Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Hai mặt phẳng song song (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Hai mặt phẳng song song (Có đáp án)

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 2 A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT 2 B – BÀI TẬP 4 DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 8 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA VỚI HÌNH CHĨP KHI BIẾT VỚI MỘT MẶT PHẲNG  CHO TRƯỚC. 14
2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT I. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) cĩ 3 vị trí tương đối.    a I ( ) / /( ) ( ) cắt ( ) ( )  ( ) Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là song song với nhau nếu chúng khơng cĩ điểm chung. II. Các định lý: 1. Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( ) . a M b  Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng ( ) thì mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) . a α a,b  ( ) b O a b O β ( ) / / ( ) a' a / / a ',b / / b' b' a ',b'  ( )  Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. 2. Định lí 2 : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.  ( ) / / ( ) ( )  ( ) a a / / b a ( )  ( ) b b  3. Định lí 3 : (Định lí Ta-lét trong khơng gian) Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
3. d d' A A ' AB BC CA B B'  A B B C C A C  C'  Hình lăng trụ và hình hộp: Mặt đáy A E Mặt bên B C D Cạnh bên A ' E' Đỉnh B' C' D' Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trên 2 mặt phẳng song song. Tùy theo đáy của lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác mà ta gọi lăng trụ là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác Hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Hình chĩp cụt: S E' D' A ' C' B' P E D A B C Hai đáy là hai đa giác cĩ các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Các mặt bên là những hình thang. Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. B – BÀI TẬP
4. Câu 1: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện của hình hộp theo hai giao tuyến là a và b . Hãy Chọn Câu đúng: A. a và b song song. B. a và b chéo nhau. C. a và b trùng nhau. D. a và b cắt nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 2: Chọn Câu đúng : A. Hai đường thẳng a và b khơng cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên chúng chéo nhau. B. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng khơng song song và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song thì chéo nhau. Hướng dẫn giải: Chọn D. A sai vì cịn trường hợp song song. B sai vì cịn trường hợp cắt nhau. C sai vì cịn trường hợp song song. Câu 3: Chọn Câu đúng : A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song. B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng khơng cắt nhau thì song song. D. Hai mặt phẳng khơng song song thì trùng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo hệ quả 2 sgk trang 66. Câu 4: Hãy Chọn Câu sai : A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. B. Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau. C. Nếu hai mặt phẳng P và (Q) song song nhau thì mặt phẳng R đã cắt P đều phải cắt Q và các giao tuyến của chúng song song nhau. D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng cịn lại. Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo định lý 1 trang 64 sgk: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau Câu 5: Cho một đường thẳng a song song với mặt phẳng P . Cĩ bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với P ? A. .0 B. . 1 C. . 2 D. vơ số. Hướng dẫn giải: Chọn B.
5. a Q P Cĩ duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với P . Câu 6: Hãy Chọn Câu đúng : A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia. B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song thì cắt nhau. Hướng dẫn giải: Chọn D. Đáp án A sai Đáp án B sai Đáp án C sai Câu 7: Cho một điểm A nằm ngồi mp P . Qua A vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với P ? A. .1 B. . 2 C. . 3 D. vơ số. Hướng dẫn giải: Chọn D. A P Qua A vẽ được vơ số đường thẳng song song với P . Câu 8: Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng a song song với mp ? A. avà// b b// . B. và a//b . b  C. avà// mp  .  // D. . a   Hướng dẫn giải: Chọn D. Theo định nghĩa SGK Hình học 11. Câu 9: Cho đường thẳng a nằm trên mp và đường thẳng b nằm trên mp  . Biết //  . Tìm câu sai: A. a//  . B. b// .
6. C. a//b . D. Nếu cĩ một mp  chứa a và b thì a//b . Hướng dẫn giải: Chọn C. Chọn C. vì cịn cĩ khả năng a, b a chéo nhau như hình vẽ sau. b Câu 10: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  . Mệnh đề nào sau đây SAI? A. //( ) a//b . B. //( ) a//  . C. //( ) b// . D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A. Nếu //  thì ngồi trường hợp a//b thì a và b cịn b cĩ thể chéo nhau.  a Câu 11: Cho đường thẳng a  mp P và đường thẳng b  mp Q . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. P / / Q a / /b. B. a / /b P / / Q . C. P / / Q a / / Q và b / / P . D. a và b cắt nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C. Nếu P / / Q thì mọi đường thẳng a  mp P đều song song với mp Q và mọi đường thẳng b  mp Q đều song song với mp P . Câu 12: Hai đường thẳng a và b nằm trong . Hai đường thẳng a và b nằm trong mp  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a // a và b // b thì //  . B. Nếu //  thì a // a và b // b . C. Nếu a // b và a // b thì //  . D. Nếu a cắt b , a cắt b và a // a và b // b thì //  . Hướng dẫn giải:. Chọn D. Do a // a nên a //  và b // b nên b //  . Theo định lí 1 bài hai mặt phẳng song song, thì //  .
7. DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song nhau là: - Bước 1: Chứng minh mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng a,b cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a ,b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) . - Bước 2: Kết luận ( ) P( ) theo điều kiện cần và đủ. Phương pháp 2 - Bước 1: Tìm hai đường thẳng a,b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) . - Bước 2: Lần lượt chứng minh a P( ) và b P( ) - Bước 3: Kết luận ( ) P( ) . Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Khẳng định nào sau đây SAI? A. AB C D và A BCD là hai hình bình hành cĩ chung một đường trung bình. B. BD và B C chéo nhau. C. A C và DD chéo nhau. D. DC và AB chéo nhau. Hướng dẫn giải: Chọn D. DC và AB song song với nhau. Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Mặt phẳng AB D song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A. BCA . B. BC D . C. A C C . D. BDA . Hướng dẫn giải: Chọn B. Do ADC B là hình bình hành nên AB //DC , và ABC D là hình bình hành nên AD //BC nên AB D // BC D . Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng MA C cắt hình hộp ABCD.A B C D theo thiết diện là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình ngũ giác. C. Hình lục giác. D. Hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn D. Trong mặt phẳng ABB A , AM cắt BB tại I 1 Do MB//A B ; MB A B nên B là trung điểm B I và M là trung điểm của IA . 2
8. Gọi N là giao điểm của BC và C I . I Do BN //B C và B là trung điểm B I nên N là trung điểm của C I . Suy ra: tam giác IA C cĩ MN là đường trung bình. Ta cĩ mặt phẳng MA C cắt hình hộp ABCD.A B C D theo thiết diện là tứ giác A MNC cĩ MN //A C B N C Vậy thiết diện là hình thang A MNC . Cách khác: M ABCD // A B C D A D Ta cĩ : A C M  A B C D A C Mx//A C , M là A C M  ABCD Mx B' trung điểm của AB nên Mx cắt BC tại trung điểm N .Thiết C' diện là tứ giác A C NM . O A' D' Câu 4: Cho hình bình hành ABCD . Vẽ các tia Ax, By,Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và khơng nằm trong mp ABCD . Mp cắt Ax, By,Cz, Dt lần lượt tại A , B ,C , D . Khẳng định nào sau đây sai? A. A B C D là hình bình hành. B. mp AA B B // DD C C . C. AA CC và BB DD . D. OO // AA . (O là tâm hình bình hành ABCD , O là giao điểm của A C và B D ). Hướng dẫn giải:. Chọn C. AB // DC  AA //DD ABB A // DD C C .  AB, AA  ABB A DC, DD  DD C C  t Câu B đúng. x Mặt khác z D' A'  ABB A A B  y  DCC D C D A B // C D  C' B' ABB A // DCC D   ADD A A D  A D  BCC B C B  A D // C B ABB A // DCC D  Do đĩ câu A đúng. B C O,O lần lượt là trung điểm của AC, A C nên OO là đường trung bình trong hình thang AA C C . Do đĩ OO // AA . Câu D đúng. Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Người ta định nghĩa ‘Mặt chéo của hình hộp là mặt tạo bởi hai đường chéo của hình hộp đĩ’. Hỏi hình hộp ABCD.A B C D cĩ mấy mặt chéo ? A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 10. Hướng dẫn giải:.
9. Chọn B. Các mặt chéo của hình hộp là ADC B ; A D CB ; ABC D D' C' DCB A ; ACC A ; BDD B A' B' D C A B Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Mp ( ) qua AB cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình vuơng. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải:. Chọn A. Câu 7: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi O và O lần lượt là tâm của ABB A và DCC D .Khẳng định nào sau đây sai ? A. OO AD . B. OO // ADD A . C. OO và BB cùng ở trong một mặt phẳng. D. OO là đường trung bình của hình bình hành ADC B . Hướng dẫn giải:. Chọn C. ADC B là hình bình hành cĩ OO là đường trung bình nên   OO AD . Đáp án A, D đúng. D' C' OO //AD nên OO // ADD A . Đáp án B đúng. B' A' O' O D C A B Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I là trung điểm AB . Mp IB D cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải:. Chọn B.
