›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

doc 46 trang nhungbui22 12/08/2022 2900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_chu_de_hai_duong_thang.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

  1. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b : Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau: - a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a  b M . - a và b song song với nhau, ta kí hiệu a Pb . - a và b trùng nhau, ta kí hiệu a  b . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau. 2. Các định lí và tính chất. • Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a . • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. • Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  2. β β c γ c γ β α Δ b b A b a a a α α B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Phương pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và  có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d' thì giao tuyến của và  là đường thẳng đi qua M song song với d và d' . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD B. là đường thẳng đi qua S C. là điểm S D. là mặt phẳng (SAD) Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  3. AB  SAB S d CD  SCD Ta có AB PCD S SAB  SCD A B SAB  SCD d P AB PCD,S d . D C Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG . A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD D.Cả A, B, C đều đúng b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình hành. 2 3 A. AB CD B. AB CD C. AB CD D. AB 3CD 3 2 Lời giải: a) Ta có ABCD là hình thang và I, J là S trung điểm của AD,BC nên IJ / /AB. M G N – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất A B E I J D C
  4. G SAB  IJG AB  SAB Vậy IJ  IJG AB PIJ SAB  IJG MN PIJ P AB với M SA,N SB. b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI . MN SG 2 Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN P ABnên AB SE 3 ( E là trung điểm của AB ). 2 MN AB . 3 1 Lại có IJ AB CD . Vì MN PIJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình 2 hành khi MN IJ 2 1 AB AB CD AB 3CD . 3 2 Vậy thết diện là hình bình hành khi AB 3CD . Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau: - Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng. - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba. - Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  5. - Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất A. MN song song với CD . B. MN chéo với CD . C. MN cắt với CD . D. MN trùng với CD . b) Gọi P là giao điểm của SC và ADN , I là giao điểm của AN và DP . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. SI song song với CD . B. SI chéo với CD . C. SI cắt với CD . D. SI trùng với CD . Lời giải: a) Ta có MN là đường trung bình của tam S I giác SAB nên MN P AB. N M Lại có ABCD là hình thang AB / /CD . A B P MN P AB Vậy MN PCD . CD P AB D C E – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  6. b) Trong ABCD gọi E AD  BC , trong SCD gọi P SC  EN . Ta có E AD  ADN EN  AND P ADN . Vậy P SC  ADN . I AN I SAB Do I AN  DP SI SAB  SCD . I DP I SCD AB  SAB CD  SCD Ta có SI PCD . AB PCD SAB  SCD SI Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a,BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB,SC lần lượt tại M,N . Mặt phẳng BCI cắt SA,SD tại P,Q . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. MN song sonng với PQ . B. MN chéo với PQ . C. MN cắt với PQ . D. MN trùng với PQ . b) Giải sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh EF song song với MN và PQ . Tính EF theo a,b . 1 3 2 2 A. EF a b B. EF a b C. EF a b D. EF a b 2 5 3 5 Lời giải: a) Ta có I SAD I SAD  IBC . S – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất P I Q A K E D M J N F B C
