Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương pháp giải phương trình lượng giác

49 trang nhungbui22 12/08/2022 1940

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương pháp giải phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_phuong_phap_giai_phuong.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương pháp giải phương trình lượng giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin2 x 1 cos2 x  sin2 x cos2 x 1 2 2 cos x 1 sin x 1 1  1 tan2 x tan2 x 1 cos2 x cos2 x 1 1  1 cot2 x cot2 x 1 sin2 x sin2 x 1  tan x.cot x 1 cot x tan x sin4 x cos4 x 1 2sin2 x cos2 x  6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin x cos x 3 3 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x  3 3 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III Góc IV sin x + + cos x + + tan x + + cot x + + III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối nhau cos x cos x sin x sin x tan x tan x cot x cot x  Hai cung bù nhau sin x sin x cos x cos x tan x tan x cot x cot x  Hai cung phụ nhau sin x cos x cos x sin x 2 2 tan x cot x cot x tan x 2 2  Hai cung hơn nhau sin x sin x cos x cos x tan x tan x cot x cot x
 Hai cung hơn nhau 2 sin x cos x cos x sin x 2 2 tan x cot x cot x cot x 2 2  Với k là số nguyên thì ta có: sin x k2 sin x cos x k2 cos x tan x k tan x cot x k cot x IV. CÔNG THỨC CỘNG sin x y sin x cos y cos xsin y sin x y sin x cos y cos xsin y cos x y cos x cos y sin xsin y cos x y cos x cos y sin xsin y tan x tan y tan x tan y tan x y tan x y 1 tan x tan y 1 tan x tan y Đặc biệt: sin 2x 2sin x cos x 2 2 2 2 TH1: Công thức góc nhân đôi: cos 2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x 2 tan x tan 2x 1 tan2 x 1 cos 2x 1 cos 2x Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin2 x ;cos2 x 2 2 sin 3x 3sin x 4sin3 x TH2: Công thức góc nhân ba: 3 cos3x 4cos x 3cos x V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y 1 cos x cos y 2cos cos cos x cos y cos x y cos x y 2 2 2 x y x y 1 cos x cos y 2sin cos sin xsin y cos x y cos x y 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2sin cos sin x cos y sin x y sin x y 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2cos sin cos xsin y sin x y sin x y 2 2 2 Chú ý:  sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4  sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4
u v 2k u v k2  sin u sin v  cosu cosv u v k2 u v k2 u v k u v k  cot u cot v  tan u tan v u k u k 2 Đặc biệt: sin x 0 x k cos x 0 x k 2 sin x 1 x k2 cos x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 cos x 1 x k2 2 Chú ý:  Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m và cos x m là: 1 m 1  Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương trình cơ bản: sin u cosv sin u sin v cosu sin v cosu cos v 2 2 sin u sin v sin u sin v cosu cosv cosu cos v cos2 x 1 cos x 1  Đối với phương trình không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình 2 sin x 1 sin x 1 cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công thức sin2 x cos2 x 1 để cos2 x 1 sin x 0 biến đổi như sau: sin 2x 0 2 sin x 1 cos x 0 2 1 cos x 2 2 2cos x 1 0  Tương tự đối với phương trình cos 2x 0 2 2 1 1 2sin x 0 sin x 2 Bài 1. Giải các phương trình sau 2  cos x  2sin 2x 3 0 4 2 6  2cos x 2 0  3tan x 3 3 3 Hướng dẫn giải: 2 3  cos x cos x cos 4 2 4 4
3 Ta xác định ở phương trình này u x ,v , nên dựa vào công thức nghiệm ta có 4 4 3 3 x k2 hoặc x k2 4 4 4 4 Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 ; x k2 , k ¢ 2 3  2sin 2x 3 0 sin 2x sin 2x sin 6 6 2 6 3 2x k2 x k 6 3 12 k ¢ 4 3 2x k2 x k 6 3 4 2  2cos x 2 0 cos x cos x cos 3 3 2 3 4 x k2 x k2 3 4 12 k ¢ 7 x k2 x k2 3 4 12 3  3tan x 3 tan x tan x tan 3 3 3 3 6 x k x k , k ¢ 3 6 6 Chú ý: Đối với phương trình tan x m tan x m , trong đó m là hằng số thì điều kiện cos x 0 sin x 0 là không cần thiết. Bài 2. Giải các phương trình sau  sin x sin 2x  sin x cos 2x 4 6 4  tan 3x tan x  cot 2x tan x 0 4 6 4 6 Hướng dẫn giải: x 2x k2 x k2 4 4  sin x sin 2x , k ¢ 4 2 x 2x k2 x k 4 4 3 2 5 2 2x x k2 x k 2 4 3 36 3  PT cos 2x cos x 4 3 2 11 2x x k2 x k2 4 3 12  Do PT có dạng tan u tan v nên ta chỉ cần một điều kiện cosu 0 hoặc cosv 0 . Để đơn giản ta chọn điều kiện: cos x 0 x k x k . Khi đó: 6 6 2 3
5 tan 3x tan x 3x x k x k , k ¢ 4 6 4 6 24 2  Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT: x k , k ¢ 24 2  Do có thể biến đổi PT về dạng tan u tan v nên ta chỉ cần một điều kiện cosu 0 hoặc cosv 0 . Để đơn giản ta chọn điều kiện: cos x 0 x k x k 6 6 2 3 3 PT cot 2x tan x tan x tan 2x 4 6 6 4 3 11 x 2x k x k k ¢ 6 4 36 3 11 Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT: x k , k ¢ 36 3 Bài 3. Giải các phương trình sau  4cos2 x 2 3 1 cos x 3 0  2cos2 x 5sin x 4 0 2 2 2  3 tan x 1 3 tan x 1 0  sin x cos x 4 Hướng dẫn giải: 1 cos x x k2 2 3  PT k ¢ 3 cos x x k2 2 6 sin x 2 lo¹i 2 2  PT 2 1 sin x 5sin x 4 0 2sin x 5sin x 2 0 1 sin x t / m 2 5 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 và x k2 , k ¢ 6 6 tan x 1 sin x 2 lo¹i 2  PT 1 2sin x 5sin x 2 0 1 tan x sin x 3 2 5 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 và x k2 , k ¢ 6 6 1 cos 2x 2 1 cos 2x  PT sin 2x cos 2x tan 2x 1 x k 2 2 8 2 Bài 4. Giải các phương trình sau 1 x x  sin4 x cos4 x sin 2x  sin4 cos4 1 2sin x 2 2 2 4 4 6 6  2 sin x cos x cos 2x 0  sin x cos x cos 4x 2
Hướng dẫn giải: 1 1 1  PT 1 2sin2 x cos2 x sin 2x 1 sin2 2x sin 2x 2 2 2 2 sin 2x 1 sin 2x 2sin 2x 3 0 2x k2 x k , k ¢ sin 2x 3 lo¹i 2 4 1 2 2 sin x 0  PT 1 sin x 1 2sin x sin x 4sin x 0 x k k ¢ 2 sin x 4 lo¹i 1 2 2 sin 2x 1  PT 2 1 sin 2x sin 2x 0 sin 2x sin 2x 2 0 2 sin 2x 2 lo¹i 2x k2 x k , k ¢ 2 4 3  PT 1 3sin2 x cos2 x 1 2sin2 2x 1 sin2 2x 1 2sin2 2x 4 sin 2x 0 2x k x k , k ¢ . 2 Bài 5. Giải các phương trình sau 2 sin6 x cos6 x sin x cos x  sin4 x cos4 x sin x cos x 0  0 A06 2 2sin x 2 x 2 3 cos x 2sin 1 2 4  cos4 x sin2 x  1 4 2cos x 1 Hướng dẫn giải: 1 2 1 2 sin 2x 1  PT 1 sin 2x sin 2x 0 sin 2x sin 2x 2 0 2 2 sin 2x 2 lo¹i x k , k ¢ 4 x k2 2 4  (A-2006) Điều kiện: 2 2sin x 0 sin x 2 3 x k2 4 6 6 3 2 1 PT 2 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 0 4 2 sin 2x 1 3sin2 2x sin 2x 4 0 4 x k , k ¢ sin 2x lo¹i 4 3 5 Kết hợp nghiệm ta thu được nghiệm của phương trình x k2 4
2 1 cos x 4 2 1 4 2 2  PT cos x 1 cos x 4cos x 4cos x 3 0 4 3 cos2 x lo¹i 4 2cos2 x 1 0 cos 2x 0 2x k x k , k ¢ 2 4 2  Điều kiện: 2cos x 1 x k2 3 2 x PT 2 3 cos x 2sin 2cos x 1 3 cos x 1 cos x 1 2 4 2 3 cos x cos x 0 3 cos x sin x 0 tan x 3 x k , k ¢ 2 3 Bài 6. Giải các phương trình sau  sin 3x cos 2x sin x 0 (D-2013) sin 5x 2cos2 x 1 (B-2013)  sin x 4cos x 2 sin 2x (A-2014) cos3x cos 2x cos x 1 0 (D-2006) Hướng dẫn giải:  PT sin 3x sin x cos 2x 0 2cos 2xsin x cos 2x 0 cos 2x 2sin x 1 0 x k 4 2 cos 2x 0 1 x k2 sin x 6 2 7 x k2 6  PT sin 5x 1 cos 2x 1 cos 2x sin 5x cos 2x sin 5x 2 2x 5x k2 x k 2 6 3 cos 2x cos 5x k ¢ 2 2 2x 5x k2 x k 2 14 7  PT sin x 4cos x 2 2sin x cos x sin x 1 2cos x 2 2cos x 1 0 sin x 2 lo¹i sin x 2 1 2cos x 0 1 x k2 cos x 3 2  PT cos3x cos x cos 2x 1 0 2sin 2xsin x 2sin2 x 0 x k sin x 0 sin x 0 sin x sin 2x sin x 0 2 sin 2x sin x 0 2cos x 1 0 x k2 3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin x bcos x c
