Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ song song (Phần 2) - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ song song (Phần 2) - Đặng Việt Đông

1. Quan hệ song song Nâng Cao HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M , N, P,Q, R,T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC,CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. MP và RT. . B. MQ và RT. . C. MN và RT. . D. PQ và RT. Hướng dẫn giải Chọn B S R T A D M Q N C P B Ta có: M ,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD MQ là đường trung bình của tam giác CAD MQ P AD 1 Ta có: R,T lần lượt là trung điểm của SA, SD RT là đường trung bình của tam giác SAD RT P AD 2 Từ 1 , 2 suy ra: MQ P RT. . Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a, BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD tại P,Q . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. MN song sonng với PQ . B. MN chéo với PQ . C. MN cắt với PQ . D. MN trùng với PQ . Hướng dẫn giải Chọn C
2. Quan hệ song song Nâng Cao S P I Q A K E D M J N F B C Ta có I SAD I SAD  IBC . AD  SAD BC  IBC Vậy PQ P AD PBC 1 AD PBC SAD  IBC PQ Tương tự J SBC J SBC  ADJ AD  ADJ BC  SBC Vậy MN P AD PBC 2 AD PBC SBC  ADJ MN Từ 1 và 2 suy ra MN PPQ . Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung SQ điểm của AB, AD, SC. Gọi Q là giao điểm của SD với MNP . Tính ? SD 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của MN với DC và F là trung điểm của CD .Dễ thấy Q chính là giao điểm của PE với SD . ND ED 1 1 Ta có: ME BC. Áp dụng Thales ta có: EF EF . MF EF 2 2 Suy ra D là trung điểm EF . DQ 1 PQ là đường trung bình của tam giác EPF ta có: . PF 2 DS PF là đường trung bình của tam giác CSD ta có: 2 . PF SD SQ 3 Từ đó suy ra: 4 . DQ SD 4
3. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là SH trung điểm của AB, AD và SO. Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của MN với AO . Dễ thấy H chính là giao điểm của PO với SC . AI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm AO . Suy ra AC 4 và PI là đường trung bình của tam giác OSA . Do đó: IH / /SA . SH AI 1 Áp dụng định lí Thales ta có: . SD AC 4 Câu 41: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , AC BD b , AD BC c . Xét các khẳng định sau: b2 c2 a. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . a2 a2 c2 b. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng . b2 b2 a2 c. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng . c2 Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của AC , BC , AD . A Ta có: EF / / AB , EG / /CD , suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD . AB2 AC 2 BC 2 a2 b2 c2 Ta có: AF 2 . 2 4 2 4 G Do ABC DBC c.c.c nên AF DF . E Suy ra AFD cân tại F . Vậy D a2 b2 c2 B FG  AD FG FA2 AG2 . 2 F EF 2 EG2 FG2 c2 b2 C Xét tam giác EFG có: cos F· EG . 2EF.EG a2 b2 c2 Vì 0o E·F, EG 90o cos E·F, EG cos F· EG . a2
4. Quan hệ song song Nâng Cao b2 c2 Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . a2 a2 c2 Tương tự ta cũng suy ra cosin của góc giữa AC và BD bằng . b2 Nhận xét: Từ ví dụ này, ta còn suy ra được một trong ba giá trị a2 cos AB,CD ; b2 cos AC, BD ; c2 cos AD, BC bằng tổng hai giá trị còn lại. Cũng từ ví dụ này ta còn suy ra được với tứ diện đều ABCD thì góc giữa các cặp cạnh đối diện luôn bằng 90o Câu 42: Cho hình bình hành ABCD . Gọi Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx , Cy , Dz lần lượt tại B , C , D với BB 2 , DD 4 . Khi đó CC bằng: A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . I là trung điểm của B D . Do Bx , Dz song song với nhau nên BDD B là hình thang và OI là đường trung bình của BB DD hình thang đó. Suy ra IO 3. 2 Mặt khác OI song song với CC (vì cùng song song với DD ) nên có bốn điểm C , C , O , I đồng phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng AB D với ACC là AC . Lại có I thuộc AB D , I thuộc ACC . Do đó A , I , C thẳng hàng. Từ đây dễ dàng suy ra, I là trung điểm đoạn AC . Do vậy, CC 2OI 6 . Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát cho bài toán này như sau: Cho hình bình hành ABCD . Gọi At , Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua A , B , C , D đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng cắt At , Bx , Cy , Dz lần lượt tại A , B , C , D . Khi đó A B C D là hình bình hành và AA CC BB DD . Do đó khi biết 3 trong 4 đối tượng AA , BB , CC , DD ta sẽ dễ dàng tính được đối tượng còn lại. Câu 43: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi At , Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua A , B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng di động cắt At , Bx , Cy , Dz lần lượt tại A , B , C , D sao cho AA CC BB DD a (O có độ dài cho trước). Mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định I . Mệnh đề nào sau đây đúng?
