›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)

docx 55 trang nhungbui22 3241
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chuong_1_phuong_trinh_bac.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)

  1. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Cĩ dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c (1) sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b Đặt: sin , cos 0, 2 a2 b2 a2 b2 c phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x a2 b2 c cos(x ) cos  (2) a2 b2 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: c 1 a2 b2 c2. a2 b2 (2) x  k2 (k Z) Lưu ý: 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 6 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) . 2 2 4 Cách 2: x a) Xét x k2 k cĩ là nghiệm hay khơng? 2 2 x b) Xét x k2 cos 0. 2 x 2t 1 t2 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 t2 1 t2 (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì x k2 b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
  2. Lượng giác – ĐS và GT 11 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 b2 c2. 3) Bất đẳng thức B. C. S: y a.sin x b.cos x a2 b2 . sin2 x cos2 x a2 b2 sin x cos x a min y a2 b2 và max y a2 b2 tan x a b b Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x A. sin2 x cos x 1 0 . B. sin 2x cos x 0 . C. 2cos x 3sin x 1. D. 2cos x 3sin 3x 1. Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào cĩ nghiệm: A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . C. cos2 x cos x 6 0 . D. 3sin x 4cos x 5 . Câu 3: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 3 . 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 4: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: 1 A. cos x . B. 3 sin x cos x 1. 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 6 . Câu 5: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. 2sin x cos x 3 . B. tan x 1. C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 6: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm. 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 1. 4 C. 3 sin 2x cos 2x 4 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm? 1 1 A. 3 sin x 2 B. cos 4x 4 2 C. 2sin x 3cos x 1 D. cot2 x cot x 5 0 Câu 8: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm? A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Câu 9: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 B. cosx 3sinx 1 C. 3 sin 2x cos 2x 2 D. 2sinx 3cosx 1 Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào cĩ nghiệm:. A. sin x 2cos x 3 . B. 2 sin x cos x 2 . C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 3. Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 . B. 2 sin x cos x 1. C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 2 .
  3. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm: 1 1 A. 3 sin x 2. B. cos 4x . 4 2 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0 . Câu 13: Phương trình nào dưới đây vơ nghiệm? A. cos3x 3 sin 3x 2. B. cos3x 3 sin 3x 2 . C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 3 3 3 Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 6 4 Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 3 6 Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 3 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 12 12 4 4 2 5 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 4 4 Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x 0 là: A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k . 6 3 6 3 Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. Vơ nghiệm. C. x k . D. x k . 6 6 2 Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là : x k2 x k2 4 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. . x k2 4 2 x k2 4 Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 5 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 6 6 6 Câu 22: Phương trình 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 cĩ các nghiệm là x k2 x k2 4 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 x k2 6 3
  4. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 6 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k2 x k2 9 12 Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 3 5 A. x k2 , x k2 ,k ¢ . B. x k2 , x k2 ,k ¢ . 4 4 12 12 2 5 C. x k2 , x k2 ,k ¢ . D. x k2 , x k2 ,k ¢ . 3 3 4 4 Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 2 6 3 x k ,k ¢ . 6 2 Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin x cos x 1. x k2 A. x k2 ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 2 x k2 4 C. x k2 ,k ¢ . D. ,k ¢ . 4 x k2 4 Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 1 3 Câu 27: Phương trình sin x cos x 1 cĩ nghiệm là 2 2 5 5 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k Z . 6 6 C. x k2 ,k Z . D. x k2 ,k Z . 6 6 Câu 28: Phương trình 3cos x 2 | sin x | 2 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 6 4 2 Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m 1)sin x cos x 5 cĩ nghiệm. m 1 A. 3 m 1. B. 0 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 3 Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos x m cĩ nghiệm: A. 2 m 2 . B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2 .
  5. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 . Để phương trình cĩ nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1. 2 2 4 4 m Câu 33: Tìm m để pt sin 2x cos2 x cĩ nghiệm là 2 A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . C. 1 5 m 1 5 . D. 0 m 2 . Câu 34: Điều kiện cĩ nghiệm của pt asin 5x bcos5x c là A. a2 b2 c2 . B. a2 b2 c2 . C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vơ nghiệm là m 6 A. m 6 . B. . C. m 6 . D. 6 m 6 . m 6 Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 cĩ nghiệm là m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vơ nghiệm. m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vơ nghiệm. m 8 A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8 . m 8 Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 cĩ nghiệm A. m 13 . B. m 12 . C. m 24 . D. m 24 . Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vơ nghiệm. m 4 A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4 . m 4 Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) cĩ nghiệm x ; . 2 2 A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1 m 3 D. 1 m 3 Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 cĩ nghiệm. A. m 12 B. m 6 C. m 24 D. m 3 Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. . B. m 4 . C. m 34 . D. 4 m 4 . m 4 Câu 45: Để phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm, ta chọn: A. 1 m 1. B. 0 m 2 . C. m tùy ý. D. 2 m 2 . Câu 46: Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 3 4 4 3 A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 4 3 3 4
  6. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 47: Cho phương trình 4sin x (m 1)cos x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình cĩ nghiêm: 17 17 17 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Câu 48: Phương trình3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi A. 5 m 5 A. m 5 hoặc m –5 C. m 5 D. m –5 Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinx m 1 cosx 5. Định m để phương trình vơ nghiệm. A. 3 m 5 B. m 5 C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 Câu 50: Cho phương trình msin x 1 3m cos x m 2. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 1 1 A. m 3 B. m 3 3 C. Khơng cĩ giá trị nào của m D. m 3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. m 0 m 0 4 4 A. 0 m . B. 4 . C. 0 m . D. 4 . 3 m 3 m 3 3 Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm: A. m 12 . B. m 6 . C. m 24 . D. m 3 . Câu 53: Cho phương trình sin x 3 cos x 2m . Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 3 3 A. ; 1 1; . B. ; 1  1; . C.  1;1 . D. m ¡ .
