›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Véctơ trong không gian (Có đáp án)

docx 33 trang nhungbui22 12/08/2022 2440
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Véctơ trong không gian (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_3_vecto_trong_kh.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Véctơ trong không gian (Có đáp án)

  1. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Định nghĩa và các phép tốn Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt phẳng. Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: AB BC AC  + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: AB AD AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A B C D , ta cĩ: AB AD AA' AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.      Ta cĩ: IA IB 0 ; OA OB 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta cĩ:        GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta cĩ:          GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương (a 0) !k R :b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta cĩ:      OA kOB MA kMB; OM 1 k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đĩ a và b khơng cùng phương. Khi đĩ: a,b,c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectơ a,b,c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đĩ: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tích vơ hướng của hai vectơ Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:   AB u, AC v (u,v) B· AC (00 B· AC 1800 ) Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian: + Cho u,v 0 . Khi đĩ: u.v u . v .cos(u,v) + Với u 0 hoặc v 0 . Qui ước: u.v 0 + u  v u.v 0 4. Các dạng tốn thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ. b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta cĩ thể chứng minh bằng một trong các cách: - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu cĩ m, n R: c ma nb thì a,b,c đồng phẳng + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,b,c khơng đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x ma nb pc c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ trong khơng gian d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
  2. 2 2 2 + Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a a a a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau: MN - Chọn ba vec tơ khơng đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng cĩ thể tính được và gĩc giữa chúng cĩ thể tính được. - Phân tích MN ma nb pc   2 2 - Khi đĩ MN MN MN ma nb pc 2 2 2 m2 a n2 b p2 c 2mncos a,b 2npcos b,c 2mpcos c,a e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài tốn hình khơng gian. Sử dụng các kết quả    A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta cĩ     OD xOA yOB zOC trong đĩ x y z 1. B – BÀI TẬP    Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a , CB b , AA c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1 A. AM b c a . B. AM a c b . C. AM a c b . D. 2 2 2  1 AM b a c . 2 Hướng dẫn giải: A' C' Chọn D. B' Ta phân tích như sau:      1  AM AB BM CB CA BB 2 M 1  1 A C b a AA b a c . 2 2 B Câu 2: Trong khơng gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D khơng thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là     A. OA OB OC OD 0 . B. OA OC OB OD . 1 1 1 1 C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: O Chọn B. Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:    A BD BA BC . D Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta cĩ:          BD BA BC OD OB OA OB OC OB B     C OA OC OB OD .    Câu 3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a ; SB b ; SC c ;  SD d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a c d b . B. a b c d . C. a d b c . D. a b c d 0 . Hướng dẫn giải: S Chọn A. d a b c A D O B C
  3. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:    SA SC 2SO    (do tính chất của đường trung tuyến) SB SD 2SO     SA SC SB SD a c d b . Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b,   AC c , AD d . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. MP c d b . B. MP d b c . 2 2  1  1 C. MP c b d . D. MP c d b . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. A Ta phân tích: b  1   M d MP MC MD (tính chất đường trung tuyến) 2 c 1     1  AC AM AD AM c d 2AM B D 2 2 1  1 P c d AB c d b . 2 2 C  Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A B C D cĩ tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC u ,    CA' v , BD x , DB y . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. 2OI u v x y . B. 2OI u v x y . 2 2  1  1 C. 2OI u v x y . D. 2OI u v x y . 4 4 Hướng dẫn giải: A' D' Chọn D. v x Ta phân tích:        B' C' u v AC CA AC CC CA AA 2AA . y I u         A x y BD DB BD DD DB BB 2BB 2AA . D    u v x y 4AA 4A A 4.2OI . O B  1 C 2OI u v x y . 4 Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai? A' D'  1  1  A. IK AC A C . 2 2 B' C' B. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.    I C. BD 2IK 2BC . K    A D. Ba vectơ BD ; IK ; B C khơng đồng phẳng. D Hướng dẫn giải: Chọn D. B C A đúng do tính chất đường trung bình trong B AC và tính chất của hình bình hành ACC A .
  4. B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng. C đúng  do việc ta phân tích:     BD 2IK BC CD AC BC CD AD DC    BC BC 2BC .    D sai do giá của ba vectơ BD ; IK ; B C đều song song hoặc trùng với mặt phẳng ABCD . Do đĩ, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng. Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi     GA GB GC GD 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ). B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD . C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC . D. Chưa thể xác định được. Hướng dẫn giải: Chọn D. A Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD . Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:         I GA GB GC GD 0 2GI 2GJ 0 GI GJ 0 G là trung điểm đoạn IJ . G Bằng việc chứng minh tương tự, ta cĩ thể chứng minh được B D phương án B và C đều là các phương án đúng, do đĩ phương án D sai. J C    Câu 8: Cho tứ diện ABCD cĩ G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x AB ; y AC ; z AD . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. AG x y z . B. AG x y z . 3 3  2  2 C. AG x y z . D. AG x y z . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M là trung điểm CD . Ta phân tích: A     2   2   AG AB BG AB BM AB AM AB 3 3 x z  2 1    1    1 y AB AC AD AB AB AC AD x y z . 3 2 3 3 B D G M C   Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A B C D cĩ tâm O . Đặt AB a ; BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là tâm hình bình hành ABB A . B. M là tâm hình bình hành BCC B . C. M là trung điểm BB . D. M là trung điểm CC . Hướng dẫn giải:
  5. Chọn C. A' Ta phân tích: D'  1 1   1   1  OM a b AB BC AB AD DB . B' C' 2 2 2 2 O M là trung điểm của BB . A a D B b C  Câu 10: Cho ba vectơ a,b,c khơng đồng phẳng. Xét các vectơ x 2a b; y 4a 2b; z 3b 2c . Chọn khẳng định đúng?  A. Hai vectơ y; z cùng phương. B. Hai vectơ x; y cùng phương.  C. Hai vectơ x; z cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B.   + Nhận thấy: y 2x nên hai vectơ x; y cùng phương. Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?     A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD 0 .     B. Nếu ABCD là hình thang thì OA OB 2OC 2OD 0     C. Nếu OA OB OC OD 0 thì ABCD là hình bình hành.     D. Nếu OA OB 2OC 2OD 0 thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn khẳng định đúng?    1 1 1 1    A. BD, BD , BC đồng phẳng. B. CD , AD, A B đồng phẳng.   1  1  1  1 1 C. CD1, AD, A1C đồng phẳng. D. AB, AD,C1 A đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C. D C M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1, DD1,CD . Ta cĩ CD / /(MNPQ); AD / / MNPQ ; AC / /(MNPQ) A B   1 1 CD1 , AD, A1C đồng phẳng. D1 C1 A1 B1  Câu 13: Cho ba vectơ a,b,c khơng đồng phẳng. Xét các vectơ x 2a b; y a b c; z 3b 2c . Chọn khẳng định đúng? A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng. B. Hai vectơ x;a cùng phương.  C. Hai vectơ x;b cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đơi một cùng phương. Hướng dẫn giải: Chọn A.
