›
›
›

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

pdf 37 trang thienle22 4950
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfsang_kien_kinh_nghiem_mot_so_phuong_phap_giai_phuong_trinh_n.pdf

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

  1. UBND quËn ®èng ®a Tr•êng THCS Th¸i thÞnh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn M«n To¸n T¸c gi¶: NguyÔn §øc Minh Gi¸o viªn m«n To¸n Hµ Néi, 2012
  2. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A - PhÇn më ®Çu I- §Æt vÊn ®Ò Trong qu¸ tr×nh häc to¸n ë tr•êng THCS häc sinh cÇn biÕt c¸ch tæ chøc c«ng viÖc cña m×nh mét c¸ch s¸ng t¹o. Ng•êi thÇy cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng, ®éc lËp suy nghÜ mét c¸ch s©u s¾c, s¸ng t¹o. V× vËy ®ßi hái ng•êi thÇy mét sù lao ®éng s¸ng t¹o biÕt t×m tßi ra nh÷ng ph•¬ng ph¸p ®Ó d¹y cho häc sinh trau dåi t• duy logic gi¶i c¸c bµi to¸n. Lµ mét gi¸o viªn d¹y to¸n ë tr•êng THCS trùc tiÕp båi d•ìng ®éi tuyÓn häc sinh giái nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ë ch•¬ng tr×nh THCS kh«ng chØ ®¬n gi¶n lµ ®¶m b¶o kiÕn thøc trong SGK, ®ã míi chØ lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn nh•ng ch•a ®ñ. Muèn giái to¸n cÇn ph¶i luyÖn tËp nhiÒu th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ®a d¹ng, gi¶i c¸c bµi to¸n mét c¸ch khoa häc, kiªn nhÉn, tØ mØ, ®Ó tù t×m ra ®¸p sè cña chóng. Muèn vËy ng•êi thÇy ph¶i biÕt vËn dông linh ho¹t kiÕn thøc trong nhiÒu t×nh huèng kh¸c nhau®Ó t¹o høng thó cho häc sinh. Mét bµi to¸n cã thÓ cã nhiÒu c¸ch gi¶i, mçi bµi to¸n th•êng n»m trong mçi d¹ng to¸n kh¸c nhau nã ®ßi hái ph¶i biÕt vËn dông kiÕn thøc trong nhiÒu lÜnh vùc nhiÒu mÆt mét c¸ch s¸ng t¹o v× vËy häc sinh ph¶i biÕt sö dông ph•¬ng ph¸p nµo cho phï hîp. C¸c d¹ng to¸n vÒ sè häc ë ch•¬ng tr×nh THCS thËt ®a d¹ng phong phó nh•: To¸n vÒ chia hÕt, phÐp chia cã d•, sè nguyªn tè, sè chÝnh ph•¬ng, ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. §©y lµ mét d¹ng to¸n cã trong SGK líp 9 nh•ng ch•a ®•a ra ph•¬ng ph¸p gi¶i chung. H¬n n÷a ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã rÊt nhiÒu trong c¸c ®Ò thi:Tèt nghiÖp THCS ;Trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái huyªn, häc sinh giái tØnh . Song khi gi¶i c¸c bµi to¸n nµy kh«ng Ýt khã kh¨n phøc t¹p. Tõ thùc tiÔn gi¶ng d¹y t«i thÊy häc sinh hay bÕ t¾c, lóng tóng vÒ c¸ch x¸c ®Þnh d¹ng to¸n vµ ch•a cã nhiÒu ph•¬ng ph¸p gi¶i hay. Tõ nh÷ng thuËn lîi, khã kh¨n vµ yªu cÇu thùc tiÔn gi¶ng d¹y.T«i chän ®Ò tµi: “RÌn luyÖn t• duy s¸ng t¹o qua mét sè d¹ng to¸n ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” Trong qu¸ tr×nh viÕt ®Ò tµi do ®iÒu kiÖn vµ kinh nghiÖm kh«ng tr¸nh khái khiÕm khuyÕt. RÊt mong ®•îc sù ®ãng gãp, chØ ®¹o cña thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp. - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 2
  3. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn II. §iÒu tra thùc tr¹ng tr•íc khi nghiªn cøu. §Ó ®¸nh gi¸ ®•îc kh¶ n¨ng cña c¸c em ®èi víi d¹ng to¸n trªn vµ cã ph•¬ng ¸n tèi •u truyÒn ®¹t tíi häc sinh, t«i ®· ra mét ®Ò to¸n cho 10 em häc sinh trong ®éi tuyÓn cña tr•êng nh• sau: Bµi 1: ( 6 ® ) a)T×m x, y є Z biÕt x – y + 2xy = 6 b) Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 5x – 7y = 3 Bµi 2: (4 ®) T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh : 1 + x + x2 + x3 = 2y KÕt qu¶ thu ®•îc nh• sau: D•íi ®iÓm 5 §iÓm 5 - 7 §iÓm 8 - 10 §iÓm 5 - 10 SL % SL % SL % SL % 6 60 4 40 0 0 4 40 Qua viÖc kiÓm tra ®¸nh gi¸ t«i thÊy häc sinh kh«ng cã biÖn ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®¹t hiÖu qu¶. Lêi gi¶i th•êng dµi dßng, kh«ng chÝnh x¸c, ®«i khi cßn ngé nhËn . Còng víi bµi to¸n trªn nÕu häc sinh ®•îc trang bÞ c¸c ph­¬ng ph¸p” Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn “th× ch¾c ch¾n sÏ cã hiÖu qu¶ cao h¬n. III-Môc ®Ých - §Ò tµi nh»m rÌn luyÖn cho häc sinh t• duy s¸ng t¹o khi häc vµ gi¶i to¸n. - BiÕt c¸ch ®Þnh h•íng vµ gi¶i bµi tËp ng¾n gän. - Ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh t×m nhiÒu c¸ch gi¶i hay ph¸t triÓn bµi to¸n míi. - Gióp häc sinh tù tin khi gi¶i to¸n hoÆc trong thi cö. IV-Ph¹m vi ¸p dông: - ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y c¸c chuyªn ®Ò trong tr•êng häc hoÆc båi d•ìng ®éi tuyÓn häc sinh giái To¸n líp 9, «n tËp cho häc sinh chuÈn bÞ thi vµo c¸c líp chän, líp chuyªn PTTH. - Thêi gian nghiªn cøu cã h¹n mÆc dï ®•îc sù gãp ý ch©n thµnh cña nhiÒu gi¸o viªn cã chuyªn m«n cao, song vÉn cßn nhiÒu ®iÒu bá ngá ®Ó tiÕp tôc khai th¸c vµ ®i s©u hÕt d¹ng to¸n nµy. - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 3
  4. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn B- Néi dung Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn rÊt ®a d¹ng vµ phong phó nã cã thÓ lµ ph•¬ng tr×nh mét Èn, nhiÒu Èn. Nã cã thÓ lµ ph•¬ng tr×nh bËc nhÊt hoÆc bËc cao. Kh«ng cã c¸ch gi¶i chung cho mäi ph•¬ng tr×nh, ®Ó gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh ®ã th•êng dùa vµo c¸ch gi¶i mét sè ph•¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i nh• sau: Ch•¬ng I - C¸c d¹ng ph•¬ng tr×nh c¬ b¶n I-Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng: ax + by = c (1) víi a, b, c є Z 1.C¸c ®Þnh lÝ: a. §Þnh lÝ 1: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph•¬ng tr×nh ax + by = c (trong ®ã a,b,c lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 ) cã nghiÖm nguyªn (a,b) lµ •íc cña c. b.§Þnh lÝ 2: NÕu (x0, y0) lµ mét nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh ax + by = c th× nã cã v« sè nghiÖm nguyªn vµ nghiÖm nguyªn (x,y) ®•îc cho bëi c«ng thøc: b x = x + t 0 d a Víi t є Z, d = (a,b) y = y − t 0 d 2.C¸ch gi¶i: a.TiÕn hµnh qua 5 b•íc sau: (c¸ch gi¶i chung) B•íc 1: T×m d = (a,b) Khi ®ã ax + by = c a1x + b1y = c1 Víi a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1 B•íc 2: ViÕt thuËt to¸n ¥clit cho 2 sè a1 vµ b1 Gi¶ sö : a1 > b1 Ta cã a1 = q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 rn-2 = rn-1 + rn Víi rn = 1 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 4
