›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)

docx 55 trang nhungbui22 12/08/2022 3001
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chuong_1_phuong_trinh_bac.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc nhất với sin và cosin (Có đáp án)

  1. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Cĩ dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c (1) sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b Đặt: sin , cos 0, 2 a2 b2 a2 b2 c phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x a2 b2 c cos(x ) cos  (2) a2 b2 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: c 1 a2 b2 c2. a2 b2 (2) x  k2 (k Z) Lưu ý: 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 6 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) . 2 2 4 Cách 2: x a) Xét x k2 k cĩ là nghiệm hay khơng? 2 2 x b) Xét x k2 cos 0. 2 x 2t 1 t2 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 t2 1 t2 (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì x k2 b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
  2. Lượng giác – ĐS và GT 11 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 b2 c2. 3) Bất đẳng thức B. C. S: y a.sin x b.cos x a2 b2 . sin2 x cos2 x a2 b2 sin x cos x a min y a2 b2 và max y a2 b2 tan x a b b Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x A. sin2 x cos x 1 0 . B. sin 2x cos x 0 . C. 2cos x 3sin x 1. D. 2cos x 3sin 3x 1. Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào cĩ nghiệm: A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . C. cos2 x cos x 6 0 . D. 3sin x 4cos x 5 . Câu 3: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 3 . 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 4: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: 1 A. cos x . B. 3 sin x cos x 1. 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 6 . Câu 5: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. 2sin x cos x 3 . B. tan x 1. C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 6: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm. 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 1. 4 C. 3 sin 2x cos 2x 4 . D. 3sin x 4cos x 5. Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm? 1 1 A. 3 sin x 2 B. cos 4x 4 2 C. 2sin x 3cos x 1 D. cot2 x cot x 5 0 Câu 8: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm? A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Câu 9: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 B. cosx 3sinx 1 C. 3 sin 2x cos 2x 2 D. 2sinx 3cosx 1 Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào cĩ nghiệm:. A. sin x 2cos x 3 . B. 2 sin x cos x 2 . C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 3. Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 . B. 2 sin x cos x 1. C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 2 .
  3. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm: 1 1 A. 3 sin x 2. B. cos 4x . 4 2 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0 . Câu 13: Phương trình nào dưới đây vơ nghiệm? A. cos3x 3 sin 3x 2. B. cos3x 3 sin 3x 2 . C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 3 3 3 Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 6 4 Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 3 6 Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 3 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 12 12 4 4 2 5 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 4 4 Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x 0 là: A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k . 6 3 6 3 Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. Vơ nghiệm. C. x k . D. x k . 6 6 2 Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là : x k2 x k2 4 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. . x k2 4 2 x k2 4 Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 5 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 6 6 6 Câu 22: Phương trình 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 cĩ các nghiệm là x k2 x k2 4 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 x k2 6 3
  4. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 6 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k2 x k2 9 12 Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 3 5 A. x k2 , x k2 ,k ¢ . B. x k2 , x k2 ,k ¢ . 4 4 12 12 2 5 C. x k2 , x k2 ,k ¢ . D. x k2 , x k2 ,k ¢ . 3 3 4 4 Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 2 6 3 x k ,k ¢ . 6 2 Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin x cos x 1. x k2 A. x k2 ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 2 x k2 4 C. x k2 ,k ¢ . D. ,k ¢ . 4 x k2 4 Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 1 3 Câu 27: Phương trình sin x cos x 1 cĩ nghiệm là 2 2 5 5 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k Z . 6 6 C. x k2 ,k Z . D. x k2 ,k Z . 6 6 Câu 28: Phương trình 3cos x 2 | sin x | 2 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 6 4 2 Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m 1)sin x cos x 5 cĩ nghiệm. m 1 A. 3 m 1. B. 0 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 3 Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos x m cĩ nghiệm: A. 2 m 2 . B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2 .
  5. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 . Để phương trình cĩ nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1. 2 2 4 4 m Câu 33: Tìm m để pt sin 2x cos2 x cĩ nghiệm là 2 A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . C. 1 5 m 1 5 . D. 0 m 2 . Câu 34: Điều kiện cĩ nghiệm của pt asin 5x bcos5x c là A. a2 b2 c2 . B. a2 b2 c2 . C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vơ nghiệm là m 6 A. m 6 . B. . C. m 6 . D. 6 m 6 . m 6 Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 cĩ nghiệm là m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vơ nghiệm. m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vơ nghiệm. m 8 A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8 . m 8 Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 cĩ nghiệm A. m 13 . B. m 12 . C. m 24 . D. m 24 . Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vơ nghiệm. m 4 A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4 . m 4 Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) cĩ nghiệm x ; . 2 2 A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1 m 3 D. 1 m 3 Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 cĩ nghiệm. A. m 12 B. m 6 C. m 24 D. m 3 Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. . B. m 4 . C. m 34 . D. 4 m 4 . m 4 Câu 45: Để phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm, ta chọn: A. 1 m 1. B. 0 m 2 . C. m tùy ý. D. 2 m 2 . Câu 46: Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 3 4 4 3 A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 4 3 3 4
  6. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 47: Cho phương trình 4sin x (m 1)cos x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình cĩ nghiêm: 17 17 17 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Câu 48: Phương trình3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi A. 5 m 5 A. m 5 hoặc m –5 C. m 5 D. m –5 Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinx m 1 cosx 5. Định m để phương trình vơ nghiệm. A. 3 m 5 B. m 5 C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 Câu 50: Cho phương trình msin x 1 3m cos x m 2. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 1 1 A. m 3 B. m 3 3 C. Khơng cĩ giá trị nào của m D. m 3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. m 0 m 0 4 4 A. 0 m . B. 4 . C. 0 m . D. 4 . 3 m 3 m 3 3 Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm: A. m 12 . B. m 6 . C. m 24 . D. m 3 . Câu 53: Cho phương trình sin x 3 cos x 2m . Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 3 3 A. ; 1 1; . B. ; 1  1; . C.  1;1 . D. m ¡ .
