›
›
›

Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 5: Kiểm tra

docx 19 trang nhungbui22 11/08/2022 2600
Download
Bạn đang xem tài liệu "Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 5: Kiểm tra", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_2_tich_vo_huong_va_ung_dung_ba.docx

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 5: Kiểm tra

  1. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Cô Trần Thị Xuân Trường THPT Nguyễn Bính (Nam Định) GV phản biện Thầy Nguyễn Tấn Kiệt Trường Nhân Việt Hight School (TP Hồ Chí Minh) TT Tổ soạn Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ phản biện Cô Phạm Thị Hoài Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) SỞ GD & ĐT ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II Trường THPT Môn : HÌNH HỌC – Khối 10 ĐỀ SỐ 1 uuur uuur Câu 1: [0H2-1.4-2] Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm của BC . Tính cos(AB, MA). 1 1 3 3 A. B. .C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C E A B M C     Góc tạo bởi AB;MA AB; AE 1800 ·ABM 180o 30o 150o .   3 cos AB;MA cos150o . 2 uur uuur Câu 2: [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vuông tại A , A·BC = 60°, BC = 2a . Tích vô hướng CA.BC bằng bao nhiêu? . A. 3a2 .B. 3a2 . C. a2 3 . D. a2 3 . Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
  2. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH B C A D 3 Ta có AC BC.sin 60o 2a. a 3 và ·ACB 90o Bµ 30o . 2     Góc tạo bởi CA; BC CA;CD 1800 ·ACB 180o 30o 150o .   3 o 2 . CA.BC CA.BC.cos150 a 3.2a. 3a 2 r r r Câu 3: [0H2-2.2-1] Cho a , b , c là các véctơ tùy ý; h , k là các số thực tùy ý. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? r r r r r r · (a.b).c = a.(b.c) r r r r · (ha).b = a.(hb) r r r r r 2 r 2 · (a- b).(a + b)= (a - b ) A. 0 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C r r r r r r r r r r Mệnh đề a.b .c = a. b.c sai vì nếu lấy a 1;0 ,b 0;2 ,c 2;3 thì a.b .c = 0.c = 0 nhưng ( ) ( ) ( ) r r r a.(b.c)= (6;0). r r r r r r r r r 2 r 2 Hai mệnh đề ha .b = a. hb và a- b . a + b = a - b đúng. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r Câu 4: [0H2-2.1-1] Cho i , j là các véctơ đơn vị của các trục Ox , Oy trong hệ trục tọa độ vuông góc r r r r r r r r Oxy . Biết rằng a = a1i + a2 j , b = b1i + b2 j . Tính a.b . r r r r A. a.b = a1b1 + a2b2 . B. a.b = a1a2 + b1b2 . r r r r 2 2 2 2 C. a.b = a1b2 + a2b1 . D. a.b = a1 + a2 b1 + b2 . Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
  3. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Theo công thức tích vô hướng thì A đúng. r r Câu 5: [0H2-2.1-2] Tính cosin của góc tạo bởi hai véc tơ u = (3;- 2) và v = (3;2)trong hệ trục tọa độ Oxy . 5 5 A. 0 . B. 1. C. .D. . 13 13 Lời giải Chọn D u.v 5 cos u;v . u . v 13 Câu 6: [0H2-3.2-1] Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Tìm khẳng định đúng. A. AH 2 AB.AC .B. AH 2 BH.CH . 1 1 1 C. AH 2 BH .BC . D. . BC2 AB2 AC2 Lời giải Chọn B A B H C B đúng theo hệ thức lượng của tam giác vuông. Câu 7: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a 2 , AC = a 6 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là. 2a 3 A. a 2 . B. 2a 2 . C. D. 4a 2 . 3 Lời giải Chọn A B M A C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