  5. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 1 m B•íc 3: TÝnh a0 + = 1 a + n 1 1 a + 2 1 + a k B•íc 4: LÊy nghiÖm riªng (x0’; y0’) cña ph­¬ng tr×nh a1x + b1y = 1 sao cho : x0’ = m x0’ = n hoÆc y0’ = n y0’ = m X¸c ®Þnh dÊu b»ng c¸ch thö trùc tiÕp ®•îc (x0’, y0’) B•íc 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ lµ nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh a1x + b1y = c1 nghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh lµ: x = x0 + b1 t y = y0 –a1t (víi t є Z ) VÝ dô 1: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 5x – 7y = 3 H•íng dÉn: Ta nhËn thÊy (5, 7) = (7, 3) = 1 . VËy ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn §Ó gi¶i ta tiÕn hµnh c¸c b•íc: - ViÕt thuËt to¸n ¥clit cho 2 sè 5 vµ 7 7 = 5.1 + 2 = 1 + 1 = 3 2 2 5 = 2.2 + 1 - T×m nghiÖm riªng cña ph•¬ng tr×nh 5x – 7y = 1 (x0’, y0’) = (3, 2) - T×m nghiÖm riªng cña ph•¬ng tr×nh 5x – 7y = 3 lµ (x0, y0) = (9, 6) nghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh lµ: x = 9 – 7t hay x = 7t + 2 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 5
  6. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn y = 6 – 5t y = 5t + 1 (t є Z ) VÝ dô 2: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 6x –14 y = 12 H•íng dÉn: Ta nhËn thÊy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 pt cã nghiÖm ta tiÕn hµnh gi¶i nh• sau: B•íc 1: 6x –14 y = 12 3x – 7y = 6 B•íc 2: ViÕt thuËt to¸n ¥clit cho 3 vµ 7 7 = 3.2 + 1 m 2 B•íc 3: TÝnh = q0 = 2 = n 1 B•íc 4: T×m nghiÖm riªng cña ph•¬ng tr×nh 3x – 7y = 1 lµ (x0’, y0’) = (-2; -1) B•íc 5: X¸c ®Þnh nghiÖm riªng cña pt 3x – 7y = 6 lµ (x0; y0) = (-12; -6) NghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh 6x –14 y = 12 lµ x = -12 – 7t hay x = 7t + 2 y = -6 – 3t y = 3t (t є Z ) * NhËn xÐt: Trªn ®©y lµ ph•¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax + by = c Tuy nhiªn khi ®i vµo bµi to¸n cô thÓ b»ng c¸c kiÕn thøc vÒ chia hÕt biÕt khÐo lÐo sö dông sÏ cho lêi gi¶i ng¾n gän. b.C¸ch gi¶i th«ng th•êng kh¸c (3 b•íc) B•íc 1: Rót Èn nµy theo Èn kia (gi¶ sö rót x theo y) B•íc 2: Dùa vµo ®iÒu kiÖn nguyªn cña x, tÝnh chÊt chia hÕt suy luËn ®Ó t×m y B•íc 3: Thay y vµo x sÏ t×m ®•îc nghiÖm nguyªn VÝ dô 1: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 2x + 5y =7 H•íng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7 x = 7 − 5y 2 x = 3 – 2y +1 − y 2 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 6
  7. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Do x, y nguyªn 1 − y nguyªn. §Æt 1 − y = t víi (t є Z ) 2 2 y = 1 – 2t x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1 VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh lµ: x = 5t + 1 y = -2t +1 (t є Z ) VÝ dô 2: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 6x – 15 y = 25 H•íng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = 3 mµ 3/25 VËy kh«ng tån t¹i x,y nguyªn sao cho 6x- 15y = 25 VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh. 5x + 7y = 112 H•íng dÉn: Ta cã 5x + 7y = 112 x = 112 − 7y = 22 - y + 2 − 2y 5 5 2 − 2y Do x, y nguyªn nguyªn hay (2 – 2y)  5 2(1-y)  5; (2 , 5) = 1 5 (1-y) 5 hay (y-1) 5 . §Æt y-1 = 5t (t є Z ) y = 5t +1 thay y vµo x ta cã x = 21 – 7t l¹i cã x > 0; y > 0 5t + 1 > 0 t > - 1 5 21 – 7t > 0 t < 3 t = 0;1;2 NÕu t = 0 x = 21; y = 1 NÕu t = 1 x = 14; y = 6 NÕu t = 2 x = 7; y = 11 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 7
  8. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn II. Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng a1x1 + a2x2 + + anxn= c (2) Víi a, c є Z (i = 1,2 n); n 2 1.§Þnh lý: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph•¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm lµ (a1, a2, an) \ c 2.C¸ch gi¶i: §•a ph•¬ng tr×nh vÒ 1 trong 2 d¹ng sau: a. Cã mét hÖ sè cña mét Èn b»ng 1 Gi¶ sö a1 = 1. Khi ®ã x1 = c – a2x2 – a3x3 - - anxn víi x1, x2, ., xn є Z NghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ: (c - a2x2 – a3x3 - - anxn , x2, ., xn) víi x2, ., xn nguyªn bÊt kú b. Cã hai hÖ sè lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau Gi¶ sö ( a1, a2 ) = 1. Khi ®ã pt (2) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - - anxn Gi¶i ph•¬ng tr×nh theo 2 Èn x1, x2 VÝ dô 4: Gi¶i ph•¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn 6x + 15y + 10 z = 3 H•íng dÉn: Ph•¬ng tr×nh 6x + 15y + 10 z = 3 cã nghiÖm nguyªn v× (6 ,15, 10) = 1 vµ 1/3 C¸ch 1: Ta biÕn ®æi 6x + 15y + 10 z = 3 x + 10(y + z) + 5 ( x+ y) = 3 §Æt t = y + z, k = x + y víi( t, k є Z). Ta cã: x + 10 t + 5k = 3 VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh x = 3- 10 t – 5k y = - 3 + 10 t + 6k ( t, k є Z) z = 3 – 9 t – 6k C¸ch 2: 6x + 15y + 10 z = 3 6 (x + z) + 15 y + 4 z = 3 §Æt x + z = t ta cã 6t +15 y + 4z = 3 15 y + 4z = 3 – 6t Ta cã cÆp sè (-1; 4) lµ nghiÖm riªng cña pt 15 y + 4z = 1 nªn (-3 + 6t; 12 – 24 t) lµ nghiÖm riªng cña ph•¬ng tr×nh - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 8