  6.  1  Ta cĩ: y x z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng. 2 Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     1 1 1 1 AB B1C1 DD1 k AC1 A. k 4 . B. k 1. C. k 0 . D. k 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. D C        + Ta cĩ: AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 . Nên k 1. A B D1 C1 A1 B1  Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A B C D cĩ tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC u ,     CA v , BD x , DB y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?  1   1  A. 2OI (u v x y) . B. 2OI (u v x y) . 4 2  1   1  C. 2OI (u v x y) . D. 2OI (u v x y) . 2 4 Hướng dẫn giải: K Chọn A. D C + Gọi J, K lần lượt là trung điểm của AB,CD . +Ta cĩ: J    1     1  A 2OI OJ OK OA OB OC OD (u v x y) B 2 4 O A D’ CC’ A’ B B’ Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C .      1 1 1 Đặt AA1 a, AB b, AC c, BC d, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   A. a b c d 0 . B. a b c d . C. b c d 0 . D. a b c . Hướng dẫn giải: Chọn C.     A1 C + Dễ thấy: AB BC CA 0 b d c 0 . 1 B1
  7. Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD, AK,GF đồng phẳng. B. BD, IK,GF đồng phẳng.       C. BD, EK,GF đồng phẳng. D. BD, IK,GC đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B. D C IK //(ABCD)    + GF //(ABCD) IK,GF, BD đồng phẳng. BD  (ABCD) A B + Các bộ véctơ ở câu A,C, D khơng thể cĩ giá cùng song song với một mặt phẳng. K I H G E F Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a,b,c cĩ một vectơ 0 thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a,b,c cĩ hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn A. + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng. Câu 19: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    1 1 1 1    A. AC AC 2AC . B. AC CA 2C C 0.  1 1   1  1  1 C. AC1 A1C AA1 . D. CA1 AC CC1 .
  8. Hướng dẫn giải: Chọn A. D C + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . + Vận dụng cơng thức trung điểm để kiểm tra. A B O D1 C1 A1 B1 Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:   A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA O   . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD    .  C. Cho hình chĩp S.ABCD . Nếu cĩ SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.    D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD . Hướng dẫn giải: Chọn C. B A            SB SD SA SC SA AB SA AD SA SA AC.    AB AD AC. ABCD là hình bình hành D C   Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH cĩ cạnh bằng a . Ta cĩ AB.EG bằng? a2 2 A. a2 2 . B. a2 . C. a2 3 . D. . 2 Hướng dẫn giải: A B Chọn B.          AB.EG AB. EF EH AB.EF AB.EH D C  2       AB AB.AD (EH AD) a2 (Vì AB  AD ) F E H G Câu 22: Trong khơng gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C, D khơng thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B,C, D tạo thành hình bình hành là:  1   1   1   1  A. OA OB OC OD . B. OA OC OB OD .  2  2  2  2 C. OA OC OB OD . D. OA OB OC OD 0 . Hướng dẫn giải:
  9. Chọn C. B            A OA OC OB OD OA OA AC OA AB OA BC    AC AB BC D C Câu 23: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai ?  1  1  A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B. IK AC A C 2 2       C. Ba vectơ BD; IK; B C khơng đồng phẳng. D. BD 2IK 2BC Hướng dẫn giải: Chọn C.   A. Đúng vì IK, AC cùng thuộc B AC    1 1 1 1  1  B. Đúng vì IK IB B ' K a b a c b c AC A C . 2 2 2 2 2    1 1 1 C. Sai vì IK IB B ' K a b a c b c .   2 2 2 BD 2IK b c b c 2c 2B C ba véctơ đồng phẳng.     D. Đúng vì theo câu C BD 2IK b c b c 2c 2B C 2BC. Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM 3MD , BN 3NC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?       A. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. B. Các vectơ MN, DC, PQ đồng phẳng.       C. Các vectơ AB, DC, PQ đồng phẳng. D. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. Chọn A. A         MN MA AC CN MN MA AC CN A. Sai vì         P MN MD DB BN 3MN 3MD 3DB 3BN M    1     4MN AC 3BD BC BD, AC, MN khơng đồng phẳng. 2 B D B. Đúng vì     MN MP PQ QN     1   Q     2MN PQ DC MN PQ DC N 2 MN MD DC CN C    MN, DC, PQ : đồng phẳng.   1   C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta cĩ PQ AB DC . 2  1  1  D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta cĩ MN AB DC . 4 4 Câu 25: Cho tứ diện ABCD cĩ các cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:       a2 A. AD CB BC DA 0 B. AB.BC .     2   C. AC.AD AC.CD. D. AB  CD hay AB.CD 0 . Hướng dẫn giải:
  10. Chọn C. Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC, BCD,CDA, ABD là các tam giác đều.         A. Đúng vì AD CB BC DA DA AD BC CB 0 .     a2 B. Đúng vì AB.BC BA.BC a.a.cos600 . A 2 C. Sai vì   a2     a2 AC.AD a.a.cos600 ; AC.CD CA.CD a.a.cos600 .   2  2 D. Đúng vì AB  CD AB.CD 0. B C D    Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC b, AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   1 A. AG a b c . B. AG a b c . 3  1  1 C. AG a b c . D. AG a b c . 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. A Gọi M là trung điểm BC .    2  2 1   AG AB BG a BM a . BC BD 3 3 2 1     1 1 a AC AB AD AB a 2a b c a b c . B D 3 3 3 G M C Câu 27: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.        1  A. B M B B B A B C . B. C M C C C D C B . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1   1  1      C. C M C C C D C B . D. BB B A B C 2B D . 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: Chọn B.     1    1   A. Sai vì B M B B BM BB BA BD BB B A B D 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1  1      1  BB B A B A B C BB B A B C . 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