 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 a b c sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b c C1: Đặt cos , sin . Khi đó PT sin x x ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b c C2: Đặt sin , cos  . Khi đó PT cos x  x ? a2 b2 a2 b2 a2 b2  Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 b2 c2  Chú ý: Khi phương trình có a c hoặc b c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung. Bài 1. Giải các phương trình sau  cos x 3 sin x 2  2sin x 2cos x 6  3 cos3x sin 3x 2  sin x cos x 2 sin 5x Hướng dẫn giải:  Nhận xét: Trong PT này ta xác định các hệ số a 1,b 3,c 2 thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 do đó 2 phương trình này có nghiệm. Để giải PT ta cần chia cả hai vế cho a2 b2 12 3 2 . x k2 1 3 2 2 12 PT cos x sin x sin x 2 2 2 6 2 7 x k2 12 x k2 1 1 3 3 12  PT cos x sin x sin x 2 2 2 4 2 5 x k2 12 3x k2 3 1 2 2 3 4  PT cos3x sin 3x sin 3x 2 2 2 3 2 3 3x k2 3 4 2 x k 36 3 , k ¢ 5 2 x k 36 3 1 1  PT sin x cos x sin 5x sin x sin 5x 2 2 4 x 5x x k2 x k 4 16 2 3 5x x k2 x k 4 8 3 Bài 2. Giải các phương trình sau
 3 sin 2x sin 2x 1  3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 2 3 2 6  3sin x 3 cos3x 1 4sin x  cos7x 3 sin 7x 2 0, x ; 5 7 Hướng dẫn giải: 3 1 1 1  PT 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x sin 2x 2 2 2 6 2 2x k2 x k 6 6 k ¢ 5 x k 2x k2 3 6 6 3 1 3 1 1 3  PT sin x cos x 8 8 8 3 1 5 5 3 1 Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN của thu được , tức là sin . 8 12 12 8 5 5 1 3 Vậy ta có nên đưa phương trình về dạng cos sin x sin cos x ngay lập tức hay chưa? Câu trả lời 12 12 8 5 là chưa. Bởi vì kết quả không phải giá trị cung lượng giác đặc biệt có mặt trong SGK? Vì vậy ta nên làm 12 như sau cho thuyết phục: 5 2 3 2 1 3 1 Ta có sin sin sin cos cos sin . . 12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 8 5 5 3 1 5 5 Nên PT cos sin x sin cos x sin x cos 12 12 8 12 12 5 x k2 5 7 5 12 12 sin x cos sin x sin 12 12 12 12 5 13 x k2 12 12 2 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 và x k2 , k ¢ . 2 3 1 3 1  PT sin 3x 3 cos3x 1 sin 3x cos3x 2 2 2 2 3x k2 x k 1 3 6 18 3 sin 3x 3 2  2 3x k2 x k 3 6 6 3 7x k2 3 1 2 2 6 4  PT sin 7x cos7x sin 7x 2 2 2 6 2 3 7x k2 6 4
5 5 2 7x k2 x k 12 84 7 k ¢ 11 11 2 7x k2 x k 12 84 7 2 6 2 5 2 6 Nhận xét: Để tìm nghiệm x ; thực chất là ta phải chọn số nguyên k thỏa mãn k 5 7 5 84 7 7 2 11 2 6 2 5 2k 6 2 11 2k 6 hoặc k tức là ta phải giải các bất phương trình ; để tìm 5 84 7 7 5 84 7 7 5 84 7 7 các miền giá trị của k rồi sau đó chọn k là số nguyên. 53 5 59 KL: Vậy phương trình có các nghiệm thỏa mãn điều kiện là: x , x và x . 84 12 84 Ngoài ra, ta có thể không cần giải các BPT nghiệm nguyên ở trên bằng cách sử dụng 570ES PLUS như sau: 2 6 - Trước tiên ta tìm khoảng gần đúng của ; là 0,4;0,857 5 7 5 2X - Nhập biểu thức thứ nhất vào máy tính (vì máy tính không có k nên ta coi X là k) rồi CALC với các 84 7 giá trị X 0; 1; 2; 3 để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. Khi đó ta tìm được k 2 , ứng với nghiệm là 53 x . 84 5 59 - Tương tự cho biểu thức thứ 2 thu được k 1;k 2 , tương ứng với nghiệm x và x . 12 84 Bài 3. Giải các phương trình sau  cos7x sin 5x 3 cos5x sin 7x  tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x 3 1 cos 2x sin x sin 2x  cos x  3 (CĐ2004) 2sin x cos x cos 2x Hướng dẫn giải:  Nhận xét: Đối với PT dạng asin x bcos x c thì chúng ta có thể giải một cách dễ dàng bằng cách chia cho a2 b2 . Nhưng nếu gặp dạng asin mx bcos mx csin nx d cos nx trong đó a2 b2 c2 d 2 thì làm thế nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều có dạng bậc nhất của sin và cos, ta thử chia mỗi vế cho a2 b2 , rất may a2 b2 c2 d 2 . Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung. Từ đó ta có lời giải như sau: 1 3 1 3 PT cos7x 3 sin 7x sin 5x 3 cos5x cos7x sin 7x sin 5x cos5x 2 2 2 2 7x 5x k2 x k 6 3 12 sin 7x sin 5x 6 3 2 7x 5x k2 x k 6 3 24 6 sin x 0  Điều kiện: sin 2x 0 x k cos x 0 2 sin2 x 3cos2 x sin x 3 cos x PT 4 sin x 3 cos x sin x 3 cos x 4 0 sin x cos x sin x cos x
tan x 3 sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x 2sin 2x sin x sin 2x 3 Giải và kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được: x k ; x k2 ; 3 3 2 2 x k , k ¢ . 9 3  Điều kiện: sin x 0 x k 2x k2 3 3 3 PT sin 2x 3 cos 2x 3 sin 2x 3 2 2 2x k2 3 3 x k lo¹i . Vậy phương trình có nghiệm: x k , k ¢ . x k 6 6 2  Điều kiện: cos x cos 2x 0 2x x k2 x k 3 PT sin x sin 2x 3 cos x cos 2x sin x 3 cos x sin 2x 3 cos 2x 1 3 1 3 sin x cos x sin 2x cos 2x sin x sin 2x 2 2 2 2 3 3 x k2 5 2 k ¢ x k 9 3 5 2 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 ; x k 9 3 Bài 4. Giải các phương trình sau 1  cos x 3 sin x  1 tan x 2 2 sin x (A2013) cos x 4 6  3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 (D09) 4sin x 3cos x 6 4sin x 3cos x 1 Hướng dẫn giải:  Điều kiện: cos x 0 x k 2 1 3 1 PT cos2 x 3 sin x cos x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x 2 2 2 2x k2 x k t / m 1 6 6 sin 2x k ¢ 6 2 5 x k t / m 2x k2 3 6 6 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k 3
 Điều kiện: cos x 0 x k 2 tan x 1 sin x 1 PT 1 2 sin x cos x sin x cos x 2 0 1 cos x cos x cos x 2 Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của PT: x k ; x k2 , k ¢ . 4 3  PT 3 cos5x sin 5x sin x sin x 0 3 cos5x sin 5x 2sin x 5x x k2 x k 3 18 3 sin 5x sin x , k ¢ . 3 5x x k2 x k 3 6 4 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k . 18 3 6 4  Đặt t 4sin x 3cos x 1, t 0 6 2 t 1 PT t 1 6 t 7t 6 0 t t 6 4 3 + Với t 1 ta có 4sin x 3cos x 0 sin x cos x 0 5 5 cos sin x sin cos x 0 sin x 0 x k 4 3 + Với t 6 ta có 4sin x 3cos x 5 sin x cos x 1 5 5 cos sin x sin cos x 1 sin x 1 x k2 2 3 4 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 ; x k2 trong đó sin và cos . 2 5 5 DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin2 x bsin x cos x c.cos2 x d 0  Cách giải: Cách 1: + Xét cos x 0 có là nghiệm phương trình không? + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: a tan2 x b tan x c d 1 tan2 x 0 tan x x Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1) Bài 1. Giải các phương trình sau  2sin2 x sin x cos x 3cos2 x 0  2sin2 x 3sin x cos x cos2 x 0  sin2 x 10sin x cos x 21cos2 x 0  2sin2 x 5sin x cos x 3cos2 x 0 Hướng dẫn giải:  2sin2 x sin x cos x 3cos2 x 0 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:
tan x 1 x k 2 4 2 tan x tan x 3 0 3 k ¢ tan x 3 2 x arctan k 2 Cách 2: PT 2 1 cos 2x sin 2x 3 1 cos 2x 0 sin 2x 5cos 2x 1 2 t 1 2t 1 t 2 Đặt t tan x khi đó sin 2x ; cos 2x . Phương trình trở thành 2t t 3 0 3 1 t 2 1 t 2 t 2  2sin2 x 3sin x cos x cos2 x 0 + Xét cos 0 (tức sin2 x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: tan x 1 x k 2 4 2 tan x 3tan x 1 0 1 k ¢ . tan x 1 2 x arctan k 2  sin2 x 10sin x cos x 21cos2 x 0 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 1 0 nên cos x 0 không t/m. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: 2 tan x 3 x arctan 3 k tan x 10 tan x 21 0 k ¢ tan x 7 x arctan 7 k  2sin2 x 5sin x cos x 3cos2 x 0 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 2 0 nên cos x 0 không t/m. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: tan x 1 x k 2 4 2 tan x 5tan x 3 0 3 k ¢ tan x 3 2 x arctan k 2 Bài 2. Giải các phương trình sau  sin2 x 1 3 sin x cos x 3 cos2 x 0  3sin2 x 4sin 2x 4cos2 x 0  3sin2 x 4sin x cos x 5cos2 x 2  3sin2 x 4sin 2x 8 3 3 cos2 x 3 Hướng dẫn giải:  sin2 x 1 3 sin x cos x 3 cos2 x 0 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 1 0 nên cos x 0 không t/m. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: tan x 1 x k 2 4 tan x 1 3 tan x 3 0 k ¢ . tan x 3 x k 3  PT 3sin2 x 8sin x cos x 4cos2 x 0
+ Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 3 0 nên cos x 0 không t/m. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: tan x 2 x arctan 2 k 2 3tan x 8tan x 4 0 2 2 k ¢ tan x x arctan k 3 3  3sin2 x 4sin x cos x 5cos2 x 2 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 3 2 nên cos x 0 không t/m. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: tan x 1 2 2 x k 3tan x 4 tan x 5 2 1 tan x 4 k ¢ tan x 3 x arctan 3 k  PT 3sin2 x 8sin x cos x 8 3 3 cos2 x 3 + Xét cos x 0 (tức sin2 x 1): Khi đó phương trình trở thành 3 3 nên cos x 0 thỏa mãn. Tức là x k là nghiệm của phương trình. 2 + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: 3tan2 x 8tan x 8 3 3 3 1 tan2 x tan x 3 x k k ¢ 3 Vậy phương trình có nghiệm: x k , x k 2 3 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin3 x bcos3 x csin2 x cos x d cos2 xsin x esin x f cos x 0  Cách giải: + Xét cos x 0 có là nghiệm phương trình không? 1 + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x với chú ý: 1 tan2 x cos2 x Bài 1. Giải các phương trình sau  sin x 4sin3 x cos x 0  2sin3 x cos x  2cos3 x sin 3x  4cos3 x 2sin3 x 3sin x 0 Hướng dẫn giải:  sin x 4sin3 x cos x 0 + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 3 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: tan x 1 tan2 x 4 tan3 x 1 tan2 x 0 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 tan x 1 3tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ 4 Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nêu các em biến đổi phương trình 3t3 t 2 t 1 0 t 1. Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là chưa đủ vì chúng ta không
hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3. Các em cần phải phân tích thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm. ậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất? 1 Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau t 1,t 0,47i (1 nghiệm thực và 2 3 1 nghiệm phức). Chú ý đến số nhé! 3 Bước 2: Viết nhân tử: do PT có nghiệm t 1 nên có một nhân tử t 1 , vậy nhân tử còn lại là gì? Dựa vào hệ số đầu tiên và cuối cùng trong phương trình bậc 3 ta thu được hệ số đầu tiên và cuối cùng của nhân tử còn lại, 1 B tức là có nhân tử nữa 3t 2 Bt 1 . Để tìm B ta dựa vào phần thực của nghiệm phức còn lại từ đó 3 2A suy ra B 2 . Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành t 1 3t 2 2t 1 t 1.  2sin3 x cos x + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 2 tan3 x 1 tan2 x 2 tan3 x tan2 x 1 0 tan x 1 2 tan2 x tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ 4  2cos3 x sin 3x 2cos3 x 3sin x 4sin3 x + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 0 1 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 2 3tan x 1 tan2 x 4 tan3 x tan3 x 3tan x 2 0 2 tan x 1 x k tan x 1 tan x 2 0 4 k ¢ tan x 2 x arctan 2 k Nhận xét: Khi bấm máy tính giải phương trình t3 3t 2 0 , chúng ta thu được 2 nghiệm t 1,t 2 . Khi đó phân tích phương trình thành t3 3t 2 t 1 t 2 . Như thế liệu đầy đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé. Như vậy là đa thức này còn có 1 nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là t 1 hay t 2 . Câu trả lời là t 1, vì sao lại như vậy? Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là t 2 thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là 4 , không ổn rồi. Vậy kết quả là t3 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 1 2 t 2  4cos3 x 2sin3 x 3sin x 0 + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 1 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 4 2 tan3 x 3tan x 1 tan2 x 0 tan3 x 3tan x 4 0 tan x 1 tan2 x tan x 4 0 tan x 1 x k k ¢ 4 Bài 2. Giải các phương trình sau  sin xsin 2x sin 3x 6cos3 x  cos3 x sin3 x sin x cos x  6sin x 2cos3 x 5sin 2x cos x  cos3 x sin x 3sin2 x cos x 0 Hướng dẫn giải:  sin xsin 2x sin 3x 6cos3 x 2sin2 x cos x 3sin x 4sin3 x 6cos3 x
+ Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 1 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 2 tan2 x 3tan x 1 tan2 x 4 tan3 x 6 tan3 x 2 tan2 x 3tan x 6 0 x k 4 tan x 1 tan x 2 tan2 x 3 0 tan x 3 x k k ¢ 3 tan x 3 x k 3  PT cos3 x sin3 x sin x cos x 0 + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 1 tan3 x tan x 1 1 tan2 x 0 1 tan3 x tan3 x tan2 x tan x 1 0 x k tan x 0 2 tan x tan x 0 k ¢ tan x 1 x k 4  6sin x 2cos3 x 5sin 2x cos x 6sin x 2cos3 x 10sin x cos2 x + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 6 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 6 tan x 1 tan2 x 2 10 tan x 6 tan3 x 4 tan x 2 0 tan x 1 6 tan2 x 6 tan x 2 0 tan x 1 x k k ¢ 4  cos3 x sin x 3sin2 x cos x 0 + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 1 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 1 tan x 1 tan2 x 3tan2 x 0 2 tan3 x tan x 1 0 tan x 1 2 tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ 4 Bài 3. Giải các phương trình sau  cos3 x 4sin3 x 3cos xsin2 x sin x 0  1 3tan x 2sin 2x 3 1  2sin x 2 3 cos x  tan xsin2 x 2sin2 x 3 cos 2x sin x cos x cos x sin x Hướng dẫn giải:  cos3 x 4sin3 x 3cos xsin2 x sin x 0 + Xét cos x 0 (tức sin x 1): Khi đó PT trở thành 1 0 nên cos x 0 không thỏa mãn. + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 1 4 tan3 x 3tan2 x tan x 1 tan2 x 0 3tan3 x 3tan2 x tan x 1 0
x k tan x 1 4 2 3 tan x 1 3tan x 1 0 tan x x k k ¢ 3 6 3 tan x x k 3 6  Điều kiện: cos x 0 . Khi đó phương trình trở thành: cos x 3sin x 4sin x cos2 x Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 1 3tan x 1 tan2 x 4 tan x 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 tan x 1 3tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x t / m , k ¢ 4  Điều kiện: cos x 0 . PT trở thành: 2sin2 x cos x 2 3 cos2 xsin x 3 sin x cos x Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: 2 tan2 x 2 3 tan x 3 tan x 1 tan2 x 1 3 tan3 x tan2 x 3 tan x 1 0 x k 4 tan x 1 tan2 x 1 3 tan x 1 0 tan x 1 x k t / m , k ¢ 4 3 tan x x k 3 6  Điều kiện: cos x 0 . PT trở thành: sin3 x 2sin2 x cos x 3 2cos3 x sin x cos2 x cos x Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: tan3 x 2 tan2 x 3 2 tan x 1 tan2 x tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 x k 4 tan x 1 tan x 1 tan2 x 3 0 tan x 3 x k t / m , k ¢ 3 tan x 3 x k 3 Bài 4. Giải các phương trình sau  cos3 x sin3 x cos2 x sin2 x  cos3 x sin3 x cos 2x 6 6 13 2 4 4 7  cos x sin x cos 2x  sin x cos x cot x cot x 8 8 3 6 Hướng dẫn giải:  PT cos3 x sin3 x cos2 x sin2 x cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x 0 cos x sin x 1 1 sin x cos x sin x cos x 0 2
Giải (1): cos x cos x x x k x k 2 2 4 t 2 1 Giải (2): Đặt t sin x cos x sin x cos x . Khi đó (2) 2 t 2 1 2t 0 2 2 1 t 2t 1 0 t 1 sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 x k2 4 4 k ¢  x k2 x k2 2 4 4 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2  PT cos x sin x 1 sin x cos x cos2 x sin2 x cos x sin x 1 sin x cos x sin x cos x 0  sin x cos x 0 tan x 1 x k 4  1 sin x cos x sin x cos x 0 1 t 2 Đặt t sin x cos x sin x cos x ta có: 2 t 2 1 2t 0 t 1 2 x k2 x k2 1 4 4 sin x cos x 1 sin x 3 4 2 5 x k2 x k2 2 4 4 3 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2 13  PT cos2 x sin2 x cos4 x sin4 x sin2 x cos2 x cos2 2x 8 2 2 13 2 1 2 13 cos 2x 1 sin x cos x cos 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x 0 8 4 8  cos 2x 0 2x k x k 2 4 2  8 2sin2 2x 13cos 2x 0 2cos2 2x 13cos 2x 6 0 1 cos 2x ,cos 2x 6 lo¹i x k 2 6 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k k ¢ 4 2 6 2  Điều kiện: sin x sin x 0 sin x cos x 0 sin 2x 0 3 6 3 3 3 7 1 7 1 1 1 2sin2 x cos2 x 1 sin2 2x sin2 2x sin 2x 8 2 8 4 2 Vậy phương trình vô nghiệm:
5 7 x k ; x k ; x k ; x k k ¢ 12 12 12 12 DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: f sin x cos x,sin x cos x 0  Cách giải: t 2 1 + Đặt t sin x cos x sin x cos x 2 1 t 2 + Đặt t sin x cos x sin x cos x . Đưa về phương trình ẩn t. 2 Chú ý: Nếu t sin x cos x 2 sin x thì 2 t 2 4 Bài 1. Giải các phương trình sau  2 sin x cos x sin 2x 1 0  sin x cos x 6 sin x cos x 1  sin 2x 2 sin x 1  tan x 2 2 sin x 1 4 Hướng dẫn giải:  2 sin x cos x sin 2x 1 0 2 sin x cos x 2sin x cos x 1 0 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 0 t / m Phương trình trở thành: 2t t 2 1 1 0 t 2 2t 0 t 2 lo¹i Khi đó sin x cos x 0 sin x 0 x k 4 4 Vậy phương trình có nghiệm.  sin x cos x 6 sin x cos x 1 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 1 t / m Phương trình trở thành: 1 t 2 12 t 1 t 2 12t 13 0 t 13 lo¹i 1 Vì vậy sin x cos x 1 sin x 4 2 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k2 k ¢ 2  sin 2x 2 sin x 1 2sin x cos x sin x cos x 1 4 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2
t 0 t / m Phương trình trở thành: 1 t 2 t 1 t 2 t 0 t 1 t / m  sin x cos x 0 sin x 0 x k 4 4 1 x k2  sin x cos x 1 sin x 2 4 2 x k2 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2  tan x 2 2 sin x 1 sin x cos x 2 2 sin x cos x 0 cos x 0 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 2 2 2 t t / m PT trở thành: t 2 1 t 0 2t t 2 0 2 t 2 t / m 5 x k2 2 1 12  sin x cos x sin x 2 4 2 13 x k2 12  sin x cos x 2 sin x 1 x k2 4 4 5 13 Kết hợp với điều kiện, PT có nghiệm: x k2 ; x k2 ; x k2 k ¢ 12 12 4 Bài 2. Giải các phương trình sau 1 2 2  1 tan x 2sin x  sin x cos x cos x tan x cot x 1 1 10  sin x cos x  2sin x cot x 2sin 2x 1 sin x cos x 3 Hướng dẫn giải: 1  1 tan x 2sin x cos x sin x 2sin x cos x 1, cos x 0 cos x t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 1 t / m PT trở thành: t t 2 1 1 t 2 t t 0 t / m  sin x cos x 0 sin x 0 x k 4 4 x k2 1  sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 2
Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2 sin x 0  Điều kiện: . Khi đó: cos x 0 cos2 x sin2 x PT sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x 0 sin x cos x  sin x cos x 0 sin x 0 x k t / m 4 4  sin x cos x 2sin x 2cos x 0 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 2 5 lo¹i PT trở thành: 1 t 2 4t 0 t 2 4t 1 0 t 2 5 lo¹i Vậy phương trình có nghiệm: x k k ¢ 4 sin x 0  Điều kiện: cos x 0 sin x cos x 10 PT sin x cos x sin x cos x 3 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 2 19 PT trở thành: 3t3 10t 2 3t 10 0 t 2 3t 2 4t 5 0 t 3 2 19 2 19 Khi đó sin x cos x sin x sin 3 4 3 2 3 Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x k2 ; x k2 k ¢ 4 4  Điều kiện: sin x 0 PT 2sin2 x cos x 4sin2 x cos x sin x sin x 2sin x 1 cos x 4sin2 x 1 2sin x 1 cos x 2sin x 1 sin x 0 x k2 1 6  sin x t / m 2 5 x k2 6  2sin x cos x sin x cos x 0 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2
1 5 t t / m 2 2 2 PT trở thành: 1 t t 0 t t 1 0 1 5 t lo¹i 2 1 5 1 5 Khi đó sin x cos x sin x sin 2 4 2 2 5 Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x k2 ; x k2 ; x k2 ; 6 6 4 5 x k2 k ¢ . 4 Bài 3. Giải các phương trình sau  sin3 x cos3 x 2sin x cos x sin x cos x  1 sin3 x cos3 x sin 2x  2 sin x cos x tan x cot x  1 sin x 1 cos x 2 Hướng dẫn giải:  PT sin x cos x 1 sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 1 t / m 2 2 PT trở thành: t 2 t 1 2 t 1 2t t 1 t 1 t 2 0 t 1 t / m t 2 lo¹i x k2 1  sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 2 1 x k2  sin x cos x 1 sin x 2 4 2 x k2 Kết hợp nghiệm ta thu được: x k ; x k k ¢ . 2 Chú ý: Ở đây hai họ nghiệm x k2 và x k2 được gộp thành họ nghiệm x k . Còn hai họ nghiệm x k2 và x k2 được gộp thành họ nghiệm x k . 2 2 2  PT 1 sin x cos x 1 sin x cos x 2sin x cos x t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 1 t / m 2 2 PT trở thành: 2 t 2 1 t 2 1 t t t 1 t 3 0 t 0 t / m t 3 lo¹i
1 x k2  sin x cos x 1 sin x 2 4 2 x k2  sin x cos x 0 sin x 0 x k 4 4 Vậy phương trình có nghiệm là: x k2 ; x k2 ; x k k ¢ . 2 4 sin x 0 1  Điều kiện: . Phương trình 2 sin x cos x cos x 0 sin x cos x t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 2 PT trở thành: 2t 2t3 2t 2 0 2t 2 t 2 2t 1 0 t 2 t 2 1 Khi đó sin x cos x 2 sin x 1 x k2 4 4 Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x k2 k ¢ 4  1 sin x 1 cos x 2 sin x cos x sin x cos x 1 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 t 1 t / m PT trở thành: t 2 1 2t 2 t 2 2t 3 0 t 3 lo¹i x k2 1 Khi đó sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 2 Vậy phương trình có nghiệm là: x k2 ; x k k ¢ 2 Bài 4. Giải các phương trình sau  sin x cos x sin x cos x 1  1 sin2 x cos x 1 cos2 x sin x 1 sin 2x  2 sin 2x sin x cos x 2  sin x cos x 4sin 2x 1  2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 Hướng dẫn giải:  sin x cos x sin x cos x 1 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 0 t 2 4 2 t 1 t / m PT trở thành: t 2 1 2t 2 t 2 2t 3 0 t 3 lo¹i
x k2 1  sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 2 1 x k2  sin x cos x 1 sin x 2 4 2 x k2 Kết hợp nghiệm ta thu được: x k ; x k k ¢ 2  PT sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 2sin x cos x t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 2 2 3 2 2 t 0 PT trở thành: 2t t 1 t 2 2 t 1 t 2t t 0 t t 1 0 t 1 x k2 1  sin x cos x 1 sin x 4 2 x k2 2  sin x cos x 0 sin x 0 x k 4 4 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 ; x k2 ; x k k ¢ 2 4  PT 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 2 t 2 4 2 PT trở thành: 2 t 2 1 t 2 2t3 2t 2 0 2t 2 t 2 2t 1 0 t 2 Khi đó sin x cos x 2 sin x 1 x k2 4 4 Vậy phương trình có nghiệm là: x k2 k ¢ 4  PT sin x cos x 8sin x cos x 1 1 t 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 0 t 2 4 2 t 1 t / m 2 2 PT trở thành: t 4 1 t 1 4t t 3 0 3 t lo¹i 4 1 x k2  sin x cos x 1 sin x 2 4 2 x k2
x k2 1  sin x cos x 1 sin x 3 4 2 x k2 2 Kết hợp nghiệm ta thu được: x k ; x k k ¢ . 2  PT 4sin x cos x 3 6 sin x cos x 8 0 t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x sin x cos x 0 t 2 4 2 6 2 3 t t / m PT trở thành: 2 t 1 3 6t 8 0 2t 3 6t 6 0 2 t 6 lo¹i x k2 6 3 12  sin x cos x sin x 2 4 2 5 x k2 12 7 x k2 6 3 12  sin x cos x sin x 2 4 2 13 x k2 12 5 7 13 Vậy PT có nghiệm: x k2 ; x k2 ; x k2 ; x k2 k ¢ . 12 12 12 12 DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH  Dạng phương trình: k 2 k A f 2 x B f x C 0 , với f x sin x,cos x (1) 2 f x f x hoặc A a2 tan2 x b2 cot2 x B a tan x bcot x C 0 (2). k  Cách giải: Đối với phương trình (1): Đặt t f x f x  Đối với phương trình (2): Đặt t a tan x bcot x Bài 1. Giải các phương trình sau 2 1 1  4 sin x 2 4 sin x 7 0 sin x sin x 2  2 tan2 x 5 tan x cot x 4 0 sin2 x 3  3cot2 x 4 tan x cot x 1 0 cos2 x Hướng dẫn giải:  Điều kiện: sin x 0
1 1 Đặt t sin x t 2 sin2 x 2 sin x sin2 x 3 5 PT trở thành: 4 t 2 2 4t 7 0 4t 2 4t 15 0 t ;t 2 2 1 3  sin x 2sin2 x 3sin x 2 0 (vô nghiệm) sin x 2 1 5  sin x 2sin2 x 5sin x 2 0 sin x 2 1 x k2 sin x t / m 6 2 7 sin x 2 lo¹i x k2 6 7 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 ; x k2 k ¢ . 6 6 Nhận xét: Dùng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương nghịch đảo, ta có thể đánh giá t như sau: 1 1 1 t sin x sin x 2 sin x . 2 để đưa ra điều kiện t 2 . sin x sin x sin x sin x 0 2 2  Điều kiện: . PT 2 cot x tan x 5 tan x cot x 6 0 cos x 0 Đặt t tan x cot x t 2 tan2 x cot2 x 2 tan2 x cot2 x t 2 2 1 t PT trở thành: 2 t 2 2 5t 6 0 2t 2 5t 2 0 2 t 2 1  tan x cot x 2 tan2 x tan x 2 0 (vô nghiệm) 2  tan x cot x 2 tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k 4 Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x k k ¢ 4 Nhận xét: Dùng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương nghịch đảo, ta có thể đánh giá t như sau: t tan x cot x tan x cot x 2 tan x . cot x 2 để đưa ra điều kiện t 2 . sin x 0 2 2  Điều kiện: . PT 3 tan x cot x 4 tan x cot x 2 0 cos x 0 Đặt t tan x cot x t 2 tan2 x cot2 x 2, t 2 2 t lo¹i PT trở thành: 3 t 2 2 4t 2 0 3t 2 4t 4 0 3 t 2 Khi đó tan x cot x 2 tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k . 4 Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x k k ¢ 4
MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC KĨ THUẬT 1: LỰA CHỌN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác để đưa về dạng góc cơ bản là một vấn đề rất then chốt trong việc giải phương trình lượng giác Bài 1. Giải các phương trình sau 1 1 7 4 4 7  4sin x (A08) sin x cos x cot x cot x sin x 3 4 8 3 6 sin x 2 4 4 sin 2x cos 2x 4    cos 4x  sin 2x 3cos x 1 2sin x 2 2 tan x tan x 4 4 Hướng dẫn giải 3 7  Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung x và x mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa 2 cung này về 2 4 cùng một cung x. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt. Điều kiện: sin x 0,cos x 0 sin 2x 0 x k ,k ¢ 2 1 1 1 2 2 cos x sin x sin x cos x 2 sin 2x 1 0 sin x cos x 5 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm pt là: x k ; x k ; x k k ¢ 4 8 8  Điều kiện: sin x .sin x 0 cos 2x cos 0 3 6 6 2 4 4 7 1 2 7 Do x x nên 2 sin x cos x 1 sin 2x 3 6 2 8 2 8 1 sin 2x . Kết hợp với điều kiện ta được: x k k ¢ 2 12 2  Nhận xét: Từ tổng hai cung x x nên tan x tan x 1 4 4 2 4 4 1 Điều kiện 1: cos x cos x 0 cos 2x cos 0 cos 2x 0 4 4 2 2 1 Điều kiện 2: sin x sin x 0 cos 2x cos 0 cos 2x 0 4 4 2 2 1 3 sin4 2x cos4 2x cos4 4x 1 sin2 4x cos4 4x 2 cos2 4x 1 sin 2x 0 2cos4 4x cos2 4x 1 0 sin 4x 0 2 1 cos 4x lo¹i cos 2x 0 lo¹i 2
Vậy phương trình có nghiệm x k . 2 Chú ý:  Chắc hẳn các em sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét về tổng hai cung mà quy đồng và biến rồi thì ra không? A Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì rất phức tạp. 2. Sử dụng công thức biến đổi tổng sang tích và ngược lại Khi giải pt mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích. Bài 2. Giải các phương trình sau  sin x sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x 0 2 3 2  cos3x cos3 x sin 3xsin3 x 8  1 sin x cos3x cos x sin 2x cos 2x  cos3 x sin3 x sin 2x sin x cos x Hướng dẫn giải  Nhận xét: Bài toán có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số sin (hàm số cos) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý x 6x 2x 5x 3x 4x . Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích. PT sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0 7x 5x x 3x 7x 3x 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos x 1 0 2 2 2 2 2 2 k2 k2 2 Vậy phương trình có nghiệm x ; x ; x k2 , k ¢ . 7 3 3 3  Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng. 1 1 2 3 2 2 cos 4x cos 2x cos2 x cos 4x cos 2x sin2 x 2 2 8 2 3 2 2 3 2 cos 4x sin2 x cos2 x cos 2x cos2 x sin2 x cos 4x cos2 2x 4 4 2 3 cos 4x x k 2 16 2  (ĐHNT HCM 2000) PT 1 cos 2x sin x sin 2x cos3x cos x 0 2sin2 x sin x 2sin x cos x 2sin 2xsin x 0 sin x 2sin x 2cos x 2sin 2x 1 0 sin x 0 2 sin x cos x 4sin x cos x 1 0 7 ĐS: x k , x k2 , x k2 ; x k2 3 6 6  (ĐHCS 2000) PT 2sin x cos x sin x sin3 x cos x cos3 x 0
2sin x cos x sin x cos2 x cos xsin2 x 0 sin x cos x 2 sin x cos x 0 ĐS: x k 2 Bài 3. Giải các phương trình sau  sin 2xsin 5x sin 3xsin 4x 4 4 3  cos x sin x cos x sin 3x 0 (D2005) 4 4 2  3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 (D2009)  sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2 cos 4x sin3 x (B2009) Hướng dẫn giải 1 1  cos7x cos3x cos7x cos x cos3x cos x 3x x k2 x k . 2 2 2 1 2 1 3  PT 1 sin 2x sin 4x sin 2x 0 2 2 2 2 2 sin 2x 1 sin 2x sin 2x 2 0 x k , k ¢ sin 2x 2 lo¹i 4  Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 5x,3x,2x, x và 3x 2x 5x ta nghĩ ngay đến việc áp dụng công thức tích sang tổng để đưa về cung 5x . Còn cung x thì xử lý thế nào, ta quan sát lời giải sau: 3 1 PT 3 cos5x sin 5x sin x sin x 0 cos5x sin 5x sin x 2 2 x k 12 3 sin 5x sin x 3 x k 6 2 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k . 12 3 6 2 Chú ý: Đối với dạng phương trình asin x bcos x a 'sin kx b'cos kx,k 0,1 ta coi như 2 vế của phương trình là 2 phương trình bậc nhất với sin và cos. Do đó ta có cách làm tương tự.  PT sin x 1 2sin2 x cos xsin 2x 3 cos3x 2cos 4x 1 3 sin 3x 3 cos3x 2cos 4x sin 3x cos3x cos 4x 2 2 x k2 6 cos 4x cos 3x 4x 3x k2 k ¢ 6 6 2 x k 42 7 3. Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải các phương trình lượng giác mà bậc của sin và cos là bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đó đưa về phương trình cơ bản. Bài 4. Giải các phương trình sau 3  sin2 x sin2 2x sin2 3x  sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x (B02) 2
2 x 2 2 x 2 2  sin tan x cos 0 (D03) cos 3x cos 2x cos x 0 (A05) 2 4 2 Hướng dẫn giải 6x 2x  (ĐHAG2000) Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số sin và tổng hai cung 4x mà ta nghĩ đến việc 2 hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích. cos 4x 0 PT cos 2x cos 4x cos6x 0 cos 4x 2cos 2x 1 0 1 cos 2x 2 k Vậy phương trình có nghiệm: x , x k . 8 4 3 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x  PT x 2 2 2 cos12x cos10x cos8x cos6x 0 2cos11x cos x 2cos7x cos x 0 cos x cos11x cos7x 0 cos xsin 9xsin 2x 0 Vậy phương trình có nghiệm: x k ; x k , k ¢ . 9 2  Điều kiện: cos x 0 . 2 1 sin x 1 2 2 PT 1 cos x 2 1 cos x 1 sin x sin x 1 cos x cos x 2 2 cos x 2 1 sin x 1 cos x sin x cos x 0 ĐS: Kết hợp với điều kiện ta được x k2 , x k . 4 1 cos6x 1 cos 2x  PT cos 2x 0 cos6x.cos 2x 1 0 2 2 cos8x cos 4x 2 0 2cos2 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k . 2 Bài 5. Giải các phương trình sau 2 4 4  2sin 2x sin 7x 1 sin x (B07) cos x sin x 1 4 x 3 1 sin x x  2 3 cos x 2sin2 2cos x 1  3tan3 x tan x 8cos2 0 2 2 4 cos x 4 2 Hướng dẫn giải  PT sin 7x sin x 1 2sin2 2x 0 2cos 4x.sin 3x cos 4x 0 cos 4x 2sin 3x 1 0 . 2 5 2 Vậy PT có nghiệm: x k , x k , x k . 8 4 18 3 18 3  (ĐHL1995) 1 cos 2x 2 1 sin 2x 2 1 sin 2x cos 2x 1 2 cos 2x 1 x k  x k , k ¢ . 2 2 4
1 3  (DB03) 3 cos x sin x 0 sin x cos x 0 sin x 0 2 2 3 x k . 3 3 1 sin x  (KT1999) 3tan3 x tan x 4 1 sin x 0 cos2 x tan x 3tan2 x 1 1 sin x 3tan2 x 1 0 3tan2 x 1 tan x 1 sin x 0 1 TH1: tan x x k ,k ¢ . 3 6 TH2: 1 sin x tan x 0 sin x cos x sin x cos x 0 (pt đối xứng với sin và cos) 2 1 Giải phương trình này được x arccos k2 ,k ¢ . 4 2 4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức) Bài 6. Giải các phương trình sau 2 x x 2  sin cos 3 cos x 2 (D07) cot x tan x 4sin 2x (B03) 2 2 sin 2x  tan x cot x 2cot3 2x  tan x cot x 2 sin 2x cos 2x Hướng dẫn giải x x  1 2sin cos 3 cos x 2 sin x 3 cos x 2 2 2 x k2 1 3 1 6 sin x cos x 1 sin x k ¢ . 2 2 3 2 x k2 2  Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cot x tan x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ nào? cos2 x sin2 x cos 2x Ta có cot x tan x 2 . Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau: sin x cos x sin 2x Điều kiện: sin 2x 0 x k 2 cos 2x 2 PT 2 4sin 2x cos 2x 2sin2 2x 1 2cos2 2x cos 2x 1 0 sin 2x sin 2x cos 2x 1 sin 2x 0 lo¹i 1 3 x k . cos 2x sin2 2x t / m 3 2 4 1 2t Chú ý: Ta có thể đặt t tan x cot x ,sin 2x đưa phương trình về ẩn t để giải. t 1 t 2  (ĐHQGHN1996) Điều kiện sin 2x 0 x k 2 sin x cos x cos 2x PT 2cot3 2x 2 2cot3 2x cot 2x cot3 2x 0 cos x sin x sin 2x