  9. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 15 y + 4z = 3 – 6t Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t lµ: y = -3 + 6t + 4k (k є Z) z = 12 – 24t – 15 k l¹i cã t = x + z x = t – z x = -12 = 25t + 15 k VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph•¬ng tr×nh 6x + 15y + 10 z = 3 lµ: x = -12 = 25t + 15 k y = -3 + 6t + 4k víi ( t, k є Z) z = 12 – 24t – 15 k III. Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®•a vÒ d¹ng g (x1, x2, ., xn) . h (x1, x2, ., xn) = a (3) Víi a є Z 1.C¸ch gi¶i: §Æt g (x1, x2, ., xn) = m (víi m lµ •íc cña a) m h(x1, x2, ., xn) = a Gi¶i hÖ: g (x1, x2, ., xn) = m h(x1, x2, ., xn) = t×m ®•îc x1, x2, ., xn thö vµo (3) ta ®•îc nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh. 2.Chó ý: -NÕu a = 0 ta cã g (x1, x2, ., xn) = 0 h(x1, x2, ., xn) = 0 -NÕu a = p víi p nguyªn tè th× tõ pt (3) ta cã: g (x1, x2, ., xn) = p 1 h(x1, x2, ., xn) = p 2 Víi 1 + 2 = a VÝ dô 5: T×m x, y є Z biÕt x – y + 2xy = 6 H•íng dÉn: Ta cã x – y + 2xy = 6 2 x – 2y + 4 xy = 12 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11 (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 9
  10. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn (2x – 1) (2y + 1) = 11 Ta cã 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) Ta cã 2y + 1 = 1 (x; y) = (6; 0) 2x – 1 = 11 2y + 1 = -1 (x; y) = (-5; -1) 2x – 1 = -11 2y + 1 = 11 (x; y) = (1, 5) 2x – 1 = 1 2y + 1 = -11 (x; y) = ( 0; -6) 2x – 1 = -1 VÝ dô 6: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh 1 + x + x2 + x3 = 2y H•íng dÉn: Ta cã 1 + x + x2 + x3 = 2y (1 + x) (1 + x2) = 2y 1 + x = 2 m vµ 1 + x2 = 2y – m (m nguyªn d•¬ng) x = 2 m – 1 x2 = 22m – 2 m +1 + 1 x2 = 2y – m - 1 x2 = 2y – m – 1 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2 NÕu m = 0 x = 0 ; y = 0 (t/m) NÕu m > 0 2 y – m – 1 – 22m – 1 + 2m = 1 mµ 22m – 1vµ 2m ®Òu lµ sè ch½n nªn: 2 y – m – 1 lÎ 2 y – m – 1 = 1 y – m – 1 = 0 y = m + 1 2 m - 22m – 1 = 0 2 m = 22m – 1 m = 2m – 1 m = 1 y = 2 ; x = 1 VËy (x, y) = (0; 0); (1; 2) - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 10
  11. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn IV. Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®•a vÒ d¹ng 2 2 2 [g1 (x1, x2, ., xn)] + [g2 (x1, x2, ., xn)] + + [gn (x1, x2, ., xn)] = 0 1.C¸ch gi¶i:Ta thÊy vÕ tr¸i cña ph•¬ng tr×nh lµ c¸c sè h¹ng kh«ng ©m, tæng cña chóng b»ng 0 nªn mçi sè h¹ng ph¶i b»ng 0 g1 (x1, x2, ., xn) = 0 Do vËy cã: g2 (x1, x2, ., xn) = 0 gn (x1, x2, ., xn) = 0 Gi¶i hÖ nµy ta ®•îc x1 , x2 , , xn VÝ dô 7: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0 H•íng dÉn: (Dïng ph•¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö ta biÕn ®æi vÕ tr¸i cña ph•¬ng tr×nh) Ta cã 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0 y 2 – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + 4 = 0 (y – x + 1)2 + (x – 2 )2 = 0 VËy y – x + 1 = 0 hay x = 2 x – 2 = 0 y = 1 VËy nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh lµ x = 2 ; y = 1 VÝ dô 8: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh : (x –1) (y+1) = (x+ y)2 H•íng dÉn: Ta cã (x-1) (y+1) = (x+ y)2 (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0 (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0 [(x-1) + 1 (y+1)]2 + 3 (y+1)2 = 0 2 4 y + 1 = 0 y = -1 (x-1) + (y+1) = 0 x = 1 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 11
  12. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ ( x = 1 ; y = -1) V- Ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mµ c¸c Èn cã vai trß b×nh ®¼ng Khi lµm to¸n ta th•êng gÆp mét sè bµi to¸n mµ trong ®ã c¸c Èn b×nh ®¼ng víi nhau . §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau tuú thuéc vµo tõng lo¹i cô thÓ. ë ®©y ta nghiªn cøu ®Õn 1 ph•¬ng ph¸p gi¶i to¸n nµy: Ta gi¶ sö c¸c Èn x¶y ra theo mét trËt tù t¨ng dÇn råi tiÕn hµnh gi¶i VÝ dô 9: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh 1 + 1 + 1 + 9 = 1 xy yz xz xyz H•íng dÉn: Gi¶ sö 1 x y z x2 xy xz yz xyz 1 1 = + + + 1 + 1 + 1 + 9 xz x 2 x 2 x 2 x 2 1 12 x2 12 x є 1, 2,3 x 2 NÕu x = 1 1 + + 1 + 9 = 1 y z yz z + 1 + y + 9 = yz yz – z – y + 1 = 11 (y- 1) (z - 1) = 11 y = 2 ; z = 12 hoÆc z =2 ; y = 12 NÕu x = 2 1 + + 1 + 9 = 1 2y 2z 2yz (2y - 1) (2z-1) = 23 y = 1; z = 12 hoÆc y = 12; z = 1 NÕu x = 3 (3y – 1) (3z - 1) = 37 v« nghiÖm VËy (x, y, z) = (1; 2, 12) vµ c¸c ho¸n vÞ VÝ dô 10: T×m x, y, z nguyªn cña ph•¬ng tr×nh xy yz + + xz = 3 z x y H•íng dÉn: V× x, y, z b×nh ®¼ng nªn ta gi¶ sö 0 < x y z - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 12
  13. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3 = xy + yz + xz = x ( y + z ) + 2x + x z x y z y 3x 3 x 1 x = 1 Víi x = 1 ta cã 3 = + yz + z 2 + yz y yz 1 y = 1 ; z = 1 VËy nghiÖm cña pt (1,1,1) VÝ dô 11: Chøng minh r»ng ph•¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm tù nhiªn 1 + 1 + 1 = 1 (x,y 0) x 2 xy y 2 H•íng dÉn: V× x, y cã vai trß b×nh ®¼ng . Ta gi¶ sö 1 x y Ta cã x2 xy y2 (gi¶ sö ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm tù nhiªn) 1 = + + 1 3 x2 3 y 2 x 2 x = 1( v× x є N* ) 1+ 1 + 1 = 1 (v« nghiÖm) y y2 ph•¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm lµ sè tù nhiªn. Ch•¬ng II: Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Kh«ng cã ph•¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn nh•ng ®Ó gi¶i nã ng•êi ta th•êng ¸p dông mét sè ph•¬ng ph¸p sau hoÆc kÕt hîp c¸c ph•¬ng ph¸p tuú theo tõng bµi cô thÓ. Sau ®©y lµ mét sè ph•¬ng ph¸p th•êng dïng I- Ph•¬ng ph¸p 1 : Sö dông tÝnh ch½n lÎ VÝ dô 12: T×m x, y nguyªn tè tho¶ m·n y2 – 2x2 = 1 H•íng dÉn: Ta cã y2 – 2x2 = 1 y2 = 2x2 +1 y lµ sè lÎ §Æt y = 2k + 1 (víi k nguyªn).Ta cã (2k + 1)2 = 2x2 + 1 x2 = 2 k2 + 2k x ch½n , mµ x nguyªn tè x = 2, y = 3 VÝ dô 13: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 13