  7. AD  SAD BC  IBC Vậy AD PBC SAD  IBC PQ PQ P AD PBC 1 Tương tự J SBC J SBC  ADJ AD  ADJ BC  SBC Vậy AD PBC SBC  ADJ MN MN P AD PBC 2 Từ 1 và 2 suy ra MN PPQ . E AMND F AMND b) Ta có E AM  BP ; F DN CQ E PBCQ F PBCQ AD PBC Do đó EF AMND  PBCQ . Mà EF P AD PBC PMN PPQ . MN PPQ Tính EF : Gọi K CP  EF EF EK KF EK PE PE PM Ta có EK PBC 1 , PM P AB BC PB EB AB PM SP 2 PE 2 Mà . AB SA 3 EB 3 EK PE PE 1 2 2 2 Từ 1 suy ra EK BC b BC PB PE EB EB 5 5 5 1 PE – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  8. 2 2 Tương tự KF a . Vậy EF EK KF a b . 5 5 Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a,b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a,b song song hoặc cắt nhau, khi đó A,B,C,D thuôc mp a,b . Để chứng minh ba đường thẳng a,b,c đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh a,b,c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng ,  ,  trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a,b,c đồng qui. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M,N,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA,SB,SC và SD . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ME,NF,SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ). B. ME,NF,SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ). C. ME,NF,SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ). D. ME,NF,SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ). b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. B. Bốn điểm M,N,E,F không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  9. a) Trong SAC gọi I ME SO , dễ thấy I là trung điểm của SO , suy ra FI là S đường trung bình của tam giác SOD . Vậy FI / /OD . M F I Tương tự ta có NI POB nên N,I,F thẳng N E D hàng hay I NF . A Vậy minh ME,NF,SO đồng qui . O b) Do ME  NF I nên ME và NF xác B C định một mặt phẳng. Suy ra M,N,E,F đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M,N,E,F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SBC,SCD và SDA . Chứng minh: a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. B. Bốn điểm M,N,E,F không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai b) Ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ). a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ME,NF,SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ). B. ME,NF,SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ). – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  10. C. ME,NF,SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ). D. ME,NF,SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ). Lời giải: a) Gọi M ',N ',E',F ' lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD và DA . S SM 2 SN 2 SM SN Ta có , SM ' 3 SN ' 3 SM ' SN ' F I E MN PM ' N ' 1 . M A D N F' SE SF M' Tương tự EF PE' F ' 2 O E' SE' SF ' B N' C M ' N ' P AC Lại có M ' N ' PE' F ' 3 E' F ' P AC Từ 1 , 2 và 3 suy ra MN PEF . Vậy bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. b) Dễ thấy M ' N ' E' F ' cũng là hình bình hành và O M ' E' N ' F ' . Xét ba mặt phẳng M 'SE' , N 'SF ' và MNEF ta có : M 'SE'  N 'SF ' SO M 'SE'  MNEF ME N 'SF '  MNEF NF ME  NF I . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  11. Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DMN và BCD . 20. Cho hình chóp S.ABC . Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB . a) Chứng minh G1G2 P AC . b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng BG1G2 và ABC . 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD . b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC . Xác định giao điểm N của SD với ABM . Tứ giác ABMN là hình gì? c) Giả sử I AN  BM . Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh SC . 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD . a) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành. b) Gọi I là một điểm trên cạnh BC . Xác định thiết diện của hình chóp với IMN . 23. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD , E là một điểm thuộc cạnh AD ( E khác A và D ). a) Xác định thiết diện của tứ diện với IJE . b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  12. c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi. 24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và AB . a) Hãy xác định các điểm I AC và J DN sao cho IJ PBM . b) Tính IJ theo a . 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang.Một mặt phẳng cắt các cạnh SA,SB,SC và SD lần lượt tại các điểm M,N,P,Q . a) Giả sử MN  PQ I , AB CD E . Chứng minh I,E,S thẳng hàng. b) Giả sử IBC  IAD và  . Chứng minh MQ PNP P AB PCD . 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD PBC . M là một điểm di động trong tứ giác ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA,SB cắt các mặt SBC và SAD lần lượt tại N,P . a) Nêu cách dựng các điểm N,P . b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MN.MP lớn nhất. 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a và BC b . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD và SB . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADP và SBC . b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của ADP và SMN nằm bên trong hình chóp. 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAD , M là điểm trên cạnh SA sao cho MA 2MS . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MIJ . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  13. 29. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và song song SA,SB và SC cắt các mặt SBC , SCA , SAB lần lượt tại các điểm A',B',C'. a) Nêu cách dựng các điểm A',B',C'. MA' MB' MC' b) Chứng minh có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác SA SB SC ABC . c) Xác định vị trí của điểm M để tích MA'.MB'.MC' lớn nhất. 30. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng cắt bốn canh AB,BC,CD,DA Lần lượt tại các điểm M,N,P,Q . AB.BC.CD.AD Chứng minh : MA.NB.PC.QD . Khi đẳng thức xảy ra thì MNPQ là 16 hình gì? ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN 19. Do M,N lần lượt là trung điểm của A AB, AC nên MN PBC . D DMN  SBC M MN  DMN Vậy BC  SBC N D MN PBC B DMN  SBC d PMN PBC,D d . C 20. a) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của S AB,BC . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất G2 G1 D A d M C B N
  14. Do G1 ,G2 là trọng tâm các tam giác SBC và SAB nên SG 2 SG 2 SG SG 1 , 2 1 2 SN 3 SM 3 SN SM G1G2 PMN . Mặt khác MN P AC G1G2 P AC . B BG G 1 2 G G  BG G b) Ta có 1 2 1 2 AC  ABCD G1G2 P AC BG1G2  ABCD d P AC PG1G2 , 21. a) Ta có S SAB  SCD S I AB PCD SAB  SCD AB  SAB d N CD  SCD A M d P AB PCD,S d . D B C M SCD  ABM AB PCD b) Ta có AB  ABM CD  SCD ABM  SCD d' P AB M d' . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  15. Trong SCD gọi N d'SD N SD  ABM Do MN P AB nên tứ giác ABMN là hình thang. c) Gọi SAD  SBC thì cố định. I AN  SAD Vì I AN  BM I SAD  SBC I . I BM  SBC Vậy I cố định. 22. S 1 1 a) Ta có MN P AB và PQ P CD 2 2 M Q mà AB P CD nên MN P PQ . N P Vậy MNPQ là hình bình hành. J A D B I C I IMN  ABCD AB  ABCD b) Ta có IMN  ABCD IJ P AB PMN với J AD . Thiết MN  IMN AB PMN diện của hình chớp với IMN là hình thang MNIJ . 23. a) Ta có A E F – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất B D J I C
