Một số kỹ thuật đổi biến, chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Nội dung text: Một số kỹ thuật đổi biến, chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

1. Một số kỹ thuật đổi biến, chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Cấn Việt Hưng, THPT Thạch Thất, Hà Nội Bài viết này có mục đích hệ thống hóa một lớp các bài toán (sưu tầm từ nhiều nơi) có chung giả thiết, nhằm giúp bạn đọc tiện lợi hơn trong quá trình học bất đẳng thức. Nội dung của bài viết không nhằm nêu phát kiến gì mới. Đối tượng mà người viết nhắm tới là những người mới học bất đẳng thức. Những ai được mọi người thừa nhận là đã thạo bất đẳng thức, hoặc tự cho mình là đã giỏi bất đẳng thức thì không nên đọc, phí thời gian. (NT AG viết lời giới thiệu) Trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, đôi khi ta gặp giả thiếta ,b,c 0 và abc 1. Có thể sử dụng đến bất đẳng thức AM GM 3 a b c 3 a b c rồi sử dụng giả thiết abc 1 mà ta cần phải đổi biến để chứng minh thì ta thường có các cách đổi biến như sau 1 1 1 1. Đặt a ;b ;c . 4. Đặt a xn ,b yn ,c zn . x y z 1 1 1 np pm mn 2. Đặt a ;b ;c . 5. Đặt a ,b , c xa y z m2 n2 p2 x y z xn yn zn 3. Đặt a ;b ;c . 6. Đặt a ;b ;c . y z x yn zn xn Dưới đây là một số ví dụ điển hình. Ví dụ 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức P . a4 a b b4 b c c4 c a Lời giải 1 1 1 x, y, z 0 x4 y4 z4 Ta đặt x ; y ; z P . 1 1 1 1 1 1 a b c xyz 1 x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:
2. 1 1 1 1 1 1 4 4 4 x x y y y z z x2 1 ; y2 2 ; z x z2 3 . 1 1 1 1 1 1 4 4 4 x y y z z x Từ 1 , 2 , 3 suy ra : 1 1 1 1 2 2 2 P x y z 2 x y z 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 P x y z x y z xy yz zx 2 x y z 2 1 3 3 x2 y2 z2 3 x2.y2.z2 (Vì x2 y2 z2 xy yz zx,x, y, z 0 ). 2 2 2 3 Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 a b c 1.Vậy min P . 2 Ví dụ 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy chứng minh rằng 1 1 1 3 a2 b c b2 c a c2 a b 2 Lời giải 1 1 1 x, y, z 0 Ta đặt a ,b ,c x y z xyz 1 1 1 1 x2 y2 z2 x2 yz xy2 z xyz2 Khi đó 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b y z z x x y y z z x x y 2 x y z x2 y2 z2 x y z 3 xy yz zx 3 . y z z x x y xy yz yz xy zx yz 2 xy yz zx 2 xy yz zx 2 Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 a b c 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1.Hãy chứng minh rằng 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 Lời giải