  11. B. Đúng vì     1    1   A B C M C C CM C C CA CD C C C A C D 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 M  1      1  C C C B C D C D C C C D C B . 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 D C C. Sai. theo câu B suy ra    D. Đúng vì BB1 B1 A1 B1C1 BA1 BC BD1 . A1 B1 D1 C1     Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC GD 0 (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G là giao điểm của GA và mp (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  O        A. GA 2G0G . B. GA 4G0G . C. GA 3G0G . D. GA 2G0G . Hướng dẫn giải: Chọn C. A Theo đề: GO là giao điểm của GA và mp BCD G0 là trọng tâm tam giác BCD .    G A G B G C 0 0  0  0  Ta cĩ: GA GB GC GD 0           GA GB GC GD 3GG G A G B G C 3GG 3G G G 0 0 0 0 0 B 0 D G0 M C Câu 29: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?      A. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. B. Các vectơ AB, AC, MN khơng đồng phẳng.       C. Các vectơ AN,CM , MN đồng phẳng. D. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C.  1   A. Đúng vì MN AB DC . 2   B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN khơng A nằm trong mặt phẳng ABC .  C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN khơng nằm trong mặt phẳng M CMN .  1   D. Đúng vì MN AC BD . 2 B D N C
  12. Câu 30: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi     ABCD G ABCD GA GB GC GD 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I, J lần lượt là trung điểm AB vàCD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được. Hướng dẫn giải: Chọn D. A       Ta cĩ: GA GB GC GD 0 2GI 2GJ 0 I G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng. G B D J C Câu 31: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1     1    A. AO AB AD AA B. AO AB AD AA 3 1 2 1  1     2    C. AO AB AD AA D. AO AB AD AA . 4 1 3 1 Hướng dẫn giải: Chọn B.     Theo quy tắc hình hộp: AC1 AB AD AA1  1   1    Mà AO AC nên AO AB AD AA . 2 1 2 1 Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Từ AB 3AC ta suy ra BA 3CA  1  B. Nếu AB BC thì B là trung điểm đoạn AC .  2  C. Vì AB 2AC 5AD nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng     A D. Từ AB 3AC ta suy ra CB 2AC . Hướng dẫn giải: Chọn C. M    Ta cĩ: AB 2AC 5AD    G Suy ra: AB, AC, AD hay bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. B D N C
  13. Câu 33: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? MN          A. MA MB MC MD 4MG B. GA GB GC GD       C. GA GB GC GD 0 D. GM GN 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. M , N, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm :         GA GB 2GM ;GC GD 2GN;GM GN 0         Suy ra: GA GB GC GD 0 hay GA GB GC GD . Câu 34: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cĩ cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:     A. 2AB B C CD D A 0 B. AD .AB a2    C. AB .CD 0 D. AC a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A.     Ta cĩ : 2AB B C CD D A 0 D' C'      AB AB CD B C D A 0 A' B'   AB 0 0 0 AB 0 (vơ lí) D C A B Câu 35: Cho hình hộp ABCD.A B C D với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:           A. AB BC CC AD D O OC B. AB AA AD DD         C. AB BC CD D A 0 D. AC AB AD AA . Hướng dẫn giải: Chọn B.       Ta cĩ : AB AA AD DD AB AD (vơ lí)  Câu 36: Cho ba vectơ a,b,c khơng đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?  A. Các vectơ x a b 2c; y 2a 3b 6c; z a 3b 6c đồng phẳng.  B. Các vectơ x a 2b 4c; y 3a 3b 2c; z 2a 3b 3c đồng phẳng.  C. Các vectơ x a b c; y 2a 3b c; z a 3b 3c đồng phẳng.  D. Các vectơ x a b c; y 2a b 3c; z a b 2c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B.   Các vectơ x, y, z đồng phẳng m,n : x my nz
  14.  Mà : x my nz 3m 2n 1 a 2b 4c m 3a 3b 2c n 2a 3b 3c 3m 3n 2 (hệ vơ nghiệm) 2m 3n 4  Vậy khơng tồn tại hai số m,n : x my nz Câu 37: Cho hình chĩp cĩ đáy là hình bình hành tâm Gọi là điểm thỏa mãn:      S. ABCD O. G GS GA GB GC GD 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?   A. G, S, O khơng thẳng hàng. B. GS 4OG     C. GS 5OG D. GS 3OG . Hướng dẫn giải: Chọn B.    S GS GA GB GC GD 0       GS 4GO OA OB OC OD 0     GS 4GO 0 GS 4OG B C O A D     Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C cĩ AA a, AB b, AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ  BC qua các vectơ a,b, c .     A. BC a b c B. BC a b c C. BC a b c D. BC a b c . Hướng dẫn giải: A' C' Chọn D.       Ta cĩ: BC BA AC AB AC AA b c a a b c . B' A C B Câu 39: Cho hình tứ diện ABCD cĩ trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai?      1     A. GA GB GC GD 0 B. OG OA OB OC OD 4  2     1    C. AG AB AC AD D. AG AB AC AD . 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. G là trọng tâm tứ diện ABCD          1    GA GB GC GD 0 4GA AB AC AD 0 AG AB AC AD . 4 Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN k AC BD 1 1 A. k . B. k . C. k 3. D. k 2. 2 3 Hướng dẫn giải:
  15. Chọn A.  1   1     MN MC MD (quy tắc trung điểm) MA AC MB BD 2 2    1   Mà MA MB 0 (vì M là trung điểm AB ) MN AC BD . 2 Câu 41: Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng? A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma nb pc 0 . D. Giá của a, b, c đồng qui. Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo giả thuyết m n p 0 tồn tại ít nhất một số khác 0 . n p Giả sử m 0 . Từ ma nb pc 0 a b c . m m a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).     Câu 42: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C cĩ AA a, AB b, AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ  B C qua các vectơ a, b, c .     A. B C a b c. B. B C a b c. C. B C a b c. D. B C a b c. Hướng dẫn giải: Chọn D.  B C B B B C (qt hình bình hành) C' A'     AA BC a AC AB a b c. B' C A B Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?  1  A. Nếu AB BC thì B là trung điểm của đoạn AC .  2   B. Từ AB 3AC ta suy ra CB AC.    C. Vì AB 2AC 5AD nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.     D. Từ AB 3AC ta suy ra BA 3CA. Hướng dẫn giải: Chọn C.  1  A. Sai vì AB BC A là trung điểm BC . 2 C A B     B. Sai vì AB 3AC CB 4AC .