5. Quan hệ song song Nâng Cao a A. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 a B. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 4 3a C. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 D. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI a . Hướng dẫn giải Chọn B. Theo kết quả bài trên ta có : AA' CC ' 2OI BB AA CC BB DD a nên a OI . 4 Câu 44: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC , Gọi E là điểm trên cạnh CD với ED 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE và tứ diện ABCD là: A. Tam giác MNE . B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD . C. Hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF / /BC . D. Hình thang MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD và EF / /BC . Hướng dẫn giải Chọn D. Trong mặt phẳng BCD , Gọi F là giao điểm của đường thẳng qua E , song song BC với BD MNE  ABC MN; MNE  BCD EF Ta có MNE  ABD MF; MNE  ACD NE Vậy tứ giác MNEF là thiết diện của hình chóp cắt bởi MNE . MNE  ABC MN MNE  BCD EF Lại có EF / /MN. MCD  ABC BC BC / /MN Suy ra tứ giác MNEF là hình thang EF MN . Câu 45: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA,CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP 2PD . Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là: 5a2 51 5a2 147 5a2 147 5a2 51 A. S . B. S . C. S . D. S . 4 4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
6. Quan hệ song song Nâng Cao Trong mặt phẳng BCD , gọi I là giao điểm của NP với CD . Trong mặt phẳng ACD , gọi Q là giao điểm của AD và MI . Suy ra Q là giao điểm của AD với MNP . Khi đó, tứ giác MNPQ là thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP . Trong tam giác BCI ta có P là trọng tâm của tam giác suy ra D là trung điểm của CI . QA Trong tam giác ACI có Q là trọng tâm của tam giác nên 2 . QD IP IQ 2 Ta có PQ / /MN . IN IM 3 Suy ra MNPQ là hình thang với đáy lớn MN . Ta có: AQ 4a, AM 3a MN, PQ 2a. Áp dụng định lí cosin trong tam giác MAQ ta có: MQ2 AM 2 AQ2 2AM.AQ.cos600 16a2 9a2 12a2 13a2 MQ a 13 . Tương tự ta cũng tính được NP a 13 . Dễ thấy MNPQ là hình thang cân. Do đó: 2 2 MN PQ MN PQ MQ 2 2 5a 51 S . 2 4 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a, BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD tại P,Q . Giả sử AM cắt BD tại E ; CQ cắt DN tại F . Độ dài đoạn thẳng EF là: 1 3 2 2 A. EF a b . B. EF a b . C. EF a b . D. EF a b . 2 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có E AM  BP Gọi K CP  EF EF EK KF . EK PE Ta có EK PBC 1 BC PB PE PM PM SP 2 PE 2 PM P AB ; Mà EB AB AB SA 3 EB 3
7. Quan hệ song song Nâng Cao EK PE PE 1 2 2 2 Từ 1 suy ra EK BC b EB BC PB PE EB 1 5 5 5 PE 2 2 Tương tự KF a . Vậy EF EK KF a b . 5 5 Câu 47: Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AM BN AC lấy điểm M và trên cạnh BF lấy điểm N sao cho k . Tìm k để AC BF MN / /DE . 1 1 A. k . B. k 3. C. k . D. k 2 . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A DM  NE I IM IA AM k IN BI BN k MN / /DE IM IN Lại có ; ; DM DC MC 1 k NE EF NF 1 k DM NE AI BI AI BI k 1 Mặt khác 1 2. 1 k DC EF FE EF 1 k 3
