›
›
›

Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu khai thác định lý Vi-Ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học

pdf 60 trang thienle22 4920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu khai thác định lý Vi-Ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfsang_kien_kinh_nghiem_nghien_cuu_khai_thac_dinh_ly_vi_et_va.pdf

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu khai thác định lý Vi-Ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học

  1. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Mục lục Các ứng dụng của định lý vi-ét Phần I: Cơ sở xuất phát 1. Đặt vấn đề 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. Phần II: Nội dung - phương pháp. 1. Lý thuyết (Kiến cơ bản và mở rộng) 2. Các ứng dụng của định lý viét * Các ứng dụng cơ bản. * Các ứng dụng khác. Phần III: Các biện pháp thực hiện Phần IV: Kết quả - bài học kinh nghiệm Phần V: Kết luận Năm học 2011-2012 1 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  2. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Ý TƯỞNG KHAI THÁC HỆ THỨC VI-ÉT(SGK) ĐL VIÉT THUẬN ĐẢO ỨNG DỤNG PT BẬC MẶT 2; 3 VÀ PHẲNG SỐ CÁC TOẠ ĐỘ HỌC LOẠI VÀ HÌNH TỐN HỌC ĐẠI SỐ Năm học 2011-2012 2 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  3. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN I: CƠ SỞ XUẤT PHÁT 1. Đặt vấn đề Trong việc dạy học tốn, việc giải tốn cĩ tầm quan trọng lớn và đã từ lâu là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học tốn. Đối với học sinh ở bậc trung học cơ sở cĩ thể coi việc giải tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn. Việc giải tốn cĩ nhiều ý nghĩa: - Đĩ là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hố kiến thức và rèn luyện kĩ năng kĩ xảo. Trong nhiều trường hợp giải tốn là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. - Đĩ là hình thức vận dụng kiến thức đã học vào các vấn đề cụ thể, thực tế và các vấn đề mới. - Là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra mình về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học. - Việc giải tốn cĩ tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt. 1. Định lý tốn học là mệnh đề đúng. Vì thế nĩ là kiến thức cơ bản cĩ giá trị về phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình tốn nĩi chung cũng như chương trình tốn THCS nĩi riêng. 2. Trong mơn Đại số lớp 9 ở THCS cĩ một định lý đã nĩi rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của nĩ. Đĩ là định lý do nhà tốn học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra được mang tên ơng: Định lý Vi-vét. Năm học 2011-2012 3 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  4. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nĩ cĩ giá trị đặc biệt là nêu lên được nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài tốn liên quan đến phương trình bậc hai như: - Tìm tổng và tích các nghiệm của một phương trình bậc hai khi cĩ nghiệm. - Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm kia. - Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai (khi cĩ nghiệm) trong các trường hợp. - Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. - Lập một phương trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trước Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nĩ cĩ vai trị “một chìa khố” quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài tốn cĩ liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đường thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số 3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nĩ trong chương trình đại 9 cĩ ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một phương trình bậc 2; nêu được quan hệ định tính, định lượng của các nghiệm số với các hệ số của phương trình bậc 2. Cĩ thể nĩi: “Các nghiệm số của phương trình bậc 2 dưới lăng kính của định lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ”. 4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã gĩp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) các dạng bài tập về phương trình bậc 2 (phương trình qui về bậc hai); các bài tốn cĩ liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc 2; những kỹ thuật giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét. 5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn đã gây được hứng thú giải bài tập cho HS, hình thành cho HS những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và ĩc sáng tạo cho các em khi giải các bài tốn cĩ liên quanđến phương trình bậc hai. Năm học 2011-2012 4 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  5. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 6. Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét thơng qua hệ thức giữa các nghiệm số được gắn kết với nhau như hình với bĩng để tạo ra những bài tốn, những ứng dụng phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ. 7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu tư duy, kĩ năng giải tốn cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài tốn trong mối liên hệ sinh động dưới “con mắt động” của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lượng học tập mơn tốn. 8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nĩ trong Đại số, Hình học, Số học cĩ tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì một mơn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học một phong cách nghiên cứu tốn học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phương pháp dạy học một cách hiệu quả. 9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nĩ, của người dạy và người học phần nào cịn nhiều sơ sài như chưa khai thác triệt để định lý đảo; các kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại bài tập cịn hạn chế. Với lý do trên nên tơi đề xuất một vấn đề: “Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nĩ trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học.” 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 2.1. Mục đích: Mục đích của sáng kiến nhằm rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 9 cách khai thác các ứng dụng của định lí Vi- et trong giải tốn nhằm nâng cao chất lượng học cho học sinh khắc phục những vướng mắc trong quá trình tìm tịi tìm phương pháp giải bài tập một cách hợp lí. Thơng qua đĩ giúp học sinh biết khai thác bài tốn nhằm phát triển tư duy cho học sinh cao hơn nữa gĩp phần rèn tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập qua từng bài giảng. Rèn kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận, vận dụng khái niệm, tính chất, kỹ năng sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học tìm hiểu bài tốn phân tích bài tốn và đường lối giải tốn. Năm học 2011-2012 5 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  6. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 2.2. Nhiệm vụ Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để cĩ cơ sở tiếp thu các mơn khoa học khác ở trường cấp II, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Rèn cho học sinh cĩ kỹ năng, kỹ xảo và thĩi quen giải bài tập giúp học sinh xác định đựơc với bài tốn này ta sử dụng phương pháp nào để giải bài tốn? Kiến thức nào áp dụng để giải bài tốn này, cĩ bao nhiêu cách giải và cách nào hay hơn cả, từ đĩ khi gặp những bài tốn khĩ học sinh tư duy tìm cách tháo gỡ nhẹ nhàng hơn, mạch lạc hơn và hiệu quả hơn. 2.3. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này tơi sử dụng phương pháp lí luận qua đọc sách giáo khoa, sách hướng dẫn giảng dạy, sách tham khảo, các tạp chí tốn học liên quan đến đề tài. Bên cạnh đĩ tơi cịn sử dụng các phương pháp khác như: Phương pháp phân tích, tổng hợp so sánh, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy của bản thân, từ đồng nghiệp, đặc biệt từ chuyên đề “Hệ thức Vi – ét và một số bài tốn liên quan” của nhĩm tốn 9 ở trường tơi để thấy được tác dụng của đề tài mà tơi nghiên cứu. 2.4. Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 trường Trung học cơ sở Thái Thái Thịnh - Đống Đa – Hà Nội. - Các em thuộc lứa tuổi 15 đến 16. Là lứa tuổi hiếu động thích làm người lớn, thích thể hiện theo phong cách của người lớn, thích khẳng định mình song lại thiếu sự chín chắn, đơi khi hay hấp tấp, thiếu tính cẩn thận. Tư duy khái quát hố và tổng hợp hố chưa cao nên việc phân tích đầu bài tốn cịn hạn chế, thiếu tính lơ gíc chặt chẽ. Vì vậy, với học sinh đại trà khi gặp bài tốn nâng cao học sinh thường hay lúng túng nên đơi lúc khơng tìm được lời giải bài tốn. Là người đứng trên bục giảng giáo viên phải nắm được đặc điểm này của học sinh. Thơng qua bộ mơn cụ thể là phân mơn Đại số, tơi giúp học sinh cĩ khả năng khai thác bài tốn nhằm phát huy trí thơng minh, năng động, phù hợp với khả năng của học sinh khi giải tốn. Từ đĩ giúp các em học các mơn học khác tốt hơn. Năm học 2011-2012 6 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  7. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG – PHƯƠNG PHÁP 1. LÝ THUYẾT 1. 1. Định lý Viet thuận: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) cĩ 2 nghiệm x1, x2 thì − b S = x1 + x2 = − b a x + x = 1 2 a c (a 0vµΔ 0) P = x1 . x2 = c a x1.x2 = a * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) - Nếu a + b + c = 0 thì (*) cĩ 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = − c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) cĩ 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 1 2 a 1.2. Định lý đảo: x1 + x 2 = S Nếu cĩ 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: x1 .x 2 = P 2 2 t - st + p = 0 (Điều kiện  2 số x1, x2 là s - 4p 0) Chú ý: * Trước khi áp dụng hệ thức Vi- et cần tìm điều kiện để phương trình cĩ 2 nghiệm a 0 Δ 0(Δ' 0) * a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 x + y = S * Nếu cĩ: x = ; y =  là nghiệm hệ phương trình thì ,  là nghiệm xy = P phương trình: t2 - st + p = 0 Năm học 2011-2012 7 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  8. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 1.3. Các ứng dụng cơ bản (thường dùng): a. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2. b. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. c. Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia d. Tìm 2 số biết tổng và tích. e. Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm 1.4. Một số kết quả thu được từ định lý Viet: a. Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử: − b c Khi (*) cĩ 0  x1, x2 / x1 + x2 = ; x1 . x2 = thì a a b c 2 2 2 ax + bx + c = a x + x + = ax − (x1 + x2 )x + x1x2  a a 2 = a(x - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 - Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 . x2 thay đổi. S 2 Do S2 - 4P 0 P 4 S 2 − b S P = x = x = = 4 1 2 2a 2 S maxP = x = x = (Vì x2 - Sx + P = 0 cĩ nghiệm kép) 1 2 2 KL: Hai số cĩ tổng khơng đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau. - Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Khơng đổi) Cịn S = x1 + x2 (thay đổi) Do: S2 - 4P 0 (S − 2 P )(S + 2 P ) 0 S - 2 P 0 ; S = 2 P x1 = x2 = P Năm học 2011-2012 8 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  9. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm KL: 2 số dương cĩ tính khơng đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. c. Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) − b c S = ;P = a a - Điều kiện cho (*) cĩ 2 nghiệm trái dấu là P < 0 Δ 0 - Điều kiện cho (*) cĩ 2 nghiệm cùng dấu là P 0 Δ 0 - Điều kiện để (*) cĩ 2 nghiệm cùng dương là: P 0 S 0 Δ 0 - Điều kiện để (*) cĩ 2 nghiệm cùng âm là: P 0 S 0 Δ = 0 - Điều kiện để (*) cĩ 1 nghiệm kép dương là: S 0 Δ = 0 - Điều kiện để (*) cĩ 1 nghiệm kép âm là: S 0 x + y = f(m) d. Điều kiện của tham số để hệ phương trình: cĩ 1 nghiệm duy nhất x.y = g(m) là: 2 f (m) - 4g(m) = 0 2 (Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t - f(m)t + g(m)) = 0 cĩ nghiệm kép) 2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT 2.1.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 1. Phương pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: Năm học 2011-2012 9 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  10. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm u + v = S Nếu 2 số u và v cĩ thì u và v là nghiệm của phương trình: u.v = P t2 - St + P = 0 (1) Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phương trình (Tìm nghiệm của phương trình đĩ 2 số cần tìm). Chú ý: Nếu S2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số. Nếu S - 4P 0; v > 0). 2u + 2v = 6a u + v = 3a Ta cĩ: 2 2 uv = 2a vu = 2a Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2. 2 2 t - 3at + 2a = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a. 2 2 x1 + x2 = 13 b. Tìm phương trình bậc 2 nhận x1; x=2 là nghiệm và (*) x1x2 = 6 x + x = 5 2 1 2 (x1 + x2 ) − 2x1x2 = 13 Biến đổi hệ (*) ta cĩ: x1 + x 2 = −5 x1x2 = 6 x1x 2 = 6 x + x = 5 1 2 2 x1 , x2 là nghiệm phương trình: x - 5x + 6 = 0 x .x = 6 1 2 2 x1 + x 2 = −5 x1 , x2 là nghiệm phương trình: x + 5x + 6 = 0 x1 .x 2 = 6 3 x + 3 y = 4 (1) c. Giải hệ phương trình: xy = 27 (2) Năm học 2011-2012 10 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  11. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm x + y = 5 (Ta quy về tìm x, y / ) xy = P Từ (1) cĩ 3 x + 3 y = 4 x + y + 33 xy (3 x + 3 y )= 64 x + y = 28 x + y = 28 Vậy hệ (1) (2) cĩ dạng do 282 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm xy = 27 2 của phương trình: t - 28t + 27 = 0. Giải được t1 = 1 ; t2 = 27. Hệ cĩ 2 nghiệm: x = 1 x = 27 ; y = 27 y = 1 5 − x 5 − x d. Giải phương trình: x . x + = 6 (Đ/K: x -1) x +1 x +1 5 − x 5 − x Đặt: u = x ; v = x + = 6 (Đ/K: x -1) x +1 x + 1 u + v = 5 u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: u.v = 6 Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0  t1 = 3; t2 = 2. u1 = 3 u 2 = 2 Từ đĩ cĩ: hoặc . v1 = 2 v 2 = 3 x2 − 2x + 3 = 0 2 Phương trình đã cho x − 3x + 2 = 0 giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM) x −1 e. Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 cĩ 2 nghiệm là x và d; phương trình x2 + cx + d = 0 cĩ 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0. Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho cĩ: c + d = - a (1) c . d = b (2) Năm học 2011-2012 11 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  12. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a + b = - c (3) a . b = d (4) Từ (1) a + c = - d   b = d (3) a + c = - b  Từ (2) c =1 (Vì b = d 0) Từ (4) a = 1 (Chia 2 vế cho b = d 0) Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2 Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) 2.2. Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 và x2 thì biểu thức khơng thay đổi). - Nếu f(x1, x2) đối xứng thì f(x1, x2) luơn cĩ thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2; P = x1 . x2. 2 - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc 2 ax + bx + c = 0 là biểu thức cĩ giá trị khơng thay đổi khi hán vị x1 và x2. Ta cĩ thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: 2 2 2 2 x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = S − 2P 3 3 3 3 x1 + x2 = (x1 + x2 ) −3x1x2 (x1 + x2 )= S −3SP 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1 x2 = (S − 2P) − 2P 1 1 x + x S + = 1 2 = x1 x2 x1x2 P 2 2 2 1 1 x1 + x2 S − 2P 2 + 2 = 2 2 = 2 x1 x2 x1 x2 P Năm học 2011-2012 12 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  13. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm . . . 2. Các ví dụ: a. Bài tốn 1: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) n n Cĩ 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với S n = x1 + x 2 Thì a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 Giải: 2 ax1 + bx 1 + c = 0 Do x1, x2 là nghiệm (*) 2 ax 2 + bx 2 + c = 0 n 2 n n n+2 n+1 n ax1 .x1 + bx 1 .x1 + cx1 = 0 ax1 + bx1 + cx1 = 0 n 2 n n n+2 n+1 n ax 2 .x2 + bx 2 .x2 + cx 2 = 0 ax 2 + bx 2 + cx 2 = 0 n+2 n+2 n+1 n+1 n n a.(x1 + x2 )+ b(x1 + x2 )+ c(x1 + x2 )= 0 hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 b. Bài tốn 2: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: 2 2 3 3 4 4 7 7 2 3 3 2 x1 + x 2 ; x1 + x2 ; x1 + x2 ; . . . ; x1 + x2 ; x1 x2 + x1 x2 ; x1 − x 2 Giải: Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay khơng. = 25 - 8 = 17 > 0 Phương trình cĩ 2 nghiệm x1 x2 2 2 2 Suy ra: • x1 + x 2 = S − 2P = 21 3 3 2 • x1 + x2 = S(S − 3P) = −95 4 4 2 2 2 • x1 + x2 = (S − 2P) − 2P = 441 − 8 = 433 7 7 3 3 4 4 3 3 • x1 + x2 = (x1 + x2 )(x1 + x2 )− x1 .x2 (x1 + x2 ) = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = 2 3 3 2 2 2 2 • x1 x2 + x1 x2 = x1 x2 (x1 + x2 ) = P .S = −20 2 2 2 • x1 − x2 = (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2 = S − 4P = 17 Năm học 2011-2012 13 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  14. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm * Chú ý: Ta cĩ thể mở rộng cho bài tốn trên yêu cầu tính giá trị của n+2 n+2 x1 + x 2 = S n+2 ; Sn + 1 ; Sn bằng cách áp dụng kết quả Bài tốn 1. Sn +2 = - b Sn + 1 - cSn 2 7 7 Ví dụ: Cho x1, x2 là nghiệm phương trình: x - 2x - 2 = 0 Tính x1 + x 2 Ta cĩ: ’ = 3 > 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm x1, x2. 2 2 2 S1 = 2 S 2 = x1 + x2 = (x2 + x2 ) − 2x1 .x2 = 8 S3 = - bS2 - cS1 = 16 + 4 = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136 c. Bài tốn 3: (Học sinh giỏi). Gọi a, b là nghiệm phương trình: 30x2 - 3x = 2002. 30(a 2002 + b2002 )− 3(a 2001 + b2001) Rút gọn (Tính) M = a 2000 + b2000 * Nhận thấy phương trình đã cho: 30x2 - 3x - 2002 = 0 cĩ > 0 n n x1 = a ; x2 = b Sn = a + b áp dụng cơng thức thuộc Bài tốn 1: A . Sn + 1 + B . Sn + 1 + C. Sn = 0 2000 2000 Theo đầu bài ta cĩ: Sn = a + b 2001 2001 Sn + 1 = a + b 2002 2002 Sn +2 = a + b 30 Sn + 2 - 3Sn + 1 - 2002Sn = 0 30 Sn +2 - 3Sn + 1 = 2002Sn 2000S M = n = 2002 S n Năm học 2011-2012 14 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  15. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 2 d. Bài tốn 4: Cho phương trình x - ax + a - 1 = 0 cĩ 2 nghiệm là x1 và x2. Khơng 2 2 3x1 + 3x 2 − 3 giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M = 2 2 . x1 x 2 + x1x 2 Giải: Trước hết kiểm tra xem phương trình đã cho cĩ nghiệm khơng ? Ta cĩ: = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 0 Nên phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là: x1 và x2. áp dụng hệ thức Viet ta cĩ: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1. 2 2 2 3(x1 + x2 ) − 6x1x2 − 3 3a − 6(a −1) − 3 3a − 6a + 3 M = = = 2 (a 0; a 1) x1 x2 (x1 + x2 ) a(a −10 a − a 1 e. Bài 5: Cho a 0; Giả sử x , x là nghiệm của phương trình: x2 − ax − = 0 1 2 a2 4 4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x1 + x 2 − 1 4 4 2 2 Ta cĩ: x1 + x2 = a ; x1.x2 = x + x = (S −2P) −2P a 2 1 2 4 2 E = a + + 4 2 2 + 4 a 4 E = 2 2 + 4 a8 = 2 a = 8 2 Min E = 4 + 2 2 tại a = 8 2 * Chú ý: Nếu biến đổi phương trình đã cho thành phương trình a 2 x 2 − a 3x −1 = 0 (a 0) thì việc xét xem phương trình cĩ nghiệm hay khơng và tìm GTNN tiện lợi hơn. 2.3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc tham số: 1. Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta cĩ thể thực hiện theo các bước sau: Năm học 2011-2012 15 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  16. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a 0 - Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ 2 nghiệm x1 và x2 là: Δ 0 x1 + x2 = f(m) - áp dụng hệ thức Viet ta được (*) x1 .x2 = g(m) - Khi m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng). 