Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.1: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.1: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

1. TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f x ¡ \ 1 1 f 0 2017 f 2 2018 Câu 1: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f x , , . x 1 S f 3 f 1 Tính . A. S 1. B. S ln 2 . C. S ln 4035 . D. S 4 . 1  2 Câu 2: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x và f 0 1. Giá trị của 2 2x 1 biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15 . B. 3 ln15. C. 2 ln15 . D. ln15. 1  2 Câu 3: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f (x) , f (0) 1 và f (1) 2 . Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f ( 1) f (3) bằng A. 4 ln 5 . B. 2 ln15 . C. 3 ln15. D. ln15. Câu 4: Cho hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn f x 2x 1 và f 1 5 . Phương trình f x 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S log2 x1 log2 x2 . A. S 1. B. S 2 . C. S 0 . D. S 4 . 1 3 2 Câu 5: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1 và f 2 . 3 3x 1 3 Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 3 5ln 2 . B. 2 5ln 2 . C. 4 5ln 2. D. 2 5ln 2. f x ¡ \ 2;2 4 f 0 1 Câu 6: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn f x ; f 3 0 ; x2 4 f 3 2 P f 4 f 1 f 4 và . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P 3 ln . B. P 3 ln 3. C. P 2 ln . D. P 2 ln . 25 3 3 1 Câu 7: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn f x ; f 3 f 3 0 x2 x 2 1 và f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 . B. 1 ln80 . C. 1 ln 2 ln . D. 1 ln . 3 3 3 5 3 5 1 Câu 8: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1;1 và thỏa mãn f x ; f 3 f 3 0 x2 1 1 1 và f f 2 . Tính giá trị của biểu thức P f 0 f 4 . 2 2 3 3 1 3 1 3 A. P 2 ln . B. P 1 ln . C. P 1 ln . D. P ln . 5 5 2 5 2 5 1 Câu 9: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1 thỏa mãn f x . Biết f 3 f 3 0 x2 1 1 1 và f f 2 . Giá trị T f 2 f 0 f 4 bằng: 2 2 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T 2 ln . B. T 1 ln . C. T 3 ln . D. T ln . 2 9 2 5 2 5 2 5
2. 1 Câu 10: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f 2 15 và f x 2x 4 f 2 x 0 . Tính f 1 f 2 f 3 . 7 11 11 7 A. . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Câu 11: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ . Biết f 6 x . f x 12x 13 và f 0 2 . Khi đó phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Câu 12: Cho hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn f x ex e x 2 , f 0 5 và 1 f ln 0 . Giá trị của biểu thức S f ln16 f ln 4 bằng 4 31 9 5 A. S . B. S . C. S . D. f 0 . f 2 1. 2 2 2 Câu 13: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn f 0 3 và 2 2 f x . f x cos x. 1 f x , x 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M 2 của hàm số f x trên đoạn ; . 6 2 21 5 A. m , M 2 2 . B. m , M 3. 2 2 5 C. m , M 3 . D. m 3 , M 2 2 . 2 Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 0 , x ¡ . Biết f 0 1 f ' x và 2 2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m có hai f x nghiệm thực phân biệt. A. m e . B. 0 m 1. C. 0 m e . D. 1 m e . Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x 0 với mọi x ¡ . f x 2x 1 f 2 x và a a f 1 0,5 . Biết rằng tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 ; a ¢ ,b ¥ với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a A. a b 1. B. a 2017;2017 . C. 1. D. b a 4035. b 1 Câu 16: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f ' x 2x 3 . f 2 x và f 0 . Biết tổng 2 a a f 1 f 2 f 2017 f 2018 với a ¢ ,b ¥ * và là phân số tối giản. Mệnh b b đề nào sau đây đúng? a a A. 1. B. 1. b b C. a b 1010 . D. b a 3029 . 2 3 f x . f x 2 f x xf x 0 Câu 17: Cho hàm số y f x , x 0 , thỏa mãn . Tính f 0 0; f 0 1 f 1 .
3. 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 f x x Câu 18: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên ¡ ; thỏa mãn f 0 1 và . Khi đó f x x2 1 hiệu T f 2 2 2 f 1 thuộc khoảng A. 2;3 . B. 7;9 . C. 0;1 . D. 9;12 . 4 f tan t 1 1 Câu 19: Khi đó dt f x dx . Vậy f x dx 6 .Cho hàm số y f x đồng biến trên 2 0 cos t 0 0 2 0; ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 3 và 3 2 f ' x x 1 . f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613 f 2 8 2614. B. 2614 f 2 8 2615 . C. 2618 f 2 8 2619 . D. 2616 f 2 8 2617 . Câu 20: Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1, f x f x 3x 1, với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 f 5 5. B. 2 f 5 3. C. 3 f 5 4 . D. 1 f 5 2 . 2 4 Câu 21: Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15x 12x , x ¡ và f 0 f 0 1. Giá trị của f 2 1 bằng 9 5 A. . B. . C. 10. D. 8. 2 2 f x 1 2 x 1 3 Câu 22: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx C . Nguyên x 1 x 5 hàm của hàm số f 2x trên tập ¡ là: x 3 x 3 2x 3 2x 3 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2 4 x2 4 4 x2 1 8 x2 1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 2 Câu 23: Cho f x dx 10 . Kết quả 2 4 f x dx bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . f x F x f x 9 Câu 24: Cho hàm số liên tục trên ¡ và là nguyên hàm của , biết f x dx 9 và 0 F 0 3 F 9 . Tính . A. F 9 6 . B. F 9 6 . C. F 9 12 . D. F 9 12 . 2 2 I f x dx 3 J 4 f x 3 dx Câu 25: Cho 0 . Khi đó 0 bằng: A. 2 . B. 6 . C. 8. D. 4 . 4 4 4 f x dx 10 g x dx 5 I 3 f x 5g x dx Câu 26: Cho 2 và 2 . Tính 2 A. I 5 . B. I 15 . C. I 5 . D. I 10 .
4. 9 0 9 f x dx 37 g x dx 16 I 2 f x 3g(x) dx Câu 27: Giả sử 0 và 9 . Khi đó, 0 bằng: A. I 26 . B. I 58 . C. I 143 . D. I 122 . 2 5 5 f x dx 3 f x dx 1 f x dx Câu 28: Nếu 1 , 2 thì 1 bằng A. 2. B. 2 . C. 3. D. 4 . 2 3 3 f x dx 1 f x dx 2 f x dx Câu 29: Cho 1 và 2 . Giá trị của 1 bằng A. 1. B. 3 . C. 1. D. 3. 10 6 Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và f x dx 7 và f x dx 3. Tính 0 2 2 10 P f x dx f x dx . 0 6 A. P 7 . B. P 4 . C. P 4 . D. P 10. 1 2 f x dx 2 2 f x dx Câu 31: Cho 0 , f x dx 4 , khi đó 0 ? 1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 3. 1 3 3 Câu 32: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 2 ; f x dx 6 . Tính I f x dx . 0 1 0 A. I 8 . B. I 12. C. I 36 . D. I 4 . 2 2 2 f x dx 2 g x dx 1 I x 2 f x 3g x dx Câu 33: Cho 1 và 1 . Tính 1 bằng 11 7 17 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 8 4 4 f x dx 2 f x dx 3 g x dx 7 Câu 34: Biết 1 ; 1 ; 1 . Mệnh đề nào sau đây sai? 8 4 A. f x dx 1. B. f x g x dx 10 . 4 1 8 4 C. f x dx 5. D. 4 f x 2g x dx 2 . 4 1 f x f x  1;3 f 1 3 3 Câu 35: Cho hàm số có liên tục trên đoạn , và f (x)dx 10 giá trị 1 f 3 của bằng A. 13 . B. 7 . C. 13. D. 7 . 2 2 f x dx 3 f x 1 dx Câu 36: Cho 0 . Tính 0 ? A. 4 . B. 5. C. 7 . D. 1. 2 Câu 37: Cho y f x , y g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;2 và g x . f x dx 2 , 0 2 2 g x . f x dx 3. Tính tích phân I f x .g x dx . 0 0
5. A. I 1. B. I 6 . C. I 5 . D. I 1. 5 2 g x dx 3 f x dx 8 5 Câu 38: Cho hai tích phân 2 và 5 . Tính I f x 4g x 1 dx . 2 A. I 11. B. I 13 . C. I 27 . D. I 3 . 1 Câu 39: Cho hàm số f x x4 4x3 2x2 x 1,x ¡ . Tính f 2 x . f x dx . 0 2 2 A. . B. 2 . C. . D. 2. 3 3 6 4 Câu 40: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f x dx 10 và f x dx 6 . Tính 0 2 2 6 giá trị của biểu thức P f x dx f x dx . 0 4 A. P 4 .` B. P 16. C. P 8 . D. P 10. 1 1 Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 1] và có 3 2 f x dx 5. Tính f x dx . 0 0 A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. 1 1 Câu 42: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [0; 1], có f x dx 4 và g x dx 2 . 0 0 Tính tích phân I f x 3g x dx . A. 10 . B. 10. C. 2. D. 2. 1 Câu 43: Cho hàm số f x ln x x2 1 . Tính tích phân I f ' x dx . 0 A. I ln 2 . B. I ln 1 2 . C. I ln 2 D. I 2ln 2 Câu 44: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1 e2 , ln3 f ' x dx 9 e2 . Tính I f ln 3 . 1 A. I 9 2e2 . B. I 9 . C. I 9 . D. I 2e2 9 . Câu 45: Cho hai hàm số y f x và y g x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 / f ' x .g x dx 1, f x .g ' x dx 1. Tính I f x .g x dx . 0 0 0 A. I 2. B. I 0 . C. I 3 . D. I 2 . x2 Câu 46: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa f t dt x.cos x . Tính f 4 . 0 2 3 1 A. f 4 123. B. f 4 . C. f 4 . D. f 4 . 3 4 4 f x Câu 47: Cho hàm số f x thỏa mãn t 2.dt x.cos x . Tính f 4 . 0 1 A. f 4 2 3 . B. f 4 1. C. f 4 . D. f 4 3 12 . 2 x Câu 48: Cho hàm số G x t.cos x t .dt . Tính G ' . 0 2
6. A. G ' 1. B. G ' 1. C. G ' 0 . D. G ' 2 . 2 2 2 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G x cos t.dt ( x 0 ). Tính G ' x . 0 A. G ' x x2.cos x . B. G ' x 2x.cos x . C. G ' x cos x . D. G ' x cos x 1. x Câu 50: Cho hàm số G x 1 t 2 dt . Tính G ' x . 1 x 1 A. . B. 1 x2 . C. . D. x2 1 x2 1 . 1 x2 1 x2 x Câu 51: Cho hàm số F x sin t 2.dt ( x 0 ). Tính F ' x . 1 sin x 2sin x A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x x Câu 52: Tính đạo hàm của f x , biết f x thỏa t.e f t dt e f x . 0 1 1 A. f ' x x . B. f ' x x2 1. C. f ' x . D. f ' x . x 1 x 2 y f x 0; x f 4 Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và f t dt x.sin x . Tính 0  1 A. f . B. f . C. f . D. f . 4 2 4 2 f x 2; 3 F x f x Câu 54: Cho hàm số liên tục trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của 2 I f x 2x dx 2; 3 F 1 1 F 2 4 trên khoảng . Tính 1 , biết và . A. I 6 . B. I 10 . C. I 3 . D. I 9 . 2 2 2 f x dx 2 g x dx 1 I x 2 f x 3g x dx Câu 55: Cho 1 và 1 . Tính 1 11 7 17 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 2 2 2 3 f x 2g x dx 1 2 f x g x dx 3 f x dx Câu 56: Cho 1 , 1 . Khi đó, 1 bằng 11 5 6 16 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 57: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 . B. f x g x dx 10 . 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. g x dx 14 . 1 1
7. Câu 58: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 . B. f x g x dx 10 . 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. g x dx 14 . 1 1 10 8 10 f z dz 17 f t dt 12 3 f x dx Câu 59: Nếu 0 và 0 thì 8 bằng A. 15 . B. 29 . C. 15. D. 5. 2 7 7 f x dx 2 f t dt 9 f z dz Câu 60: Cho 1 , 1 . Giá trị của 2 là A. 11. B. 5. C. 7 . D. 9. 3 Câu 61: Cho hàm số y f x liên tục, luôn dương trên 0;3 và thỏa mãn I f x dx 4 . Khi đó 0 3 giá trị của tích phân K e1 ln f x 4 dx là: 0 A. 4 12e . B. 12 4e . C. 3e 14 . D. 14 3e . Câu 62: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ thỏa f 0 f 0 1; . f x y f x f y 3xy x y 1, x,y ¡ 1 Tính f x 1 dx . 0 1 1 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 1 Câu 63: Cho hàm số f x là hàm bậc nhất thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . 0 1 Tính I f x dx . 0 A. I 1. B. I 8 . C. I 12 . D. I 8 . f x ¡ \ 0 1 f 1 a f 2 b Câu 64: Cho hàm số xác định trên , thỏa mãn f x , và . x3 x5 f 1 f 2 Tính . A. f 1 f 2 a b . B. f 1 f 2 a b . C. f 1 f 2 a b . D. f 1 f 2 b a . f x ¡ \ 0 1 f 1 a f 2 b Câu 65: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn f x , , . x2 x4 f 1 f 2 Giá trị của biểu thức bằng A. b a . B. a b . C. a b . D. a b . Câu 66: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x 0 , 1 x ¡ ; f x ex . f 2 x , x ¡ và f 0 . Tính giá trị của f ln 2 . 2
8. 2 2 2 1 A. f ln 2 . B. f ln 2 . C. f ln 2 . D. f ln 2 . 9 9 3 3 Câu 67: Cho hàm số y f x có đồ thị C , xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các 2 điều kiện f x 0 x ¡ , f x x. f x ,x ¡ và f 0 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 của đồ thị C là. A. y 6x 30 . B. y 6x 30 . C. y 36x 30 . D. y 36x 42 . Câu 68: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x 1 g x 1 2018 f t dt , g x f 2 x . Tính g x dx . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 y f x 1;1 f x 0,x ¡ Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn f ' x 2 f x 0 f 1 1 f 1 và . Biết , tính . A. f 1 e 2 . B. f 1 e3 . C. f 1 e4 . D. f 1 3 . Câu 70: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9 và 2 9 f x f x x 9 . Tính T f 1 f 0 . 1 A. T 2 9ln 2 . B. T 9 . C. T 9ln 2 . D. T 2 9ln 2 . 2 y f x f ' x . f x x4 x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. f 2 2 . B. f 2 2 . C. f 2 2 . D. f 2 2 . 15 15 15 15 Câu 72: Cho f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1;4 thỏa mãn 2 3 x 2xf x f x ,x 1;4, f 1 . Giá trị f 4 bằng: 2 391 361 381 371 A. B. C. D. 18 18 18 18 y f x f x 0; Câu 73: Cho hàm số có liên tục trên nửa khoảng  thỏa mãn 3 f x f x 1 3.e 2x . Khi đó: 1 1 1 1 A. e3 f 1 f 0 . B. e3 f 1 f 0 . e2 3 2 2 e2 3 4 e2 3 e2 3 8 C. e3 f 1 f 0 . D. e3 f 1 f 0 e2 3 e2 3 8. 3 Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f x 1, f 0 0 và thỏa f x x2 1 2x f x 1 . Tính f 3 . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. 1 Câu 75: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f 2 x và f 0 . Biết rằng 2 a a tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 với a ¢ , b ¥ * và là phân số b b tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
9. a a A. 1. B. 1. C. a b 1010 . D. b a 3029 . b b ax b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F x 4a b 0 là nguyên hàm của hàm số f x x 4 2 và thỏa mãn: 2 f x F x 1 f x . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a 1, b 4 . B. a 1, b 1. C. a 1, b ¡ \ 4. D. a ¡ , b ¡ . y f x 1;2 f 1 4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn và f x xf x 2x3 3x2 f 2 . Tính A. 5. B. 20 . C. 10. D. 15. x Câu 78: Cho f x 2 trên ; và F x là một nguyên hàm của xf x thỏa mãn cos x 2 2 2 F 0 0 . Biết a ; thỏa mãn tan a 3. Tính F a 10a 3a . 2 2 1 1 1 A. ln10 . B. ln10 . C. ln10 . D. ln10. 2 4 2 Câu 79: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 1 f x 0 , x ¡ , f x ex . f 2 x x ¡ và f 0 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0 ln 2 là A. 2x 9y 2ln 2 3 0 . B. 2x 9y 2ln 2 3 0 . C. 2x 9y 2ln 2 3 0 . D. 2x 9y 2ln 2 3 0 . Câu 80: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1, f x và f x đều nhận giá trị 1 1 2 dương trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 2 , f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx .   0 0 1 3 Tính f x dx . 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Câu 81: Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện f (x). f '(x) 2x f 2 (x) 1 và f (0) 0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f (x) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11 3 C. 20 2 D. 3 11 3 Câu 82: Cho hàm số f x có đạo hàm và đồng biến trên ¡ thỏa mãn f 0 1 và 1 2 f x ex f x ,x ¡ . Tính tích phân f x dx bằng 0 A. e 2. B. e 1. C. e2 2 . D. e2 1. y f x ¡ \ 0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên  thỏa mãn 2 x2 f 2 x 2x 1 f x xf x 1 x ¡ \ 0 f 1 2 với và . Tính f x dx . 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A. ln 2. B. ln 2. C. 1 . D. . 2 2 2 2 2
10. Câu 84: Cho hàm số y f x . Có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết f 1 e và x 2 f x xf x x3 , x ¡ . Tính f 2 . A. 4e2 4e 4 . B. 4e2 2e 1. C. 2e3 2e 2. D. 4e2 4e 4 . Câu 85: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0. Biết 1 9 1 x 3 1 f 2 x dx và f x cos dx . Tích phân f x dx bằng 0 2 0 2 4 0 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. . 1 1 Câu 86: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 1 , thỏa mãn f x dx xf x dx 1 và 0 0 1 1 2 3 f x dx 4 . Giá trị của tích phân f x dx bằng 0 0 A. 1. B. 8. C. 10. D. 80 . Câu 87: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x 0 khi x 1,2. 2 2 f ' x Biết f ' x dx 10 và dx ln 2 . Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 10. B. f 2 20 . C. f 2 10 . D. f 2 20. Câu 88: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0 0 với x 4;8. Biết 2 8 f x 1 1 rằng dx 1 và f 4 , f 8 . Tính f 6 . 4 4 2 4 f x 5 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Câu 89: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều 2 kiện f 0 1 và f x f x . Đặt T f 1 f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2 T 1. B. 1 T 0 . C. 0 T 1. D. 1 T 2 . f x 0, x ¡ , Câu 90: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ thoả f 0 f 0 1, . 2 2 xy y yy , x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A. ln f 1 1. B. 0 ln f 1 . C. ln f 1 2 . D. 1 ln f 1 . 2 2 2 2 3 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện f x 3g x dx 10 đồng 1 3 3 thời 2 f x g x dx 6 . Tính f x g x dx . 1 1 A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8. d d Câu 92: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b , nếu f x dx 5 và f x dx 2 (với a d b ) a b b thì f x dx bằng. a 5 A. 3. B. 7 . C. . D. 10. 2
11. Câu 93: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3 3 f x 3g x dx 10 và 2 f x g x dx 6 . Tính I f x g x dx 1 1 1 A. I 8 . B. I 9 . C. I 6 . D. I 7 . Câu 94: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số y f x trên đoạn 0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f 0 f 5 f 3 .B. f 3 f 0 f 5 . C. f 3 f 0 f 5 .D. f 3 f 5 f 0 . Câu 95: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2 f x x sin x f ' x cos x và f x sin xdx 4. Khi đó, f nằm trong khoảng 2 nào? A. . 6;7 B. . 5;6 C. . 1D.2; 1. 3 11;12 Câu 96: Cho hàm số f x xác định trên 0; thỏa mãn 2 2 2 2 2 f x 2 2 f x sin x d x . Tích phân f x d x bằng 0 4 2 0 A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 x2 2x 1 Câu 97: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  thỏa mãn 3 f x f 2 x 2 x 1 e 4 . Tính 2 tích phân I f x dx ta được kết quả: 0 A. I e 4. B. I 8 . C. I 2 . D. I e 2. 2 2 Câu 98: Suy ra 4 f x dx 8 f x dx 2 . Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0; 1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1 2ln 2 và x x 1 . f x f x x2 x . Giá trị f 2 a bln 3 , với a,b ¤ . Tính a2 b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 2 Câu 99: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và f x x4 2x x 0 và f 1 1. x2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 0;1 .
12. B. Phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm trên 0; . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 1;2 . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 2 2 x6 2x3 2 x 1 1 f x x4 2x 0 , x 0 . x2 x2 x2 y f x đồng biến trên 0; . f x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng 0; 1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21 f x x4 2x 0 , x 0 f x dx x4 2x dx 2 2 x 1 1 x 5 21 17 f 2 f 1 f 2 . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y f x liên tục trên 1;2 và f 2 . f 1 0 2 . Từ 1 và 2 suy ra phương trình f x 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1;2 . Câu 100: Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x  1;1 với 2 x 0;2 . Biết f 0 f 2 1. Đặt I f x dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I ;0 . B. I 0;1. C. I 1; . D. I 0;1 . 1 Câu 101: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn xf x dx 0 và max f x 1. Tích [0; 1] 0 1 phân I ex f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5 3 5 3 A. ; . B. ; e 1 . C. ; . D. e 1; . 4 2 4 2 Câu 102: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và 1 1 1 2 1 3 3 f x f x dx 2 f x f x dx . Tính tích phân f x dx : 0 9 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Câu 103: Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức f 1 g 1 4 4 . Tính I f x g x dx . g x x. f x ; f x x.g x 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 .
13. HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f x ¡ \ 1 1 f 0 2017 Câu 1: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f x , , x 1 f 2 2018 S f 3 f 1 . Tính . A. S 1. B. S ln 2 . C. S ln 4035 . D. S 4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có f x dx dx ln x 1 C . x 1 f x ln x 1 2017 khi x 1 Theo giả thiết f 0 2017 , f 2 2018 nên . f x ln x 1 2018 khi x 1 Do đó S f 3 f 1 ln 2 2018 ln 2 2017 1. Cách 2: 0 0 dx 1 f (0) f ( 1) f '(x)dx ln x 1 |0 ln (1) 1 1 1 x 1 2 Ta có: 3 3 dx f (3) f (2) f '(x)dx ln x 1 |3 ln 2 (2) 2 2 2 x 1 Lấy (1)+(2), ta được f (3) f (2) f (0) f ( 1) 0 S 1. 1  2 Câu 2: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x và f 0 1. Giá trị của 2 2x 1 biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15 . B. 3 ln15.C. 2 ln15 . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C 1 2. d 2x 1 2 Ta có f x f x dx dx 2 ln 2x 1 c . 2x 1 2x 1 f 0 1 c 1 f x ln 2x 1 1. f 1 ln 3 1 f 1 f 3 2 ln15. f 3 ln 5 1 1  2 Câu 3: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f (x) , f (0) 1 và f (1) 2 . 2 2x 1 Giá trị của biểu thức f ( 1) f (3) bằng A. 4 ln 5 . B. 2 ln15 .C. 3 ln15. D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C 1 2 Cách 1: • Trên khoảng ; : f (x) dx ln(2x 1) C1. 2 2x 1 Lại có f (1) 2 C1 2. 1 2 • Trên khoảng ; : f (x) dx ln(1 2x) C2. 2 2x 1 Lại có f (0) 1 C2 1.
14. 1 ln(2x 1) 2 khi x 2 Vậy f (x) . 1 ln(1 2x) 1 khi x 2 Suy ra f ( 1) f (3) 3 ln15. Cách 2: 0 0 2dx 1 f (0) f ( 1) f '(x)dx ln 2x 1 |0 ln (1) 1 1 1 2x 1 3 Ta có: 3 3 2dx f (3) f (1) f '(x)dx ln 2x 1 |3 ln 5 (2) 1 1 1 2x 1 Lấy (2)-(1), ta được f (3) f (1) f (0) f ( 1) ln15 f ( 1) f (3) 3 ln15 . Câu 4: Cho hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn f x 2x 1 và f 1 5 . Phương trình f x 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S log2 x1 log2 x2 . A. S 1. B. S 2 . C. S 0 . D. S 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f x f x dx 2x 1 dx x2 x C . Mà f 1 5 1 1 C 5 C 3 f x x2 x 3. 2 2 x 1 Xét phương trình: f x 5 x x 3 5 x x 2 0 . x 2 S log2 x1 log2 x2 log2 1 log2 2 1. 1 3 2 Câu 5: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1 và f 2 . 3 3x 1 3 Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 3 5ln 2 . B. 2 5ln 2 . C. 4 5ln 2. D. 2 5ln 2. Hươngd dẫn giải Chọn A 1 ln 3x 1 C1 khi x ; 3 3 3 Cách 1: Từ f x f x dx= . 3x 1 3x 1 1 ln 3x 1 C1 khi x ; 3 1 f 0 1 ln 3x 1 1 khi x ; 0 C1 1 C1 1 3 Ta có: 2 f x . f 2 0 C2 2 C2 2 1 3 ln 3x 1 2 khi x ; 3 Khi đó: f 1 f 3 ln 4 1 ln8 2 3 ln 32 3 5ln 2 . 0 0 0 3 0 1 f 0 f 1 f x f x dx dx ln 3x 1 ln 1 1 3x 1 1 4 1 1 Cách 2: Ta có 3 3 2 3 3 3 f 3 f f x 2 f x dx dx ln 3x 1 2 ln8 2 3 3 2 2 3x 1 3 3 3 2 Lấy 2 1 , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 3 5ln 2 . 3
15. f x ¡ \ 2;2 4 Câu 6: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn f x ; f 3 0 ; x2 4 f 0 1 f 3 2 P f 4 f 1 f 4 và . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P 3 ln .B. P 3 ln 3. C. P 2 ln . D. P 2 ln . 25 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn B x 2 ln C khi x ; 2 x 2 1 4 4dx 4dx x 2 Từ f x f x ln C khi x 2;2 2 2 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 ln C3 khi x 2; x 2 f 3 0 ln 5 C1 0 C1 ln 5 Ta có f 0 1 0 C2 1 C2 1 1 C 2 ln 5 f 2 2 ln C 2 3 5 3 x 2 ln -ln5 khi x ; 2 x 2 x 2 f x ln 1 khi x 2;2 . x 2 x 2 ln 2 ln 5 khi x 2; x 2 1 Khi đó P f 4 f 1 f 4 ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 ln 3. 3 1 Câu 7: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn f x ; f 3 f 3 0 x2 x 2 1 và f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 . B. 1 ln80 . C. 1 ln 2 ln . D. 1 ln . 3 3 3 5 3 5 Hươngd dẫn giải Chọn A 1 x 1 ln C khi x ; 2 3 x 2 1 1 dx dx 1 x 1 f x f x ln C khi x 2;1 2 2 2 x x 2 x x 2 x 1 x 2 3 x 2 1 x 1 ln C3 khi x 1; 3 x 2 1 1 2 1 Do đó f 3 f 3 0 ln 4 C ln C C C ln10 . 3 1 3 5 3 3 1 3 1 1 1 1 1 1 Và f 0 ln C C ln 2. 3 3 2 2 3 2 3 3
16. 1 x 1 ln C khi x ; 2 3 x 2 1 1 x 1 1 1 f x ln ln 2 khi x 2;1 . 3 x 2 3 3 1 x 1 1 ln C1 ln10 khi x 1; 3 x 2 3 Khi đó: 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 f 4 f 1 f 4 ln C1 ln 2 ln 2 ln C1 ln10 ln 2 . 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 1 Câu 8: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1;1 và thỏa mãn f x ; f 3 f 3 0 x2 1 1 1 và f f 2 . Tính giá trị của biểu thức P f 0 f 4 . 2 2 3 3 1 3 1 3 A. P 2 ln . B. P 1 ln .C. P 1 ln . D. P ln . 5 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 x 1 ln C1 khi x ; 1  1; 1 dx dx 2 x 1 f x . 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 ln C2 khi x 1;1 2 x 1 1 1 1 Ta có f 3 f 3 0 ln 2 C ln C 0 C 0 . 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Và f f 2 ln 3 C2 ln C2 2 C2 1. 2 2 2 2 3 1 x 1 ln khi x ; 1  1; 2 x 1 Suy ra f x . 1 x 1 ln 1 khi x 1;1 2 x 1 1 3 Vậy P f 0 f 4 =1 ln . 2 5 1 Câu 9: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1 thỏa mãn f x . Biết f 3 f 3 0 x2 1 1 1 và f f 2 . Giá trị T f 2 f 0 f 4 bằng: 2 2 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T 2 ln .B. T 1 ln . C. T 3 ln . D. T ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn B 1 1 1 1 1 x 1 Ta có f x dx 2 dx dx ln C . x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 ln C khi x 1, x 1 2 x 1 1 Do đó f x . 1 1 x ln C khi 1 x 1 2 x 1 2
17. 1 1 Do f 3 f 3 0 nên C1 0 , f f 2 nên C2 1. 2 2 1 x 1 ln khi x 1, x 1 2 x 1 1 9 Nên f x . T f 2 f 0 f 4 1 ln . 1 1 x 2 5 ln 1 khi 1 x 1 2 x 1 Câu 10: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn 1 f 2 và f x 2x 4 f 2 x 0 . Tính f 1 f 2 f 3 . 15 7 11 11 7 A. . B. . C. .D. . 15 15 30 30 Hươngd dẫn giải Chọn D f x Vì f x 2x 4 f 2 x 0 và f x 0 , với mọi x 0; nên ta có 2x 4 . f 2 x 1 1 1 Suy ra x2 4x C . Mặt khác f 2 nên C 3 hay f x . f x 15 x2 4x 3 1 1 1 7 Do đó f 1 f 2 f 3 . 8 15 24 30 Câu 11: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ . Biết f 6 x . f x 12x 13 và f 0 2 . Khi đó phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ f 6 x . f x 12x 13 f 6 x . f x dx 12x 13 dx f 6 x df x 6x2 13x C 7 f x f 0 2 2 6x2 13x C   C . 7 7 Suy ra: f 7 x 42x2 91x 2 . Từ f x 3 f 7 x 2187 42x2 91x 2 2187 42x2 91x 2185 0 * . Phương trình * có 2 nghiệm trái dầu do ac 0 . Câu 12: Cho hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn f x ex e x 2 , f 0 5 và 1 f ln 0 . Giá trị của biểu thức S f ln16 f ln 4 bằng 4 31 9 5 A. S . B. S .C. S . D. f 0 . f 2 1. 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C x x x e 1 e 2 e 2 khi x 0 Ta có f x ex e x 2 . x x ex e 2 e 2 khi x 0 x x 2 2 2e 2e C1 khi x 0 Do đó f x . x x 2 2 2e 2e C2 khi x 0 0 0 Theo đề bài ta có f 0 5 nên 2e 2e C1 5 C1 1.
18. ln 4 ln 4 f ln 4 2e 2 2e 2 1 6 1 1 ln ln 4 4 1 2 2 Tương tự f ln 0 nên 2e 2e C2 0 C2 5. 4 ln16 ln16 7 f ln16 2e 2 2e 2 5 . 2 5 Vậy S f ln16 f ln 4 . 2 Câu 13: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn f 0 3 và 2 2 f x . f x cos x. 1 f x , x 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M 2 của hàm số f x trên đoạn ; . 6 2 21 5 A. m , M 2 2 . B. m , M 3. 2 2 5 C. m , M 3 . D. m 3 , M 2 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết f x . f x cos x. 1 f 2 x f x . f x f x . f x cos x dx sin x C 2 2 1 f x 1 f x Đặt t 1 f 2 x t 2 1 f 2 x tdt f x f x dx . Thay vào ta được dt sin x C t sin x C 1 f 2 x sin x C . Do f 0 3 C 2. Vậy 1 f 2 x sin x 2 f 2 x sin2 x 4sin x 3 2 f x sin x 4sin x 3 , vì hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; . 2 1 Ta có x sin x 1, xét hàm số g t t 2 4t 3 có hoành độ đỉnh t 2 loại. 6 2 2 1 21 Suy ra max g t g 1 8 , min g t g . 1 1 ;1 ;1 2 4 2 2 21 Suy ra max f x f 2 2 , min f x g . ; 2 ; 6 2 6 2 6 2 Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 0 , x ¡ . Biết f ' x f 0 1 và 2 2x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m f x có hai nghiệm thực phân biệt. A. m e . B. 0 m 1.C. 0 m e . D. 1 m e . Hươngd dẫn giải Chọn C
19. f x f x Ta có 2 2x dx 2 2x dx . f x f x 2 2 ln f x 2x x2 C f x A.e2x x . Mà f 0 1 suy ra f x e2x x . 2 Ta có 2x x2 1 x2 2x 1 1 x 1 2 1. Suy ra 0 e2x x e và ứng với một giá trị thực t 1 thì phương trình 2x x2 t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f x m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 m e1 e . Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x 0 với mọi x ¡ . f x 2x 1 f 2 x và a a f 1 0,5 . Biết rằng tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 ; a ¢ ,b ¥ với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a A. a b 1. B. a 2017;2017 . C. 1.D. b a 4035. b Hươngd dẫn giải Chọn D f x f x Ta có f x 2x 1 f 2 x 2x 1 dx 2x 1 dx f 2 x f 2 x 1 x2 x C f x 1 1 1 1 Mà f 1 nên C 0 f x . 2 x2 x x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác f 1 f 2 f 3 f 2017 1 2 3 2 4 3 2018 2017 1 2017 f 1 f 2 f 3 f 2017 1 a 2017 ; b 2018. 2018 2018 Khi đó b a 4035. 1 Câu 16: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f ' x 2x 3 . f 2 x và f 0 . Biết tổng 2 a a f 1 f 2 f 2017 f 2018 với a ¢ ,b ¥ * và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. 1. B. 1. b b C. a b 1010 .D. b a 3029 . Hươngd dẫn giải Chọn D f ' x f ' x Biến đổi f ' x 2x 3 . f 2 x 2x 3 dx 2x 3 dx f 2 x f 2 x 1 1 1 x2 3x C f x . Mà f 0 nên 2. f x x2 3x C 2 1 1 Do đó f x . x2 3x 2 x 1 x 2 a 1 1 1 1 Khi đó f 1 f 2 f 2017 f 2018 b 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1009 . 2 3 3 4 2018 2019 2020 2 2020 2020
20. a 1009 Với điều kiện a,b thỏa mãn bài toán, suy ra: b a 3029 . b 2020 2 3 f x . f x 2 f x xf x 0 Câu 17: Cho hàm số y f x , x 0 , thỏa mãn . Tính f 0 0; f 0 1 f 1 . 2 3 6 7 A. . B. .C. . D. . 3 2 7 6 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 f x . f x 2 f x Ta có: f x . f x 2 f x xf 3 x 0 x f 3 x f x f x x2 f 0 02 2 x 2 C 2 C C 0 . f x f x 2 f 0 2 f x x2 Do đó f 2 x 2 1 1 1 f x 1 x2 1 x3 1 1 1 6 2 dx dx f 1 . f x 2 f x 6 f 1 f 0 6 7 0 0 0 0 f x x Câu 18: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên ¡ ; thỏa mãn f 0 1 và . Khi đó f x x2 1 hiệu T f 2 2 2 f 1 thuộc khoảng A. 2;3 . B. 7;9 .C. 0;1 . D. 9;12 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 f x x d f x 1 d x 1 Ta có dx dx . f x x2 1 f x 2 x2 1 1 Vậy ln f x ln x2 1 C , mà f 0 1 C 0 . Do đó f x x2 1 . 2 Nên f 2 2 3; 2 f 1 2 2 f 2 2 2 f 1 3 2 2 0;1 . 4 f tan t 1 1 Câu 19: Khi đó dt f x dx . Vậy f x dx 6 .Cho hàm số y f x đồng biến trên 2 0 cos t 0 0 2 0; ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 3 và 3 2 f ' x x 1 . f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613 f 2 8 2614. B. 2614 f 2 8 2615 . C. 2618 f 2 8 2619 . D. 2616 f 2 8 2617 . Hươngd dẫn giải Chọn A Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên suy ra f x 0,x 0; . Mặt khác y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; nên 2 f x x 1 f x f x x 1 f x , x 0;
21. f x x 1 , x 0; ; f x f x 1 3 dx x 1 dx f x x 1 C ; f x 3 3 2 8 Từ f 3 suy ra C 2 3 3 2 1 3 2 8 Như vậy f x x 1 3 3 3 Bởi thế: 2 2 4 1 3 2 8 2 8 2 2 8 f 8 8 1 9 f 8 9 2613,26 . 3 3 3 3 3 3 3 Câu 20: Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1, f x f x 3x 1, với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 f 5 5. B. 2 f 5 3. C. 3 f 5 4 . D. 1 f 5 2 . Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có f x 1 f x 1 f x f x 3x 1 dx dx f x 3x 1 f x 3x 1 1 2 d f x 1 2 3x 1 C 3x 1 2 d 3x 1 ln f x 3x 1 C f x e 3 . f x 3 3 4 2 4 4 C 4 3x 1 Khi đó f 1 1 e 3 1 C f x e 3 3 f 5 e 3 3,79 3; 4 . 3 Vậy 3 f 5 4 . dx Chú ý: Các bạn có thể tính bằng cách đặt t 3x 1 . 3x 1 Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có f x 1 5 f x 5 1 5 d f x 4 f x f x 3x 1 dx dx f x 3x 1 1 f x 1 3x 1 1 f x 3 5 4 f 5 4 4 ln f x ln f 5 f 1 .e 3 3,79 3; 4 . 1 3 f 1 3 2 4 Câu 21: Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15x 12x , x ¡ và f 0 f 0 1. Giá trị của f 2 1 bằng 9 5 A. . B. . C. 10.D. 8. 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D 2 Ta có: f x f x . f x 15x4 12x , x ¡ .
22. 4 5 2 f x . f x 15x 12x , x ¡ f x . f x 3x 6x C1 5 2 Do f 0 f 0 1 nên ta có C1 1. Do đó: f x . f x 3x 6x 1 1 2 5 2 2 6 3 f x 3x 6x 1 f x x 4x 2x C2. 2 2 6 3 Mà f 0 1 nên ta có C2 1. Do đó f x x 4x 2x 1. Vậy f 2 1 8. f x 1 2 x 1 3 Câu 22: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx C . Nguyên x 1 x 5 hàm của hàm số f 2x trên tập ¡ là: x 3 x 3 2x 3 2x 3 A. C . B. C . C. C .D. C . 2 x2 4 x2 4 4 x2 1 8 x2 1 Hươngd dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: f x 1 2 x 1 3 2 x 1 3 dx C 2 f x 1 d x 1 C . 2 x 1 x 5 x 1 4 2 t 3 t 3 Hay 2 f t dt C f t dt C . t 2 4 t 2 4 1 1 2x 3 2x 3 Suy ra f 2x dx f 2x d 2x C C 2 1 2 2 2 2x 4 8x 8
23. DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 2 Câu 23: Cho f x dx 10 . Kết quả 2 4 f x dx bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 2 5 Tacó 2 4 f x dx 2 dx 4 f x dx 2x 5 4 f x dx 2. 5 2 4.10 34 . 2 5 5 5 2 9 Câu 24: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và F x là nguyên hàm của f x , biết f x dx 9 0 và F 0 3. Tính F 9 . A. F 9 6 . B. F 9 6 .C. F 9 12 . D. F 9 12 . Hươngd dẫn giải Chọn C 9 9 Ta có: I f x dx F x F 9 F 0 9 F 9 12 . 0 0 2 2 I f x dx 3 J 4 f x 3 dx Câu 25: Cho 0 . Khi đó 0 bằng: A. 2 .B. 6 . C. 8. D. 4 . Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2 2 Ta có J 4 f x 3 dx 4 f x dx 3 dx 4.3 3x 2 6 . 0 0 0 0 4 4 4 f x dx 10 g x dx 5 I 3 f x 5g x dx Câu 26: Cho 2 và 2 . Tính 2 A. I 5 . B. I 15 . C. I 5 . D. I 10 . Hươngd dẫn giải Chọn A 4 4 4 Có: I 3 f x 5g x dx 3 f x dx 5 g x dx 5 . 2 2 2 9 0 9 f x dx 37 g x dx 16 I 2 f x 3g(x) dx Câu 27: Giả sử 0 và 9 . Khi đó, 0 bằng: A. I 26 . B. I 58 . C. I 143 . D. I 122 . Hươngd dẫn giải Chọn A 9 9 9 9 0 Ta có: I 2 f x 3g(x) dx 2 f x dx 3g x dx 2 f x dx 3 g x dx 26 . 0 0 0 0 9 2 5 5 f x dx 3 f x dx 1 f x dx Câu 28: Nếu 1 , 2 thì 1 bằng A. 2. B. 2 . C. 3. D. 4 . Hươngd dẫn giải Chọn B 5 2 5 Ta có f x dx f x dx f x dx 3 1 2 . 1 1 2
24. 2 3 3 f x dx 1 f x dx 2 f x dx Câu 29: Cho 1 và 2 . Giá trị của 1 bằng A. 1. B. 3 .C. 1. D. 3. Hươngd dẫn giải Chọn C 3 2 3 f x dx f x dx f x dx 1. 1 1 2 10 6 Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và f x dx 7 và f x dx 3. Tính 0 2 2 10 P f x dx f x dx . 0 6 A. P 7 . B. P 4 .C. P 4 . D. P 10. Hươngd dẫn giải Chọn C 10 2 6 10 Ta có f x dx 7 f x dx f x dx f x dx 7 0 0 2 6 2 10 f x dx f x dx 7 3 4 . 0 6 Vậy P 4 . 1 2 f x dx 2 2 f x dx Câu 31: Cho 0 , f x dx 4 , khi đó 0 ? 1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 3. Hươngd dẫn giải Chọn A 2 1 2 f x dx f x dx f x dx 6 . 0 0 1 1 3 3 Câu 32: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 2 ; f x dx 6 . Tính I f x dx . 0 1 0 A. I 8 . B. I 12. C. I 36 . D. I 4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 3 1 3 I f x dx f x dx f x dx 2 6 8 . 0 0 1 2 2 2 f x dx 2 g x dx 1 I x 2 f x 3g x dx Câu 33: Cho 1 và 1 . Tính 1 bằng 11 7 17 5 A. I . B. I . C. I .D. I . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D x2 2 2 2 3 5 Ta có: I 2 f x dx 3 g x dx 4 3 . 2 1 1 1 2 2 8 4 4 f x dx 2 f x dx 3 g x dx 7 Câu 34: Biết 1 ; 1 ; 1 . Mệnh đề nào sau đây sai?
25. 8 4 A. f x dx 1. B. f x g x dx 10 . 4 1 8 4 C. f x dx 5. D. 4 f x 2g x dx 2 . 4 1 Hươngd dẫn giải Chọn A 8 8 4 Ta có f x dx f x dx f x dx 2 3 5 4 1 1 f x f x  1;3 f 1 3 3 Câu 35: Cho hàm số có liên tục trên đoạn , và f (x)dx 10 giá trị 1 f 3 của bằng A. 13 . B. 7 . C. 13. D. 7 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 3 Ta có f (x)dx 10 f x 10 f 3 f 1 10 f 3 f 1 10 13. 1 1 2 2 f x dx 3 f x 1 dx Câu 36: Cho 0 . Tính 0 ? A. 4 .B. 5. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải. Chọn B 2 2 2 Ta có f x 1 dx f x dx dx 3 2 5. 0 0 0 Câu 37: Cho y f x , y g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;2 và 2 2 2 g x . f x dx 2 , g x . f x dx 3. Tính tích phân I f x .g x dx . 0 0 0 A. I 1. B. I 6 .C. I 5 . D. I 1. Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 Xét tích phân I f x .g x dx f x .g x f x .g x dx 0 0 2 2 g x . f x dx g x . f x dx 5 . 0 0 5 2 g x dx 3 f x dx 8 5 Câu 38: Cho hai tích phân 2 và 5 . Tính I f x 4g x 1 dx . 2 A. I 11.B. I 13 . C. I 27 . D. I 3 . Hươngd dẫn giải Chọn B 5 5 2 5 Ta có: I f x 4g x 1 dx f x dx 4 g x dx x 8 4.3 5 2 13 . 2 2 2 5 1 Câu 39: Cho hàm số f x x4 4x3 2x2 x 1,x ¡ . Tính f 2 x . f x dx . 0
26. 2 2 A. . B. 2 .C. . D. 2. 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 f 3 x f 3 1 f 3 0 2 Ta có f 2 x . f x dx f 2 x .d f x . 3 3 3 0 0 0 6 4 Câu 40: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f x dx 10 và f x dx 6 . Tính 0 2 2 6 giá trị của biểu thức P f x dx f x dx . 0 4 A. P 4 .` B. P 16. C. P 8 . D. P 10. Hươngd dẫn giải: 2 6 6 2 6 Ta có: P f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 0 4 0 6 4 6 4 2 6 6 2 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 10 6 4 0 6 4 4 0 4 Chọn A 1 1 Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 1] và có 3 2 f x dx 5. Tính f x dx . 0 0 A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. Hươngd dẫn giải: 1 1 1 1 Ta có: 3 2 f x dx 5 3dx 2 f x dx 5 3x 1 2 f x dx 5 0 0 0 0 0 1 1 2 f x dx 5 3 2 f x dx 1 0 0 Chọn A 1 1 Câu 42: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [0; 1], có f x dx 4 và g x dx 2 0 0 . Tính tích phân I f x 3g x dx . A. 10 . B. 10. C. 2. D. 2. Hươngd dẫn giải: 1 1 1 I f x 3g x dx f x dx 3 g x dx 4 3 2 10 0 0 0 Chọn B 1 Câu 43: Cho hàm số f x ln x x2 1 . Tính tích phân I f ' x dx . 0 A. I ln 2 . B. I ln 1 2 . C. I ln 2 D. I 2ln 2 Hươngd dẫn giải: 1 1 1 Ta có: I f ' x dx f x ln x x2 1 ln 1 2 0 0 0 Chọn B
27. Câu 44: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1 e2 , ln3 f ' x dx 9 e2 . Tính I f ln 3 . 1 A. I 9 2e2 . B. I 9 . C. I 9 . D. I 2e2 9 . Hươngd dẫn giải: ln3 ln3 Ta có: f ' x dx f x f ln 3 f 1 9 e2 (gt) 1 1 f ln 3 e2 9 e2 f ln 3 9 Chọn B Câu 45: Cho hai hàm số y f x và y g x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 / f ' x .g x dx 1, f x .g ' x dx 1. Tính I f x .g x dx . 0 0 0 A. I 2. B. I 0 . C. I 3 . D. I 2 . Hươngd dẫn giải: 1 1 / I f x .g x dx f x .g ' x f ' x .g x dx 0 0 1 1 f x .g ' x dx f ' x .g x dx 1 1 0 0 0 Chọn B x2 Câu 46: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa f t dt x.cos x . Tính f 4 . 0 2 3 1 A. f 4 123. B. f 4 . C. f 4 . D. f 4 . 3 4 4 Hươngd dẫn giải: Ta có: F t f t dt F ' t f t x2 Đặt G x f t dt F x2 F 0 0 / 2 2 G ' x F x 2x. f x (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u x f ' u .u ' x ) x2 Mặt khác, từ gt: G x f t dt x.cos x 0 G ' x x.cos x ' x sin x cos x 2x. f x2 x sin x cos x (1) Tính f 4 ứng với x 2 1 Thay x 2 vào (1) 4. f 4 2 sin 2 cos 2 1 f 4 4 Chọn D f x Câu 47: Cho hàm số f x thỏa mãn t 2.dt x.cos x . Tính f 4 . 0 1 A. f 4 2 3 . B. f 4 1. C. f 4 . D. f 4 3 12 . 2 Hươngd dẫn giải:
28. 3 f x 3 f x f x 2 t 3 t dt x cos x f x 3x.cos x 0 3 0 3 f x 3 3x cos x f 4 3 12 Chọn D x Câu 48: Cho hàm số G x t.cos x t .dt . Tính G ' . 0 2 A. G ' 1. B. G ' 1. C. G ' 0 . D. G ' 2 . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải: Cách 1: Ta có: F t t.cos x t dt F ' x t.cos x t x Đặt G x t.cos x t dt F x F 0 0 / / G ' x F x F 0 F ' x F ' 0 x cos x x 0 x ' 1 G ' 1 2 Chọn B x Cách 2: Ta có G x t.cos x t dt . Đặt u t du dt , dv cos x t dx chọn 0 v sin x t x x x x G x t.sin x t sin x t dt sin x t dt cos x t cos0 cos x 1 cos x 0 0 0 0 G ' x sin x G ' sin 1 2 2 Chọn B x2 Câu 49: Cho hàm số G x cos t.dt ( x 0 ). Tính G ' x . 0 A. G ' x x2.cos x . B. G ' x 2x.cos x . C. G ' x cos x . D. G ' x cos x 1. Hươngd dẫn giải: x2 Ta có F t cos tdt F ' t cos t G x cos tdt F x2 F 0 0 / / / 2 2 / 2 2 G ' x F x F 0 F x F 0 F x 2x.F' x 2x.cos x2 2x.cos x Chọn B x Câu 50: Cho hàm số G x 1 t 2 dt . Tính G ' x . 1 x 1 A. . B. 1 x2 . C. . D. x2 1 x2 1 . 1 x2 1 x2 Hươngd dẫn giải: Đặt F t 1 t 2 dt F ' t 1 t 2 x x G x 1 t 2 dt F x F 1 G ' x F ' x F ' 1 F ' x 2 1 1 x Chọn A
29. x Câu 51: Cho hàm số F x sin t 2.dt ( x 0 ). Tính F ' x . 1 sin x 2sin x A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x Hươngd dẫn giải: x Đặt F t sin t 2dt ,G x sin t 2dt F x F 1 1 2 sin x G ' x F ' x F ' 1 F ' x x '.sin x 2 x Chọn B x Câu 52: Tính đạo hàm của f x , biết f x thỏa t.e f t dt e f x . 0 1 1 A. f ' x x . B. f ' x x2 1. C. f ' x . D. f ' x . x 1 x Hươngd dẫn giải: x Đặt F t t.e f t dt F ' t t.e f t G x t.e f t dt F x F 0 0 / f x f x f x f x f x G ' x F ' x e (gt) x.e e x.e e 1 e f x x. f ' x .e f x f ' x .e f x 1 x. f ' x f ' x f ' x 1 x Chọn D 2 y f x 0; x f 4 Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và f t dt x.sin x . Tính 0  1 A. f .B. f . C. f . D. f . 4 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có f t dt F t F t f t x2 x2 Khi đó f t dt x.sin x F t x.sin x F x2 F 0 x.sin x 0 0 F x2 .2x sin x x.cos x f x2 .2x sin x x.cos x f 4 . 2 f x 2; 3 F x f x Câu 54: Cho hàm số liên tục trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của 2 I f x 2x dx 2; 3 F 1 1 F 2 4 trên khoảng . Tính 1 , biết và . A. I 6 . B. I 10 . C. I 3 . D. I 9 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 2 2 F 2 F 1 4 1 I f x 2x dx F x x 4 1 3 6 . 1 1 1 2 2 2 f x dx 2 g x dx 1 I x 2 f x 3g x dx Câu 55: Cho 1 và 1 . Tính 1
30. 11 7 17 5 A. I . B. I .C. I . D. I . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 2 x2 17 Ta có: I x 2 f x 3g x dx xdx 2 f x dx 3 g x dx 4 3 . 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 f x 2g x dx 1 2 f x g x dx 3 f x dx Câu 56: Cho 1 , 1 . Khi đó, 1 bằng 11 5 6 16 A. .B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hươngd dẫn giải Chọn B 5 2 2 a 3a 2b 1 7 Đặt a f x dx , b f x dx , ta có hệ phương trình 2a b 3 11 1 1 b 7 2 5 Vậy f x dx . 1 7 Câu 57: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 . B. f x g x dx 10 . 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 .D. g x dx 14 . 1 1 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 1 Vì f x là hàm số chẵn nên f x dx 2 f x dx 2.5 10 . 1 0 1 Vì g x là hàm số lẻ nên g x dx 0. 1 1 1 f x g x dx 10 và f x g x dx 10 . 1 1 Vậy đáp án D sai. Câu 58: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 . B. f x g x dx 10 . 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 .D. g x dx 14 . 1 1 Hươngd dẫn giải Chọn D
31. 1 1 Vì f x là hàm số chẵn nên f x dx 2 f x dx 2.5 10. 1 0 1 Vì g x là hàm số lẻ nên g x dx 0. 1 1 1 f x g x dx 10 và f x g x dx 10 . 1 1 10 8 10 f z dz 17 f t dt 12 3 f x dx Câu 59: Nếu 0 và 0 thì 8 bằng A. 15 . B. 29 . C. 15. D. 5. Hươngd dẫn giải Chọn A 10 0 10 I 3 f x dx 3 f x dx f x dx 3 12 17 15. 8 8 0 2 7 7 f x dx 2 f t dt 9 f z dz Câu 60: Cho 1 , 1 . Giá trị của 2 là A. 11. B. 5.C. 7 . D. 9. Hươngd dẫn giải Chọn C 7 7 7 7 7 2 7 Ta có f t dt f x dx và f z dz f x dx nên f x dx f x dx f x dx . 1 1 2 2 1 1 2 7 Vậy f z dz 7 . 2 3 Câu 61: Cho hàm số y f x liên tục, luôn dương trên 0;3 và thỏa mãn I f x dx 4 . Khi 0 3 đó giá trị của tích phân K e1 ln f x 4 dx là: 0 A. 4 12e . B. 12 4e . C. 3e 14 . D. 14 3e . Hươngd dẫn giải Chọn B 3 3 3 3 3 3 Ta có K e1 ln f x 4 dx e1 ln f x dx 4dx e. f x dx 4dx 4e 4x 4e 12 . |0 0 0 0 0 0 Vậy K 4e 12 . Câu 62: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ thỏa f 0 f 0 1; . f x y f x f y 3xy x y 1, x,y ¡ 1 Tính f x 1 dx . 0 1 1 1 7 A. . B. .C. . D. . 2 4 4 4 Hươngd dẫn giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f x y f y 3x2 6xy , x ¡ .
32. Cho y 0 f x f 0 3x2 f x 1 3x2 Vậy f x f x dx x3 x C mà f 0 1 C 1 suy ra f x x3 x 1. 0 1 0 0 4 2 3 x x 1 1 1 f x 1 dx f x dx x x 1 dx x 1 . 4 2 4 2 4 0 1 1 1 1 Câu 63: Cho hàm số f x là hàm bậc nhất thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . 0 1 Tính I f x dx . 0 A. I 1. B. I 8 . C. I 12 .D. I 8 . Hươngd dẫn giải Chọn D Gọi f x ax b , a 0 f x a . Theo giả thiết ta có: 1 1 1 10 3 10 20 +) x 1 f x dx 10 a x 1 dx 10 x 1 dx a . 0 0 0 a 2 a 3 20 34 +) 2 f 1 f 0 2 2. b b 2 b . 3 3 20 34 Do đó, f x x . 3 3 1 1 20 34 Vậy I f x dx x dx 8 . 0 0 3 3 f x ¡ \ 0 1 f 1 a Câu 64: Cho hàm số xác định trên , thỏa mãn f x , và x3 x5 f 2 b f 1 f 2 . Tính . A. f 1 f 2 a b . B. f 1 f 2 a b . C. f 1 f 2 a b . D. f 1 f 2 b a . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có f x f x nên f x là hàm lẻ. x 3 x 5 x3 x5 2 1 2 Do đó f x dx 0 f x dx f x dx . 2 2 1 Suy ra f 1 f 2 f 2 f 1 f 1 f 2 f 2 f 1 a b . f x ¡ \ 0 1 f 1 a Câu 65: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn f x , , x2 x4 f 2 b f 1 f 2 . Giá trị của biểu thức bằng A. b a . B. a b . C. a b . D. a b . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 1 Ta có f x f x nên f x là hàm chẵn. x 2 x 4 x2 x4 1 2 Do đó f x dx f x dx . 2 1 Suy ra f 1 f 2 f 1 f 2 f 2 f 1 f 1 f 2
33. 1 2 f x dx b a f x dx b a . 2 1 Câu 66: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 f x 0 , x ¡ ; f x ex . f 2 x , x ¡ và f 0 . Tính giá trị của f ln 2 . 2 2 2 2 1 A. f ln 2 . B. f ln 2 . C. f ln 2 .D. f ln 2 . 9 9 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn D ln 2 1 ln 2 f x f x df x ln 2 f x ex . f 2 x ex dx exdx ex 2 2 2 0 f x 0 f x 0 0 f x ln 2 1 1 1 1 1 1 1 3 f ln 2 . f x f ln 2 f 0 f ln 2 3 0 Câu 67: Cho hàm số y f x có đồ thị C , xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các 2 điều kiện f x 0 x ¡ , f x x. f x ,x ¡ và f 0 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 của đồ thị C là. A. y 6x 30 . B. y 6x 30 .C. y 36x 30 . D. y 36x 42 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 3 1 2 f x f x df x x 1 1 f x x. f x x2 dx x2dx f 2 x f 2 x f 2 x 3 f x 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 f 1 6 . f 1 f 0 3 f 1 6 2 f 1 1. f 1 36 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y 36x 30 . Câu 68: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x 1 g x 1 2018 f t dt , g x f 2 x . Tính g x dx . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn A x Ta có g x 1 2018 f t dt g x 2018 f x 2018 g x 0 t t t g x g x t 2018 dx 2018 dx 2 g x 2018x 0 0 g x 0 g x 0 2 g t 1 2018t (do g 0 1) g t 1009t 1 1 1 1009 2 1011 g t dt t t . 0 2 0 2
34. y f x 1;1 f x 0,x ¡ Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn f ' x 2 f x 0 f 1 1 f 1 và . Biết , tính . A. f 1 e 2 . B. f 1 e3 .C. f 1 e4 . D. f 1 3 . Hươngd dẫn giải Chọn C Biến đổi: f ' x 1 f ' x 1 1 df x f ' x 2 f x 0 2 dx 2dx 4 ln f x 1 4 1 f x 1 f x 1 1 f x f 1 f 1 ln 4 e 4 f 1 f 1 .e4 e4 . f 1 f 1 Câu 70: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9 và 2 9 f x f x x 9 . Tính T f 1 f 0 . 1 A. T 2 9ln 2 . B. T 9 .C. T 9ln 2 . D. T 2 9ln 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 f x 1 1 Ta có 9 f x f x x 9 9 f x 1 f x x 2 . 9 f x x f x 1 1 1 x Lấy nguyên hàm hai vế dx dx C . 2 9 f x x 9 f ' x x 1 9 9 Do f 0 9 nên C suy ra f x x f x x 9 x 1 x 1 1 1 9 x2 1 Vậy T f 1 f 0 x dx 9ln x 1 9ln 2 . x 1 2 2 0 0 y f x f ' x . f x x4 x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. f 2 2 .B. f 2 2 . C. f 2 2 . D. f 2 2 . 15 15 15 15 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 136 f 2 x 136 f ' x . f x x4 x2 f ' x . f x dx x4 x2 dx f x df x 2 0 0 0 0 15 2 15 f 2 2 4 136 332 f 2 2 . 2 15 15 Câu 72: Cho f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1;4 thỏa mãn 2 3 x 2xf x f x ,x 1;4, f 1 . Giá trị f 4 bằng: 2 391 361 381 371 A. B. C. D. 18 18 18 18 Hươngd dẫn giải Chọn A Biến đổi:
35. 2 2 2 f x f x x 2xf x f x x 1 2 f x f x x x . 1 2 f x 1 2 f x 4 4 f x 4 14 14 391 dx xdx 1 2 f x 1 2 f 4 2 f 4 . 1 1 1 2 f x 1 3 3 18 Chọn A 4 f x 4 Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I dx 1 2 f x 1 2 f 4 2 thì ta có 1 1 1 2 f x thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). 4 4 4 1 f ' x df x 1 4 + Vi phân: dx 1 2 f x 2 d 1 2 f x 1 2 f x . 1 1 1 2 f x 1 1 2 f x 2 1 + Đổi biến: Đặt t 1 2 f x t 2 1 2 f x tdt f x dx với x 1 t 1 2 f 1 2; x 4 t 1 2 f 4 . 1 2 f 4 1 2 f 4 tdt 1 2 f 4 Khi đó I dt t 1 2 f 4 2. 2 2 t 2 y f x f x 0; Câu 73: Cho hàm số có liên tục trên nửa khoảng  thỏa mãn 3 f x f x 1 3.e 2x . Khi đó: 1 1 1 1 A. e3 f 1 f 0 . B. e3 f 1 f 0 . e2 3 2 2 e2 3 4 e2 3 e2 3 8 C. e3 f 1 f 0 . D. e3 f 1 f 0 e2 3 e2 3 8. 3 Hươngd dẫn giải Chọn C e2x 3 Ta có: 3 f x f x 1 3.e 2x 3e3x f x e3x f x e2x e2x 3 . ex 3x 2x 2x e f x e e 3 . 1 1 3x 2x 2x Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được e f x dx e e 3 dx 0 0 1 2 2 1 1 3 e 3 e 3 8 e3x f x e2x 3 e3 f 1 f 0 . 0 3 0 3 Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f x 1, f 0 0 và thỏa f x x2 1 2x f x 1 . Tính f 3 . A. 0 .B. 3. C. 7 . D. 9. Hươngd dẫn giải Chọn B f x 2x Ta có f x x2 1 2x f x 1 f x 1 x2 1 3 f x 3 2x 3 3 3 dx dx f x 1 x2 1 f x 1 1 2 0 0 0 0 f x 1 0 x 1
36. f 3 1 f 0 1 1 f 3 1 2 f 3 3 . 1 Câu 75: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f 2 x và f 0 . Biết rằng 2 a a tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 với a ¢ , b ¥ * và là phân b b số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. 1. B. 1. C. a b 1010 .D. b a 3029 . b b Hươngd dẫn giải Chọn D f x Ta có f x 2x 3 f 2 x 2x 3 f 2 x f x 1 dx 2x 3 dx x2 3x C . f x f x 1 Vì f 0 C 2 . 2 1 1 1 Vậy f x . x 1 x 2 x 2 x 1 1 1 1009 Do đó f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 . 2020 2 2020 Vậy a 1009 ; b 2020 . Do đó b a 3029 . ax b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F x 4a b 0 là nguyên hàm của hàm số f x x 4 2 và thỏa mãn: 2 f x F x 1 f x . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a 1, b 4 . B. a 1, b 1.C. a 1, b ¡ \ 4. D. a ¡ , b ¡ . Hươngd dẫn giải Chọn C ax b 4a b 2b 8a Ta có F x là nguyên hàm của f x nên f x F x và f x . x 4 x 4 2 x 4 3 2 2 4a b ax b 2b 8a 2 Do đó: 2 f x F x 1 f x 4 1 3 x 4 x 4 x 4 4a b ax b x 4 x 4 1 a 0 a 1 (do x 4 0 ) Với a 1 mà 4a b 0 nên b 4 . Vậy a 1, b ¡ \ 4. Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a b 0 nên loại được ngay phương án A: a 1, b 4 và phương án D: a ¡ , b ¡ . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b 0 , a 1. Khi đó, ta có x 4 8 F x , f x , f x . x 4 x 4 2 x 4 3 Thay vào 2 f 2 x F x 1 f x thấy đúng nên Chọn C y f x 1;2 f 1 4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn và f x xf x 2x3 3x2 f 2 . Tính
37. A. 5.B. 20 . C. 10. D. 15. Hươngd dẫn giải Chọn B xf x f x f x 3 2 Do x 1;2 nên f x xf x 2x 3x 2 2x 3 2x 3 x x f x x2 3x C . x Do f 1 4 nên C 0 f x x3 3x2 . Vậy f 2 20 . x Câu 78: Cho f x 2 trên ; và F x là một nguyên hàm của xf x thỏa mãn cos x 2 2 2 F 0 0 . Biết a ; thỏa mãn tan a 3. Tính F a 10a 3a . 2 2 1 1 1 A. ln10 . B. ln10 .C. ln10 . D. ln10. 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: F x xf x dx xd f x xf x f x dx x sin x Ta lại có: f x dx dx = xd tan x x tan x tan xdx x tan x dx cos2 x cos x 1 x tan x d cos x x tan x ln cos x C F x xf x x tan x ln cos x C cos x Lại có: F 0 0 C 0 , do đó: F x xf x x tan x ln cos x . F a af a a tan a ln cos a a 2 1 2 2 1 Khi đó f a 2 a 1 tan a 10a và 2 1 tan a 10 cos a cos a cos a 10 1 cos a . 10 1 1 Vậy F a 10a2 3a 10a2 3a ln 10a2 3a ln10 . 10 2 Câu 79: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 1 f x 0 , x ¡ , f x ex . f 2 x x ¡ và f 0 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0 ln 2 là A. 2x 9y 2ln 2 3 0 . B. 2x 9y 2ln 2 3 0 . C. 2x 9y 2ln 2 3 0 . D. 2x 9y 2ln 2 3 0 . Hươngd dẫn giải Chọn A ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 f x f x x 1 x 2 x x Ta có f x e . f x 2 e 2 dx e dx e f x f x f x 0 0 0 0 1 1 1 1 f ln 2 . f ln 2 f 0 3 2 ln 2 2 1 2 Từ đó ta có f ln 2 e f ln 2 2. . 3 9
38. 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y x ln 2 2x 9y 2ln 2 3 0 . 9 3 Câu 80: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1, f x và f x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 2 , 1 1 1 2 3 f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx . Tính f x dx . 0 0 0 15 15 17 19 A. . B. . C. .D. . 4 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 1 2 Theo giả thiết, ta có f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx 0 0 1 1 2 f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx 0 0 0 1 1 2 2 f x . f x 2 f x . f x 1 dx 0 f x . f x 1 dx 0 0 0 f 3 x 8 f x . f x 1 0 f 2 x . f x 1 x C . Mà f 0 2 C . 3 3 Vậy f 3 x 3x 8. 1 1 1 2 3 3x 19 Vậy f x dx 3x 8 dx 8x . 2 2 0 0 0 Câu 81: Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện f (x). f '(x) 2x f 2 (x) 1 và f (0) 0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f (x) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11 3 C. 20 2 D. 3 11 3 Hươngd dẫn giải Chọn D Biến đổi: f (x). f '(x) f (x). f '(x) f (x). f '(x) 2x f 2 (x) 1 2x dx 2xdx f 2 (x) 1 x2 C 2 2 f (x) 1 f (x) 1 Với f (0) 0 C 1 f 2 (x) 1 x2 1 f 2 (x) x4 2x2 g(x) Ta có: g '(x) 4x3 4x 0,x 1;3. Suy ra g(x) đồng biến trên 1;3 Suy ra: g(1) g(x) f 2 (x) g 3 3 f 2 (x) 99 f (x) 0 3 f (x) 3 11 min f (x) 3 1;3 Max f (x) 3 11 3 f (x). f '(x) Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn dx f 2 (x) 1 C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật 2 f (x) 1 vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) +) Vi phân: f (x). f '(x) f (x) 1 1 dx d f (x) f 2 (x) 1 2 d f 2 (x) 1 f 2 (x) 1 C 2 2 f (x) 1 f (x) 1 2 + Đổi biến: Đặt t f 2 (x) 1 t 2 f 2 (x) 1 tdt f (x) f '(x)dx
39. f (x). f '(x) tdt Suy ra: dx dt t C f 2 (x) 1 C 2 f (x) 1 t Câu 82: Cho hàm số f x có đạo hàm và đồng biến trên ¡ thỏa mãn f 0 1 và 1 2 f x ex f x ,x ¡ . Tính tích phân f x dx bằng 0 A. e 2.B. e 1. C. e2 2 . D. e2 1. Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2 f x f x f x Biến đổi f x ex f x ex ex dx ex dx f x f x f x 1 x x f x 2 df x e 2 dx 2 f x 2e 2 C x Vì f 0 1 C 0 f x e 2 f x ex 1 1 1 Suy ra f x dx edx ex e 1 0 0 0 y f x ¡ \ 0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên  thỏa mãn 2 x2 f 2 x 2x 1 f x xf x 1 x ¡ \ 0 f 1 2 với và . Tính f x dx . 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A. ln 2. B. ln 2. C. 1 . D. . 2 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn A 2 Ta có x2 f 2 x 2x 1 f x xf x 1 xf x 1 f x xf x * Đặt h x f x xf x h x f x xf x , khi đó * có dạng h x h x dh x 1 h2 x h x 1 dx 1dx x C x C h2 x h2 x h2 x h x 1 1 h x xf x 1 x C x C 1 Vì f 1 2 nên 2 1 C 0 1 C 1 1 1 Khi đó xf x 1 f x x x2 x 2 2 2 1 1 1 1 Suy ra: f x dx dx ln x ln 2 2 1 1 x x x 1 2 Câu 84: Cho hàm số y f x . Có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết f 1 e và x 2 f x xf x x3 , x ¡ . Tính f 2 . A. 4e2 4e 4 . B. 4e2 2e 1. C. 2e3 2e 2.D. 4e2 4e 4 . Hươngd dẫn giải Chọn D x 3 xf x x 2 f x e f x x Ta có: x 2 f x xf x x 3 1 2 e x x
40. 2 e x f x 2 Suy ra dx e xdx 2 1 x 1 e 2 f 2 e 1 f 1 e 2 e 1 22 12 e 2 f 2 e 1 f 1 e 1 e 2 4 1 2 f 2 4 ef 1 e 1 4e 4e 4 . Câu 85: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0. Biết 1 9 1 x 3 1 f 2 x dx và f x cos dx . Tích phân f x dx bằng 0 2 0 2 4 0 1 4 6 2 A. . B. .C. . D. . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 x 1 x x 1 x Ta có f x cos dx cos d f x cos . f x sin .f x dx 0 2 0 2 2 0 0 2 2 1 x sin .f x dx . 2 0 2 1 x 3 Suy ra sin .f x dx 0 2 2 2 1 x 1 1 1 Mặt khác sin dx 1- cos x dx . 0 2 2 0 2 1 1 1 2 2 x x Do đó f x dx 2 3sin f x dx 3sin dx 0 . 0 0 2 0 2 2 1 x x hay f x 3sin dx 0 suy ra f x 3sin . 0 2 2 1 1 x 6 x 1 6 Vậy f x dx 3sin dx cos . 0 0 2 2 0 1 1 Câu 86: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 1 , thỏa mãn f x dx xf x dx 1 và 0 0 1 1 2 3 f x dx 4 . Giá trị của tích phân f x dx bằng 0 0 A. 1. B. 8.C. 10. D. 80 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 2 2 2 Xét f x ax b dx f x dx 2 f x . ax b dx ax b dx 0 0 0 0 1 1 1 2 1 3 a 4 2a xf x dx 2b f x dx ax b 4 2 a b ab b2 . 0 0 3a 0 3 a2 Cần xác định a, b để 2 b a b2 2b 4 0 3
41. 2 4 b 2 Ta có: b2 4b 4 b2 2b 4 0 b 2 a 6 . 3 3 1 2 Khi đó: f x 6x 2 dx 0 f x 6x 2 0 1 1 1 3 3 1 4 Suy ra f x dx 6x 2 dx 6x 2 10 . 0 0 24 0 Câu 87: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x 0 khi x 1,2. 2 2 f ' x Biết f ' x dx 10 và dx ln 2 . Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 10. B. f 2 20 . C. f 2 10 . D. f 2 20. Hươngd dẫn giải: 2 2 Ta có: f ' x dx f x f 2 f 1 10 (gt) 1 1 2 f ' x 2 f 2 dx ln f x ln f 2 ln f 1 ln ln 2 (gt) 1 1 f x f 1 f 2 f 1 10 f 2 20 Vậy ta có hệ: f 2 2 f 1 10 f 1 Chọn B Câu 88: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0 0 với x 4;8. Biết 2 8 f x 1 1 rằng dx 1 và f 4 , f 8 . Tính f 6 . 4 4 2 4 f x 5 2 3 1 A. . B. . C. .D. . 8 3 8 3 Hươngd dẫn giải Chọn D 8 f x 8 df x 1 8 1 1 +) Xét dx 2 4 2 . 2 2 4 4 f x 4 f x f x f 8 f 4 2 8 f x +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để k dx 0 . 2 4 f x 2 2 8 8 f x 8 8 f x f x 2 2 2 Ta có: k dx dx 2k dx k dx 1 4k 4k 2k 1 . f 2 x 4 f 2 x 4 4 f x 4 4 2 1 8 f x 1 f x 1 6 f x 1 6 Suy ra: k thì dx 0 dx dx 2 2 2 2 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 4 6 df x 1 6 1 1 1 1 1 1 1 4 1 f 6 . 2 4 f x f x 4 f 4 f 6 f 6 3 b b Chú ý: f x dx 0 không được phép suy ra f x 0 , nhưng f 2k x dx 0 f x 0 . a a
42. Câu 89: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các 2 điều kiện f 0 1 và f x f x . Đặt T f 1 f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2 T 1.B. 1 T 0 . C. 0 T 1. D. 1 T 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Ta có: T f 1 f 0 f x dx 0 2 f x 1 Lại có: f x f x 1 1 2 f x f x 1 1 x c f x . f x x c Mà f 0 1 nên c 1. 1 1 1 1 Vậy T f x dx dx ln x 1 ln 2. 0 0 0 x 1 f x 0, x ¡ , Câu 90: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ thoả f 0 f 0 1, . 2 2 xy y yy , x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A. ln f 1 1. B. 0 ln f 1 . C. ln f 1 2 .D. 1 ln f 1 . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D y y y 2 y y x2 f x x2 2 2 Ta có xy y yy 2 x x C hay C . y y y 2 f x 2 Lại có f 0 f 0 1 C 1. 2 1 1 2 f x x f x x 1 7 7 Ta có 1 dx 1 dx ln f x ln f 1 . 0 f x 2 0 f x 0 2 6 6 3 1 ln f 1 . 2 3 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện f x 3g x dx 10 đồng 1 3 3 thời 2 f x g x dx 6 . Tính f x g x dx . 1 1 A. 9.B. 6 . C. 7 . D. 8. Hươngd dẫn giải Chọn B 3 3 3 Đặt a f x dx , b g x dx . Khi đó f x 3g x dx 10 a 3b 10 , 1 1 1 3 2 f x g x dx 6 2a b 6 . 1
43. a 3b 10 a 4 3 Do đó: . Vậy f x g x dx a b 6 . 2a b 6 b 2 1 d d Câu 92: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b , nếu f x dx 5 và f x dx 2 (với a b b a d b ) thì f x dx bằng. a 5 A. 3. B. 7 . C. . D. 10. 2 Hươngd dẫn giải Chọn A d f x dx 5 b a F d F a 5 F b F a 3 f x dx . d F d F b 2 a f x dx 2 b Câu 93: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3 3 f x 3g x dx 10 và 2 f x g x dx 6 . Tính I f x g x dx 1 1 1 A. I 8 . B. I 9 .C. I 6 . D. I 7 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 3 f x 3g x dx 10 f x dx 4 3 1 1 Ta có: I f x g x dx 6 . 3 3 2 f x g x dx 6 g x dx 2 1 1 1 Câu 94: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số y f x trên đoạn 0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f 0 f 5 f 3 . B. f 3 f 0 f 5 . C. f 3 f 0 f 5 . D. f 3 f 5 f 0 . Hươngd dẫn giải Chọn C 5 Ta có f x dx f 5 f 3 0 , do đó f 5 f 3 . 3 3 f x dx f 3 f 0 0 , do đó f 3 f 0 0
44. 5 f x dx f 5 f 0 0 , do đó f 5 f 0 0 Câu 95: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2 f x x sin x f ' x cos x và f x sin xdx 4. Khi đó, f nằm trong khoảng 2 nào? A. . B6.; 7 5;6 . C. . 12;13 D. . 11;12 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có: f x x sin x f x cos x f x xf x sin x cos x f x 1 f x 1 2 2 cos x cos x c x x x x x x x f x cos x cx Khi đó: 3 3 2 2 f x sin xdx 4 cos x cx sin xdx 4 2 2 3 3 2 2 cos xsin xdx c xsin xdx 4 0 c 2 4 c 2 2 2 f x cos x 2x f 2 1 5;6 . Câu 96: Cho hàm số f x xác định trên 0; thỏa mãn 2 2 2 2 2 f x 2 2 f x sin x d x . Tích phân f x d x bằng 0 4 2 0 A. .B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có: 2sin x d x 1 cos 2x d x 1 sin 2x d x 0 4 0 2 0 1 2 2 x cos 2x . 2 0 2 2 2 2 2 2 2 Do đó: f x 2 2 f x sin x d x 2sin x d x 0 0 4 0 4 2 2 2 2 2 f x 2 2 f x sin x 2sin x d x 0 0 4 4
45. 2 2 f x 2 sin x d x 0 0 4 Suy ra f x 2 sin x 0 , hay f x 2 sin x . 4 4 2 2 2 Bởi vậy: f x d x 2 sin x d x 2 cos x 0 . 0 0 4 4 0 x2 2x 1 Câu 97: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  thỏa mãn 3 f x f 2 x 2 x 1 e 4 . 2 Tính tích phân I f x dx ta được kết quả: 0 A. I e 4. B. I 8 . C. I 2 . D. I e 2. Đề ban đầu bị sai vì khi thay x 0 và x 2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 Theo giả thuyết ta có 3 f x f 2 x dx 2 x 1 ex 2x 1 4 dx * . 0 0 2 2 2 Ta tính f 2 x dx f 2 x d 2 x f x dx . 0 0 0 2 2 Vì vậy 3 f x f 2 x dx 4 f x dx . 0 0 2 2 2 2 2 2 2 Hơn nữa 2 x 1 ex 2x 1dx ex 2x 1d x2 2x 1 ex 2x 1 0 và 4dx 8 . 0 0 0 0 2 2 Câu 98: Suy ra 4 f x dx 8 f x dx 2 . Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0; 1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1 2ln 2 và x x 1 . f x f x x2 x . Giá trị f 2 a bln 3 , với a,b ¤ . Tính a2 b2 . 25 9 5 13 A. .B. . C. . D. . 4 2 2 4 Hươngd dẫn giải Chọn B x 1 x Từ giả thiết, ta có x x 1 . f x f x x2 x . f x f x x 1 x 1 2 x 1 x x . f x , với x ¡ \ 0; 1 . x 1 x 1 x x x Suy ra . f x dx hay . f x x ln x 1 C . x 1 x 1 x 1 x Mặt khác, ta có f 1 2ln 2 nên C 1. Do đó . f x x ln x 1 1. x 1 2 3 3 3 3 Với x 2 thì . f 2 1 ln 3 f 2 ln 3 . Suy ra a và b . 3 2 2 2 2 9 Vậy a2 b2 . 2
46. 2 Câu 99: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và f x x4 2x x 0 và f 1 1. x2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 0;1 . B. Phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm trên 0; . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 1;2 . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 2 2 x6 2x3 2 x 1 1 f x x4 2x 0 , x 0 . x2 x2 x2 y f x đồng biến trên 0; . f x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng 0; 1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21 f x x4 2x 0 , x 0 f x dx x4 2x dx 2 2 x 1 1 x 5 21 17 f 2 f 1 f 2 . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y f x liên tục trên 1;2 và f 2 . f 1 0 2 . Từ 1 và 2 suy ra phương trình f x 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1;2 . Câu 100: Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x  1;1 với 2 x 0;2 . Biết f 0 f 2 1. Đặt I f x dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I ;0 . B. I 0;1.C. I 1; . D. I 0;1 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1 2 Ta có I f x dx f x dx f x dx . 0 0 1 1 1 1 1 1 1 f x dx x 1 f x x 1 f x dx 1 1 x f x dx 1 1 x dx 1 . 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 f x dx x 1 f x x 1 f x dx 1 x 1 f x dx 1 1 x dx 2 . 1 1 1 1 1 2 1 1 Từ 1 và 2 suy ra I 1. 2 2 1 Câu 101: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn xf x dx 0 và max f x 1. Tích [0; 1] 0 1 phân I ex f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5 3 5 3 A. ; . B. ; e 1 . C. ; . D. e 1; . 4 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C
47. 1 1 1 Với mọi a 0;1, ta có 0 xf x dx a xf x dx axf x dx 0 0 0 1 Kí hiệu I a ex ax dx . 0 1 1 1 1 Khi đó, với mọi a 0;1 ta có ex f x dx ex f x dx axf x dx ex ax f x dx 0 0 0 0 1 1 1 ex ax . f x dx ex ax .max f x dx ex ax dx I a . x 0;1 0 0 0 1 Suy ra ex f x dx min I a a 0;1 0 Mặt khác 1 1 1 x x x a 2 a Với mọi a 0;1 ta có I a e ax dx e ax dx e x e 1 0 0 2 0 2 3 1 3 min I a e ex f x dx e 1,22 . a 0;1 2 0 2 5 3 Vậy I ; . 4 2 Câu 102: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và 1 1 1 2 1 3 3 f x f x dx 2 f x f x dx . Tính tích phân f x dx : 0 9 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. .D. . 2 4 6 6 Hươngd dẫn giải Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 2 1 2 3 f x f x 2.3 f x f x 1 dx 0 3 f x f x 1 dx 0 . 0 0 1 1 Suy ra 3 f x f x 1 0 f x f x f x . f 2 x . 3 9 1 1 Vì f 3 x 3. f 2 x f x nên suy ra f 3 x f 3 x x C . 3 3 Vì f 0 1 nên f 3 0 1 C 1. 1 Vậy f 3 x x 1. 3 1 1 3 1 7 Suy ra f x dx x 1 dx . 0 0 3 6 Câu 103: Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức f 1 g 1 4 4 . Tính I f x g x dx . g x x. f x ; f x x.g x 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A
48. f x g x 1 Cách 1: Ta có f x g x x f x g x f x g x x f x g x 1 dx dx ln f x g x ln x C f x g x x Theo giả thiết ta có C ln 1 ln f 1 g 1 C ln 4. 4 f x g x x 4 Suy ra , vì f 1 g 1 4 nên f x g x 4 x f x g x x 4 I f x g x dx 8ln 2 . 1 Cách 2: Ta có f x g x x f x g x f x g x dx x f x g x dx . f x g x dx x f x g x f x g x dx . C x f x g x C f x g x . Vì f 1 g 1 C C 4 x 4 4 Do đó f x g x . Vậy I f x g x dx 8ln 2 . x 1