Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 11.2: Ứng dụng thể tích (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 11.2: Ứng dụng thể tích (Có đáp án)

1. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH BÀI TẬP Câu 1. Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. A. 240 cm 3 . B. 240 cm 3 . C. 120 cm 3 . D. 120 cm 3 . Câu 2. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm . Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183000 đồng. B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng. Câu 3. Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB 2m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC 4m , CE 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5m B 2m 1m A 4m M C A. 9,75m3 . B. 10,5m3 .C. 10m3 . D. 10,25m3 . Câu 4. Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. V 1,52m3 . B. V 1,31m3 . C. V 1,27m3 . D. V 1,19m3 . Câu 5. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt
2. mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu? A. 425,2 lit. B. 425162 lit. C. 212581lit. D. 212,6 lit. Câu 6. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 0,5m A. 19m3 . B. 21m3 . C. 18m3. . D. 40m3 . Câu 7. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm , khi đó thể tích của lọ là: 15 14 15 A. 8 dm2. B. dm3. C. dm2. D. dm2. 2 3 2 Câu 8. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 A. (1dm32 3). B. (4dm1 3). C. (dm 3). D. (4dm3 3) 3 Câu 9. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)
3. Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225 A. V. 22B.50 . cm3 C. . D.V cm3 V 1250 cm3 V 1350 cm3 4 Câu 10. Người ta dựng một cái lều vải H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của H là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO 6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của H là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của H với mặt phẳng P vuông góc với SO là một lục giác đều và khi P qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều H đó. S c6 c5 c1 1m c2 c3 c4 O 3m 135 3 96 3 135 3 135 3 A. ( m3 ). B. ( m3 ). C. ( m3 ). D. ( m3 ). 5 5 4 8 Câu 11. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
4. 256 64 256 3 32 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 1 Câu 12. Gọi H là phần giao của hai khối hình trụ có 4 bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . 2a3 3a3 A. V . B. V . H 3 H 4 a3 a3 C. V . D. V . H 2 H 4 Câu 13. Một khối cầu có bán kính là 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 43 A. dm3 B. dm3 3 3 C. 41 dm3 D. 132 dm3 Câu 14. Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông? A. 6 B. 12 C. 2 3 D. 16
5. Câu 15. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích V cm3 của vật thể đã cho. A. V 12 . B. V 12. 4 cm A B 72 72 O C. V . D. V . 5 5 6 cm I
6. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Câu 1. Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. A. 240 cm 3 . B. 240 cm 3 . C. 120 cm 3 . D. 120 cm 3 . Hướng dẫn giải Chọn A z h A S(x) α y O α x C B x Đặt R 6 ( cm ), h 10 ( cm ). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( 6 x 6 ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x . Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ. 5 36 x2 1 1 2 1 2 2 h Ta có S x SABC AB.BC BC tan R x . 2 2 2 R 6 6 6 5 36 x2 Vậy thể tích lượng nước trong cốc là V S x dx dx 240 ( cm3 ). 6 6 6 Câu 2. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm . Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183000 đồng. B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn A Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình 2 x2 y2 25 x2 25 x2 2 y 1 2 2 1 y 1 2 2 . 14 25 2 14 2 14 2
7. 2 2 2 14 25 x2 25 14 x2 Do đó thể tích quả dưa là V 1 2 dx 1 2 dx 2 14 2 14 14 14 14 2 3 2 25 x 25 56 8750 3  x 2  cm . 2 3.14 2 3 3 14 8750 .20000 Do đó tiền bán nước thu được là 183259 đồng. 3.1000 Câu 3. Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB 2m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC 4m , CE 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5m B 2m 1m A 4m M C A. 9,75m3 . B. 10,5m3 .C. 10m3 . D. 10,25m3 . Hướng dẫn giải Chọn C y 3,5 E B 1 2m A 2 4 x Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A  O 2 7 cạnh cong AE nằm trên parabol P : y ax bx đi qua các điểm 2;1 và 4; nên 2 3 1 P : y x2 x 16 8 4 3 2 1 2 Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích S x x dx 5m . 0 16 8 Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là V 5.2 10m3 . Câu 4. Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm).
8. A. V 1,52m3 . B. V 1,31m3 . C. V 1,27m3 . D. V 1,19m3 . Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. y B x A O A B x2 y2 Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. 1 2 Gọi S là diện tích của Elip ta có S ab . . 1 1 2 5 5 Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có 1 phương trình của đường thẳng MN là y . 5 x2 y2 4 1 Mặt khác từ phương trình 1 ta có y x2 . 1 4 5 4 4 25 1 3 3 Do đường thẳng y cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là và nên 5 4 4 3 3 4 4 1 1 4 4 1 3 S x2 dx x2 dx . 2 3 5 4 5 5 3 4 10 4 4 3 4 1 1 1 Tính I x2 dx . Đặt x sin t dx costdt . 3 4 2 2 4 3 3 Đổi cận: Khi x thì t ; Khi x thì t . 4 3 4 3 3 3 1 1 2 1 1 2 3 Khi đó I . cos tdt 1 cos 2t dt . 2 2 8 8 3 2 3 3 4 1 2 3 3 3 Vậy S . 2 5 8 3 2 10 15 20
9. 3 Thể tích của dầu trong thùng là V .3 1,52 . 5 15 20 Câu 5. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu? A. 425,2 lit. B. 425162 lit. C. 212581lit. D. 212,6 lit. Hướng dẫn giải Chọn A y S A 0,4m 0,3m x O 0,5m  Gọi P : y ax2 bx c là parabol đi qua điểm A 0,5;0,3 và có đỉnh S 0;0,4 (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi P , trục hoành và hai đường thẳng x 0,5 quay quanh trụcOx . 2  Dễ dàng tìm được P : y x2 0,4 5  Thể tích thùng rượu là: 0,5 2 0,5 2 2 2 2 2 203 V x 0,4 dx 2 x 0,4 dx 425,5 (l) 0,5 5 0 5 1500 Câu 6. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
10. 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 0,5m A. 19m3 . B. 21m3 . C. 18m3. . D. 40m3 . Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. y O x 2 19 Gọi P1 : y ax c là Parabol đi qua hai điểm A ;0 , B 0;2 2 2 19 8 0 a. 2 a 8 2 Nên ta có hệ phương trình sau: 2 361 P1 : y x 2 361 2 b b 2 2 5 Gọi P2 : y ax c là Parabol đi qua hai điểm C 10;0 , D 0; 2 2 5 1 0 a. 10 a 2 40 1 2 5 Nên ta có hệ phương trình sau: P2 : y x 5 5 40 2 b b 2 2 19 10 1 5 8 Ta có thể tích của bê tông là: V 5.2 x2 dx 2 x2 2 dx 40m3 0 0 40 2 361
11. Câu 7. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm , khi đó thể tích của lọ là: 15 14 15 A. 8 dm2. B. dm3. C. dm2. D. dm2. 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B  r1 y1 1 x1 0 y O 3 x A  r2 y2 2 x2 3 3 3 x2 15 Suy ra: V y2dx x 1 dx x 3 0 0 0 2 2 Câu 8. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 A. (1dm32 3). B. (4dm1 3). C. (dm 3). D. (4dm3 3) 3 Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn lớn có phương trình x2 y2 25 . 3dm Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong y 25 x2 , 5dm x 3, x 3 quay quanh Ox. 3dm 3 V (25 x2 )dx =132 (bấm máy). 3 Chọn A Câu 9. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)
12. Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225 A. V. 22B.50 . cm3 C. . D.V cm3 V 1250 cm3 V 1350 cm3 4 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình: 2 y 225 x ,x 15;15 Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x 15;15 cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình). 1 1 Dễ thấy NP y và MN NP tan 450 y 15 x 2 khi đó S x MN.NP . 225 x 2 2 2 15 1 15 suy ra thể tích hình nêm là: V S x dx . 225 x 2 dx 2250 cm3 . 15 2 15 Chọn A Câu 10. Người ta dựng một cái lều vải H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của H là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO 6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của H là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của H với mặt phẳng P vuông góc với SO là một lục giác đều và khi P qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều H đó.
13. S c6 c5 c1 1m c2 c3 c4 O 3m 135 3 96 3 135 3 135 3 A. ( m3 ). B. ( m3 ). C. ( m3 ). D. ( m3 ). 5 5 4 8 Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A 0;6 , 1 7 B 1;3 , C 3;0 nên có phương trình là y x2 x 6 2 2 Theo hình vẽ ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM . 7 1 A 0;6 Nếu ta đặt t OM thì BM 2t (chú ý là ta phải lấy 2 4 giá trị có dấu “ ” trước dấu căn và cho B chạy từ C đến A ). Khi đó, diện tích của “thiết diện lục giác” bằng 2 BM 2 3 3 3 7 1 B 1;3 t 0;6 S t 6. 2t với   . 4 2 2 4 Vậy thể tích của “túp lều” theo đề bài là: 2 6 6 3 3 7 1 135 3 V S t dt 2t dt C 3;0 0 0 2 2 4 8 Chọn D Câu 11. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
14. 256 64 256 3 32 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn tâm đường tròn làm gốc. 3 Diện tích thiết diện là S AB2 3(4 x2 ) 4 2 2 32 3 V S(x)dx 3 (4 x2 )dx . 2 2 3 Chọn D 1 Câu 12. Gọi H là phần giao của hai khối hình trụ có 4 bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . 2a3 3a3 A. V . B. V . H 3 H 4 a3 a3 C. V . D. V . H 2 H 4 Hướng dẫn giải
15. Chọn A Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích S x a2 x2 a a 2a3 Thể tích khối H là S x dx a2 x2 dx . 0 0 3 Câu 13. Một khối cầu có bán kính là 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 43 A. dm3 B. dm3 3 3 C. 41 dm3 D. 132 dm3 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C) : (x 5)2 y2 25. Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng H giới hạn bởi nửa trên trục Ox của C , trục Ox , hai đường thẳng x 0, x 2 quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có (x 5)2 y2 25 y 25 (x 5)2 Nửa trên trục Ox của C có phương trình y 25 (x 5)2 10x x2 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho H quay quanh Ox là:
16. 2 2 3 2 2 x 52 V1 10x x dx 5x 3 3 0 0 4 500 Thể tích khối cầu là: V .53 2 3 3 500 52 3 Thể tích cần tìm: V V2 2V1 2. 132 dm 3 3 Câu 14. Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông? A. 6 B. 12 C. 2 3 D. 16 Hướng dẫn giải Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm y2 0;0 , 4;2 2 , 4; 2 2 nên có phương trình x . Thể 2 tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng y 2x, x 0, x 4 quay quanh trục Ox. Do đó 4 4 Ta có V 2xdx x2 16 0 0 Câu 15. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tíchV cm3 4 cm của vật thể đã cho. A B O A. V 12 . B. V 12. 72 72 C. V . D. V . 5 5 6 cm Hướng dẫn giải: Chọn A I
17. Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol P . Vì parabol P đi qua các điểm 3 A 2;6 , B 2;6 và I 0;0 nên parabol P có phương trình y x2. 2 6 3 2 2 2 2 3 Ta có y x x y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V y dy 12 cm . 2 3 0 3