  14. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105 H•íng dÉn: Ta cã: (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105 Ta thÊy 105 lÎ 2x + 5y + 1 lÎ 5y ch½n y ch½n + y + x2 + x = + y + x(x+ 1) lÎ cã x(x+ 1) ch½n, y ch½n lÎ = 1 x = 0 Thay x = 0 vµo ph•¬ng tr×nh ta ®•îc (5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y – 104 = 0 y = 4 hoÆc y = − 26 ( lo¹i) 5 Thö l¹i ta cã x = 0; y = 4 lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh II. Ph•¬ng ph¸p 2 : Ph•¬ng ph¸p ph©n tÝch Thùc chÊt lµ biÕn ®æi ph•¬ng tr×nh vÒ d¹ng: g1 (x1, x2, ., xn) h (x1, x2, ., xn) = a VÝ dô 14: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 H•íng dÉn: Ta cã: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 – y2 = 1 [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1 (x+1)2 – y = 1 1 + y = 1- y (x+1)2 + y = 1 (x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y (x+1)2 + y = -1 y = 0 (x+1)2 = 1 x+1 = 1 x = 0 hoÆc x = -2 VËy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 ) VÝ dô 15: T×m x, y nguyªn sao cho ( x + y ) P = xy víi P nguyªn tè. - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 14
  15. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Gi¶i Ta cã ( x + y ) P = xy víi xy – Px – Py = 0 x ( y – P ) – ( Py – P2) = P2 ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mµ P nguyªn tè P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) C¸c cÆp sè (x,y ) lµ: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng. Ph•¬ng ph¸p 3 : Ph•¬ng ph¸p cùc h¹n Sö dông ®èi víi 1 sè bµi to¸n vai trß cña c¸c Èn b×nh ®¼ng nh• nhau: VÝ dô 16: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt H•íng dÉn: Ta gi¶ sö x y z t 1 Ta cã: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt 30 2 = 5 + 5 + 5 + 5 + 10 yzt xzt xyt xyz xyzt t 3 t 3 15 t = 1 hoÆc t = 2 * Víi t = 1 ta cã 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz 5 30 2 = 5 + + 5 + 15 yz xz xy xyz z2 z2 15 z = 1;2;3 NÕu z = 1 cã 5 (x+ y ) + 20 = 2xy (2x – 5) (2y - 5) = 65 x = 35 hoÆc x = 9 y = 3 y= 5 Ta ®•îc nghiÖm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng Víi z = 2; z = 3 ph•¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn * Víi t = 2 th× 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 15
  16. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 4 = 5 + 5 + 5 + 20 35 xy yz xz xyz z 2 2 35 9 z = 2 (v× z t 2) z 4 (8x – 5) (8y – 5) = 265 Do x y z 2 nªn 8x – 5 8y – 5 11 (8x – 5) (8y – 5) = 265 v« nghiÖm vËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ bé (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) vµ c¸c ho¸n vÞ VÝ dô 17: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh x + y + z +t = xyzt H•íng dÉn: Ta gi¶ sö 1 x y z t cã xyzt = x + y + z +t 4t V× t nguyªn d•¬ng xyz 4 xyz {1,2,3,4} NÕu xyz = 1 x = y = z = 1 3+t = t ( lo¹i) NÕu xyz = 2 mµ x y z x = 1; y=1; z = 2 t = 4 NÕu xyz = 3 mµ x y z x = 1; y=1; z = 3 t = 5/2 ( lo¹i ) NÕu xyz = 4 mµ x y z x = 1; y=1; z = 4 hoÆc x = 1; y=2; z = 2 t = 2 ( lo¹i v× t z) hoÆc t = 5/4 ( lo¹i ) VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ bé ( x;y;z) = (1;1;2;4) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng. IV- Ph•¬ng ph¸p lo¹i trõ ( ph•¬ng ph¸p 4 ) Kh¼ng ®Þnh nghiÖm råi lo¹i trõ c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña Èn VÝ dô 18: T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh 1! + 2! + + x! = y2 H•íng dÉn: Víi x 5 th× x! cã tËn cïng lµ 0 vµ 1! + 2! + 3! + 4! Cã tËn cïng lµ 3 1! + 2! + + x! cã tËn cïng lµ 3, kh«ng lµ sè chÝnh ph•¬ng (lo¹i) VËy x < 5 mµ x nguyªn d•¬ng nªn: - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 16
  17. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn x = 1;2;3;4 Thö vµo ph•¬ng tr×nh ta ®•îc (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) lµ tho¶ m·n VÝ dô 19: T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh y2 + y = x4 + x3 + x2 + x H•íng dÉn: Ta cã : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x 4 y2 + 4y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x + 1 (2x2 + x ) 2 - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) 2 - (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thÊy: NÕu x> 0 hoÆc x 0 NÕu x > 2 hoÆc x 0 NÕu x>2 hoÆc x< 1 th× (2x2 + x) <(2y+1)2 < (2x2 + x + 1) 2 (lo¹i) -1 x 2 x = 0, 1, -1, 2 XÐt x = 2 y2 + y =30 y = 5 hoÆc y= -6 XÐt x= 1 y2 + y = 4 (lo¹i) XÐt x = 0 y2 + y = 0 y (y + 1) = 0 y = 0 hoÆc y = -1 XÐt x = -1 y2 + y = 0 y = 0 hoÆc y= -1 VËy nghÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh lµ: (x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1) V.Ph•¬ng ph¸p 5: Dïng chia hÕt vµ cã d• VÝ dô 20: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 – 2y2 = 5 H•íng dÉn: XÐt x  5 mµ x2 – 2y2 = 5 2y2  5 y2 5 (2,5) = 1 5 lµ sè nguyªn tè y2 25 x2 – 2y2 25 l¹i cã x 5 x2 25 5 25 lo¹i - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 17
  18. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn XÐt x  5 y 5 vµ x2 chia cho 5 cã c¸c sè d• 1 hoÆc 4 y2 chia cho 5 cã c¸c sè d• 1 hoÆc 4 2y2 chia cho 5 d• 2 hoÆc 3 x2 – 2 y2 chia cho 5 d• 1 hoÆc 2(lo¹i) VËy ph•¬ng tr×nh x2 – 2y2 = 5 v« nghiÖm VÝ dô 21: T×m x, y lµ sè tù nhiªn tho¶ m·n x2 + 3y = 3026 H•íng dÉn: XÐt y = 0 x2 + 30 = 3026 x2 = 3025 mµ x є N x = 55 XÐt y > 0 3, x2 chia cho 3 d• 0 hoÆc 1 x2 + chia cho 3 d• 0 hoÆc 1 mµ 3026 chia cho 3 d• 2 (lo¹i) VËy nghiÖm (x,y) = (55,0) VI. Ph•¬ng ph¸p 6 : Sö dông tÝnh chÊt cña sè nguyªn tè VÝ dô 22: T×m x, y, z nguyªn tè tho¶ m·n xy + 1 = z H•íng dÉn: Ta cã x, y nguyªn tè vµ xy + 1 = z z > 3 Mµ z nguyªn tè z lÎ xy ch½n x ch½n x = 2 XÐt y = 2 22 + 1 = 5 lµ nguyªn tè z = 5 (tho¶ m·n) XÐt y> 2 y = 2k + 1 (k є N) 22k+1 + 1 = z 2. 4k + 1 = z Cã 4 chia cho 3 d• 1 (2.4k+1) 3 z 3 (lo¹i) VËy x = 2, y = 2, z = 5 tho¶ m·n VÝ dô 23 : T×m sè nguyªn tè p ®Ó 4p + 1 lµ sè chÝnh ph•¬ng H•íng dÉn: - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 18