2. Ví dụ: a. Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình khơng phụ thuộcm (Độc lập với m). Giải: Trước hết tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm x1, x2 là: a 0 m −1 0 m 1 2 Δ' 0 (m − 4) − (m −1)(m − 5) 0 2m −11 0 11 1 m 2 Khi đĩ theo Viet phương trình cĩ 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(m − 4) x + x = 4(m − 4) 1 2 2(x1 + x 2 ) = m −1 m −1 m − 5 3(m − 5) x .x = 3x .x = 1 2 m −1 1 2 m −1 2 (x1 + x2) - 3x1x2 = 1 (Khơng chứa m). Đĩ chính là hệ thức cần tìm. b. Cho phương trình: (m2 + 1)x2 - 2mx + 1 - m2 = 0. * CMR với mọi m > 1 phương trình luơn cĩ nghiệm. * Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Giải: * Ta cĩ: a = m2 + 1 > 0 (m2 0) nên phương trình đã cho là1 phương trình bậc 2 ẩn x tham số m. Mặt khác, C = 1 - m2 1 m2 > 1). Năm học 2011-2012 16 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  17. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Như vậy: a và c trái dấu ac 1. 2m x + x = 1 2 1 + m 2 * áp dụng hệ thức Viet cĩ: (*) 1 − m 2 x .x = 1 2 m 2 + 1 - Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét: 2 2 2 2 2 2m 1− m x + x + x .x = + ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 1+ m 1+ m 4m2 + m4 − 2m2 +1 m4 + 2m2 +1 = = = 1 (m2 +1)2 m4 + 2m2 +1 2 2 Vậy ta cĩ hệ thức cần tìm là: (x1 + x2) + (x1.x2) = 1 2.4. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi 1 hệ thức cho trước (điều kiện cho trước) 1. Phương pháp Cĩ thể thực hiện các bước * Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho cĩ nghiệm x1, x2. * Bước 2: áp dụng hệ thức Viet, ta cĩ: x1 + x2 = f(m) (*) x1 .x2 = g(m) * Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình cĩ ẩn là tham số từ đĩ tìm được tham số. (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương trình đầu cĩ nghiệm số). 2. Các ví dụ: Năm học 2011-2012 17 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  18. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a. Tìm m để phương trình: 3x2 + 4 (m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0 cĩ 2 nghiệm phân 1 1 1 biệt x1. x2 thoả mãn: + = (x1 + x 2 ) x1 x 2 2 Giải: * Trước hết phương trình phải cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x21 0 nên phải cĩ: ’ > 0. 4 (m - 1)2 - 3 (m2 - 4m + 1) > 0 m2 + 4m + 1 > 0. m -2 + 3 (*) * Theo hệ thức Viet ta cĩ: 4(1− m) m2 − 4m + 1 x + x = ; x .x = 1 2 3 1 2 3 (m2 - 4m + 1 0) m 2 ( ) Từ hệ thức của x1, x2 ta cĩ: x + x x + x 1 1 1 2 1 2 = (x1 + x 2 ) − = 0 x1x 2 2 x1x 2 2 1 1 x1 + x2 = 0 (1) hoặc − = 0 (2) x1x 2 2 4 - Từ (1) cĩ: (1− m) = 0 m = 1 3 3 1 - Từ (2) cĩ: = m2 - 4m + 1 = 6 m2 − 4m +1 2 m = −1 m2 - 4m - 5 = 0 m = 5 * Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) ( ) ta được m = 1 ; m = 5. Như vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phương trình đã cho thoả mãn đầu bài (Chú ý: Cĩ thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau: Năm học 2011-2012 18 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  19. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Δ' 0 4(1 − m) x + x = 1 2 3 m2 − 4m + 1 x .x = 0 1 2 3 1 1 1 + = (x + x ) 1 2 x1 x 2 2 x1 + x2 x1 + x2 Khi cĩ: = nếu chia cho x1 + x2 sẽ làm mấy nghiệm) x1x2 2 2 b. Cho phương trình: x + bx + c = 0 cĩ các nghiệm x1, x2; phương trình: 2 2 x - b x + bc = 0 cĩ các nghiệm x3, x4. Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Tìm b và c. Giải: b2 − 4c 0 * Trước hết phải cĩ: 4 (*) b − 4bc 0 * Theo giả thiết và theo hệ thức Viet cĩ: x1 + x 2 = −b x1 + x2 = −b (1) x1 .x 2 = c x1.x2 = c (2) 2 2 x 3 + x 4 = b (1 + x1 )+ (1 + x2 ) = b (3) x 3 .x 4 = bc (x1 + 1)(x2 + 1) = bc (4) (Vì x3 = x1 + 1 ; x4 = x2 + 1) b = 1 Từ (1) và (3) cĩ: b2 + b - 2 = 0 (b - 1) (b + 2) = 0 b = −2 Từ (4) cĩ: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc c - b + 1 = bc (5) - Với b = 1 thì (5) đúng khi đĩ phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 + x + c = 0 1 Cĩ nghiệm nếu = 1 - 4c 0 c 4 Năm học 2011-2012 19 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  20. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - x + c = 0 cũng cĩ nghiệm nếu 1 c : 4 - Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c c = - 1 Khi đĩ phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0 cĩ nghiệm là 2 2 . Phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 - 2x - 1 = 0 cĩ nghiệm là 1 2 * Kết luận: (b = 1 ; ) hoặc (b = - 2 ; c = - 1) (Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*)) c. Tìm m để phương trình: mx2 - 2 (m - 1)x + 3 (m - 2) = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1. x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1. Giải: Cĩ thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m: m 0 2 m 0;vµ2m − 4m −1 0 ' 0 2 − m 2(m −1) x 2 = x1 + x2 = m m 2(2 − m) 3(m − 2) x1 = 1 − x .x = m 1 2 m 2 − m 2(2 − m) 3(m − 2) x + 2x =1 . 1 − = 1 2 m m m 2 − 6 2 + 6 m 0;vµ m 2 2 2 m = 2 hoặc m = (2 − m)(6m − 4) 3 = 0 m 2 d. Tìm các số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho các nghiệm của nĩ x1 − x2 = 5 thoả mãn: 3 3 x1 − x2 = 35 Giải: * Trước hết phải cĩ điều kiện: > 0 p2 - 4q > 0 Năm học 2011-2012 20 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  21. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm x1 + x 2 = −p (1) x1 .x 2 = q (2) Giải hệ sau: x1 − x 2 = 5 (3) 3 3 (4) x1 − x 2 = 35 2 2 2 Từ (3) cĩ: (x1 - x2) = (x1 + x2) - 4x1x2 = p - 4q = 25 (5) 3 3 2 2 2 Từ (4) cĩ: x1 − x2 = (x1 − x2 )(x1 + x1x2 + x2 ) = 5(x1 + x2 ) − x1x2 = 35 2 2 (x1 + x2) - x1x2 = p - q = 7 (6) p 2 − 4q = 25 Kết hợp (5) và (6) ta cĩ: 2 (*) p − q = 7 Giải được q = - 6 ; p1, 2 = 1 p = 1 p = −1 Nghiệm của hệ (*) là: ; thoả mãn điều kiện: p2 - 4q > 0 q = −6 q = −6 p = 1 p = −1 Kết luận: hoặc q = −6 q = −6 e. Xác định tham số m sao cho phương trình: (1) 2x2 - 3(m + 1)x + m2 - m - 2 = 0 cĩ 2 nghiệm trái dấu (2) mx2 - 2 (m - 2)x + 3 (m - 2) = 0 cĩ 2 nghiệm cùng dấu Giải: (1) Cĩ 2 nghiệm trái dấu m2 - m - 2 < 0 (m + 1) (m - 2) < 0 - 1 < m < 2 m 0 (2) Giải Δ' 0 - 1 m < 0 3(m − 2) 0 m 2.5. Thiết lập phương trình bậc 2: Năm học 2011-2012 21 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  22. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm * Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet). Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P 0) * Các ví dụ: 1. Gọi ,  là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 khơng phải phương trình hãy thành lập phương trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm α β của nĩ là: và . β−1 α−1 − 7 α+ β = 3 * Giải: Theo định lý Viet ta cĩ: với 1 và  1. 4 α.β = 3 α β α2 + β2 − α− β (α+ β)2 − (α+ β) − 2αβ 23 Ta cĩ: + = = = β−1 α−1 (α−1)(β−1) αβ− (α+ β) +1 21 α β αβ 6 . = = β −1 α −1 αβ −(α +β) +1 21 23 6 Vậy và là nghiệm của phương trình X2 − X + = 0 21 21 Hay phương trình: 21X2 - 23X + 6 = 0 * Chú ý: Cĩ thể giải bài tốn trên bằng cách lập phương trình tích rồi đưa về phương trình bậc 2 cần tìm. α β X − X − = 0 β−1 α−1 2. Cho a là số thực sao cho a + 1 0. Lập phương trình bậc 2 cĩ 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn các hệ thức: 4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2) (1) Năm học 2011-2012 22 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  23. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 1 (x - 1) (x - 1) = (2) 1 2 a +1 Giải: * Để lập được 1 phương trình bậc 2 cĩ 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được x1 + x2 và x1.x2 theo a. Ta cĩ: (2) x1.x2 - (x1 + x2) + 1 = − a x .x - (x + x ) = (3) 1 2 1 2 a +1 (1) 4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4 (4) 4 x + x = 1 2 a + 1 Từ (3) và (4) 4 − a x1, x2 là nghiệm của phương trình: x .x = 1 2 a + 1 2 4 4 − a x − x + = 0 hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0. a + 1 a + 1 3. Viết phương trình bậc 2 cĩ nghiệm x1; x2 thoả mãn: 2x1x 2 − 3(x1 .x 2 ) = 2 (1) (x1 − 2)(x 2 − 2) = k + 5 (2) * Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 .x2 theo k. Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta cĩ: 2P − 3S = 2 S = −2k P − 2S = k + 1 P = −3k + 1 Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 ( ĐK: S2 - 4P 0 k2 + 4k - 1 0) * Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P 0. Năm học 2011-2012 23 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  24. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 2.6. Xét dấu các nghiệm số: 1. Phương pháp: Dùng định lý Viet ta cĩ thể xét dấu các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) dựa trên kết quả: c * Nếu p = 0 phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 a Δ 0 * Nếu phương trình cĩ 2 nghiệm cùng dấu. p 0 Δ 0 * Nếu p 0 phương trình cĩ 2 nghiệm dương 0 < x1 x2 s 0 Δ 0 * Nếu p 0 phương trình cĩ 2 nghiệm âm: x1 x2 < 0 s 0 2. Các ví dụ: a. Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1) Xác định m để phương trình: - Cĩ đúng 1 nghiệm âm - Cĩ 2 nghiệm đối nhau. Giải: Xét 2 trường hợp: − 2 * TH1: Với m =0 ta cĩ: (1) - 6x - 4 = 0 x = là nghiệm âm duy nhất 3 của phương trình. * TH2: Với m 0 khi đĩ để (1) cĩ đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là: Năm học 2011-2012 24 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  25. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm m = 4 x 0 = x f(0) = 0vµS 0 1 2 x1 0 x 2 x 0 x p 0 0 m 4 1 2 x1 = x 2 0 x = x 0 − b 9 1 2 Δ = 0vµ 0 m = 2a 2 9 Vậy m (0; 4] hoặc m = thì phương trình cĩ đúng 1 nghiệm âm. 2 b. Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1) * Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm. * Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 x2) với các giá trị tìm được của m. Giải: * Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m cĩ nghiệm số ’ 0 (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) 0 - m2 + 6m - 5 0 m2 - 6m + 5 0 (m - 1) (m - 5) 0 1 m 5. m2 − 4m + 3 * Theo hệ thức Viet cĩ: P = x x = 1 2 2 S = x1 + x2 = m - 1 - Xét dấu của P = x1.x2. Ta cĩ: m2 - 4m + 3 = 0 m = 1 hoặc m = 3 m 1 3 x1x2 + 0 - 0 + Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 x1 = x2 = 0 Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 0 = x1 0 ; s > 0 0 < x1 < x2 Nếu 1 < m < 3 thì p < 0 x1 < 0 < x2. c. Tìm giá trị của m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 (1) cĩ ít nhất 1 nghiệm khơng âm. Năm học 2011-2012 25 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  26. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm − 1 * Giải: * Nếu m = 1 x = 0 (1) cĩ ít nhất 1 nghiệm dương m - Nếu m > 1 S 1 m −1 P > 0 kết hợp với S 1. * Kết luận: Giá trị của m cần tìm là: m < 1. * Cách giải 2: m Xét P = m −1 - (1) cĩ nghiệm x = 0 P = 0 m = 0 (1) - (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu P < 0 0 < m < 1 (2) 1 − 5 1 + 5 m Δ' 0 2 2 m 0 - (1) cĩ 2 nghiệm dương P 0 m < m 1 A 0 m 1 0 (3) Từ (1), (2), (3) m < 1 Năm học 2011-2012 26 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  27. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG KHÁC I. Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) với Parabol (P): y = mx2 (m 0) 1. Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (xA; yA); B 2 (xB; yB) thuộc Parabol y = mx (m 0) * Cơ sở lý luận: Do đường thẳng và Parabol cĩ 2 giao điểm nên hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: mx2 = ax + b mx2 - ax - b = 0. a x + x = A B m Từ đĩ theo Viet ta cĩ: (*) Từ (*) tìm a và b PT (d) − b x .x = A B m 2. Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM) * Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) cĩ duy nhất 1 giao điểm nên phương trình: 2 mx - ax - b = 0 cĩ nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Viet, ta cĩ: x + x = a 1 2 − b a và b phương trình tiếp tuyến. x x = 1 2 m 3. Ví dụ: a. Cho parabol (P) cĩ phương trình: (P): y = x2. Gọi A và B là 2 điểm (P) cĩ hồnh độ lần lượt là xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình dường thẳng đi và A và B. * Giải: (Ta cĩ thể ứng dụng hệ thức Viet). * Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b Năm học 2011-2012 27 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  28. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình hồnh độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b x2 - ax - b =0(*). Ta cĩ: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*). Theo Viet ta cĩ: x A + x B = a a = 1 x A x B = −b b = 2 Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 x 2 b. Cho (P): y = ; A (P) cĩ hồnh độ x = 2 lập phương trình đường 4 A thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Giải: Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là: x 2 = ax + b x2 - 4ax - 4b = 0 (*) 4 Ta cĩ: xA = 2 là nghiệm kép của (*) (x1 = x2 = 2) x1 + x2 = 4a a = 1 Theo Viet ta cĩ: x1x2 = −4b b = −1 Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x – 1 II. bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: 1. Từ hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1.x2. a. Nếu S = x1 + x2 khơng đổi cịn P thay đổi. S 2 Do: S2 - 4P 0 P 4 S 2 − b S Nên P = x = x = = (Vì PT: x2 - Sx + P = 0 cĩ nghiệm kép) max 4 1 2 2a 2 Năm học 2011-2012 28 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  29. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm * Vậy: Nếu 2 số cĩ tổng khơng đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau. b. Giả sử: x1 > 0 ; x2 > 0 và x1.x2 = P (khơng đổi) cịn S = x1 + x2 (thay đổi) vì S2 - 4P 0 (S - 2 P ) (S + 2 P ) 0 S - 2 P 0 S > Min S = x1 = x2 = P * Vậy: Nếu 2 số dương cĩ tích khơng đổi thì tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. 2. Tìm cực trị của biến số trong hệ điều kiện ràng buộc. a. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: a 0 a c = Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min) b a a + b + c = abc bc = a 2 * Giải: Từ giả thiết bài tốn ta cĩ: 3 b + c = abc − a = a − a Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0 = (a3 - a)2 - 4a2 0 a2 [(a2 - 1)2 - 4] 0 (a2 - 3) (a2 + 1) 0 a2 - 3 0 a2 3 a 3 (a > 0) min a = 3 tại b = c = Vậy: amin = 3 tại b = c = * ở bài tốn trên do vai trị của a, b, c như nhau nên cĩ thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c. Mặt khác, trong bài tốn trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức Viet là S2 - 4P 0 (Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc 2) từ đĩ suy ra GTNN. III. bài tốn chứng minh bất đẳng thức Năm học 2011-2012 29 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  30. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm * Liên quan tới nghiệm của 1 phương trình bậc 2 ta cĩ thể sử dụng hệ thức Viet để chứng minh bất đẳng thức cĩ chứa các nghiệm của 1 phương trình bậc 2 đã cho. Hoặc chứng minh các bất đẳng thức cĩ hệ điều kiện ràng buộc cho trước. 1. Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) (m là tham số). a. Chứng minh rằng (1) cĩ nghiệm với mọi m. b. Giả sử (1) cĩ 2 nghiệm là a và b. (m + 2)2 Chứng minh rằng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2 2 Giải: 1 a. Với m = 0 thì (1) trở thành - 2x + 1 = 0 x = 2 (Phương trình cĩ nghiệm với m = 0). Với m 0: (1) là 1 phương trình bậc 2 cĩ = (m + 2)2- 4m = m2+ 4 > 0 m (1) cĩ nghiệm với m 0. Vậy (1) cĩ nghiệm với m. b. Muốn phương trình đã cho (1) cĩ 2 nghiệm a, b thì m 0. Do a, b là các nghiệm của (1) nên theo Viet ta cĩ: m + 2 a + b = m Đặt: X = am - 1; Y = bm + 1 X + Y = m(a + b) X + Y = m(m + 2) : m = m + 2 Chứng minh được: 2 (X2 + Y2) (X + Y)2 với mọi X, Y X2 + Y2 (X + Y)2 / 2 X, Y Thay: X + Y = m + 2 ta cĩ: X2 + Y2 (m + 2)2 /2 Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 (m + 2)2 /2 x + y + z = 5 2. Ví dụ 2: Cho x, y, z thoả mãn (*) xy + yz + xz = 8 Năm học 2011-2012 30 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  31. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 7 Chứng minh rằng: 1 x, y, z 3 y + z = 5 − x Giải: Từ hệ (*) ta cĩ: yz = 8 − x(y + z) = 8 − x(5 − x) y + z = 5 − x 2 yz = x − 5x + 8 Theo Viet: y. z là nghiệm của phương trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8) = 0 Vì phương trình trên cĩ nghiệm 0 (5 - x)2 - 4 (x2 - 5x + 8) 0 - 3x2 + 10x - 7 0 7 3x2 - 10x + 7 0 1 x 3 Bằng cách chứng minh tương tự ta cĩ: 1 y, z * ở bài tốn trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại 2 số y và z chính là điều kiện phương trình (*) cĩ nghiệm số là 0 hay S2 - 4P 0. Từ đĩ suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1. Xây dựng hệ thức Vi-ét - Sau khi học xong cơng thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hướng dẫn HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thơng qua biểu thức: x1 + x2 = ?; x1. x2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tịi thêm các mối liên hệ khác để khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên. 2. Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo của định lý và gợi ý cách chứng minh MĐ: − b c Nếu cĩ x1 + x2 = và x1. x2 = thì x1; x2 là nghiệm của PT bậc 2: a a ax2 + bx + c = 0 (a 0). 2 2 b c Hướng dẫn: f(x) = ax + bx + c = a (x + x + ) = = a (x – x1)(x – x2) a a Năm học 2011-2012 31 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  32. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Vì a 0 nên f(x) = 0 x = x1 hoặc x = x2 kết luận 3. Vận dụng định lý đảo của định lý Vi-ét vào bài tốn tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: a + b = S; a . b = P (S2 – 4P 0) a, b là nghiệm của PT bậc 2: x2 – sx + p = 0 Lưu ý: Trước hết xét s2 – 4p để khẳng định cĩ tồn tại a và b hay khơng tồn tại a và b. Tuy nhiên nếu cĩ 2 số x1; x2 là nghiệm của hệ PT: x1 + x2 = s và x1x2 = p 2 thì khẳng định được ngay x1 và x2 là nghiệm của PT: t – st + p = 0 4. Tiến hành thường xuyên việc nhẩm nghiệm 1 phương trình bậc2 trong các trường hợp: a + b + c = 0; a – b + c = 0 Từ đĩ hình thành thĩi quen quan sát các hệ số của 1pt bậc2 tiến hành nhẩm nghiệm nếu cĩ; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ bằng cách Nhẩm nghiệm trước khi sử dụng cơng thức tổng quát; Tạo thĩi quen sử dụng ht Vi-ét để kiểm tra nghiệm pt bậc 2 5. Xây dựng hệ thống bài tập cĩ ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”. Gồm các bài tốn: - Khơng phải phương trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Khơng đối xứng giữa 2 nghiệm - Cho trước 1 nghiệm số của phương trình bậc 2 Tìm nghiệm cịn lại và tham số. - Tìm một số biết tổng và tích của chúng - Lập một phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước; hoặc hai nghiệm cĩ liên quan tới 2 nghiệm của 1 phương trình đã cho. - Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của 1 phương trình bậc 2 khơng phụ thuộc tham số. - Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một phương trình bậc 2 đã cho thoả mãn 1 hệ thức (1 điều kiện cho trước). Năm học 2011-2012 32 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  33. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm - Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước cùng dấu, trái dấu, dương, âm 6. Đưa hệ thức Viet vào giải 1 số phương trình, hệ phương trình “Khơng mẫu mực” như phương trình, hệ phương trình vơ tỷ. 5 − x 5 − x Ví dụ: Giải phương trình: x( ).