  4. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Do ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của BC 2a2 6a2 BC và bán kính R a 2 . 2 2 Câu 8: [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 13, AB = 5 . Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác. 50 60 13 A. . B. 12.C. . D. . 13 13 60 Lời giải Chọn C A B H C Từ giả thiết suy ra AC = 132 - 52 = 144 = 12 . AB.AC 5.12 60 Do đó, độ dài đường cao AH = = = . BC 13 13 Câu 9: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có AB = 5 , AC = 12 , BC = 13. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là. A. 255 . B. 1.C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Tam giác ABC có AB 2 AC 2 BC 2 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A . Do đó 1 S AB.AC 30 . ABC 2 AB AC BC 5 12 13 Mặt khác ta có p 15 . 2 2 S 30 Áp dụng công thức S pr r 2 . p 15 Câu 10: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có AB = 5 , AC = 2 , BC = 13 . Diện tích tam giác ABC là: 5 A. 4 .B. 2 . C. 5 . D. . 2 Lời giải Chọn B AB2 AC 2 BC 2 5 4 13 1 Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có: cos A . 2AB.AC 2.2. 5 5 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
  5. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 1 1 2 sin A . Diện tích tam giác ABC là: S AB.AC.sin A . 5.2. 2 . 5 2 2 5 Câu 11: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 5 , BC = 4 . Độ dài đường trung tuyến AM là: 26 13 A. 13.B. 13 . C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B A B M C Cách 1: Ta có AB2 BC 2 AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B . Do đó AM = AB2 + BM 2 = 9+ 4 = 13 . Cách 2: Sử dụng công thức trung tuyến 1 AM = 2(AB2 + AC 2 )- BC 2 = 13 2 Câu 12: [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 3 3 , BC = 7 . Số đo góc lớn nhất của tam giác ABC xấp xỉ: A. 115° . B. 114° . C. 101° . D. 110° . Lời giải Chọn A Do AB AC BC nên góc lớn nhất là A . AB2 AC 2 BC 2 9 27 49 13 cos A A 115o . 2AB.AC 2.3.3 3 18 3 Câu 13: [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 4 , Aµ= 60° . Độ dài đoạn BC là: A. 5 . B. 37 . C. 3 3 . D. 13 . Lời giải Chọn D Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ta có: 1 BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A 9 16 2.3.4. 13 BC 13 . 2 Câu 14: [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có Aµ= 30° , Bµ= 120° , AC = 10 . Tính độ dài cạnh AB . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
  6. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 10 A. 10 3 . B. . C. 8 3 . D. 15. 3 Lời giải Chọn B Ta có Cµ= 180°- 30°- 120° = 30° . Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có 1 10. AB AC AC.sin C 2 10 AB . sin C sin B sin B 3 3 2 Câu 15: [0H2-3.1-2] Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = 2a , D· AB = 60° . Tính độ dài đoạn thẳng AC . a 7 A. a 7 . B. a 3 . C. . D. a 5 . 2 Lời giải Chọn A D C A B D· AB = 60° Þ A·BC = 120° . Xét ABC ta có 2 2 2 2 2 1 2 AC AB BC 2AB.BC.cos B a 4a 2.a.2a. 7a AC a 7 . 2 Câu 16: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có AB = 5 , AC = 12 , BC = 13. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính độ dài đoạn thẳng AG . 13 17 13 A. 13. B. . C. . D. . 3 2 2 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
  7. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH B M G A C Gọi M là trung điểm của BC . Xét tam giác ABC có AB 2 AC 2 BC 2 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A . Suy ra độ 1 13 dài trung tuyến AM BC . 2 2 2 2 13 13 Do đó AG AM . . 3 3 2 3 Câu 17: [0H2-3.3-2] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Nếu AB + AC > BC thì tam giác ABC có góc tù. B. Nếu AB + AC BC 2 thì tam giác ABC có góc tù. D. Nếu AB 2 + AC 2 < BC 2 thì tam giác ABC có góc tù. Lời giải Chọn D AB2 + AC 2 - BC 2 Góc Aµ tù khi và chỉ khi cos Aµ< 0 Û < 0 Û AB 2 + AC 2 < BC 2 . 2AB.AC uuur uuur Câu 18: [0H2-2.2-1] Cho tam giác ABC , tích vô hướng AB.AC bằng biểu thức nào sau đây? BC 2 - AB2 - AC 2 A. BC 2 - AB 2 - AC 2 . B. . 2 AB2 + AC 2 - BC 2 C. . D. AB 2 + AC 2 - BC 2 . 2 Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur AB2 + AC 2 - BC 2 Từ BC = AC - AB ta suy ra BC = AC - 2AC.AB + AB Û AB.AC = . 2 uuur uuur Câu 19: [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC có AB = 2 , AC = 5 , BC = 6 . Tính tích vô hướng AB.AC . 7 7 A. 7 .B. 7 .C. .D. . 2 2 Lời giải Chọn D Từ định lý cosin BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB.AC.cos A suy ra NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
  8. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH uuur uuur AB2 + AC 2 - BC 2 4+ 25- 36 7 AB.AC = AB.AC.cos A = = = - . 2 2 2 Câu 20: [0H2-2.2-2] Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và BN . Tính AM 2 + BN 2 theo các cạnh AB = c , BC = a , CA = b của tam giác được kết quả là: 4c2 - a2 - b2 4c2 + a2 + b2 A. .B. . 4 4 4c2 - a2 - b2 4c2 + a2 + b2 C. .D. . 2 2 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có 2b2 + 2c2 - a2 2a2 + 2c2 - b2 4c2 + a2 + b2 AM 2 + BN 2 = + = . 4 4 4 uuur 1 uuur Câu 21: [0H2-3.4-3] Cho tam giác ABC , gọi M là điểm thỏa mãn AM = AB , N là trung điểm của 3 CM . Diện tích tam giác ABC gấp bao nhiêu lần diện tích tam giác BMN ? A. 4 . B. 3 . C. 5 .D. 6 . Lời giải Chọn B 1 1 DBMN và D BMC có cùng đường cao kẻ từ B , đáy MN = MC nên S S . 2 BMN 2 BMC 2 2 DABC và D MBC có cùng đường cao kẻ từ C và BM = BA nên S S . 3 BMC 3 ABC 1 2 1 Suy ra S = . S = S . BMN 2 3 ABC 3 ABC Câu 22: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có Bµ= 60° và AB = 3 . Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC . 2 3 3 3 1 A. .B. .C. .D. . 3 2 2 2 Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
  9. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A B H C Gọi H là chân đường cao hạ từ A . Trong cả ba trường hợp góc B nhọn, tù, vuông ta đều có AH 3 3 sin B = (chú ý: hai góc bù nhau có sin bằng nhau). Suy ra AH = AB.sin 60° = . AB 2 Câu 23: [0H2-3.4-2] Gọi S là diện tích tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1   2   2 A. S AB2.AC 2 AB.AC .B. S AB2.AC 2 AB.AC . 2 1   2   2 C. S AB.AC AB2.AC 2 .D. S AB.AC AB2.AC 2 . 2 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có S = AB.AC sin A = AB.AC 1- cos2 A 2 2 uuur uuur 2 æ ö uuur uuur 2 1 çAB.AC ÷ 1 2 2 = AB.AC 1- ç ÷ = AB .AC - (AB.AC) . 2 èçAB.AC ø÷ 2 r r Câu 24: [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho các véctơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ). r 2 r 2 r r 2 Tính Q = a . b - (a.b) A. Q = a1b2 + a2b1 .B. Q = a1b1 + a2b2 . C. Q = a1b1 - a2b2 .D. Q = a1b2 - a2b1 . Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có Q = (a1 + a2 )(b1 + b2 )- (a1b1 + a2b2 ) = a1 b2 + a2 b1 - 2a1b2a2b1 = (a1b2 - a2b1) . Suy ra Q = a1b2 - a2b1 . Câu 25: [0H2-3.4-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;2), B(3;- 4), C(- 19;- 2). Tính diện tích S của tam giác ABC . A. 32 2 .B. 72 .C. 128 .D. 64 . Lời giải Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
  10. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH uuur ïì ì ï AB = (2;- 6) ï AB = 40 Ta có íï uuur Þ í . ï ï îï AC = (- 20;- 4) îï AC = 416 uuur uuur AB.AC - 20.2+ 6.4 1 8 cos A = = = - . Suy ra sin A = . AB.AC 40. 416 65 65 1 1 8 Từ đó ta có S = AB.AC.sin A = 40. 416. = 64 . 2 2 65 1 2 - 6 Chú ý. Ngoài ra ta còn có công thức S = = 64 . 2 - 20 - 4 Cách khác : Tính diện tích theo công thức Hê rông ĐỀ SỐ 2 Câu 1. [0H2-2.2-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai véc-tơ a a1;a2 và b b1;b2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a a b b a b a b A. cos a,b 1 2 1 2 . B. cos a,b 1 1 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 b1 . a2 b2 a1 a2 . b1 b2 a b a b a a b b C. cos a,b 1 2 2 1 . D. cos a,b 1 2 1 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 b2 . a2 b1 a1 b2 . a2 b1 Lời giải. Chọn B a.b a b a b Ta có cos a,b 1 1 2 2 (công thức) 2 2 2 2 a . b a1 a2 . b1 b2 Câu 2. [0H2-3.4-2] Cho tam giác AB có BC 4,CA 6, AB 8 và M là trung điểm của BC . Tính độ dài AM . A. AM 46 . B. AM 4 6 . C. AM 42 . D. AM 34 . Lời giải. Chọn A 2 b2 c2 a2 Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có m2 nên: a 4 2 CA2 AB2 BC 2 2 62 82 42 AM 2 46 AM 46 . 4 4 Câu 3. [0H2-1.4-2] Cho tam giác ABC như hình vẽ: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
  11. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Mệnh đề nào sau đây là đúng?     A. BC, AB 40o . B. BC, BA 140o .     C. AC,CB 80o .D. AC, BA 120o . Lời giải. Chọn D       Dựng AM BA ta có AC, BA AC, AM C· AM 180o C· AB 180o 60o 120o . Câu 4. [0H2-2.2-1] Cho hai véc-tơ a và b . Mệnh đề nào sau đây là sai 2 2 2 2 2 A. a b a 2a.b b . B. a b a b a b . 2 2 2 2 2 2 2 C. a b a b . D. a b a b 2 a b . Lời giải. Chọn C 2 2 2 Ta có a b a 2a.b b . Câu 5. [0H2-2.2-1] Cho hai véc-tơ a và b bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a.b 0 a  b . B. a.a 0 . C. a.b 0 a,b 90o . D. a.b a . b cos a, b . Lời giải. Chọn D Theo định nghĩa tích vô hướng ta có: a.b a . b .cos a;b mà cos a,b cos a, b . Do đó a.b a . b cos a, b Câu 6. [0H2-3.4-1] Cho tam giác ABC có BC 2 , A 60o . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 4 3 2 3 A. R .B. R .C. R 4 . D. R 2 . 3 3 Lời giải. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
  12. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Chọn B a a 2 2 3 Ta có BC a 2 , theo định lí sin ta có 2R R . sin A 2sin A 2sin 60o 3 Câu 7. [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC cân tại A có diện tích S 2 3 và BC 2 6 . Tính độ dài cạnh AB . A. AB 2 2 . B. AB 2 .C. AB 2 3 . D. AB 4 . Lời giải. Chọn A Dựng đường cao AH ( H là chân đường cao), do tam giác ABC cân tại A nên H là trung BC điểm của BC . Suy ra BH 6 . 2 2S 4 3 Mặt khác AH.BC 2S 2S AH 2 ABC BC 2 6 AB AH 2 BH 2 2 6 2 2 . Câu 8. [0H2-1.3-2] Tính giá trị của biểu thức P cos0o cos 20o cos 40o cos160o cos180o . A. P 0 . B. P 1. C. P 1. D. P 2 . Lời giải. Chọn A Theo tính chất các cung có liên quan đặc biệt ta có: cos 180o cos hay cos cos 180o 0 . Vậy P cos0o cos180o cos 20o cos160o cos 40o cos140o cos60o cos120o cos80o cos100o 0 Câu 9. [0H2-3.3-2] Cho tam giác ABC có BC 2 AB2 AC 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Â là góc tù. B. Â là góc nhọn. C. Â là góc vuông. D. Â là góc nhỏ nhất. Lời giải. Chọn A Theo giả thiết ta có BC 2 AB2 AC 2 hay AB2 AC 2 BC 2 0 AB2 AC 2 BC 2 cosA 0 90o A 180o. 2AB.AC Câu 10. [0H2-2.2-1] Cho hai điểm A 1;0 và B 3;3 . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. AB 4 .B. AB 5 .C. AB 3 2 . D. AB 13 . Lời giải. Chọn B   Ta có AB 4;3 AB 42 32 5. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