3. x, y,z 0 Ta đặt a x3 ,b y3 ,c z3 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh xyz 1 trở thành 1 1 1 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : x3 x3 y3 3x2 y 1 y3 y3 x3 3xy2 2 1 1 1 Từ 1 , 2 suy ra x3 y3 x2 y y2 x 3 . x3 y3 1 x2 y y2 x 1 xy x y z Chứng minh tương tự ta có : 1 1 1 1 4 , 5 . y3 z3 1 yz x y z z3 x3 1 zx x y z Từ 3 , 4 , 5 suy ra : 1 1 1 1 1 1 1. x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 xy x y z yz x y z zx x y z Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 a b c 1. Vậy ta có đpcm . Ví dụ 4: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy chứng minh rằng 1 1 1 1. 2a 1 2b 1 2c 1 Lời giải x y z Ta đặt a ,b ,c , với x, y, z 0 y z x 1 1 1 1 1 1 y z x Khi đó x y z 2a 1 2b 1 2c 1 2 1 2 1 2 1 2x y 2y z 2z x y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
4. 2 y z x y2 z2 x2 x y z 1 2x y 2y z 2z x 2xy y2 2yz z2 2zx x2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 1 1 1 Suy ra 1 2a 1 2b 1 2c 1 Dấu bằng xảy ra khi x y z a b c 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P a 1 b 1 c 1 b c a Lời giải x y z Ta đặt a ;b ; c , với x, y, z 0 , khi đó biểu thức đã cho được viết lại y z x như sau x z y x z y y z x z x y x y z P 1 1 1 . y y z z x x xyz Ta sẽ chứng minh P 1 y z x z x y x y z xyz x, y,z 0 * . Không mất tính tổng quát ta giả sử x y z 0 . Suy ra x y z 0, x z y 0 . TH1: Nếu y z x 0 thì * đúng. TH2: Nếu y z x 0 thì ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm y z x , z x y , x y z ta có : 2 y z x z x y 2 0 y z x z x y z 1 2 2 z x y x y z 2 0 z x y x y z x 2 2
5. 2 y z x x y z 2 0 y z x x y z y 3 2 2 2 Từ 1 , 2 , 3 suy ra y z x z x y x y z xyz y z x z x y x y z xyz , Dấu bằng xảy ra khi x y z . Vậy P 1, dấu bằng xảy ra khi a b c 1. Vậy max P 1 . Ví dụ 6: Cho các số thực dương a,b,c . Hãy chứng minh rằng a2 b2 c2 1 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Lời giải Đặt a2 b2 c2 1 1 1 P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a b b c c a a 1 1 1 a a b b c c b c a x, y, z 0 Đặt x , y , z . a b c xyz 1 1 1 1 Khi đó P x2 x 1 y2 y 1 z2 z 1 mn np pm Đặt x , y , z , với m,n, p 0 p2 m2 n2 1 1 1 Khi đó P 2 2 2 mn mn np np pm pm 1 1 2 2 1 2 2 2 2 p p m m n n p4 m4 n4 p4 m2n2 mnp2 m4 n2 p2 npm2 n4 m2 p2 mpn2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 m2 n2 p2 P m4 n4 p4 m2n2 n2 p2 p2m2 mnp m n p
6. Lại có mnp m n p m2n2 n2 p2 p2m2 (áp dụng bđt a2 b2 c2 ab bc ca ). 2 m2 n2 p2 Suy ra P 1. m4 n4 p4 2 m2n2 n2 p2 p2m2 Dấu bằng xảy ra khi m n p a b c 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 7: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy chứng minh rằng 1 1 1 1 1 8a 1 8b 1 8c Lời giải 1 1 1 Ta đặt P 1 8a 1 8b 1 8c np pm mn Đặt a ,b , c , với m,n, p 0 . m2 n2 p2 Khi đó m n p m2 n2 p2 P m2 8np n2 8pm p2 8mn m. m2 8np n. n2 8pm p. p2 8mn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có : m n p 2 P 1 . m. m2 8np n. n2 8pm p. p2 8mn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 m. m2 8np n. n2 8pm p. p2 8mn m m3 8mnp n n3 8mnp p p3 8mnp m n p m3 n3 p3 24mnp 3 3 3 m n p m n p 3 m n n p p m m n p 4 .