(x + ) = 6 (1) x +1 x +1 xy7 + = +1 Giải hệ phương trình: yxxy (2) x xy+= y xy 78 Từ đĩ ý thức cho HS thấy được cĩ những phương trình, hệ phương trình cĩ thể chuyển về vận dụng các ứng dụng của Định lý Viet. Như ở (1) đưa về tìm A vàB A.B = 6 sao cho: A += B 5 ở (2) chỉ ra x > 0 ; y > 0 là điều kiện hệ cĩ nghiệm rồi chuyển hệ về (x + y) + ( −xy ) = 7 dạng (x + y) ( −xy ) = − 78 7. Đề xuất cho HS những bài tốn tìm cực trị của 1 biểu thức đại số cĩ ứng dụng hệ thức Viet như: - Khai thác: S2 – 4p 0 trong các trường hợp S thay đổi P khơng thay đổi, S khơng đổi; P thay đổi. Từ đĩ liên hệ với bất đẳng thức Cơsi và ứng dụng của bất đẳng thức này.- Đưa hệ thức Viet vào bài tốn tìm cực trị của các biến trong hệ điều kiện ràng buộc như: x+ y + z = 5 Tìm cực trị của x, y, z biết rằng: xy++= yz xz 8 Năm học 2011-2012 33 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  34. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 8. Cho HS làm quen với việc sử dụng hệ thức Viet vào bài tốn chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2m2x + 2m2 –2 = 0 ( m >1) a. Chứng minh rằng: Phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt. b. Giả sử: x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho và x1 > x2, hãy chứng 1+ x1 1+ x2 minh: 2 2 x1 + x1 +1 x2 + x2 +1 9. ứng dụng hệ thức Vi ét trong mặt phẳng toạ độ và trong hình học a. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x- y = a2 và parabol (p): y= a x2 (a > 0). Tìm a để (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng: Khi đĩ A và B nằm bên phải trục tung . * ở bài tốn trên cần giúp cho học sinh chỉ ra pt hồnh độ giao điểm : a x2 = 2x – a2 a x2-2x + a2 = 0 (*) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt ’= 1 –a3> 0 a 0 và x2 > 0 x1.x2 = a 0 A và B nằm bên phải trục tung. A 0 b.Cho ABC ( B = 90 ); H đường cao BH = 3cm; AC = 7cm. Tính B AB,BC. * ở bài này nếu đặt vấn đề tìm AB, BC thơng qua tìm AH, HC thì sự hỗ trợ của Vi-ét rất hữu C Năm học 2011-2012 34 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  35. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm hiệu. AH + HC = 7 2 AH .HC = 3 = 9 AH.HC là nghiệm PT: x2 – 7x + 9 = 0. Sau đĩ dễ dàng tìm được AB.AC nhờ hệ thức trong tam giác vuơng Mặt khác, cĩ thể trực tiếp tính AB, BC nhờ vào Pitago và ứng dụng của Viet như sau: AB2 + BC2 = AC (AB + BC)2 – 2AB . BC = AC2 (AB = BC)2 = 49 + 2AC . BH = 49 + 42 = 91 AB + BC = 91 kết hợp với AB . BC = 21 ta tìm AB và BC thơng qua tìm nghiệm phương trình: x2 - x + 21 = 0 (chính là bài tốn tìm 2 số cĩ tổng là S và tích làP) 10. Sử dụng hệ thức Viet ở bài tập số học: Ví dụ: Tìm các số nguyên a để các phương trình sau cĩ nghiệm nguyên. a) x2 – (a + 5)x +5a + 2 = 0 (1) b) x2 + ax + 198 = a (2) x1 + x2 = a + 5 Hướng dẫn: a.Gọi x1,x2 Z là nghiệm (1) theo Viet ta cĩ: (*) x1.x2 = 5a + 2 5x1 + 5x2 = 5a + 25 Từ đĩ (*) x1.x2 = 5a + 2 (x1 – 5)(x2 – 5) = 2 = 1 .2 = 2 . 1 = - 1.(-2) = (-2).(-1) a = 8 hoặc a = 2. x1 + x2 = −a b. Ta cĩ: x1 + x2 – x1 . x2 = -198 (x1 – 1) (x2 – 1) = 199 x1.x2 = 198 − a Do 199 là số nguyên tố nên: (x1 – 1)(x2- 1) = 1.199 = 199.1 = -1.(-199) = -199.(-1) a = 198 hoặc a = -2 11. Gây động cơ nghiên cứu cho HS thơng qua việc đặt vấn đề: Năm học 2011-2012 35 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  36. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Ta hãy dự đốn xem với phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d (a 0) (*) khi cĩ 3 nghiệm: x1; x2; x3 thì các nghiệm này cĩ liên hệ với các hệ số a, b, c, d như thế nào ? sau đĩ GV giới thiệu định lý Viet mở rộng cho phương trình bậc 3. Nếu phương trình bậc 3 (*) cĩ 3 nghiệm x1, x2, x3 thì ta cĩ 3 hệ thức sau giữa các −b x+ x + x = 1 2 3 a c nghiệm: x1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a −d x1 x 2 x 3 = a (Định lý này khơng yêu cầu chứng minh vì sẽ được học ở chương trình tốn cấp 3). 12. Thường xuyên nhấn mạnh việc tìm điều kiện cho mộtphương trình bậc hai cĩ nghiệm số trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét trong các bài tốn về phương trình bậc hai cĩ liên quan tới quan hệ giữa các nghiệm số; đặc biệt là phương trình bậc hai chứa tham số. PHẦN THỰC NGHIỆM 1. TIẾT 57 – HỆ THỨC VI – ET VÀ ỨNG DỤNG Thực hiện:Đặng Thị Hương I. Mục tiêu. 1. Kiến thức : - Học sinh nắm vững định lí vi - et. 2. Kỹ năng : - Học sinh vân dụng được ứng dụng của định lí Viét : - Biết nhẩm nghiệm của phương trìng bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 hoặc trường hợp tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối khơng quá lớn. - Tìm được hai số khi biết tổng và tích của chúng. II. Chuẩn bị. - GV : Bảng phụ ghi định lí, bài tập - HS : Đọc trước bài. III.Phương pháp : - Nêu vấn và giải quyết vấn đề Năm học 2011-2012 36 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  37. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm - Làm việc cá nhân kết hợp hoạt động nhĩm nhỏ. IV.Tiến trình dạy học. A. ổn định lớp.(1’) B. KTBC.(5’) -H1 : Viết cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai. C. Bài mới. ĐVĐ: (40s)Ta đã biết cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai, vậy các nghiệm của phương trình bậc hai cịn cĩ mối liên hệ nào khác với các hệ số của phương trình hay khơng? Để trả lời câu hỏi này ta vào bài học hơm nay. Giáo viên Học sinh Ghi bảng 1. Hệ thức Viét(15’) - Dựa vào cơng thức nghiệm -Một em lên bảng ?1 trên bảng, hãy tính tổng và làm ?1 b x1 + x2 = − tích của hai nghiệm (trong -Dưới lớp làm bài a trường hợp pt cĩ nghiệm) vào vở. c x1.x2 = -Nhận xét bài làm của Hs => a định lí. 2 > 3 em đọc lại *Định lí Viét : Sgk/51. định lí Viét Sgk/51 -Nhấn mạnh: Hệ thức Viét thể hiện mối liên hệ giữa nghiệm và các hệ số của phương trình. -Nêu vài nét về tiểu sử nhà tốn học Pháp Phzăngxoa Viét (1540 – 1603) -áp dụng hệ thức Viét ? Tính tổng và tích các để tính tổng và tích ?2Cho phương trình : nghiệm của pt sau: các nghiệm. a, 2x2 – 5x + 3 = 0 2x2 - 9x + 2 = 0 a = 2 ; b = -5 ; c = 3 +Nửa lớp làm ?2 a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 -Yêu cầu Hs làm ?2, ?3 +Nửa lớp làm ?3 b, Cĩ : 2.12 – 5.1 + 3 = 0 -Hai em lên bảng làm x1 = 1 là một ghiệm của pt. -Gọi đại diện nhĩm lên bảng c, Theo hệ thức Viét : x1.x2 = trình bày. 3 -Nhận xét bài làm cĩ x1 = 1 x2 = = -Sau khi hai Hs làm bài xong, trên bảng. 2 Gv gọi Hs nhận xét, sau đĩ ?3 2 chốt lại: Cho pt : 3x + 7x + 4 = 0 Năm học 2011-2012 37 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  38. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a, a = 3 ; b = 7 ; c = 4 a – b + c = 3 – 7 + 4 = 0 TQ: cho pt ax2 + bx + c = 0 b, cĩ : 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 +Nếu: a + b + c = 0 x1 = -1 là một nghiệm của pt. c ➔ x1 = 1; x2 = . c, x1.x2 = ; x1 = -1=> x2 = - = a 4 + Nếu : a – b + c = 0 − 3 ➔ x1 = -1; x2 = - . *Tổng quát : (SGK) -Trả lời miệng -Yêu cầu Hs làm ?4 ?4 -Kiểm tra xem pt cĩ a, -5x2 + 3x + 2 = 0 ?Khi giải pt bậc hai ta cần chú nhẩm nghiệm được Cĩ : a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0 ý gì. 2 khơng, cĩ là phương x1 = 1 ; x2 = = − trình khuyết khơng 5 2 -Chốt : Khi giải pt bậc hai ta > tìm cách giải phù b, 2004x + 2005x + 1 = 0 cần chú ý xem > cách hợp. Cĩ : giải phù hợp. a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0 1 x1 = -1 ; x2 = - = - 2004 2. Tìm hai số biết tổng và tích của nĩ.(12’) -Hệ thức Viét cho ta biết cách Bài tốn: Tìm hai số biết tổng của tính tổng và tích các nghiệm chúng bằng S, tích của chúng của pt bậc hai. Ngược lại nếu bằng P. biết tổng của hai số nào đĩ là -Nghe Gv nêu vấn đề S, tích là P thì hai số đĩ cĩ thể sau đĩ làm bài tốn là nghiệm của một pt nào Giải chăng? - Gọi số thứ nhất là x -Yêu cầu Hs làm bài tốn. thì số thứ hai là S – x ? Hãy chọn ẩn và lập pt bài +Chọn ẩn - Tích hai số là P tốn pt: x(S – x) = P ? Phương trình này cĩ nghiệm +Pt cĩ nghiệm khi x2 – Sx + P = 0 (1) khi nào 0 KL: Hai số cần tìm là nghiệm của -Nêu KL: Nếu hai số cĩ tổng S2 – 4P 0 phương trình (1). Điều kiện để cĩ bằng S và tích bằng P thì hai hai số là: S2 – 4P 0. 2 số đĩ là nghiệm của pt: x – Sx + P = 0 -Yêu cầu Hs tự đọc VD1 Sgk -Nghe sau đĩ đọc VD1/(SGK) -Yêu cầu Hs làm ?5 VD1 Sgk ?5 Năm học 2011-2012 38 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  39. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm -Một em lên bảng S = 1; P = 5 Hai số cần tìm là làm ?5 nghiệm của pt: x2 – 5x + 5 = 0 = 12 – 4.5 = -19 < 0 pt vơ ghiệm Vây khơng cĩ hai số thỏa mãn -Cho Hs đọc VD2 và giải điều kiện bài tốn thích cách nhẩm nghiệm. -Đọc VD2 VD2: Nhẩm nghiệm pt x2 – 5x + 6 = 0 D. Củng cố.(10’) ? Phát biểu hệ thức Viét và viết cơng thức. Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số. - Bài 25/52-Sgk. Gv: Đưa bài tập lên bảng phụ. Hs: Một em lên bảng điền, dưới lớp làm vào vở. Khơng giải phương trình, hãy điền vào chỗ ( ) 2 a, 2x – 17x + 1 = 0; = ; x1 + x2 = ; x1.x2 = 2 b, 5x – x – 35 = 0; = ; x1 + x2 = ; x1.x2 = 2 c, 8x – x + 1 = 0; = ; x1 + x2 = ; x1.x2 = 2 d, 25x + 10x + 1 = 0; = ; x1 + x2 = ; x1.x2 = Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm ? Nêu cách tìm hai số biết tổng của chúng là S và tích của chúng bằng P.ở mỗi dạng trong tiết này GV phải giúp học sinh nắm chắc cách giải. E. Hướng dẫn về nhà.(2’) - Học thuộc định lí Viét và cách tìm hai số khi biết tổng và tích. - Nắm vững các cách nhẩm nghiệm. - BTVN: 26, 27, 28/53-Sgk. IV. Rút kinh nghiệm. 2. TIẾT 58 – LUYỆN TẬP Thực hiện:Đặng Thị Hương I. Mục tiêu. - Củng cố hệ thức Vi - ét - Rèn luyện kỹ năng vận dụng hệ thức Vi- ét để: - Tính tổng, tích các nghiệm của phương trình bậc hai. - Nhẩm nghiệm của phương trình trong các trường hợp cĩ a + b + c = 0; a – b + c = 0 hoặc qua tổng, tích của hai nghiệm (Hai nghiệm là những số nguyên khơng quá lớn) - Tìm hai số biết tổng và tích của nĩ. - Lập pt biết hai nghiệm của nĩ. Năm học 2011-2012 39 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  40. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm - Phân tích đa thức thành nhân tư nhờ nghiệm của nĩ. II. Chuẩn bị. -Gv : Bảng phụ ghi bài tập -Hs : Học kỹ hệ thức Viét, xem trước bài tập. III.Phương pháp : - Phân tích, tổng hơp. Nêu vấn và giải quyết vấn đề - Làm việc cá nhân kết hợp hoạt động nhĩm nhỏ. IV.Tiến trình dạy học. A. ổn định lớp.(1’) B. KTBC. (5’) -H1 : Viết hệ thức Viét, tính tổng và tích các ngiêm của các pt sau a, 2x2 – 7x + 2 = 0 b, 5x2 + x + 2 = 0 -H2 : Nhẩm nghiệm các pt sau : a, 7x2 – 9x + 2 = 0 b, 23x2 – 9x – 32 = 0 C. Luyện tập(35’). Giáo viên Học sinh Ghi bảng Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số. - Đưa đề bài lên bảng - Hai em lên bảng Bài 30/54-Sgk. ? Tìm m để pt cĩ làm bài a, x2 – 2x + m = 0 nghiệm. Tính tổng và +) Phương trình cĩ nghiệm ' 0 tích các nghiệm của pt. 1 – m 0 m 1 -Từ đĩ tính hoặc +) Theo hệ thức Viét ta cĩ: - Cĩ thể gợi ý: Phương ' rồi tìm m để pt b c x1 + x2 = − = 2 x1.x2 = = m trình cĩ nghiệm khi cĩ nghiệm. a a nào? b, x2 + 2(m – 1)x + m2 = 0 +) Phương trình cĩ nghiệm 0 (m – 1)2 – m2 0 1 - 2m + 1 0 m 2 +) Theo hệ thức Viét ta cĩ: 2 x1 + x2 = = - 2(m – 1) x1.x2 = = m Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm - Đưa đề bài lên bảng. C1: a + b + c = 0 1. Bài 31/54-Sgk. C2: a - b + c = 0 Nhẩm nghiệm pt: 2 ? Cĩ những cách nào để C3: áp dụng hệ thức a, 1,5x – 1,6x + 0,1 = 0 nhẩm nghiệm của pt bậc Viét Cĩ: a + b + c = 0,5 – 0,6 + 0,1 = 0 hai. -Đại diện 3 tổ lên 1 x1 = 1; x2 = = bảng làm bài 15 b, 3 x2 – (1 - 3 )x – 1 = 0 - Cho 3 tổ, mỗi tổ làm - Nhận xét bài trên Cĩ: a – b + c = 3 + 1 - 3 - 1 = 0 Năm học 2011-2012 40 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  41. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm một câu a, b, d. bảng. c 1 3 x1 = - 1; x2 = - = = a 3 3 - Gọi Hs nhận xét bài làm m 1 để m – 1 0 d. (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0 trên bảng. thì mới tồn tại pt bậc (m 1) hai. Cĩ: ? Vì sao cần điều kiện m a + b + c = m – 1 – 2m – 3 + m + 4 1 - áp dụng hệ thức = 0 Viét m + 4 x1 = 1; x2 = = . - Tại chỗ trình bày m −1 - Đưa thêm câu e, f lên e, x2 – 6x + 8 = 0 bảng 2+= 4 6 x1 = 2 ? Nêu cách nhẩm nghiệm Cĩ: 2.4== 8 x2 4 của hai pt này. f. x2 – 3x – 10 = 0 - Gọi Hs tại chỗ trình bày x1+ x 2 =35 x 1 = lời giải. Cĩ: x1. x 2= − 10 x 2 = − 2 Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng ?Nêu cách tìm hai số khi - Nêu cách làm > Bài 32/54-Sgk. Tìm u, v biết biết tổng và tích của áp dụng vào giải bài a, u + v = 42; u.v = 441 chúng. tập Giải u,v là hai nghiệm của pt: x2 – 42x + 441 = 0 2 ' = 21 – 441 = 0 x1 = x2 = 21 Vậy hai số cần tìm là: u = v = 21. Dạng 4:Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nĩ - Nêu đề bài, hướng dẫn Bài 42/44-Sbt. Hs làm bài: - Theo dõi đề và làm Lập phương trình cĩ hai nghiệm là: + Tính tổng, tích của bài theo hướng dẫn a, 3 và 5 chúng. của Gv cĩ: S = 3 + 5 = 8 P = 3.5 = 15 + Lập pt theo tổng và tích Vậy 3 và 5 là hai nghiệm của pt của chúng. x2 – 8x + 15 = 0 - Yêu cầu Hs giải tương - Một em lên bảng b, - 4 và 7 tự phần a làm bài - Đưa đề bài lên bảng - Theo dõi đề bài và Bài 33/54-Sgk. phụ: Chứng tỏ nếu tìm cách chứng ax2 + bx + c = a(x2 + b x + c ) phương trình minh. a a 2 bc ax + bx + c = 0 cĩ hai =a[()] x2 − − x + nghiệm x1, x2 thì tam thức aa 2 2 ax + bx + c = =a[().] x − x1 + x 2 x + x 1 x 2 a( x−− x )( x x ) 12 =axxx[( −1 ) − ( xxxx 2 − 1 2 )] = axxxx ( − 1 )( − 2 ) Năm học 2011-2012 41 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  42. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm - Phân tích hdẫn Hs làm - Thay - = x1 + x2 bài a, 2x2 – 5x + 3 = 0 b c 3 - = ? = x1.x2 cĩ: a + b + c = 0 x1 = 1; x2 = = a a 2 c = ? Vậy: 2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x - ) a - Từ kết quả trên áp Sau đĩ đưa bài giải lên dụng vào làm bài cụ = (x – 1)(2x – 3) bảng phụ. thể. D. Củng cố. (2’) ?Ta đã giải những dạng tốn nào? ?áp dụng những kiến thức nào để giải các dạng tốn đĩ, Phương pháp giải các dạng tốn đĩ? GV chốt kiến thức cho hs bằng việc đưa ra bài tốn tổng quát trên phiếu ( mỗi HS 01phiếu) LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) Bài tốn tổng quát Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) cĩ: 1. Cĩ nghiệm (cĩ hai nghiệm) 0 2. Vơ nghiệm 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 (ở đĩ: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại tốn này) E. Hướng dẫn về nhà.(2’) - Ơn lại lí thuyết cơ bản từ đầu chương III - Xem lại các dạng bài tập đã chữa. - BTVN: 39, 41 ,42/44-Sbt- Tiết sau kiểm tra 45’ IV. Rút kinh nghiệm. Năm học 2011-2012 42 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  43. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 3.CHUYÊN ĐỀ NHĨM TỐN 9 – THCS Thái Thịnh “Hệ thức vi – ét và các ứng dụng” Thực hành: Đ/c Nguyễn Cao cường HỆ THỨC VI – ÉT VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN I- LÝ THUYẾT CƠ BẢN. 1- Định lí Vi-ét. 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) cĩ hai nghiệm x1 và x2 thì: b xx+ = − 12 a c xx= 12a Chứng minh: 2 Do x1 và x2 là hai nghiệm của pt (1) nên: a(x - x1).(x - x2) = ax + bx + c với  x 2 2 2 2 ax - ax1x - ax2x + ax1x2 = ax + bx + c ax - (ax1+ ax2)x + ax1x2 = ax + bx + c b xx+ = − 12 −(ax12 + ax) = b a ax x= c c 12 xx = 12 a 2- Chú ý: Nếu hai số cĩ tổng S và tích P thì hai số đĩ là hai nghiệm của phương trình: x2 -Sx + P = 0 . Điều kiện tồn tại hai số đĩ là: S2 - 4P > 0. II- CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN. DẠNG 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phương trình thoả mãn điều kiện T cho trước. * Bài tốn cơ bản: Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I) Cĩ nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trước. * Phương pháp: Năm học 2011-2012 43 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  44. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Để phương trình (I) cĩ nghiệm ta phải cĩ: ≥ 0 (*) b xx+ = − 12 a Khi đĩ theo hệ thức vi-ét ta cĩ: c xx = 12 a Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phương trình: b xx+ = − 12 a c xx12= so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài tốn. a §iỊu kiƯn T Bài tốn 1: Cho phương trình x2 - 2m x + 2m -1 = 0 (1) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 = 2 x2. Bài giải: Để phương trình (2) cĩ nghiệm ta phải cĩ: =−−'( m)2 ( 2m −=−+=− 1) m2 2m 1( m 1) 0 víi  m Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12+= x 2m (*) Kết hợp với điều kiện x1 = 2 x2 x12 x = 2m − 1 ( ) 2m 4m Thay vào (*) ta cĩ: 2x+ x = 2m x = ;x = 2 2 233 1 2m 4m Thay vào ( ) ta cĩ: .= 2m1 − 8m2 − 18m90 + = 33 33 Giải phương trình ẩn m ta được : m== ; m (thoả mãn ) 1224 Vậy thì phương trình cĩ nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 = 2 x2. Bài tốn 2: Cho phương trình x2 - mx + m + 1 = 0 (2) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0. Bài giải: Để phương trình (2) cĩ nghiệm ta phải cĩ: = m2 - 4m - 4 ≥ 0 (*) m + 2 2 2 ( ) m − 2 2 2 Năm học 2011-2012 44 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  45. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta cĩ: x12+= x m x12 x = m + 1 Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 m + 1 + 2m - 19 = 0 3m = 18 m = 6 ( Thoả mãn ( )) Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. *Lưu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm nếu điều kiện là một phương trình hay bất phương trình mà ta giải nĩ gặp khĩ khăn , chẳng hạn như bài tập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta cĩ thể khơng giải phương trình hay bất phương trình đĩ. Sau khi tìm được m thì thay vào xem cĩ thoả mãn khơng. Ví dụ ở bài tập trên tìm được x = 6 ta thay vào (*) ta cĩ: = 62 - 4.6 - 4 = 8 > 0 , vậy m = 6 thoả mãn (*) Bài tốn 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 ) Tìm các giá trị của m để phương trình cĩ nghiệm x1 ,x2 thảo mãn : 2 2 A = 10 x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đĩ. Bài giải: 2 m3 Phương trình (3 ) cĩ nghiệm Ä' = m - 9 ≥ 0 (*) m3 − Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12+ x = 2( m + 1) = 2m + 2 x12 x = 2m + 10 2 2 2 2 Từ A = 10 x1x2 + x1 + x2 = (x1 + x2 ) + 8 x1x2 = (2m + 2 ) + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48 Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*) Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48. Bài tốn 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 (4 ) Tìm giá trị lớn nhất của M = x1 x 2−− 2x 1 2x 2 Bài giải: Phương trình (4 ) cĩ nghiệm Ä' = -m2 - 6m - 5 ≥ 0 m2 + 6m + 5 0 (m + 1)( m + 5) 0 − 5 m − 1( *) Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x+ x = − m − 1 12 m2 ++ 4m 3 xx12= 2 Năm học 2011-2012 45 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  46. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm m2 ++ 4m 3 Từ M = x x−− 2x 2x = x x−+ 2( x x ) = ++2m 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m2 ++ 8m 7 1 1 = =m22 + 8m + 7 = −( m + 8m + 7) vì với −5 m − 1 2 2 2 thì m2 + 8m + 7 < 0. 122 9 1 9 M = − (m + 4) − 9 = −( m + 4) 2 2 2 2 9 2 Max M = khi (m+= 4) 0 hay m = - 4 .( tmđk*) 2 9 Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM = . 2 Bài tốn 5 : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với  m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 2x12 x+ 3 nhất của P = 22 . x1+ x 2 + 2( x 1 x 2 + 1) Bài giải: a/ Cĩ = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với  m. Vậy phương trình (5) luơn cĩ nghiệm với  m. b/ Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12 + x = m x12 x = m -1 2xx12+ 3 2m232m1 − + + Từ P =2 2 = 2 = 2 x1+ x 2 + 2( x 1 x 2 + 1) m + 2 m + 2 mP22 + 2P = 2m + 1 mP + 2m + 2P − 1 = 0 Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phương trình ẩn m trên phải cĩ nghiệm hay: −1 =−'212PP0 + −( P12P10)( + ) P1 m 2 −1 Min P = khi m=-2.