Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 4, Phần 3: Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 4, Phần 3: Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit (Có đáp án)

1. A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 4x Câu 1: Cho hàm số f x . Tính tổng 4x 2 1 2 3 2013 2014 S f f f  f f 2015 2015 2015 2015 2015 A. 2014 . B. 2015 . C. 1008.D. 1007 . 1 1 1 2 1 3log 2 Câu 2: Kí hiệu f x x 2log4 x 8 x2 1 1. Giá trị của f f 2017 bằng: A. 2016. B. 1009. C. 2017. D. 1008. Câu 3: Cho f x a ln x x2 1 bsin x 6 với a,b ¡ . Biết rằng f log log e 2 . Tính giá trị của f log ln10 A. 10. B. 2 . C. 4 . D. 8 . 9x Câu 4: Cho f x . Nếu a b 1 thì f a f b là 9x 3 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 9x Câu 5: Cho hàm số f x , x R . Nếu a b 3 thì f a f b 2 có giá trị bằng 3 9x 1 3 A. 1. B. 2 . C. D. . 4 4 5 3x 3 x a a Câu 6: Cho 9x 9 x 23. Khi đó biểu thức A với tối giản và a,b ¢ . Tích a.b 1 3x 3 x b b có giá trị bằng: A. 10. B. 8 . C. 8 .D. 10 . 5 2x 2 x Câu 7: Cho 4x 4 x 7 . Biểu thức P có giá trị bằng 8 4.2x 4.2 x 3 5 A. P . B. P . C. P 2 .D. P 2 . 2 2 x y z Câu 8: Cho x, y,z là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2 5 10 . Giá trị của biểu thức A xy yz zx bằng? A. 3 .B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 9: Cho x , y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn 2x 3y 6 z . Tính giá trị biểu thức M xy yz zx . A. M 3. B. M 6 .C. M 0 . D. M 1. Câu 10: Cho các số thực a 0 , b 0 , c 0 x 0; y 0; z 0;1 t 0 thỏa mãn ln x ln y ln z ln t và xy z2t 2 . Tính giá trị P a b 2c bằng a b c 1 A. 4. B. . C. 2. D. 2. 2 9t Câu 11: Xét hàm số f t với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m 9t m2 sao cho f x f y 1 với mọi x, y thỏa mãn ex y e x y . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số.D. 2.
2. a x a x a x a x Câu 12: Cho 0 a 1 2 và các hàm f x , g x . Trong các khẳng định 2 2 sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? I. f 2 x g 2 x 1. II. g 2x 2g x f x . III. f g 0 g f 0 . IV. g 2x g x f x g x f x . A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. m2 x Câu 13: Cho hàm số f x log . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao 3 1 x cho f a f b 3 với mọi số thực a,b thỏa mãn ea b e a b . Tính tích các phần tử của S . A. 27 B. 3 3 C. 3 3 D. 27 1 2x Câu 14: Cho hàm số f x log2 . Tính tổng 2 1 x 1 2 3 2015 2016 S f f f f f . 2017 2017 2017 2017 2017 A. S 2016. B. S 1008. C. S 2017. D. S 4032. 2016x Câu 15: Cho f x . Tính giá trị biểu thức 2016x 2016 1 2 2016 S f f  f 2017 2017 2017 A. S = 2016 B. S = 2017C. S = 1008 D. S = 2016 25x Câu 16: Cho hàm số f (x) . 25x 5 1 2 3 4 2017 Tính tổng S f f f f f . 2017 2017 2017 2017 2017 6053 12101 12107 A. S . B. S . C. S 1008. D. S . 6 6 6 16x Câu 17: Cho hàm số f (x) . Tính tổng 16x 4 1 2 3 2017 S f f f f . 2017 2017 2017 2017 5044 10084 10089 A. S . B. S . C. S 1008. D. S . 5 5 5 9x 2 Câu 18: Cho hàm số f (x) . Tính giá trị của biểu thức 9x 3 1 2 2016 2017 P f f f f . 2017 2017 2017 2017 4039 8071 A. 336 . B. 1008.C. . D. . 12 12 Câu 19: Cho a,b là các số thực và f x a ln2017 x2 1 x bxsin2018 x 2 . Biết f 5logc 6 6 , tính giá trị của biểu thức P f 6logc 5 với 0 c 1
3. A. P 2 B. P 6 C. P 4 D. P 2 1 1 1 m x2 2 Câu 20: Cho f x e x 1 . Biết rằng f 1 . f 2 . f 3 f 2017 e n với m,n là các số tự m nhiên và tối giản. Tính m n2. n A. m n2 2018 . B. m n2 2018 . C. m n2 1.D. m n2 1. 2 cos 2017 x Câu 21: Cho hàm số f x x 3x 2 và dãy số un được xác định bởi công thức tổng quát un log f 1 log f 2 log f n . Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều 2018 kiện un 1? A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ, HÀM LÔGARIT MỘT BIẾN SỐ Câu 22: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau không đúng? x 1 A. Hàm số y có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn 0;3 . 