  7. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 2 Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x 6cos x 13 . A. Vơ nghiệm. B. x k , k ¢ . C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin5x cĩ nghiệm là x k x k 4 2 12 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k x k 6 3 24 3 x k x k 16 2 18 2 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 8 3 9 3 Câu 3: Phương trình 2sin2 x 3 sin 2x 3 cĩ nghiệm là 2 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 3 3 5 x k ,k ¢ . 3 Câu 4: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x cĩ các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Câu 5: Phương trình: 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x cĩ các nghiệm là: 2 2 2  x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 54 9 A. . B. . C. . D. 7 2 7 2 7 2 2 x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 18 9 3 1 .Câu 6: Phương trình 8cos x cĩ nghiệm là: sin x cos x x k x k x k x k 16 2 12 2 8 2 9 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 x k x k x k x k 3 3 6 3 Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 cĩ nghiệm là x k2 6 3 A. x k2 ,k ¢ . B. (k Z) . 6 3 5 x k2 66 11 5 C. x k2 ,k ¢ . D. khác 66 11
  8. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 x x Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2 cĩ nghiệm là: 2 2 x k x k2 6 6 A. k Z B. k Z x k x k2 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k ,k ¢ 6 2 2 Câu 9: Phương trình: 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 5 5 x k x k x k x k 8 4 4 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7 x k x k x k x k 24 12 16 24 2 Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 Câu 11: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 6 3 2 Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 x k x k 8 4 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 5 x k x k 24 12 5 5 x k x k 4 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 5 7 x k x k 16 24 1 1 2 Câu 13: Giải phương trình sin 2x cos 2x sin4x A. x k , x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 C. Vơ nghiệm. D. x k , k ¢ . 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2x 0 Điều kiện: sin 4x 0 . cos 2x 0
  9. Lượng giác – ĐS và GT 11 Phương trình đề bài sin 2x cos 2x 1. Suy ra: sin 2x cos 2x 2 1 sin 4x 0 (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
  10. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH Câu 1: Phương trình 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 tương đương với phương trình. A. cosx cosx cos3x 0 . B. cosx cosx cos2x 0 . C. sinx cosx cos2x 0 . D. cosx cosx cos2x 0 . Câu 2: Phương trình sin 3x 4sin x.cos 2x 0 cĩ các nghiệm là: x k2 x k A. , k,n ¢ . B. , k,n ¢ . x n x n 3 6 2 x k x k 2 3 C. , k,n ¢ . D. , k,n ¢ . 2 x n x n 4 3 69 2 Câu 3: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x 1 4sin x 0 là: 14 10 A. 40 . B. 34 . C. 41 . D. 46 . Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x 1 cos x sin2 x là: 5 A. x B. x C. x D. x 6 6 12 Câu 5: [1D1-2] Nghiệm của pt cos2 x sin x cos x 0 là: A. x k ; x k B. x k 4 2 2 5 7 C. x k D. x k ; x k 2 6 6 Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin xcos x 0 là: 3 A. x B. x C. x D. x 4 4 3 Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 Câu 8: Giải phương trình sin 2x cos 3x 1. 2π A. x k2π,k ¢ B. x k ,k ¢ 5 π C. x π kπ,k ¢ D. x kπ  x k ,k ¢ 5 Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 2 ,k ¢ . B. 4 2 ,k ¢ . x k2 x k 2 x k x k 3 3 6 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 2 4
  11. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 1 0 cĩ nghiệm là: x k x k2 6 6 5 5 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 x k x k2 x k2 x k2 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 6 6 x k2 x k Câu 11: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. 1 . B. . C. . D. 1 . sin x sin x 1 sin x 1 sin x 2 2 Câu 12: Giải phương trìnhsin 2x cot x tan 2x 4cos2 x . A. x k , x k , k ¢ . B. x k , x k2 , k ¢ . 2 6 2 6 C. x k , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 2 3 2 3 Câu 13: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x . A. x k2 , x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k , x k2 , k ¢ . 2 4 2 4 C. x k2 , x k , x k , k ¢ . D. x k , x k , x k , k ¢ . 2 4 2 4 Câu 14: Giải phương trình 1 sin x cos x tan x 0 . A. x k2 , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , x k , k ¢ . 4 4 Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x cos x 0 là : A. k . B. k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4 Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x 1 2sin x 1 A. . B. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 2sin x 1 2sin x 1 C. . D. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Câu 17: Giải phương trình sin3 x cos3 x 2 sin5 x cos5 x . k A. x k , k ¢ . B. x , k ¢ . 4 4 2
  12. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin 3x.cos 2x k k A. x , x k2 , k ¢ . B. x , x k2 , k ¢ . 3 3 2 k C. x , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 2 x 2 2 x Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k (1), x k2 (2), 2 4 2 4 x k2 (3), với k ¢ . Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x cĩ nghiệm là: k 1 3 k k 3 k A. x , x arccos ,k ¢ . B. x , x arccos ,k ¢ . 4 4 12 2 4 48 2 k C. Vơ nghiệm. D. x ,k ¢ . 2 Câu 21:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos2 x là : 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 4 Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 là. A. B. C. D. . 3 12 6 8 Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x cos x sin x sin 2x là? 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 3 3 Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và cĩ giá trị nhỏ nhất thì nhận. Câu 25: Phương trình sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 A. . B. . sin x 1 sin x 1 sin x 0 sin x 0 C. 1 . C. 1 . sin x sin x 2 2 Câu 26: Phương trình sin 3x 4sin x.cos2x 0 cĩ các nghiệm là: 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. . B. . C. . D. . x n x n 2 3 6 x n x n 4 3 Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 Câu 28: Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 cĩ nghiệm là:
  13. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 4 2 Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x cĩ các nghiệm là: x k x k x k x k2 4 2 A. . B. . C. 3 . D. . x k x k2 x k x k 4 3 8 2 4 2 Câu 30: Phương trình: sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x cĩ các nghiệm là: x k x k 2 x k3 3 6 x k A. . B. . C. 3 . D. . x k2 x k x k x k 2 4 cos2x Câu 31: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 1 1 Câu 32: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 4 4 Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x cĩ các nghiệm là: x k x k 12 9 x k x k A. . B. . C. 6 . D. 3 . x k x k x k x k2 4 2 sin x sin 2x sin 3x Câu 34: Phương trình 3 cĩ nghiệm là: cos x cos2x cos3x A. x k . 3 2 B. x k . 6 2 2 C. x k . 3 2 7 5 D. x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ . 6 6 3 Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x là: 5 3 5 A. , . B. , . C. , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Câu 36: Phương trình 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3 cĩ nghiệm là:
  14. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 7 5 4 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 6 3 3 x k x k2 2 x k x k 2 3 1 Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x cĩ nghiệm là: sin 2x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 2 6 3 9 Câu 38: Phương trình: 5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x cĩ các nghiệm là A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 2 2 Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 cĩ nghiệm là A. x . B. x . C. x . D. x . 8 12 3 6 2 2 x 7 Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 4sin cĩ nghiệm là 4 2 2 x k x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 7 7 x k x k2 6 6 x k2 x k 6 6 C. , k ¢ . D. , k ¢ . x k2 x k 6 6 Câu 41: Giải phương trình sin2 x sin2 3x cos2 x cos2 3x k k A. x k2 , k ¢ . B. x , x , k ¢ . 4 4 2 8 4 k k k k C. x , x , k ¢ . D. x , x , k ¢ . 4 2 8 4 4 2 4 2 3 Câu 42: Phương trình: sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x cĩ nghiệm là 2 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 4 cos2 x sin2 x Câu 43: Giải phương trình 4cot 2x . cos6 x sin6 x k A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x . 4 4 4 4 2
  15. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos2 x sin2 x .sin 2x Câu 44: Giải phương trình 8cot 2x . cos6 x sin6 x k k A. x k . B. x . C. x k . D. x . 4 4 2 4 4 2
  16. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP Câu 1: Giải phương trình tan x cot x 2 tan x cot x 2 . A. Cả 3 đáp án. B. x k , k ¢ . 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 4 sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 2: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 , k ¢ . B. x , k ¢ . 2 2 C. x k , k ¢ . D. x k , x k2 , k ¢ . 2 2 Câu 3: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 4: Cho phương trình: 4cos2 x cot 2 x 6 2 3 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. đáp số khác. Câu 5: Phương trình: sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 2 4 2 3 4x Câu 6: Giải phương trình cos cos2 x . 3 x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 . 1 sin x 1 sin x 4 x 0; Câu 7: Giải phương trình 1 sin x 1 sin x 3 với 2 . A. x . B. x . C. x . D. x . 12 4 3 6 2 2 Câu 8: Để phương trình: 2sin x 2cos x m cĩ nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: A. 1 m 2 . B. 2 m 2 2 . C. 2 2 m 3. D. 3 m 4 .
  17. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Cĩ dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c (1) sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b Đặt: sin , cos 0, 2 a2 b2 a2 b2 c phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x a2 b2 c cos(x ) cos  (2) a2 b2 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: c 1 a2 b2 c2. a2 b2 (2) x  k2 (k Z) Lưu ý: 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 6 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) . 2 2 4 Cách 2: x a) Xét x k2 k cĩ là nghiệm hay khơng? 2 2 x b) Xét x k2 cos 0. 2 x 2t 1 t2 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 t2 1 t2 (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì x k2 b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
  18. Lượng giác – ĐS và GT 11 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 b2 c2. 3) Bất đẳng thức B. C. S: y a.sin x b.cos x a2 b2 . sin2 x cos2 x a2 b2 sin x cos x a min y a2 b2 và max y a2 b2 tan x a b b Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x A. sin2 x cos x 1 0 . B. sin 2x cos x 0 . C. 2cos x 3sin x 1. D. 2cos x 3sin 3x 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình asin x bcos x c 1 trong đĩ a,b,c ¡ và a2 b2 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x, cosx . Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào cĩ nghiệm: A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . C. cos2 x cos x 6 0 . D. 3sin x 4cos x 5 . Hướng dẫn giải:: Chọn D . Câu D: 3sin x 4cos x 5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x . Phương trình trên cĩ nghiệm vì 32 42 25 52 . 3 Câu A: 2cos x 3 0 cos x 1 PT vơ nghiệm. 2 10 Câu B: sin 2x 1 PT vơ nghiệm. 3 2 cos x 3 1 Câu C: cos x cos x 6 0 PT vơ nghiệm. cos x 2 1 Câu 3: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 3 . 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn B. PT 3 sin x cos x 3 vơ nghiệm vì khơng thoả ĐK a2 b2 c2 Câu 4: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: 1 A. cos x . B. 3 sin x cos x 1. 3 C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 6 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Câu A cĩ nghiệm vì 1 3 Câu B cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 1 2 Câu C cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 2 2 . Câu D vơ nghiệm vì a2 b2 32 42 25 62 .