  16. C A B C. Đúng theo định  lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ. D. Sai vì AB 3AC BA 3CA (nhân 2 vế cho 1). Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Ba véctơ a,b,c đồng phẳng nếu cĩ hai trong ba véctơ đĩ cùng phương. B. Ba véctơ a,b,c đồng phẳng nếu cĩ một trong ba véctơ đĩ bằng véctơ 0 . C. véctơ x a b c luơn luơn đồng phẳng với hai véctơ a và b .    D. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ba véctơ AB ,C A , DA đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C. B' C' A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. C. Sai    A' D' DA AA AD a c C     B D. Đúng vì AB a b AB DA CA 3 a   b C A CA b c    A D vectơ AB ,C A , DA đồng phẳng. c Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH cĩ cạnh a .   Ta cĩ AB.EG bằng: a 2 A. a2. B. a 2 C. a 3. D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.        AB.EG EF EH AE EF FB F G           EF.AE EF 2 EF.FB EH.AE EH.EF EH.FB   0 a2 0 0 0 EH.EA a2 0 a2 E H B C A D Câu 46: Cho hình chĩp S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?    A. Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO thì ABCD là hình thang.      S B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO .      C. Nếu ABCD là hình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO .      D. Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải: Chọn C. A D O B C
  17.          A. Đúng vì SA SB 2SC 2SD 6SO OA OB 2OC 2OD 0 .    Vì O, A,C và O, B, D thẳng hàng nên đặt OA kOC;OB mOD   k 1 OC m 1 OD 0 .   OA OB Mà OC,OD khơng cùng phương nên k 2 và m 2 2 AB / /CD. OC OD B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái. C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân cĩ 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với k 1,m 1 O là trung điểm 2 đường chéo. Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?       A. Từ hệ thức AB 2AC 8AD ta suy ra ba véctơ AB, AC, AD đồng phẳng.   B. Vì NM NP 0 nên N là trung điểm của đoạn MP.  1   C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta cĩ OI OA OB.     2 D. Vì AB BC CD DA 0 nên bốn điểm A, B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn D. A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng       C. Đúng vì OA OB OI IA OI IB      Mà IA IB 0 (vì I là trung điểm AB ) OA OB 2OI . D. Sai vì khơng đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.   Câu 48: Cho hình hộp ABCD.A B C D cĩ tâm O . Đặt AB a ; BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là trung điểm BB . B. M là tâm hình bình hành BCC B . C. M là tâm hình bình hành ABB A . D. M là trung điểm CC . Hướng dẫn giải: Chọn A.    1   A. M là trung điểm BB 2OM OB OB B D BD (quy tắc trung điểm). 2 1   1 B B b a BB b a (quy tắc hình hộp) 2a 2b a b . 2 2 Câu 49: Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ khơng thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề nào sau đây là đúng?    A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OA OB .    B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k BA.    C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM kOA 1 k OB .     D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k OB OA . Hướng dẫn giải: Chọn C.      A. Sai vì OA OB 2OI ( I là trung điểm AB ) OM 2OI O, M , I thẳng hàng.     B. Sai vì OM OB M  B và OB k BA O, B, A thẳng hàng: vơ lý          C. OM kOA 1 k OB OM OB k OA OB BM k BA B, A, M thẳng hàng.        D. Sai vì OB OA AB OB k OB OA k AB O, B, A thẳng hàng: vơ lý.