  19. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®Æt 4p + 1 = x2 (x є N) x lÎ ®Æt x = 2k + 1 (k є N) 4p + 1 = (2k + 1)2 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 p =k(k+1) k(k + 1) ch½n p ch½n, p nguyªn tè p = 2 VII. Ph•¬ng ph¸p 7: §•a vÒ d¹ng tæng VÝ dô 24: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 + y2 – x – y = 8 H•íng dÉn: Ta cã x2 + y2 –x – y = 8 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32 (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 B»ng ph•¬ng ph¸p thö chän ta thÊy 34 chØ cã duy nhÊt 1 d¹ng ph©n tÝch thµnh tæng cña 2 sè chÝnh ph•¬ng 32 vµ 52 Do ®ã ta cã 2x −1 = 3 hoÆc 2x −1 = 5 2y −1 = 5 2y −1 = 3 Gi¶i ra ta ®•îc (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã. VÝ dô 25: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 – 4xy + 5y2 = 169 H•íng dÉn: Ta cã x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thÊy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 x − 2y = 0 hoÆc x − 2y = 13 y = 13 y = 0 hoÆc = 5 hoÆc = 12 = 12 = 5 Gi¶i ra ta ®•îc (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, - 5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 19
  20. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VIII .Ph•¬ng ph¸p 8: Lïi v« h¹n VÝ dô 26: T×m nghiÖm nguyªm cña ph•¬ng tr×nh x2 – 5y2 = 0 H•íng dÉn: 2 2 Gi¶ sö x0, y0 lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh x – 5y = 0 2 ta cã x 0 - 5y = 0 x0  5 ®Æt x0 = 5 x1 2 2 Ta cã (5x1) – 5y = 0 5x 1 - y = 0 2 y0  5 ®Æt y0 = 5y1 x 1 - 5y = 0 V©y nÕu (x0,,y0) lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh ®· cho th× x y ( 0 , 0 ) còng lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh ®· cho. Cø tiÕp tôc lËp luËn nh• 5 5 x y vËy ( 0 , 0 ) víi k nguyªn d•¬ng bÊt kú còng lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh. 5k 5k §iÒu nµy x¶y ra khi x0 = y0 = 0 VËy ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = y = 0 VÝ dô 27: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 + y2 + z2 = x2 y2 H•íng dÉn: NÕu x, y ®Òu lµ sè lÎ x2 , y2 chia cho 4 ®Òu d• 1 x2y2 chia cho 4 d• 1 x2 + y2 chia cho 4 d• 2 z2 chia cho 4 d• 3 (lo¹i) mµ x2 + y2 + z2 = x2 y2 x ch½n hoÆc y ch½n * Gi¶ sö x ch½n hoÆc y ch½n * Gi¶ sö x ch½n x2 , x2y2 ch½n - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 20
  21. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn x2  4 x2 y2 4 (y2 + z2) 4 y vµ z ph¶i ®ång thêi ch½n §Æt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta cã 2 2 x 1 + y 1 +z = x y 2 2 lËp luËn t•¬ng tù ta cã x 2 + y + z = 16 x y 2 qu¸ tr×nh nµy cø tiÕp tôc ta thÊy (x1, y1, z1 ) lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh th× x y z ( 1 , 1 , 1 ) lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh víi k nguyªn d•¬ng 2k 2k 2k x1 = y1 = z1 = 0 VËy pt cã nghiÖm lµ (0, 0, 0) IX. Ph•¬ng ph¸p 9: Sö dông tÝnh chÊt nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh bËc 2 BiÕn ®æi ph•¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph•¬ng tr×nh bËc 2 cña Èn coi c¸c Èn kh¸c lµ tham sè, sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh bËc 2 ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè VÝ dô 28: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 H•íng dÉn: Ta cã pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x lµ tham sè gi¶i ph•¬ng tr×nh bËc 2 pt ' (*) Èn y ta cã y = -(2x + 1) x ' Do y nguyªn, x nguyªn x nguyªn ' 2 2 2 Mµ x = (2x + 1) – (3x + 4x + 5) = x – 4 x2 – 4 = n2 (n є Z) (x- n) (x+ n) = 4 x = 2 x – n = x + n = 2 VËy ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn (x, y) = (2; -5); (-2, 3) VÝ dô 29: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 21
  22. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn H•íng dÉn: Ta cã x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y lµ tham sè ta cã ph•¬ng tr×nh bËc 2 Èn x. Gi¶ sö ph•¬ng tr×nh bËc 2 cã 2 nghiÖm x1, x2 Ta cã x1 + x2 = y + 5 x1 x2 = 5y + 2 Theo ®Þnh lý Viet 5x1 + 5x2 = 5y + 25 x1x2 = 5y + 2 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mµ 2 = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 hoÆc x1 + x2 = 7 y = 8 hoÆc y = 2 thay vµo ph•¬ng tr×nh ta t×m ®•îc c¸c cÆp sè (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh X- Ph•¬ng ph¸p 10 : Dïng bÊt ®¼ng thøc VÝ dô 30: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh x2 –xy + y2 = 3 H•íng dÉn: y 2 Ta cã x2 –xy + y2 = 3 (x- )2 = 3 - 3y 2 4 y Ta thÊy (x- )2 0 3 - 0 -2 y 2 2 y= 2; 1; 0 thay vµo ph•¬ng tr×nh t×m x Ta ®•îc c¸c nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh lµ : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) VÝ dô 31: Chøng minh r»ng ph•¬ng tr×nh y x + + z = b kh«ng cã nghiÖm tù nhiªn khi b = 1 hoÆc b = 2 nh•ng cã v« sè y z x nghiÖm tù nhiªn khi b = 3 H•íng dÉn: Ta thÊy x, y, z є Z + , , > 0 Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã ( + + )3 27 ( )= 27 + + 3 §¼ng thøc x¶y ra khi x = y = z VËy ph•¬ng tr×nh + + = b kh«ng cã nghiÖm lµ sè tù nhiªn khi b = 1 hoÆc - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 22
  23. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b = 2 vµ cã v« sè nghiÖm khi b = 3 ch¼ng h¹n ( x = a, y = a, z = a) víi a lµ sè tù nhiªn bÊt kú. - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 23