2 B. Hàm số y ex có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên khoảng 0;2 . C. Hàm số y log2 x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng 1;5 . D. Hàm số y 2x có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng  1;2 . ln2 x Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên 1;e3 . x 4 1 9 ln2 2 A. max y 2 . B. max y . C. max y 3 . D. max y . 1;e3 1;e3 1;e3 1;e3 e e e 2 Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 ln x trên đoạn 2;3 là   A. max y e . B. max y 2 2ln 2 . C. max y 4 2ln 2 . D. max y 1. 2;3 2;3 2;3 2;3 Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x2ex trên đoạn  1;1? 1 A. e B. C. 2e D. 0 e Câu 26: Cho hai số thực x, y phân biệt thỏa mãn x, y 0;2018 . Đặt 1 y x S ln ln . Mệnh đề nào dưới đây đúng? y x 2018 y 2018 x 2 2 4 4 A. S B. S C. S D. S 1009 1009 1009 1009 Câu 27: Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn b 4 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4a b2a 7.4a 2 m m P 3 a là với m,n là các số nguyên dương và tối giản. Tính 4a ba b n n S m n . A. 43. B. 33. C. 23. D. 13. 2 Câu 28: Với giá trị nào của x để hàm số y 22log3 x log3 x có giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 2. D. 1.
4. Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 20x2 20x 1283 e40x trên tập hợp các số tự nhiên là A. 1283 .B. 163.e280 . C. 157.e320 . D. 8.e300 . Câu 30: Cho hàm số y x2 3 x ln x . Gọi M ; N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2. Khi đó tích M.N là: A. 2 7 4ln 5. B. 2 7 4ln 2. C. 2 7 4ln 5. D. 2 7 4ln 2. 2 2 Câu 31: Tìm giá trị lớn nhất của y 2sin x 2cos x A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . sin 2x Câu 32: Giá trị lớn nhất của hàm số y trên ¡ bằng? A. . B. 1. C. 0 . D. . Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x 22 x là: A. minf(x) 4 . B. minf(x) 4 . C. Đáp án khác. D. minf(x) 5 . x ¡ x ¡ x ¡ Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 2 ln x trên 2;3 là A. .1B. . C. . 4 2ln2 D. . e 2 2ln 2 2 1 Câu 35: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 2ln x trên e ;e là A. M e2 2,m e 2 2 . B. M e 2 2,m 1. C. M e 2 1,m 1.D. M e2 2,m 1. Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 ln x trên đoạn 1;2. 1 1 1 A. min y . B. min y . C. min y .D. min y 0 . 1;2 2e 1;2 e 1;2 e 1;2 1 1 Câu 37: Cho hàm số y ln x x2 1.Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên ;2 . 2 2 1 7 7 A. M . B. M ln 2 1. C. M ln 2. D. M ln 2. 2 8 8 Câu 38: Giá trị lớn nhất của hàm số y ex x2 x 5 trên đoạn 1;3 bằng: A. 5e3 . B. 7e 3 . C. 2e3 .D. e3 . Câu 39: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2|x| trên  2;2? 1 1 A. max y 4;min y B. max y 4;miny 4 4 1 C. max y 1;miny D. max y 4;miny 1 4 Câu 40: Cho hàm số y x2 3 x ln x trên đoạn 1;2. Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là A. 4ln 2 4 7 . B. 7 4ln 2 . C. 4ln 2 2 7 .D. 2 7 4ln 2 . 4sin x 6m sin x Câu 41: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f x không 9sin x 41 sin x 1 nhỏ hơn . 3 2 13 2 A. m log . B. m log . C. m log 3. D. m log . 6 3 6 18 6 6 3
5. Câu 42: Cho cấp số cộng an ; cấp số nhân bn thỏa mãn a2 a1 0;b2 b1 1 và hàm số 3 f x x 3x sao cho f a2 2 f a1 và f log2 b2 2 f log2 b . Số nguyên dương n 1 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bn 2018an là? A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 9x Câu 43: Cho hàm số f x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 9x m2 f a f b 1 với mọi số thực a,b thỏa mãn ea b e2 a b 1 . Tính tích các phần tử của S . A. 81 B. 3 C. D3. 9 a x Câu 44: Cho a 1. Biết khi a a0 thì bất đẳng thức x a đúng với mọi x 1; . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 3 A. 1 a0 2 . B. e a0 e .C. 2 a0 3. D. e a0 e .