  7. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 2 Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x 6cos x 13 . A. Vơ nghiệm. B. x k , k ¢ . C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin5x cĩ nghiệm là x k x k 4 2 12 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k x k 6 3 24 3 x k x k 16 2 18 2 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 8 3 9 3 Câu 3: Phương trình 2sin2 x 3 sin 2x 3 cĩ nghiệm là 2 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 3 3 5 x k ,k ¢ . 3 Câu 4: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x cĩ các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Câu 5: Phương trình: 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x cĩ các nghiệm là: 2 2 2  x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 54 9 A. . B. . C. . D. 7 2 7 2 7 2 2 x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 18 9 3 1 .Câu 6: Phương trình 8cos x cĩ nghiệm là: sin x cos x x k x k x k x k 16 2 12 2 8 2 9 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 x k x k x k x k 3 3 6 3 Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 cĩ nghiệm là x k2 6 3 A. x k2 ,k ¢ . B. (k Z) . 6 3 5 x k2 66 11 5 C. x k2 ,k ¢ . D. khác 66 11
  8. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 x x Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2 cĩ nghiệm là: 2 2 x k x k2 6 6 A. k Z B. k Z x k x k2 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k ,k ¢ 6 2 2 Câu 9: Phương trình: 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 5 5 x k x k x k x k 8 4 4 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7 x k x k x k x k 24 12 16 24 2 Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 Câu 11: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 6 3 2 Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 x k x k 8 4 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 5 x k x k 24 12 5 5 x k x k 4 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 5 7 x k x k 16 24 1 1 2 Câu 13: Giải phương trình sin 2x cos 2x sin4x A. x k , x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 C. Vơ nghiệm. D. x k , k ¢ . 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2x 0 Điều kiện: sin 4x 0 . cos 2x 0
  9. Lượng giác – ĐS và GT 11 Phương trình đề bài sin 2x cos 2x 1. Suy ra: sin 2x cos 2x 2 1 sin 4x 0 (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
  10. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH Câu 1: Phương trình 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 tương đương với phương trình. A. cosx cosx cos3x 0 . B. cosx cosx cos2x 0 . C. sinx cosx cos2x 0 . D. cosx cosx cos2x 0 . Câu 2: Phương trình sin 3x 4sin x.cos 2x 0 cĩ các nghiệm là: x k2 x k A. , k,n ¢ . B. , k,n ¢ . x n x n 3 6 2 x k x k 2 3 C. , k,n ¢ . D. , k,n ¢ . 2 x n x n 4 3 69 2 Câu 3: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x 1 4sin x 0 là: 14 10 A. 40 . B. 34 . C. 41 . D. 46 . Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x 1 cos x sin2 x là: 5 A. x B. x C. x D. x 6 6 12 Câu 5: [1D1-2] Nghiệm của pt cos2 x sin x cos x 0 là: A. x k ; x k B. x k 4 2 2 5 7 C. x k D. x k ; x k 2 6 6 Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin xcos x 0 là: 3 A. x B. x C. x D. x 4 4 3 Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 Câu 8: Giải phương trình sin 2x cos 3x 1. 2π A. x k2π,k ¢ B. x k ,k ¢ 5 π C. x π kπ,k ¢ D. x kπ  x k ,k ¢ 5 Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 2 ,k ¢ . B. 4 2 ,k ¢ . x k2 x k 2 x k x k 3 3 6 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 2 4
  11. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 1 0 cĩ nghiệm là: x k x k2 6 6 5 5 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 x k x k2 x k2 x k2 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 6 6 x k2 x k Câu 11: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. 1 . B. . C. . D. 1 . sin x sin x 1 sin x 1 sin x 2 2 Câu 12: Giải phương trìnhsin 2x cot x tan 2x 4cos2 x . A. x k , x k , k ¢ . B. x k , x k2 , k ¢ . 2 6 2 6 C. x k , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 2 3 2 3 Câu 13: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x . A. x k2 , x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k , x k2 , k ¢ . 2 4 2 4 C. x k2 , x k , x k , k ¢ . D. x k , x k , x k , k ¢ . 2 4 2 4 Câu 14: Giải phương trình 1 sin x cos x tan x 0 . A. x k2 , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , x k , k ¢ . 4 4 Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x cos x 0 là : A. k . B. k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4 Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x 1 2sin x 1 A. . B. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 2sin x 1 2sin x 1 C. . D. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Câu 17: Giải phương trình sin3 x cos3 x 2 sin5 x cos5 x . k A. x k , k ¢ . B. x , k ¢ . 4 4 2
  12. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin 3x.cos 2x k k A. x , x k2 , k ¢ . B. x , x k2 , k ¢ . 3 3 2 k C. x , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 2 x 2 2 x Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k (1), x k2 (2), 2 4 2 4 x k2 (3), với k ¢ . Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x cĩ nghiệm là: k 1 3 k k 3 k A. x , x arccos ,k ¢ . B. x , x arccos ,k ¢ . 4 4 12 2 4 48 2 k C. Vơ nghiệm. D. x ,k ¢ . 2 Câu 21:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos2 x là : 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 4 Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 là. A. B. C. D. . 3 12 6 8 Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x cos x sin x sin 2x là? 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 3 3 Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và cĩ giá trị nhỏ nhất thì nhận. Câu 25: Phương trình sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 A. . B. . sin x 1 sin x 1 sin x 0 sin x 0 C. 1 . C. 1 . sin x sin x 2 2 Câu 26: Phương trình sin 3x 4sin x.cos2x 0 cĩ các nghiệm là: 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. . B. . C. . D. . x n x n 2 3 6 x n x n 4 3 Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 Câu 28: Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 cĩ nghiệm là:
  13. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 4 2 Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x cĩ các nghiệm là: x k x k x k x k2 4 2 A. . B. . C. 3 . D. . x k x k2 x k x k 4 3 8 2 4 2 Câu 30: Phương trình: sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x cĩ các nghiệm là: x k x k 2 x k3 3 6 x k A. . B. . C. 3 . D. . x k2 x k x k x k 2 4 cos2x Câu 31: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 1 1 Câu 32: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 4 4 Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x cĩ các nghiệm là: x k x k 12 9 x k x k A. . B. . C. 6 . D. 3 . x k x k x k x k2 4 2 sin x sin 2x sin 3x Câu 34: Phương trình 3 cĩ nghiệm là: cos x cos2x cos3x A. x k . 3 2 B. x k . 6 2 2 C. x k . 3 2 7 5 D. x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ . 6 6 3 Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x là: 5 3 5 A. , . B. , . C. , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Câu 36: Phương trình 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3 cĩ nghiệm là:
  14. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 7 5 4 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 6 3 3 x k x k2 2 x k x k 2 3 1 Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x cĩ nghiệm là: sin 2x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 2 6 3 9 Câu 38: Phương trình: 5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x cĩ các nghiệm là A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 2 2 Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 cĩ nghiệm là A. x . B. x . C. x . D. x . 8 12 3 6 2 2 x 7 Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 4sin cĩ nghiệm là 4 2 2 x k x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 7 7 x k x k2 6 6 x k2 x k 6 6 C. , k ¢ . D. , k ¢ . x k2 x k 6 6 Câu 41: Giải phương trình sin2 x sin2 3x cos2 x cos2 3x k k A. x k2 , k ¢ . B. x , x , k ¢ . 4 4 2 8 4 k k k k C. x , x , k ¢ . D. x , x , k ¢ . 4 2 8 4 4 2 4 2 3 Câu 42: Phương trình: sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x cĩ nghiệm là 2 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 4 cos2 x sin2 x Câu 43: Giải phương trình 4cot 2x . cos6 x sin6 x k A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x . 4 4 4 4 2
  15. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos2 x sin2 x .sin 2x Câu 44: Giải phương trình 8cot 2x . cos6 x sin6 x k k A. x k . B. x . C. x k . D. x . 4 4 2 4 4 2
  16. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP Câu 1: Giải phương trình tan x cot x 2 tan x cot x 2 . A. Cả 3 đáp án. B. x k , k ¢ . 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 4 sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 2: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 , k ¢ . B. x , k ¢ . 2 2 C. x k , k ¢ . D. x k , x k2 , k ¢ . 2 2 Câu 3: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 4: Cho phương trình: 4cos2 x cot 2 x 6 2 3 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. đáp số khác. Câu 5: Phương trình: sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 2 4 2 3 4x Câu 6: Giải phương trình cos cos2 x . 3 x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 . 1 sin x 1 sin x 4 x 0; Câu 7: Giải phương trình 1 sin x 1 sin x 3 với 2 . A. x . B. x . C. x . D. x . 12 4 3 6 2 2 Câu 8: Để phương trình: 2sin x 2cos x m cĩ nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: A. 1 m 2 . B. 2 m 2 2 . C. 2 2 m 3. D. 3 m 4 .
  17. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Cĩ dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c (1) sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b Đặt: sin , cos 0, 2 a2 b2 a2 b2 c phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x a2 b2 c cos(x ) cos  (2) a2 b2 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: c 1 a2 b2 c2. a2 b2 (2) x  k2 (k Z) Lưu ý: 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 6 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) . 2 2 4 Cách 2: x a) Xét x k2 k cĩ là nghiệm hay khơng? 2 2 x b) Xét x k2 cos 0. 2 x 2t 1 t2 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 t2 1 t2 (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì x k2 b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
  18. Lượng giác – ĐS và GT 11 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 b2 c2. 3) Bất đẳng thức B. C. S: y a.sin x b.cos x a2 b2 . sin2 x cos2 x a2 b2 sin x cos x a min y a2 b2 và max y a2 b2 tan x a b b Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x A. sin2 x cos x 1 0 . B. sin 2x cos x 0 . C. 2cos x 3sin x 1. D. 2cos x 3sin 3x 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình asin x bcos x c 1 trong đĩ a,b,c ¡ và a2 b2 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x, cosx . Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào cĩ nghiệm: A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . C. cos2 x cos x 6 0 . D. 3sin x 4cos x 5 . Hướng dẫn giải:: Chọn D . Câu D: 3sin x 4cos x 5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x . Phương trình trên cĩ nghiệm vì 32 42 25 52 . 3 Câu A: 2cos x 3 0 cos x 1 PT vơ nghiệm. 2 10 Câu B: sin 2x 1 PT vơ nghiệm. 3 2 cos x 3 1 Câu C: cos x cos x 6 0 PT vơ nghiệm. cos x 2 1 Câu 3: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 3 . 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn B. PT 3 sin x cos x 3 vơ nghiệm vì khơng thoả ĐK a2 b2 c2 Câu 4: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: 1 A. cos x . B. 3 sin x cos x 1. 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 6 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Câu A cĩ nghiệm vì 1 3 Câu B cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 1 2 Câu C cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 2 2 . Câu D vơ nghiệm vì a2 b2 32 42 25 62 .