10. IB D  AA B B IB . D' C' IB D  A B C D B D . B' A' I IB D  ABCD  B D //BD  IB D  ABCD d với d là B D  A B C D D C BD  ABCD  đường thẳng qua I và song song với BD . J Gọi J là trung điểm của AD . A I B Khi đĩ IB D  ABCD IJ . IB D  ADD A JD . Thiết diện cần tìm là hình thang IJD B với IJ //D B . Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC và B C . G,G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. A,G,G ,C . B. A,G, M , B . C. A ,G , M ,C . D. A,G , M ,G . Hướng dẫn giải:. Chọn D. MM là đường trung bình trong hình bình hành BB C C nên MM BB AA ;MM // BB // AA A' C' Do đĩ AA M M là hình bình hành hay 4 điểm A,G , M ,G G' đồng phẳng. M' B' A C G M B Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB vàCC , mp AMN  mp A B C . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. // AB . B. // AC . C. // BC . D. // AA . Hướng dẫn giải:. Chọn C. MN là đường trung bình trong hình bình hành BCC B nên MN //B C A' C' L mp AMN  mp A B C MN  AMN B' B C  A B C N Do đĩ //BC . M A C B
11. Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A B C D cĩ các cạnh bên AA , BB ,CC , DD . Khẳng định nào sai ? A. AA B B // DD C C . B. BA D và ADC cắt nhau. C. A B CD là hình bình hành. D. BB DC là một tứ giác đều. Hướng dẫn giải:. Chọn D. Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp. BA D  BA D C ; ADC  ADC B D' C' BA D  ADC ON . Câu B đúng. B' A' Do B BDC nên BB DC khơng phải là tứ giác. O N D C A B Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi H là trung điểm của A B . Đường thẳng B C song song với mặt phẳng nào sau đây ? A. AHC . B. AA H . C. HAB . D. HA C . Hướng dẫn giải:. Chọn A. Gọi K là giao điểm của B C và BC , I là trung điểm của C' AB . A' Do HB AI; HB //AI nên AHB I là hình bình hành hay AH //B I . H Mặt khác KI //AC nên AHC // B CI . B' Khi đĩ : B C// AHC K A C I B Câu 13: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Mp đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình hộp theo thiết diện là một tứ giác T . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành. C. T là hình thoi. D. T là hình vuơng. Hướng dẫn giải:. Chọn B.
12. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA VỚI HÌNH CHĨP KHI BIẾT VỚI MỘT MẶT PHẲNG  CHO TRƯỚC. Phương pháp: - Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau. - Khi P  thì sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong  và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3) P   P  Sử dụng   d ' Pd, M d ' .    d M   - Tìm đường thẳng d mằn trong  và xét các mặt phẳng cĩ trong hình chĩp mà chứa d , khi đĩ Pd nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d ( nếu cĩ) theo các giao tuyến song song với d . Câu 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Xác định thiết diện của hình chĩp cắt bởi đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD .Thiết diện là hình gì? A. Tam giác B. Hình thang C. Hình bình hành D. Tứ giác Hướng dẫn giải:: M SAB  Ta cĩ SAB  MK PSA, K SB . S SAB  SAD SA N SCD  Tương tự P SAD K SCD  SAD SD H SCD  NH PSD, H SC . A B Dễ thấy HK  SBC . Thiết diện là tứ giác MNHK M Ba mặt phẳng ABCD , SBC và đơi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC , mà MN PBC MN PHK . Vậy D N C thiết diện là một hình thang. Câu 2: Cho hìh chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O cĩ AC a, BD b . Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng di động song song với mặt phẳng SBD và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI x 0 x a . a) thiết diện của hình chĩp cắt bởi là hình gi? A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành b) Tính diện tích thiết diện theo a,b và x . Hướng dẫn giải:: a) Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA I  ABD S Ta cĩ P SBD ABD  SBD BD P K A M B N I H O I D L C
13.  ABD MN PBD, I MN . N  SAD Tương tự P SBD SAD  SBD SD SAD  NP PSD, P SN . Thiết diện là tam giác MNP . P SBD Do SAB  SBD SB MP PSB . Hai tam giác MNP và BDS cĩ các cặp cạnh tương ứng song SAB  MP song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều. Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như hv . b) Trường hợp 1. I thuộc đoạn OA 2 2 2 BD 3 b 3 SMNP MN Ta cĩ SBCD , A 4 4 SBCD BD MN AI 2x 2x 2 b2 x2 3 P Do MN PBD SMNP SBCD 2 . BD AO a a a M Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta cĩ 2 2 HL 2 a x b2 3 b2 a x 3 2 B C SMNP SBCD [ ] 2 . BD a 4 a 2 2 b x 3 N ; I (OA) Q a2 Vậy Std 2 . b2 a x 3 ; I OC D a2 AM CN Câu 3: Cho tứ diện ABCD và M , N là các điểm thay trên các cạnh AB,CD sao cho . MB ND a) Chứng minh MN luơn luơn song song với một mặt phẳng cố định. AM CN b) Cho 0 và P là một điểm trên cạnh AC . thiết diện của hình chĩp cắt bởi MNP là MB ND hình gì? A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện. k 2k 1 1 A. B. C. D. k 1 k 1 k k 1 Hướng dẫn giải:: AM CN a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng MN, AC, BD cùng song song với một MB ND mặt phẳng  .Gọi là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì cố định và P  suy ra MN luơn song song với cố định. AP b) Xét trường hợp k , lúc này MP PBC nên BC P MNP . PC
14. Ta cĩ : N MNP  BCD BC P MNP BCD  MNP NQ PBC,Q BD . BC  BCD AP Thiết diện là tứ giác MPNQ .Xét trường hợp k PC A Trong ABC gọi R BC  MP Trong BCD gọi Q NR  BD thì thiết diện là tứ M giác MPNQ . P Gọi K MN  PQ C B R S PK Ta cĩ MNP . K S PQ MPNQ N Q D AM CN Do nên theo định lí Thales đảo thì AC, NM , BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song NB ND với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K,Q nên áp dụng định lí Thales PK PK AM CN PK PK KQ k ta được k . PK KQ MB ND PQ PK KQ 1 k 1 KQ