6. B – HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.C 3.A 4.A 5.A 6.D 7.D 8.B 9.C 10.D 11.D 12.D 13.C 14.B 15.C 16.C 17.A 18.C 19.A 20.D 21.A 22.B 23.A 24.A 25.A 26.A 27.A 28.B 29.B 30.B 31.A 32.A 33.A 34.B 35.D 36.D 37.A 38.D 39.A 40.D 41.A 42.A 43.D 44.C TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT VẬN DỤNG: 4x Câu 1: [DS12.C2.4.D06.c] Cho hàm số f x . Tính tổng 4x 2 1 2 3 2013 2014 S f f f  f f 2015 2015 2015 2015 2015 A. 2014 . B. 2015 . C. 1008.D. 1007 . Hướng dẫn giải Chọn D. 41 x 4 2 Ta có: f 1 x f 1 f 1 x 1 41 x 2 4 2.4x 2 4x 1 2014 2 2013 1007 1008 Do đó: f f 1, f f 1, , f f 1 2015 2015 2015 2015 2015 2015 S 1007 . 1 1 1 2 1 3log 2 Câu 2: [DS12.C2.4.D06.c] Kí hiệu f x x 2log4 x 8 x2 1 1. Giá trị của f f 2017 bằng: A. 2016. B. 1009. C. 2017. D. 1008. Hướng dẫn gải: 1 1 1 1 2log x log x 1 log 2 log 2x x 4 x 2 x x x x 2x Ta có 1 1 1 . 3. 2 3log 2 2 3.log 2 2 log 2 2 log x 2 8 x 2 x 2 x 2 2 x 1 1 2 Khi đó f x x2 2x 1 2 1 x 1 2 1 x. Suy ra f 2017 2017 f f 2017 f 2017 2017. Chọn C. Câu 3: [DS12.C2.4.D06.c] Cho f x a ln x x2 1 bsin x 6 với a,b ¡ . Biết rằng f log log e 2 . Tính giá trị của f log ln10 A. 10. B. 2 . C. 4 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Đặt t log log e log log ln10 log ln 10 t ln10 Theo giả thiết ta có: f t a ln t t 2 1 bsin t 6 2 a ln t t 2 1 bsin t 4
7. Khi đó f log ln10 f t a ln t t 2 1 bsin t 6 1 a ln bsin t 6 t 2 1 t a ln t 2 1 t bsin t 6 10 9x Câu 4: [DS12.C2.4.D06.c] Cho f x . Nếu a b 1 thì f a f b là 9x 3 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: a b 1 b 1 a . 9a 9b 9a 91 a 9a 3 f a f b 1. 9a 3 9b 3 9a 3 91 a 3 9a 3 3 9a a a a 1 1 1 9 9 9 calc Cách 2: Chọn a b . Bấm máy f f 2. 1 1. a a a a 2 2 2 9 3 9 3 9 3 2 9x Câu 5: [DS12.C2.4.D06.c] Cho hàm số f x , x R . Nếu a b 3 thì f a f b 2 có 3 9x giá trị bằng 1 3 A. 1. B. 2 . C. D. . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: b 2 1 a 9a 91 a 3 f a ; f b 2 f 1 a 3 9a 3 91 a 3 9a 9a 3 f a f b 2 1. 3 9a 3 9a 5 3x 3 x a a Câu 6: [DS12.C2.4.D06.c] Cho 9x 9 x 23. Khi đó biểu thức A với tối giản 1 3x 3 x b b và a,b ¢ . Tích a.b có giá trị bằng: A. 10. B. 8 . C. 8 .D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 2 Ta có 9x 9 x 23 3x 3 x 2.3x.3 x 25 3x 3 x 25 3x 3 x 5 . 5 3x 3 x 5 5 5 Do đó: A . a 5,b 2 a.b 10 . 1 3x 3 x 1 5 2 5 2x 2 x Câu 7: [DS12.C2.4.D06.c] Cho 4x 4 x 7 . Biểu thức P có giá trị bằng 8 4.2x 4.2 x 3 5 A. P . B. P . C. P 2 .D. P 2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 2 2 Ta có 4x 4 x 7 2x 2 x 7 2x 2 x 2.2x.2 x 7 2x 2 x 9 5 2x 2 x 5 3 Như vậy 2x 2 x 3 P 2 8 4.2x 4.2 x 8 4.3
8. x y z Câu 8: [DS12.C2.4.D06.c] Cho x, y,z là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2 5 10 . Giá trị của biểu thức A xy yz zx bằng? A. 3 .B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. x z y 1 2x.10z 1 2 .10 1 2xy.10 yz 1 2x 5y 10 z 2x 5y z y z x xy xz 10 5 .10 1 y z 5 .10 1 5 .10 1 Khi đó 2xy.10 yz.5xy.10xz 1 10xy yz zx 1 xy yz zx 0 . Câu 9: [DS12.C2.4.D06.c] Cho x , y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn 2x 3y 6 z . Tính giá trị biểu thức M xy yz zx . A. M 3. B. M 6 .C. M 0 . D. M 1. Hướng dẫn giải Chọn C. x ln 2 x ln 2 Ta có 2x 3y y ;2x 6 z z . ln 3 ln 6 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 Xét M xy yz zx x ln 3 ln 3.ln 6 ln 6 2 2 ln 2.ln 6 ln 2 ln 2.ln 3 x ln 3.ln 6 ln 2 ln 6 ln 2 ln 3 x2  0 ln 3.ln 6 Câu 10: [DS12.C2.4.D06.c] Cho các số thực a 0 , b 0 , c 0 x 0; y 0; z 0;1 t 0 thỏa mãn ln x ln y ln z ln t và xy z2t 2 . Tính giá trị P a b 2c bằng a b c 1 A. 4. B. . C. 2. D. 