  19. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 5: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. 2sin x cos x 3 . B. tan x 1. C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu A vơ nghiệm vì a2 b2 22 12 5 32 . Câu 6: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm. 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 1. 4 C. 3 sin 2x cos 2x 4 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Câu A cĩ nghiệm vì 1 4 Câu B cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 1 2 Câu C vơ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 4 2 . Câu D cĩ nghiệm vì a2 b2 32 42 25 52 . Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm? 1 1 A. 3 sin x 2 B. cos 4x 4 2 C. 2sin x 3cos x 1 D. cot2 x cot x 5 0 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 2 Phương trình 3 sin x 2 sinx , mà 1 nên phương trình vơ nghiệm. 3 3 1 1 Phương trình cos 4x cos 4x 2 nên phương trình vơ nghiệm. 4 2 Phương trình 2sin x 3cos x 1cĩ 22 +33 >1 nên phương trình cĩ nghiệm. 2 2 1 19 Phương trình cot x cot x 5 0 cot t 0 nên phương trình vơ nghiệm. 2 4 Câu 8: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm? A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 2 Ta cĩ: 3 1 4 3 nên phương trình 3 sin x cos x 3 vơ nghiệm. Câu 9: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 B. cosx 3sinx 1 C. 3 sin 2x cos 2x 2 D. 2sinx 3cosx 1 Hướng dẫn giải: Đáp án A sin x cos x (12 ( 1)2 )(sin2 x cos2 x) 2 3 nên phương trình vơ nghiệm cosx 3sinx (12 32 )(sin2 x cos2 x) 10 1 nên phương trình cĩ nghiệm
  20. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 sin 2x cos 2x (( 3)2 ( 1)2 )(sin 2 x cos2 x) 10 2 nên phương trình cĩ nghiệm 2sinx 3cosx (22 32 )(sin2 x cos2 x) 13 1 nên phương trình cĩ nghiệm Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào cĩ nghiệm:. A. sin x 2cos x 3 . B. 2 sin x cos x 2 . C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. Lần lượt thử các đáp án. sin x 2cos x 3 vơ nghiệm vì 12 22 32 nên loại đáp án A. 2 2 sin x cos x 2 vơ nghiệm vì 2 12 22 nên loại đáp án B. 2 2 2 sin x cos x 1 cĩ nghiệm vì 2 12 1 . Vậy chọn C Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 . B. 2 sin x cos x 1. C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Lần lượt thử các đáp án. sin x cos x 3 vơ nghiệm vì 12 12 32 nên chọn đáp án A. Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm: 1 1 A. 3 sin x 2. B. cos 4x . 4 2 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0 . Hướng dẫn giải:: Chọn C . Câu C: 2sin x 3cos x 1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình cĩ nghiệm khi 22 32 12 (đúng). 2 Câu A: 3 sin x 2 sin x 1 PTVN. 3 1 1 Câu B: cos 4x cos 4x 2 1 PTVN. 4 4 Câu D: cot2 x cot x 5 0 vơ nghiệm do 19 0 . Câu 13: Phương trình nào dưới đây vơ nghiệm? A. cos3x 3 sin 3x 2. B. cos3x 3 sin 3x 2 . C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Các phương trình ở đáp án A, B, D để cĩ dạng Acos ax Bsin ax C và A2 B2 C 2 nên các phương trình này đều cĩ nghiệm. 3,14 Phương trình ở đáp án C cĩ dạng sin x m với m 1 nên phương trình này vơ nghiệm. 3 3 Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k ; x k2 . 2 2
  21. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 6 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k2 2 4 4 cos x sin x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 3 x k2 4 4 x k2 k ¢ . x k2 2 Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. x k2 2 4 4 cos x sin x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 5 x k2 4 4 x k2 2 k ¢ . x k2 Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 3 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 12 12 4 4 2 5 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 2 sin x 3 cos x 2 sin x cos x cos .sin x sin .cos x sin 2 2 2 3 3 4 x k2 x k2 3 4 12 sin x sin k ¢ . 3 4 3 5 x k2 x k2 3 4 12 Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x 0 là: A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k . 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 Ta cĩ sin x – 3 cos x 0 sin x – cos x 0 sin x 0 2 2 3
  22. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k x k k ¢ 3 3 Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. Vơ nghiệm. C. x k . D. x k . 6 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 1 cos x 3 sin x 0 sin x cos x 0 sin(x ) 0 x k , k ¢ . 2 2 6 6 Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 sin x sin 2 , k ¢ . 4 4 x k2 Trên khoảng 0; phương trình cĩ 1 nghiệm là x . 2 Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là : x k2 x k2 4 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. . x k2 4 2 x k2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 sin x sin 2 . 4 4 x k2 Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 5 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 1 2 2 sin x 1 x k2 x k2 , k ¢ . 3 3 2 6 Câu 22: Phương trình 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 cĩ các nghiệm là
  23. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 4 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 x k2 6 3 x k2 x k2 6 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k2 x k2 9 12 Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 3 1 Ta cĩ tan . Chia hai vế PT cho 3 1 được 12 3 1 5 5 5 5 5 5 PT: sin x tan .cos x 1 0 sin x.cos cos x.sin cos 0 sin x cos 12 12 12 12 12 12 5 x k2 x k2 x k2 5 12 12 3 3 sin x sin (k ¢ ) 12 12 5 3 x k2 x k2 x k2 12 12 2 2 Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 3 5 A. x k2 , x k2 ,k ¢ . B. x k2 , x k2 ,k ¢ . 4 4 12 12 2 5 C. x k2 , x k2 ,k ¢ . D. x k2 , x k2 ,k ¢ . 3 3 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 3 2 Chia hai vế PT cho 2 ta được sin x cos x sin x sin 2 2 2 3 4 x k2 x k2 3 4 12 (k ¢ ) 5 x k2 x k2 3 4 12 Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 2 6 3 x k ,k ¢ . 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 Chia hai vế PT cho 2 ta được sin 2x cos 2x 0 sin 2x 0 2x k 2 2 3 3 x k (k ¢ ) 6 2 Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin x cos x 1.
  24. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 A. x k2 ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 2 x k2 4 C. x k2 ,k ¢ . D. ,k ¢ . 4 x k2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Phương trình đã cho tương đương với 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 x k2 4 4 (k ¢ ) x k2 x k2 2 4 4 Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 1 1 1 3 sin 3x cos3x 1 sin 3x cos3x sin 3x 2 2 2 6 2 1 3 Câu 27: Phương trình sin x cos x 1 cĩ nghiệm là 2 2 5 5 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k Z . 6 6 C. x k2 ,k Z . D. x k2 ,k Z . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 sin x cos x 1 sin x 1 sin x 1 2 2 3 3 5 x k2 x k2 (k ¢ ) 3 2 6 Câu 28: Phương trình 3cos x 2 | sin x | 2 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 6 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3cos x 2 | sin x | 2 2 | sin x | 2 3cos x 4sin2 x 4 12cos x 9cos2 x 4 1 cos2 x 4 12cos x 9cos2 x 2 2 cos x cos x 3 3
  25. Lượng giác – ĐS và GT 11 13cos2 x 12cos x 0 cos x 0 2 12 x k k ¢ . cos x cos x (L) 2 3 13 Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m 1)sin x cos x 5 cĩ nghiệm. m 1 A. 3 m 1. B. 0 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi : 2 2 2 2 2 m 1 2 m 1 a b c m 1 1 5 m 1 4 . m 1 2 m 3 Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi : 2 2 2 2 2 m 4 a b c m 9 25 m 16 . m 4 Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos x m cĩ nghiệm: A. 2 m 2 . B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi a2 b2 c2 1 1 m2 m2 2 2 m 2 . Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 . Để phương trình cĩ nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1 (Chuyển PT về dạng asin x bcos x c ) Áp dụng cơng thức hạ bậc cho cos2 x , PT trở thành m2 2 m2 2 cos 2x 4msin 2x 2 0 4msin 2x m2 2 cos 2x m2 4 2 2 ĐK PT cĩ nghiệm 4m 2 m2 2 m2 4 m2 1 m 1 Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG) Ta cĩ cos x 0 khơng là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho cos2 x ta được m2 2 4m tan x 1 tan2 x 0 tan2 x 4m tan x m2 3 0 PT cĩ nghiệm khi 0 4m2 m2 3 0 m2 1 m 1 m Câu 33: Tìm m để pt sin 2x cos2 x cĩ nghiệm là 2 A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . C. 1 5 m 1 5 . D. 0 m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn C.