  19. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 5: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. 2sin x cos x 3 . B. tan x 1. C. 3 sin 2x cos 2x 2 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu A vơ nghiệm vì a2 b2 22 12 5 32 . Câu 6: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm. 1 A. sin x . B. 3 sin x cos x 1. 4 C. 3 sin 2x cos 2x 4 . D. 3sin x 4cos x 5. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Câu A cĩ nghiệm vì 1 4 Câu B cĩ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 1 2 Câu C vơ nghiệm vì a2 b2 3 1 4 4 2 . Câu D cĩ nghiệm vì a2 b2 32 42 25 52 . Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm? 1 1 A. 3 sin x 2 B. cos 4x 4 2 C. 2sin x 3cos x 1 D. cot2 x cot x 5 0 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 2 Phương trình 3 sin x 2 sinx , mà 1 nên phương trình vơ nghiệm. 3 3 1 1 Phương trình cos 4x cos 4x 2 nên phương trình vơ nghiệm. 4 2 Phương trình 2sin x 3cos x 1cĩ 22 +33 >1 nên phương trình cĩ nghiệm. 2 2 1 19 Phương trình cot x cot x 5 0 cot t 0 nên phương trình vơ nghiệm. 2 4 Câu 8: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm? A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 2 Ta cĩ: 3 1 4 3 nên phương trình 3 sin x cos x 3 vơ nghiệm. Câu 9: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 B. cosx 3sinx 1 C. 3 sin 2x cos 2x 2 D. 2sinx 3cosx 1 Hướng dẫn giải: Đáp án A sin x cos x (12 ( 1)2 )(sin2 x cos2 x) 2 3 nên phương trình vơ nghiệm cosx 3sinx (12 32 )(sin2 x cos2 x) 10 1 nên phương trình cĩ nghiệm
  20. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 sin 2x cos 2x (( 3)2 ( 1)2 )(sin 2 x cos2 x) 10 2 nên phương trình cĩ nghiệm 2sinx 3cosx (22 32 )(sin2 x cos2 x) 13 1 nên phương trình cĩ nghiệm Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào cĩ nghiệm:. A. sin x 2cos x 3 . B. 2 sin x cos x 2 . C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. Lần lượt thử các đáp án. sin x 2cos x 3 vơ nghiệm vì 12 22 32 nên loại đáp án A. 2 2 sin x cos x 2 vơ nghiệm vì 2 12 22 nên loại đáp án B. 2 2 2 sin x cos x 1 cĩ nghiệm vì 2 12 1 . Vậy chọn C Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vơ nghiệm: A. sin x cos x 3 . B. 2 sin x cos x 1. C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Lần lượt thử các đáp án. sin x cos x 3 vơ nghiệm vì 12 12 32 nên chọn đáp án A. Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ nghiệm: 1 1 A. 3 sin x 2. B. cos 4x . 4 2 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0 . Hướng dẫn giải:: Chọn C . Câu C: 2sin x 3cos x 1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình cĩ nghiệm khi 22 32 12 (đúng). 2 Câu A: 3 sin x 2 sin x 1 PTVN. 3 1 1 Câu B: cos 4x cos 4x 2 1 PTVN. 4 4 Câu D: cot2 x cot x 5 0 vơ nghiệm do 19 0 . Câu 13: Phương trình nào dưới đây vơ nghiệm? A. cos3x 3 sin 3x 2. B. cos3x 3 sin 3x 2 . C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Các phương trình ở đáp án A, B, D để cĩ dạng Acos ax Bsin ax C và A2 B2 C 2 nên các phương trình này đều cĩ nghiệm. 3,14 Phương trình ở đáp án C cĩ dạng sin x m với m 1 nên phương trình này vơ nghiệm. 3 3 Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k ; x k2 . 2 2
  21. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 6 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k2 2 4 4 cos x sin x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 3 x k2 4 4 x k2 k ¢ . x k2 2 Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là: A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 2 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k . 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. x k2 2 4 4 cos x sin x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 5 x k2 4 4 x k2 2 k ¢ . x k2 Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 3 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 12 12 4 4 2 5 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 2 sin x 3 cos x 2 sin x cos x cos .sin x sin .cos x sin 2 2 2 3 3 4 x k2 x k2 3 4 12 sin x sin k ¢ . 3 4 3 5 x k2 x k2 3 4 12 Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x 0 là: A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k . 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 Ta cĩ sin x – 3 cos x 0 sin x – cos x 0 sin x 0 2 2 3
  22. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k x k k ¢ 3 3 Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. Vơ nghiệm. C. x k . D. x k . 6 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 1 cos x 3 sin x 0 sin x cos x 0 sin(x ) 0 x k , k ¢ . 2 2 6 6 Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 sin x sin 2 , k ¢ . 4 4 x k2 Trên khoảng 0; phương trình cĩ 1 nghiệm là x . 2 Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là : x k2 x k2 4 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. . x k2 4 2 x k2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 sin x sin 2 . 4 4 x k2 Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 5 5 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 1 2 2 sin x 1 x k2 x k2 , k ¢ . 3 3 2 6 Câu 22: Phương trình 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 cĩ các nghiệm là
  23. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k2 4 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 x k2 6 3 x k2 x k2 6 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k2 x k2 9 12 Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 3 1 Ta cĩ tan . Chia hai vế PT cho 3 1 được 12 3 1 5 5 5 5 5 5 PT: sin x tan .cos x 1 0 sin x.cos cos x.sin cos 0 sin x cos 12 12 12 12 12 12 5 x k2 x k2 x k2 5 12 12 3 3 sin x sin (k ¢ ) 12 12 5 3 x k2 x k2 x k2 12 12 2 2 Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 3 5 A. x k2 , x k2 ,k ¢ . B. x k2 , x k2 ,k ¢ . 4 4 12 12 2 5 C. x k2 , x k2 ,k ¢ . D. x k2 , x k2 ,k ¢ . 3 3 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 3 2 Chia hai vế PT cho 2 ta được sin x cos x sin x sin 2 2 2 3 4 x k2 x k2 3 4 12 (k ¢ ) 5 x k2 x k2 3 4 12 Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 2 6 3 x k ,k ¢ . 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 3 Chia hai vế PT cho 2 ta được sin 2x cos 2x 0 sin 2x 0 2x k 2 2 3 3 x k (k ¢ ) 6 2 Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin x cos x 1.
  24. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 A. x k2 ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k2 2 x k2 4 C. x k2 ,k ¢ . D. ,k ¢ . 4 x k2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Phương trình đã cho tương đương với 2 sin x 1 sin x 4 4 2 x k2 x k2 4 4 (k ¢ ) x k2 x k2 2 4 4 Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 1 1 1 3 sin 3x cos3x 1 sin 3x cos3x sin 3x 2 2 2 6 2 1 3 Câu 27: Phương trình sin x cos x 1 cĩ nghiệm là 2 2 5 5 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k Z . 6 6 C. x k2 ,k Z . D. x k2 ,k Z . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 sin x cos x 1 sin x 1 sin x 1 2 2 3 3 5 x k2 x k2 (k ¢ ) 3 2 6 Câu 28: Phương trình 3cos x 2 | sin x | 2 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 6 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3cos x 2 | sin x | 2 2 | sin x | 2 3cos x 4sin2 x 4 12cos x 9cos2 x 4 1 cos2 x 4 12cos x 9cos2 x 2 2 cos x cos x 3 3
  25. Lượng giác – ĐS và GT 11 13cos2 x 12cos x 0 cos x 0 2 12 x k k ¢ . cos x cos x (L) 2 3 13 Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m 1)sin x cos x 5 cĩ nghiệm. m 1 A. 3 m 1. B. 0 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi : 2 2 2 2 2 m 1 2 m 1 a b c m 1 1 5 m 1 4 . m 1 2 m 3 Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi : 2 2 2 2 2 m 4 a b c m 9 25 m 16 . m 4 Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos x m cĩ nghiệm: A. 2 m 2 . B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi a2 b2 c2 1 1 m2 m2 2 2 m 2 . Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 . Để phương trình cĩ nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1 (Chuyển PT về dạng asin x bcos x c ) Áp dụng cơng thức hạ bậc cho cos2 x , PT trở thành m2 2 m2 2 cos 2x 4msin 2x 2 0 4msin 2x m2 2 cos 2x m2 4 2 2 ĐK PT cĩ nghiệm 4m 2 m2 2 m2 4 m2 1 m 1 Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG) Ta cĩ cos x 0 khơng là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho cos2 x ta được m2 2 4m tan x 1 tan2 x 0 tan2 x 4m tan x m2 3 0 PT cĩ nghiệm khi 0 4m2 m2 3 0 m2 1 m 1 m Câu 33: Tìm m để pt sin 2x cos2 x cĩ nghiệm là 2 A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . C. 1 5 m 1 5 . D. 0 m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn C.