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. ln x ln y ln z ln x ln y ln z ln t a ln x;b ln y;c ln z a b c ln t t ln t t ln t t xy z2t 2 P a b 2c lnt x lnt y 2lnt z lnt 2 lnt 2 2. z z VẬN DỤNG CAO: 9t Câu 11: [DS12.C2.4.D06.d] Xét hàm số f t với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất 9t m2 cả các giá trị của m sao cho f x f y 1 với mọi x, y thỏa mãn ex y e x y . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số.D. 2. Hướng dẫn giải Chọn D. ex e.x Ta có nhận xét: ex y e x y x y 1. y e e.y
9. ( Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x y 1). Do đó ta có: f (x) f (y) 1 f (x) f (1 x) 1 9x 91 x 9 m2.9x 9 m2.91 x 1 1 9x m2 91 x m2 9 m2.9x m2.91 x m4 9 m2.9x 9 m2.91 x 9 m2.9x m2.91 x m4 m4 9 m 3 . Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. a x a x a x a x Câu 12: [DS12.C2.4.D06.d] Cho 0 a 1 2 và các hàm f x , g x . Trong 2 2 các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? I. f 2 x g 2 x 1. II. g 2x 2g x f x . III. f g 0 g f 0 . IV. g 2x g x f x g x f x . A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn gải: Ta có x x 2 x x 2 2 2 a a a a f x g x 1 I đúng. 2 2 x x x x a2x a 2x a a a a a x a x a x a x g 2x 2. . 2g x . f x II 2 2 2 2 đúng. f g 0 f 0 1. 1 f g 0 g f 0 III sai. a 2 a 1 g f 0 g 1 a 2 2a Do g 2x 2g x f x nên g 2x 2 g x f x g x f x IV sai. Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn D. Cách giải trắc nghiệm: Chọn a 1. m2 x Câu 13: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f x log . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực 3 1 x của tham số m sao cho f a f b 3 với mọi số thực a,b thỏa mãn ea b e a b . Tính tích các phần tử của S . A. 27 B. 3 3 C. 3 3 D. 27 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có: a b 1 m2a m2 1 a Và f a f b f a f 1 a log log log m4 3 3 1 a 3 1 1 a 3 m4 27 m 4 27 . Do đó tích phần tử thuộc S là 27 3 3 . Chọn C. 1 2x Câu 14: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f x log2 . Tính tổng 2 1 x
10. 1 2 3 2015 2016 S f f f f f . 2017 2017 2017 2017 2017 A. S 2016. B. S 1008. C. S 2017. D. S 4032. Hướng dẫn gải: 1 2x 1 2 1 x Xét f x f 1 x log2 log2 2 1 x 2 1 1 x 1 2x 1 2 1 x 1 2x 2 1 x 1 log2 log2 log2 . log2 4 1. 2 1 x 2 x 2 1 x x 2 Áp dụng tính chất trên, ta được 1 2016 2 2015 1008 1009 S f f f f f f 2017 2017 2017 2017 2017 2017 1 1 1 1008. Chọn B. 2016x Câu 15: [DS12.C2.4.D06.d] Cho f x . Tính giá trị biểu thức 2016x 2016 1 2 2016 S f f  f 2017 2017 2017 A. S = 2016 B. S = 2017C. S = 1008 D. S = 2016 Hướng dẫn giải Chọn C. 2016 Ta có: f (1 x) f (x) f (1 x) 1 2016x 2016 1 2 2016 1 2016 2 Suy ra S f f  f f f f 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2015 1008 1009 f f f 1008. 2017 2017 2017 25x Câu 16: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f (x) . 25x 5 1 2 3 4 2017 Tính tổng S f f f f f . 2017 2017 2017 2017 2017 6053 12101 12107 A. S . B. S . C. S 1008. D. S . 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn C. Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả: S 1008. 16x Câu 17: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f (x) . Tính tổng 16x 4 1 2 3 2017 S f f f f . 2017 2017 2017 2017 5044 10084 10089 A. S . B. S . C. S 1008. D. S . 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Nhận xét: Cho x y 1
11. 16x 16 y 16 4.16x 16 4.16 y Ta có f x f y 1 16x 4 16 y 4 16 4.16x 4.16 y 16 1 2016 2 2015 1008 1009 2017 S f f f f f f f 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 16 4 5044 1 1 .  1 1008 . 1008 so hang 16 4 5 5 9x 2 Câu 18: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f (x) . Tính giá trị của biểu thức 9x 3 1 2 2016 2017 P f f f f . 2017 2017 2017 2017 4039 8071 A. 336 . B. 1008.C. . D. . 12 12 Hướng dẫn giải Chọn C. 9x 2 91 x 2 1 Xét: f x f 1 x . 9x 3 91 x 3 3 Vậy ta có: 1 2 2016 2017 1008 k k 2017 P f f f f  f f 1 f 2017 2017 2017 2017 1 2017 2017 2017 . 1008 1 7 4039 P  f 1 336 . 1 3 12 12 Câu 19: [DS12.C2.4.D06.d] Cho a,b là các số thực và f x a ln2017 x2 1 x bxsin2018 x 2 . Biết f 5logc 6 6 , tính giá trị của biểu thức P f 6logc 5 với 0 c 1 A. P 2 B. P 6 C. P 4 D. P 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 5logc 6 6logc 5 x 6logc 5 x Khi đó f x a.ln2017 x2 1 x bxsin2018 x 2 1 a.ln2017 bxsin2018 x 2 x2 1 x a.ln2017 x2 1 bxsin2018 x 2 4 Mặt khác f x 6 P f x f x 4 6 4 2 1 1 1 m x2 2 Câu 20: [DS12.C2.4.D06.d] Cho f x e x 1 . Biết rằng f 1 . f 2 . f 3 f 2017 e n với m m,n là các số tự nhiên và tối giản. Tính m n2. n A. m n2 2018 . B. m n2 2018 . C. m n2 1.D. m n2 1. Hướng dẫn giải Chọn D. Xét các số thực x 0
12. 2 2 1 1 x x 1 x2 x 1 1 1 1 Ta có: 1 1 1 . x2 x 1 2 x2 x 1 2 x2 x x x 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20182 1 1 1 1  1 2018 Vậy, f 1 . f 2 . f 3 f 2017 e 1 2 2 3 3 4 2017 2018 e 2018 e 2018 , m 20182 1 hay n 2018 20182 1 Ta chứng minh là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 20182 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 1d , 2018d 20182 d suy ra 1d d 1 20182 1 Suy ra là phân số tối giản, nên m 20182 1,n 2018 . 2018 Vậy m n2 1. 2 cos 2017 x Câu 21: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số f x x 3x 2 và dãy số un được xác định bởi công thức tổng quát un log f 1 log f 2 log f n . Tìm tổng tất cả các giá trị 2018 của n thỏa mãn điều kiện un 1? A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 Hướng dẫn giải n n Ta có: un log f k cos 2017 k log k 1 log k 2 ( k chẵn) ( k lẻ). k 1 k 1 Trường hợp 1: n 2 p (Chẵn), khi đó ta có khai triển sau: un log3 log 4 log 2 p 1 log 2 p 2 log 2 log3 log 2 p log 2 p 1 . 2018 Như vậy un log p 1 cho nên un 1 p 9 n 18 . Trường hợp 1: n 2 p 1 (Lẻ), khi đó ta có khai triển sau: un log3 log 4 log 2 p 1 log 2 p 2 log 2 log3 log 2 p 2 log 2 p 3 . 2018 Như vậy un log 4 p 6 cho nên un 1 p 1 n 3 . 2018 Kết luận: Tổng các giá trị của n thỏa mãn điều kiện un 1 là 21. Chọn A.
13. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ, HÀM LÔGARIT MỘT BIẾN SỐ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: Câu 22: [DS12.C2.4.D07.a] Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau không đúng? x 1 A. Hàm số y có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn 0;3 . 2 B. Hàm số y ex có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên khoảng 0;2 . C. Hàm số y log2 x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng 1;5 . D. Hàm số y 2x có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng  1;2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Vì hàm số y ex đồng biến trên khoảng 0;2 . ln2 x Câu 23: [DS12.C2.4.D07.b] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên 1;e3 . x 4 1 9 ln2 2 A. max y 2 . B. max y . C. max y 3 . D. max y . 1;e3 1;e3 1;e3 1;e3 e e e 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 2 ln x ln x 2 ln x x 1 1,e Ta có y 2 ; y 0 . x x 2 3 x e 1,e 2 4 3 9 4 y 1 0; y e 2 ; y e 3 . Vậy max y 2 . 1;e3 e e e Câu 24: [DS12.C2.4.D07.b] Giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 ln x trên đoạn 2;3 là   A. max y e . B. max y 2 2ln 2 . C. max y 4 2ln 2 . D. max y 1. 2;3 2;3 2;3 2;3 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có y 2 ln x 1 1 ln x ; y 0 1 ln x 0 x e 2;3 . Khi đó: y 2 4 2ln 2; y 3 6 3ln 3 ; y e e . Do đó: max y e . 2;3 Câu 25: [DS12.C2.4.D07.b] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x2ex trên đoạn  1;1? 1 A. e B. C. 2e D. 0 e Hướng dẫn giải Chọn A. Trên đoạn  1;1, ta có: f / x xex x 2 ; f / x 0 x 0 hoặc x 2 (loại). 1 Ta có: f 1 ; f 0 0; f 1 e e Suy ra: max f x e  1;1 VẬN DỤNG:
14. Câu 26: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hai số thực x, y phân biệt thỏa mãn x, y 0;2018 . Đặt 1 y x S ln ln . Mệnh đề nào dưới đây đúng? y x 2018 y 2018 x 2 2 4 4 A. S B. S C. S D. S 1009 1009 1009 1009 Hướng dẫn giải Theo định lý Lagrange ta có: f y f x 2018 2018 2 S f ' u 2 . y x u 2018 u u 2018 u 1009 2 t Trong đó f t ln và u là số nằm giữa x và y . 2018 t Chọn A. Câu 27: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn b 4 . Biết giá trị nhỏ nhất của 4a b2a 7.4a 2 m m biểu thức P 3 a là với m,n là các số nguyên dương và tối giản. 4a ba b n n Tính S m n . A. 43. B. 33. C. 23. D. 13. Hướng dẫn giải Chọn A. a 4 Biến đổi biểu thức và đặt x x 1 ta có b a 4 a b 7 4 x 7 27 P f x x min f x f 3 . a 3 3 1; 4 16 b x 1 16 16 1 b 2 Câu 28: [DS12.C2.4.D07.c] Với giá trị nào của x để hàm số y 22log3 x log3 x có giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Tập xác định của hàm số y 22log3 x log3 x là D 0; . 2 2 2 2log x log x 2 2log3 x 2log x log x 2 2log3 x 2log x log x Ta có y 2 3 3 2 3 3 .ln 2 2 3 3 .ln 2 . x ln 3 x ln 3 x ln 3 2 2 2log3 x 2log3 x log3 x y 0 2 .ln 3 0 log3 x 1 x 3 . x ln 3 x ln 3 Bảng biến thiên x 0 3 y 0 2 y 2 Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số y 22log3 x log3 x đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x 3. Câu 29: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 20x2 20x 1283 e40x trên tập hợp các số tự nhiên là A. 1283 .B. 163.e280 . C. 157.e320 . D. 8.e300 .
15. Hướng dẫn giải Chọn B. y 40x 20 e40x 20x2 20x 1283 40e40x 800x2 840x 51300 e40x 342 300 y 0 x ; x . 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm x 342 300 7,5 40 40 y 0 0 y 7 163.e280 ; y 8 157.e320 . Vậy min y 163.e280. Câu 30: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số y x2 3 x ln x . Gọi M ; N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2. Khi đó tích M.N là: A. 2 7 4ln 5. B. 2 7 4ln 2. C. 2 7 4ln 5. D. 2 7 4ln 2. Hướng dẫn giải Chọn B. Tập xác định D 0; . x x x2 3 Ta có y ln x 1 ln x . x2 3 x2 3 x x2 3 Do x2 3 x x x2 3 x x 0 0 . x2 3 Và x 1 ln x 0 ln x 0 . x x2 3 Do đó y ln x 0 . Nên hàm số nghịch biến trên 1;2. x2 3 Khi đó M y 1 2 ; N y 2 7 2ln 2. Vậy M.N 2 7 4ln 2 . 2 2 Câu 31: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị lớn nhất của y 2sin x 2cos x A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t sin2 x , t 0;1. Tìm GTLN của y 2t 21 t trên 0;1. 1 y 2t ln 2 21 t ln 2 0 2t 21 t t . 2 1 f (0) 3 ; f (1) 3 ; f 2 2 . 2 Vậy max y 3. 0;1 sin 2x Câu 32: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất của hàm số y trên ¡ bằng? A. . B. 1. C. 0 . D. . Hướng dẫn giải Chọn A.
16. sin 2x Với mọi số thực x , ta cósin 2x 1 và y . Lại có y . Suy ra 4 max y . ¡ Câu 33: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x 22 x là: A. minf(x) 4 . B. minf(x) 4 . C. Đáp án khác. D. minf(x) 5 . x ¡ x ¡ x ¡ Hướng dẫn giải Chọn A. 4 4 f (x) 2x 22 x 2x 2 2x. 4 2x 2x Vậy: min f (x) f (1) 4 x ¡ Câu 34: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 2 ln x trên 2;3 là A. .1B. 4 2ln2. C. . e D. . 2 2ln 2 Hướng dẫn giải Chọn B. f x 1 ln x , cho f x 0 x e Khi đó: f 2 4 2ln 2 , f 3 6 3ln 3 và f e e Nên min f x 4 2ln 2 . 2;3 Câu 35: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x2 2ln x trên 1 e ;e là A. M e2 2,m e 2 2 . B. M e 2 2,m 1. C. M e 2 1,m 1.D. M e2 2,m 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 1 Hàm số y x 2ln x xác định và liên tục trên e ;e 1 2 2 2x 2 x 1 e ;e y 2x , cho y 0 x x 1 x 1 e ;e Ta có: y e 1 e 2 2 , y 1 1, y e e2 2 Vậy M e2 2,m 1. Câu 36: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 ln x trên đoạn 1;2. 1 1 1 A. min y . B. min y . C. min y .D. min y 0 . 1;2 2e 1;2 e 1;2 e 1;2 Hướng dẫn giải Chọn D. x 0 [1,2] y x2 ln x y' 2x ln x x y' 0 1/2 x e [1,2] y(1) 0; y(2) 4ln 2 Miny 0 [1,2] 1 Câu 37: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số y ln x x2 1.Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên 2
17. 1 ;2 . 2 1 7 7 A. M . B. M ln 2 1. C. M ln 2. D. M ln 2. 2 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Đặt y f x ln x x2 1. 2 1 TXĐ: Đặt D ;2 thì f x liên tục trên D . 2 1 1 y ln x x2 1 y x 2 x 1 x 1 ;2 1 2 y 0 x 0 x 1 x 1 ;2 2 1 1 1 7 f 1 ; f ln ; f 2 ln 2 1 2 2 2 8 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên ;2 là . 2 2 Câu 38: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất của hàm số y ex x2 x 5 trên đoạn 1;3 bằng: A. 5e3 . B. 7e 3 . C. 2e3 .D. e3 . Hướng dẫn giải Chọn D. y ex x2 x 5 y ex x2 x 5 ex 2x 1 ex x2 x 6 x 2 y 0 x 3 f 1 5e, f 2 3e2 , f 3 e3 Vậy max y e3. Câu 39: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2|x| trên  2;2? 1 1 A. max y 4;min y B. max y 4;miny 4 4 1 C. max y 1;miny D. max y 4;miny 1 4 Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t x , với x  2;2 t 0;2 Xét hàm f t 2t trên đoạn 0;2 ; f t đồng biến trên 0;2 max y max f t 4 ; min y min f t 1  2;2 0;2  2;2 0;2 Hoặc với x  2;2 x 0;2. Từ đây, suy ra: 20 2 x 22 1 2 x 4 Câu 40: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số y x2 3 x ln x trên đoạn 1;2. Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là A. 4ln 2 4 7 . B. 7 4ln 2 . C. 4ln 2 2 7 .D. 2 7 4ln 2 .
18. Hướng dẫn giải Chọn D. Xét trên 1;2 hàm số liên tục. x y ln x 1 0 , x 1;2 x2 3 Nên max y y 1 2 và min y y 2 7 2ln 2 x 1;2 x 1;2 Do đó: max y. min y 2 7 4ln 2 x 1;2 x 1;2 VẬN DỤNG CAO: Câu 41: [DS12.C2.4.D07.d] Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 4sin x 6m sin x 1 f x không nhỏ hơn . 9sin x 41 sin x 3 2 13 2 A. m log . B. m log . C. m log 3. D. m log . 6 3 6 18 6 6 3 Hướng dẫn gải: 2sin x sin x 2 m 2 6 3 3 Hàm số viết lại f x 2sin x . 2 1 4. 3 sin x 2 3 2 t 2 nt t Đặt t f t 2 với 3 2 . 3 1 4t m n 6 0 1 2 3 Bài toán trở thành ''Tìm n 0 để bất phương trình f t có nghiệm trên đoạn ; ''. 3 3 2 2 2 3 1 t nt 1 t ; t 1 Ta có f t t 2 1 3nt  32  n . 3 1 4t 2 3 3 3t t 1 2 3 2 Xét hàm g t trên đoạn ; , ta có min g t g 1 . 2 3 3 3t 3 2 ; 3 3 2 1 2 3 Để bất phương trình f t có nghiệm trên đoạn ; thì bất phương trình g t n 3 3 2 2 3 2 m 2 2 phải có nghiệm trên đoạn ; n min g t n 6 m log6 . 2 3 3 2 ; 3 3 3 3 2 Chọn A. Câu 42: [DS12.C2.4.D07.d] Cho cấp số cộng an ; cấp số nhân bn thỏa mãn a2 a1 0;b2 b1 1 3 và hàm số f x x 3x sao cho f a2 2 f a1 và f log2 b2 2 f log2 b . Số nguyên dương n 1 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bn 2018an là? A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Hướng dẫn giải Tính bảng biến thiên:
19. Vì f a2 f a1 a1,a2 0;1 và a2 1;a1 0 . Tương tự log2 b2 1 và log2 b1 0 . n 1 Khi đó an n 1 và bn 2 . n 1 Vậy bn 2018an 2 2018 n 1 . Chọn A. 9x Câu 43: [DS12.C2.4.D07.d] Cho hàm số f x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của 9x m2 tham số m sao cho f a f b 1 với mọi số thực a,b thỏa mãn ea b e2 a b 1 . Tính tích các phần tử của S . A. 81 B. 3 C. D3. 9 Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: ea b 2 a b 1 ea b 2 1 a b 2 . Mặt khác ta có: ea b 2 1 a b 2 . Do đó dấu bằng phải xảy ra a b 2 0 a b 2 . Chọn D. a x Câu 44: [DS12.C2.4.D07.d] Cho a 1. Biết khi a a0 thì bất đẳng thức x a đúng với mọi x 1; . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 3 A. 1 a0 2 . B. e a0 e .C. 2 a0 3. D. e a0 e . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có bất đẳng thức tương đương với ln a ln x ln xa ln a x a ln x x ln a a x 1 .x ln x ln x 1 ln x Xét hàm số f x ta có f ' x x ; x x2 x f ' x 0 ln x 1 x e . ln a ln e Suy ra f x max f x f e a e a 1; e