  18. Câu 50: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong khơng gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào      đẳng thức vectơ: PI k PA PB PC PD . 1 1 A. k 4 . B. k . C. k . D. k 2 . 2 4 Hướng dẫn giải: : Chọn C.      Ta cĩ PA PC 2PM , PB PD 2PN           1 nên PA PB PC PD 2PM 2PN 2(PM PN ) 2.2.PI 4PI . Vậy k 4 Câu 51: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn đẳng thức sai?     1 1 1 1     A. BC BA B C B A . B. AD D C D A DC .   1 1 1 1  1 1 1 1  C. BC BA BB1 BD1 . D. BA DD1 BD1 BC . Hướng dẫn giải: Chọn D. B1 C1 Ta cĩ :         A1 D1 BA DD1 BD1 BA BB1 BD1 BA1 BD1 BC nên D sai.         Do BC B1C1 và BA B1 A1 nên BC BA B1C1 B1 A1 . A đúng B C Do         A D AD D1C1 D1 A1 AD D1B1 A1D1 D1B1 A1B1 DC nên    AD D C D A DC nên B đúng.  1 1 11    Do BC BA BB1 BD DD1 BD1 nên C đúng. Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?  1    1   A. PQ BC AD . B. PQ BC AD . 4 2  1      C. PQ BC AD . D. PQ BC AD . 2 Hướng dẫn giải: : Chọn B.         Ta cĩ : PQ PB BC CQ và PQ PA AD DQ           1   nên 2PQ PA PB BC AD CQ DQ BC AD . Vậy PQ BC AD 2 Câu 53: Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên AC sao cho AC 3MC . Lấy N trên đoạn C D sao cho xC D C N . Với giá trị nào của x thì MN //D . B' C' 2 1 A. x . B. x . 3 3 A' D' 1 1 C. x . D. x . 4 2 Hướng dẫn giải: : Chọn A. B N C M A D
  19. Câu 54: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     k BD D D B D k BB A. k 2 . B. k 4 . C. k 1. D. k 0 . Hướng dẫn giải: : Chọn C. B' C'     Ta cĩ BD DD D B BB nên k 1 A' D' B C A D Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?  1   A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta cĩ: OI OA OB .     2 B. Vì AB BC CD DA 0 nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.   C. Vì NM NP 0 nên N là trung điểm đoạn NP .       D. Từ hệ thức AB 2AC 8AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn  B.    Do AB BC CD DA 0 đúng với mọi điểm A, B,C, D nên câu B sai. Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Ba véctơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đĩ cĩ giá thuộc một mặt phẳng B. Ba tia Ox,Oy,Oz vuơng gĩc với nhau từng đơi một thì ba tia đĩ khơng đồng phẳng. C. Cho hai véctơ khơng cùng phương a và b . Khi đĩ ba véctơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ cặp số m,n sao cho c ma nb , ngồi ra cặp số m,n là duy nhất. D. Nếu cĩ ma nb pc 0 và một trong ba số m,n, p khác 0 thì ba véctơ a,b,c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn A. Ba véctơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đĩ cĩ giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai
  20. Câu 57: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong khơng gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng     k thức vectơ: IA (2k 1)IB k IC ID 0 A. k 2 . B. k 4 . C. k 1. D. k 0 . Hướng dẫn giải: : Chọn C.     Ta chứng minh được IA IB IC ID 0 nên k 1 Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a, b, c khơng đồng phẳng thì từ ma nb pc 0 ta suy ra m n p 0 . B. Nếu cĩ ma nb pc 0 , trong đĩ m2 n2 p2 0 thì a, b, c đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m n p 0 ta cĩ ma nb pc 0 thì a, b, c đồng phẳng. D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn D. Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chĩp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng khơng đồng phẳng.    Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA B C , M là trung điểm của BB’. Đặt CA a ,CB b , AA' c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1 A. AM a c b B. AM b c a . C. AM b a c . D. 2 2 2  1 AM a c b . 2 Hướng dẫn giải: : Chọn C.      1  1 Ta cĩ AM AB BM CB CA BB b a c 2 2 A' C' B' M A C B      Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C . Đặt AA a, AB b, AC c, BC d . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.    A. a b c . B. a b c d 0 . C. b c d 0 . D. a b c d . Hướng dẫn giải: Chọn C.       Ta cĩ: b c d AB AC BC CB BC 0 . Câu 61: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là.         A. 6SI SA SB SC . B. SI SA SB SC .      1  1  1  C. SI 3 SA SB SC . D. SI SA SB SC . 3 3 3
  21. Hướng dẫn giải: Chọn D.      1  1  1  Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA SB SC 3SI SI SA SB SC . 3 3 3 Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. B. Ba véctơ a,b,c đồng phẳng thì cĩ c ma nb với m,n là các số duy nhất.   C. Ba véctơ khơng đồng phẳng khi cĩ d ma nb pc với d là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cĩ giá cùng song song với một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cĩ giá cùng song song với cùng một mặt phẳng. Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a,b khơng cùng phương.   Câu C sai vì d ma nb pc với d là véctơ bất kì khơng phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng phẳng. Câu 63: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AC BA k DB C ' D 0 . A. k 0 . B. k 1. C. k 4 . D. k 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B.            Với k 1 ta cĩ: AC BA' 1. DB C ' D AC BA' C 'B AC C 'A' AC CA 0. Câu 64: Cho hình chĩp S.ABC Lấy các điểm A , B ,C lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA a.SA , SB b.SB , SC c.SC , trong đĩ a,b,c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a,b,c để mặt phẳng A B C đi qua trọng tâm của tam giác ABC . A. a b c 3 . B. a b c 4 . C. a b c 2 . D. a b c 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Nếu a b c 1 thì SA SA , SB SB , SC SC nên ABC  A B C . Suy ra A B C đi qua trọng tâm của tam giác ABC => a b c 3 là đáp án đúng.      Câu 65: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a, SB b, SC c, SD d . Khẳng định nào sau đây đúng.    A. a c d b . B. a c d b 0 . C. a d b c . D. a b c d . Hướng dẫn giải: Chọn A.    a c SA SC 2SO  Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Ta cĩ:     => a c d b b d SB SD 2SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD cĩ trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai.  2     1    A. AG AB AC AD . B. AG AB AC AD . 3 4  1         C. OG OA OB OC OD . D. GA GB GC GD 0 . 4 Hướng dẫn giải: Chọn A.  1     Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luơn cĩ: OG OA OB OC OD . 4
  22. Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta cĩ:  1      1    AG AA AB AC AD AG AB AC AD 4 4  2    Do vậy AG AB AC AD là sai. 3 Câu 67: Cho hình hộp ABCD.A B C D với tâm O . Chọn đẳng thức sai.     1 1 1 1     A. AB AA AD DD . B. AC AB AD AA .  1   1  1   1   C. AB BC1 CD D1 A 0 . D. AB BC CC1 AD1 D1O OC1 . Hướng dẫn giải: Chọn A.            Ta cĩ AB AA AB , AD DD AD mà AB AD nên AB AA AD DD sai. 1 1 1 1 1 1 1 1   Câu 68: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b , AC c ,   AD d . Khẳng định nào sau đây đúng.  1   1  A. MP (c d b) . B. MP (d b c) . 2 2  1   1  C. MP (c b d) . D. MP (c d b) . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.         1  Ta cĩ c d b AC AD AB 2AP 2AM 2 MP MP (c d b) . 2 Câu 69: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn khẳng định đúng.    1 1 1 1    A. BD, BD , BC đồng phẳng. B. BA , BD , BD đồng phẳng.   1  1  1  1  C. BA1, BD1, BC đồng phẳng. D. BA1, BD1, BC1 đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C.    Ta cĩ 3 véctơ BA1, BD1, BC đồng phẳng vì chúng cĩ giá cùng nằm trên mặt phẳng BCD1 A1 .     Câu 70: Cho tứ diện ABCD cĩ G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x AB; y AC; z AD. Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. AG (x y z) . B. AG (x y z) . 3 3  2   2  C. AG (x y z) . D. AG (x y z) . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.          Ta cĩ: AG AB BG; AG AC CG; AG AD DG            3AG AB AC AD BG CG DG AB AC AD x y z    Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên BG CG DG 0. Câu 71: Cho hình chĩp S.ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?     A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC .     B. Nếu SB SD SA SC thì ABCD là hình bình hành.     C. Nếu ABCD là hình thang thì SB 2SD SA 2SC .     D. Nếu SB 2SD SA 2SC thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn C.