( tm) 2 Max P = 1 khi m=1.( tm) Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng . * Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phương trình cho trước muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau: +Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm . Năm học 2011-2012 46 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  47. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm +Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm . +Từ đĩ áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào được biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m. Bài tốn 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với  m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức: A= x1( 1 − x 2) + x 2( 1 − x 1 ) khơng phụ thuộc vào giá trị của m. Bài giải: 2 2 2 17 a/ Cĩ ' = −+(m 1) −−=++=+( m 1) m m 2 m + 0 với  m. 24 Vậy phương trình (6 ) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với  m. b/ Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12+ x = 2m + 2 x12 x = m − 1 Từ Ax1x=−+−=+−1( 2) x1x 2( 1) ( x 1 x 2) 2xx 1 2 =+−−= 2m22m1( ) 4 Vậy giá trị của biểu thức A khơng phụ thuộc vào giá trị của m. DẠNG 2: Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số. * Phương pháp: Cho hàm số: y = ax2 ( a ≠ 0) (P) và : y = mx + n (d) Hồnh độ giao điểm của (d ) và (P) là nghiệm của phương trình: ax2 = mx + n ax2 - mx - n = 0. (II) +/ Nếu phương trình (II) cĩ hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. +/ Nếu phương trình (II) cĩ nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P). +/ Nếu phương trình (II) vơ nghiệm thì (d ) khơng cĩ điểm chung với cắt (P). Bài tốn 7 : Cho hàm số y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d) a/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m thì (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Gọi y1 , y2 là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để y1 + y2 = 11y1y2. Bài giải: a/ Hồnh độ giao điểm của d và P là nghiệm của phương trình: x2 = 3x + m2 x2 - 3x - m2 = 0 (7) Xét =9 + 4m2 0 víi  m nên phương trình (7) cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m , chứng tỏ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Năm học 2011-2012 47 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  48. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm b/ Khi đĩ hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình (7) . Gọi hai nghiệm đĩ là x1 ,x2 , theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12+= x 3 2 x12 x = − m 2 2 Ta cĩ các tung độ tương ứng là: y1 = x1 ; y2 = x2 2 2 2 2 Từ y1 + y2 = 11y1y2 ta cĩ: x1 + x2 =11x1 .x2 2 2 (x1 + x2) - 2x1x2 -11 (x1x2) = 0 9 +2m2 - 11m4 = 0 11m4 - 2m2 - 9 = 0 (m111m92−)( 2 +) = 0 m10 2 − = m = 1 (tm) Vậy với m = 1 là giá trị cần tìm. 1 Bài tốn 8 : Cho hàm số yx=− 2 (P) 2 a/ Gọi A và B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị cĩ hồnh độ là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB. b/ Đường thẳng y = x + m - 2 (d). (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt . Gọi x1 , x2 là hồnh độ hai giao điểm ấy. Tìm 2 2 2 2 m để x1+ x 2 + 20 = x 1  x 2 . Bài giải: 112 1 2 a/ A (P) , xA = 1 y1= − = − ; B (P) , xB = - 2 y= −( − 2) = − 2 A 22 B 2 1 Vậy A 1;− ; B(−− 2; 2) . Phương trình đường thẳng AB là 2 11 x−− 1yy++ x 1 1 =22 = y = x − 1 (AB ) 13− −2 − 1−+2 − 3 2 22 b/ Hồnh độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình : 1 −x22 = xm2 + − x + 2x2m40 + − = (8) 2 Do (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt pt (8) cĩ hai nghiệm phân biệt > 0 5 ' = 5 - 2m > 0 m (*) 2 x12+ x = − 2 Gọi hai nghiệm đĩ là x1 ,x2 , theo hệ thức vi-ét ta cĩ: x12 x = 2m − 4 Năm học 2011-2012 48 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  49. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 2 2 2 22 2 2 Từ x1+ x 2 + 20xx = 1  2 ( xx 1 + 2) − 2xxxx 1 2 − 1 2 + 200 = Thay vào ta cĩ: (−−2)22 22m4( −−−+= ) ( 2m4) 20 0 4m2 − 12m16 −= 0 m1=− Giải phương trình tìm được kết hợp với điều kiện (*) ta cĩ m = -1 thoả m4= mãn điều kiện bài tốn nên với m = -1 là giá trị cần tìm. 1 Bài tốn 9 : Cho hàm số yx=− 2 (P) và điểm M (1; -2). 2 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cĩ hệ số gĩc m. b/ Chứng minh rằng (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 22 c/ Gọi xA ; xB là hồnh độ của A và B. Tìm m để xABAB x+ x x đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này. Bài giải: a/ Đường thẳng cĩ hệ số gĩc m cĩ dạng : y = mx + b Đường thẳng đĩ đi qua điểm M (1; -2) nên ta cĩ: -2 = m + b b = - m -2 Vậy đường thẳng cần tìm là: y = mx - m - 2 (d) b/ Hồnh độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình : 1 −x22 = mxm2 − − x + 2mx2m40 − − = (9) 2 Xét ’ = m2 +2m + 4 = (m+ 1)2 + 3 0 víi  m , do đĩ (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt với  m. c/ Khi đĩ xA ,xB là nghiệm của phương trình (1) , theo hệ thức Vi-ét ta cĩ: x12+ x = − 2m x12 x = − 2m − 4 22 Từ xABABABAB x+ x x = x x (x + x ) =( −2m − 4)( − 2m) =4m2 + 8m + 4 +( − 4) =(2m + 2)2 +( − 4) − 4 22 Vậy Min (xABAB x+ x x ) = - 4 khi 2m + 2 = 0 hay m = -1 22 Kết luận: Với m = -1 thì xABAB x++ x x 9 giá trị nhỏ nhất, giá trị đĩ bằng -4. DẠNG 3: Lập phương trình bậc hai một ẩn. * Phương pháp: Bước 1: Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm. Năm học 2011-2012 49 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  50. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Bước 2: Nếu hai số cĩ tổng S và tích P thì hai số đĩ là hai nghiệm của phương trình: x2 -Sx + P = 0 . Điều kiện tồn tại hai số đĩ là: S2 - 4P > 0. Bài tốn 10: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nĩ là: a/ 1 và - 6 b/ 2− 1 vµ 3 + 2 c/ m và m -1. Bài giải : a/ Cĩ x1 = 1 x2 = -6 . Ta cĩ tổng hai nghiệm là: x12+ x = 1 +( − 6) = − 5 Tích hai nghiệm là: x12 x= 1 ( − 6) = − 6 2 Vậy phương trình cần lập là: x+ 5x − 6 = 0 cĩ hai nghiệm x1 = 1 và x2 = -6. Các phần khác tương tự. 2 Bài tốn 11: Cho phương trình x+ 2x − 5 = 0 cĩ hai nghiệm x1 và x2 . xx Hãy lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nĩ là: 12vµ . xx21 Bài giải : 2 a/ Ta cĩ : ' = 1− 1.( − 5) = 6 0 nên phương trình cĩ hai nghiệm x1 và x2. Phương trình cần lập cĩ: 22 x x(x+ x) − 2x x( − 2) − 2( − 5) 14 Tổng hai nghiệm là: 12+ =1 2 1 2 = = − x2 x 1 x 1 x 2 − 5 5 xx 14 Tích hai nghiệm là: 12=1 .Vậy phương trình cần lập là: y2 + y + 1 = 0 . xx21 5 * Lưu ý : Để lập được phương trình bậc hai một ẩn cĩ hai nghiệm cho trước thì cịn cách khác nữa chẳng hạn: phương trình cĩ nghiệm x = a và x = b là ( x - a)( x - b) = 0 x2 −( a + b) x + ab = 0 (Vận dụng phương trình tích ), xong lập phương trình bậc hai một ẩn sử dụng định lí vi-ét đảo đa số học sinh dễ hiểu và vận dụng tốt hơn. DẠNG 4: Giải hệ phương trình đối xứng loại I (Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình mà khi thay đổi vai trị hai ẩn cho nhau thì hệ phương trình khơng thay đổi) x22+= y 25 Bài tốn 12 : Giải hệ phương trình xy= 12 Bài giải: Năm học 2011-2012 50 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  51. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 22 x22+= y 25 (xy+) − 2xy25 =( xy +) = 49 x+ y = 7 xy= 12 xy== 12 xy 12 xy= 12 x+= y 7 2 t4= * Nếu thì x và y là nghiệm của phương trình t− 7t + 12 = 0 xy= 12 t3= (tm) x+ y = − 7 2 t4=− * Nếu thì x và y là nghiệm của pt : t+ 7t + 12 = 0 (tm) xy= 12 t3=− x== 4 x 3 x= − 4 x = − 3 Vậy hpt đã cho cĩ bốn nghiệm là: ; ; ; y== 3 y 4 y= − 3 y = − 4 5( x+ y) + 2xy = − 19 Bài tốn 13 : Giải hệ phương trình x+ y + 3xy = − 35 Bài giải: 5S+ 2P = − 19 S = 1 Đặt x + y = S và xy = P ta cĩ: S+ 3P = − 35 P = − 12 x+= y 1 Thay vào ẩn phụ ta cĩ x và y là hai nghiệm của phương trình: xy=− 12 2 t4= t− t − 12 = 0 (tm) t3=− x= 4 x = − 3 Vậy hpt đã cho cĩ hai nghiệm là: ; y= − 3 y = 4 x22+ xy + y = m + 6 Bài tốn 14: Cho hệ phương trình 2x+ xy + 2y = m a/ Giải hệ phương trình với m = 1. b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. Bài giải: 2 x22+ xy + y = 7 (x+ y) − xy = 7 a/ Khi m = 1 thay vào pt ta cĩ hệ: 2x+ xy + 2y = 1 2( x+ y) + xy = 1 S2 −= P 7 Đặt x + y = S và xy = P ta cĩ: 2S+= P 1 Năm học 2011-2012 51 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  52. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Cộng vế với vế sau đĩ chuyển vế ta cĩ: 2 S21 = S+ 2P − 8 = 0 . Giải phương trình ẩn S ta tìm được: S42 =− x+= y 2 +/ Nếu S21 = P1 = -3 vậy ta cĩ: thì x và y là nghiệm của phương xy=− 3 2 t3= trình t− 2t − 3 = 0 (tm) t1=− x+ y = − 4 +/ Nếu S42 =− P2 = 9 vậy ta cĩ: thì x và y là nghiệm của xy= 9 phương trình t2 + 4t + 9 = 0 (ph­¬ng tr×nh v« nghiƯm) x= 3 x = − 1 Vậy hpt đã cho cĩ nghiệm là: ; y= − 1 y = 3 2 x22+ xy + y = m + 6 (x+ y) − xy = m + 6 b/ Ta cĩ 2x+ xy + 2y = m 2( x+ y) + xy = m S2 − P = m + 6 Đặt x + y = S và xy = P ta cĩ: 2S+= P m Cộng vế với vế sau đĩ chuyển vế ta cĩ: S2 + 2P − 2m − 6 = 0 (10) . Để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất thì phương trình (10) ẩn S phải cĩ nghiệm duy nhất( Do a ≠ 0 , nên nghiệm duy nhất là nghiệm kép). 7 ' = 0 . Ta cĩ = 7 + 2m = 0 m =− ( tm) 2 Vậy với thì hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. * Kết luận : Phương pháp chung để giải các hệ phương trình trên khi sử dụng x+= y S định lí Vi-ét đảo bằng cách biến đổi hệ phương trình về dạng khi đĩ x xy= P và y là nghiệm của phương trình t2 − S  t + P = 0 hoặc đưa về dạng hệ phương trình cĩ chứa x+= y S và xy= P , giải phương trình hoặc hệ phương trình ẩn S và P trên và xác định được nghiệm xcủa hệ phương trình. III- BÀI TỐN VẬN DỤNG. Bài tốn 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 1 ) x + m + 5 = 0 . Năm học 2011-2012 52 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  53. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a/ Giải phương trình với m = 5. b/ Trong trường hợp phương trình cĩ nghiệm x1 ,x2 , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ,x2 khơng phụ thuộc vào m. 22 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của xx12+ . Bài tốn 2: Cho phương trình x2 + (2m - 1 )x - m = 0 . a/ Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với  m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. 22 Tìm giá trị của m để A= x1 + x 2 − 6x 1 x 2 cĩ giá trị nhỏ nhất. 1 Bài tốn 3 : Cho hàm số yx=− 2 (P) và điểm M (1; -2). 2 a/ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và cĩ hệ số gĩc m luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m. 22 b/ Gọi xA ; xB là hồnh độ của A và B. Tìm m để xABABAB+ x − 2x x( x + x ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này. Bài tốn 4 : Cho hàm số y= 2x2 − 6x − m + 1( *) với m là tham số. a/ Khi m = 9 tìm x để y = 0. b/ Tìm m để đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số (*) tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đĩ. Bài tốn 5 : Giải hệ phương trình: 22 x22− xy + y = 7 x22+ y + xy = 3 x+ x + y + y = 18 a/ b/ c/ 44 x+= y 5 x+= y 17 x( y+ 1) + y( x + 1) = 72 x−= y 2 Bài tốn 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình 33 x−= y m cĩ nghiệm. x+ y + xy = m Bài tốn 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình 22 x+= y m vơ nghiệm. Năm học 2011-2012 53 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  54. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM * KẾT QUẢ CỤ THỂ Qua trắc nghiệm và khảo sát các đối tượng HS, sau khi cung cấp cho HS nội dung kiến thức kỹ năng các ứng dụng của Vi-et, kết quả bước đầu thu được: -100% số HS biết kiểm tra nghiệm của 1 phương trình bậc 2 bằng hệ thức Viet. - 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 ở 2 trường hợp: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0. - 80% số HS biết nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng định lý Viet đảo: x1 + x2 = s  x1, x2 là nghiệm phương trình bậc 2 x1.x2 = p  - 100% số HS biết tìm 2 số biết tổng, tích và lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước. - 85% số HS tính được giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước. - 80% số HS tìm được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm số khơng phụ thuộc tham số. - 85% số HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức (điều kiện cho trước). - 90% số HS xét dấu được các nghiệm số của một phương trình bậc 2. HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm phương trình bậc 2 cĩ dấu cho trước. - 85% số HS sử dụng hệ thức Viet vào tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 A (xA, yA); B (xB,yB) thuộc parabol y = mx (m 0). Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabơn (p) tại M(xM, yM). - 90% số HS vận dụng hệ thức Vi -et vào tìm cực trị ở các trường hợp: a) S = x1 + x2 (khơng đổi) P thay đổi, P = x1 . x2 Năm học 2011-2012 54 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  55. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm b) P= x1 . x2(khơng đổi) S thay đổi - 80% số HS biết tìm cực trị của biến trong hệ điều kiện ràng buộc. - 90% số HS vận dụng được hệ thức Vi-et và ứng dụng vào bài tập chứng minh bất đẳng thức. - 85% số HS biết vận dụng hệ thức Vi-et vào giải bài tốn hình học. - 90% số HS vận dụng được hệ thức Vi-et vào giải bài tốn cĩ liên quan đến số học. * BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1. Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai tổng quát (khi cĩ nghiệm số). Với các hệ số a, b, c từ đĩ hình thành các hệ thức Vi- ét đến phát biểu được nội dung của định lý Vi-ét là một cơng việc cĩ ý nghĩa vơ cùng quan trọng trong việc dạy tốn theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú. 2. Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra được các ứng dụng quan trọng như tìm tổng và tích các nghiệm số (khơng giải phương trình) Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý tốn học cũng như ý nghĩa của định lý với những bài tốn cĩ liên quan. 3. Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo cĩ nhiều ứng dụng vào các bài tập. - Tìm 2 số biết tổng và tích. - Lập một phương trình biết hai nghiệm. - Nhẩm nghiệm phương trình. 4. Nêu ra một hệ thống ứng dụng của định lý Vi-ét vào các bài tốn cĩ ý nghĩa thiết thực trong rèn luyện kĩ năng và vận dụng hệ thức vào suy luận ở cấp độ tư duy cao như: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc tham số 5. Thường xuyên động viên HS cĩ thĩi quen giải một phương trình bậc hai, trước tiên là sử dụng Vi-ét. Tạo cho HS một động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp Năm học 2011-2012 55 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  56. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm lí) bài tốn cĩ phương trình. Đặc biệt là thĩi quen tính nhẩm trong các trường hợp đã nêu. 6. Thường xuyên “cảnh giác” cho HS trước khi sử dụng hệ thức Vi-ét là tìm điều kiện để phương trình bậc hai cĩ nghiệm số (hoặc điều kiện để cĩ hai số) là một hoạt động cĩ ý nghĩa vận dụng kiến thức trong suy luận và rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ trong giải tốn cho HS. 7. Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài tốn như: Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình Đã làm phong phú và đa dạng hố các bài tập cĩ liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét. 8. Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài tốn về phương trình bậc hai luơn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt. 9. Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý tốn học nĩi chung, định lý Vi-ét nĩi riêng về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các em được vững chắc hơn. KẾT LUẬN 1. Với các ứng dụng phong phú, đa dạng. Định lý Vi-et đã cĩ 1 vị trí quan trọng trong chương trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nĩ vẫn cịn cĩ ý nghĩa với các lớp trên. Cũng như việc mở rộng nĩ với phương trình bậc 3. Định lý này khơng chỉ cĩ giá trị về phương diện thực hành định lượng mà nĩ cịn cĩ giá trị định tính 1 cách phong phú cho các nghiệm số cả phương trình bậc 2. 2. Khai thác các ứng dụng của định lý Vi-et thuận và đảo vào các bài tốn đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phương trình bậc 2, bậc 3. Giúp cho người học rèn luyện các thao tác tư duy đặc biệt là khả năng suy luận và tính linh hoạt trong quá trình học tập mơn tốn. Năm học 2011-2012 56 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  57. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 3. Cung cấp cho HS 1 cách cĩ hệ thống các nội dung - phương pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nĩ đã giúp HS hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của 1 pt bậc 2, bậc 3. Từ đĩ hình thành ở HS thĩi quen học định lý, thấy rõ vai trị của các định lý tốn học trong chương trình tốn, giúp cho các em rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ. 4. Nêu ra được các giải pháp giải từng loại tốn ứng dụng định lý Vi-et. Giúp HS cĩ được phương hướng giải quyết vấn đề cĩ cơ sở lý luận. Xây dựng cho HS niềm tin trong học tập chống tư tưởng ngại khĩ, sợ tốn, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi cái mới, cái hay trong quá trình học trốn. 5. Bước đầu hình thành ở HS những thĩi quen, kỹ năng làm tốn, học tốn cĩ phương pháp. Trang bị cho HS phương pháp thực hành tốn học 1 cách phong phú, đa dạng. Chuẩn bị cho HS những tiền đề để tiếp thu kiến thức và phương pháp mới ở các lớp sau. 6. Gĩp phần quan trọng vào thời kỳ đổi mới phương pháp giáo dục. Đĩ là: việc đi tìm chân lý tốn học khơng chỉ dừng ở chân lý mà cái quan trọng phải thấy được giá trị của chân lý đĩ, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo hướng phát huy tích cực của HS 7. Trên đây là các ứng dụng phong phú của một định lý tốn học (định lý Vi- ét) được xây dựng một cách cĩ hệ thống và cơ sở lý luận, bước đầu đã được thực nghiệm và cho kết quả nhất định nhất là việc bồi dưỡng HS khá giỏi phần nào đã giúp người học hình thành được kỹ năng giải tốn ở các ứng dụng vào các bài tập của định lý Vi-ét gĩp phần phát huy được tính tích cực chủ động trong học tốn, phẩm chất trí tuệ (tư duy) tạo đà cho HS đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay. Tuy nhiên do hạn chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nĩi trên cũng khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sĩt. Vì vậy tơi kính mong sự quan tâm Năm học 2011-2012 57 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  58. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm của hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm của các cấp gĩp ý chân thành cho bản sáng kiến kinh nghiệm được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Đây là mảng kiến thức sau nhiều năm giảng dạy, tơi đã tích lũy và học hỏi được từ các thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp. Nay tơi viết thành sáng kiến kinh nghiệm của tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 4/4/2012 Người viết sáng kiến Đặng Thị Hương Ý kiến đánh giá của hội đồng giám định cấp . Ý kiến đánh giá của hội đồng giám định cấp Năm học 2011-2012 58 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  59. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm . Ý kiến đánh giá của hội đồng giám định cấp Năm học 2011-2012 59 Giáo viên: Đặng Thị Hương
  60. Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2011-2012 60 Giáo viên: Đặng Thị Hương