  26. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos 2x m Áp dụng CT hạ bậc ta được sin 2x 2sin 2x cos 2x m 1 2 2 ĐK PT cĩ nghiệm là 22 12 m 1 2 m 1 5 1 5 m 1 5 Câu 34: Điều kiện cĩ nghiệm của pt asin 5x bcos5x c là A. a2 b2 c2 . B. a2 b2 c2 . C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . Hướng dẫn giải: Chọn C. ĐK PT cĩ nghiệm là a2 b2 c2 Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vơ nghiệm là m 6 A. m 6 . B. . C. m 6 . D. 6 m 6 . m 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a m;b 8;c 10 . Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 m2 64 100 . m2 36 6 m 6 . Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 cĩ nghiệm là m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: a 12;b m;c 13. Phương trình cĩ nghiệm a2 b2 c2 122 m2 132 . 2 m 5 m 25 . m 5 Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vơ nghiệm. m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a m;b 12;c 13. Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 m2 144 169 . m2 25 5 m 5. Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vơ nghiệm. m 8 A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8 . m 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a 6;b m;c 10 . Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 62 m2 102 . m2 64 8 m 8 . Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 cĩ nghiệm A. m 13 . B. m 12 . C. m 24 . D. m 24 . Hướng dẫn giải: Chọn B.
  27. Lượng giác – ĐS và GT 11 Ta cĩ: a 5;b m;c m 1. Phương trình cĩ nghiệm a2 b2 c2 52 m2 m 1 2 . 25 m2 m2 2m 1 24 2m m 12 Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vơ nghiệm. m 4 A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4 . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình đã cho vơ nghiệm khi và chỉ khi 32 m2 52 4 m 4 Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 m 4 Phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm m 3 5 m 16 m 4 Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) cĩ nghiệm x ; . 2 2 A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1 m 3 D. 1 m 3 Hướng dẫn giải: Đáp án D m(1 cosx) 1 2sin x Vì: x ; nên 1 cosx 0 do đĩ: 2 2 x x 1 4sin cos 1 2sin x 1 x x m m 2 2 m (tan2 1) 2 tan 1 cosx 2cos2 x 2 2 2 x x 2m tan2 4 tan 1 2 2 x x x Cách 1: 2m tan2 4 tan 1 2m (2 tan )2 3 2 2 2 x x x x Vì x ; nên 1 tan 1 1 2 tan 3 1 (2 tan )2 9 2 (2 tan )2 3 6 2 2 2 2 2 2 Vậy: 2 2m 6 1 m 3 Cách 2: x 2 Đặt: t tan ta cĩ x ; thì t  1;1 khi đĩ ta cĩ: 2m t 4 t 1 với t  1;1 2 2 2 P(t) t2 4 t 1 (P) Do (P) là parabol cĩ hệ số a 0 và đỉnh I(2; 3) nên (P) đi xuơng trên  1;1 do đĩ đường thẳng y 2m cắt (P) với t  1;1 khi: P( 1) 2m P(1) 2 2m 6 1 m 3 Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 cĩ nghiệm. A. m 12 B. m 6 C. m 24 D. m 3 Hướng dẫn giải: Đáp án A Phương trình: msinx 5cosx m 1 là phương trình dạng asinx bcosx c với a m,b 5,c m 1
  28. Lượng giác – ĐS và GT 11 Nên phương trình cĩ nghiệm khi: a2 b2 c2 m2 52 (m 1)2 m 12 Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. . B. m 4 . C. m 34 . D. 4 m 4 . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 2 2 m 4 m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm m 3 5 m 16 0 m 4 Câu 45: Để phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm, ta chọn: A. 1 m 1. B. 0 m 2 . C. m tùy ý. D. 2 m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 Phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm 1 1 m m 2 0 m 2; 2 Câu 46: Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 3 4 4 3 A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 4 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm m2 12 m 2 2 2 3 3 m 1 m 4m 4 4m 3 m . Vậy m ; 4 4 Câu 47: Cho phương trình 4sin x (m 1)cos x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình cĩ nghiêm: 17 17 17 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Để phương trình cĩ nghiệm thì : 42 m 1 2 m2 16 m2 2m 1 m2 17 2m 0 17 m 2 Câu 48: Phương trình3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi A. 5 m 5 A. m 5 hoặc m –5 C. m 5 D. m –5 Hướng dẫn giải:: Chọn A Ta cĩ: a 3,b 4,c m. Phương trình 3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 2 32 4 m2 m2 25 5 m 5 Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinx m 1 cosx 5. Định m để phương trình vơ nghiệm. A. 3 m 5 B. m 5 C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 Hướng dẫn giải::
  29. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn A Ta cĩ: phương trình 3sinx m 1 cosx 5vơ nghiệm khi và chỉ khi: 2 32 m 1 52 m2 2m 15 0 3 x 5 Câu 50: Cho phương trình msin x 1 3m cos x m 2. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 1 1 A. m 3 B. m 3 3 C. Khơng cĩ giá trị nào của m D. m 3 Hướng dẫn giải:: Chọn C Ta cĩ: phương trình msin x 1 3m cos x m 2cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 2 m2 1 3m m 2 2 m 3 ! . Vậy khơng cĩ giá trị m thỏa ycbt 1 1 m m 3 3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. m 0 m 0 4 4 A. 0 m . B. 4 . C. 0 m . D. 4 . 3 m 3 m 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2sin2 x msin 2x 2m 1 cos 2x msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1 4 2 m Phương trình vơ nghiệm khi m2 12 2m 1 3m2 4m 0 3 m 0 Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm: A. m 12 . B. m 6 . C. m 24 . D. m 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm m2 52 m 1 2 2m 24 0 m 12 . Câu 53: Cho phương trình sin x 3 cos x 2m . Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 3 3 A. ; 1 1; . B. ; 1  1; . C.  1;1 . D. m ¡ . Hướng dẫn giải: Chọn B 2 2 2 Để phương trình sin x 3 cos x 2m cĩ nghiệm khi a b c 3 3 1 3 4m2 m ; 1  1;
  30. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 2 Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x 6cos x 13 . A. Vơ nghiệm. B. x k , k ¢ . C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn A. Lưu ý đối với câu này ta cĩ thể dùng phương pháp thử phương án. Ta cĩ 5sin 2x 6cos2 x 13 5sin 2x 3cos 2x 16 (vơ nghiệm) do 52 ( 3)2 162 . Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin 5x cĩ nghiệm là x k x k 4 2 12 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k x k 6 3 24 3 x k x k 16 2 18 2 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 8 3 9 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Chia hai vế PT cho 2 được sin x cos x sin 5x sin x sin 5x 2 2 4 5x x k2 x k 4 16 2 (k ¢ ) 5x x k2 x k 4 8 3 Câu 3: Phương trình 2sin2 x 3 sin 2x 3 cĩ nghiệm là 2 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 3 3 5 x k ,k ¢ . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 2sin2 x 3 sin 2x 3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x 2 3 1 sin 2x cos 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 2 2 6 6 2x k2 x k ,k ¢ 6 2 3 Câu 4: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x cĩ các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Hướng dẫn giải:
  31. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn A. sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x sin8x 3 cos8x 3 sin 6x cos6x . 1 3 3 1 sin8x cos8x sin 6x cos6x sin 8x sin 6x . 2 2 2 2 3 6 8x 6x k2 x k 3 6 4 , k ¢ . 5 8x 6x k2 x k 3 6 12 7 Câu 5: Phương trình: 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x cĩ các nghiệm là: 2 2 2  x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 54 9 A. . B. . C. . D. 7 2 7 2 7 2 2 x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 18 9 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 1. 1 3 1 sin 9x 3 cos9x 1 sin 9x cos9x sin 9x sin . 2 2 2 3 6 k2 9x k2 9x 3 6 54 9 , k ¢ . 5 k2 9x k2 9x 3 6 18 9 3 1 Câu 6: Phương trình 8cos x cĩ nghiệm là: sin x cos x x k x k x k x k 16 2 12 2 8 2 9 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 x k x k x k x k 3 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B m Điều kiện: sin x.cos x 0 sin 2x 0 x ,m ¢ (1). Phương trình đã cho tương đương: 2 3 cos x sin x 8cos x 4sin 2x.cos x 3 cos x sin x 1 sin 2x 2 2 sin x sin 3x 3 cos x sin x 2sin 3x 3 cos x sin x 3 1 sin 3x cos x sin x sin 3x sin .cos x cos .sin x 2 2 3 3 k 3x x k2 x 3 12 2 sin 3x sin x k ¢ 3 3x x k2 x k 3 3
  32. Lượng giác – ĐS và GT 11 k Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là x ; x k k ¢ . 12 2 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án C đều khơng thỏa 16 8 9 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 12 Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 cĩ nghiệm là x k2 6 3 A. x k2 ,k ¢ . B. (k Z) . 6 3 5 x k2 66 11 5 C. x k2 ,k ¢ . D. khác 66 11 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 sin 4x 3 cos 4x 3 sin 7x cos 7x 1 3 3 1 sin 4x cos 4x sin 7x cos 7x sin 4x sin 7x 2 2 2 2 3 6 k2 4x 7x k2 3x k2 x 3 6 2 6 3 (k ¢ ) 5 5 k2 4x 7x k2 11x k2 x 3 6 6 66 11 2 x x Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2 cĩ nghiệm là: 2 2 x k x k2 6 6 A. k Z B. k Z x k x k2 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k ,k ¢ 6 2 Hướng dẫn giải: Đáp án B 2 x x 2 x x x 2 x sin cos 3cosx = 2 sin 2sin cos cos 3cosx = 2 2 2 2 2 2 2 1 sinx 3cosx = 2 sinx 3cosx = 1 1 3 1 1 sinx cosx = sin sinx cos cosx= 2 2 2 6 6 2 x k2 x k2 6 3 2 cos(x ) cos (k ¢ ) (k ¢ ) 6 3 x k2 x k2 6 3 6
  33. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 Câu 9: Phương trình: 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 5 5 x k x k x k x k 8 4 4 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7 x k x k x k x k 24 12 16 24 Hướng dẫn giải:: Chọn B 2 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 3sin 2x cos 2x 1 3 1 8 8 8 4 4 3 1 3 sin 2x cos 2x sin .sin 2x cos .cos 2x cos . 2 4 2 4 2 3 4 3 4 6 7 3 2x k2 x k 12 6 8 cos 2x cos . ,k ¢ . 4 3 6 7 5 2x k2 x k 12 6 12 2 Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn A 2 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 2sin x cos cos 2x cos3x 1 3 3 3 1 2sin x cos2x cos3x 1 sin x 2sin x.cos2x cos3x 1 2 1 sin x sin x sin 3x cos3x 1 sin 3x 4 2 k2 3x k2 x 4 4 3 3 k2 3x k2 x 4 4 6 3 Câu 11: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x 2 sin 2x 2 2 cos2 x 3 cos2x 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 cos2x 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 2 2 2 2 Ta cĩ: 2 2 1 3 2 nên phương trình vơ nghiệm.
  34. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 x k x k 8 4 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 5 x k x k 24 12 5 5 x k x k 4 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 5 7 x k x k 16 24 Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương trình 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1. 4 4 3 1 3 sin 2x cos 2x sin 2x .cos cos 2x .sin sin 2 4 2 4 2 4 6 4 6 3 5 2x 2k x k 12 3 24 sin 2x sin , k ¢ . 12 3 2 3 2x 2k x k 12 3 8 1 1 2 Câu 13: Giải phương trình sin 2x cos 2x sin4x A. x k , x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 C. Vơ nghiệm. D. x k , k ¢ . 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2x 0 Điều kiện: sin 4x 0 . cos 2x 0 2 Phương trình đề bài sin 2x cos 2x 1. Suy ra: sin 2x cos 2x 1 sin 4x 0 (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
  35. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH Câu 1: Phương trình 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 tương đương với phương trình. A. cosx cosx cos3x 0 . B. cosx cosx cos2x 0 . C. sinx cosx cos2x 0 . D. cosx cosx cos2x 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 1 cosx cos2 x sin2 x cos3x 0 cosx cos3x cos2x 1 0 2cos2xcosx 2cos2 x 0 cosx cos2x cosx 0. Câu 2: Phương trình sin 3x 4sin x.cos 2x 0 cĩ các nghiệm là: x k2 x k A. , k,n ¢ . B. , k,n ¢ . x n x n 3 6 2 x k x k 2 3 C. , k,n ¢ . D. , k,n ¢ . 2 x n x n 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Phương trình sin 3x 2 sin 3x sin x 0 2sin x sin 3x 3 2 sin x 0 2sin x 3sin x 4sin x sin x 4sin x 1 0 2 4sin x 1 x k x k x k 1 , k,n ¢ . cos 2x 2x 2n x n 2 3 6 69 2 Câu 3: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x 1 4sin x 0 là: 14 10 A. 40 . B. 34 . C. 41. D. 46 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: sin 3x 0 2sin 3x. 1 4sin2 x 0 2 1 4sin x 0 k sin 3x 0 3x k x 3 1 ( k,l ¢ ) cos 2x 2x l2 2 3 x l 6 k Nhận xét: Họ nghiệm x , k ¢ và x l , l ¢ khơng cĩ nghiệm nào trùng nhau nên 3 6 69 đếm số nghiệm thuộc ; ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của 14 10 phương trình đề bài cho. Thật vậy:
  36. Lượng giác – ĐS và GT 11 k l 2k 6l 1 : vơ nghiệm với mọi k , l ¢ 3 6 (Chú ý: ta cũng cĩ thể biểu diễn các nghiệm này trên đường trịn lượng giác để thấy các nghiệm này khơng trùng nhau.) Do đĩ: k 69 k 69 3 207 + Với x . Vì x ; nên 0,2 k 20,7 ( k ¢ ) 3 14 10 14 3 10 14 10 Suy ra: k 1;2;3; ;20 . Cĩ 20 giá trị k nên cĩ 20 nghiệm. 69 69 + Với x l . Vì x ; nên l 6 14 10 14 6 10 2 101 0,095 l 6,7 , l ¢ . Suy ra: l 0;1;2;3; ;6. Cĩ 7 giá trị l nên cĩ 7 nghiệm. 21 15 69 69 5 106 + Với x l . Vì x ; nên l 0,238 l 7,06 , 6 14 10 14 6 10 21 15 l ¢ . Suy ra: l 1;2;3; ;7. Cĩ 7 giá trị l nên cĩ 7 nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình là 20 7 7 34 . Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x 1 cos x sin2 x là: 5 A. x B. x C. x D. x 6 6 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ 2sin x cos x 1 cos x sin2 x 2sin x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x x k2 cos x 1 1 cos x 2sin x 1 0 1 x k2 sin x 6 2 5 x k2 6 Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: x . 6 Câu 5: Nghiệm của pt cos2 x sin x cos x 0 là: A. x k ; x k B. x k 4 2 2 5 7 C. x k D. x k ; x k 2 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Ta cĩ cos x sin x cos x 0 cos x cos x sin x 0 2 cos x cos x 0 4 cos x 0 x k x k 2 2 cos x 0 4 x k x k . 4 2 4 Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin x cos x 0 là:
  37. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 A. x B. x C. x D. x 4 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ 2sin x 2 2 sin x cos x 0 sin x 1 2 cos x 0 sin x 0 x k 1 3 cos x x k2 2 4 3 Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: x . 4 Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ phương trình đã cho tương đương với 1 cos 4x 2 sin x 1 3sin x 1 sin 4x.cos x 2 sin x 1 3 6sin x cos 4x sin 4x.cos x sinx 1 3 6sinx sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx 3(1 2sin2 x) 3sinx sin5x cos4x 3cos 2x 3cos x cos 5x cos 4x 2 2 3x x 9x x 3.2.cos( ).cos( ) 2.cos( ).cos( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 x 3x 9x 3 cos 3cos( ) cos( ) 0 2 4 2 4 2 4 x 3 cos( ) 0 x k2 x 3x cos( ).cos3 ( ) 0 2 4 2 . 2 4 2 4 3x cos( ) 0 x k2 2 4 6 3 Vì x ( ; ) nên suy ra x ,x ,x . 2 6 2 2 2 Câu 8: Giải phương trình sin 2x cos 3x 1. 2π A. x k2π,k ¢ B. x k ,k ¢ 5 π C. x π kπ,k ¢ D. x kπ  x k ,k ¢ 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin2 2x cos2 3x 1 cos2 3x cos2 2x 0 cos3x cos2x cos3x cos2x 0
  38. Lượng giác – ĐS và GT 11 5x x 5x x 2sin sin .2cos .cos 0 2 2 2 2 sin5x.sin x 0 k sin5x 0 x 5 k ¢ sin x 0 x k Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 2 ,k ¢ . B. 4 2 ,k ¢ . x k2 x k 2 x k x k 3 3 6 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 2 4 Hướng dẫn giải:: Chọn A . 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 4cos x 2cos 2x 1 cos 4x 4cos x 2cos2 2x 2cos 2x 2cos x cos 2x. cos 2x 1 2cos x cos 2x.2cos2 x cos x 1 cos 2x.cos x 0 2 cos x. 2cos3 x cos x 1 0 cos x. 1 2cos x 1 cos x 0 cos x 0 cos x 0 3 2 2cos x cos x 1 0 cos x 1 2cos x 2cos x 1 0 cos x 0 x k cos x 1 2 ,k ¢ . 2 x k2 2cos x 2cos x 1 0 VN Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 1 0 cĩ nghiệm là: x k x k2 6 6 5 5 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 x k x k2 x k2 x k2 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 6 6 x k2 x k Hướng dẫn giải: Chọn B. 2sin x cos x sin 2x 1 0 2sin x cos x 2sin x cos x 1 0
  39. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 6 cos x 1 5 cos x 1 1 2sin x 0 1 x k2 sin x 6 2 x k2 Câu 11: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. 1 . B. . C. . D. 1 . sin x sin x 1 sin x 1 sin x 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x 1 sin3x cos 2x 1 sin 3x sin x 2sin2 x sin x 0 sin x 0  sin x 2 Câu 12: Giải phương trìnhsin 2x cot x tan 2x 4cos2 x . A. x k , x k , k ¢ . B. x k , x k2 , k ¢ . 2 6 2 6 C. x k , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin x 0 Điều kiện: . cos 2x 0 Ta cĩ: sin 2x cot x tan 2x 4cos2 x cos x 2 2sin x cos x cos x 2 sin 2x 4cos x 4cos x sin x.cos 2x sin x.cos 2x 1 cos x 0  cos 2x x k , x k 2 2 6 Câu 13: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x . A. x k2 , x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k , x k2 , k ¢ . 2 4 2 4 C. x k2 , x k , x k , k ¢ . D. x k , x k , x k , k ¢ . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: cos3 x sin3 x cos 2x cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 0 cos x sin x sin x 1 cos x 1 0 2 sin x 0 x k sin x cos x 0 4 4 cos x 1 cos x 1 x k2 sin x 1 sin x 1 x k2 2 Câu 14: Giải phương trình 1 sin x cos x tan x 0 .
  40. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k2 , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , x k , k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: cos x 0 . sin x Ta cĩ: 1 sin x cos x tan x 0 1 sin x cos x 0 cos x x k2 sin x cos x 1 1 cos x 1 0 cos x tan x 1 x k 4 Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x cos x 0 là : A. k . B. k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 1 cos6x Ta cĩ : cos x.sin 3x cos x 0 cos x cos x 0 2 cos x cos6x cos x 2cos x 0 cos x 1 cos6x 0 x k cos x 0 2 k ¢ cos6x 1 k x 6 3 Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x 1 2sin x 1 A. . B. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 2sin x 1 2sin x 1 C. . D. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: x k . cos x Ta cĩ: 2sin x cot x 1 2sin 2x 2sin x 1 4sin x cos x sin x sin x 4sin2 x cos x 2sin2 x cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 1 4sin2 x 0 2sin 1 1 2sin x sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Câu 17: Giải phương trình sin3 x cos3 x 2 sin5 x cos5 x . k A. x k , k ¢ . B. x , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B
  41. Lượng giác – ĐS và GT 11 pt sin3 x 1 2sin2 x cos3 x 2cos2 x 1 0 x k x k cos 2x 0 4 2 4 2 x k 3 3 sin x cos x 4 2 sin x sin x x k 2 4 2 Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin 3x.cos 2x k k A. x , x k2 , k ¢ . B. x , x k2 , k ¢ . 3 3 2 k C. x , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 Hướng dẫn giải: Chọn C cos x 0 Điều kiện: cos 2x 0 k x sin 3x sin 3x 0 3 pt sin 3x.cos 2x 0 2 cos x 1 cos x.cos 2x 1 cos x.cos 2x 0 2 cos 2x 1 k k x x 3 3 k k x x k cos x 1 3 3 x cos x 1 3 2 2 2 cos x 1 x k 2cos2 x 1 1 2 1 1 1 2 x 2 2 x Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k (1), x k2 (2), 2 4 2 4 x k2 (3), với k ¢ . Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). Hướng dẫn giải: Chọn A. ĐK: cos x 0 x k 2 1 cos x 2 2 2 sin x 1 cos x (1 sin x) 1 cos x (*) 0 (1 cos x) 0 2 cos2 x 2 1 sin2 x (1 sin x)(1 cos x)(1 cos x) 1 cos x (1 cos x) 0 (1 cos x) 1 0 (1 sin x)(1 sin x) 1 sin x x k2 1 cos x 0 cos x 1 cos x 1 (thỏa) 1 cos x (1 sin x) 0 cos x sin x 0 1 tan x 0 x k 4 Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x cĩ nghiệm là: k 1 3 k k 3 k A. x , x arccos ,k ¢ . B. x , x arccos ,k ¢ . 4 4 12 2 4 48 2
  42. Lượng giác – ĐS và GT 11 k C. Vơ nghiệm. D. x ,k ¢ . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. PT 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x 2 3 sin 5x cos3x sin 3x cos5x sin 4x 2 3 sin 2x 2sin 2x cos 2x sin 2x 0 2x k k x 2 3 2cos 2x cos 2x 3 1 2 Câu 21:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos2 x là : 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta cĩ :sin x sin 2x cos x 2cos2 x sin x 1 2cos x cos x 1 2cos x 0 sin x cos x 1 2cos x 0 sin x cos x tan x 1 x k 4 k ¢ 1 2 cos x cos x cos 2 2 3 x k2 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 4 Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 là. A. B. C. D. . 3 12 6 8 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 cos2x 1 cos6x Ta cĩ : sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 sin2 2x 2 2 2 cos6x cos2x sin2 2x 1 cos2 2x cos4x cos2x 0 2 k x 6 3 cos3x 0 k cos2x cos4x cos2x 0 2cos3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k ¢ 4 2 cos x 0 x k 2 Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x cos x sin x sin 2x là? 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: 2cos2 x cos x sin x sin 2x cos x 2cos x 1 sin x 2cos x 1 0
  43. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos x x k2 2 3 2cos x 1 cos x sin x 0 , k ¢ cos x 0 x k 4 4 Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và cĩ giá trị nhỏ nhất thì nhận. Câu 25: Phương trình sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 A. . B. . sin x 1 sin x 1 sin x 0 sin x 0 C. 1 . C. 1 . sin x sin x 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x 3sin x 4sin3 x 1 cos2x 1 2sin x 0 sin x 1 1 2sin x 2 cos2x 1 2sin x 0 1 2sin x sin x 1 1 2sin x cos2x 0 sin x 0 2 2 1 2sin x 2sin x sin x 1 1 2sin x 0 1 sin x 2 Câu 26: Phương trình sin 3x 4sin x.cos2x 0 cĩ các nghiệm là: 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. . B. . C. . D. . x n x n 2 3 6 x n x n 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 3x 4sin x.cos2x 0 3sin x 4sin3 x 4sin x 1 2sin2 x 0 sin x 0 sin x 0 x k 3 4sin x sin x 0 1 1 , k,n ¢ 2sin2 x cos2x x n 2 2 6 Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C sin 3x 0 Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 0 Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x 2 cot 2x cot 3x tan 2x cot 3x 2 sin 3x cos2x cos3xsin 2x sin 2xsin 3x cos3x cos2x sin 3xsin 2x cos2xsin 3x
  44. Lượng giác – ĐS và GT 11 2sin x cos x 2sin x.cos2x.sin 3x cos x.sin 2x.sin 3x sin 3x.sin 2x cos2x.sin 3x sin 3x 2sin x.cos2x cos x.sin 2x 0 sin 3x 0 l sin 3x.sin x 1 cos2x 0 sin x 0 n x k2 ,k ¢ . cos2x 1 n Câu 28: Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 1 sin2 x 1 2sin2 x 2sin6 x 0 2sin6 x sin4 x 0 sin4 x 2sin2 x 1 0 sin x 0 x k ,k ¢ . Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x cĩ các nghiệm là: x k x k x k x k2 4 2 A. . B. . C. 3 . D. . x k x k2 x k x k 4 3 8 2 4 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x 4sin x.cos x cos4 x sin4 x sin2 4x 2sin 2x cos2 x sin2 x sin2 4x x k 2 2 sin 4x 0 4 2sin 2x.cos2x sin 4x sin 4x sin 4x 0 k ¢ sin 4x 1 x k 8 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). 3 Kiểm tra giá trị x của đáp án B, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa 4 4 3 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án A thỏa phương trình. 8 Câu 30: Phương trình: sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x cĩ các nghiệm là: x k x k 2 x k3 3 6 x k A. . B. . C. 3 . D. . x k2 x k x k x k 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x sin2 x sin2 2x sin2 3x .
  45. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos2x 1 cos6x sin2 2x cos6x cos2x 2sin2 2x 0 2 2 2cos4x.sin 2x 2sin2 2x 0 2sin2 2x.cos2x sin2 2x 0 . k k sin 2x 0 2x k x x 2 2 2 sin 2x. 2cos2x 1 0 1 2 . cos2x 2x k2 k 2 3 x k x 3 3 cos2x Câu 31: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện: 1 sin 2x 0 2x k2 x k k ¢ . 2 4 cos2x cos x sin x cos x sin x 1 sin 2x cos2x 1 sin 2x cos x sin x cos2 x 2cos xsin x sin2 x cos2x 2 cos x sin x cos x sin x cos2x cos2x. cos x sin x cos2x 0 . cos2x 0 2x k 2 cos2x cos x sin x 1 0 2 cos x 1 4 x k2 4 4 k 3 x x k 4 2 4 x k2 x k2 . x k2 x k2 2 2 1 1 Câu 32: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A cos x 0 k Điều kiện: sin 2x 0 x , k ¢ . sin x 0 2 1 1 1 1 2sin 3x 2cos3x 2 sin 3x cos3x 0 sin x cos x sin x cos x 3 3 cos x sin x 2 3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 0 sin x cos x
  46. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos x sin x 6 cos x sin x 8 cos x sin x 1 sin x cos x 0 sin x cos x cos x sin x 0 1 1 2 6 8 1 sin 2x 0 2 2 sin 2x 3 Giải 1 , 1 2 cos x 0 x k x k 4 4 4 2 Giải 2 , 2 2 4sin 2x 0 2sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 2x k2 x k 2 4 sin 2x 1 1 2x k2 x k . sin 2x 6 12 2 7 7 2x k2 x k 6 12 Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x cĩ các nghiệm là: x k x k 12 9 x k x k A. . B. . C. 6 . D. 3 . x k x k x k x k2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x 2 2 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x 2cos7x.cos x 2cos11x.cosx cos x cos11x cos7x 0 2cos x.sin 9x.sin 2 x 0 x k x k 2 cos x 0 2 x k 9 sin 9x 0 9x k x k 9 sin 2x 0 2x k x k 2 x k 2 sin x sin 2x sin 3x Câu 34: Phương trình 3 cĩ nghiệm là: cos x cos2x cos3x A. x k . 3 2 B. x k . 6 2 2 C. x k . 3 2 7 5 D. x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ . 6 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D
  47. Lượng giác – ĐS và GT 11 Điều kiện cos x cos2x cos3x 0 2cos2x.cos x cos2x 0 x k cos2x 0 4 2 2cos x 1 0 2 x 2k 3 Phương trình sin x sin 2x sin 3x 3 cos x cos2x cos3x 2sin 2x.cos x sin 2x 3 2cos2x.cos x cos2x sin 2x 2cos x 1 3 cos2x 2cos x 1 1 2 2 cos x x 2k x 2k 2cos x 1 0 2 3 3 k ¢ sin 2x 3 cos2x 0 sin 2x 0 2x k x k 3 3 6 2 7 5 So sánh với điều kiện, ta cĩ x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ 6 6 3 2 Chú ý trong họ nghiệm x k . (Với k 1 thì x làm mẫu khơng xác định) 6 2 3 Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x là: 5 3 5 A. , . B. , . C. , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D tan x sin x tan x sin x 3tan x 2 tan x 2 tan2 x sin2 x 3tan x 2 1 2 2 2 2 2 2 sin x 2 1 tan x 2 sin x.tan x tan x 4sin x.tan x tan x cos x 2 x k x k x k tan x 0 1 4sin2 x 1 cos2x 2x k2 x k 2 3 6 5 x 0; x , x 6 6 5 Thử lại, ta nhận x . (Tại x thì tan x sin x 0 ) 6 6 Câu 36: Phương trình 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3 cĩ nghiệm là: x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 7 5 4 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 6 3 3 x k x k2 2 x k x k 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3
  48. Lượng giác – ĐS và GT 11 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 1 sin2 x 3 0 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 4sin2 x 0 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 0 x k2 6 1 sin x 7 2sin x 1 3cos4x 3 0 2 x k2 , k ¢ 6 cos4x 1 x k 2 1 Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x cĩ nghiệm là: sin 2x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 2 6 3 9 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện sin 2x 0 x k , k ¢ 2 1 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x 2sin x cos2x 1 2sin 2x 4sin 2 x cos2x 2sin2 2x 1 cos x sin 2x sin 2x 4sin 2 x 1 2sin2 x 2sin2 2x 1 2sin 2 x 8sin2 x cos2 x 0 sin x 0 sin2 x 1 4cos2 x 0 2 1 4cos x 0 Do điều kiện nên 1 2 1 2 1 cos2x 0 cos2x 2x k2 x k , k ¢ 2 3 3 Câu 38: Phương trình: 5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x cĩ các nghiệm là A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A Cách 1: Ta cĩ: sin 3x 3sin x 4sin3 x ; cos3x 4cos3 x 3cos x Phương trình tương đương: 8 sin x cos x 4 sin3 x cos3 x 2 2 2 sin 2x 8 sin x cos x 4 sin x cos x 1 sin x cos x 2 2 2 sin 2x 4 sin x cos x 1 sin x cos x 4 2 1 sin x cos x
  49. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 sin 2x 1 sin 2x 2 vn 1 sin x cos x 0 2 x k2 , k ¢ sin x cos x 2 sin x 1 4 2 sin x 2 4 4 Cách 2: Phương trình tương đương 5 2 sin x 2 sin 3x 2 2 2 sin 2x 4 4 5sin x sin 3x 2 2 sin 2x 4 4 Đặt u x . Khi đĩ, phương trình trở thành: 4 5sin u sin 3u 4 2cos 2u 4sin3 u 4sin2 u 2sin u 2 0 sin u 1 sin x 1 x k2 k ¢ . 4 4 Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 cĩ nghiệm là A. x . B. x . C. x . D. x . 8 12 3 6 Hướng dẫn giải:: Chọn D 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 1 2 2 2 cos6x cos 2x 1 cos 4x 0 2cos 4x cos 2x 2cos2 2x 0 x k 4 cos 2x 0 x k , ( k ¢ ). cos 4x cos 2x 6 3 x k 2 2 2 x 7 Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 4sin cĩ nghiệm là 4 2 2 x k x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 7 7 x k x k2 6 6 x k2 x k 6 6 C. , k ¢ . D. , k ¢ . x k2 x k 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 cos 4x 7 1 1 sin x.cos 4x 2 1 sin x cos 4x sin x 2 sin x 2 2 2 2
  50. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 1 1 6 sin x cos 4x 2 0 sin x , k ¢ 2 2 7 x k2 6 Câu 41: Giải phương trình sin2 x sin2 3x cos2 x cos2 3x k k A. x k2 , k ¢ . B. x , x , k ¢ . 4 4 2 8 4 k k k k C. x , x , k ¢ . D. x , x , k ¢ . 4 2 8 4 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình sin2 x cos2 x cos2 3x sin2 3x cos6x cos 2x 0 2cos 4x.cos 2x 0 k 4x k x cos 4x 0 2 8 4 , k ¢ cos 2x 0 k 2x k x 2 4 2 3 Câu 42: Phương trình: sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x cĩ nghiệm là 2 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 3 sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x 2 3 sin12 x 1 2sin2 x cos12 x 1 2cos3 x cos2x 2 12 12 3 12 12 3 sin x.cos 2x cos x.cos 2x cos2x cos 2x sin x cos x 0 2 2 3 cos 2x 0 vì sin12 x cos12 x sin2 x cos x2 1 x k (k ¢ ) 2 4 2 cos2 x sin2 x Câu 43: [1D1-3]Giải phương trình 4cot 2x . cos6 x sin6 x k A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x . 4 4 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 2x 0 x k Điệu kiện: 6 6 cos x sin x 0 2
  51. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 4 cos 2x cos 2x cos 2x 0 pt 4 2 2 sin 2x 1 x k sin 2x 1 3sin x cos x 4 3sin2 2x sin 2x 4 4 sin 2x L 3 cos2 x sin2 x .sin 2x Câu 44: [1D1-4]Giải phương trình 8cot 2x . cos6 x sin6 x k k A. x k . B. x . C. x k . D. x . 4 4 2 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin 2x 0 x k Điệu kiện: 6 6 cos x sin x 0 2 cos 2x cos 2x.sin 2x 2 2 2 pt 8 2 2 8cos 2x 1 3sin x cos x cos 2xsin 2x sin 2x 1 3sin x cos x cos 2x 0 2 2 cos 2x 8 6sin 2x sin 2x 0 2 8 x k . sin 2x VN 4 2 7
  52. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP tan x cot x 2 tan x cot x 2 Câu 1: Giải phương trình . A. Cả 3 đáp án. B. x k , k ¢ . 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta cĩ thể chọn cách thử nghiệm. k Điều kiện x k ¢ . Đặt t tan x cot x , phương trình đã cho trở thành 2 2 t 1 t t 2 0 . t 2 + Với t 1. Suy ra: tan x cot x 1 tan2 x tan x 1 0 (vơ nghiệm). + Với t 2. Suy ra: tan x cot x 2 tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ 4 . sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 2: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 , k ¢ . B. x , k ¢ . 2 2 C. x k , k ¢ . D. x k , x k2 , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: 4cos2 2x sin2 2x 0 4cos2 2x 1 cos2 2x 0 3cos2 2x 1 0 x ¡ 2 2 4 2 2 4 sin10 x cos10 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x PT 4 4 1 sin2 2x sin2 2x 2 2 2 2 2 sin10 x cos10 x sin x cos x 3sin x cos x 4 4 3sin2 2x 3 2 10 10 1 sin 2x 10 10 2 sin x cos x sin x cos x 4 3sin 2x 4 4 4 3sin2 2x 4 4 4 3sin2 2x sin10 x cos10 x 1 sin10 x cos10 x sin2 x cos2 x sin2 x 1 sin8 x cos2 x 1 cos8 x 0 (*) sin x 0 2 8 2 8 sin x 1 sin x 0x ¡ sin x 1 sin x 0 sin x 1 k Vì nên (*) x 2 8 2 8 cos x 0 2 cos x 1 cos x 0x ¡ cos x 1 cos x 0 cos x 1
  53. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 3: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D Ta cĩ : 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x 4cos2 x 4cos x 1 cot2 x 2cot x 1 4 0 2 2 2cos x 1 cot x 1 4 0 2 2 2 2 Do 2cos x 1 0 x ¡ , cot x 1 0 x ¡ 2cos x 1 cot x 1 4 0 x ¡ Câu 4: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 3 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. đáp số khác. Hướng dẫn giải: Chọn C Ta cĩ : 4cos2 x cot2 x 6 2 3 2cos x cot x 4cos2 x 4 3 cos x 3 cot2 x 2 3 cot x 3 0 2 2 2 cos x 3 cot x 3 0 x k2 2cos x 3 0 6 x l2 l ¢ 6 cot x 3 0 x k 6 1 11 Vì x 0;2 0 l2 2 l l 0 6 12 12 Câu 5: Phương trình: sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 2 4 2 3 Hướng dẫn giải:: Chọn D sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 sin 3x.cos x 2sin2 3x cos3x cos3x.sin x 2cos2 3x 0 . sin 3x.cos x cos3x.sin x cos3x 2 sin2 3x cos2 3x 0 . sin 4x cos3x 2 . 1 sin 4x 1 Do , nên sin 4x cos3x 2 . 1 cos3x 1 k x sin 4x 1 4x k2 8 2 Dấu " " xảy ra 2 , k,l ¢ . cos3x 1 l2 3x l2 x 3 k l2 3 12k 3 12k Ta cĩ k,l ¢ l vơ lý do l ¢ . 8 2 3 16 16 Nên phương trình đã cho vơ nghiệm.
  54. Lượng giác – ĐS và GT 11 4x Câu 6: Giải phương trình cos cos2 x . 3 x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 4x 4x 1 cos2x 2x 2x cos cos2 x cos 2cos2. 1 cos3. 3 3 2 3 3 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2 2cos2 1 1 4cos3 3cos 4cos3 4cos2 3cos 3 0 3 3 3 3 3 3 2x k2 2x 3 x k3 cos 1 3 2x k2 x k3 . 2x 3 3 6 4 cos 2x 5 5 3 2 k2 x k3 3 6 4 1 sin x 1 sin x 4 x 0; Câu 7: Giải phương trình 1 sin x 1 sin x 3 với 2 . A. x . B. x . C. x . D. x . 12 4 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 sin x 1 sin x 4 2 4 3 pt cos x x k . 1 sin2 x 3 cos x 3 2 12 Do x 0; nên x . 2 12 2 2 Câu 8: Để phương trình: 2sin x 2cos x m cĩ nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: A. 1 m 2 . B. 2 m 2 2 . C. 2 2 m 3. D. 3 m 4 . Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 x 1 sin2 x sin2 x 2 Phương trình tương đương 2 2 m 2 2 m 2sin x 2 Đặt t 2sin x , t 1;2 do 0 sin2 x 1. 2 2 Xét hàm f (t)= t + , t Ỵ [1;2]Þ f ¢(t)= 1- ; f ¢(t)= 0 Û t = 2 t t2 Bảng biến thiên t 1 2 2 f ¢(t) 0
  55. Lượng giác – ĐS và GT 11 f (t) 3 3 2 2 Vậy phương trình f (t)= m cĩ nghiệm Û 2 2 £ m £ 3.