  13. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 11. [0H2-3.4-4] Cho tam giác ABC có AB c 3, AC b 5 và Â 60o . Gọi AD là đường phân giác trong góc A . Tính độ dài la của đoạn thẳng AD . 15 15 3 15 3 15 A. l . B. l .C. l .D. l . a 8 a 16 a 8 a 4 Lời giải. Chọn C Ta có S ABD S ACD S ABC hay 1 1 1 AB.AD.sin B· AD AC.AD.sin C· AD AB.AC.sin B· AC 1 2 2 2 B· AC A Mặt khác AD là đường phân giác nên B· AD C· AD , do đó: 2 2 A 2bc cos o A A bcsin A 2.5.3.cos30 15 3 1 cl sin bl sin bcsin A l 2 . a a a A 2 2 b c sin b c 5 3 8 2 Câu 12. [0H2-3.4-4] Một con thuyền từ điểm A ở bờ bên này sông di chuyển sang bờ sông bên kia với vận tốc 2 km/h. Do tác động của dòng nước nên đường đi của con thuyền tạo với bờ sông một góc 70o . Biết thuyền đi từ A đến B mất 5 phút và coi hai bờ sông là hai đường thẳng song song, tính độ rộng của con sông (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 134 m .B. 157 m . C. 168 m . D. 142 m . Lời giải. Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
  14. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Gọi H là hình chiếu của A lên bờ sông chứa điểm B . Độ rộng của con sông chính là độ dài của AH với AH  HB (như hình vẽ). 100 Theo đề bài ta có vận tốc của con thuyền là v 2 km/h hay v m/phút. 3 100 500 Do đó AB vt .5 m . Mặt khác AHB vuông tại H nên 3 3 500 AH AB.cosH· AB cos20o 157 m 3 Câu 13. [0H2-3.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có A 1;0 và trọng   tâm G 2;1 . Biết GA, BC 120o , tính AC . 3 2 3 6 3 6 A. . B. .C. .D. 3 2 . 2 4 2 Lời giải. Chọn C     Ta có GA, BC MG, MC G· MC 120o , AG 2 3 3 2 Tam giác ABC vuông tại A nên AM MC AG . Do đó: 2 2 2 2 2 2 o 2 o 3 2 1 27 AC AM MC 2AM.MCcos120 2AM 1 cos120 2 1 2 2 2 27 3 6 AC 2 2 Câu 14. [0H2-2.4-2] Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A 1;1 . Gọi điểm B là điểm đối xứng với A qua điểm I 1;2 . Tìm điểm C có hoành độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông tại C . A. C 2;0 hoặc C 2;4 . B. C 2;1 hoặc C 2;3 . C. C 2;2 hoặc C 2; 2 . D. C 2; 1 hoặc C 2; 3 . Lời giải. Chọn A Giả sử C 2;t . Do I là trung điểm của AB nên B 3;3 . Tam giác ABC vuông tại C khi và   t 0 C 2;0 chỉ khi CA.CB 0 hay t 2 4t 0 . t 4 C 2;4 Câu 15. [0H2-2.4-3] Cho đoạn thẳng AB 4 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB 2 8 là NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
  15. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. một đường thẳng. B. một đoạn thẳng. C. một đường tròn. D. một điểm. Lời giải. Chọn A Gọi I là trung điểm của AB . H là hình chiếu của M trên AB . Ta có  2  2       MA2 MB2 8 MA MB MA MB MA MB BA.2.MI 2BA.HI . 4 Suy ra HI 1. Suy ra H là trung điểm BI . BA Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H . Câu 16. [0H2-2.4-2] Cho đoạn thẳng AB 4 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB 2 8 là A. một đường thẳng. B. một đoạn thẳng. C. một đường tròn. D. một điểm. Lời giải. Chọn D Gọi I là trung điểm của AB . Ta có MA2 MB2 AB2 8 42 MI 2 0 . 2 4 2 4 Vậy M  I   Câu 17. [0H2-2.4-2] Cho đoạn thẳng AB 4 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.MB 5 là A. một điểm. B. một đường tròn. C. tập rỗng. D. một đoạn thẳng. Lời giải. Chọn C Gọi I là trung điểm của AB . Ta có       5 MA.MB MI IA MI IB MI 2 IA2 MI 2 IA2 52 1. Vậy không tồn tại điểm M thỏa mãn đề. Câu 18. [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có BC AC 2 . Giá trị lớn nhất của góc B là A. 30o . B. 45o . C. 60o . D. 75o . Lời giải. Chọn B Đặt BC a,CA b, AB c. Ta có a2 c2 b2 b2 c2 1 cos B B 450 . 2ac 2 2bc 2 a Dấu bằng xảy ra khi b c hay tam giác ABC vuông cân tại A . Vậy giá trị lớn nhất của 2 góc B là 450 . Câu 19. [0H2-3.4-4] Một dây curoa quấn quanh hai trục tròn tâm I bán kính 1 dm và tâm J bán kính 5 dm . Tính độ dài dây curoa biết IJ 8 dm . ( làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy). NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
  16. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. 29,97 dm . B. 25,38 dm . C. 36,89 dm . D.37,70 dm . Lời giải. Chọn C B A I J F E C D Dễ thấy dây độ dài cung curoa là tổng độ dài của hai tiếp tuyến chung AB,CD của hai đường tròn và độ dài các cung »AC nhỏ, cung B»D lớn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là giao điểm của BA với IJ . FI FJ FJ FI Ta có 2 . Suy ra F· IA 600 , từ đó cung nhỏ »AC và cung lớn B»D có số IA JB JB IA AB FA 3 đo lần lượt là 1200 và 2400 . Ta lại có sin 600 nên AB 4 3 dm. IJ FI 2 .120 .5.240 Vậy độ dài của dậy curoa là 4 3 4 3 ; 36,89 dm. 180 180 2 Câu 20. [0H2-1.2-2] Chosin cos . Tính sin 6 cos 6 . . 3 16 71 83 23 A. . B. . C. . D. . 25 121 108 48 Lời giải. Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
  17. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 3 sin6 cos6 sin2 cos2 3sin2 .cos2 sin2 cos2 2 2 sin cos sin2 cos2 83 1 3 2 108 Câu 21. [0H2-3.4-3] Cho tam giác ABC có chu vi bằng 6 . Tìm giá trị lớn nhất S của diện tích tam giác ABC . 3 3 2 3 A. S . B. S 3 . C. S . D. S 2 3 . 4 3 Lời giải. Chọn B Gọi S, p lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác ABC . Theo giả thiết ta có p 3 . Ta có 3 p BC p CA p AB p2 S p p BC p CA p AB p 3 . 3 3 3 Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều. Vậy S 3 . Câu 22. [0H2-3.4-3] Cho tam giác ABC có a 6 thỏa mãn 5sin Atan A 2sin Bsin C . Gọi G là trọng 2 2 tâm tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức S GB GC . A. S 18 . B. S 24 . C. S 12 . D. S 36 . Lời giải. Chọn D Ta có 5sin Atan A 2sin Bsin C 5sin2 A 2sin Asin C cos A a2 b c 5. 2 cos A 5a2 2bc cos A 4R2 2R 2R 5a2 b2 c2 a2 5a2 b2 c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 a c b a b c 4 2 b c 2 Suy ra. S GB GC mb mc a a 9 9 2 4 2 4 9 2 Vậy S 36 . Câu 23. [0H2-3.4-3] Cho tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC,CA, AB lần lượt là ma 4,mb 6,mc 8 . Tính diện tích S của tam giác ABC . A. 3 15 . B. 4 15 . C. 5 15 . D. 6 15 . Lời giải. Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
  18. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Dựng hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P,Q lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB,CD . Khi đó MQ BN mb , AQ CP mc . S S S 3S Gọi S S S S S 2S AMQ ABCD ABM ADQ CMQ 2 2 4 4 m m m Đặt p a b c , áp dụng công thức Heron ta có 2 4 4 S S p p m p m p m 4 15. 3 AMQ 3 a b c Câu 24. [0H2-2.2-3] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O;4 có hai đường chéo vuông góc. Tính S AB 2 BC 2 CD 2 DA2 . A. S 80. B. S 96 . C. S 112 . D. S 128 . Lời giải. Chọn D Gọi H là giao điểm của AC và BD . Dễ thấy AB 2 CD 2 BC 2 DA2 HA2 HB 2 HC 2 HD 2 .   2   2     Ta có AB2 CD2 OA OB OC OD = 4R2 2 OA.OB OC.OD Trong đó R là bán kính đường tròn tâm O. Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O;4 nên ·AOB D· OC 2 ·ADB D· AC 1800 Suy ra cos·AOB cosD· OC 0 hay AB 2 BC 2 4R 2 . Vậy S AB 2 BC 2 CD 2 DA2 8R 2 128 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
  19. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 25. [0H2-2.4-3] Cho tam giác ABC có a 8,b 4, c 6. Biết tập hợp các điểm M thỏa mãn      MB MC MA 2MB 3MC 0 là một đường tròn cố định. Tìm đường kính d của đường tròn đó. A. d 1. B. d 2 . C. d 3. D. d 4 . Lời giải. Chọn A    Gọi I là trung điểm của BC và J là điểm thỏa mãn MA 2MB 3MC 0 . Theo giả thiết ta        có 0 MA MC MA 2MB 3MC 2MI.6.MJ Do đó M nằm trên đường tròn đường kính IJ . Từ cách xác định J ta có       0 JA JB 3 JB JC BA 6JI AB Vậy d IJ 1. 6 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19