  24. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ch•¬ng III: Bµi tËp luyÖn tËp rÌn t• duy s¸ng t¹o Bµi 1:T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh 2x + 3y = 11 H•íng dÉn C¸ch 1: Ta thÊy ph•¬ng tr×nh cã cÆp nghiÖm ®Æc biÖt lµ x0 = 4, y0 = 1 V× 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0 2(x-4) + 3(y-1) = 0 2(x-4) = - 3(y-1) mµ (2,3) = 1 §Æt x – 4 = 3k vµ y – 1 = 2k víi ( k Z) VËy nghiÖm tæng qu¸t cña pt lµ : x = 4 – 3k y = 1+ 2k ( k Z) *NhËn xÐt: Theo c¸ch gi¶i nµy ph¶i t×m ra 1 cÆp nghiÖm nguyªn ®Æc biÖt (x0, y0) cña ph•¬ng tr×nh v« ®Þnh ax + by = c NÕu ph•¬ng tr×nh cã hÖ sè a, b, c lín th× c¸ch gi¶i khã kh¨n. C¸ch 2: Dïng tÝnh chÊt chia hÕt. Ta cã 2x + 3y = 11 y −1 x= 11 − 3y = 5- y- 2 2 y −1 Do x, y nguyªn nguyªn 2 ®Æt = k y = 2k +1 x = 4- 3k (k Z) y = 2k +1 (k Z) VËy nghiÖm tæng qu¸t: x = 4- 3k Bµi 2: T×m cÆp sè nguyªn d•¬ng (x,y) tho¶ m·n ph•¬ng tr×nh 6x2 + 5y2 = 74 H•íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 6x2 –24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) 6(x2 – 4)  5 x2 – 4 5 (6, 5) = 1 x2 = 5t + 4 (t N) Thay x2 – 4 = 5t vµo ph•¬ng tr×nh y2 = 10 – 6t − 4 l¹i cã x2 > 0 t > 5 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 24
  25. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn y2 > 0 t < 5 3 t = 0 hoÆc t = 1 víi t = 0 ta cã x2 = 4, y2 = 10 (lo¹i) Víi t = 1 ta cã x2 = 9 x = 3 y2 = 4 y = 2 mµ x, y Z + x = 3, y = 2 tho¶ m·n C¸ch 2: Sö dông tÝnh ch½n lÎ vµ ph•¬ng ph¸p chÆn Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 lµ sè ch½n y ch½n l¹i cã 0< 6x2 0< 5y2 < 74 0 < y2 < 14 y2 = 4 x2 = 9 CÆp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2) C¸ch 3: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75 x2 + 1  5 mµ 0 < x2 12 x2 = 4 hoÆc x2 = 9 Víi x2 = 4 y2 = 10 lo¹i Víi x2 = 9 y2 = 4 tho¶ m·n cÆp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2) Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh: x2 + y2 = 2x2y2 H•íng dÉn: C¸ch 1: §Æt x2 = a, y2 = b Ta cã a + b = 2 ab a b a = b a = b b a NÕu a = b 2a = 2a2 a= a2 a= 0, a= 1 (a,b) = (0, 0); (1, 1) NÕu a = - b 2 b2 = 0 a = b = 0 (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 0 Ta gi¶ sö x2 y2 x2 + y2 2 y2 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 25
  26. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2x2 y2 2y2 NÕu y = 0 ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm (0;0) NÕu y 0 x2 1 x2= 0 hoÆc x2 = 1 y2 = 0 (lo¹i) hoÆc y2 = 1 (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) VËy ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = 4 x2y2 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1 (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1 Mµ 1 = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bµi 4: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph•¬ng tr×nh x2 –3xy + 2y2+ 6 = 0 H•íng dÉn: Ta thÊy(x, y) = (0, 0) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh 2 2 2 Ta coi ph•¬ng tr×nh x – 3xy + 2y + 6 = 0 Èn x ta tÝnh y = y – 24 Ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm tù nhiªn th× y lµ sè chÝnh ph•¬ng y2 – 24 = k2 (y – k)(y + k) = 24 (k N) mµ 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k vµ y – k cïng ch½n y+ k = 6 y = 5 hoÆc y+ k = 12 y = 7 y – k = 4 y – k = 2 Thay vµo ta t×m ®•îc (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bµi 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = 0 H•íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã ph•¬ng tr×nh ®· cho 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 Coi x lµ Èn y lµ tham sè ta cã ph•¬ng tr×nh bËc 2 Èn x XÐt = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 §Ó nghiÖm x nguyªn th× lµ sè chÝnh ph•¬ng §Æt k2= -12y2 – 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 26
  27. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2 (2y + 1)2 = 28 - k 28; (2y + 1)2 lÎ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 3 y = 0, 1, -2, 2, -3 thö trùc tiÕp vµo ph•¬ng tr×nh ta t×m ®•îc c¸c cÆp sè (x, y) = (2, 0); (0, 2) tho¶ m·n C¸ch 2: §Æt x + y = a, xy = b ta cã x, y Z a, b Z ph•¬ng tr×nh 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 2a2 – 4b + a – 10 = 0 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0 (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0 (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 l¹i cã (x+ y)2 4 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21 mµ (a+ 1)2 lµ sè chÝnh ph•¬ng (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Víi a = 0 12 + 3. 0 = 8b + 21 8b = 20 lo¹i Víi a = 1 (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 lo¹i Víi a = 2 (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = 0 b = 0 Víi a = 3 (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 lo¹i VËy ®•îc a = 2, b = 0 xy = 0 x + y = 2 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) tho¶ m·n Bµi 6 :T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn d•¬ng x, y sao cho x2 + 4x – y2 = 1 H•íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã x2 + 4x – y2 = 1 (x + 2)2 - y2 = 5 (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5 mµ x, y nguyªn d•¬ng (x + 2+ y) > (x+ 2-y) x+ 2 + y = 5 x = 1, y = 2 x + 2 – y = 1 VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ x = 1, y = 2 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 27