  23. Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang cĩ 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta cĩ     SD 2SB SC 2SA. Câu 72: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN k AD BC 1 1 A. k 3. B. k . C. k 2. D. k . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn B.     MN MA AD DN         Ta cĩ:      2MN AD BC MA MB DN CN MN MB BC CN        Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA BM MB; DN NC CN     1   Do đĩ 2MN AD BC MN AD BC . 2   Câu 73: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC b, AD c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1  1 A. DM a b 2c B. DM 2a b c 2 2  1  1 C. DM a 2b c . D. DM a 2b c 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.       1    1   Ta cĩ: DM DA AB BM AB AD BC AB AD BA AC 2 2 1  1   1 1 1 AB AC AD a b c a b 2c . 2 2 2 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào     đẳng thức vectơ: DA DB DC k DG 1 1 A. k . B. k 2. C. k 3. D. k . 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.     Chứng minh tương tự câu 61 ta cĩ DA DB DC 3DG .     Câu 75: Cho tứ diện ABCD . Gọi E,F là các điểm thỏa nãm EA kEB,FD kFC cịn P,Q,R là các       điểm xác định bởi PA lPD,QE lQF,RB lRC . Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng.Khẳng định nào sau đây là đúng? A. P, Q, R thẳng hàng B. P, Q, R khơng đồng phẳng C. P, Q, R khơng thẳng hàng D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C.     Ta cĩ PQ PA AE EQ 1 A     PQ PD DF FQ 2     E Từ 2 ta cĩ lPQ lPD lDF lFQ 3 Lấy 1 3 theo vế ta cĩ p    Q 1 l PQ AE lDF B R D F C
  24.  1  l  PQ AE DF 1 l 1 l  1  l  Tương tự QR EB FC 1 l 1 l      1  l  k  kl   Mặt khác EA k EB, FD k FC nên PQ AE DF EB FC kQR 1 l 1 l 1 l 1 l Vậy P,Q, R thẳng hàng. Câu 76: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .    a) Giả sử a.IJ AC BD thì giá trị của a là? 1 A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 b) Cho các đẵng thức sau, đẵng thức nào đúng?      A. GA GB GC GD 0 B. GA GB GC GD 2IJ           C. GA GB GC GD JI D. GA GB GC GD 2JI     c) Xác định vị trí của M để MA MB MC MD nhỏ nhất. A. Trung điểm AB B. Trùng với G C. Trung điểm AC D. Trung điểm CD Hướng dẫn giải:     IJ IA AC CJ    A a)     2IJ AC BD . IJ IB BD DJ         b) GA GB GC GD GA GB GC GD I     2GI 2GJ 2 GI GJ 0 . G      B c) Ta cĩ MA MB MC MD 4 MG nên     MA MB MC MD nhỏ nhất khi M  G . R D J C Câu 77: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Xác định vị trí các điểm M , N lần lượt trên AC và DC ' MN sao cho MN PBD '. Tính tỉ số bằng? BD ' 1 1 2 A. B. C. 1 D. 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.    BA a, BC b, BB ' c .     Giả sử AM xAC, DN yDC '.   Dễ dàng cĩ các biểu diễn BM 1 x a xb và BN 1 y a b yc . D' C'  Từ đĩ suy ra MN x y a 1 x b yc 1   A' Để MN PBD ' thì MN zBD ' z a b c 2 D' N Từ 1 và 2 ta cĩ: x y a 1 x b yc =z a b c D C x y z a 1 x z b y z c=0 M A B
  25. 2 x 3 x y z 0 1 1 x z 0 y . 3 y z 0 1 z 3  2   1  Vậy các điểm M , N được xác định bởi AM AC, DN DC ' . 3 3   1  MN 1 Ta cũng cĩ MN zBD ' BD ' . 3 BD ' 3 Câu 78: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' cĩ các cạnh đều bằng a và các gĩc B· ' A' D ' 600 , B· ' A' A D· ' A' A 1200 . a) Tính gĩc giữa các cặp đường thẳng AB với A' D ; AC ' với B' D . A. ·AB, A' D 600 ; ·AC ', B ' D 900 B. ·AB, A' D 500 ; ·AC ', B ' D 900 C. ·AB, A' D 400 ; ·AC ', B ' D 900 D. ·AB, A' D 300 ; ·AC ', B ' D 900 b) Tính diện tích các tứ giác A' B 'CD và ACC ' A' . 2 2 2 2 A. SA'B'CD a 3 ; SAA'C 'C a 2 B. SA'B'CD a ; SAA'C 'C a 2 2 1 C. S a2 ; S 2a2 2 D. S a2 ; S a2 2 A'B'CD 2 AA'C 'C A'B'CD AA'C 'C c) Tính gĩc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA'. 6 A. ·AC ', AB ·AC ', AD ·AC ', AA' arccos 2 6 B. ·AC ', AB ·AC ', AD ·AC ', AA' arccos 4 6 C. ·AC ', AB ·AC ', AD ·AC ', AA' arccos 3 5 D. ·AC ', AB ·AC ', AD ·AC ', AA' arccos 3 Hướng dẫn giải:   a) Đặt AA' a, A' B ' b, A' D ' c  Ta cĩ A' D a c nên   cos ·AB, A' D cos AB, A' D D' C'   AB.A' D a a c   . AB A' D a a c A' B' a2 Để ý rằng a c a , a a c . 2 D 1 C Từ đĩ cos ·AB, A' D ·AB, A' D 600 2 A B
  26.   Ta cĩ AC ' b c a, B ' D a b c , từ đĩ tính được   AC 'B ' D b c a a b c 0 ·AC ', B ' D 900 .     b) A'C a b c, B ' D a b c A'C.B ' D a b c a b c 0 1 A'C  B ' D nên S A'C.B ' D . A'B'DC 2 1 Dễ dàng tính được A'C a 2, B ' D a 2 S a 2a. 2 a2 A'B'CD 2   SAA'C 'C AA' AC sin AA', AC , AA' a, Ac a 3 .     6 Tính được sin AA', AC 1 cos2 AA', AC 3   6 Vậy S AA' AC sin AA', AC a.a 3. a2 2 . AA'C 'C 3 6 c) ĐS: ·AC ', AB ·AC ', AD ·AC ', AA' arccos . 3 Câu 79: Cho tam giác ABC , thì cơng thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1   2 A. S AB2 AC 2 BC 2 B. S AB2 AC 2 AB.AC 2 2 2 1 1   2 1   2 C. S AB2 AC 2 AB.AC D. S AB2 AC 2 AB.AC 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 2 2 2 1 2 2 2 SABC ABAC sin A AB AB sin A AB AC 1 cos A 2 2 2 1   2 AB2 AC 2 AB.AC . 2 Câu 6. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho  1   2   1    AM AB, BN BC, AQ AD, DP k DC . 3 3 2 Hãy xác định k để M , N, P,Q đồng phẳng. 1 1 1 1 A. k B. k C. k D. k 2 3 4 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. A Cách 1.  1    1  Ta cĩ AM AB BM BA BA 3 3 M  2  Q BM BA . 3  2  Lại cĩ BN BC do đĩ MN P AC . 3 B D Vậy Nếu M , N, P,Q đồng phẳng thì MNPQ  ACD PQ P AC N P C
  27. PC QA  1  1 1 hay DP DC k . PD QD 2 2    Cách 2. Đặt DA a, DB b, DC c thì khơng khĩ khăn ta cĩ các biểu diễn  2 2  2 1  1 1 MN a b , MP a b kc , MN a b 3 3 3 3 6 3    Các điểm M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN, MP, MQ đồng phẳng    x, y : MP xMN yMQ 2 1 2 2 1 1 a b kc x a c y a b 3 3 3 3 6 3  Do các vec tơ a,b,c khơng đồng phẳng nên điều này tương đương với 2 1 2 x y 3 6 3 1 1 3 1 y x , y 1,k . 3 3 4 2 2 x k 3 Câu 80: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA SB SC a , ·ASB B· SC C· SA . Gọi  là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC . Tính diện tích thiết diện của hình chĩp cắt bởi mặt phẳng  . a2 a2 A. S 7cos2 16cos 9 B. S 7cos2 6cos 9 2 2 a2 a2 C. S 7cos2 6cos 9 D. S 7cos2 16cos 9 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của SB, SC . Thiết diện là tam giác AB 'C ' .   2 1 2 2 Theo bài tập 5 thì S AB ' AC ' AB '.AC ' S AB'C ' 2    1   Ta cĩ AB ' SB ' SA SB SA 2 1   B' AB '2 SB2 SA2 SASB 4 C' A a2 5 4cos . Tính tương tự, ta cĩ 4 B   a2 AB 'AC ' 4 3cos . 4 4 4 1 a 2 a 2 C Vậy S 5 4cos 4 3cos AB'C' 2 16 16 a2 7cos2 16cos 9 . 8 Câu 81: Cho hình chĩp S.ABC , mặt phẳng cắt các tia SA, SB, SC, SG ( G là trọng tâm tam giác SA SB SC SG ABC ) lần lượt tại các điểm A',B',C',G' .Ta cĩ k . Hỏi k bằng bao nhiêu? SA' SB ' SC ' SG '
  28. A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. S Do G là trọng tâm của ABC nên        GA GB GC 0 3SG SA SB SC A' SG  SA  SB  B' 3 SG ' SA' SB ' G' SG ' SA' SB ' C' A SC  SC ' B SC ' G Mặt khác A', B ',C ',G ' đồng phẳng nên SA SB SC SG 3 . C SA' SB ' SC ' SG ' Chú ý: Ta cĩ một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng :   Nếu M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC thì Sa MA Sb MB Sc MC 0 trong đĩ Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB . Vì vậy ta cĩ bài tốn tổng quát hơn như sau: Cho hình chĩp S.ABC , mặt phẳng cắt các tia SA, SB, SC, SM ( M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC ) lần lượt tại các điểm A', B ',C ', M '. S SA S SB S SC S.SM Chứng minh: a b c . ( Với S , S , S lần lượt là diện tích các tam giác SA' SB ' SC ' SM ' a b c MBC, MCA, MAB và S là diện tích tam giác ABC ). Câu 82: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A', B ',C ', D '.Đẳng thức nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD A. 2 2 B. SA' SC ' SB ' SD ' SA' 2SC ' SB ' 2SD ' SA SC SB SD SA SC SB SD C. D. SA' SC ' SB ' SD ' SA' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải:      S Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì SA SC SB SD 2SO SA  SB  SB  SC  SA' SC ' SB ' SC ' Do A', B ',C ', D ' đồng phẳng SA' SB ' SB ' SC ' C' D' SA SC SB SD A' nên đẳng thức trên . B' SA' SC ' SB ' SD ' C D O A B Câu 83: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA a, SB b, SC c . Một mặt phẳng luơn đi qua trọng tâm của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B ',C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 . SA'2 SB '2 SC '2 3 2 2 9 A. B. C. D. a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  29.     Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta cĩ 3SG SA SB SC SA  SB  SC  SA' SB ' SC '. SA' SB ' SC ' SA SB SC a b c Mà G, A', B ',C ' đồng phẳng nên 3 3 SA' SB ' SC ' SA' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 2 1 1 1 2 2 2 a b c Ta cĩ 2 2 2 a b c SA' SB ' SC ' SA' SB ' SC ' 1 1 1 9 . SA'2 SB '2 SC '2 a2 b2 c2 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 a b c kết hợp với 3 ta được aSA' bSB ' cSC ' SA' SB ' SC ' a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 SA' , SB ' , SC ' . 