8. Quan hệ song song Nâng Cao ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Câu 48: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, AC,C B, AD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD . Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DIJ ) và (DBC) . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? A. d P(IHK) . B. d P(JHK) . C. d P(AEF) . D. d P(DIJ ) . Hướng dẫn giải Chọn C. A I J E K F B C H d D Ta có IJ là đường trung bình của tam giác ABC , suy ra BC PIJ. D (DIJ )  (DBC) Như vậy IJ PBC suy ra giao tuyến d của 2 mặt phẳng (DIJ ) và (DBC) là IJ  (DIJ ), BC  (DBC) đường thẳng qua D và song song với IJ, BC . E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD nên IJ PEF vì DE DF 2 DI DJ 3 d PEF Do đó d P(AEF) . EF  (AEF) Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G, E lần lượt là trọng tâm của SAD và SCD . Lấy M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Xét các mệnh đề sau: (1) Đường thẳng MN song song với GAC . (2) Đường thẳng MN song song với DAC . (3) Đường thẳng GE song song với AMN . (4) Đường thẳng GE và đường thẳng MN trùng nhau. (5) Đường thẳng GE và đường thẳng MN song song. Số mệnh đề sai là: A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A.
9. Quan hệ song song Nâng Cao Hai mệnh đề sai là (2) và (4). (2) sai vì MN  DAC . (4) sai vì GE PMN . Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Hình thang. D. Hình bình hành. Hướng dẫn giải Chọn A. Trong mp ABCD gọi E, K, F lần lượt là S giao điểm của MN với DA, DB, DC. H R Trong mp SDB gọi H KP  SB P T D Trong mp SAB gọi T EH  SA C N Trong mp SBC gọi R FH  SC K M O E E MN B Ta có: EH  MNP A H KP T SA T SA MNP T EH Lí luận tương tự ta có R SC  MNP Thiết diện là ngũ giác MNRHT.
10. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi M là điểm trên cạnh BC . Mặt phẳng P đi qua M và song song với SA, SB cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang cân. D. Hình thang vuông. Hướng dẫn giải Chọn C. Qua M kẻ một đường thẳng song song với SB , cắt SC tại Q . Qua Q kẻ một đường thẳng song song với SA , cắt AC tại O . Gọi M MO  AD.Qua N kẻ đường thẳng song song với SA , cắt SD tại P . Thiết diện tạo bởi P và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ . Do MQ / /SB;QO / /SA; NP / /SA nên CM CQ CO DP MN / /PQ(1) CB CS CA DS MQ CM Đặt BM x.Có MQ / /SB SB CB CM.SB (a x)a MQ a x CB a Tương tự, NP a x MQ NP(2) Từ (1) và (2) ta có thiết diện MNPQ là hình thang cân. Câu 52: Cho hình bình hành ABCD . Vẽ các tia Ax, By,Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp ABCD . Mp cắt Ax, By,Cz, Dt lần lượt tại A , B ,C , D . Khẳng định nào sau đây sai? A. A B C D là hình bình hành. B. mp AA B B // DD C C . C. AA CC và BB DD . D. OO // AA . (O là tâm hình bình hành ABCD , O là giao điểm của A C vàB D ). Hướng dẫn giải Chọn C.
