số phức trên mặt phẳng phức? z1 A. M 1; 2 . B. N 1; 2 . C. Q 3; 2 . D. P 3; 2 . 1 1 Câu 7. Biết z là một nghiệm của phương trình z 1. Tính giá trị của biểu thức P z3 . z z3 7 A. P . B. P 2 . C. P 0 . D. P 4 . 4 Câu 8. Phương trình z2 – i z 1 0 có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức? A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1. 2 2 2 Câu 9. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 2 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 8i . B. 0 . C. 8. D. 4 . Câu 10. Trong £ , phương trình z2 4 0 có nghiệm là: z 2i z 1 i z 1 2i z 5 2i A. . B. . C. . D. . z 2i z 3 2i z 1 2i z 3 5i 2 2 2 Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 2 0 . Tính z1 z2 . 8 4 11 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 3 2 1 1 Câu 12. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 3z 4 0 . Tính w iz1z2 . z1 z2 3 3 3 3 A. w 2i . B. w 2i . C. w 2 i . D. w 2i . 4 2 2 4
2. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức 2 Câu 13. Gọi z1 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z 4z 20 0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z1 . A. M 4; 2 . B. M 2; 4 . C. M 4; 2 . D. M 2; 4 . Câu 14. Trong tập số phức phương trình: z 2 1 3i z 2 1 i 0 có nghiệm là. z i z 5 3i z 2i z 3i A. . B. . C. . D. . z 2 5i z 2 i z 1 i z 2 i Câu 15. Giải phương trình z2 4z 5 0 trên tập số phức ta được các nghiệm A. z1 4 i; z2 4 i . B. z1 2 i; z2 2 i . C. z1 2 i; z2 2 i . D. z1 4 i; z2 4 i . Câu 16. Trong £ , phương trình z2 3iz 4 0 có nghiệm là. z 1 i z 2 3i z i z 3i A. . B. . C. . D. . z 3i z 1 i z 4i z 4i Câu 17. Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình z2 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z4 z4 1 2 1 2 bằng. A. 14 B. 7 C. 14 D. 7 Câu 18. Nghiệm của phương trình z2 – z 3 0 trên tập số phức là? 1 11 1 11 1 11 1 11 A. z i và z i . B. z i và z i . 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 11 1 11 1 11 1 11 C. z i và z i . D. z i và z i . 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 Câu 19. Cho phương trình z2 2z 2 0. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo. B. Phương trình đã cho không có nghiệm thực. C. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức. D. Phương trình đã cho không có nghiệm phức. 2 2 2 Câu 20. Phương trình z 2z 3 0 có hai nghiệm phức z1, z2 . Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 . 3 A. P 2 . B. P . C. P 10. D. P 2 . 2 2 2 2 Câu 21. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 20 . B. 6 8i . C. 10. D. 6 . 2 Câu 22. Kí hiệu z0 là số phức có phần ảo âm của phương trình 9z 6z 37 0 . Tìm toạ độ của điểm biểu diễn số phức w iz0 . 1 1 1 1 A. 2; . B. ;2 . C. 2; . D. ; 2 . 3 3 3 3 Câu 23. Cho z là nghiệm phức của phương trình x2 x 1 0 . Tính P z4 2z3 z . 1 i 3 1 i 3 A. 2i . B. 2 . C. . D. . 2 2 Câu 24. Tính mô đun của số phức z biết 1 2i z2 3 4i . A. z 5 . B. z 4 5 . C. z 2 5 . D. z 5 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 139 Facebook:
3. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức z Câu 25. Tập hợp các nghiệm của phương trình z là: z i A. 0;1 i . B. 1 i . C. 0 . D. 0;1 . Câu 26. Cho mlà số thực, biết phương trình z2 mz 5 0 có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm. A. 2 5 B. 4 C. 3 D. 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 140 Facebook:
4. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức B - HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Câu 1. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 6z 5 0 . Tìm iz0 ? 1 3 1 3 1 3 1 3 A. iz i . B. iz i . C. iz i . D. iz i . 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 3 1 2z2 6z 5 0 z i . 0 2 2 1 3 Khi đó iz i . 0 2 2 Câu 2. Tìm nghiệm phức của phương trình: x2 2x 2 0 . A. x1 2 i; x2 2 i . B. x1 1 i; x2 1 i . C. x1 1 i; x2 1 i . D. x1 2 i; x2 2 i . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 22 4.1.2 4 suy ra có một căn bậc hai là 2i , phương trình có hai nghiệm: 2 2i 2 2i x 1 i; x 1 i . 1 2 2 2 Câu 3. Cho các số phức z1 3 2i , z2 3 2i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z2 6z 13 0 . B. z2 6z 13 0 . C. z2 6z 13 0 . D. z2 6z 13 0 . Hướng dẫn giải Chọn C Do z1 3 2i , z2 3 2i là hai nghiệm của phương trình nên 2 2 z z1 z z2 0 z 3 2i z 3 2i 0 z 3 4 0 z 6z 13 0 . Câu 4. Phương trình 2x2 5x 4 0 có nghiệm trên tập số phức là. 3 7 3 7 5 7 5 7 A. x i ; x i . B. x i ; x i . 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 5 7 5 7 5 7 5 7 C. x i ; x i . D. x i ; x i . 1 2 4 2 2 4 1 4 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình 2x2 5x 4 0 có Δ 52 4.2.4 7 7i2. . 5 7 5 7 Vậy phương trình có hai nghiệm là x i ; x i . 1 4 4 2 4 4 2 Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 13 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức  z1 2z2 . A.  9 2i . B.  9 2i . C.  9 2i . D.  9 2i . Hướng dẫn giải Chọn D 2 Phương trình z 6z 13 0 có hai nghiệm là z1 3 2i , z2 3 2i . Vậy  6 2i . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 141 Facebook:
5. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức 2 Câu 6. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 5 0 . Tìm tọa độ điểm biểu 7 4i diễn số phức trên mặt phẳng phức? z1 A. M 1; 2 . B. N 1; 2 . C. Q 3; 2 . D. P 3; 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: z 1 2i TM z2 2z 5 0 z 1 2i L 7 4i 7 4i Suy ra 3 2i . z1 1 2i Điểm biểu diễn là P 3; 2 . 1 1 Câu 7. Biết z là một nghiệm của phương trình z 1. Tính giá trị của biểu thức P z3 . z z3 7 A. P . B. P 2 . C. P 0 . D. P 4 . 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có z 1 z2 z 1 0 , do z 1 nên z3 1 0 z3 1. Vậy P 2 . z Câu 8. Phương trình z2 – i z 1 0 có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức? A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B Ta đặt z a bi , . 2ab a 0 z2 iz 1 0 a2 b2 b 1 2ab a i 0 Khi đó 2 2 a b b 1 0 a 0 a 0 TH1. 2 1 5 b b 1 0 b 2 1 b 2 TH2. vô nghiệm. 5 a2 0 4 2 2 2 Câu 9. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 2 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 8i . B. 0 . C. 8. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C z 1 i 3 Ta có z2 2z 2 0 1 . z2 1 i 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 142 Facebook:
6. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức 2 2 z1 1 i 3 2 2i 3 2 2 Từ đó suy ra z z 4 12 4 . 2 1 2 z 2 1 i 3 2 2i 3 2 2 2 Vậy z1 z2 8 . Câu 10. Trong £ , phương trình z2 4 0 có nghiệm là: z 2i z 1 i z 1 2i z 5 2i A. . B. . C. . D. . z 2i z 3 2i z 1 2i z 3 5i Hướng dẫn giải Chọn A z2 4 0 z2 4 z2 4i2 z 2i . 2 2 2 Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 2 0 . Tính z1 z2 . 8 4 11 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 i 23 3z z 2 0 z . 6 2 2 2 2 2 2 2 1 i 23 1 i 23 1 23 4 z z 2 1 2 . 6 6 6 6 3 2 1 1 Câu 12. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 3z 4 0 . Tính w iz1z2 . z1 z2 3 3 3 3 A. w 2i . B. w 2i . C. w 2 i . D. w 2i . 4 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A 3 Theo định lý Viét ta có z z , z z 2 . 1 2 2 1 2 1 1 z1 z2 3 w iz1z2 iz1z2 2i . z1 z2 z1z2 4 2 Câu 13. Gọi z1 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z 4z 20 0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z1 . A. M 4; 2 . B. M 2; 4 . C. M 4; 2 . D. M 2; 4 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 z 2 4i Có z 4z 20 0 z1 2 4i . z 2 4i Vậy điểm biểu diễn của số phức z1 là M 2; 4 . Câu 14. Trong tập số phức phương trình: z 2 1 3i z 2 1 i 0 có nghiệm là. z i z 5 3i z 2i z 3i A. . B. . C. . D. . z 2 5i z 2 i z 1 i z 2 i Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 143 Facebook:
7. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Chọn C 2 2 z 2i Ta có 1 3i 4.1. 2 2i 2i 1 i . z 1 i Câu 15. Giải phương trình z2 4z 5 0 trên tập số phức ta được các nghiệm A. z1 4 i; z2 4 i . B. z1 2 i; z2 2 i . C. z1 2 i; z2 2 i . D. z1 4 i; z2 4 i . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 z 2 i z 2 i Ta có z 4z 5 0 z 4z 4 1 z 2 i z 2 i z 2 i Suy ra z1 2 i và z2 2 i . Câu 16. Trong £ , phương trình z2 3iz 4 0 có nghiệm là. z 1 i z 2 3i z i z 3i A. . B. . C. . D. . z 3i z 1 i z 4i z 4i Hướng dẫn giải Chọn C Theo Viete, ta có z1 z2 3i , z1z2 4 . [THPT Thuận Thành-2017] Tìm các nghiệm phức của phương trình 4z2 4z 2 0 . 2 i 2 i A. z , z . 2 2 1 i 1 i B. z , z . 2 2 2 i 2 i C. z , z . 4 4 D. z 1 i . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2i Cách 1 ' 4 pt có hai nghiệm phức là z . 4 Cách 2 Bấm giải pt bậc hai trong máy tính kết quả. Câu 17. Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình z2 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z4 z4 1 2 1 2 bằng. A. 14 B. 7 C. 14 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A 2 z1 1 2i Ta có z 2z 5 0 . z2 1 2i Nên z4 z4 1 2i 4 1 2i 4 14 . 1 2 Câu 18. Nghiệm của phương trình z2 – z 3 0 trên tập số phức là? 1 11 1 11 1 11 1 11 A. z i và z i . B. z i và z i . 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 11 1 11 1 11 1 11 C. z i và z i . D. z i và z i . 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 144 Facebook:
8. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 1 11 1 11 Ta có : 1 12 11i nên z – z 3 0 z1 i V z2 i . 2 2 2 2 Câu 19. Cho phương trình z2 2z 2 0. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo. B. Phương trình đã cho không có nghiệm thực. C. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức. D. Phương trình đã cho không có nghiệm phức. Hướng dẫn giải Chọn D z2 2z 2 0 z 1 2 i2 z 1 i . 2 2 2 Câu 20. Phương trình z 2z 3 0 có hai nghiệm phức z1, z2 . Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 . 3 A. P 2 . B. P . C. P 10. D. P 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 z 1 i 2 Ta có: z2 2z 3 0 z 1 2 z 1 i 2 . z 1 i 2 2 2 2 2 Vậy P z1 z2 1 i 2 1 i 2 2 . 2 2 2 Câu 21. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 20 . B. 6 8i . C. 10. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 z1 2 i 2 2 2 2 Ta có z 4z 5 0 . Khi đó z1 z2 2 i 2 i 10 . z2 2 i 2 Câu 22. Kí hiệu z0 là số phức có phần ảo âm của phương trình 9z 6z 37 0 . Tìm toạ độ của điểm biểu diễn số phức w iz0 . 1 1 1 1 A. 2; . B. ;2 . C. 2; . D. ; 2 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Ta có phương trình 9z2 6z 37 0 có hai nghiệm phức là z 2i hoặc z 2i . Khi 3 3 1 1 1 đó z 2i và w iz i 2i2 w 2 i . 0 3 0 3 3 1 Do vậy tọa độ của điểm biểu diễn số phức w là 2; . 3 Câu 23. Cho z là nghiệm phức của phương trình x2 x 1 0 . Tính P z4 2z3 z . 1 i 3 1 i 3 A. 2i . B. 2 . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 145 Facebook:
9. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Chọn B Vì z là nghiệm phức của phương trình x2 x 1 0 nên z2 z 1 0. Do đó: P z4 2z3 z z2 z2 z 1 z3 z2 z z3 z2 z z z2 z 1 2z2 2z 2 z2 z 1 2 2 . Ghi chú: Có thể giải bằng cách tính hai nghiệm của phương trình z2 z 1 0 rồi thế vào P . Câu 24. Tính mô đun của số phức z biết 1 2i z2 3 4i . A. z 5 . B. z 4 5 . C. z 2 5 . D. z 5 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 4i 11 2 1 2i z2 3 4i z2 z2 i 1 . 1 2i 5 5 Đặt z a bi , a,b ¡ . Ta có z2 a2 b2 2abi 2 2 2 11 2 11 5 5 a b 25a4 55a2 1 0 a 5 10 Từ 1 và 2 1 . 2 b 2 11 5 5 2ab 5a b 5 10 Khi đó z a2 b2 4 5 . z Câu 25. Tập hợp các nghiệm của phương trình z là: z i A. 0;1 i . B. 1 i . C. 0 . D. 0;1 . Hướng dẫn giải Chọn A z 0 z 0 z 1 z z 1 0 1 . z i z i 1 z 1 i z i Câu 26. Cho mlà số thực, biết phương trình z2 mz 5 0 có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm. A. 2 5 B. 4 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có m2 20 Phương trình có hai nghiệm phức thì 0 2 5 m 2 5 . m 20 m2 m 20 m2 Khi đó pt có hai nghiệm là: z i và z i 1 2 2 2 2 2 20 m2 Theo đề 1 m 4 (t/m). 2 2 z1 2 i z1 2 i Khi đó phương trình trở thành z 4z 5 0 hoặc z2 2 i z2 2 i File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 146 Facebook:
10. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức z1 z2 5 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 147 Facebook: