Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 2: Phương pháp đổi biến (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 2: Phương pháp đổi biến (Có đáp án)

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Câu 1. Cho hàm số f x . Khi đó: x2 1 A. f x dx 2ln 1 x2 C . B. f x dx 3ln 1 x2 C . C. f x dx 4ln 1 x2 C . D. f x dx ln 1 x2 C . 4 Câu 2. Cho hàm số f x x x2 1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) đồ thị hàm số y F x đi qua điểm M 1;6 . Khi đó F(x) là: 2 4 2 5 x 1 2 x 1 15 A. F x . B. F x . 4 5 10 8 2 5 x 1 15 1 5 14 C. F x . D. F x x2 1 . 10 8 10 5 2x Câu 3. Tính dx thu được kết quả là: 1 x2 1 x x A. C . B. C . 1 x 1 x 1 C. C . D. ln 1 x2 C . 1 x 2x 1 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 x 4 A. 2ln x2 x 4 C . B. ln x2 x 4 C . ln x2 x 4 C. C . D. 4ln x2 x 4 C . 2 2 x Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x2 4x 4 1 A. .ln x2 4x 4 C . B. ln x2 4x 4 C . 2 C. 2ln x2 4x 4 C . D. 4ln x2 4x 4 C . 2x Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 4 ln x2 4 A. 2ln x2 4 C B. C 2 C. ln x2 4 C D. 4ln x2 4 C 3x2 Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x3 4 A. 3ln x3 4 C B. 3ln x3 4 C C. ln x3 4 C D. ln x3 4 C
2. x Câu 8. Một nguyên hàm của f (x) là: x2 1 1 1 A. ln x 1 B. 2ln x2 1 C. ln(x2 1) D. ln(x2 1) 2 2 x3 F(x) dx 4 Câu 9. Tính x 1 1 A. F(x) ln x4 1 C B. F(x) ln x4 1 C 4 1 1 C. F(x) ln x4 1 C D. F(x) ln x4 1 C 2 3 sin x Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: cos x 3 A. ln cos x 3 C B. 2ln cos x 3 C ln cos x 3 C. C D. 4ln cos x 3 C 2 sin x Câu 11. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 . Tính F 0 . 1 3cos x 2 1 2 2 A. F 0 ln 2 2 . B. F 0 ln 2 2 . C. F 0 ln 2 2. D. 3 3 3 1 F 0 ln 2 2 . 3 Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: y sin2 x.cos3 x là: 1 1 1 1 A. sin3 x sin5 x C . B. sin3 x sin5 x C . 3 5 3 5 C. sin3 x sin5 x C . D. sin3 x sin5 x C . Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: y sin3 x.cosx là: 1 1 1 A. cos4 x C . B. sin4 x C . C. sin3 x C . D. cos2 x C . 4 4 3 cos x.sin2 x.dx Câu 14. Tính 3sin x sin 3x 3cos x cos3x A. C B. C 12 12 sin3 x C. C D. sinx.cos2 x C 3 1 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f x là: sin x x x A. ln cot C B. ln tan C 2 2 x C. ln tan C D. ln sin x C 2 Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f x tan x là: A. ln cos x C B. ln cos x C tan2 x C. C D. ln cos x C 2
3. 1 2sin2 x Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 2 2sin x 4 1 A. f x dx ln sin x cos x C . B. f x dx ln sin x cos x C . 2 1 C. f x dx ln 1 sin 2x C . D. f x dx ln 1 sin 2x C . 2 ex Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: ex 3 A. ex 3 C B. 3ex 9 C C. 2ln ex 3 C D. ln ex 3 C 2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x2x là: 1 1 x2 ln 2 x2 A. 2 C B. .2 C C. 2 C D. ln 2.2 C ln 2.2x ln 2 2x 2 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2xex là: 2 ex ex A. C . B. C . 2 2 2 C. ex C . D. ex C . 2 x.ex 1dx Câu 21. Tính 2 1 2 A. ex 1 C . B. ex C . 2 1 2 1 2 C. ex 1 C . D. ex 1 C . 2 2 ln x Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . x 1 A. f x dx ln2 x C . B. f x dx ln2 x C . 2 C. f x dx ln x C D. f x dx ex C ln 2x Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x A. ln 2x C . B. ln2 x C . ln2 2x ln x C. C . D. C . 2 2 1 ln x Câu 24. Nguyên hàm dx x 0 bằng x 1 1 A. ln2 x ln x C . B. x ln2 x C . C. ln2 x ln x C . D. x ln2 x C . 2 2 dx Câu 25. Tính F(x) x 2ln x 1 A. F(x) 2 2ln x 1 C B. F(x) 2ln x 1 C 1 1 C. F(x) 2ln x 1 C D. F(x) 2ln x 1 C 4 2 ln x Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x
4. ln2 x ln x A. ln2 x C B. ln x C C. C D. C 2 2 2x Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ln(x2 1) là: x2 1 1 A. ln2 (x2 1) C B. ln(x2 1) C 2 1 1 C. ln2 (x2 1) C D. ln2 (x2 1) C 2 2 dx Câu 28. Tính x.ln x A. ln x C B. ln | x | C C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 5 7 . 2x 1 A. F x 2 2x 1. B. F x 2 2x 1 1. C. F x 2x 1 4 . D. F x 2x 1 10. Câu 30. Họ nguyên hàm x.3 x2 1dx bằng 1 3 3 1 A. .3 (x2 1) C. B. .3 (x2 1) C. C. .3 (x2 1)4 C. D. .3 (x2 1)4 C. 8 8 8 8 1 Câu 31. Biết f x dx 2x ln 3x 1 C với x ; 3 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f 3x dx 2x ln 9x 1 C . B. f 3x dx 6x ln 3x 1 C . C. f 3x dx 6x ln 9x 1 C . D. f 3x dx 3x ln 9x 1 C . PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho f (x)dx F(x) C. Khi đó với a 0, ta có f (a x b)dx bằng: 1 A. F(a x b) C B. a.F(a x b) C 2a 1 C. F(a x b) C D. F(a x b) C a Câu 33. Hàm số f (x) x(1 x)10 có nguyên hàm là: (x 1)12 (x 1)11 (x 1)12 (x 1)11 A. F(x) C . B. F(x) C . 12 11 12 11 (x 1)11 (x 1)10 (x 1)11 (x 1)10 C. C . D. F(x) C . 11 10 11 10 dx Câu 34. Tính thu được kết quả là: (1 x2 )x A. ln x x2 1 C . B. ln x 1 x2 C .
5. x 1 x2 C. ln C . D. .ln 2 C . 1 x2 2 1 x 3 Câu 35. Tính x x 1 dx là : x 1 5 x 1 4 x 1 5 x 1 4 A. C B. C 5 4 5 4 x5 3x4 x2 x5 3x4 x2 C. x3 C D. x3 C 5 4 2 5 4 2 Câu 36. Tìm nguyên hàm x(x2 7)15 dx 1 16 1 16 1 16 1 16 A. x2 7 C . B. x2 7 C . C. x2 7 C . D. x2 7 C 2 32 16 32 . 5 Câu 37. Xét I x3 4x4 3 dx . Bằng cách đặt: u 4x4 3, khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. I u5du . B. I u5du . C. I u5du . D. I u5du . 16 12 4 6 8 7 Câu 38. Cho 2x 3x 2 dx A 3x 2 B 3x 2 C với A , B ¤ và C ¡ . Giá trị của biểu thức 12A 7B bằng 23 241 52 7 A. . B. . C. . D. . 252 252 9 9 a b 2017 1 x 1 x Câu 39. Giả sử x 1 x dx C với a,b là các số nguyên dương. Tính a b 2a b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . x Câu 40. Nguyên hàm của dx là: x2 1 A. ln t C , với t x2 1. B. ln t C , với t x2 1. 1 1 C. ln t C , với t x2 1. D. ln t C , với t x2 1. 2 2 2x Câu 41. Tính dx là: 4 x2 9 1 1 A. 5 C B. 3 C 5 x2 9 3 x2 9 4 1 C. 5 C D. 3 C x2 9 x2 9 7x 1 2017 Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K dx ? 2019 2x 1 2018 2018 2018 1 7x 1 18162 2x 1 7x 1 A. . . B. 2018 . 18162 2x 1 18162 2x 1 18162 2x 1 2018 7x 1 2018 18162 2x 1 2018 7x 1 2018 C. . D. . 18162 2x 1 2018 18162 2x 1 2018 1 Câu 43. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm dx bằng: x2 1
6. 1 1 A. t 2 C . B. t C . C. t 2 C . D. t C . 2 2 2x 3 dx 1 Câu 44. Giả sử C (C là hằng số). x x 1 x 2 x 3 1 g x Tính tổng các nghiệm của phương trình g x 0 . A. 1. B. 1. C. 3 . D. 3 . HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 2 1 A. f x dx x 2x 3 C . B. f x dx 2x 3 2x 3 C . 3 3 2 C. f x dx 2x 3 2x 3 C . D. f x dx 2x 3 C . 3 Câu 46. Hàm số F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y 3 x 1 ? 3 4 F x x 1 3 C 4 4 A. 8 . B. F x 3 x 1 C . 3 3 3 3 C. F x x 1 3 x 1 C . D. F x 4 x 1 C . 4 4 Câu 47. Tìm hàm số F x biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x x và F 1 1. 2 2 1 A. F x x x . B. F x x x . 3 3 3 1 1 2 5 C. F x . D. F x x x . 2 x2 2 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . 2 2x 1 1 A. f x dx 2x 1 C . B. f x dx 2x 1 C . 2 1 C. f x dx 2 2x 1 C . D. f x dx C . 2x 1 2x 1 Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) x 1 x2 là: 1 3 1 2 A. F(x) 1 x2 B. F(x) 1 x2 3 3 x2 2 1 2 C. F(x) 1 x2 D. F(x) 1 x2 2 2 Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x x2 1 là: 2 3 3 A. x2 1 C B. 2 x2 1 C 3 3 1 3 C. x2 1 C D. x2 1 C 3 Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 x2 là: 1 3 3 A. 1 x2 C B. 1 x2 C 3
7. 3 2 3 C. 2 1 x2 C D. 1 x2 C 3 Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x 3 3x 1 là: 1 7 1 5 1 6 1 4 A. 3 3x 1 3 3x 1 C . B. 3 3x 1 3 3x 1 C . 21 15 18 12 1 3 1 4 1 C. 3 3x 1 3 3x 1 C . D. 3 3x 1 3 3x 1 C . 9 12 3 Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 3 1 2x là: 33 1 2x 3 33 1 2x 6 33 1 2x 4 33 1 2x 7 A. C B. C 6 12 8 14 33 1 2x 3 33 1 2x 6 33 1 2x 4 33 1 2x 7 C. C D. C 6 12 8 14 Câu 54. Cho I x3 x2 5dx , đặt u x2 5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I (u4 5u2 )du. B. I u2du. C. I (u4 5u3 )du. D. I (u4 5u3 )du. 4 Câu 55. Cho I x 1 2x dx và u 2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1 3 3 A. I x2 x2 1 dx . B. I u2 u2 1 du . 2 1 1 3 5 3 3 1 u u 1 2 2 C. I . D. I u u 1 du . 2 5 3 2 1 1 x 3 Câu 56. Khi tính nguyên hàm dx , bằng cách đặt u x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. 2u u2 4 du . B. u2 4 du . C. 2 u2 4 du . D. u2 3 du . x Câu 57. Cho f (x) 2 x2 1 5 , biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa x2 1 3 F 0 6 . Tính F . 4 125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 5 dx Câu 58. Tính tích phân: I được kết quả I a ln 3 bln 5. Tổng a b là 1 x 3x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 1. x3 Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f x là: 1 x2 1 1 A. x2 2 1 x2 C B. x2 1 1 x2 C 3 3 1 1 C. x2 1 1 x2 C D. x2 2 1 x2 C 3 3 2x Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 1
8. 1 A. x2 1 C B. C 2 x2 1 C. 2 x2 1 C D. 4 x2 1 C 4x Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: 4 x2 A. 2 4 x2 C . B. 4 4 x2 C . 4 x2 C. C . D. 4 4 x2 C . 2 1 Câu 62. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm I dx bằng: 2 x 2x 3 A. sin t C . B. t C . C. cost C . D. t C . 3 20x2 30x 7 Câu 63. Biết rằng trên khoảng ; , hàm số f x có một nguyên hàm 2 2x 3 F x ax2 bx c 2x 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . 1 1 3 a 1 1 3 b 3 Câu 64. x3 x 1 dx có dạng x4 x x 1 C , trong đó a, b 2 x 2 4 x 2 3 là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. a,b  D. 1; 2 . dx T n 1 n xn 1 Câu 65. Tìm ? 1 1 1 n 1 n A. T n 1 C B. T n 1 C x x 1 1 C. T xn 1 n C D. T xn 1 n C . 1 2 x Câu 66. Tìm R dx ? x2 2 x tan 2t 1 1 sin 2t 1 x A. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x B. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x C. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x D. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t cos x,u sin x , nguyên hàm của I tan x cot x dx là: A. ln t ln u C . B. ln t ln u C . C. ln t ln u C . D. ln t ln u C .
9. F Câu 68. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin3 x.cos x và F 0 . Tính 2 . F 2 1 1 A. . B. F . C. F . D. F . 2 2 4 2 4 sin 2x Câu 69. Tìm nguyên hàm dx . Kết quả là 2 1 sin x 1 sin2 x A. C . B. 1 sin2 x C . C. 1 sin2 x C . D. 2 1 sin2 x C . 2 2 3 Câu 70. Nguyên hàm F x của hàm số f x sin 2x.cos 2x thỏa F 0 là 4 1 1 1 1 1 1 A. F x sin3 2x sin5 2x . B. F x sin3 2x sin5 2x . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4 C. F x sin3 2x sin5 2x . D. F x sin3 2x sin5 2x . 6 10 15 6 10 15 Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan5 x . 1 1 A. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 B. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 C. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 D. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 2sin x 2cos x Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm của I dx là: 3 1 sin 2x A. 2 3 t C . B. 6 3 t C . C. 33 t C . D. 12 3 t C . HÀM MŨ –LÔGARIT 3 Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x2ex 1 5 3 1 1 4 2 x3 1 A. t 2t dt t t ln t C . B. f x dx 3e C . t 4 3 1 3 x 3 C. f x dx ex 1 C . D. f x dx ex 1 C . 3 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I . 1 ex A. I x ln 1 ex C . B. I x ln 1 ex C . C. I x ln 1 ex C . D. I x ln 1 ex C . 1 Câu 75. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x x thỏa mãn F 0 10 . Tìm F x 2e 3 . 1 ln 5 1 A. F x x ln 2ex 3 10 . B. F x x 10 ln 2ex 3 . 3 3 3
10. 1 x 3 C. F x x ln e 10 ln 5 ln 2 . D. 3 2 1 x 3 ln 5 ln 2 F x x ln e 10 . 3 2 3 ln 2x Câu 76. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm dx bằng: x 1 A. t 2 C . B. t 2 C . C. 2t 2 C . D. 4t 2 C . 2 Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y 2sin x.2cos x cos x sin x ? sin x cos x 2sin x.2cos x A. y 2 C . B. y . C. y ln 2.2sin x cos x . D. ln 2 2sin x cos x y C . ln 2 ln 2 Câu 78. Cho hàm số f (x) 2 x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. F(x) 2 x C . B. F(x) 2 2 x 1 C . C. F(x) 2 2 x 1 C . D. F(x) 2 x 1 C . 1 ln x Câu 79. Nguyên hàm của f x là x.ln x 1 ln x 1 ln x A. dx ln ln x C . B. dx ln x2.ln x C . x.ln x x.ln x 1 ln x 1 ln x C. dx ln x ln x C . D. dx ln x.ln x C . x.ln x x.ln x 2 a 2 b Câu 80. x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx có dạng e x 1 sin 2x C , trong đó a, b là hai số 6 2 hữu tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. ex 3x 2 x 1 Câu 81. Tìm I dx ? x x 1 e . x 1 1 A. I x ln ex . x 1 1 C . B. I x ln ex . x 1 1 C . C. I ln ex . x 1 1 C . D. I ln ex . x 1 1 C . x ln 1 x2 2017x Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ? x2 1 ln e.x2 e 2 2 A. ln x 1 1008ln ln x 1 1 . 2 2 B. ln x 1 2016ln ln x 1 1 . 1 C. ln x2 1 2016ln ln x2 1 1 . 2 1 D. ln x2 1 1008ln ln x2 1 1 . 2
11. 2x2 1 2ln x .x ln2 x Câu 83. Tìm G dx ? 2 x2 x ln x 1 1 1 1 A. G C . B. G C . x x ln x x x ln x 1 1 1 1 C. G C . D. G C . x x ln x x x ln x 1 ln x Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h x ? x1 n .ln x. xn lnn x 1 1 1 1 A. ln x ln xn lnn x 2016 . B. ln x ln xn lnn x 2016 . n n n n 1 1 1 1 C. ln x ln xn lnn x 2016 . D. ln x ln xn lnn x 2016 . n n n n
12. HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Câu 1. Cho hàm số f x . Khi đó: x2 1 A. f x dx 2ln 1 x2 C . B. f x dx 3ln 1 x2 C . C. f x dx 4ln 1 x2 C .D. f x dx ln 1 x2 C . Hướng dẫn giải 2 2x.dx d x 1 Ta có: ln x2 1 C . x2 1 x2 1 Chọn D 4 Câu 2. Cho hàm số f x x x2 1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) đồ thị hàm số y F x đi qua điểm M 1;6 . Khi đó F(x) là: 2 4 2 5 x 1 2 x 1 15 A. F x . B. F x . 4 5 10 8 2 5 x 1 15 1 5 14 C. F x . D. F x x2 1 . 10 8 10 5 Hướng dẫn giải 4 1 4 1 5 Ta có F x x x2 1 dx x2 1 d x2 1 x2 1 C 2 10 1 5 14 1 5 14 M 1;6 (C) : y F(x) 6 1 1 C C F x x2 1 10 5 10 5 Chọn D 2x Câu 3. Tính dx thu được kết quả là: 1 x2 1 x x A. C .B. C . 1 x 1 x 1 C. C .D. ln 1 x2 C . 1 x Hướng dẫn giải 2 2x.dx d 1 x Ta có: ln 1 x2 C . 1 x2 1 x2 Chọn D 2x 1 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 x 4 A. 2ln x2 x 4 C .B. ln x2 x 4 C . ln x2 x 4 C. C .D. 4ln x2 x 4 C . 2 Hướng dẫn giải 2 2x 1 d x x 4 Ta có: dx ln x2 x 4 C . x2 x 4 x2 x 4 Chọn B 2 x Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x2 4x 4
13. 1 A. .ln x2 4x 4 C .B. ln x2 4x 4 C . 2 C. 2ln x2 4x 4 C .D. 4ln x2 4x 4 C . Hướng dẫn giải 2 x 2 1 d x 4x 4 1 Ta có: dx . .ln x2 4x 4 C . x2 4x 4 2 x2 4x 4 2 Chọn A 2x Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 4 ln x2 4 A. 2ln x2 4 C B. C 2 C. ln x2 4 C D. 4ln x2 4 C Hướng dẫn giải 2 2x d x 4 Ta có: ln x2 4 C x2 4 x2 4 Chọn C 3x2 Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x3 4 A. 3ln x3 4 C B. 3ln x3 4 C C. ln x3 4 C D. ln x3 4 C Hướng dẫn giải 3 3x2.dx d x 4 Ta có: ln x3 4 C x3 4 x3 4 Chọn C x Câu 8. Một nguyên hàm của f (x) là: x2 1 1 1 A. ln x 1 B. 2ln x2 1 C. ln(x2 1) D. ln(x2 1) 2 2 Hướng dẫn giải d x2 1 x.dx 1 1 2 Ta có: 2 2 ln x 1 x 1 2 x 1 2 Chọn C x3 Câu 9. Tính F(x) dx x4 1 1 A. F(x) ln x4 1 C B. F(x) ln x4 1 C 4 1 1 C. F(x) ln x4 1 C D. F(x) ln x4 1 C 2 3 x3 1 d(x4 1) 1 Ta có: dx ln x4 1 C x4 1 4 x4 1 4 Hướng dẫn giải x3 1 d(x4 1) 1 Ta có: dx ln x4 1 C x4 1 4 x4 1 4 Chọn B sin x Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: cos x 3
14. A. ln cos x 3 C B. 2ln cos x 3 C ln cos x 3 C. C D. 4ln cos x 3 C 2 Hướng dẫn giải sin x d cos x 3 Ta có: dx ln cos x 3 C cos x 3 cos x 3 Chọn A sin x Câu 11. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 . Tính F 0 . 1 3cos x 2 1 2 2 A. F 0 ln 2 2 .B. F 0 ln 2 2 .C. F 0 ln 2 2.D. 3 3 3 1 F 0 ln 2 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B sin x 1 d 1 3cos x 1 Ta có: dx ln 1 3cos x C . 1 3cos x 3 1 3cos x 3 2 Do F 2 C 2 F 0 ln 2 2 . 2 3 Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: y sin2 x.cos3 x là: 1 1 1 1 A. sin3 x sin5 x C .B. sin3 x sin5 x C . 3 5 3 5 C. sin3 x sin5 x C .D. sin3 x sin5 x C . Hướng dẫn giải Ta có: sin2 x.cos3 .dx sin2 x sin4 x .cos x.dx sin3 x sin5 x sin2 x sin4 x .d sin x C . 3 5 Chọn A Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: y sin3 x.cosx là: 1 1 1 A. cos4 x C .B. sin4 x C .C. sin3 x C . D. cos2 x C . 4 4 3 Hướng dẫn giải sin4 x Ta có: sin3 x.cos x.dx sin3 x.d sin x C . 4 Chọn B cos x.sin2 x.dx Câu 14. Tính 3sin x sin 3x 3cos x cos3x A. C B. C 12 12 sin3 x C. C D. sinx.cos2 x C 3 Hướng dẫn giải sin3 x Ta có: cos x.sin2 x.dx sin2 x.d sin x C 3 Chọn C 1 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f x là: sin x
15. x x A. ln cot C B. ln tan C 2 2 x C. ln tan C D. ln sin x C 2 Hướng dẫn giải dx sin x.dx sin x.dx d cos x 1 cos x 1 Ta có: ln C sin x 1 cos2 x cos2 x 1 cos2 x 1 2 cos x 1 Chọn B Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f x tan x là: A. ln cos x C B. ln cos x C tan2 x C. C D. ln cos x C 2 Hướng dẫn giải sin x.dx d cosx Ta có: tan x.dx ln cos x C cos x cos x Chọn B 1 2sin2 x Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 2 2sin x 4 1 A. f x dx ln sin x cos x C .B. f x dx ln sin x cos x C . 2 1 C. f x dx ln 1 sin 2x C .D. f x dx ln 1 sin 2x C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Áp dụng công thức 1 2sin2 x cos 2x cos2 x sin2 x và 2sin2 x sin x cos x 4 cos x sin x Hàm số được rút gọn thành f x sin x cos x d sin x cos x Nguyên hàm f x dx = ln sin x cos x C sin x cos x ex Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: ex 3 A. ex 3 C B. 3ex 9 C C. 2ln ex 3 C D. ln ex 3 C Hướng dẫn giải x ex d e 3 Ta có: dx ln ex 3 C ex 3 ex 3 Chọn D 2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x2x là: 1 1 x2 ln 2 x2 A. 2 C B. .2 C C. 2 C D. ln 2.2 C ln 2.2x ln 2 2x Hướng dẫn giải 2 1 2 1 2 1 2 Ta có: 2x.2x dx 2x.2x .ln 2 d 2x .2x C ln 2 ln 2 ln 2 Chọn B
16. 2 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2xex là: 2 ex ex A. C .B. C . 2 2 2 C. ex C .D. ex C . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: 2x.ex dx d ex ex C . Chọn D 2 x.ex 1dx Câu 21. Tính 2 1 2 A. ex 1 C .B. ex C . 2 1 2 1 2 C. ex 1 C .D. ex 1 C . 2 2 Hướng dẫn giải 2 1 2 1 2 Ta có: I xex 1dx d(ex 1) ex 1 C . 2 2 Chọn C ln x Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . x 1 A. f x dx ln2 x C .B. f x dx ln2 x C . 2 C. f x dx ln x C D. f x dx ex C Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f x dx ln xd ln x ln2 x C . 2 ln 2x Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x A. ln 2x C .B. ln2 x C . ln2 2x ln x C. C .D. C . 2 2 Hướng dẫn giải ln 2x ln2 2x Ta có: dx ln 2x.d ln 2x C . x 2 Chọn C 1 ln x Câu 24. Nguyên hàm dx x 0 bằng x 1 1 A. ln2 x ln x C .B. x ln2 x C .C. ln2 x ln x C . D. x ln2 x C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 ln x 1 ln x 1 1 Ta có dx dx dx dx ln xd ln x ln x ln2 x C . x x x x 2 dx F(x) Câu 25. Tính x 2ln x 1 A. F(x) 2 2ln x 1 C B. F(x) 2ln x 1 C
17. 1 1 C. F(x) 2ln x 1 C D. F(x) 2ln x 1 C 4 2 Hướng dẫn giải Ta có: F(x) d( 2ln x 1) 2ln x 1 C . Chọn B ln x Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x ln2 x ln x A. ln2 x C B. ln x C C. C D. C 2 2 Hướng dẫn giải ln x ln2 x Ta có: dx ln x.d lnx C x 2 Chọn C 2x Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ln(x2 1) là: x2 1 1 A. ln2 (x2 1) C B. ln(x2 1) C 2 1 1 C. ln2 (x2 1) C D. ln2 (x2 1) C 2 2 Hướng dẫn giải 2x 1 Ta có: ln(x2 1)dx ln(x2 1)d(ln(x2 1)) ln2 (x2 1) C x2 1 2 Chọn D dx Câu 28. Tính x.ln x A. ln x C B. ln | x | C C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C Hướng dẫn giải dx d ln x Ta có: ln ln x C x.ln x ln x Chọn D 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 5 7 . 2x 1 A. F x 2 2x 1. B. F x 2 2x 1 1. C. F x 2x 1 4 . D. F x 2x 1 10. Hướng dẫn giải Chọn B 2 d 2x 1 Ta có dx 2 2 2x 1 C ; 2x 1 2 2x 1 Do F 5 7 nên 6 C 7 C 1. Câu 30. Họ nguyên hàm x.3 x2 1dx bằng 1 3 3 1 A. .3 (x2 1) C. B. .3 (x2 1) C. C. .3 (x2 1)4 C. D. .3 (x2 1)4 C. 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Chọn C 1 4 1 3 3 4 Ta có x.3 x2 1dx x2 1 3 d x2 1 x2 1 3 C 3 x2 1 C . 2 8 8
18. 1 Câu 31. Biết f x dx 2x ln 3x 1 C với x ; 3 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f 3x dx 2x ln 9x 1 C .B. f 3x dx 6x ln 3x 1 C . C. f 3x dx 6x ln 9x 1 C .D. f 3x dx 3x ln 9x 1 C . Lởi giải Chọn A Cách 1: 1 1 f x dx 2x ln 3x 1 C f 3x dx f 3x d 3x 2. 3x ln 3.3x 1 C 3 3 2x ln 9x 1 C Cách 2: 6x Ta có f x dx 2x ln 3x 1 C f x 2x ln 3x 1 C 2ln 3x 1 . 3x 1 18x Khi đó f 3x 2ln 9x 1 . 9x 1 18x 2 f 3x dx 2ln 9x 1 dx 2 ln 9x 1 dx 2 dx 9x 1 9x 1 2 2 9x 1 ln 9x 1 9x 2x ln 9x 1 C 2ln 9x 1 C . 9 9
19. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu f x dx F x C thì f u x .u ' x dx F u x C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích f x g u x u ' x thì ta thực hiện phép đổi biến số t u x , suy ra dt u ' x dx . Khi đó ta được nguyên hàm: g t dt G t C G u x C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho f (x)dx F(x) C. Khi đó với a 0, ta có f (a x b)dx bằng: 1 A. F(a x b) C B. a.F(a x b) C 2a 1 C. F(a x b) C D. F(a x b) C a Hướng dẫn giải Ta có: I f ax b dx 1 Đặt: t ax b dt adx dt dx . a 1 1 Khi đó: I f t dt F t C a a 1 Suy ra: I F ax b C a Chọn C Câu 33. Hàm số f (x) x(1 x)10 có nguyên hàm là: (x 1)12 (x 1)11 (x 1)12 (x 1)11 A. F(x) C .B. F(x) C . 12 11 12 11 (x 1)11 (x 1)10 (x 1)11 (x 1)10 C. C .D. F(x) C . 11 10 11 10 Hướng dẫn giải 10 Ta có: I x. 1 x .dx . Đăt: t 1 x dt dx, x 1 t . 1 1 Khi đó I t 1 .t10.dt (t11 t10 ).dt t12 t11 c 12 11 1 12 1 11 Suy ra I 1 x 1 x C . 12 11 Chọn A dx Câu 34. Tính thu được kết quả là: (1 x2 )x A. ln x x2 1 C . B. ln x 1 x2 C . x 1 x2 C. ln C .D. .ln 2 C . 1 x2 2 1 x Hướng dẫn giải
20. dx xdx 1 Ta có: . Đặt: t 1 x2 dt x.dx, x2 t 1. (1 x2 )x (1 x2 )x2 2 1 1 1 t 1 1 x2 Khi đó: I . dt .ln C I ln C. 2 t. t 1 2 t 2 1 x2 Chọn D x x 1 3 dx Câu 35. Tính là : x 1 5 x 1 4 x 1 5 x 1 4 A. C B. C 5 4 5 4 x5 3x4 x2 x5 3x4 x2 C. x3 C D. x3 C 5 4 2 5 4 2 Hướng dẫn giải 3 Ta có: I x x 1 dx Đặt: t x 1 dt dx, x t 1 5 4 3 4 3 t t Khi đó: I t 1 .t .dt t t dt C 5 4 x 1 5 x 1 4 Suy ra: I C 5 4 Chọn B Câu 36. Tìm nguyên hàm x(x2 7)15 dx 1 16 1 16 1 16 1 16 A. x2 7 C .B. x2 7 C . C. x2 7 C .D. x2 7 C 2 32 16 32 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t x2 7 dt 2xdx xdx dt 2 16 1 1 t 1 16 Ta có x(x2 7)15 dx t15dt . C x2 7 C . 2 2 16 32 5 Câu 37. Xét I x3 4x4 3 dx . Bằng cách đặt: u 4x4 3, khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. I u5du .B. I u5du . C. I u5du .D. I u5du . 16 12 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 u 4x4 3 du 16x3dx du x3dx . 16 1 I u5du . 16 6 8 7 Câu 38. Cho 2x 3x 2 dx A 3x 2 B 3x 2 C với A , B ¤ và C ¡ . Giá trị của biểu thức 12A 7B bằng 23 241 52 7 A. .B. .C. . D. . 252 252 9 9 Hướng dẫn giải Chọn D t 2 1 Đặt t 3x 2 x dt dx . 3 3
21. 8 7 2 t 2 2 2 t 4 t 1 8 4 7 Ta có: .t 6dt t 7 +2t 6 dt . . C . 3x 2 . 3x 2 C . 3 3 9 9 8 9 7 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A , B , 12. 7. . 36 63 36 63 9 a b 2017 1 x 1 x Câu 39. Giả sử x 1 x dx C với a,b là các số nguyên dương. Tính 2a b a b bằng: A. 2017 .B. 2018 . C. 2019 .D. 2020 . Hướng dẫn giải Tacó: 2018 2019 2017 2017 2017 2018 1 x 1 x x 1 x dx x 1 1 1 x dx 1 x 1 x dx C 2018 2019 Vậy a 2019,b 2018 2a b 2020 . Chọn D x Câu 40. Nguyên hàm của dx là: x2 1 A. ln t C , với t x2 1. B. ln t C , với t x2 1. 1 1 C. ln t C , với t x2 1.D. ln t C , với t x2 1. 2 2 Hướng dẫn giải Đặt t x2 1 dt 2xdx . x 1 1 1 dx dt ln t C . x2 1 2 t 2 Chọn C 2x dx 4 x2 9 Câu 41. Tính là: 1 1 A. 5 C B. 3 C 5 x2 9 3 x2 9 4 1 C. 5 C D. 3 C x2 9 x2 9 Hướng dẫn giải 2x Ta có: I dx 4 x2 9 Đặt: t x2 9 dt 2x.dx dt 1 Khi đó: I t 4.dt C t 4 3t3 1 Suy ra: I C 3 x2 9 Chọn B 7x 1 2017 Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K dx ? 2019 2x 1 2018 2018 2018 1 7x 1 18162 2x 1 7x 1 A. . .B. 2018 . 18162 2x 1 18162 2x 1
22. 18162 2x 1 2018 7x 1 2018 18162 2x 1 2018 7x 1 2018 C. .D. . 18162 2x 1 2018 18162 2x 1 2018 Hướng dẫn giải 2017 2017 7x 1 7x 1 1 Ta có: K dx . dx 2019 2 2x 1 2x 1 2x 1 7x 1 9 dt 1 Đặt t dt dx dx 2x 1 2x 1 2 9 98x 1 2 2018 2018 1 2017 t 1 7x 1 K t dt C . C 9 18162 18162 2x 1 Chọn D 1 Câu 43. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm dx bằng: x2 1 1 1 A. t 2 C .B. t C .C. t 2 C .D. t C . 2 2 Hướng dẫn giải 1 Ta đặt: x tan t,t ; dx 2 dt . 2 2 cos t 1 dx dt t C . x2 1 Chọn D 2x 3 dx 1 Câu 44. Giả sử C (C là hằng số). x x 1 x 2 x 3 1 g x Tính tổng các nghiệm của phương trình g x 0 . A. 1.B. 1. C. 3 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 2 Ta có x x 1 x 2 x 3 1 x 3x x 3x 2 1 x 3x 1 . Đặt t x2 3x , khi đó dt 2x 3 dx . dt 1 Tích phân ban đầu trở thành C . 2 t 1 t 1 2x 3 dx 1 Trở lại biến x , ta có C . x x 1 x 2 x 3 1 x2 3x 1 Vậy g x x2 3x 1. 3 5 3 5 g x 0 x2 3x 1 0 x hoặc x . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 .
23. HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 2 1 A. f x dx x 2x 3 C .B. f x dx 2x 3 2x 3 C . 3 3 2 C. f x dx 2x 3 2x 3 C .D. f x dx 2x 3 C . 3 Hướng dẫn giải Chọn B Xét I 2x 3 dx . Đặt 2x 3 t t 2 2x 3 2tdt 2dx . 1 1 3 1 I t.tdt t2 dt t3 C 2x 3 C f x dx 2x 3 2x 3 C . 3 3 3 Câu 46. Hàm số F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y 3 x 1 ? 3 4 F x x 1 3 C 4 4 A. 8 .B. F x 3 x 1 C . 3 3 3 3 C. F x x 1 3 x 1 C .D. F x 4 x 1 C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I 3 x 1dx . Đặt: t 3 x 1 t3 x 1 3t 2dt dx . 3 3 4 3 I t.3t 2dt 3t3dt t 4 C 3 x 1 C x 1 3 x 1 C . 4 4 4 3 Vậy F x x 1 3 x 1 C . 4 F x F x f x x F 1 1 Câu 47. Tìm hàm số biết là một nguyên hàm của hàm số và . 2 2 1 A. F x x x .B. F x x x . 3 3 3 1 1 2 5 C. F x .D. F x x x . 2 x2 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: F x x dx 2 2 Đặt t x suy ra t 2 x và dx 2dt . Khi đó I t.2tdt t3 C I x x C . 3 3 1 2 1 Vì F 1 1 nên C .Vậy F x x x . 3 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . 2 2x 1 1 A. f x dx 2x 1 C .B. f x dx 2x 1 C . 2 1 C. f x dx 2 2x 1 C .D. f x dx C . 2x 1 2x 1
24. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2x 1 t 2x 1 t 2 dx tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có 2x 1dx dt t C 2x 1 C . 2 2 t 2 2 2 Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) x 1 x2 là: 1 3 1 2 A. F(x) 1 x2 B. F(x) 1 x2 3 3 x2 2 1 2 C. F(x) 1 x2 D. F(x) 1 x2 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: I x 1 x2 dx t3 Đặt: t 1 x2 t 2 1 x2 t.dt x.dx Khi đó: I t.t.dt t 2dt C 3 1 3 Suy ra: I 1 x2 C 3 Chọn A Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x x2 1 là: 2 3 3 A. x2 1 C B. 2 x2 1 C 3 3 1 3 C. x2 1 C D. x2 1 C 3 Hướng dẫn giải Ta có: I 2x x2 1dx Đặt: t x2 1 t 2 x2 1 2tdt 2xdx . 2t3 Khi đó: I t.2t.dt 2t 2.dt C 3 2 3 Suy ra: I x2 1 C . 3 Chọn A Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 x2 là: 1 3 3 A. 1 x2 C B. 1 x2 C 3 3 2 3 C. 2 1 x2 C D. 1 x2 C 3 Hướng dẫn giải Ta có: I 2x 1 x2 dx Đặt: t 1 x2 t 2 1 x2 2tdt 2xdx . 2t3 Khi đó: I t. 2t .dt 2t 2.dt K 3 2 3 Suy ra: I 1 x2 C . 3 Chọn D Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x 3 3x 1 là:
25. 1 7 1 5 1 6 1 4 A. 3 3x 1 3 3x 1 C .B. 3 3x 1 3 3x 1 C . 21 15 18 12 1 3 1 4 1 C. 3 3x 1 3 3x 1 C .D. 3 3x 1 3 3x 1 C . 9 12 3 Hướng dẫn giải Ta có: I x 3 3x 1dx . Đặt: t 3 3x 1 t3 3x 1 t 2.dt dx 3 7 5 t 1 2 1 6 4 1 t t Khi đó: I .t.t .dt t t dt C 3 3 3 7 5 1 1 7 1 5 Suy ra I 3 3x 1 3 3x 1 C . 3 7 5 Chọn A Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 3 1 2x là: 33 1 2x 3 33 1 2x 6 33 1 2x 4 33 1 2x 7 A. C B. C 6 12 8 14 33 1 2x 3 33 1 2x 6 33 1 2x 4 33 1 2x 7 C. C D. C 6 12 8 14 Hướng dẫn giải Ta có: I 2x 3 1 2xdx 3 Đặt: t 3 1 2x t3 1 2x t 2.dt dx . 2 Mặt khác: 2x 1 t3 4 7 3 3 2 3 3 6 3 t t Khi đó: I (1 t )t t .dt (t t )dt C 2 2 2 4 7 4 7 3 3 1 2x 3 1 2x Suy ra: I C . 2 4 7 Chọn B Câu 54. Cho I x3 x2 5dx , đặt u x2 5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I (u4 5u2 )du. B. I u2du. C. I (u4 5u3 )du. D. I (u4 5u3 )du. Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt u x2 5 u2 x2 5 udu xdx Khi đó: I x3 x2 5dx x2.x. x2 5dx u2 5 .u.udu u4 5u2 du 4 Câu 55. Cho I x 1 2x dx và u 2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1 3 3 A. I x2 x2 1 dx .B. I u2 u2 1 du . 2 1 1 3 5 3 3 1 u u 1 2 2 C. I .D. I u u 1 du . 2 5 3 2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B
26. 4 I x 1 2xdx 0 1 Đặt u 2x 1 x u2 1 dx u du , đổi cận: x 0 u 1, x 4 u 3. 2 1 3 Khi đó I u2 1 u2du . 2 1 x 3 Câu 56. Khi tính nguyên hàm dx , bằng cách đặt u x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. 2u u2 4 du .B. u2 4 du .C. 2 u2 4 du .D. u2 3 du . Hướng dẫn giải Chọn C dx 2udu Đặt u x 1 , u 0 nên u2 x 1 . 2 x u 1 x 3 u2 1 3 Khi đó dx .2udu 2 u2 4 du . x 1 u x Câu 57. Cho f (x) 2 x2 1 5 , biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa x2 1 3 F 0 6 . Tính F . 4 125 126 123 127 A. .B. .C. .D. . 16 16 16 16 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x2 1 tdt xdx . x f (x)dx 2 x2 1 5 dx 2t 5 dt t 2 5t C x2 1 5 x2 1 C . 2 x 1 F(0) 6 C 0 . 3 125 Vậy F . 4 16 5 dx Câu 58. Tính tích phân: I được kết quả I a ln 3 bln 5. Tổng a b là 1 x 3x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1.D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 5 dx I 1 x 3x 1 u2 1 1 Đặt u 3x 1 x dx 2udu 3 3 Đổi cận: x 1 u 2 x 5 u 4 4 2 4 u 1 u 1 u 1 4 3 1 Vậy I du du ln ln ln 2ln 3 ln 5 2 2 u 1 2 u 1 u 1 u 1 2 5 3 Do đó a 2; b 1 a b 1. x3 Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f x là: 1 x2
27. 1 1 A. x2 2 1 x2 C B. x2 1 1 x2 C 3 3 1 1 C. x2 1 1 x2 C D. x2 2 1 x2 C 3 3 Hướng dẫn giải x3 Ta có : I dx 2 1 x Đặt t 1 x2 t 2 1 x2 tdt xdx (1 t 2 ) t3 Khi đó: I tdt (t 2 1)dt t C . t 3 ( 1 x2 )3 1 Thay t 1 x2 ta được I 1 x2 C x2 2 1 x2 C . 3 3 Chọn D 2x Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: x2 1 1 A. x2 1 C B. C 2 x2 1 C. 2 x2 1 C D. 4 x2 1 C Hướng dẫn giải 2x Ta có: I dx 2 x 1 Đặt: t x2 1 t 2 x2 1 2t.dt 2x.dx . 2t.dt Khi đó: I 2t C t Suy ra: I 2 x2 1 C . Chọn C 4x Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là: 4 x2 A. 2 4 x2 C .B. 4 4 x2 C . 4 x2 C. C .D. 4 4 x2 C . 2 Hướng dẫn giải 4x Ta có: I dx . Đặt: t 4 x2 t 2 4 x2 4tdt 4xdx . 2 4 x 4tdt Khi đó: I 4t C I 4 4 x2 C . t Chọn D 1 Câu 62. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm I dx bằng: 2 x 2x 3 A. sin t C .B. t C .C. cost C .D. t C . Hướng dẫn giải 1 Ta biến đổi: I dx . 2 4 x 1 Đặt x 1 2sin t,t , dx 2costdt . 2 2
28. I dt t C . Chọn D 3 20x2 30x 7 Câu 63. Biết rằng trên khoảng ; , hàm số f x có một nguyên hàm 2 2x 3 F x ax2 bx c 2x 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 4 .B. 3 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t 2x 3 t 2 2x 3 dx tdt 2 t 2 3 t 2 3 20 30 7 20x2 30x 7 2 2 Khi đó dx tdt 5t 4 15t 2 7 dt 2x 3 t t5 5t3 7t C 2x 3 5 5 2x 3 3 7 2x 3 C 2x 3 2 2x 3 5 2x 3 2x 3 7 2x 3 C 4x2 2x 1 2x 3 C Vậy F x 4x2 2x 1 2x 3 . Suy ra S a b c 3. 1 1 3 a 1 1 3 b 3 Câu 64. x3 x 1 dx có dạng x4 x x 1 C , trong đó a, b 2 x 2 4 x 2 3 là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1.B. 1; 1.C. a,b  D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1: 1 1 3 Theo đề, ta cần tìm x3 x 1 dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 2 x 2 Ta có: 1 1 3 1 1 3 x3 x 1 dx x3 dx x 1dx . 2 2 x 2 x 2 1 1 3 Để tìm 2x x2 1 x ln x dx ta đặt I x3 dx và I x 1dx và tìm 1 2 2 x 2 I1, I2 . 1 1 3 *Tìm I x3 dx . 1 2 x 2 1 1 3 1 1 1 3 I x3 dx x4 x C , trong đó C là 1 hằng số. 1 2 1 1 x 2 4 x 2 *Tìm I x 1dx . 2 Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t x 1,t 0 ta được t 2 x 1, 2tdt dx . 2 2 3 Suy ra I x 1dx 2t 2dt t3 C x 1 C . 2 3 2 3 2 1 1 3 1 1 1 3 2 3 1 1 1 3 2 3 x3 x 1 dx I I x4 x C x 1 C x4 x x 1 C. 2 1 2 1 2 x 2 4 x 2 3 4 x 2 3
29. 1 1 3 a 1 1 3 b 3 Suy ra để x3 x 1 dx có dạng x4 x x 1 C thì 2 x 2 4 x 2 3 a 1 ¤ , b 2 ¤ . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a 1 1 3 b 3 Ta thay giá trị của a, b ở các đáp án vào x4 x x 1 C . Sau đó, với 4 x 2 3 a 3 b 1 mỗi a, b ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của x2 1 x2 ln x x2 C . 3 2 4 Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự b, a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I x 1dx . 2 Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t x 1,t 0 ta được t 2 x 1, tdt dx . 1 1 3 Suy ra I x 1dx t 2dt t3 C x 1 C . 2 3 2 3 2 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 x3 x 1 dx I I x4 x C x 1 C x4 x x 1 C. 2 1 2 1 2 x 2 4 x 2 3 4 x 2 3 1 1 3 a 1 1 3 b 3 Suy ra để x3 x 1 dx có dạng x4 x x 1 C thì 2 x 2 4 x 2 3 a 1 ¤ , b 1 ¤ . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I x 1dx . 2 1 I x 1dx C . 2 2 x 1 2 1 1 3 Suy ra x3 x 1 dx không thể có dạng 2 x 2 a 1 1 3 b 3 x4 x x 1 C , với a, b ¤ . 4 x 2 3 Nên không tồn tại a,b thỏa yêu cầu bài toán. Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. dx T n 1 n xn 1 Câu 65. Tìm ? 1 1 1 n 1 n A. T n 1 C B. T n 1 C x x 1 1 C. T xn 1 n C D. T xn 1 n C . Hướng dẫn giải
30. 1 n 1 1 n dx dx x n 1 1 Ta có: T 1 dx x n 1 dx n 1 n 1 1 n n x x 1 n 1 1 1 n x .n 1 n n 1 x x 1 n Đặt: t 1 dt nx n 1 xn xn 1 1 1 1 1 n 1 n n 1 T t dt t C n 1 C n x Chọn A 1 2 x R dx 2 Câu 66. Tìm x 2 x ? tan 2t 1 1 sin 2t 1 x A. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x B. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x C. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 tan 2t 1 1 sin 2t 1 x D. R ln C với t arctan . 2 4 1 sin 2t 2 2 Hướng dẫn giải Đặt x 2cos 2t với t 0; 2 dx 4sin 2t.dt Ta có: 2 x 2 2sin 2t 4sin2 t sin t 2 x 2 2cos 2t 4cos2 t cost 1 sin t 2sin2 t 1 cos 2t R . .4sin 2t.dt dt dt 4cos2 2t cost cos2 2t cos2 2t 1 1 tan 2t 1 1 sin 2t R dt dt ln C cos2 2t cos 2t 2 4 1 sin 2t Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t cos x,u sin x , nguyên hàm của I tan x cot x dx là: A. ln t ln u C .B. ln t ln u C . C. ln t ln u C .D. ln t ln u C . Hướng dẫn giải sin x cos x Ta có: tan x cot x dx dx dx . cos x sin x sin x 1 Xét I dx . Đặt t cos x dt sin xdx I dt ln t C . 1 cos x 1 t 1 cos x 1 Xét I dx . Đặt u sin x du cos xdx I du ln u C . 2 sin x 2 u 2
31. I I1 I2 ln t ln u C Chọn A F F x f x sin3 x.cos x F 0 Câu 68. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính 2 . F 2 1 1 A. .B. F . C. F .D. F . 2 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t sin x dt cos xdx . t 4 sin4 x F x f x dx sin3 x cos xdx t3dt C C . 4 4 sin4 sin4 x F 0 C C F x . 4 4 sin4 2 1 F . 2 4 4 sin 2x Câu 69. Tìm nguyên hàm dx . Kết quả là 2 1 sin x 1 sin2 x A. C . B. 1 sin2 x C . C. 1 sin2 x C .D. 2 1 sin2 x C . 2 Hướng dẫn giải. Chọn D Đặt t 1 sin2 x sin 2x 2t t 2 1 sin2 x 2tdt sin 2xdx dx dt 2 1 sin x t 2dt 2t C 2 1 sin2 x C 2 3 Câu 70. Nguyên hàm F x của hàm số f x sin 2x.cos 2x thỏa F 0 là 4 1 1 1 1 1 1 A. F x sin3 2x sin5 2x .B. F x sin3 2x sin5 2x . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4 C. F x sin3 2x sin5 2x .D. F x sin3 2x sin5 2x . 6 10 15 6 10 15 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt t sin 2x dt 2.cos 2xdx dt cos 2xdx . 2 Ta có: 1 1 1 1 F x sin2 2x.cos3 2xdx t 2. 1 t 2 dt t 2 t 4 dt t3 t5 C 2 2 6 10 1 1 sin3 2x sin5 2x C . 6 10 1 3 1 5 1 F 0 sin sin C 0 C . 4 6 2 10 2 15 1 1 1 Vậy F x sin3 2x sin5 2x . 6 10 15
32. Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan5 x . 1 1 A. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 B. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 C. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 1 1 D. f x dx tan4 x tan2 x ln cosx C . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D sin5 x I f x dx tan5 xdx dx cos5 x 2 2 sin2 x.sin2 .sinx 1 cos x . 1 cos x .sinx dx dx cos5 x cos5 x 2 2 1 t . 1 t 1 2t 2 t 4 Đặt t cos x dt sin xdx I dt dt t5 t5 1 2 1 5 3 1 1 4 2 5 3 dt t 2t dt t t ln t C t t t t 4 1 1 1 1 cos x 4 cos x 2 ln cos x C . ln cos x C 4 4 cos x4 cos x2 1 2 . tan2 x 1 tan2 x 1 ln cos x C 4 1 tan4 x 2 tan2 x 1 tan2 x 1 ln cos x C 4 1 1 1 tan4 x tan2 x ln cos x C 4 2 4 1 1 tan4 x tan2 x ln cos x C . 4 2 2sin x 2cos x Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm của I dx là: 3 1 sin 2x A. 2 3 t C .B. 6 3 t C .C. 33 t C .D. 12 3 t C . Hướng dẫn giải Ta có: 2sin x 2cos x 2 sin x cos x I dx dx . 3 2 1 sin 2x 3 sin x cos x Đặt t sin x cos x dt sin x cos x dx . 2 1 1 I dt 2. t 3 C 6 3 t C . 3 2 t 2 1 3 Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT 3 Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x2ex 1
33. 5 3 1 1 4 2 x3 1 A. t 2t dt t t ln t C .B. f x dx 3e C . t 4 3 1 3 x 3 C. f x dx ex 1 C .D. f x dx ex 1 C . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t x3 1 dt 3x2dx 2 x3 1 t 1 1 t 1 x3 1 Do đó, ta có f x dx x e dx e . dt e C e C . 3 3 3 1 x3 1 Vậy f x dx e C . 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I . 1 ex A. I x ln 1 ex C .B. I x ln 1 ex C . C. I x ln 1 ex C .D. I x ln 1 ex C . Hướng dẫn giải Chọn D dx exdx I . x x x 1 e e 1 e Đặt t ex dt exdx exdx dt 1 1 I ln t ln t 1 C ln ex ln ex 1 C x ln ex 1 C x x e 1 e t(1 t) t t 1 1 Câu 75. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x x thỏa mãn F 0 10 . Tìm F x . 2e 3 1 x ln 5 1 x A. F x x ln 2e 3 10 .B. F x x 10 ln 2e 3 . 3 3 3 1 x 3 C. F x x ln e 10 ln 5 ln 2 .D. 3 2 1 x 3 ln 5 ln 2 F x x ln e 10 . 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex F x f x dx dx dx . x x x 2e 3 2e 3 e Đặt t ex dt exdx . Suy ra 1 1 t 1 ex 1 F x dt ln C ln C x ln 2ex 3 C . x 2t 3 t 3 2t 3 3 2e 3 3 1 ln 5 Vì F 0 10 nên 10 0 ln 5 C C 10 . 3 3 1 ln 5 Vậy F x x ln 2ex 3 10 . 3 3 ln 2x Câu 76. Với phương pháp đổi biến số x t , nguyên hàm dx bằng: x 1 A. t 2 C .B. t 2 C .C. 2t 2 C .D. 4t 2 C . 2
34. Hướng dẫn giải 1 1 Đặt t ln 2x dt 2. dx dt dx . 2x x ln 2x 1 dx tdt t 2 C . x 2 Chọn A Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y 2sin x.2cos x cos x sin x ? sin x cos x 2sin x.2cos x A. y 2 C .B. y .C. y ln 2.2sin x cos x .D. ln 2 2sin x cos x y C . ln 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: I 2sin x.2cos x cos x sin x dx 2sin x cos x cos x sin x dx . Đặt: t sin x cos x dt cos x sin x dx . 2t 2sin x cos x 2sin x.2cos x I 2tdt C C C . ln 2 ln 2 ln 2 2sin x.2cos x Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y . ln 2 ln 2 Câu 78. Cho hàm số f (x) 2 x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. F(x) 2 x C .B. F(x) 2 2 x 1 C . C. F(x) 2 2 x 1 C .D. F(x) 2 x 1 C . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Đặt t x 2dt dx . x 2 x ln 2 F(x) f (x)dx dx 2t 2.ln 2dt 2.2t C 2.2 x C nên A sai. x Ngoài ra: + D đúng vì F(x) 2.2 x C . + B đúng vì F(x) 2.2 x 2 C 2.2 x C . + C đúng vì F(x) 2.2 x 2 C 2.2 x C . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. 1 ln x f x Câu 79. Nguyên hàm của x.ln x là 1 ln x 1 ln x A. dx ln ln x C .B. dx ln x2.ln x C . x.ln x x.ln x 1 ln x 1 ln x C. dx ln x ln x C .D. dx ln x.ln x C . x.ln x x.ln x Hướng dẫn giải Chọn D
35. 1 ln x Ta có I f x dx dx . x.ln x 1 ln x 1 Đặt x ln x t ln x 1 dx dt . Khi đó ta có I dx dt ln t C x.ln x t ln x.ln x C 2 a 2 b Câu 80. x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx có dạng e x 1 sin 2x C , trong đó a, b là hai số hữu 6 2 tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1.B. 1; 3. C. 3; 2 .D. 6; 1. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm x 1 e2 x 1 cos 2x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 2 2 x2 5x 4 7 x 3 x 5x 4 7 x 3 x 1 x 1 e e cos 2x dx x 1 e cos 2x dx x 1 e dx cos 2x dx . 2 2 x 5x 4 7 x 3 x 1 Để tìm x 1 e e cos 2x dx ta đặt I x 1 e dx và I cos 2x dx 1 2 và tìm I1, I2 . 2 *Tìm I x 1 e x 1 dx . 1 Đặt t x 1 2 ;dt 2 x 1 x 1 dx 2 x 1 dx . 2 1 1 1 2 I x 1 e x 1 dx et dt et C e x 1 C , trong đó C là 1 hằng số. 1 2 2 1 2 1 1 *Tìm I cos 2x dx . 2 1 I cos 2x dx sin 2x C . 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx I I e x 1 C sin 2x C e x 1 sin 2x C. 1 2 2 1 2 2 2 2 2 a 2 b Suy ra để x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx có dạng e x 1 sin 2x C thì 6 2 a 3 ¤ , b 1 ¤ . Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị a, b ở các đáp án vào a 2 b e x 1 sin 2x C và lấy đạo hàm của chúng. 6 2 Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp b, a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm I cos 2x dx . 2 I cos 2x dx sin 2x C . 2 2 2 1 2 1 2 x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx I I e x 1 C sin 2x C e x 1 sin 2x C. 1 2 2 1 2 2
36. 2 a 2 b Suy ra để x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx có dạng e x 1 sin 2x C thì 6 2 a 3 ¤ , b 2 ¤ . D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: 2 Tìm I x 1 e x 1 dx . 1 Đặt t x 1 2 ;dt x 1 x 1 dx x 1 dx . 2 2 I x 1 e x 1 dx et dt et C e x 1 C , trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 1 1 Học sinh tìm đúng I sin 2x C nên ta được: 2 2 2 2 2 1 2 1 x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx I I e x 1 C sin 2x C e x 1 sin 2x C. 1 2 1 2 2 2 2 a 2 b Suy ra để x 1 ex 5x 4 e7 x 3 cos 2x dx có dạng e x 1 sin 2x C thì 6 2 a 6 ¤ , b 1 ¤ . ex 3x 2 x 1 I dx x 1 ex . x 1 1 Câu 81. Tìm ? A. I x ln ex . x 1 1 C .B. I x ln ex . x 1 1 C . C. I ln ex . x 1 1 C .D. I ln ex . x 1 1 C . Hướng dẫn giải x x ex 3x 2 x 1 x 1 e . x 1 1 e 2x 1 ex 2x 1 I dx dx dx dx x x x x 1 e . x 1 1 x 1 e . x 1 1 x 1 e . x 1 1 x x x e x e 2x 1 Đặt: t e . x 1 1 dt e x 1 dx dx 2 x 1 2 x 1 Vậy ex 2x 1 1 I dx dx x dt x ln t C x ln ex . x 1 1 C x x 1 e x 1 1 t Chọn A x ln 1 x2 2017x Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ? x2 1 ln e.x2 e 2 2 A. ln x 1 1008ln ln x 1 1 . 2 2 B. ln x 1 2016ln ln x 1 1 . 1 C. ln x2 1 2016ln ln x2 1 1 . 2 1 D. ln x2 1 1008ln ln x2 1 1 . 2 Hướng dẫn giải x ln 1 x2 2017x Đặt I dx x2 1 ln e.x2 e
37. +Ta có: x ln 1 x2 2017x x ln 1 x2 2017x x ln 1 x2 2017 I dx dx dx 2 2 2 2 2 2 x 1 ln e.x e x 1 ln 1 x lne x 1 ln 1 x 1 2 2x + Đặt: t ln 1 x 1 dt 2 dx 1 x t 2016 1 2016 1 I dt 1 dt t 1008ln t C 2t 2 t 2 1 1 1 I ln x2 1 1008ln ln x2 1 1 C ln x2 1 1008ln ln x2 1 1 C 2 2 2 Chọn D 2x2 1 2ln x .x ln2 x G dx 2 x2 x ln x Câu 83. Tìm ? 1 1 1 1 A. G C .B. G C . x x ln x x x ln x 1 1 1 1 C. G C . D. G C . x x ln x x x ln x Hướng dẫn giải Ta có: 2x2 1 2ln x .x ln2 x x2 2x ln x ln2 x x x2 x ln x 2 x x 1 G dx dx dx 2 2 2 2 2 x2 x ln x x x ln x x x ln x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 G dx dx J J dx 2 2 2 2 x x x ln x x x x ln x x x x ln x x 1 Xét nguyên hàm: J dx 2 x x ln x 1 x 1 + Đặt: t x ln x dt 1 x x 1 1 1 J dt C C t 2 t x ln x 1 1 1 Do đó: G J C x x x ln x Chọn A 1 ln x Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h x ? x1 n .ln x. xn lnn x 1 1 1 1 A. ln x ln xn lnn x 2016 .B. ln x ln xn lnn x 2016 . n n n n 1 1 1 1 C. ln x ln xn lnn x 2016 .D. ln x ln xn lnn x 2016 . n n n n Hướng dẫn giải Ta có: 1 ln x 1 ln x 1 1 ln x 1 L dx . dx . dx 1 n n n 2 n 1 n n 2 n x .ln x. x ln x x x .ln x. x ln x x ln x ln x 1 n x x
38. ln x 1 ln x dt t n 1dt Đặt: t dt dx L 2 n n n x x t t 1 t t 1 + Đặt u t n 1 du n.t n 1dt 1 du 1 1 1 1 1 u 1 L du . ln u 1 ln u C .ln C n u u 1 n u 1 u n n u lnn x 1 t n 1 n 1 lnn x L .ln C .ln x C .ln C n t n 1 n lnn x n lnn x xn 1 xn Chọn A