11. Quan hệ song song Nâng Cao AB // DC  AA //DD ABB A // DD C C .  AB, AA  ABB A t DC, DD  DD C C x  z D' A' y C' Câu B đúng. B' Mặt khác A D  ABB A A B  B C  DCC D C D  A B // C D . ABB A // DCC D   ADD A A D   BCC B C B  A D // C B . ABB A // DCC D  Do đó câu A đúng. O,O lần lượt là trung điểm của AC, A C nên OO là đường trung bình trong hình thang AA C C . Do đó OO // AA . Câu D đúng. Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là trung điểm CD. Mặt phẳng qua M song song với BC và SA. cắt AB, SB lần lượt tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng với khối chóp S.ABCD ? A. Là một hình bình hành. B. Là một hình thang có đáy lớn là MN. C. Là tam giác MNP. D. Là một hình thang có đáy lớn là NP. Hướng dẫn giải Chọn B Trong mặt phẳng ABCD , qua M kẻ đường thẳng MN PBC N BC . Khi đó, MN  . Trong mặt phẳng SAB , qua N kẻ đường thẳng NP PSA P SB . Khi đó, NP  . Vậy  MNP . Xét hai mặt phẳng MNP và SBC có
12. Quan hệ song song Nâng Cao MN  MNP BC  SBC hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm P và MN PBC P MNP , P SBC song song với BC. Trong mặt phẳng SBC kẻ PQ PBC Q SC . Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng SBC . Vậy mặt phẳng cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ. MN PBC Tứ giác MNBC có MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN BC. MC P NB Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC và PQ PBC nên PQ BC. MN PPQ Tứ giác MNPQ có MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN. PQ MN Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD , M là một điểm trên cạnh AB , N là điểm trên cạnh CD . Mặt phẳng chứa MN và song song với SA . Thiết diện của hình chóp cắt bởi là hình thang thì điều kiện là: A. AD 2CD . B. MN / /BC . C. BC / / AD . D. MN / / AD . Hướng dẫn giải Chọn B. Do / / AB nên cắt SAB và SAC lần lượt theo các giao tuyến song song với SA . Trong SAB kẻ MP / /SA, P SB . Trong ABCD kẻ MN  AC O . Trong SAC kẻ OQ / /SA,Q SC . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNQP . Ta có MNQP là hình thang thì MP / /QN 1 MN / /PQ 2 Xét (1) 1 SA / /QN vì SA / /MP . SA / / SCD : điều này vô lí. Xét (2)
13. Quan hệ song song Nâng Cao BC ABCD  SBC MN  ABCD Có: MN / /BC . PQ  SBC MN / /PQ PQ  SBC BC  SBC Đảo lại nếu có MN / /BC thì MN / /PQ vì MN  MN / /BC Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB a , SC SD 3a . E là trung điểm của đoạn SA . M là một điểm trên cạnh BC . Đặt BM x 0 x a . Mặt phẳng chứa ME và song song với AB . Thiết diện của hình chóp cắt bởi có diện tích tính theo a, x là: 3a a A. 16x2 8ax 3a2 . B. 16x2 8ax 3a2 . 16 16 3a 3a C. 16x2 4ax 3a2 . D. 16x2 4ax 3a2 . 16 16 Hướng dẫn giải Chọn A. Do / / AB nên cắt ABCD và SAB lần lượt theo các giao tuyến song song với AB . Trong ABCD kẻ MN / / AB, N AD (1). Trong SAB kẻ EF / / AB, F SB (2). Từ (1) và (2),suy ra MN / /FE nên tứ giác MNEF là hình thang. Hai tam giác SAD và SBC bằng nhau (c.c.c) nên S· AD S· BC . Hai tam giác EAN và FBM bằng nhau (c.g.c) nên EN FM . Vậy thiết diện MNEF là hình thang cân. Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác SBC ta có: SB2 BC 2 SC 2 a2 a2 3a2 1 cos S· BC . 2SB.BC 2a2 2 Tam giác FBM có 2 2 2 2 2 · a 2 a 1 a 2 ax FM BF BM 2BF.BM.cos SBC x 2. .x x 4 2 2 4 2 . a2 ax FM x2 . 4 2 1 SMNEF MN EF .FH 2 .
14. Quan hệ song song Nâng Cao MN EF a Ta có MH 2 4 a2 ax a2 ax 3a2 FH 2 FM 2 MH 2 x2 x2 4 2 16 2 16 . ax 3a2 FH x2 2 16 2 1 1 a 2 ax 3a 3a 2 2 Vậy SMNEF MN EF .FH a x 16x 8ax 3a . 2 2 2 2 16 16 Câu 56: Cho tứ diệnđều ABCD có cạnh bằng a . Điểm M là trung điểm của AB . Tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mp P đi qua M và song song với AD và AC . a2 3 a2 2 9a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D. Qua M kẻ 2 đường thẳng lần lượt song song với AD , AC cắt BD tại N và cắt BC tại P . Thiết diện tạo bởi P và tứ diện là tam giác đều MNP . a Có MN NP PM 2 Diện tích thiết diện 1 1 a2 3 a2 3 S MN.MP . . . MNP 2 2 4 2 16 Câu 57: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAB là tam giác đều.Cho SC SD a 3 .Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB .Gọi M là một điểm trên cạnh AD .Mặt phẳng HKM cắt BC tại N .Cho biết HKMN là hình thang cân.Đặt AM x 0 x a .Tìm x để diện tích HKMN là nhỏ nhất.
15. Quan hệ song song Nâng Cao a a a a A. x . B. x . C. x . D. x . 5 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C. S H H K K A D M M N B N C P 1 a Ta có ngay MN a và KH AB .Trong tam giác SAD ,ta có 2 2 SA2 AD2 SD2 a2 a2 3a2 1 cos S· AD 2.SA.AD 2a2 2 Trong tam giác HAM ,ta có 2 2 2 2 · a 2 a 1 MH AH AM 2AH.AM.cos HAM x 2. .x. 4 2 2 1 MH 4x2 2ax a2 . 2 Trong hình thang cân MNKH ,gọi P là chân đường cao hạ từ H ,ta có 2 2 2 2 MN HK 1 2 2 HP MH MP MH 16x 8ax 3a .Suy ra 2 4 1 1 a 1 2 2 3a 2 2 SMNKH MN KH HP a . 16x 8ax 3a 16x 8ax 3a . 2 2 2 4 16 2 3a 3a 2 3a 2 Ta có biến đổi: S 16x2 8ax 3a2 4x a 2a2 . MNKH 16 16 16 3a2 2 a Vậy S đạt được khi x . MNKH min 16 4 Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C ' là điểm trên cạnh SC sao C 'S 1 cho , M là điểm trên cạnh SA . Mặt phẳng P qua C 'M và song song với BC . C 'C 2 Xác định vị trí của điểm M để P cắt hình chóp theo thiết diện là hình bình hành. MA A. M là trung điểm của SA . B. 2 . MS
16. Quan hệ song song Nâng Cao MA 1 MA 2 C. . D. . MS 2 MS 3 Hướng dẫn giải Chọn B. P song song BC d1 qua C ' (P)  SBC d1 d1 / /BC d1  SB N;(P)  SAB MN d2 qua M (P) / /BC (P) / / AD (P)  SAD d2 d2 / / AD d2  SD P. Khi đó P cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNC ' P có C ' N / /MP nên thiết diện là hình thang. SC ' C ' N 1 1 Có C ' N / /BC C ' N BC. SC BC 3 3 Tứ giác MNC ' P là hình bình hành khi 1 1 MP 1 MP NC ' BC AD . 3 3 AD 3 SM 1 MA MP / / AD 2. SA 3 MS Câu 59: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC với AM x 0 x a .Mặt phẳng P qua M , song song với AB vàCD . Tính diện tích thiết diện của P và tứ diện ABCD theo a và x . x(a x) a(a x) A. x(a x) . B. . C. a(a x) . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và CD cắt BC và AD lần lượt tại Q và N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P . Suy ra thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / /PQ;MQ / /NP;MP  MQ nên thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. MN AM AM.DC Có MN x DC AC AC
17. Quan hệ song song Nâng Cao MQ MC a x MQ a x AB AC a SMNPQ MN.MQ x(a x) . Câu 60: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC . Mặt phẳng P qua , song song với AB vàCD . Diện tích thiết diện của mp P và tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? a 2 a 2 a 2 A. a2 . B. . C. . D. . 16 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và CD cắt BC và AD lần lượt tại Q và N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P . Suy ra thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / /PQ;MQ / /NP;MP  MQ nên thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. MN AM AM.DC Có MN x DC AC AC MQ MC a x MQ a x AB AC a SMNPQ MN.MQ x(a x) . 2 x a x a2 a Theo bất đẳng thức Cô-si: x(a x) khi x . 2 4 2 Câu 61. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại A , B ,C . MA MB MC có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC SA SB SC ? 1 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải
18. Quan hệ song song Nâng Cao Chọn C. Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt MA ME S phẳng này với BC . Khi đó A, M , E thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. SB SABC SC SABC SA SB SC Câu 62. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại MA MB MC A , B ,C . . . nhận giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của M trong tam giác ABC SA SB SC là: A. Trực tâm ABC . B. Trọng tâm ABC . C. Tâm ngoại tiếp ABC . D. Tâm nội tiếp ABC . Hướng dẫn giải Chọn B. Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt MA ME S phẳng này với BC . Khi đó A, M , E thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. SB SABC SC SABC SA SB SC Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA MB MC MA MB MC MA MB MC 1 33 . . . . . SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27
19. Quan hệ song song Nâng Cao MA MB MC Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: S S S . SA SB SC MAC MAB MBC Điều này chỉ xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC . Vậy đáp án đúng là B. Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC AD a BC b . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD lần lượt tại P,Q . Gọi E là giao điểm của AM và PB , F là giao điểm của CQ và DN . Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai? 1) MN và PQ song song với nhau. 2) MN và EF song song với nhau. 2 3) EF a b . 5 1 4) EF a b 4 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có I SAD , suy ra I SAD  BCI . SAD  BCI PQ Do AD  SAD , BC  BCI PQ∥ AD∥ BC . AD∥ BC Ta có: J SBC , suy ra J SBC  ADJ . SBC  ADJ MN Do BC  SBC , AD  ADJ MN∥ AD∥ BC . AD∥ BC
20. Quan hệ song song Nâng Cao Từ đó suy ra MN và PQ song song với nhau. EF ADNM  BCQP AD ADNM  ABCD Ta có: EF∥ AD . BC ABCD  BCQP AD∥ BC Suy ra EF∥ MN . Gọi K là giao điểm của CP với EF EF EK KF . SP 2 SM Do PM∥ AB . SA 3 SB PE 2 PE 2 Theo định lý Thalet ta có: . Do EK song song với BC nên theo định lý EB 3 PB 5 PE EK 2 2 Thalet ta có : EK b . PB BC 5 5 QF 2 QC 5 PQ 5 3 3 2 2 Tương tự ta cũng có: FK PQ . AD a . FC 3 FC 3 FK 3 5 5 3 5 2 Từ đây suy ra EF a b . 5
21. Quan hệ song song Nâng Cao HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 64: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của BC, BMặtD. phẳng qua M và song song với mp(AID) cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích bằng 2a2 3a2 3 3a2 2a2 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 2 Hướng dẫn giải Chọn A. A Thiết diện của mặt phẳng và tứ diện là tam giác KMN. K 1 a 3 MN KI DI 2 2 B M D 1 1 a 3 N KM AD a;h AG G 2 2 2 I 1 2a2 S h.MN C KMN 2 4 Câu 65: Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA , SB. P là điểm thuộc cạnh AC 1 sao cho CP CA. là mặt phẳng qua P và song song với mp CMN , cắt SB tại 4 EB E. Tỉ số bằng: ES 3 3 5 1 A. . B. C. . D. . 8 5 8 4 Hướng dẫn giải Chọn B. S là mặt phẳng qua P và song song với mp CMN nên M +) cắt SAC theo giao tuyến là đường F thẳng d1 N qua P và song song CM. C A E P Gọi F d1  SA . +) cắt SAB theo giao tuyến là đường B thẳng d2 qua F và song song MN. Gọi E d2  SB . Khi đó E SB  AF AP 3 AF 3 1 3 Xét AMC có PF / /CM nên: . AM AC 4 AS 4 2 8
22. Quan hệ song song Nâng Cao BE AF 3 EB 3 Xét SAB có EF / /BA nên BS AS 8 ES 5 Câu 66: Cho hình chóp S.ABC . G, E lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và SBC . là mặt phẳng qua G và song song với mặt phẳng SBC . Gọi I là giao điểm của và AE. Tỉ số IA bằng: IE 4 3 1 A. 2 B. . C. . D. . 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. S d2 P S P I d E N 1 A C H G E M J I A B G J Gọi J là trung điểm của BC là mặt phẳng qua G và song song với SBC nên: +) cắt mặt phẳng ABC theo giao tuyến là đường thẳng d1 qua G và song song với BC. Trong mặt phẳng ABC gọi M d1  AB; N d1  AC +) cắt mặt phẳng SAC theo giao tuyến là đường thẳng d2 qua N và song song với SC. Trong mp SAC , gọi P d2  SA Thiết diện tạo bởi và hình chóp S.ABC là tam giác MNP. Ta có AE  SAJ ; SAJ  PG Trong SAJ , gọi AE  PG I I AE  HE GJ 1 IE 1 Trong SAJ , dựng EH / /AJ H PG AG AG 2 IA 2 IA Vậy 2 . IE Câu 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD. là mặt phẳng qua O và song song mặt
23. Quan hệ song song Nâng Cao phẳng SCD . Đường thẳng AM cắt tại E, đường thẳng AN cắt tại N. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 1 1 1 A. EF CD . B. EF CD . C. EF CD . D. EF CD 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn D. cắt ABCD theo giao tuyến là đường thẳng s d qua O và song song với CD. 1 J N cắt SAC theo giao tuyến là đường thẳng F K d2 qua O và song song với SC. M E Q A Gọi P d1  BC;Q d1  AD; J d2  SA D cắt SAB theo giao tuyến là đường thẳng O d qua J và song song với CD 3 B C P Gọi K d3  SB JK / /CD Giả thiết đường thẳng AM cắt tại E, đường thẳng AN cắt tại N E AM  OJ; F AN QJ Dễ thấy E là trung điểm của AM; F là trung điểm của AN 1 1 1 1 Do đó EF MN . CD CD 2 2 2 4 Câu 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. P là điểm trên cạnh AB sao cho AP 1 . Gọi M là trung điểm của SD, là mặt phẳng qua P và song song với mặt phẳng AB 3 IM SAC . cắt BM tại I. Tỉ số bằng: IB 4 5 5 3 A. . B. C. . D. . 5 4 9 2 Hướng dẫn giải Chọn B. s s c K M ắ K M t J m A E ặ D D t P I I O O N N B C B Q
24. Quan hệ song song Nâng Cao phẳng ABCD theo giao tuyến là đường thẳng d1 qua P và song song AC cắt mặt phẳng SAB theo giao tuyến là đường thẳng d2 qua P và song song SC Gọi Q d1  BC; N d1  BD; K d2  SB . Khi đó cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tam giác KPQ . Trong SBD , gọi I KN  BM I  BM Trong SBD , dựng đường thẳng d3 qua M và song song BD. d3 cắt SB, KN lần lượt tại E và J. IM JM Ta có: IB BN JM ME EJ BN BN 1 1 Có ME BD ; BN BD 2 3 1 1 SB EJ KE SE SK 2 3 1 1 1 2 1 1 EJ BN . . BD BD . 2 BN KB KB SB 4 4 4 3 2 12 3 1 1 5 MJ ME EJ BD BD 2 12 12 5 BD JM 5 Từ đó ta có: 12 1 BN BD 4 3 IM 5 Vậy . IB 4 BM 1 Câu 69: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C '. M là điểm thuộc đoạn A' B sao cho . là mặt BA' 4 phẳng qua M và song song với mặt phẳng đáy. Gọi I là giao điểm của và CB '. Tính tỉ IC số IB ' IC IC 3 IC 1 IC 1 A. 3 B. C. D. IB ' IB ' 4 IB ' 4 IB ' 3 Hướng dẫn giải Chọn D. A C Vì qua M và song song với mặt phẳng đáy nên K cắt mặt phẳng ABB ' A' theo giao tuyến là B đường thẳng d1 qua M và song song AB , I d1  BB ' N M N cắt mặt BCC ' B ' theo giao tuyến là đường thẳng d2 qua N và song song BC A' C' B'
25. Quan hệ song song Nâng Cao Gọi d2 CC ' K ; d2 CB ' I CB ' I IC CK BN 1 Ta có BN CK nên IB ' NB ' NB ' 3 IC 1 Vậy IB ' 3 Câu 70: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , gọi M , N là trung điểm của BC và CC . Thiết diện của EB hình lăng trụ với mặt phẳng A MN cắt AB tại E . Tỷ số bằng bao nhiêu? EA 2 1 3 4 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: A MN  ACC A MN (1) Trong mặt phẳng ACC ' A' gọi K AB  A N A'MN  ABC KM (2) Trong mặt phẳng ABC gọi E KM  AB A'MN  ABB ' A' A' E (3) Từ (1), (2), (3) suy ra thiết diện tứ giác A' NME . 1 Vì CN P AA và CN AA nên C là trung 2 điểm của AK . Gọi D là trung điểm của AB CD PMK mà M là trung điểm của BC nên E là trung EB 1 điểm của BD . Suy ra . EA 2 Câu 71: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi G, G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A B C . OG Biết các mặt phẳng ABC , BCA , ACB cắt nhau tại O trên GG . Tính OG 2 1 1 A. . B. 2 . C. . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn C.
26. Quan hệ song song Nâng Cao AG AO 2 Vì G và O là trọng tâm tam giác ABC và ABC nên = = OG // II (1). AI AJ 3 Lại có GII G là hình bình hành nên GG // II (2). Từ (1) và (2) suy ra O GG . OG AG 2 2 II Ta có GG // IJ nên = = OG= IJ= IJ AI 3 3 3 1 OG 1 Mà GG =II OG= GG = 3 OG 2 Câu 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC 2 , hai đáy AB 6, CD 4. Mặt phẳng P song song với ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho SA 3SM . Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2 . D. . 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn A
27. Quan hệ song song Nâng Cao S O P M N D C D C A B A H K B Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB AH BK; CD HK ABCD là hình thang cân BK 1. AH HK BK AB Tam giác BCK vuông tại K, có CK BC 2 BK 2 22 12 3 . AB CD 4 6 Suy ra diện tích hình thang ABCD là S CK. 3. 5 3 . ABCD 2 2 Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của P và các cạnh SB, SC, SD . MN NP PQ QM 1 Vì P // ABCD nên theo định lí Talet, ta có . AB BC CD AD 3 5 3 Khi đó P cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích S k 2.S . MNPQ ABCD 9 Câu 73: Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng song song với SIC . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi với tứ diện SABC , biết AM x . A. x 1 3 . B. 2x 1 3 . C. 3x 1 3 . D. Không tính được. Hướng dẫn giải Chọn B S N A P C M I B AM 2x Để ý hai tam giác MNP và SIC đồng dạng với tỉ số AI a
28. Quan hệ song song Nâng Cao C 2x 2x 2x a 3 a 3 MNP C SI IC SC a 2x 3 1 . MNP CSIC a a a 2 2 MB 1 Câu 74: Cho tứ diện đều ABCD . Trên đoạn thẳng BD lấy điểm M sao cho . Gọi là MD 2 mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng ACD . Hỏi cạnh của tứ diện ABCD a2 3 bằng bao nhiêu để diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và tứ diện ABCD là : 3 A. a. B. a 3. C. 2a. D. 2a 3. Hướng dẫn giải Đáp án: D Ta có: M  BCD  P ACD   BCD d, d đi qua điểm ACD  BCD CD M và song song với CD ; d  BC N. ( 1) N  ABC  P ACD   ABC b, b đi qua điểm ACD  ABC AC N và song song với AC ; b  AB P. (2)  ABD PM (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra thiết diện tạo bởi mặt phẳng và tứ diện ABCD là tam giác MNP. Giả sử cạnh của tứ diện đều ABCD bằng x x 0 . MN MB 1 x Vì MN PCD nên MN . CD BD 3 3 2 x x 3 x2 3 Tương tự PN PM MNP là tam giác đều S MNP . . 3 3 4 36 a2 3 x2 3 a2 3 Theo giả thiết diện tích thiết diện bằng x 2a 3 3 36 3