3a 3b 3c 1 1 1 9 Vậy GTNN của là . SA'2 SB '2 SC '2 a2 b2 c2 Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM , BM ,CM , DM cắt các mặt BCD , CDA , DAB , ABC lần lượt tại A', B ',C ', D '. Mặt phẳng đi qua M và song song với BCD lần lượt cắt A' B ', A'C ', A' D ' tại các điểm B1,C1, D1 .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . A. M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . B. M là trực tâm của tam giác B1C1D1 . C. M là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác B1C1D1 . D. M là tâm đường trịn nội tiếp tam giác B1C1D1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên     tồn tại x, y, z,t 0 sao cho xMA yMB zMC tMD 0 1 Gọi là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng BCD . A P BCD Ta cĩ BB ' A'  MB1 MB1 PBA' . B' BB ' A'  BCD BA' M MB MB '  MB '  Do đĩ 1 MB BA' 2 B1 D BA' BB ' 1 BB ' B Trong 1 , chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương A' ACD ta được:       xMB ' yMB zMB ' tMB ' 0 x y z MB ' yMB 0 C   MB ' y x y z t MB ' yBB ' BB ' x y z t
  30.  y  Từ 2 suy ra MB BA' 3 1 x y z t  z  Tương tự ta cĩ MC CA' 4 1 x y z t  z  MD DA' 5 1 x y z t Mặt khác chiếu các vec tơ trong 1 lên mặt phẳng BCD theo phương AA' tì thu được    y A' B z A'C t A' D 0 . Vậy từ 3 , 4 , 5 ta cĩ    1    MB MC MD yBA' zCA' tDA' 0 , hay M là trọng tâm của tam giác B C D . 1 1 1 x y z t 1 1 1 Câu 85: Cho tứ diện ABCD cĩ BC DA a,CA DB b, AB DC c Gọi S là diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 1 1 1 . a2b2 b2c2 c2a2 9 3 2 2 A. B. C. D. S 2 S S 2 S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD cĩ BC DA a,CA DB b, AB DC c nên BCD ADC DAB CBA abc . Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường trịn ngoại tiếp mỗi mặt đĩ thì S 4S ' , nên bất R 1 1 1 9 đẳng thức cần chứng minh a2 b2 c2 9R2 . a2b2 b2c2 c2a2 S 2 Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 MA2 MB2 MC 2 GA2 GB2 BC 2 3MG2 a2 b2 c2 9MG2 3 Cho M trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta được 9R2 aa2 b2 c2 9OG2 a2 b2 c2 . Câu 86: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' và các điểm M , N, P xác định bởi       MA kMB ' k 0 , NB xNC ', PC yPD '. Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N, P thẳng hàng. 1 k 2 k 2 1 2k 1 1 1 k 1 A. x , y B. x , y C. x 2 , y D. x , y 2 k k 1 2k 2k 2 k 2k 1 k k Hướng dẫn giải: Chọn D.    P Đặt AD a, AB b, AA' c . Từ giả thiết ta cĩ :  k D' AM b c 1 C' k 1  x  y AN b a c 2 AP a b c b 3 B' x 1 y 1 A' Từ đĩ ta cĩ D C    x 1 x k MN AN AM a b c M x 1 k 1 x 1 k 1 A B N
  31. x y c . x 1 y 1    y 1 y k MP AP AM a ( )b c y 1 k 1 y 1 k 1   Ba điểm M , N, P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại  sao cho MN MP * .   1 k 1 Thay các vec tơ MN, MP vào * và lưu ý a,b,c khơng đồng phẳng ta tính được x , y . 1 k k Câu 87: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Một đường thẳng cắt các đường thẳng AA', BC,C ' D ' lần   MA lượt tại M , N, P sao cho NM 2NP . Tính . MA' MA MA MA MA A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 MA' MA' MA' MA' Hướng dẫn giải: Chọn C.   Đặt AD a, AB b, AA' c .   A D Vì M AA' nên AM k AA' kc    N BC BN lBC la , P C ' D ' C ' P mb     C Ta cĩ NM NB BA AM la b kc B N      NP BN BB ' B 'C ' C ' P (1 l)a mb c   D' Do NM 2NP la b kc 2[ 1 l a mb c] A' l 2 1 l P 1 MA 1 2m k 2,m ,l 2 . Vậy 2 . B' C' 2 MA' k 2 M Câu 88: Giả sử M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP , BPM , CMN . Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng? MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS A. B. MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI MS NS PS 1 JS MS NS PS JS C. D. 1 MA NB PC 3 JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: S Chọn D. Goi E BP CN, F CM  AP, T AN  BM . Trong BCM cĩ I BF CT trong ANP cĩ M P NF  PT J .          F Đặt SA a, SB b, SC c và SM xMA, SN yNB, Sp zPC  x  y  z J Ta cĩ SM a, SN b, SP c x 0, y 0, z 0 T N E x 1 y 1 z 1 I C . A B
  32.    T AN ST SM 1 SB     Do T AN  BM nên    SM 1 SB  SN 1  SA T BM ST  SN 1  SA x  y a 1 b b 1  a . Vì a,b khơng cùng phương nên ta cĩ x 1 y 1 x x 1  x 1 x y 1  x y ST a b .  y y x y 1 x y 1 1  y 1 x y 1 Hồn tồn tương tự ta cĩ :  y z  z x SE b c, SF c a . y z 1 y z 1 z x 1 z x 1 Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm I BF CT và NF  PT J ta được :  1  1 SI xa yb zc , SJ xa yb zc x y z 1 x y z 2  x y z 1    Suy ra SJ SI SJ x y z 1 IJ x y z 2 SI SM SN SP Vậy S, I, J thẳng hàng và x y z 1 1. IJ MA NB PC