  26. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos 2x m Áp dụng CT hạ bậc ta được sin 2x 2sin 2x cos 2x m 1 2 2 ĐK PT cĩ nghiệm là 22 12 m 1 2 m 1 5 1 5 m 1 5 Câu 34: Điều kiện cĩ nghiệm của pt asin 5x bcos5x c là A. a2 b2 c2 . B. a2 b2 c2 . C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . Hướng dẫn giải: Chọn C. ĐK PT cĩ nghiệm là a2 b2 c2 Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vơ nghiệm là m 6 A. m 6 . B. . C. m 6 . D. 6 m 6 . m 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a m;b 8;c 10 . Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 m2 64 100 . m2 36 6 m 6 . Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 cĩ nghiệm là m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: a 12;b m;c 13. Phương trình cĩ nghiệm a2 b2 c2 122 m2 132 . 2 m 5 m 25 . m 5 Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vơ nghiệm. m 5 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 . m 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a m;b 12;c 13. Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 m2 144 169 . m2 25 5 m 5. Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vơ nghiệm. m 8 A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8 . m 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: a 6;b m;c 10 . Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 62 m2 102 . m2 64 8 m 8 . Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 cĩ nghiệm A. m 13 . B. m 12 . C. m 24 . D. m 24 . Hướng dẫn giải: Chọn B.
  27. Lượng giác – ĐS và GT 11 Ta cĩ: a 5;b m;c m 1. Phương trình cĩ nghiệm a2 b2 c2 52 m2 m 1 2 . 25 m2 m2 2m 1 24 2m m 12 Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vơ nghiệm. m 4 A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4 . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình đã cho vơ nghiệm khi và chỉ khi 32 m2 52 4 m 4 Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là m 4 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 m 4 Phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm m 3 5 m 16 m 4 Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) cĩ nghiệm x ; . 2 2 A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1 m 3 D. 1 m 3 Hướng dẫn giải: Đáp án D m(1 cosx) 1 2sin x Vì: x ; nên 1 cosx 0 do đĩ: 2 2 x x 1 4sin cos 1 2sin x 1 x x m m 2 2 m (tan2 1) 2 tan 1 cosx 2cos2 x 2 2 2 x x 2m tan2 4 tan 1 2 2 x x x Cách 1: 2m tan2 4 tan 1 2m (2 tan )2 3 2 2 2 x x x x Vì x ; nên 1 tan 1 1 2 tan 3 1 (2 tan )2 9 2 (2 tan )2 3 6 2 2 2 2 2 2 Vậy: 2 2m 6 1 m 3 Cách 2: x 2 Đặt: t tan ta cĩ x ; thì t  1;1 khi đĩ ta cĩ: 2m t 4 t 1 với t  1;1 2 2 2 P(t) t2 4 t 1 (P) Do (P) là parabol cĩ hệ số a 0 và đỉnh I(2; 3) nên (P) đi xuơng trên  1;1 do đĩ đường thẳng y 2m cắt (P) với t  1;1 khi: P( 1) 2m P(1) 2 2m 6 1 m 3 Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 cĩ nghiệm. A. m 12 B. m 6 C. m 24 D. m 3 Hướng dẫn giải: Đáp án A Phương trình: msinx 5cosx m 1 là phương trình dạng asinx bcosx c với a m,b 5,c m 1
  28. Lượng giác – ĐS và GT 11 Nên phương trình cĩ nghiệm khi: a2 b2 c2 m2 52 (m 1)2 m 12 Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm là : m 4 A. . B. m 4 . C. m 34 . D. 4 m 4 . m 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 2 2 m 4 m.sin x 3cos x 5 cĩ nghiệm m 3 5 m 16 0 m 4 Câu 45: Để phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm, ta chọn: A. 1 m 1. B. 0 m 2 . C. m tùy ý. D. 2 m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 Phương trình cos x sin x m cĩ nghiệm 1 1 m m 2 0 m 2; 2 Câu 46: Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 3 4 4 3 A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 4 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Phương trình mcos2x sin 2x m 2 cĩ nghiệm m2 12 m 2 2 2 3 3 m 1 m 4m 4 4m 3 m . Vậy m ; 4 4 Câu 47: Cho phương trình 4sin x (m 1)cos x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình cĩ nghiêm: 17 17 17 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Để phương trình cĩ nghiệm thì : 42 m 1 2 m2 16 m2 2m 1 m2 17 2m 0 17 m 2 Câu 48: Phương trình3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi A. 5 m 5 A. m 5 hoặc m –5 C. m 5 D. m –5 Hướng dẫn giải:: Chọn A Ta cĩ: a 3,b 4,c m. Phương trình 3sinx – 4cosx m cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 2 32 4 m2 m2 25 5 m 5 Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinx m 1 cosx 5. Định m để phương trình vơ nghiệm. A. 3 m 5 B. m 5 C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 Hướng dẫn giải::
  29. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn A Ta cĩ: phương trình 3sinx m 1 cosx 5vơ nghiệm khi và chỉ khi: 2 32 m 1 52 m2 2m 15 0 3 x 5 Câu 50: Cho phương trình msin x 1 3m cos x m 2. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 1 1 A. m 3 B. m 3 3 C. Khơng cĩ giá trị nào của m D. m 3 Hướng dẫn giải:: Chọn C Ta cĩ: phương trình msin x 1 3m cos x m 2cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 2 m2 1 3m m 2 2 m 3 ! . Vậy khơng cĩ giá trị m thỏa ycbt 1 1 m m 3 3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. m 0 m 0 4 4 A. 0 m . B. 4 . C. 0 m . D. 4 . 3 m 3 m 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2sin2 x msin 2x 2m 1 cos 2x msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1 4 2 m Phương trình vơ nghiệm khi m2 12 2m 1 3m2 4m 0 3 m 0 Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm: A. m 12 . B. m 6 . C. m 24 . D. m 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Để phương trình msin x 5cos x m 1 cĩ nghiệm m2 52 m 1 2 2m 24 0 m 12 . Câu 53: Cho phương trình sin x 3 cos x 2m . Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 3 3 A. ; 1 1; . B. ; 1  1; . C.  1;1 . D. m ¡ . Hướng dẫn giải: Chọn B 2 2 2 Để phương trình sin x 3 cos x 2m cĩ nghiệm khi a b c 3 3 1 3 4m2 m ; 1  1;
  30. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 2 Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x 6cos x 13 . A. Vơ nghiệm. B. x k , k ¢ . C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn A. Lưu ý đối với câu này ta cĩ thể dùng phương pháp thử phương án. Ta cĩ 5sin 2x 6cos2 x 13 5sin 2x 3cos 2x 16 (vơ nghiệm) do 52 ( 3)2 162 . Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin 5x cĩ nghiệm là x k x k 4 2 12 2 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . x k x k 6 3 24 3 x k x k 16 2 18 2 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 8 3 9 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Chia hai vế PT cho 2 được sin x cos x sin 5x sin x sin 5x 2 2 4 5x x k2 x k 4 16 2 (k ¢ ) 5x x k2 x k 4 8 3 Câu 3: Phương trình 2sin2 x 3 sin 2x 3 cĩ nghiệm là 2 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 3 3 3 5 x k ,k ¢ . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 2sin2 x 3 sin 2x 3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x 2 3 1 sin 2x cos 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 2 2 6 6 2x k2 x k ,k ¢ 6 2 3 Câu 4: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x cĩ các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Hướng dẫn giải:
  31. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn A. sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x sin8x 3 cos8x 3 sin 6x cos6x . 1 3 3 1 sin8x cos8x sin 6x cos6x sin 8x sin 6x . 2 2 2 2 3 6 8x 6x k2 x k 3 6 4 , k ¢ . 5 8x 6x k2 x k 3 6 12 7 Câu 5: Phương trình: 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x cĩ các nghiệm là: 2 2 2  x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 54 9 A. . B. . C. . D. 7 2 7 2 7 2 2 x k x k x k x k 6 9 9 9 12 9 18 9 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 1. 1 3 1 sin 9x 3 cos9x 1 sin 9x cos9x sin 9x sin . 2 2 2 3 6 k2 9x k2 9x 3 6 54 9 , k ¢ . 5 k2 9x k2 9x 3 6 18 9 3 1 Câu 6: Phương trình 8cos x cĩ nghiệm là: sin x cos x x k x k x k x k 16 2 12 2 8 2 9 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 x k x k x k x k 3 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B m Điều kiện: sin x.cos x 0 sin 2x 0 x ,m ¢ (1). Phương trình đã cho tương đương: 2 3 cos x sin x 8cos x 4sin 2x.cos x 3 cos x sin x 1 sin 2x 2 2 sin x sin 3x 3 cos x sin x 2sin 3x 3 cos x sin x 3 1 sin 3x cos x sin x sin 3x sin .cos x cos .sin x 2 2 3 3 k 3x x k2 x 3 12 2 sin 3x sin x k ¢ 3 3x x k2 x k 3 3
  32. Lượng giác – ĐS và GT 11 k Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là x ; x k k ¢ . 12 2 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án C đều khơng thỏa 16 8 9 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 12 Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 cĩ nghiệm là x k2 6 3 A. x k2 ,k ¢ . B. (k Z) . 6 3 5 x k2 66 11 5 C. x k2 ,k ¢ . D. khác 66 11 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 sin 4x 3 cos 4x 3 sin 7x cos 7x 1 3 3 1 sin 4x cos 4x sin 7x cos 7x sin 4x sin 7x 2 2 2 2 3 6 k2 4x 7x k2 3x k2 x 3 6 2 6 3 (k ¢ ) 5 5 k2 4x 7x k2 11x k2 x 3 6 6 66 11 2 x x Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2 cĩ nghiệm là: 2 2 x k x k2 6 6 A. k Z B. k Z x k x k2 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k ,k ¢ 6 2 Hướng dẫn giải: Đáp án B 2 x x 2 x x x 2 x sin cos 3cosx = 2 sin 2sin cos cos 3cosx = 2 2 2 2 2 2 2 1 sinx 3cosx = 2 sinx 3cosx = 1 1 3 1 1 sinx cosx = sin sinx cos cosx= 2 2 2 6 6 2 x k2 x k2 6 3 2 cos(x ) cos (k ¢ ) (k ¢ ) 6 3 x k2 x k2 6 3 6
  33. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 Câu 9: Phương trình: 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 5 5 x k x k x k x k 8 4 4 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7 x k x k x k x k 24 12 16 24 Hướng dẫn giải:: Chọn B 2 2 3sin x cos x 2cos x 3 1 3sin 2x cos 2x 1 3 1 8 8 8 4 4 3 1 3 sin 2x cos 2x sin .sin 2x cos .cos 2x cos . 2 4 2 4 2 3 4 3 4 6 7 3 2x k2 x k 12 6 8 cos 2x cos . ,k ¢ . 4 3 6 7 5 2x k2 x k 12 6 12 2 Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn A 2 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 2sin x cos cos 2x cos3x 1 3 3 3 1 2sin x cos2x cos3x 1 sin x 2sin x.cos2x cos3x 1 2 1 sin x sin x sin 3x cos3x 1 sin 3x 4 2 k2 3x k2 x 4 4 3 3 k2 3x k2 x 4 4 6 3 Câu 11: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x 2 sin 2x 2 2 cos2 x 3 cos2x 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 cos2x 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 2 2 2 2 Ta cĩ: 2 2 1 3 2 nên phương trình vơ nghiệm.
  34. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 3 1 cĩ nghiệm là: 8 8 8 3 3 x k x k 8 4 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 5 x k x k 24 12 5 5 x k x k 4 8 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 5 7 x k x k 16 24 Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương trình 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1. 4 4 3 1 3 sin 2x cos 2x sin 2x .cos cos 2x .sin sin 2 4 2 4 2 4 6 4 6 3 5 2x 2k x k 12 3 24 sin 2x sin , k ¢ . 12 3 2 3 2x 2k x k 12 3 8 1 1 2 Câu 13: Giải phương trình sin 2x cos 2x sin4x A. x k , x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 C. Vơ nghiệm. D. x k , k ¢ . 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2x 0 Điều kiện: sin 4x 0 . cos 2x 0 2 Phương trình đề bài sin 2x cos 2x 1. Suy ra: sin 2x cos 2x 1 sin 4x 0 (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
  35. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH Câu 1: Phương trình 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 tương đương với phương trình. A. cosx cosx cos3x 0 . B. cosx cosx cos2x 0 . C. sinx cosx cos2x 0 . D. cosx cosx cos2x 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 cosx cos2 x cos3x sin2 x 0 1 cosx cos2 x sin2 x cos3x 0 cosx cos3x cos2x 1 0 2cos2xcosx 2cos2 x 0 cosx cos2x cosx 0. Câu 2: Phương trình sin 3x 4sin x.cos 2x 0 cĩ các nghiệm là: x k2 x k A. , k,n ¢ . B. , k,n ¢ . x n x n 3 6 2 x k x k 2 3 C. , k,n ¢ . D. , k,n ¢ . 2 x n x n 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Phương trình sin 3x 2 sin 3x sin x 0 2sin x sin 3x 3 2 sin x 0 2sin x 3sin x 4sin x sin x 4sin x 1 0 2 4sin x 1 x k x k x k 1 , k,n ¢ . cos 2x 2x 2n x n 2 3 6 69 2 Câu 3: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x 1 4sin x 0 là: 14 10 A. 40 . B. 34 . C. 41. D. 46 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: sin 3x 0 2sin 3x. 1 4sin2 x 0 2 1 4sin x 0 k sin 3x 0 3x k x 3 1 ( k,l ¢ ) cos 2x 2x l2 2 3 x l 6 k Nhận xét: Họ nghiệm x , k ¢ và x l , l ¢ khơng cĩ nghiệm nào trùng nhau nên 3 6 69 đếm số nghiệm thuộc ; ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của 14 10 phương trình đề bài cho. Thật vậy:
  36. Lượng giác – ĐS và GT 11 k l 2k 6l 1 : vơ nghiệm với mọi k , l ¢ 3 6 (Chú ý: ta cũng cĩ thể biểu diễn các nghiệm này trên đường trịn lượng giác để thấy các nghiệm này khơng trùng nhau.) Do đĩ: k 69 k 69 3 207 + Với x . Vì x ; nên 0,2 k 20,7 ( k ¢ ) 3 14 10 14 3 10 14 10 Suy ra: k 1;2;3; ;20 . Cĩ 20 giá trị k nên cĩ 20 nghiệm. 69 69 + Với x l . Vì x ; nên l 6 14 10 14 6 10 2 101 0,095 l 6,7 , l ¢ . Suy ra: l 0;1;2;3; ;6. Cĩ 7 giá trị l nên cĩ 7 nghiệm. 21 15 69 69 5 106 + Với x l . Vì x ; nên l 0,238 l 7,06 , 6 14 10 14 6 10 21 15 l ¢ . Suy ra: l 1;2;3; ;7. Cĩ 7 giá trị l nên cĩ 7 nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình là 20 7 7 34 . Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x 1 cos x sin2 x là: 5 A. x B. x C. x D. x 6 6 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ 2sin x cos x 1 cos x sin2 x 2sin x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x x k2 cos x 1 1 cos x 2sin x 1 0 1 x k2 sin x 6 2 5 x k2 6 Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: x . 6 Câu 5: Nghiệm của pt cos2 x sin x cos x 0 là: A. x k ; x k B. x k 4 2 2 5 7 C. x k D. x k ; x k 2 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Ta cĩ cos x sin x cos x 0 cos x cos x sin x 0 2 cos x cos x 0 4 cos x 0 x k x k 2 2 cos x 0 4 x k x k . 4 2 4 Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin x cos x 0 là:
  37. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 A. x B. x C. x D. x 4 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ 2sin x 2 2 sin x cos x 0 sin x 1 2 cos x 0 sin x 0 x k 1 3 cos x x k2 2 4 3 Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: x . 4 Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ phương trình đã cho tương đương với 1 cos 4x 2 sin x 1 3sin x 1 sin 4x.cos x 2 sin x 1 3 6sin x cos 4x sin 4x.cos x sinx 1 3 6sinx sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx 3(1 2sin2 x) 3sinx sin5x cos4x 3cos 2x 3cos x cos 5x cos 4x 2 2 3x x 9x x 3.2.cos( ).cos( ) 2.cos( ).cos( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 x 3x 9x 3 cos 3cos( ) cos( ) 0 2 4 2 4 2 4 x 3 cos( ) 0 x k2 x 3x cos( ).cos3 ( ) 0 2 4 2 . 2 4 2 4 3x cos( ) 0 x k2 2 4 6 3 Vì x ( ; ) nên suy ra x ,x ,x . 2 6 2 2 2 Câu 8: Giải phương trình sin 2x cos 3x 1. 2π A. x k2π,k ¢ B. x k ,k ¢ 5 π C. x π kπ,k ¢ D. x kπ  x k ,k ¢ 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin2 2x cos2 3x 1 cos2 3x cos2 2x 0 cos3x cos2x cos3x cos2x 0
  38. Lượng giác – ĐS và GT 11 5x x 5x x 2sin sin .2cos .cos 0 2 2 2 2 sin5x.sin x 0 k sin5x 0 x 5 k ¢ sin x 0 x k Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 2 ,k ¢ . B. 4 2 ,k ¢ . x k2 x k 2 x k x k 3 3 6 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . x k x k 2 4 Hướng dẫn giải:: Chọn A . 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 4cos x 2cos 2x 1 cos 4x 4cos x 2cos2 2x 2cos 2x 2cos x cos 2x. cos 2x 1 2cos x cos 2x.2cos2 x cos x 1 cos 2x.cos x 0 2 cos x. 2cos3 x cos x 1 0 cos x. 1 2cos x 1 cos x 0 cos x 0 cos x 0 3 2 2cos x cos x 1 0 cos x 1 2cos x 2cos x 1 0 cos x 0 x k cos x 1 2 ,k ¢ . 2 x k2 2cos x 2cos x 1 0 VN Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 1 0 cĩ nghiệm là: x k x k2 6 6 5 5 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 x k x k2 x k2 x k2 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 6 6 x k2 x k Hướng dẫn giải: Chọn B. 2sin x cos x sin 2x 1 0 2sin x cos x 2sin x cos x 1 0
  39. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 6 cos x 1 5 cos x 1 1 2sin x 0 1 x k2 sin x 6 2 x k2 Câu 11: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. 1 . B. . C. . D. 1 . sin x sin x 1 sin x 1 sin x 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x 1 sin3x cos 2x 1 sin 3x sin x 2sin2 x sin x 0 sin x 0  sin x 2 Câu 12: Giải phương trìnhsin 2x cot x tan 2x 4cos2 x . A. x k , x k , k ¢ . B. x k , x k2 , k ¢ . 2 6 2 6 C. x k , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin x 0 Điều kiện: . cos 2x 0 Ta cĩ: sin 2x cot x tan 2x 4cos2 x cos x 2 2sin x cos x cos x 2 sin 2x 4cos x 4cos x sin x.cos 2x sin x.cos 2x 1 cos x 0  cos 2x x k , x k 2 2 6 Câu 13: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x . A. x k2 , x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k , x k2 , k ¢ . 2 4 2 4 C. x k2 , x k , x k , k ¢ . D. x k , x k , x k , k ¢ . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: cos3 x sin3 x cos 2x cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 0 cos x sin x sin x 1 cos x 1 0 2 sin x 0 x k sin x cos x 0 4 4 cos x 1 cos x 1 x k2 sin x 1 sin x 1 x k2 2 Câu 14: Giải phương trình 1 sin x cos x tan x 0 .
  40. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k2 , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , x k , k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: cos x 0 . sin x Ta cĩ: 1 sin x cos x tan x 0 1 sin x cos x 0 cos x x k2 sin x cos x 1 1 cos x 1 0 cos x tan x 1 x k 4 Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x cos x 0 là : A. k . B. k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 1 cos6x Ta cĩ : cos x.sin 3x cos x 0 cos x cos x 0 2 cos x cos6x cos x 2cos x 0 cos x 1 cos6x 0 x k cos x 0 2 k ¢ cos6x 1 k x 6 3 Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x 1 2sin x 1 A. . B. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 2sin x 1 2sin x 1 C. . D. . sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: x k . cos x Ta cĩ: 2sin x cot x 1 2sin 2x 2sin x 1 4sin x cos x sin x sin x 4sin2 x cos x 2sin2 x cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 1 4sin2 x 0 2sin 1 1 2sin x sin x cos x 2sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0 Câu 17: Giải phương trình sin3 x cos3 x 2 sin5 x cos5 x . k A. x k , k ¢ . B. x , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B
  41. Lượng giác – ĐS và GT 11 pt sin3 x 1 2sin2 x cos3 x 2cos2 x 1 0 x k x k cos 2x 0 4 2 4 2 x k 3 3 sin x cos x 4 2 sin x sin x x k 2 4 2 Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin 3x.cos 2x k k A. x , x k2 , k ¢ . B. x , x k2 , k ¢ . 3 3 2 k C. x , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 Hướng dẫn giải: Chọn C cos x 0 Điều kiện: cos 2x 0 k x sin 3x sin 3x 0 3 pt sin 3x.cos 2x 0 2 cos x 1 cos x.cos 2x 1 cos x.cos 2x 0 2 cos 2x 1 k k x x 3 3 k k x x k cos x 1 3 3 x cos x 1 3 2 2 2 cos x 1 x k 2cos2 x 1 1 2 1 1 1 2 x 2 2 x Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k (1), x k2 (2), 2 4 2 4 x k2 (3), với k ¢ . Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). Hướng dẫn giải: Chọn A. ĐK: cos x 0 x k 2 1 cos x 2 2 2 sin x 1 cos x (1 sin x) 1 cos x (*) 0 (1 cos x) 0 2 cos2 x 2 1 sin2 x (1 sin x)(1 cos x)(1 cos x) 1 cos x (1 cos x) 0 (1 cos x) 1 0 (1 sin x)(1 sin x) 1 sin x x k2 1 cos x 0 cos x 1 cos x 1 (thỏa) 1 cos x (1 sin x) 0 cos x sin x 0 1 tan x 0 x k 4 Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x cĩ nghiệm là: k 1 3 k k 3 k A. x , x arccos ,k ¢ . B. x , x arccos ,k ¢ . 4 4 12 2 4 48 2
  42. Lượng giác – ĐS và GT 11 k C. Vơ nghiệm. D. x ,k ¢ . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. PT 2 3 sin 5x cos3x sin 4x 2 3 sin 3x cos5x 2 3 sin 5x cos3x sin 3x cos5x sin 4x 2 3 sin 2x 2sin 2x cos 2x sin 2x 0 2x k k x 2 3 2cos 2x cos 2x 3 1 2 Câu 21:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos2 x là : 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta cĩ :sin x sin 2x cos x 2cos2 x sin x 1 2cos x cos x 1 2cos x 0 sin x cos x 1 2cos x 0 sin x cos x tan x 1 x k 4 k ¢ 1 2 cos x cos x cos 2 2 3 x k2 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 4 Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 là. A. B. C. D. . 3 12 6 8 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 cos2x 1 cos6x Ta cĩ : sin2 x sin2 2x sin2 3x 2 sin2 2x 2 2 2 cos6x cos2x sin2 2x 1 cos2 2x cos4x cos2x 0 2 k x 6 3 cos3x 0 k cos2x cos4x cos2x 0 2cos3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k ¢ 4 2 cos x 0 x k 2 Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x cos x sin x sin 2x là? 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: 2cos2 x cos x sin x sin 2x cos x 2cos x 1 sin x 2cos x 1 0