  16. F IJF  ACD IJ  IJF ,CD  ACD IJF  ACD FE PCD PIJ . IJ PCD Thiết diện là tứ giác IJEF . 1 1 b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJ P EF mà IJ P CD nên EF P CD , hay 2 2 EF là đường trung bình trong tam giác ACD ứng với cạnh CD do đó E là trung điểm của AD . c) Để thiết diện IJEF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó E là trung điểm của AD . Mặt khác IJEF là hình thoi thì IJ IF , mà 1 1 IJ CD,IF AB AB CD . 2 2 Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB CD và E là trung điểm của AD . 24. a) Trong BCD , từ D kẻ đường thẳng A song song với BM cắt BC tại K . Nối K và N cắt AC tại I . Trong IKD , từ I kẻ J I đường thẳng song song với DK cắt DN K N tại J . D Khi đó IJ PBM . B H M C a 3 b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên KD 2BM 2. a 3 . 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  17. Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó NK KH 3HC HN P AC 3 NK 3NI KD 3IJ NI HC HC 1 a 3 IJ KD . 3 3 25. a) Ta có SE SAB  SCD S I MN  SAB I MN  PQ I PQ  SCD M Q N P I SAB  SCD , hay I SE . I A D I IAD  IBC AD / /BC b) Do B C AD  IAD BC  IBC E IAD  IBC P AB PDC,I Mặt khác theo giả thiết  nên  BC  SBC NP PBC P PBC  SBC NP Tương tự ta cũng có MQ P AD P . Vậy MQ PNP PBC P AD P . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  18. 26. a) Gọi E AM  BC,F BM  AD . Từ M kẻ các đường thẳng song song với S SA,SB lần lượt cắt SE,SF tại N,P .Thì N,P là các điểm cần dựng. MN EM MP FM AM P b) Ta có , nên SA EA SB FB AE N MN MP EM AM 1. SA SB EA EA A D F Theo BĐT CauChy ta có M MN MP MN.MP SA.SB. . B C E SA SB 2 SA.SB MN MP SA.SB 4 SA SB 4 SA.SB MN MP 1 Vậy max MN.MP khi hay M là trung điểm của AE và BF , 4 SA SB 2 do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD . 27. S a) Ta có P ADP  SBC AD PBC ADP  SBC PQ P AD PBC,Q SC AD  ADP P Q J BC  SBC I K b) Gọi I AP SM, J DQ SN thì A D IJ ADP  SMN . M N – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bmới nhất C
  19. Dễ thấy I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD . Gọi K IJ  PD ,ta có IJ IK KJ . IK PI 1 1 1 Ta có IK AD a . AD PA 3 3 3 JK DI 2 2 2 1 1 Tương tự JK PQ . BC b . PQ DQ 3 3 3 2 3 1 Vậy IJ IK KJ a b . 3 28. (HS tự giải) 29. S a) Gọi E AM  BC , trong SAE vẽ đường thẳng đi qua M và song song với SA cắt SE tại A'thì A' là điểm cần dựng. B' A' Các điểm B',C' được dựng tương tự. C' I b) Ta có MA' PSA nên A C MA' EM S MBC M 1 F E SA AE SABC B MB' IM S Tương tự MAC 2 SB IB SABC MC' FM S MAB 3 SC FC SABC Cộng các đẳng thức 1 , 2 , 3 ta được – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  20. MA' MB' MC' 1 SA SB SC b) Ta có MA' MB' MC' MA'.MB'.MC' SA.SB.SC. . . SA SB SC 3 MA' MB' MC' SA.SB.SC SA.SB.SC SA SB SC 3 27 MA' MB' MC' 1 EM IM FM Đẳng thức xảy ra khi M là trọng tâm của SA SB SC 3 EA IB FC tam giác ABC . SA.SB.SC Vậy max MA'.MB'.MC' . 27 30. Trước tiên do M,N,E,F đồng phẳng nên theo định lí Menelauyt trong không gian ta có MA NB PC QD . . . 1. MB NC PD QA A Do đó 2 MA.NB.PC.QD (MA.NB.PC.QD) MB.NC.PD.QA 1 Q M Theo BĐT Cau Chy ta có 2 B MA MB AB2 D MA.MB 2 4 N P 2 NB NC BC 2 NB.NB C 2 4 2 PC PD CD2 PC.PD 2 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  21. 2 QD QA AD2 QD.QA 2 4 Nhân theo vế các BĐT trên và kết hợp với 1 thu được: AB.BC.CD.AD MA.NB.PC.QD . 16 Đẳng thức xảy ra khi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA nên MNPQ là hình bình hành. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d và mặt phẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là: • d và cắt nhau tại điểm M , kí hiêu M d  hoặc để đơn giản ta kí hiệu M d  (h1) • d song song với , kí hiệu d P hoặc Pd ( h2) • d nằm trong , kí hiệu d  (h3) d d d α M α h3 α h1 h2 2. Các định lí và tính chất. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  22. • Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng d' nằn trong thì d song song với . d  d Vậy d Pd' d P  d' d' α h3 • Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  đi β d qua d và cắt theo giao tuyến d' thì d' Pd . P d d' Vậy d   d' Pd . α   d' • Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao β tuyến của chúng ( nếu có) cũng song d song với đường thẳng đó. α d' Pd Vậy  Pd d' Pd .   d' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  23. • 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa m đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. l α d B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG. Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng d songsong d với mặt phẳng ta chứng minh d song song với một đường thẳng d' nằm trong . d' α h3 Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O' . a) Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng ADF và BCE . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  24. 1 1 b) Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AE,BD sao cho AM AE,BN BD . 3 3 Chứng minh MN song song với CDEF . Lời giải: a) Ta có OO' là đường trung bình của tam giác BDF ứng với cạnh DF nên F E OO' PDF , DF  ADF O' OO' P ADF . M A B Tương tự, OO' là đường trung bình của N tam giác ACE ứng với cạnh CE nên O D OO' PCE , CE  CBE OO' P BCE . C I b) Trong ABCD , gọi I AN CD AN BN AN 1 Do AB PCD nên . AI BD AI 3 AM 1 AN AM Lại có MN PIE . Mà I CD IE  CDEF MN P CDEF . AE 3 AI AE Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho 1 AM AD . 3 a) Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N . Chứng minh NG P SCD . b) Chứng minh MG P SCD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  25. Lời giải: IN BJ AM 1 IG 1 a) Ta có , IC BC AD 3 IS 3 S IN IG NG PSC , IC IS mà SC  SCD E C D NG P SCD . G J M N A I B b) Gọi E là giao điểm của IM và CD IM AM 1 IM IG Ta có IE AD 3 IE IS MG PSE, SE  SCD GM P SCD . Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: Pd d     d' Pd, M d' M   Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là hai điểm thuộc cạnh AB và CD , là mặt phẳng qua MN và song song với SA . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  26. a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi . b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang. Lời giải: a) Ta có M  SAB PSA SAB  MQ PSA,Q SB . SA  SAB S Trong ABCD gọi I AC  MN I MN  I  SAC Q P I AC  SAC A D I SAC  M I N PSA Vậy B C SA  SAC SAC  IP PSA,P SC Từ đó ta có  SBC PQ,  SAD NP . Thiết diện là tứ giác MNPQ . b) Tứ giác MNPQ là một hình thang khi MN PPQ hoặc MQ PNP . Trường hợp 1: MQ PNP Nếu MQ PNP thì ta có SA PNP MQ PSA Mà NP  SCD SA P SCD (vô lí). Trường hợp 2: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  27. Nếu MN PPQ thì ta có các mặt phẳng ABCD , , SBC đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là MN,BC,PQ nên MN PBC . MN  Đảo lại nếu MN PBC thì BC  SBC PQ  SBC MN PPQ nên tứ giác MNPQ là hình thang. Vậy để tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN PBC . Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều. Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M song song với SA và SB . a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi . b) Tính diện tích thiết diện theo a và x . Lời giải: a) Ta có M  SBC PSB  SBC MN PSB, SB  SBC S N SAC  N SC .Tương tự PSA P N SA  SAC SAC  NI PSA,I AC A B Q I M Trong ABCD gọi Q MI  AD , thì ta có C D – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  28. Q SAD  PSA SAD  QP PSA,P SD . SA  SAD Thiết diện là tứ giác MNPQ . CM CN b) Do MN PSB = 1 CB CS CI CN CM CI Lại có IN PSA 2 . Từ 1 và 2 suy ra IM P AB CA CS CB CA Mà AB PCD IM PCD . Ba mặt phẳng , ABCD và SCD đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là MQ,CD,NP với MQ PCD MQ PNP . Vậy MNPQ là hình thang. MN CM DQ PQ Ta có , mà SB CB DA SA P x N SA SB a MN PQ . Do đó MNPQ là a-x hình thang cân. a-x MN CM a x Q x M Từ MN a x , I J SA CB a PN SN BM IM CM PN BM x , IM CM a x DC SC BC AB CB Gọi J là trung điểm của IM thì 2 2 2 2 a x 3 NJ MN MJ a x a x 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  29. 1 1 3 3 2 2 SMNPQ NJ MQ NP . a x a x a x . 2 2 2 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 31.Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; G1 ,G2 tương ứng là trọng tâm các tam giác SAB,SBC . a) Chứng minh AC P SMN . b) G1G2 P SAC . c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABC và BG1G2 . 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA,SB, AD SM SN PD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho . SA SB AD a) Chứng minh MN P ABCD . b) SD P MNP . c) NP P SCD . 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua O , song song với AB và SC . 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua M , song song với BD và SA . 35. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N là hai điểm bất kì trên hai cạnh SB và CD , là mặt phẳng đi qua MN và song song với SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  30. 36. Cho tứ diện ABCD . Gọi O,O' lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để BC AB AC a) OO' P BCD là . BD AB AD b) OO' P CBD và OO' P ACD là BC BD và AC AD . 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của SC ; là mặt phẳng qua AM và song song với BD . a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . b) Gọi E,F lần lượt là giao điểm của với các cạnh SB,SD . Tính các tỉ số S S SME ; SMF . S SBC S SCD c) Gọi K ME CB, J MF CD . Chứng minh A,K, J nằm trên một đường thẳng song song với EF . 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác SCD và SAB . a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : ABM và SCD ; SMN và ABC . b) Chứng minh MN P ABC . c) Gọi d là giao tuyến của SCD và ABM còn I, J lần lượt là các giao điểm của d với SD,SC . Chứng minh IN P ABC . d) Tìm các giao điểm P,Q của MC với SAB , AN với SCD . Chứng minh S,P,Q thẳng hàng. 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . M là một điểm di động trên cạnh SC , là mặt phẳng qua AM và song song với BD . a) Chứng minh luôn chứa một đường thẳng cố định. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  31. SB SD SC b) Tìm các giao điểm H,K của với SB,SD . Chứng minh có giá trị SH SK SM không đổi. b) Thiết diện của hình chóp với có thể là hình thang được không? 40. Cho tứ diện ABCD có AB CD a,BC AD b, AC BD c với. Một mặt phẳng song song với hai đường thẳng AB và CD cắt các cạnh của của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Tính diện tích của thiết diện. 41. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . M và P là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC , sao cho MA PC x, 0 x a . Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện. a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất. 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng thay đổi đi qua AB và cắt SC,SD tại M,N . a) Tứ giác ABMN là hình gì? b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN luôn thuộc một đường thẳng cố định. c) Chứng minh giao điểm K của AN và BM luôn thuộc một đường thẳng cố định và AB BC không đổi. MN SK 43. Cho hình lăng trụ ABC.A' B'C' . Gọi I là trung điểm của cạnh B'C' . a) Chứng minh AB' P A' IC . b) M là một điểm thuộc cạnh A'C', AM  A'C P,B' M  A' I Q . Chứng minh 2 PQ P AB' . Tìm vị trí của M để S S . A'PQ 9 A'CI 44. Cho hình lăng trụ ABC.A' B'C'. I,G,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , ACC' và A' B'C' .Chứng minh – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  32. a) IG P ABC' . b) GK P BB'C'C . 45. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . I là trung điểm của cạnh AC , J là điểm tuộc cạnh AD sao cho AJ 2JD . M là một điểm di động trong tam giác BCD sao cho MIJ P AB . a) Tìm tập hợp điểm M . b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi MIJ . Lời giải: 31. MN P AC S a) Ta có MN P SAC . AC  SAC b) G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SBC nên G1 G2 A SG SG 2 M B 1 2 G G PMN mà SM SN 3 1 2 d N MN P AC G1G2 P AC . D C G1G2 P AC Vậy G1G2 P SAC . AC  SAC B ABC  BG G 1 2 NM  ABC c) Ta có G1G2  BG1G2 MN PG1G2 ABC  BG1G2 d PMN PG1G2 ,B d . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  33. SM SN 32. a) Ta có MN P AB SA SB S MN P AB Vậy MN P ABCD . AB  ABCD M N SM PD b) Tương tự SD PMP R SA AD A B mà MP  MNP SD / MNP . P Q c) Kẻ NR PBC,R SC , kẻ RQ PSB,Q BC C D thì ta có SN SR SR BQ 1 và 2 , SB SC SC BC SN PD mặt khác 3 . SB AD Từ 1 , 2 , 3 ta có BQ PD BQ PD . BC AD Lại có NR BQ NR PD NR PBQ Thêm nữa NR PPD nên PD PBQ PDRN là hình bình hành, từ đó ta có NP PDR DR P SCD . DR  SCD 33. Gọi P là mặt phẳng qua O và song song với S AB và SC M N Q D – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mớiA nhất O B P C
  34. O P  SAC Ta có SC  SAC SC P P SAC  P OM PSC,O SA . Tương tự N SAB  P AB  SAB AB P P SAB  P MN P AB,N SB . N P  SBC SC  SBC SBC  P NP PSC, P BC . SC P P Trong ABCD gọi Q PO  AD thì thiết diện là tứ giác MNPQ . 34. Ta có S M  ABCD PBD Q BD  ABCD P  ABCD MN PBD,N AD R A N Tương tự  SAD NP PSA,P SD D E M  SAB MR PSA,R SB B C Gọi E MN  AC thì  SAC EQ PSA,Q SC – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  35. Thiết diện là ngũ giác MNPQR. M  SBC 35. Ta có SC  SBC S SC P T  SBC MP PSC,P BC . Q Tương tự  SCD NQ PSC,Q SD M D Trong ABCD gọi I AC  PN thì A N  SAC IT PSC,T SA I B P C Thiết diện là ngũ giác MPNQT . 36. D a) Gọi I AO  BC, J AO' BD ta có AOO'  BCD IJ do đó OO' P BCD OO' PIJ OA O' A 1 . O' OI O' J B C OA AB Mặt khác ta có 2 O OI BI I O' A AB A 3 . Từ 1 , 2 , 3 suy ra O' J BJ BI BJ . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  36. IB AB IB AB Lại có IC AC BC AB AC JB AB JB AB và JD AD BD AB AD AB.BC AB.BD nên IB JB AB AC AB AD BC AB AC 1 . BD AB AD b) Trường hợp OO' P BCD và OO' P ACD D thì ta có BCD  ACD CD OO' P BCD OO' PCD . J OO' P ACD I O' B Vì vậy OO' và CD đồng phẳng. C O Xét ba mặt phẳng ABC , ABD , CDOO' đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là AB,CO,DO' A nên ba giao tuyến này đồng quy.Gọi I là điểm đồng quy này thì I là chân các đường phân giác của các góc C,D trong các tam giác CAB,DAB tương ứng.Theo tính chất đường IA DA IA CA phân giác ta có: và IB DB IB CB DA CA BC AC suy ra 2 DB CB BD AD Kết hợp với đẳng thức 1 ta có – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  37. BC AB AC AC AB AC AC AB = 1( BD AB AD AD AB AD AD AB Tính chất dãy tỉ số bàng nhau). Vậy BC BD, AC AD . 37. a) Gọi O AC  BD,I SO  AM . S Ta có BD P BD  SBD  SBD EF PBD,E SB,F SD,I EF M F I  SBD I D E K C Thiết diện là tứ giác AEMF . O b) Do O, M lần lượt là trung điểm của AC,SC A B nên I là trọng tâm của tam giác IS 2 SAC , mặt khác EF PBD nên J IO 3 SE SF SI 2 . SB SD SO 3 S SM SE 1 2 1 Từ đó ta có SME . . S SBC SC SB 2 3 3 S SM SF 1 Và SMF . . S SCD SC SD 3 c) Dễ thấy K, A, J là điểm chung của hai mặt phẳng ABCD và nên chúng thẳng hàng . Gọi d  ABCD thì BD P d PBD , mà BD  ABCD BD PEF d PEF . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  38. Vậy K, A, J thuộc đường thẳng d song song với EF . 38. a) Ta có M ABM  SCD AB P SCD ABM  SCD IJ P AB PCD, AB  ABM M IJ,I SD, J SC . Gọi E SN  AB,F SM CD EF SMN  ABCD Q S . P b) Do M,N là trọng tâm của các tam giác SCD và SAB nên N H K SM 2 SN 2 SM SN , MN PEF , E B SF 3 SE 3 SF SE A I J EF  ABCD MN P ABCD . M SI SM SN c) Ta có IJ PCD IN PDE, D F C SD SF SE – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  39. DE  ABC MN P ABCD . d) Gọi SAB  SCD P  SAB P CM  P CM P CM  SAB . Tương tự gọi Q AN  thì Q AN  SCD . Ta có S,P,Q thuộc nên chúng thẳng hàng. 39. a) Trong ABCD gọi d là đường thẳng đi qua S A và song song với BD thì d cố định A M K Ta có A d d  . Vậy luôn chứa đường d PBD I H D thẳng d cố định. d A O SB SD SO b) Gọi I AM  HK , thế thì nên C SH SK SI B SB SD 2SO 1 . SH SK SI Gọi N là trung điểm của MC , ta có SC SN NC SN NC SN SO SM SM SM SM 2 1 2 1 2 . SN SN SM SM SI SM SM – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  