Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 2: Hàm số lũy thừa (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 2: Hàm số lũy thừa (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa: Hàm số y x với ¡ được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y x là: • D ¡ nếu là số nguyên dương. • D ¡ \ 0 với nguyên âm hoặc bằng 0. • D (0; ) với không nguyên. 3. Đạo hàm: Hàm số y x , ( ¡ ) có đạo hàm với mọi x 0 và (x ) .x 1. 4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; ) . y x , 0 y x , 0 a. Tập khảo sát: (0; ) a. Tập khảo sát: (0; ) b. Sự biến thiên: b. Sự biến thiên: + y x 1 0, x 0. + y x 1 0, x 0. + Giới hạn đặc biệt: + Giới hạn đặc biệt: lim x 0, lim x . lim x , lim x 0. x 0 x x 0 x + Tiệm cận: không có + Tiệm cận: - Trục Ox là tiệm cận ngang. - Trục Oy là tiệm cận đứng. c. Bảng biến thiên: c. Bảng biến thiên: x 0 x 0 y y y y 0 0 d. Đồ thị: y 1 1 Đồ thị của hàm số lũy thừa y x luôn đi qua điểm I(1;1). Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với 0 1 số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên I toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: 1 0 3 2 0 y x , y x , y x . x O 1
2. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA 1 Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y x2 7x 10 3 . A. ¡ .B. 2;5 . C. ¡ \ 2;5 . D. ;2  5; . 4 Câu 2: Tập xác định của hàm số y x2 x 6 là: A. D ;2  3; .B. D ¡ \ 2;3. C. D R . D. D ¡ \ 0 . 2 Câu 3: Tập xác định của hàm số y 1 x2 3 là A. ; 1  1; . B.  1;1. C. ;1 .D. 1;1 . 12 Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y x2 1 . A. D ¡ \ 1 . B. D 1,1 . C. D ¡ \ 1 . D. D ;1  1; . 2 Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y 3x2 1 1  1  A. D ¡ \  . B. D  . 3  3  1 1 1 1 C. D ;  ; . D. D ; . 3 3 3 3 2 Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số y x2 2x 3 . A. D ¡ .B. D ; 3  1; . C. D 0; . D. D ¡ \ 3;1 . 4 Câu 7: Hàm số y x 1 có tập xác định là A. ¡ . B. 1; . C. ;1 .D. ¡ \ 1 . 6cos Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số y x2 x 4 . A. D ;0  1; . B. D ¡ \ 0;1. C. D 0;1 . D. D ¡ . Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số y x2017 . A. D ;0 . B. D 0; .C. D ¡ . D. D 0; . 2 Câu 10: Tập xác định của hàm số y (x 2) 3 là: A. ¡ \ 2 B. C¡ . D.( 2.; ) (0; )
3. 1 Câu 11: Tập xác định của hàm số y x3 là A. ¡ .B. 0; . C. ¡ \ 0 . D. 0; . Câu 12: Tập xác định của hàm số y 2x x2 là 1 A. 0; .B. 0;2 . C. 0;2 . D. 2 ;0  2; . 1 Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số f x 4x 3 2 . 3 3 3 A. D ¡ . B. D ¡ \ . C. D ; .D. D ; . 4 4 4 2 4x 3x2 3 Câu 14: Biểu thức f x 2 xác định khi: 2x 3x 1 1 4 1 4 A. x 1;  0; . B. x ( ; 1)  ;0  ; . 2 3 2 3 1 4 4 C. x 1;  0; . D. x 1; . 2 3 3 1 Câu 15: Biểu thức f x x3 3x2 2 4 chỉ xác định với: A. x 1 3; . B. x ;1 3  1;1 3 . C. x 1 3;1 .D. x 1 3;1  1 3; . Câu 16: Biểu thức f x (x2 3x 2) 3 2 x xác định với: A. x (0; ) \{1;2}. B. x [0; ) . C. x [0; ) \{1;2}. D. x [0; ) \{1}. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA 1 Câu 17: Đạo hàm của hàm số y 5x2 x 2 3 là 10x 1 10x 1 A. .y B. . y 3 2 2 3 5x x 2 3 5x2 x 2 10x 1 1 C. .y D. . y 2 2 33 5x2 x 2 33 5x2 x 2 Câu 18: Tìm số các đẳng thức đúng trong ba đẳng thức sau: 1 1 3 1 3 1 x x3 x 0 . x3 x 0 . x x 0 33 x2 33 x2 A. Có 3 đẳng thức đúng. B. Không có đẳng thức nào đúng. C. Có 2 đẳng thức đúng. D. Có 1 đẳng thức đúng. 2 Câu 19: Cho hàm số y x 2 . Hệ thức nào sau đây ĐÚNG?
4. A. y y2 0 .B. y 6y2 0 . C. y 8y4 0 . D. y y 0 . Câu 20: Cho hàm số y x . Tính y 1 . A. y 1 ln2 . B. y 1 ln . C. y 1 0. D. y 1 1 . Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số y x 3 x 4 x . 724 x7 1424 x7 17 7 A. y . B. y .C. y . D. y . 24 24 2424 x7 2424 x7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA Câu 22: Hàm số nào trong hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên? 1 A. y x3. B. y x4. C. y x5 . D. y x. Câu 23: Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y xa , y xb , y xc trên miền 0; . Hỏi trong các số a , b , c số nào nhận giá trị trong khoảng 0; 1 ? y y xa y xb y xc O x A. Số a . B. Số a và số c. C. Số b. D. Số c. 2017 Câu 24: Cho hàm số y x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số? A. Có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. B. Không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng. C. Có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng. D. Không có tiệm cận. Câu 25: Cho hàm số y xe 3 trong các kết luận sau kết luận nào sai? A. Đồ thị hàm số nhận Ox,Oy làm hai tiệm cận. B. Đồ thị hàm số luôn đi qua M 1,1 .
5. C. Hàm số luôn đồng biến trên 0, . D. Tập xác định của hàm số là D 0, . Câu 26: Cho hàm số y x 2 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . C. Hàm số có tập xác định là 0; .D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Câu 27: Cho ,  là các số thực. Đồ thị các hàm số y x , y x trên khoảng 0; + được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. .0  1B. . C. .  D.0 . 1 0 1  0 1  TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ 1 a 3 3 a 3 a4 2016 Câu 28: Cho hàm số f a 1 với a 0 , a 1. Tính giá trị M f 2017 . a8 8 a3 8 a 1 A. M 20171008 1.B. M 20171008 1. C. M 20172016 1. D. M 1 20172016 . Câu 29: Cho hàm số f (x) 3 x. x và hàm số g(x) x.3 x . Mệnh đề nào sao đây đúng? A. f 22017 g 22017 . B. f 22017 g 22017 . C. f 22017 2g 22017 . D. f 22017 g 22017 .
6. C – HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C 15.D 16.C 17.C 18.C 19.B 20.D 21.C 22.A 23.D 24.A 25.C 26.D 27.A 28.B 29.A TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: 1 Câu 1: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định của hàm số y x2 7x 10 3 . A. ¡ .B. 2;5 . C. ¡ \ 2;5 . D. ;2  5; . Hướng dẫn giải Chọn B. Hàm số luỹ thừa với số mũ không nguyên, nên hàm số xác định khi x2 7x 10 0 x2 7x 10 0 2 x 5. 4 Câu 2: [DS12.C2.2.D01.a] Tập xác định của hàm số y x2 x 6 là: A. D ;2  3; .B. D ¡ \ 2;3. C. D R . D. D ¡ \ 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 x 3 Điều kiện: x x 6 0 . x 2 2 Câu 3: [DS12.C2.2.D01.a] Tập xác định của hàm số y 1 x2 3 là A. ; 1  1; . B.  1;1. C. ;1 .D. 1;1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Hàm số xác định 1 x2 0 1 x 1 12 Câu 4: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số y x2 1 . A. D ¡ \ 1 . B. D 1,1 . C. D ¡ \ 1 . D. D ;1  1; . Hướng dẫn giải Chọn A. 12 Hàm số y x2 1 xác định khi và chỉ x2 1 0 x 1. Vậy tập xác đinh D ¡ \ 1 .
7. 2 Câu 5: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số y 3x2 1 1  1  A. D ¡ \  . B. D  . 3  3  1 1 1 1 C. D ;  ; . D. D ; . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Điều kiện: 3x2 1 0 x 3 2 Câu 6: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số y x2 2x 3 . A. D ¡ .B. D ; 3  1; . C. D 0; . D. D ¡ \ 3;1 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 x 1 Điều kiện: x 2x 3 0 x 3 Vậy D ; 3  1; 4 Câu 7: [DS12.C2.2.D01.a] Hàm số y x 1 có tập xác định là A. ¡ . B. 1; . C. ;1 .D. ¡ \ 1 . Hướng dẫn giải Chọn D. 4 Hàm số y x 1 xác định khi và chỉ khi x 1 0 x 1 (do số mũ bằng 4 ¢ ). Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là D ¡ \ 1 . 6cos Câu 8: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số y x2 x 4 . A. D ;0  1; . B. D ¡ \ 0;1. C. D 0;1 . D. D ¡ . Hướng dẫn giải Chọn A. 6cos Vì 6cos 3 2 ¢ nên để biểu thức x2 x 4 có nghĩa là khi và chỉ khi 4 x2 x 0 x 1 hoặc x 0 . Câu 9: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số y x2017 . A. D ;0 . B. D 0; .C. D ¡ . D. D 0; . Hướng dẫn giải Chọn C. Hàm số y x2017 là hàm đa thức nên có tập xác định là ; .
8. 2 Câu 10: [DS12.C2.2.D01.a] Tập xác định của hàm số y (x 2) 3 là: A. ¡ \ 2 B. C¡ . ( 2; ) D. .(0; ) Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: x 2 0 x 2 . Vậy TXĐ của hàm số là: D ( 2; ) . 1 Câu 11: [DS12.C2.2.D01.a] Tập xác định của hàm số y x3 là A. ¡ .B. 0; . C. ¡ \ 0 . D. 0; . Hướng dẫn giải Chọn B. Căn cứ ĐK của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Câu 12: [DS12.C2.2.D01.a] Tập xác định của hàm số y 2x x2 là 1 A. 0; .B. 0;2 . C. 0;2 . D. 2 ;0  2; . Hướng dẫn giải Chọn B. Hàm số XĐ 2x x2 0 0 x 2 . Vậy TXĐ: D 0;2 . 1 Câu 13: [DS12.C2.2.D01.a] Tìm tập xác định D của hàm số f x 4x 3 2 . 3 3 3 A. D ¡ . B. D ¡ \ . C. D ; .D. D ; . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 3 Điều kiện hàm f x 4x 3 2 có nghĩa là 4x 3 0 x . 4 2 4x 3x2 3 Câu 14: [DS12.C2.2.D01.b] Biểu thức f x 2 xác định khi: 2x 3x 1 1 4 1 4 A. x 1;  0; . B. x ( ; 1)  ;0  ; . 2 3 2 3 1 4 4 C. x 1;  0; . D. x 1; . 2 3 3 Hướng dẫn giải 2 4x 3x2 3 4x 3x2 1 4 f x 2 xác định khi 2 0 x ( 1; )  (0; ) 2x 3x 1 2x 3x 1 2 3 1 Câu 15: [DS12.C2.2.D01.b] Biểu thức f x x3 3x2 2 4 chỉ xác định với:
9. A. x 1 3; . B. x ;1 3  1;1 3 . C. x 1 3;1 .D. x 1 3;1  1 3; . Hướng dẫn giải 1 f x x3 3x2 2 4 xác định khi x3 3x2 2 0 x 1 3;1  1 3; Câu 16: [DS12.C2.2.D01.b] Biểu thức f x (x2 3x 2) 3 2 x xác định với: A. x (0; ) \{1;2}. B. x [0; ) . C. x [0; ) \{1;2}. D. x [0; ) \{1}. Hướng dẫn giải x 2 2 2 3 x 3x 2 0 f x (x 3x 2) 2 x xác định x 1 x [0; ) \{1;2} x 0 x 0
10. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: 1 Câu 17: [DS12.C2.2.D02.a] Đạo hàm của hàm số y 5x2 x 2 3 là 10x 1 10x 1 A. .y B. . y 3 2 2 3 5x x 2 3 5x2 x 2 10x 1 1 C. y . D. .y 2 2 33 5x2 x 2 33 5x2 x 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 2 2 1 2 10x 1 Ta có: y 5x x 2 3 5x x 2 3 10x 1 3 2 2 33 5x x 2 Câu 18: [DS12.C2.2.D02.a] Tìm số các đẳng thức đúng trong ba đẳng thức sau: 1 1 3 1 3 1 x x3 x 0 . x3 x 0 . x x 0 33 x2 33 x2 A. Có 3 đẳng thức đúng. B. Không có đẳng thức nào đúng. C. Có 2 đẳng thức đúng. D. Có 1 đẳng thức đúng. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 3 x x3 khi x 0 , nên 3 x x3 x 0 sai. 1 1 1 1 Khi x 0 thì x3  . 3 2 3 2 x 3 3 x Khi x 0 . Đặt y 3 x y3 x , đạo hàm hai vế 1 1 1 2 . 3y .y 1 y 2 2 3y 3 3 x 33 x2 Vậy có 2 đẳng thức đúng. 2 Câu 19: Cho hàm số y x 2 . Hệ thức nào sau đây ĐÚNG? A. y y2 0 .B. y 6y2 0 . C. y 8y4 0 . D. y y 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 6 y ; y y 6y2 0 x 2 3 x 2 4 . Câu 20: [DS12.C2.2.D02.a] Cho hàm số y x . Tính y 1 . A. y 1 ln2 . B. y 1 ln . C. y 1 0. D. y 1 1 . Hướng dẫn giải
11. Chọn D. Ta có y x 1 y 1 x 2 do đó y 1 1 . Câu 21: [DS12.C2.2.D02.b] Tính đạo hàm của hàm số y x 3 x 4 x . 724 x7 1424 x7 17 7 A. y . B. y .C. y . D. y . 24 24 2424 x7 2424 x7 Hướng dẫn giải Chọn C. 17 17 17 1 17 y24 x12.x4.x y x 24 y x 24 24 2424 x7
12. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: Câu 22: [DS12.C2.2.D03.a] Hàm số nào trong hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên? 1 A. y x3. B. y x4. C. y x5 . D. y x. Hướng dẫn giải Chọn C. Đồ thị của hình vẽ là đồ thị hàm bậc ba y x3. Câu 23: [DS12.C2.2.D03.a] Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y xa , y xb , y xc trên miền 0; . Hỏi trong các số a , b , c số nào nhận giá trị trong khoảng 0; 1 ? y y xa y xb y xc O x A. Số a . B. Số a và số c. C. Số b. D. Số c. Hướng dẫn giải Chọn D. Nhìn vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số xb là đường thẳng nên ta có được b 1. Khi x 1 thì x xb xc . Do đó 0 c 1. 2017 Câu 24: [DS12.C2.2.D03.b] Cho hàm số y x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số? A. Có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. B. Không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng. C. Có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng. D. Không có tiệm cận. Hướng dẫn giải Chọn A. Tập xác định: D (0; )
13. 1 Ta có lim y lim nên đồ thị có một tiệm cận đứng x 0 x 0 x 0 x 2017 1 Mặt khác lim y lim 0 nên đồ thị có tiệm cận ngang y 0 x x x 2017 Câu 25: [DS12.C2.2.D03.b] Cho hàm số y xe 3 trong các kết luận sau kết luận nào sai? A. Đồ thị hàm số nhận Ox,Oy làm hai tiệm cận. B. Đồ thị hàm số luôn đi qua M 1,1 . C. Hàm số luôn đồng biến trên 0, . D. Tập xác định của hàm số là D 0, . Hướng dẫn giải Chọn C. Vì hàm số y xe 3 y e 3 xe 4 0 x 0 Hàm số luôn nghịch biến trên 0, . Nên C Sai Câu 26: [DS12.C2.2.D03.b] Cho hàm số y x 2 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . C. Hàm số có tập xác định là 0; .D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Hướng dẫn giải Chọn D. Tập xác định: D 0; , suy ra C đúng. Do x 0 nên x 2 0, suy ra A đúng. Ta có: y 2.x 2 1 0;x 0, suy ra B đúng. Ta có lim x 2 nên đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng, đáp án D đúng. x 0 VẬN DỤNG: Câu 27: [DS12.C2.2.D03.c] Cho ,  là các số thực. Đồ thị các hàm số y x , y x trên khoảng 0; + được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 0  1 . B. . 0 C.1 . D. . 0 1  0 1  Hướng dẫn giải Chọn A.  Với x0 1 ta có: x0 1 0; x0 1  0 .  x0 x0 
14. Mặt khác, dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra 1 và  1. Suy ra A là phương án đúng. TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ VẬN DỤNG: 1 a 3 3 a 3 a4 Câu 28: [DS12.C2.2.D04.c] Cho hàm số f a 1 với a 0 , a 1. Tính giá trị a8 8 a3 8 a 1 M f 20172016 . A. M 20171008 1.B. M 20171008 1. C. M 20172016 1. D. M 1 20172016 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 4 1 3 3 3 3 3 3 4 a a a a a a 1 a 1 Ta có: f a a 2 1. 1 1 3 1 1 8 3 8 1 a8 a a a8 a8 a 8 a 2 1 1 Nên M f 20172016 20172016 2 1 20171008 1. Câu 29: [DS12.C2.2.D04.c] Cho hàm số f (x) 3 x. x và hàm số g(x) x.3 x . Mệnh đề nào sao đây đúng? A. f 22017 g 22017 . B. f 22017 g 22017 . C. f 22017 2g 22017 . D. f 22017 g 22017 . Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 1 1 1 2 Ta có f x 3 x x x3 6 x 2 ; g x x 3 x x 2 6 x 3 1 2 22017 1 22017 2 22017 3 f 22017 g 22017