  43. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos x x k2 2 3 2cos x 1 cos x sin x 0 , k ¢ cos x 0 x k 4 4 Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và cĩ giá trị nhỏ nhất thì nhận. Câu 25: Phương trình sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 A. . B. . sin x 1 sin x 1 sin x 0 sin x 0 C. 1 . C. 1 . sin x sin x 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x 3sin x 4sin3 x 1 cos2x 1 2sin x 0 sin x 1 1 2sin x 2 cos2x 1 2sin x 0 1 2sin x sin x 1 1 2sin x cos2x 0 sin x 0 2 2 1 2sin x 2sin x sin x 1 1 2sin x 0 1 sin x 2 Câu 26: Phương trình sin 3x 4sin x.cos2x 0 cĩ các nghiệm là: 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. . B. . C. . D. . x n x n 2 3 6 x n x n 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 3x 4sin x.cos2x 0 3sin x 4sin3 x 4sin x 1 2sin2 x 0 sin x 0 sin x 0 x k 3 4sin x sin x 0 1 1 , k,n ¢ 2sin2 x cos2x x n 2 2 6 Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C sin 3x 0 Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 0 Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x 2 cot 2x cot 3x tan 2x cot 3x 2 sin 3x cos2x cos3xsin 2x sin 2xsin 3x cos3x cos2x sin 3xsin 2x cos2xsin 3x
  44. Lượng giác – ĐS và GT 11 2sin x cos x 2sin x.cos2x.sin 3x cos x.sin 2x.sin 3x sin 3x.sin 2x cos2x.sin 3x sin 3x 2sin x.cos2x cos x.sin 2x 0 sin 3x 0 l sin 3x.sin x 1 cos2x 0 sin x 0 n x k2 ,k ¢ . cos2x 1 n Câu 28: Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 Phương trình cos4 x cos2x 2sin6 x 0 1 sin2 x 1 2sin2 x 2sin6 x 0 2sin6 x sin4 x 0 sin4 x 2sin2 x 1 0 sin x 0 x k ,k ¢ . Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x cĩ các nghiệm là: x k x k x k x k2 4 2 A. . B. . C. 3 . D. . x k x k2 x k x k 4 3 8 2 4 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A 4cos5 x.sin x 4sin5 x.cos x sin2 4x 4sin x.cos x cos4 x sin4 x sin2 4x 2sin 2x cos2 x sin2 x sin2 4x x k 2 2 sin 4x 0 4 2sin 2x.cos2x sin 4x sin 4x sin 4x 0 k ¢ sin 4x 1 x k 8 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). 3 Kiểm tra giá trị x của đáp án B, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa 4 4 3 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án A thỏa phương trình. 8 Câu 30: Phương trình: sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x cĩ các nghiệm là: x k x k 2 x k3 3 6 x k A. . B. . C. 3 . D. . x k2 x k x k x k 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x sin2 x sin2 2x sin2 3x .
  45. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 cos2x 1 cos6x sin2 2x cos6x cos2x 2sin2 2x 0 2 2 2cos4x.sin 2x 2sin2 2x 0 2sin2 2x.cos2x sin2 2x 0 . k k sin 2x 0 2x k x x 2 2 2 sin 2x. 2cos2x 1 0 1 2 . cos2x 2x k2 k 2 3 x k x 3 3 cos2x Câu 31: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện: 1 sin 2x 0 2x k2 x k k ¢ . 2 4 cos2x cos x sin x cos x sin x 1 sin 2x cos2x 1 sin 2x cos x sin x cos2 x 2cos xsin x sin2 x cos2x 2 cos x sin x cos x sin x cos2x cos2x. cos x sin x cos2x 0 . cos2x 0 2x k 2 cos2x cos x sin x 1 0 2 cos x 1 4 x k2 4 4 k 3 x x k 4 2 4 x k2 x k2 . x k2 x k2 2 2 1 1 Câu 32: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A cos x 0 k Điều kiện: sin 2x 0 x , k ¢ . sin x 0 2 1 1 1 1 2sin 3x 2cos3x 2 sin 3x cos3x 0 sin x cos x sin x cos x 3 3 cos x sin x 2 3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 0 sin x cos x
  46. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos x sin x 6 cos x sin x 8 cos x sin x 1 sin x cos x 0 sin x cos x cos x sin x 0 1 1 2 6 8 1 sin 2x 0 2 2 sin 2x 3 Giải 1 , 1 2 cos x 0 x k x k 4 4 4 2 Giải 2 , 2 2 4sin 2x 0 2sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 2x k2 x k 2 4 sin 2x 1 1 2x k2 x k . sin 2x 6 12 2 7 7 2x k2 x k 6 12 Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x cĩ các nghiệm là: x k x k 12 9 x k x k A. . B. . C. 6 . D. 3 . x k x k x k x k2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x 2 2 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x 2cos7x.cos x 2cos11x.cosx cos x cos11x cos7x 0 2cos x.sin 9x.sin 2 x 0 x k x k 2 cos x 0 2 x k 9 sin 9x 0 9x k x k 9 sin 2x 0 2x k x k 2 x k 2 sin x sin 2x sin 3x Câu 34: Phương trình 3 cĩ nghiệm là: cos x cos2x cos3x A. x k . 3 2 B. x k . 6 2 2 C. x k . 3 2 7 5 D. x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ . 6 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D
  47. Lượng giác – ĐS và GT 11 Điều kiện cos x cos2x cos3x 0 2cos2x.cos x cos2x 0 x k cos2x 0 4 2 2cos x 1 0 2 x 2k 3 Phương trình sin x sin 2x sin 3x 3 cos x cos2x cos3x 2sin 2x.cos x sin 2x 3 2cos2x.cos x cos2x sin 2x 2cos x 1 3 cos2x 2cos x 1 1 2 2 cos x x 2k x 2k 2cos x 1 0 2 3 3 k ¢ sin 2x 3 cos2x 0 sin 2x 0 2x k x k 3 3 6 2 7 5 So sánh với điều kiện, ta cĩ x k2 , x k2 , x k2 , k ¢ 6 6 3 2 Chú ý trong họ nghiệm x k . (Với k 1 thì x làm mẫu khơng xác định) 6 2 3 Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x là: 5 3 5 A. , . B. , . C. , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D tan x sin x tan x sin x 3tan x 2 tan x 2 tan2 x sin2 x 3tan x 2 1 2 2 2 2 2 2 sin x 2 1 tan x 2 sin x.tan x tan x 4sin x.tan x tan x cos x 2 x k x k x k tan x 0 1 4sin2 x 1 cos2x 2x k2 x k 2 3 6 5 x 0; x , x 6 6 5 Thử lại, ta nhận x . (Tại x thì tan x sin x 0 ) 6 6 Câu 36: Phương trình 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3 cĩ nghiệm là: x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 7 5 4 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 6 3 3 x k x k2 2 x k x k 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos2 x 3
  48. Lượng giác – ĐS và GT 11 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 1 sin2 x 3 0 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 4sin2 x 0 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 0 x k2 6 1 sin x 7 2sin x 1 3cos4x 3 0 2 x k2 , k ¢ 6 cos4x 1 x k 2 1 Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x cĩ nghiệm là: sin 2x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 2 6 3 9 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện sin 2x 0 x k , k ¢ 2 1 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x 2sin x cos2x 1 2sin 2x 4sin 2 x cos2x 2sin2 2x 1 cos x sin 2x sin 2x 4sin 2 x 1 2sin2 x 2sin2 2x 1 2sin 2 x 8sin2 x cos2 x 0 sin x 0 sin2 x 1 4cos2 x 0 2 1 4cos x 0 Do điều kiện nên 1 2 1 2 1 cos2x 0 cos2x 2x k2 x k , k ¢ 2 3 3 Câu 38: Phương trình: 5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x cĩ các nghiệm là A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 4 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A Cách 1: Ta cĩ: sin 3x 3sin x 4sin3 x ; cos3x 4cos3 x 3cos x Phương trình tương đương: 8 sin x cos x 4 sin3 x cos3 x 2 2 2 sin 2x 8 sin x cos x 4 sin x cos x 1 sin x cos x 2 2 2 sin 2x 4 sin x cos x 1 sin x cos x 4 2 1 sin x cos x