  28. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn C¸ch 2: Ta cã x2 + 4 x – y2 = 1 x2 + 4 x – (y2 + 1) = 0 ' − 2 y ' = 4 + y2 + 1 x = y 1 §Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm th× lµ sè chÝnh ph•¬ng 4 + y2 + 1 = k2 (k- y) (k+ y) = 5 y = 2 thay vµo ph•¬ng tr×nh t×m ®•îc x = 1 VËy nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh lµ x = 1; y = 2 Bµi 7: Hai ®éi cê thi ®Êu víi nhau mçi ®Êu thñ cña ®éi nµy ph¶i ®Êu 1 v¸n víi mçi ®Êu thñ cña ®éi kia. BiÕt r»ng tæng sè v¸n cê ®· ®Êu b»ng 4 lÇn tæng sè ®Êu thñ cña hai ®éi vµ biÕt r»ng sè ®Êu thñ cña Ýt nhÊt trong 2 ®éi lµ sè lÎ hái mçi ®éi cã bao nhiªu ®Êu thñ. H•íng dÉn: Gäi x, y lÇn l•ît lµ sè ®Êu thñ cña ®éi 1 vµ ®éi 2 (x, y nguyªn d•¬ng ) Theo bµi ra ta cã xy = 4 (x + y) §©y lµ ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ta cã thÓ gi¶i b»ng c¸c c¸ch sau C¸ch 1: Cã xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mµ 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 l¹i cã Ýt nhÊt 1 ®éi cã sè ®Êu thñ lÎ x – 4 = 1 x = 5 hoÆc x = 20 y-4 = 16 y = 20 y = 5 C¸ch 2: Ta thÊy x, y b×nh ®¼ng.Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x y Ta cã x, y nguyªn d•¬ng xy = 4 (x + y) 4 + 4 = 1 x y l¹i cã 4 + 8 8 1 y x x x 8 x= 5, 6, 7, 8 Mµ 1 x > 4 Thö trùc tiÕp ta ®•îc x = 5, y = 20 (tho¶ m·n) VËy 1 ®éi cã 5 ®Êu thñ cßn ®éi kia cã 20 ®Êu thñ - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 28
  29. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Bµi 8: T×m n¨m sinh cña B¸c Hå biÕt r»ng n¨m 1911 khi B¸c ra ®i t×m ®•êng cøu n•íc th× tuæi B¸c b»ng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m B¸c sinh céng thªm 3. H•íng dÉn: Ta thÊy nÕu B¸c Hå sinh vµo thÓ kû 20 th× n¨m 1911 B¸c nhiÒu nhÊt lµ 11 tuæi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) lo¹i Suy ra B¸c sinh ra ë thÕ kû 19 Gäi n¨m sinh cña B¸c lµ 18 xy (x, y nguyªn d•¬ng, x, y 9) Theo bµi ra ta cã 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3 11x + 2y = 99 2y  11 mµ (2, 11) = 1 y 11 mµ 0 y 9 y = 0 x = 9 VËy n¨m sinh cña B¸c Hå lµ 1890 Bµi 9: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyyªn x, y tho¶ m·n ph•¬ng tr×nh x + y = 3 x 2 − xy + y 2 7 H•íng dÉn: Ta cã x + y = 3 7 (x+ y) = 3 (x2 – xy + y2) x 2 − xy + y 2 7 §Æt x + y = p , x – y = q p, q nguyªn x = p + q ; y = p − q thay vµo ph•¬ng tr×nh cã d¹ng 28 p = 3 (q2 + 3 q2) p > 0 2 2 + vµ p 3 ®Æt p = 3k (k Z 0 ) 28k = 3(3k2+ q2) k 3 vµ k cã d¹ng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q m( 28 – 27m) = q2 0 m = 0 hoÆc m = 1 Víi m = 0 k = 0 q = 0 x = y = 0 (lo¹i) Víi m = 1 th× k = 3; p = 9 28 = 27 + q2 q = 1 Khi p = 9, q = 1 th× x = 5, y= 4 khi p = 9, q = 1- th× x = 4, y= 5 VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh lµ (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bµi 10: H·y dùng mét tam gi¸c vu«ng cã sè ®o 3 c¹nh lµ a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn vµ cã c¹nh ®o ®•îc 7 ®¬n vÞ H•íng dÉn: - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 29
  30. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Gi¶ sö c¹nh ®o ®•îc 7 ®¬n vÞ lµ c¹nh huyÒn (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2  7 b 7; c 7 (v× sè chÝnh ph•¬ng chia hÕt cho 7 d• 0, 1, 4, 2) l¹i cã 0<b, c< 7 lo¹i C¹nh ®o ®•îc lµ c¹nh gãc vu«ng gi¶ sö b = 7 Ta cã a2 – c2 = 49 (a+c)(a-c) = 49 a+ c = 49 a = 25 VËy tam gi¸c cÇn dùng cã sè ®o 3 c¹nh a – c = 1 c = 24 lµ 7, 25, 24 - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 30
  31. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Thùc nghiÖm s• ph¹m Sö dông tÝnh chÊt nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh bËc 2 ®Ó gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. I-Môc ®Ých, yªu cÇu: 1) Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi tËp hÖ thèng vµ kh¾c s©u thªm c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph•¬ng tr×nh bËc 2, nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh bËc hai. 2) Cñng cè kiÕn thøc vÒ sè chÝnh ph•¬ng, phÐp chia hÕt, phÐp chia cã d• 3) Ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh trong d¹y to¸n II- §å dïng d¹y häc: PhiÕu häc tËp, m¸y chiÕu giÊy trong hoÆc b¶ng phô III-C¸c ho¹t ®éng trong giê: Ho¹t ®éng cña thÇy Ho¹t ®éng cña trß Ho¹t ®éng 1 KiÓm tra bµi cò Gi¸o viªn nªu c©u hái kiÓm tra: Ba em häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy. ?1. ViÕt c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña HS1: Ph•¬ng tr×nh a x2 + bx + c = 0 ph•¬ng tr×nh bËc 2 = b2 – 4 ac a x2 + bx + c = 0 (a 0)? NÕu 0 ph•¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt − b x1, 2 = 2a HS2: ?2. S¾p xÕp ph•¬ng tr×nh bËc hai sau - §èi víi Èn y: theo Èn x; theo Èn y y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 - §èi víi Èn x: 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0 ?3.Nªu hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Viet vÒ ph•¬ng HS3: NÕu ph•¬ng tr×nh a x2 + bx + c = 0 (a 0 ) tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th× : − b x + x = 1 2 a c x .x = 1 2 a Gi¸o viªn nhËn xÐt, ®¸nh gi¸ . Häc sinh ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi bµi cña m×nh, nhËn xÐt - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 31
  32. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ho¹t ®éng 2: C¸c vÝ dô Gi¸o viªn ®Æt vÊn ®Ò: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Häc sinh nghe vµ ghi chÐp 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1) HS: VÝ dô 1: Gi¶i pt nghiÖm nguyªn Gîi ý: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1) - ViÕt ph•¬ng tr×nh (1) thµnh ph•¬ng tr×nh HS: y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 ' 2 bËc 2 Èn y råi tÝnh x ? = x – 4 - NÕu pt bËc 2 cã nghiÖm th× nghiÖm ®•îc y1,2 = -(2x + 1) (*) tÝnh b»ng c«ng thøc nµo? ' Do x, y nguyªn nguyªn lµ sè chÝnh - Do x, y nguyªn cã nhËn xÐt g× x ? ph•¬ng . §Æt ' = k2 x 2 2 x – 4 = k (x- k)(x+ k) = 4 - ViÕt sè 4 d•íi d¹ng tÝch hai sè nguyªn? Ta cã 4 = 1.4 = 2.2 = (-1).(-4) = (-2). (-2) - Em cã nhËn xÐt g× vÒ x – k vµ x + k - x – k; x + k cïng ch½n x – k = x + k = 2 Thay x vµ k vµo (1) t×m y? k = 0, x = 2 thay vµo (1) t×m y . VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh:(x, y) = (2, -5);(-2, 3) *Em h· y thùc hiÖn t•¬ng tù víi Èn y? HS: Ph•¬ng tr×nh (1) t•¬ng ®•¬ng víi: 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0 ' 2 y = y + 2y – 11 Do x, y nguyªn ' nguyªn ' lµ sè chÝnh y y ' 2 §· vËn dông kiÕn thøc nµo ®Ó gi¶i ph•¬ng . §Æt y = k ph•¬ng tr×nh ®· cho. Yªu cÇu HS kiÓm (y +1- k)( y + 1 + k) = 12 tra c¸c b•íc gi¶i Mµ y +1- k vµ y + 1 +k cïng ch½n 12 = 2.6 = ( -2). (-6) y +1− k = 2 y +1− k = −2 hoÆc y +1+ k = 6 y +1+ k = −6 y = 3 hoÆc y = - 5 . Thay vµo (1) VËy nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh: (x, y)= (2, -5); (-2, 3) Qua vÝ dô trªn em h· y nªu l¹i ph•¬ng HS: Häc sinh suy nghÜ, tr¶ lêi ph¸p gi¶i? ( gi¸o viªn ®•a lªn mµn h×nh tãm t¾t theo 6 b•íc ) B•íc 1: ViÕt ph•¬ng tr×nh bËc hai theo Èn x − b B•íc 2: TÝnh x1, 2 = y 2a - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 32
