Ôn tập Đại số chương 3: Dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân

Nội dung text: Ôn tập Đại số chương 3: Dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân

1. ÔN TẬP ĐẠI SỐ CHƯƠNG 3 DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN I. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n p, ta thực hiện như sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. II. Dãy số 1. Định nghĩa u : ¥ * ¡ dạng khai triển: (u ) = u , u , , u , n u(n) n 1 2 n 2. Dãy số tăng, dãy số giảm: (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*. un+1 – un > 0 với  n N* un 1 1 với n N* ( un > 0). un (un) là dãy số giảm un+1 0). un 3. Dãy số bị chặn (un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. III. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: un vớiu1 n( n 1)d 2 u u 3. Tính chất của các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n2u (n 1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 IV. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội) 1
2. n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 với k 2 Sn nu1 ,q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn ,q 1 1 q B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Phương pháp quy nạp toán học 1 1 1 1 2n 1 Bài 1. Chứng minh rằng: ,n N * 2 4 8 2n 2n 3 2 * Bài 2. Chứng minh rằng: un n 3n 5n chia hết cho 3 , n ¥ Dãy số Bài 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số: 1 2n 1 a)u 2 b)u n n n 5n 2 Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: U1 3 * n N U n 1 2U n Cấp số cộng u1 u3 u5 10 Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u1 u6 17 Bài 6. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23. Cấp số nhân Bài 7. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết: u3 3,u5 27 Bài 8. Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 1 1 Câu 1. Với mọi số nguyên dương n, tổng S là: n 1.2 2.3 n(n 1) 1 n n n 1 A. . B. . C. . D. . n 1 n 1 n 2 n 2 3 Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn n 11n chia hết cho: A. 6. B. 4. C. 9. D. 12. u1 2 Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: n . Ta có u5 bằng: un 1 2 .un ,n 1 A. 10. B. 1024. C. 2048. D. 4096. n Câu 4: Cho dãy số có công thức tổng quát là un 2 thì số hạng thứ n+3 là: 3 n n n A. .u n 3 2 B. . unC. 3 . 8.2 D. . un 3 6.2 un 3 6 u1 1 * Câu 5: Cho dãy số có n N . Khi đó số hạng thứ n+3 là: un 2un 1 3un 2 A. un 3 2un 2 3un 1. B. un 3 2un 2 3un . C. un 3 2un 2 3un 1. D. un 3 2un 2 3un 1. 2
3. Câu 6: Cho tổng Sn 1 2 3 n . Khi đó S3 là bao nhiêu? A. 3. B. 6. C. 1. D. 9. n Câu 7: Cho dãy số un 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Không bị chặn. u 3 1 Câu 8: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 1 Công thức tính số hạng u u n ¥ * n 1 2 n tổng quát un của dãy số là: 3 3 3 3 A. .u B. . u C. . D. . u u n 2n n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 Câu 9. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? n n 1 A. .u n 3 B. . unC. 3 . uD.n Tất3n cả 1 đều là CSC. Câu 10. Ba số 1 x, x2 ,1 x lập thành một CSC khi: A. Không có giá trị nào của x. B. x=2 hoặc x= -2. C. x=1 hoặc x=-1. D. x=0. Câu 11. Cho CSC có u4 12,u14 18 . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là A. .u 1 B.20 ,. d 3C. . D.u1 . 22,d 3 u1 21,d 3 u1 21,d 3 Câu 12. Cho CSC có u4 12,u14 18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là: A. 24. B. -24. C. 26. D. – 26. 1 2 3 Câu 13. Biết Cn ,Cn ,Cn lập thành cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng: A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của x để 1 sinx;sin2 x;1 sin 3x là 3 số hạng liên tiếp của một CSC A. x k ,k Z . B. .x k2 ,k Z 2 6 2 7 C. x k ; x k , k Z . D. .x k ; x k2 ; x k2 , k Z 2 6 3 2 6 6 Câu 15. Nghiệm của phương trình 1 7 13  x 280 là: A. .x 53 B. . x 55C. . D.x . 57 x 59 Câu 16. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3, các cạnh lập thành một cấp số cộng. Ba cạnh của tam giác đó là: 1 3 3 5 1 5 1 7 A. ;1; . B. ;1; . C. ;1; . D. ;1; . 2 2 4 4 3 3 4 4 Câu 17. Bốn nghiệm của phương trình x4 10x2 m 0 là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Khi đó m bằng: A. 16. B. 21. C. 24. D. 9. Câu 18. Biết dãy số 2, 7, 12, , x là một cấp số cộng. Biết 2 7 12 x 245 , khi đó: A. x 52 . B. x 45 . C. x 42 . D. .x 47 Câu 19: Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 1,-3,9,-27,81. B. 1,-3,-6,-9,-12. C. 1,-2,-4,-8,-16.D. 0,3,9,27,81. Câu 20. Cho cấp số nhân u1,u2 ,u3 , ,un với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1). Đặt: Sn u1 u2 u .n Khi đó ta có: 3
4. n n n 1 n 1 u1 q 1 u1 q 1 u1 q 1 u1 q 1 A. .S B. . C. . D.S . S S n q 1 n q 1 n q 1 n q 1 Câu 21. Cho cấp số nhân un , biết: un 81,un 1 9 . Lựa chọn đáp án đúng? 1 1 q B. .q 9 C. . q 9 q A. . 9 D. . 9 Câu 22. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 1 1 1 1 A. .u 1B. . uC. . D. . u n u n2 n 3n n 3n 2 n 3 n 3 Câu 23. Cho cấp số nhân un , biết: u1 3,u5 48 . Lựa chọn đáp án đúng? 12 12 16 16 A. .u 3 B. . u3 C. . D. .u3 u3 1 Câu 24. Cho cấp số nhân u có u ,u 32 . Khi đó q là: n 1 2 7 1 A. . 2 C. 4 . D. Tất cả đều sai. B. . 2 1 1 Câu 25. Cho CSN có u 1;q . Số là số hạng thứ bao nhiêu? 1 10 10103 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Đáp án khác. Câu 26. Cho cấp số nhân (un) có: u2 = -2 và u5 = 54. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng : 1 31000 31000 1 31000 1 1 31000 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 6 Câu 27. Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4 là 576 và hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9. Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này bằng: A. 1061. B. 1023. C. 1024. D. 768. Câu 28. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 1 1 1 2 1 un n 2 un n 1 un n un n A. . 3 B. . C. . 3 D. . 3 3 Câu 29. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Khi đó q bằng: 1 1 1 q q q D. .q 3 A. . 3 B. . 9 C. . 3 u1 u3 3 Câu 30. Cho cấp số nhânu có . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: n 2 2 u1 u3 5 63 2 63 63 2 63 S10 S10 S10 S10 A. . 32( 2 1) B. . 32 C. . D.32 (.1 2) 32( 2 1) 4