  49. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 sin 2x 1 sin 2x 2 vn 1 sin x cos x 0 2 x k2 , k ¢ sin x cos x 2 sin x 1 4 2 sin x 2 4 4 Cách 2: Phương trình tương đương 5 2 sin x 2 sin 3x 2 2 2 sin 2x 4 4 5sin x sin 3x 2 2 sin 2x 4 4 Đặt u x . Khi đĩ, phương trình trở thành: 4 5sin u sin 3u 4 2cos 2u 4sin3 u 4sin2 u 2sin u 2 0 sin u 1 sin x 1 x k2 k ¢ . 4 4 Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 cĩ nghiệm là A. x . B. x . C. x . D. x . 8 12 3 6 Hướng dẫn giải:: Chọn D 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 1 2 2 2 cos6x cos 2x 1 cos 4x 0 2cos 4x cos 2x 2cos2 2x 0 x k 4 cos 2x 0 x k , ( k ¢ ). cos 4x cos 2x 6 3 x k 2 2 2 x 7 Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 4sin cĩ nghiệm là 4 2 2 x k x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 7 7 x k x k2 6 6 x k2 x k 6 6 C. , k ¢ . D. , k ¢ . x k2 x k 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 cos 4x 7 1 1 sin x.cos 4x 2 1 sin x cos 4x sin x 2 sin x 2 2 2 2
  50. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 1 1 6 sin x cos 4x 2 0 sin x , k ¢ 2 2 7 x k2 6 Câu 41: Giải phương trình sin2 x sin2 3x cos2 x cos2 3x k k A. x k2 , k ¢ . B. x , x , k ¢ . 4 4 2 8 4 k k k k C. x , x , k ¢ . D. x , x , k ¢ . 4 2 8 4 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình sin2 x cos2 x cos2 3x sin2 3x cos6x cos 2x 0 2cos 4x.cos 2x 0 k 4x k x cos 4x 0 2 8 4 , k ¢ cos 2x 0 k 2x k x 2 4 2 3 Câu 42: Phương trình: sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x cĩ nghiệm là 2 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 2 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 3 sin12 x cos12 x 2(sin14 x cos14 x) cos2x 2 3 sin12 x 1 2sin2 x cos12 x 1 2cos3 x cos2x 2 12 12 3 12 12 3 sin x.cos 2x cos x.cos 2x cos2x cos 2x sin x cos x 0 2 2 3 cos 2x 0 vì sin12 x cos12 x sin2 x cos x2 1 x k (k ¢ ) 2 4 2 cos2 x sin2 x Câu 43: [1D1-3]Giải phương trình 4cot 2x . cos6 x sin6 x k A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x . 4 4 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B sin 2x 0 x k Điệu kiện: 6 6 cos x sin x 0 2
  51. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 4 cos 2x cos 2x cos 2x 0 pt 4 2 2 sin 2x 1 x k sin 2x 1 3sin x cos x 4 3sin2 2x sin 2x 4 4 sin 2x L 3 cos2 x sin2 x .sin 2x Câu 44: [1D1-4]Giải phương trình 8cot 2x . cos6 x sin6 x k k A. x k . B. x . C. x k . D. x . 4 4 2 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin 2x 0 x k Điệu kiện: 6 6 cos x sin x 0 2 cos 2x cos 2x.sin 2x 2 2 2 pt 8 2 2 8cos 2x 1 3sin x cos x cos 2xsin 2x sin 2x 1 3sin x cos x cos 2x 0 2 2 cos 2x 8 6sin 2x sin 2x 0 2 8 x k . sin 2x VN 4 2 7
  52. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP tan x cot x 2 tan x cot x 2 Câu 1: Giải phương trình . A. Cả 3 đáp án. B. x k , k ¢ . 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta cĩ thể chọn cách thử nghiệm. k Điều kiện x k ¢ . Đặt t tan x cot x , phương trình đã cho trở thành 2 2 t 1 t t 2 0 . t 2 + Với t 1. Suy ra: tan x cot x 1 tan2 x tan x 1 0 (vơ nghiệm). + Với t 2. Suy ra: tan x cot x 2 tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ 4 . sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 2: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 , k ¢ . B. x , k ¢ . 2 2 C. x k , k ¢ . D. x k , x k2 , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: 4cos2 2x sin2 2x 0 4cos2 2x 1 cos2 2x 0 3cos2 2x 1 0 x ¡ 2 2 4 2 2 4 sin10 x cos10 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x PT 4 4 1 sin2 2x sin2 2x 2 2 2 2 2 sin10 x cos10 x sin x cos x 3sin x cos x 4 4 3sin2 2x 3 2 10 10 1 sin 2x 10 10 2 sin x cos x sin x cos x 4 3sin 2x 4 4 4 3sin2 2x 4 4 4 3sin2 2x sin10 x cos10 x 1 sin10 x cos10 x sin2 x cos2 x sin2 x 1 sin8 x cos2 x 1 cos8 x 0 (*) sin x 0 2 8 2 8 sin x 1 sin x 0x ¡ sin x 1 sin x 0 sin x 1 k Vì nên (*) x 2 8 2 8 cos x 0 2 cos x 1 cos x 0x ¡ cos x 1 cos x 0 cos x 1
  53. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 3: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D Ta cĩ : 4cos2 x cot2 x 6 2 2cos x cot x 4cos2 x 4cos x 1 cot2 x 2cot x 1 4 0 2 2 2cos x 1 cot x 1 4 0 2 2 2 2 Do 2cos x 1 0 x ¡ , cot x 1 0 x ¡ 2cos x 1 cot x 1 4 0 x ¡ Câu 4: Cho phương trình: 4cos2 x cot2 x 6 2 3 2cos x cot x . Hỏi cĩ bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. đáp số khác. Hướng dẫn giải: Chọn C Ta cĩ : 4cos2 x cot2 x 6 2 3 2cos x cot x 4cos2 x 4 3 cos x 3 cot2 x 2 3 cot x 3 0 2 2 2 cos x 3 cot x 3 0 x k2 2cos x 3 0 6 x l2 l ¢ 6 cot x 3 0 x k 6 1 11 Vì x 0;2 0 l2 2 l l 0 6 12 12 Câu 5: Phương trình: sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 2 4 2 3 Hướng dẫn giải:: Chọn D sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 sin 3x.cos x 2sin2 3x cos3x cos3x.sin x 2cos2 3x 0 . sin 3x.cos x cos3x.sin x cos3x 2 sin2 3x cos2 3x 0 . sin 4x cos3x 2 . 1 sin 4x 1 Do , nên sin 4x cos3x 2 . 1 cos3x 1 k x sin 4x 1 4x k2 8 2 Dấu " " xảy ra 2 , k,l ¢ . cos3x 1 l2 3x l2 x 3 k l2 3 12k 3 12k Ta cĩ k,l ¢ l vơ lý do l ¢ . 8 2 3 16 16 Nên phương trình đã cho vơ nghiệm.
  54. Lượng giác – ĐS và GT 11 4x Câu 6: Giải phương trình cos cos2 x . 3 x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 4x 4x 1 cos2x 2x 2x cos cos2 x cos 2cos2. 1 cos3. 3 3 2 3 3 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2 2cos2 1 1 4cos3 3cos 4cos3 4cos2 3cos 3 0 3 3 3 3 3 3 2x k2 2x 3 x k3 cos 1 3 2x k2 x k3 . 2x 3 3 6 4 cos 2x 5 5 3 2 k2 x k3 3 6 4 1 sin x 1 sin x 4 x 0; Câu 7: Giải phương trình 1 sin x 1 sin x 3 với 2 . A. x . B. x . C. x . D. x . 12 4 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 sin x 1 sin x 4 2 4 3 pt cos x x k . 1 sin2 x 3 cos x 3 2 12 Do x 0; nên x . 2 12 2 2 Câu 8: Để phương trình: 2sin x 2cos x m cĩ nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: A. 1 m 2 . B. 2 m 2 2 . C. 2 2 m 3. D. 3 m 4 . Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 x 1 sin2 x sin2 x 2 Phương trình tương đương 2 2 m 2 2 m 2sin x 2 Đặt t 2sin x , t 1;2 do 0 sin2 x 1. 2 2 Xét hàm f (t)= t + , t Ỵ [1;2]Þ f ¢(t)= 1- ; f ¢(t)= 0 Û t = 2 t t2 Bảng biến thiên t 1 2 2 f ¢(t) 0
  55. Lượng giác – ĐS và GT 11 f (t) 3 3 2 2 Vậy phương trình f (t)= m cĩ nghiệm Û 2 2 £ m £ 3.