  33. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ' 2 B•íc 3: §Æt y = k B•íc 4: T×m y vµ k B•íc 5: Thay y vµ k vµo ph•¬ng tr×nh ®Ó t×m x B•íc 6: Tr¶ lêi VÝ dô 2: Gi¶i pt nghiÖm nguyªn Häc sinh nghe vµ ghi chÐp x2 –(y + 5)x + 5y + 2 = 0 -yªu cÇu häc sinh nªu l¹i ph•¬ng ph¸p Häc sinh tr¶ lêi miÖng gi¶i nh• vÝ dô 1? -Ngoµi c¸ch gi¶i theo vÝ dô 1 cßn c¸ch Häc sinh suy nghÜ tr¶ lêi. nµo kh¸c kh«ng? -Gi¶ sö ph•¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ HS: Gäi x1 vµ x2 lµ nghiÖm cña ph•¬ng tr×nh x2 theo ®Þnh lÝ Viet ta cã ®iÒu g×? x2 -(y + 5)x + 5y + 2 = 0 Theo ®Þnh lý Viet: x1 + x2 = y + 5 x1.x2 = 5y + 2 - T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 Ta cã: 5x1 + 5x2 – x1x2 = 23 hay ( x1 – 5)( x2 – 5) = 2 -Ph©n tÝch sè 2 thµnh tÝch cña hai sè Nªn: nguyªn. x1 − 5 = 1 x1 − 5 = −1 -T×m x1 vµ x2 sau ®ã t×m tæng cña chóng hoÆc x − 5 = 2 x − 5 = −2 2 2 x1 + x2 = 13 hoÆc x1 + x2 = 7 y = 8 hoÆc y = 2 VËy (x, y) = (7,8); (6,8); (4, 2); (3, 2) lµ nghiÖm cña -Tr¶ lêi bµi to¸n trªn ph•¬ng tr×nh. H· y nªu l¹i c¸c b•íc lµm HS: Häc sinh tr¶ lêi miÖng B•íc 1: - ViÕt hÖ qu¶ ®Þnh lý Viet. B•íc 2: T×m biÓu thøc liªn hÖ g÷a x1 vµ x2 B•íc 3: T×m x1 vµ x2 sau ®ã t×m y B•íc 4: Tr¶ lêi bµi to¸n Ho¹t ®éng 3: LuyÖn tËp §èi víi gi¶i nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng Ph•¬ng ph¸p1: VËn dông c«ng thøc nghiÖm cña tr×nh bËc 2 gåm nh÷ng ph•¬ng ph¸p nµo? ph•¬ng tr×nh bËc 2 Ph•¬ng ph¸p2:Dïng hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Viet Gi¸o ®•a ®Ò bµi lªn mµn h×nh: Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh sau tr×nh sau x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2) x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2) Gi¶i: - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 33
  34. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2 Gäi häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy TÝnh y = y – 24 lµ sè chÝnh ph•¬ng. §Æt y2 – 24 = k y (y-k)(y+ k) = 24 l¹i cã y – k; y + k cïng tÝnh ch½n lÎ y + k = 6 (I) NgiÖm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) y − k = 4 y + k = −6 (II) NgiÖm (x,y)= ( -7;-5) ; (-8;-5) T×m nghiÖm cu¶ tõng hÖ(I,II,III,IV) thay y − k = −4 vµo ph•¬ng tr×nh (2) t×m x y + k = 12 (III) NgiÖm (x,y)= ( 8;7) ; (13;7) y − k = 2 y + k = −12 (IV) NgiÖm (x,y)= ( -8;-7) ; (-13;-7) y − k = −2 VËy ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) ; ( - 7;-5) (-8;-5);( 8;7) ; (13;7) ( -8;-7) ; (-13;-7) Ho¹t ®éng 4 KiÓm tra ®¸nh gi¸ GV ph¸t phiÕu häc tËp yªu cÇu HS gi¶i Bµi 1:T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh sau ®ã GV thu phiÕu nhËn xÐt a, x2 – 4x- y2 = 1 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh : 5x + 7y = 56 Ho¹t ®éng 5:H•íng dÉn vÒ nhµ Xem l¹i vë ghi. 1.Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x2 + y2 = x + y + 8 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó 2 ph•¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung 2x2 + (3m - 1)x – 3 = 0 (1) 6x2 – (2m – 3) x – 1 = 0 (2) - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 34
  35. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn D. KÕt qu¶ thùc hiÖn. 1) KÕt qu¶ chung Sau khi ¸p dông ®Ò tµi vµo gi¶ng d¹y ®a sè häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m v÷ng c¸ch gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mµ cßn vËn dông linh ho¹t trong c¸c d¹ng to¸n kh¸c. 2) kÕt qu¶ cô thÓ KiÓm tra 10 häc sinh líp 9 theo c¸c ®ît kh¸c nhau d•íi d¹ng phiÕu häc tËpthu ®•îc kÕt qu¶ sau: §Ò bµi Bµi 1:T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh a, x2 – 4x- y2 = 1 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh : 5x + 7y = 56 D•íi ®iÓm 5 §iÓm 5 - 7 §iÓm 8 - 10 §iÓm 5 - 10 SL % SL % SL % SL % 1 20 4 40 5 40 8 90 C – KÕt luËn §Ò tµi nµy ®· nhËn ®•îc thö nghiÖm qua nhiÒu n¨m båi d•ìng häc sinh giái t«i thÊy häc sinh n¾m ®•îc bµi vµ rÊt høng thó häc tËp. T«i nghÜ r»ng t«i cÇn ph¶i cè g¾ng ®äc thªm tµi liÖu, häc hái thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó tiÕp tôc x©y dùng ®Ò tµi ngµy cµng phong phó h¬n. Ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ ph•¬ng ph¸p ®•îc øng dông réng r·i trong nhiÒu bµi to¸n d¹ng to¸n. Song v× thêi gian eo hÑp nªn ®Ò tµi nµy kh«ng thÓ tr¸nh ®•îc nh÷ng sai sãt. - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 35
  36. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Tµi liÖu tham kh¶o STT Tµi liÖu Tªn t¸c gi¶ 1 Chuyªn ®Ò båi d•ìng sè häc NguyÔn Vò Thanh 2 Vò D•¬ng Thuþ 400 bµi to¸n sè häc chän läc Tr•¬ng C«ng Thµnh NguyÔn Ngäc §¹m 3 Vò Hoµng L©m T×m hiÓu ph•¬ng tr×nh ®¹i sè NguyÔn §Ô 4 NguyÔn §øc TÊn 351 bµi to¸n sè häc chän läc §Æng Anh TuÊn TrÇn ChÝ HiÕu 5 Mét sè t¹p chÝ to¸n häc - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 36
  37. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Hà Nội, ngày 08/04/2012 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Nguyễn Đức Minh - NguyÔn §øc Minh - THCS Th¸i ThÞnh - §èng §a - Hµ Néi- 37