7. m. m2 8np n. n2 8pm p. p2 8mn m n p 2 2 . Từ 1 , 2 P 1, dấu bằng xảy ra khi m n p a b c 1. Vậy ta có đpcm. Ví dụ 8: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy chứng minh rằng 1 1 1 3 1 a 2 1 b 2 1 c 2 4 Lời giải 1 1 1 Gọi P . 1 a 2 1 b 2 1 c 2 np pm mn Ta đặt a , b , c , với m,n, p 0 . m2 n2 p2 m4 n4 p4 Khi đó P 2 2 2 m2 np n2 pm p2 mn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 m2 n2 p2 +) P 2 2 2 1 m2 np n2 pm p2 mn 2 +) m2 np m2 n2 m2 p2 m4 m2 n2 p2 n2 p2 2 2 +) n2 pm n2 p2 n2 m2 n4 n2 m2 p2 p2m2 3 2 +) p2 mn p2 m2 p2 n2 p4 p2 m2 n2 m2n2 4 Từ 2 , 3 , 4 suy ra 2 2 2 2 m2 np n2 pm p2 mn m2 n2 p2 m2n2 n2 p2 p2m2 4 2 m2 n2 p2 5 3 1 2 (Do m2n2 n2 p2 p2m2 m2 n2 p2 ). 3
8. 2 2 2 m n p 3 Từ 1 và 5 ta suy ra P . 4 m2 n2 p2 4 3 Dấu bằng xảy ra khi m n p a b c 1 . Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 9: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Hãy chứng minh rằng a b c 1 2a3 1 2b3 1 2c3 1 Lời giải 2a 2b 2c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 1 2a3 1 2b3 1 2c3 1 . Ta có a2 1 2a ,a 0 a2 1 2a3 a2 1 2a 2a3 a2 1 2 4 2 3 4 2 2a a 1 a a 1 2a 1 2a a a 1 3 4 2 1 4 2 2 2a 1 a a 1 a a 1 2b b4 2c c4 Chứng minh tương tự ta có : 1 3 , 1 4 . 2b3 1 b4 b2 1 2c3 1 c4 c2 1 2a 2b 2c a4 b4 c4 Từ 2 , 3 , 4 suy ra 3 3 3 3 4 2 4 2 4 2 2a 1 2b 1 2c 1 a a 1 b b 1 c c 1 * a4 b4 c4 Ta đi chứng minh 3 4 2 4 2 4 2 2 . a a 1 b b 1 c c 1 a4 b4 c4 Thật vậy 1 a4 a2 1 b4 b2 1 c4 c2 1 1 1 1 2 2 2 1 5 . 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 a a b b c c 1 1 1 m,n, p 0 Đặt m 2 ,n 2 , p 2 a b c mnp 1
9. yz zx xy Tiếp tục đặt m ,n , p , với x, y, z 0 x2 y2 z2 Khi đó 1 1 1 1 1 1 2 2 2 y2 z2 yz z2 x2 zx x2 y2 xy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 2 4 2 4 2 a a b b c c x x y y z z x4 y4 z4 x4 x2 yz y2 z2 y4 xy2 z z2 x2 z4 xyz2 x2 y2 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 1. x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 xyz x y z x4 y4 z4 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Dấu bằng xảy ra khi x y z a b c 1 . Vậy đúng, từ * và suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 10: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 b 1 c 1 Lời giải 1 1 1 2 Đặt P . a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 b 1 c 1 yz zx xy Và đặt a , b , c , với x, y, z 0 . x2 y2 z2 x4 y4 z4 2x2 y2 z2 P Khi đó 2 2 2 2 2 2 . x2 yz y2 zx z2 xy x yz y zx z xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 2 2 x2 yz x2 y2 x2 z2 , y2 zx y2 z2 y2 x2 , z2 xy z2 x2 z2 y2 Suy ra x2 yz y2 zx z2 xy x2 y2 y2 z2 z2 x2
10. Và x4 y4 z4 2x2 y2 z2 P x2 y2 x2 z2 y2 z2 y2 x2 z2 x2 z2 y2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 x4 y2 z2 y4 z2 x2 z4 x2 y2 2x2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 1 . x2 y2 y2 z2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Dấu bằng xảy ra khi x y z a b c 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 11: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng a b c 4 1 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 1 b 1 c 4 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4a 4b 4c 16 1 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 1 b 1 c 2 2 2 2 2 2 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 16 1 a 1 2 b 1 2 c 1 a 1 b 1 c 1 2 2 2 a 1 b 1 c 1 16 2 * . a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 x 1 y 1 z Ta đặt x , y , z a , b , c a 1 b 1 c 1 1 x 1 y 1 z 2 2 2 a 1 , b 1 , c 1 . 1 x 1 y 1 z x, y, z 1;1 a,b,c 0 Theo giả thiết 1 x 1 y 1 z . abc 1 1 1 1 x 1 y 1 z Từ 1 suy ra 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z x y z xyz 0 . Khi đó ta có * x2 y2 z2 2 1 x 1 y 1 z 2
11. x2 y2 z2 2 1 x 1 y 1 z 2 x2 y2 z2 2 1 xyz x y z xy yz zx 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 2 x y z 0 , điều này luôn đúng với mọi x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện . Dấu bằng xảy ra khi x y z 0 a b c 1. Vậy ta có điều phải chứng minh.