cot 2x 0 x k t / m 4 2  (GTVT1998) Điều kiện: sin 2x 0 x k 2 sin x cos x 2 PT 2 sin 2x cos 2x 2 sin 2x cos 2x cos x sin x sin 2x 1 sin2 2x sin 2x cos 2x cos2 2x sin 2x cos 2x x k cos 2x 0 4 2 , k ¢ . tan 2x 1 x k 8 2 Bài 7. Giải các phương trình sau 6 6 13 2 cos x sin x sin x cos x  cos6 x sin6 x cos2 2x  0 (A06) 8 2 2sin x cos4 x sin4 x 1 1 2cos 4x  cot 2x  cot x tan x 5sin 2x 2 8sin 2x sin 2x Hướng dẫn giải  Nhận xét: Xuất hiện cos6 x sin6 x ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức a3 b3 . 13 PT cos2 x sin2 x cos4 x sin4 x sin2 x cos2 x cos2 2x 8 1 2 1 2 13 2 2 cos 2x 1 sin 2x sin 2x cos 2x cos 2x 8 2sin 2x 13cos 2x 0 2 4 8 cos 2x 0 x k cos 2x 0 4 2 k . 2 1 ¢ 2cos 2x 13cos 2x 6 0 cos 2x 2 x k 6 x k2 1 4  Điều kiện: sin x 2 3 x k 4 PT 2 cos4 x sin4 x sin2 x cos2 x sin x cos x 0 2 6sin2 x cos2 x sin x cos x 0 3sin2 2x sin 2x 4 0 sin 2x 1 x k 4 5 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x k2 ,k ¢ . 4  (DB2002) Điều kiện: sin 2x 0 x k 2 1 1 sin2 2x 1 cos 2x 1 9 PT 2 cos2 2x 5cos 2x 0 5sin 2x 2 sin 2x 8sin 2x 4
1 cos 2x x k . 2 6  Điều kiện: sin 2x 0 x k 2 2cos 2x 2cos 4x 1 2 PT 2cos2 2x cos 2x 1 0 cos 2x x k . sin 2x sin 2x 2 3 Bài 8. Giải các phương trình sau x  1 tan x 1 sin 2x 1 tan x  cot x sin x 1 tan x tan 4 (B06) 2 1 sin x cos 2x sin x 4 1 1 2sin x cos x  cos x  3 (A09) 1 tan x 2 1 2sin x 1 sin x Hướng dẫn giải  Điều kiện: cos x 0 x k 2 PT cos x sin x sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x 0 tan x 1 x k t / m sin x cos x cos2 x sin2 x 1 0 4 2 2 cos x sin x 1 cos 2x 1 x k t / m 2t Chú ý: Ta có thể đặt t tan x sin 2x để đưa phương trình về dạng đại số ẩn t. 1 t 2 x  Điều kiện: sin x 0,cos x 0,cos 0 x k ,k ¢ 2 2 x x cos x cos sin xsin PT cot x sin x 2 2 4 cot x tan x 4 1 4sin x cos x x cos x cos 2 1 5 Giải sin 2x và kết hợp với điều kiện, thu được nghiệm: x k , x k k ¢ 2 12 12 cos x 0  (A2010) Điều kiện: tan x 1 PT 2 sin x 1 sin x cos 2x 1 tan x cos x 4 sin x cos x 1 sin x cos 2x sin x cos x sin x cos 2x 0 1 2sin2 x sin x 1 0 sin x 2 7 Kết hợp với điều kiện, thu được nghiệm của phương trình là: x k2 , x k2 . 6 6 1  Điều kiện: sin x 1;sin x 2 PT 1 2sin x cos x 3 1 2sin x 1 sin x
cos x 3 sin x sin 2x 3 1 2sin2 x 1 3 1 3 cos x sin x sin 2x cos 2x 2 2 2 2 2 cos x cos 2x x k2  x k 3 6 2 18 3 2 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x k k ¢ . 18 3 cos x cos2 x 1 sin x Chú ý: Có thể sử dụng đẳng thức đưa phương trình về dạng 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos 2x 3 sin x sin 2x . cos x sin 2x 3 6 KĨ THUẬT 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Xu hướng trong đề thi đại học những năm gần đây việc giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung Bài 1. Giải các phương trình sau  1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0  2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x  cos 2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3  2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x  sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0  sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0 Hướng dẫn giải  (B-2005) sin x cos x 2sin x cos x 2cos2 x 0 sin x cos x 1 2cos x 0  (D2004) PT 2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1 2cos x 1 sin x cos x 0  PT 1 2sin2 x 6sin x cos x 5sin x 3cos x 3 3cos x 2sin x 1 2sin2 x 5sin x 2 0 2sin x 1 3cos x sin x 2 0  (D2008) 4sin x cos2 x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0  (D2010) PT 2sin x cos x 1 2sin2 x 3sin x cos x 1 0 cos x 2sin x 1 2sin2 x 3sin x 2 0 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0 2sin x 1 cos x sin x 2 0  (B2010) PT 2sin x cos2 x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0 sin x 2cos2 x 1 cos 2x cos x 2 0 sin x cos 2x cos 2x cos x 2 0 cos 2x sin x cos x 2 0 Bài 2. Giải các phương trình sau 1 1 2  2 2 sin x  tan 2x cot x 8cos x 4 sin x cos x
2  2 tan x cot x 3  cos 2x cos x 2 tan2 x 1 2 sin 2x 1 2 cos x sin x cos 2x 1   cot x 1 sin2 x sin 2x tan x cot 2x cot x 1 1 tan x 2 Hướng dẫn giải  (ĐHQGHN1997) Điều kiện: sin 2x 0 x k 2 sin x cos x sin x cos x 0 tan x 1 PT 2 sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 sin 2x 1 Giải và kết hợp với điều kiện thu được: x k , x k hay x k . 4 4 4 2  Điều kiện: cos 2x 0,sin x 0 sin 2x sin x sin 2xsin x cos 2x cos x PT 8cos2 x 8cos2 x cos 2x cos x cos 2xsin x cos x 0 cos x 1 8cos x cos 2xsin x 0 1 sin 4x 2 5 ĐS: x k  x k  x k . 2 24 2 24 2  (ĐHNT1997) Điều kiện: sin x 0,cos x 0 2sin x cos x 1 3 2sin2 x cos2 x 3 sin x cos x 1 cos x sin x sin x cos x sin x 0 lo¹i 1 sin2 x 3 sin x cos x 1 sin x sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x tan x 3x k . 3  (DB2003) Điều kiện: cos x 0 sin2 x sin2 x cos 2x 2 cos x 2 2 cos 2x 1 1 cos x cos x cos x 2 1 2 2sin x 1 1 cos x 1 cos x 2 1 cos x cos x 0 cos x ĐS: x k2 , x k2 . 3 cos x.sin 2x.sin x tan x cot 2x 0  Điều kiện: cot x 1 1 2 cos x sin x cos xsin 2x PT 2 sin x sin x cos 2x cos x 1 cos x cos x sin 2x sin x sin x 2cos x 2 0 Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: x k2 , k ¢ . 4
 (A2003) Điều kiện: cos x 0,sin x 0, tan x 1 2 2 cos x sin x cos x cos x sin x sin2 x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos x sin x 0 cos x sin x cos x sin x 0 2 sin x sin x sin x cos x 1 0 tan x 1 x k t / m 2 2 tan x tan x 1 0 4 Bài 3. Giải các phương trình sau  sin3 x cos3 x 2 sin5 x cos5 x  sin6 x cos6 x 2 sin8 x cos8 x 5  sin8 x cos8 x 2 sin10 x cos10 x cos 2x (ĐHNT HCM2000) 4 Hướng dẫn giải 3 2 3 2 3 3 cos 2x 0  sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 cos 2x sin x cos x 0 tan x 0  (QGHN99) PT sin6 x 1 2sin2 x cos6 x 2cos2 x 1 0 6 6 cos 2x 0 cos 2x sin x cos x 0 tan x 1 5  PT sin8 x 1 2sin2 x cos8 x 1 2cos2 x cos 2x 0 4 8 8 5 cos 2x cos x sin x 0 . 4 Bài 4. Giải các phương trình sau  3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0 (DB2003) 2  3tan 3x cot 2x 2 tan x sin 4x 4cos3 x 2cos2 x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x  0 2sin2 x 1  sin 2x cos x 3 2 3 cos3 x 3 3 cos 2x 8 3 cos x sin x 3 3 0  8 2 cos6 x 2 2 sin3 xsin 3x 6 2 cos4 x 1 0  3 cot x cos x 5 tan x sin x 2 Hướng dẫn giải  (DB2003) Điều kiện: cos x 0 sin x sin x 2sin x cos x PT 3 6cos x 0 cos x cos x 3cos2 x sin2 x 1 2cos x 6cos3 x 0 3cos2 x 1 2cos x sin2 x 1 2cos x 0 1 2cos x 3cos2 x sin2 x 0 ĐS: x k , k ¢ . 3
cos3x 0 cos x 0  * Điều kiện: x k , x k sin 4x 0 6 3 4 sin 2x 0 2 PT 2 tan 3x tan x tan 3x cot 2x sin 4x 2sin 2x cos x 2 cos3x cos x cos3xsin 2x sin 4x 4sin 4xsin x 2cos 2x cos x 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 2cos3x 1 sin 2xsin x 4cos x 1 0 cos 2x t / m 4 Cách 2 (Bạn Hồng & Thanh Tùng A1) Điều kiện: x k , x k . 6 3 4 PT 3tan 3x cot 2x tan x tan 2x cot 2x 3tan 3x 2 tan x tan 2x 0 2sin 2x sin x 2 tan 3x tan x tan 3x tan 2x 0 0 cos3x cos x cos3x cos 2x 2sin 2x cos 2x sin x cos x sin 2x 0 lo¹i 0 sin 2x 4cos 2x 1 0 cos3x cos x cos 2x 4cos 2x 1 0 1 cos 2x t / m . 4 1 1 Vậy phương trình có nghiệm x arccos k . 2 4  Điều kiện: 2sin2 x 1 0 cos 2x 0 x k 4 2 PT 4cos2 x cos2 x sin x 2cos x cos x sin x 2 sin x cos x 0 2 sin x cos x cos x 1 2cos x 1 2 Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình: x k , k ¢ . 3  PT 2sin x cos2 x 6sin x cos x 2 3 cos3 x 6 3 cos2 x 8 3 cos x sin x 0 2cos2 x sin x 3 cos x 6cos x sin x 3 cos x 8 3 cos x sin x 0 sin x 3 cos x 2cos2 x 6cos x 8 0  PT 2 2 cos3 x 4cos3 x 3cos x 2 2 sin3 xsin 3x 1 0 2cos2 x 2cos x cos3x 2sin2 x 2sin xsin 3x 2 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x 2 2 2 cos 2x cos 2x cos 4x 2 cos 2x cos2 2x 4 2 cos 2x x k . 2 8
 Điều kiện: sin x 0,cos x 0 . PT 3 cot x cos x 1 5 tan x sin x 1 0 cos x sin x cos x sin x sin x sin x cos x cos x 3 5 0 sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0 3 5 sin x cos x 2 t 2t 1 0 víi t sin x cos x 2 cos x 4 5 tan x 3 1 2 3 Đối chiếu với điều kiện thu được: x arccos k2 , x arctan k . 4 2 5 KĨ THUẬT 3: ĐẶT ẨN PHỤ 1. Chọn góc để đặt ẩn phụ Bài 1. Giải các phương trình sau 3 x 1 3x 3 x  sin sin  cos x 2sin 3 10 2 2 10 2 2 2 5x x 3x  sin 3x sin 2x.sin x  sin cos 2 cos 4 4 2 4 2 4 2 Hướng dẫn giải  Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta nghĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng nhưng đừng vội 3 x 3x làm như thế khó ra lắm, ta xem mối quan hệ giữa hai cung và có quan hệ với nhau như 10 2 10 2 thế nào? 3 x 9 3x 3x Thật vậy nếu ta đặt t 3t thì khi đó sử dụng công thức góc nhân ba là 10 2 10 2 10 2 biến đổi dễ dàng. 1 1 3 2 sin t 0 PT sin t sin 3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0 2 2 cost 0  3 Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 , x k4 , k ¢ . 5 5 6 Chú ý: Nếu không làm quen với cách biến đổi trên, ta có thể làm như sau: 3 x 3 3x t x 2t t 10 2 5 10 2 3 x  Đặt t x 3 2t . PT cos 3 2t 2sin t 3 sin2 t sin t 2 0 . 2 2 k  Đặt t x . ĐS: x 4 4 2
x 3x 3 5x  Đặt t 3t , 5t . 2 4 2 4 2 4 3 PT sin 5t cost 2 cos 3t sin 5t cost cos3t sin 3t 4 sin 5t sin 3t cos3t cost 2sin t cos 4t sin 2t 0 . x 3 x Chú ý: Có thể chuyển cos sin rồi áp dụng công thức tổng sang tích cho vế trái. 2 4 4 2 Bài 2. Giải các phương trình sau 3 3  8cos x cos3x  tan x tan x 1 3 4 x x x 2 3x  2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 Hướng dẫn giải 2  Đặt t x . ĐS: x k , x k , x k 3 6 3 1 tan t  Đặt t x . PT tan3 t 1 1 tan t tan3 t 2 tan t . 4 1 tan t 5 5 5  (ĐHYTB1997) ĐS: x k5 , x k5 , x k5 . 4 12 3 2. Chọn biểu thức để đặt ẩn phụ Bài 3. Giải các phương trình sau 6  3sin x 4cos x 6  sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 3sin x 4cos x 1 1 1  cos2 x cos x  2cos2 2x cos 2x 4sin2 2x cos2 x cos2 x cos x  1 3tan x 2sin 2x  3cot2 x 2 2 sin2 x 3 2 2 cos x Hướng dẫn giải 2 t 1  Đặt t 3sin x 4cos x 1 t 0 . Từ phương trình ta có t 7t 6 0 . t 6  Đặt t sin x 3 cos x, t 0 . Từ phương trình ta có t 1,t 2 (loại). Vậy sin x 3 cos x 1 sin x sin 3 6 1 1  Đặt t cos x cos2 x t 2 2 . Từ phương trình ta có t 1,t 2 . cos x cos2 x  2cos2 2x cos 2x 2 1 cos2 2x 1 cos 2x . Do đó ta đặt t cos 2x, t 1. 2t  Đặt t tan x sin 2x . 1 t 2 Ngoài ra ta có thể khai triển đưa về phương trình đẳng cấp bậc 3 theo sin và cos. 1 cos2 x 2  3 2 2 2 1 cos x 3 2 2 cos x . Do đó đặt t cos x, t 1 cos x
Chú ý: Có thể đưa phương trình về dạng tích sin2 x cos x 3cos x 2 2 sin2 x 0 . KĨ THUẬT 4: NHÓM BÌNH THƯỜNG 1. Biến đổi phương trình về dạng A2 + B2 = 0 Bài 1. Giải các phương trình sau  4cos2 x 3tan2 x 4 3 cos x 2 3 tan x 4 0  3 sin2 2x 2sin 2x cos 2x 2 2 sin x  4cos2 2x 2cos 2x 6 4 3 sin x Hướng dẫn giải  PT 4cos2 x 4 3 cos x 1 3tan2 x 2 3 tan x 1 0 2 2 2cos x 3 0 2cos x 3 3 tan x 1 0 x k2 . 3 tan x 1 0 6  Nhận xét: Vì xuất hiện sin2 2x và 2sin 2x ta nghĩ đến việc đưa về sin 2x 1 2 do đó ta biến đổi như sau: PT sin2 2x 2sin 2x 1 1 cos 2x 2 2 sin x 1 0 x k2 2 2 1 4 sin 2x 1 2 sin x 1 0 sin x 2 3 x k2 4  Nhận xét: Vì xuất hiện 4cos2 2x và cos 2x ta nghĩ đến việc đưa về 2cos 2x 1 2 , phần còn lại ta biến đổi về sin2 x . PT 4cos2 2x 4cos 2x 1 4sin2 x 4 3 sin x 3 0 3 x k2 2 sin x 2 2 3 3 2cos 2x 1 2sin x 3 0 sin x 1 3 2 cos 2x x k2 2 3 2. Biến đổi phương trình về dạng A2 = B2 Bài 2. Giải các phương trình sau  sin 2x 2 tan x tan2 x  tan2 x sin2 2x 4cos2 x 1 2cos 2x  4 tan x 4 tan2 x 2  4cot x 4cot2 x sin2 x 1 cos 2x  sin2 2x cos 2x cos3x cos x  cos2 3x cos2 x 3cos2 2x cos 2x 2 x  32cos6 sin 3x 3sin x 2 Hướng dẫn giải  PT 1 2sin x cos x 1 2 tan x tan2 x sin x cos x 2 1 tan x 2  Nhận xét: Ta nhận thấy tan xsin 2x 2sin2 x do đó ta cộng vào 2 vế 1 lượng 4sin2 x . PT tan2 x 2 tan xsin 2x sin2 2x 4cos2 x 4sin2 x tan x sin 2x 2 4
 Nhận xét: Vì chúng ta nhận thấy xuất hiện 4 tan2 x và 4 tan x nên ta chuyển vế để đưa về dạng hằng đẳng thức 2 tan x 1 2 . 1 2 PT 1 4 tan2 x 4 tan x 1 cot2 x 2 tan x 1 2 tan x 1 cot x sin2 x  Nhận xét: Vì nhìn thấy xuất hiện 4cot2 x và 4cot x nên ta chuyển vế để xuất hiện 2cot x 1 2 . 2 cos 2x 1 2 sin x PT 4cot2 x 4cot x 1 0 2cot x 1 0 1 cos 2x cos2 x 2cot x 1 2 tan2 x 2cot x 1 tan x .  Nhận xét: Do xuất hiện nhiều góc khác nhau nên ta biến đổi cos3x cos x 2sin 2xsin x , sau đó do vế trái có sin2 2x nên ta đưa về sin 2x sin x 2 . PT sin2 2x cos 2x 2sin 2xsin x sin 2x sin x 2 cos 2x sin2 x sin 2x sin x 2 cos2 x  Nhận xét: Do xuất hiện cos2 3x cos2 x nên ta nghĩ đến hằng đẳng thức cos3x cos x 2 . Vì thế ta cộng thêm cả hai vế với 2cos3x cos x và ở vế phải ta dùng công thức biến đổi tích sang tổng 2cos3x cos x cos 4x cos 2x . PT cos2 3x 2cos3x cos x cos2 x 2 3cos2 2x cos 2x 2cos3x cos x cos3x cos x 2 2 3cos2 2x cos 4x cos3x cos x 2 sin2 2x 3 6 x 6 x 2 x 3  32cos sin 3x 3sin x 32cos 3sin x sin 3x 4 2cos 4sin x 2 2 2 1 cos x sin x 2 sin x 1. 4 KĨ THUẬT 5: XỬ LÝ PHƯƠNG TRÌNH CÓ ĐIỀU KIỆN 1. Biểu diễn nghiệm và điều kiện qua cùng một hàm số lượng giác Trong phần này cần sử dụng tốt các kết quả sau: sin x 0 cos2 x 1; cos2 x 1 sin x 0 ; cos x 0 sin x 1 sin x 1 cos x 0 sin x 0 cos x 1 cos x 1 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 cos x 0 sin x 1 sin x 1 cos x 0 Bài 1. Giải các phương trình sau 1 1 2 sin2 2x cos4 2x 1  (THTT09) 0 cos x sin 2x sin 4x sin x cos x 1 sin x cos 2x sin x x 4 1  cot x sin x 1 tan x tan 4 (B06) cos x 2 1 tan x 2
sin4 2x cos4 2x  cos4 4x tan x tan x 4 4 Hướng dẫn giải cos x 0, sin x 1,  (THTT09) Điều kiện: sin 2x 0, sin x 0, sin 4x 0 2 sin x 2 Khi đó PT 4sin x cos 2x 2cos 2x 2 sin x 2sin2 x sin x 1 0 x k2 1 6 Giải các nghiệm sin x và kết hợp điều kiện ta được: sin x 2 5 x k2 6  Điều kiện: sin 2x 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành cos2 2x 0 sin 2x 1 sin2 2x cos4 2x 1 0 cos4 2x cos2 2x 0 2 cos 2x 1 sin 2x 0 Đối chiếu với điều kiện ta được: sin 2x 1 x k . 4 x  (B2006) Điều kiện: sin x 0,cos x 0,cos 0 sin 2x 0 2 cos x sin x x x cos x sin x PT cos x cos sin xsin 4 4 x sin x cos x cos 2 2 sin x cos x 2 x k2 , 2 1 12 4 sin 2x t / m k ¢ . sin 2x 2 5 x k 12 cos x 0 sin x 1  (A2010) Điều kiện: tan x 1 tan x 1 1 sin x cos 2x sin x cos x cos x 1 Khi đó PT cos x 2 cos x sin x 2 1 sin x cos 2x 1 sin x 1 2sin2 x 0 sin x 1 lo¹i x k2 6 1 . sin x t / m 7 2 x k2 6  Điều kiện: sin x 0,cos x 0,sin x 0,cos x 0 . 4 4 4 4
sin 2x 0,cos 2x 0 cos 2x 0 sin 2x 1. 2 2 Nhận thấy tan x tan x 1, do đó phương trình đã cho trở thành 4 4 1 sin4 2x cos4 2x cos4 4x 1 sin4 4x cos4 4x 2cos4 4x cos2 4x 1 0 2 2 sin 2x 0 cos 4x 1 sin 4x 0 . cos 2x 0 Đối chiếu với điều kiện ta được sin 2x 0 x k , k ¢ . 2 2. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác  Mỗi công (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi các điểm trên đường tròn lượng giác: x k2 được biểu diễn trên ĐTLG bởi 1 điểm xác định bởi cung . x k được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua tâm O. 2 x k được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều. 3 2 x k được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành đa giác đều nội tiếp đường tròn n lượng giác.  Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thỏa mãn điều kiện (đánh dấu ×) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu ). Những điểm đánh dấu “ ” mà không trùng với những điểm đánh dấu “×” chính là những điểm thỏa mãn điều kiện. Bài 2. Giải các phương trình sau 6 6 sin 2x 2cos x sin x 1 2 sin x cos x sin x cos x  0 (D2011) 0 (A06) tan x 3 2 2sin x sin x sin 2x 1 2sin x cos x  1  3 (A2009) sin 3x 1 2sin x 1 sin x Hướng dẫn giải x k tan x 3 3  Điều kiện: cos x 0 x k 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành: sin 2x 2cos x sin x 1 0 2cos x sin x 1 sin x 1 0 sin x 1 x k2 2 sin x 1 2cos x 1 0 1 cos x 2 x k2 3 Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của PT là x k2 , k ¢ . 3
x k2 2 4  Điều kiện: sin x . Khi đó phương trình trở thành: 2 3 x k2 4 6 6 3 2 1 2 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 0 4 2 3sin2 2x sin 2x 4 0 sin 2x 1 x k . 4 5 Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của PT là: x k2 k ¢ . 4  Điều kiện: sin 3x 0 x k . Khi đó phương trình trở thành 3 sin 2x 0 x k 2 sin x sin 2x sin 3x 0 sin 2x 2cos x 1 0 1 cos x 2 2 x k2 3 Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác, ta có nghiệm của PT là: x k . 2 1  Điều kiện: sin x 1 và sin x (*) 2 Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương: 1 2sin x cos x 3 1 2sin x 1 sin x cos x 3 sin x sin 2x 3 cos 2x cos x cos 2x 3 6 2 x k2 hoặc x k . 2 18 3 2 Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm: x k k ¢ . 18 3 3. Thử trực tiếp (dùng mệnh đề phủ định) Chúng ta cần lưu ý các kết quả về tính chu kì của hàm số lượng giác sau đây: sin x k2 sin x,x ¡ cos x k2 cos x,x ¡ tan x k tan x,x k cot x k cot x,x k 2 Bài 3. Giải các phương trình sau 1 sin 2x cos 2x 1  2 sin xsin 2x  3sin x 2cos x 3 1 tan x 1 cot2 x cos x  cos3x.tan 5x sin 7x  tan 5x tan 2x 1 Hướng dẫn giải  Điều kiện: sin x 0 cos x 1. Khi đó phương trình đã cho trở thành sin2 x 1 sin 2x cos 2x 2 2 sin2 x cos x 1 2sin x cos x 2cos2 x 1 2 2 cos x
cos x 0 t / m x k 2cos x sin x cos x 2 0 2 sin x cos x 0 * Dùng mệnh đề phủ định: Giả sử sin x 0 cos x 1, khi đó (*) 0 1 2 (vô lí). Tức là các nghiệm của (*) đều thỏa mãn. Giải (*) ta được: cos x 1 x k2 . 4 4 Vậy phương trình có nghiệm: x k , x k2 . 2 4  Điều kiện: cos x 0 sin x 1. Khi đó phương trình đã cho trở thành cos x 3sin x 2cos x 3 sin x cos x 1 cos x 3sin x 2cos x cos x 3sin x 2cos x 1 cos x 1 t / m x k2 3sin x 2cos x 1 cos x 1 0 3sin x 2cos x 1(*) Xét (*): Giả sử cos x 0 sin x 1, khi đó (*) 3 1 0 (vô lí). Tức là các nghiệm của (*) đều thỏa mãn. 1 2 3 Giải (*) ta được: x arccos k2 (với cos ;sin ). 13 13 13 1 Vậy phương trình có nghiệm: x k2 ; x arccos k2 . 13  Điều kiện: cos5x 0 x m , m ¢ . Khi đó phương trình trở thành 10 5 x k 2 2sin 5x cos3x 2sin 7x cos5x sin8x sin12x k ¢ x k 20 10 k 1 + Giả sử k m 5k 1 2m(*) . Suy ra m 2k 2 10 5 2 k 1 Mặt khác, do k,m ¢ nên tồn tại s ¢ sao cho: s k 2s 1 (tức k là số lẻ). 2 Suy ra x k là nghiệm PT khi k 2s 1. Chọn k 2s thu được nghiệm là x s s ¢ . 2 1 + Giả sử k m 2k 4m 1 k 2m ( ). 20 10 10 5 2 1 Ta nhận thấy k 2m ¢ , ¢ nên không tồn tại k,m ¢ thỏa mãn ( ). 2 Do đó x k là nghiệm của PT với mọi k ¢ . 20 10 Vậy phương trình có nghiệm: x s và x k k, s ¢ . 20 10
x m 1 cos5x 0 10 5  Điều kiện: m,n ¢ . cos 2x 0 x n (2) 4 2 1 PT tan 5x tan 5x cot 2x tan 5x tan 2x x k . tan 2x 2 14 7 + Đối chiếu điều kiện (1): 1 2m Giả sử k m k m (*) 14 7 10 5 5 1 2m t 1 Do k,m ¢ nên tồn tại t ¢ sao cho: t m 2t 5 2 t 1 Mặt khác, do t,m ¢ nên tồn tại s ¢ sao cho: s t 2s 1. 2 Thay vào (*) ta được: k 7s 3. Do đó x k thỏa mãn điều kiện (*) với k 7s 3 . 14 7 + Đối chiếu điều kiện (2): Giả sử k n 4k 14n 5 . 14 7 4 2 Ta nhận thấy vế trái ( ) là số chẵn, vế phải ( ) là số lẻ nên không tồn tại k,n ¢ thỏa mãn điều kiện ( ). Do đó x k luôn thỏa mãn điều kiện ( ). 14 7 Vậy phương trình có nghiệm: x k với k 7s 3 . 14 7 LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2002 – 2014 Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: cos3x sin 3x 5 5 sin x cos 2x 3 ĐS: x ; x 1 2sin 2x 3 3 Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình: k k sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x ĐS: x ; x k ¢ 9 2 Bài 3 (ĐH D2002) Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng của phương trình: 3 5 7 cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 ĐS: x ; x ; x ; x 2 2 2 2 Bài 4 (ĐH A2003) Giải phương trình: cos 2x 1 cot x 1 sin2 x sin 2x ĐS: x k k ¢ 1 tan x 2 4 Bài 5 (ĐH B2003) Giải phương trình: 2 cot x tan x 4sin 2x ĐS: x k k ¢ sin 2x 3 Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình:
2 x 2 2 x sin tan x cot 0 ĐS: x k2 ; x k 2 4 2 4 Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3 Tính ba góc của tam giác ABC. ĐS: A 90; B C 45 Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình: 5 5sin x 2 3 1 sin x tan2 x ĐS: x k ; x k2 6 6 Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình: 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x ĐS: x k2 ; x k 3 4 Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: k cos2 3x cos 2x cos2 x 0 ĐS: x k ¢ 2 Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: 2 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 ĐS: x k2 ; x k 3 4 Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình: 4 4 3 cos x sin x cos x sin 3x 0 ĐS: x k k ¢ 4 4 2 4 Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: 6 6 2 cos x sin x sin x cos x 5 0 ĐS: x k2 k ¢ 2 2sin x 4 Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình: x 5 cot x sin x 1 tan x tan 4 ĐS: x k ; x k 2 12 12 Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: 2 cos3x cos 2x cos x 1 0 ĐS: x k ; x k2 3 Bài 16 (ĐH A2007) Giải phương trình: 1 sin2 x cos x 1 cos2 x sin x 1 sin 2x ĐS: x k2 ; x k2 ; x k 2 4 Bài 17 (ĐH B2007) Giải phương trình k k2 5 k2 2sin2 2x sin 7x 1 sin x ĐS: x ; x ; x 8 4 18 3 18 3 Bài 18 (ĐH D2007) Giải phương trình: 2 x x sin cos 3 cos x 2 ĐS: x k2 ; x k2 2 2 2 6 Bài 19 (ĐH A2008) Giải phương trình: 1 1 7 5 4sin x ĐS: x k ; x k ; x k sin x 3 4 4 8 8 sin x 2
Bài 20 (ĐH D2008) Giải phương trình: k sin3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin2 x cos x ĐS: x ; x k 4 2 3 Bài 21 (ĐH D2008) Giải phương trình: 2 2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x ĐS: x k ; x k 3 4 Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: 1 2sin x cos x k2 3 ĐS: x k ¢ 1 2sin x 1 sin x 18 3 Bài 23 (ĐH B2009) Giải phương trình: k2 sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2 cos 4x sin3 x ĐS: x k2 ; x 6 42 7 Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình: k k 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 ĐS: x ; x 18 3 6 2 Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình: 1 sin x cos 2x sin x 4 1 7 cos x ĐS: x k2 ; x k2 1 tan x 2 6 6 Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: k sin 2x cos 2x cos x cos 2x sin x 0 ĐS: x k ¢ 4 2 Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình 5 sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0 ĐS: x k2 ; x k2 6 6 Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình: 1 sin 2x cos 2x 2 sin xsin 2x ĐS: x k ; x k2 1 cot2 x 2 4 Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình: k2 sin 2x cos x sin x cos x cos 2x sin x cos x ĐS: x k2 ; x 2 3 3 Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình: sin 2x 2cos x sin x 1 0 ĐS: x k2 k ¢ 3 tan x 3 Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình: 2 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1 ĐS: x k ; x k2 ; x k2 2 3 Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình: 2 k2 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 ĐS: x k2 ; x k ¢ 3 3 Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình: k 7 sin 3x cos3x sin x cos x 2 cos 2x ĐS: x ; x k2 ; x k2 4 2 12 12 Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình:
1 tan x 2 2 sin x ĐS: x k ; x k2 4 4 3 Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: k2 k2 sin 5x 2cos2 x 1 ĐS: x ; x 6 3 14 7 Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình: k 7 sin 3x cos 2x sin x 0 ĐS: x ; x k2 ; x k2 4 2 6 6 Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x 4cos x 2 sin 2x ĐS: x k2 k ¢ 3 Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình: 3 2 sin x 2cos x 2 sin 2x ĐS: x k2 k ¢ 4 Hết