40. Từ 1 , 2 ta có SB SD SC SO SO 2 2 1 1. SH SK SM SI SI c) Xét các mặt phẳng , SAB , SCD ta thấy  SAB AH,  SCD MK, SAB  SCD d P AB PCD . S Do đó nếu AH PMK AH PMK Pd M AH P AH ( vô lí). I Tương tự , Nếu AK PMH cũng dẫn đến vô lí. Vậy N thiết diện không thể là hình thang. A O C 40. Giả sử căt các cạnh AC,CB,BD,DA theo thứ tự tại M,N,P,Q thì MNPQ là hình bình hành. Ta có MN P AB PPQ và MQ / /CD / /NP MN CN CN.AB a A Do đó MN CN AB CB CB b c NP BN CD.BN a Tương tự NP BN . a Q CD BC BC b M b Để MNPQ là hình thoi ta phải có B c MN NP CN BN hay N là trung điểm của P D BC . Từ dó ta suy ra được M,P,Q cũng là trung N b a điểm của các cạnh AC,BD, AD . C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  41. 2 2 2 BA2 BC 2 AC 2 2 a b c Ta có BM 2 . 2 4 4 Tương tự 2 a2 b2 c2 DM 2 BM DM MP  DB, do 4 đó 2 2 2 2 a b c c2 a2 b2 c2 MP2 BM 2 BP2 4 4 2 a2 c2 b2 Tương tự ta tính được NQ2 . 2 1 2 2 2 2 2 2 Vậy SMNPQ MP.NQ a b c a c b 2 41. a) Ta có A M  ACD CD  ACD  ACD MN PCD,N AC M N CD P Tương tự  BCD PQ PCD,Q BD . D B Q Thiết diện là tứ giác MNPQ . P MN PCD C Vì MN PPQ nên MNPQ là hình thang. PQ PCD Dễ thấy DQ CP x , DM a x , Áp dụng định lí cô sin cho tam giác DMQ ta có MQ2 DM 2 DQ2 2DM.DQcos600 2 1 MQ2 x2 a x 2x a x 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  42. 3x2 3ax a2 MQ 3x2 3ax a2 . Tương tự ta cũng tính được NP 3x2 3ax a2 MP NQ . Vậy MNPQ là hình thăng cân. Dễ thấy MN x,PQ a x , đường cao hình thang 1 h 8x2 8ax 3a2 . 2 1 1 1 S [a (a x)]. 8x2 8ax 3a2 a 8x2 8ax 3a2 MNPQ 2 2 2 . b) Ta có 2 2 1 2 2 1 a 2 a SMNPQ a 8x 8ax 3a a 8 x a 2 2 2 2 a2 a Vậy minS x . MNPQ 2 2 42. AB PCD a) Ta có AB P SCD . CD  SCD S K AB P SCD Do đó AB  MN P AB , N  SCD MN hay ABMN là hình thang. I M A D I AM  SAC  b) Ta có I AM BN . O I BN  SBD B C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  43. Gọi O AC  BD SO SAC  SBD , thế thì I SO cố định. c) Lập luận tương tự câu b) ta được K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . AB BM Vì MN / /AB MN MK BC MB Tương tự SK PBC suy ra SK MK AB BC 0 không đổi. MN SK 43. a) Gọi J AC' A'C thì IJ là đường trung bình của tam giác C' B' A nên IJ P AB' . IJ  A' IC Vậy AB'/ / A' IC . AB' PIJ A' M N C' AB' P A' IC P Q I b) Ta có AB'  MA' B PQ P A' B . MA' B  A' IC PQ B' J A' M Đặt x 0 x 1 . A A'C' C S A' P.A'Q Ta có A'PQ B SA'IC A'C.A' I A' P A' M Do A' M P AC nên x . Gọi N là trung A'C AC – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  44. điểm của AC' thì ta có A'Q A' M A' M A' M A' I A' N A'C' NC' 1 A'C' C' M 2 A' M 2 A' M 2A' M 2x A'C' 1 A'C' A' M A' M 1 x A'C' A'C' A' M 1 2 A'C' S 2x2 A'PQ . SA'IC 1 x Do đó S 2 2x2 2 1 37 A'PQ 9x2 x 1 0 x . SA'IC 9 1 x 9 18 2 Vậy để S S thì M nằm trên A'C' sao cho A'PQ 9 A'CI 1 37 A' M A'C' . 18 44. a) Gọi M là trung điểm của cạnh AC thì IM 1 MG 1 và . IB 3 MC' 3 B B' IM MG Do đó IG PBC' IB MC' I A N K Vậy IG PBC'  ABC' A' M IG P ABC' . C G C' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  45. b) Dễ thấy C,G, A' thẳng hàng và A'G C'G AC P A'C' 2 GC GM Gọi N là trung điểm của B'C' Ta có K là trọng tâm của A' B'C' nên A'K A'G A'K 2 GK PCN . A' N GC A' N Vậy GK PCN  BCC' B' GK P BCC' B' . I IJM  ABC A 45. a) Ta có AB  ABC AB P IJM IJM  ABC IE P AB,E BC . I J Tương tự IJM  ABD JF P AB,F BD B D F Từ đó ta thấy EF MIJ  BCD mà M E M MIJ  BCD M EF . C Vậy tập hợp điểm M là đoạn EF . IE P AB b) Do nên thiết diện IEFJ là hình JF P AB thang. a a Dễ thấy JF ,IE . Áp dụng định lí 3 2 Côsin ta có IJ 2 AI 2 AJ 2 2AIAJ cos600 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  46. a2 4a2 a 2a 1 13a2 2. . . . 4 9 2 3 2 36 13a2 Tương tự ta cũng có IE2 , do đó 36 IEFJ là hình thang cân và không khó khăn gì ta có thể tính được diện tích thiết diện là a2 5 51 S . 144 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất