›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc - Vấn đề 1: Vectơ trong không gian

docx 39 trang nhungbui22 12/08/2022 2810
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc - Vấn đề 1: Vectơ trong không gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chu_de_3_vecto_trong_khon.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc - Vấn đề 1: Vectơ trong không gian

  1. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 1 Chủ đề 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Vấn đề 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. Vectơ trong không gian ① Vectơ, giá và độ dài của vectơ.   Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu a ,b , c ,  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ.   Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Kí hiệu độ dài vectơ AB là AB  Như vậy : AB AB BA. ② Hai vectơ bằng nhau, đối nhau. Cho hai vectơ a ,b ( 0 )  Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. a cuøng höôùng b Kí hiệu a b và a b | a | | b |  Hai vectơ a và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài. a cuøng höôùng b Kí hiệu a b và a b | a | | b | ③ Vectơ – không. Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.    Kí hiệu: 0 , AA BB CC 0. Vectơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không. Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. II. Phép cộng và phép trừ vectơ ① Định nghĩa 1.     Cho a và b . Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, dựng AB a , BC b . Vectơ AC    được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu AC AB BC a b .  a b a b a b ② Tính chất 1. B a b  Tính chất giao hoán: a b b a A  Tính chất kết hợp: a b c a b c a b C
  2. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 2  Cộng với 0 : a 0 0 a a a  Cộng với vectơ đối: a a a a 0 ③ Các qui tắc.     Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C bất kì ta có: AC AB BC Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín     Cho n điểm bất kì A1, A2 , A3 , , An–1, An . Ta có: A1 A2 A2 A3  An 1 An A1 An A n-1 A B A3 An 10 A2 A 1 A9 A A4 A5 A7 C A8  Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ): B C    Với ba điểm A , B , C bất kì ta có: AC BC BA  Qui tắc hình bình hành: A D       Với hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD và DB AB AD  Qui tắc hình hộp. D C Cho hình hộp ABCD.A B C D với AB , AD , AA là ba cạnh có chung đỉnh A và AC là đường chéo, ta có:     A B AC AB AD AA D' C' III. Phép nhân một số với một vectơ ① Định nghĩa 2. A' B' Cho k 0 và vectơ a 0. Tích k.a là một vectơ: - Cùng hướng với a nếu k 0 - Ngược hướng với a nếu k 0 ② Tính chất 2. Với a , b bất kì; m,n R , ta có:  m a b ma mb  m n a ma na  m na mn a  1.a a , 1 .a a  0.a 0 ; k.0 0 ③ Điều kiện để hai vectơ cùng phương. M Cho hai vectơ a và b ( 0 ), k 0 : a cùng phương b a kb   Hệ quả: điều kiện để ba điểm A , B , C thẳng hàng là AB k AC ④ Một số tính chất. A I B  Tính chất trung điểm       1  Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có: IA IB 0 ; IA IB ; AI IB AB 2    A  MA MB 2MI ( M bất kì)  Tính chất trọng tâm.    G Cho ABC , G là trọng tâm, ta có: GA GB GC 0     B C  MA MB MC 3MG ( M bất kì) B C  Tính chất hình bình hành. O Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có:          A D  OA OB OC OD 0  MA MB MC MD 4MO IV. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
  3. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 3 ① Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.   Cho ba vectơ a , b , c ( 0 ) trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta dựng OA a , OB b ,  OC c . Khi đó xảy ra hai trường hợp:  Các đường thẳng OA , OB , OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a , b , c không đồng phẳng.  Các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a , b , c đồng phẳng. ② Định nghĩa 3. a Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với b một mặt phẳng. c Trên hình bên, giá của các vectơ a ,b , c cùng song song với mặt B phẳng ( ) nên ba vectơ a ,b , c đồng phẳng. A O ③ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng C Định lí 1. Cho ba vectơ a ,b , c trong đó a và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a ,b , c đồng phẳng là có duy nhất các số m , n sao cho c ma nb . b A c c m.a a O n.b B ④ Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng b c D Định lí 2. pc a Nếu ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d O nb d , ta tìm được duy nhất các số m , n , p sao cho ma A d ma nb pc . D' Dạng 1. Tính toán vectơ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI    ① Quy tắc ba điểm: AB AC CB (quy tắc cộng)    AB CB CA (quy tắc trừ)    ② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có: AC AB AD     ③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D , ta được: AC ' AB AD AA'   ④ Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB , M là điển bất kỳ: IA IB 0 và    MA MB 2MI ⑤ Tính chất trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm ABC , M ta có:        GA GB GC 0 và MA MB MC 3MG ⑥ Tính chất trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm tứ diện ABCD:          GA GB GC GD 0 và M ta có: MA MB MC MD 4MG
  4. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 4 ⑦ Ba vectơ gọi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. ⑧ Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng thì mỗi vectơ d đều có thể viết dưới dạng d ma nb pc , với m , n , p duy nhất.  Chú ý:  Để biểu diễn một vectơ trong hệ cơ sở ta thường đưa về gốc để tính, chẳng hạn vectơ    MN và gốc O cho trước OM , ON theo hệ cơ sở thuận lợi, từ đó ta có:    MN ON OM .  2  Để tính đoạn AB ta có thể bình phương vô hướng AB AB trong hệ cơ sở gồm 3 vectơ đồng phẳng. u.v  Để tính góc giữa hai vectơ u và v ta có thể tính u , v và u.v cos(u,v) u . v B. BÀI TẬP MẪU     VD 3.1 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Đặt AB a , AD b , AA c . Hãy phân tích các vectơ AC ,      BD , B D , DB , BC và AD theo ba vectơ a , b , c .    VD 3.2 Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Đặt AA' a , AB b , AC c .   a) Hãy phân tích các vectơ B C , BC theo ba vectơ a , b , c .  b) Gọi G là trọng tâm tam giác A B C . Biểu thị vectơ AG qua ba vectơ a , b , c
  5. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 5 VD 3.3 Cho hình tứ diện ABCD . Gọi A , B , C , D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ,         CDA , DAB , ABC . Đặt AA a , BB b , CC c . Hãy phân tích các vectơ DD , AB , BC , CD , DA theo ba vectơ a , b , c . VD 3.4 Cho hình tứ diện ABCD có AB c , CD c , AC b , BD b , BC a , AD a . Tính cosin   góc giữa các vectơ BC và DA . VD 3.5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh BC a 2 và các cạnh còn lại đều bằng a . Tính cosin   góc giữa các vectơ AB và SC .
  6. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 6 VD 3.6 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC b và đôi một hợp với nhau một góc 300 . Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G của chúng. VD 3.7 Cho hình tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Các điểm M và N lần lượt là trung điểm AB và CD .   a) Tính độ dài MN . b) Tính góc giữa hai vectơ MN và BC
  7. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 7 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng ② Sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp,     Chú ý: Hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA BB CC 0 . B. BÀI TẬP MẪU VD 3.8 Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh:      a) 2MN AD BC AC BD     b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi GA GB GC GD 0 . VD 3.9 Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm.     a) Chứng minh AB AC AD 4AG       b) Gọi A là trọng tâm tam giác BCD . Chứng minh: A B.AA A C.AA A D.AA 0 VD 3.10 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi D1, D2 , D3 lần lượt là điểm đối xứng của điểm D qua A, B , C . Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2 D3D .
  8. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 8 VD 3.11 Cho hình chóp S.ABCD .     a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC b) Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ      khi SA SB SC SD 4SO Dạng 3. Quan hệ đồng phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Để c/m ba vectơ a , b , c đồng phẳng, ta chứng minh tồn tại cặp số thực m, n sao cho: c ma nb . ② Để chứng minh ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta đi chứng minh: ma nb pc 0 m n p 0    ③ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 3 vectơ AB , AC , AD đồng phẳng. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.12 Chứng minh: a) Nếu có ma nb pc 0 và một trong 3 số m, n, p khác 0 thì 3 vectơ a , b , c đồng phẳng. b) Nếu a , b , c là ba vectơ không đồng phẳng và ma nb pc 0 thì m n p 0.
  9. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 9   VD 3.13 Cho hình tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD và trên cạnh BC      lấy điểm N sao cho NB 3NC . Chứng minh rằng ba vectơ AB , DC và MN đồng phẳng. Dạng 4. Cùng phương và song song A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI   ① Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai vectơ AB , AC cùng      phương, nghĩa là AB k.AC ; hoặc có thể chọn điểm O nào đó để chứng minh OC kOA tOB , với t k 1. ② Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai vectơ     AB , CD cùng phương. Khi AB , CD cùng phương và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và CD là hai đường thẳng song song. ③ Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong một mặt phẳng P ta chọn 2 điểm   C, D thuộc P rồi chứng minh AB k.CD hoặc ta lấy trong P hai vectơ a và b không cùng  phương, sau đó chứng minh AB , a và b đồng phẳng và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc P thì đường thẳng AB song song với P .
  10. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 10 ④ Đường thẳng AB qua M khi A, M , B thẳng hàng. Đường thẳng AB cắt CD tại I thì     IA k.IB , IC t.ID . Đường thẳng AB cắt mp MNP tại I thì A, I, B thẳng hàng và M , N, P , I đồng phẳng. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.14 Cho hai điểm phân biệt A , B và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để    một điểm M nằm trên đường thẳng AB là OM kOA tOB , trong đó k t 1. Ngoài ra k và t không phụ thuộc điểm O . Với điều kiện nào của k , t thì điểm M thuộc đoạn thẳng AB ? Điểm M là trung điểm của đoạn AB ?   VD 3.15 Cho tứ diện ABCD , M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA 2MB ,       ND 2NC . Các điểm I , J , K lần lượt thuộc AD , MN , BC sao cho IA k ID , JM k JN ,   KB k KC . Chứng minh các điểm I , J , K thẳng hàng. BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1 3.1 Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD . Chứng minh rằng:          a) GA GB GC GD 0 b) MA MB MC MD 4MG 3.2 Cho hình chóp S.ABCD . Gọi O AC  BD . Chứng minh rằng:     a) Nếu ABCD là hình bình hành thì SD SB SA SC . Điều ngược lại có đúng không ?      b) ABCD là hình bình hành SA SB SC SD 4SO .   3.3 Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AM k AB và   DN k DC .    a) Chứng minh rằng: MN (1 k)AD k.BC .
  11. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 11     b) Gọi các điểm E , F , I theo thứ tự thuộc AD , BC và MN sao cho AE mAD , BF mBC   và MI mMN . Chứng minh rằng E , F , I thẳng hàng.   3.4 Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho MA 2MB và       ND 2NC . Các điểm I , J , K lần lượt thuộc AD , MN , BC sao cho IA k ID , JM k JN   và KB k KC . Chứng minh rằng các điểm I , J , K thẳng hàng. 3.5 Cho hai đường thẳng và 1 cắt ba mặt phẳng song song ,  và  lần lượt tại A , B ,       C và A1 , B1 , C1 . Với O là điểm bất kì trong không gian, đặt OI AA1 , OJ BB1 , OK CC1 . Chứng minh rằng ba điểm I , J , K thẳng hàng.     3.6 Cho hình chóp S.ABC . Đáy ABC có trọng tâm G . Tính SG theo ba vectơ SA , SB và SC .    3.7 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có AA' a , AB b và AC c . Hãy phân tích các vectơ   B C , BC qua các vectơ a , b , c .     3.8 Cho tứ diện ABCD . Gọi A1 , B1 , C1 và D1 là các điểm thỏa: A1 A 2A1B , B1B 2B1C ,          C1C 2C1D , D1D 2D1 A . Đặt AB i , AC j , AD k . Hãy biểu diễn các vectơ A1B1 , A1C1  , A1D1 theo ba vectơ i , j , k . 3.9 Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi K là giao điểm của AH và DE , I là giao điểm của BH và    DF . Chứng minh ba vectơ AC , KI và FG đồng phẳng. 3.10 Cho ABC . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng ABC . Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho       MS 2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NC 2NB . Chứng minh ba vectơ AB , MN  và SC đồng phẳng. 3.11 Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB và A C . Điểm K   thuộc B C sao cho KC 2KB . Chứng minh bốn điểm A , I , J , K cùng thuộc một mặt phẳng. 3.12 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 .    a) Chứng minh rằng: AC1 A1C 2AC .         b) Xác định vị trí của điểm O sao cho: OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1 0 c) Chứng minh rằng khi đó mọi điểm M trong không gian ta luôn có:          MA MB MC MD MA1 MB1 MC1 MD1 8MO     3.13 Cho tứ diện ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn: MA tMC 0 , NB tND 0 . Chứng tỏ rằng khi t thay đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định. 3.14 Trong không gian, cho ba điểm A , B , C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M       sao cho: MA MB MC 2MA MB MC 3.15 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc AD à BD sao     cho MA kMD , ND k NB ( k 0 , k 1). a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A BC) . b) Khi MN và A C song song với nhau, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD và DB . 3.16 Trong không gian cho ABC . a) Chứng minh rằng nếu điểm M ABC thì có ba số x , y , z mà x y z 1 sao cho     OM xOA yOB zOC với mọi điểm O .
  12. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 12     b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM xOA yOB zOC , trong đó x y z 1 thì M ABC . 3.17 Cho hình chóp S.ABC . Lấy các điểm A , B , C lần lượt thuộc các tia SA , SB , SC sao cho SA aSA , SB bSB , SC cSC , trong đó a , b , c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng A B C đi qua trọng tâm của ABC khi và chỉ khi a b c 3 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM    TN3.1 Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB '. Đặt CA a,CB b, AA c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1  1 A. AM b c a B. AM a c b C. AM a c b D. AM b a c 2 2 2 2 TN3.2 Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B,C, D tạo thành hình bình hành là:         A. OA OB OC OD 0 B. OA OC OB OD  1   1   1   1  C. OA OB OC OD D. OA OC OB OD 2 2 2  2    TN3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đặt SA a, SB b, SC c, SD d . Khẳng định nào sau đây đúng ?    A. a c b d B. a b c d C. a d b c D. a c b d 0  TN3.4 Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB vàCD . Đặt AB b,    AC c, AD d . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. MP c d b B. MP d b c 2 2  1   1  C. MP c b d D. MP c d b 2 2 TN3.5 Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có tâmO . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt      AC ' u, CA' v, BD ' x, DB ' y đúng?  1   1  A. 2OI u v x y B. 2OI u v x y 2 2  1   1  C. 2OI u v x y D. 2OI u v x y 4 4 TN3.6 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai ?  1  1  A. IK AC A C B. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng 2 2       C. BD 2IK 2BC D. Ba vectơ BD, IK, B C không đồng phẳng. TN3.7 Cho tứ diện ABCD . Ng ời ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi     ư GA GB GC GD 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I, J lần lượt là trung điểm AB vàCD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được.     TN3.8 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x AB, y AC, z AD . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. AG x y z B. AG x y z 3 3
  13. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 13  2   2  C. AG x y z D. AG x y z 3  3 TN3.9 Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâmO . Đặt AB a, BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là tâm hình bình hành ABB A B. M là tâm hình bình hành BCC B C. M là trung điểm BB D. M là trung điểm CC Vấn đề 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian ① Góc giữa hai vectơ.   Cho u và v là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ AB u , AC v . Khi đó ta gọi góc B· AC (00 B· AC 1800 ) là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu (u , v ). · Ta có u,v BAC . u ② Tích vô hướng. Cho hai vectơ u và v ( 0 ). Tích vô hướng của u và v là: v u.v | u |.| v |.cos(u , v) B Nếu u 0 hoặc v 0 thì ta quy ước u.v 0. ③ Tính chất. A C Tính chất 3. Với a , b , c là ba vectơ bất kì trong không gian và k ¡ , ta có:  Tính chất giao hoán: a.b b.a  Tính chất phân phối: a b c a.b a.c  Tính chất kết hợp: k.a .b k a.b a. k.b  Bình phương vô hướng: a 2 0 , a 2 0 a 0 ④ Vectơ chỉ phương của đường thẳng.  Vectơ a 0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d .  Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k.a cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuôc d và một vectơ chỉ phương. ⑤ Một số ứng dụng của tích vô hướng.   2  Tính độ dài của đoạn thẳng AB : AB AB AB u . v  Xác định góc giữa hai vectơ: cos(u , v) | u | .|v | a  Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. II. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là a' góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một A điểm bất kì và lần lượt song song với a và b . Ta có: b' a,b a ,b b III. Hai đường thẳng vuông góc
  14. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 14 ① Định nghĩa 4. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . Kí hiệu: a  b hay b  a . ② Nhận xét.  Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a  b u.v 0 .  Nếu a// b và c  a c  b . Dạng 1. Chứng minh vuông góc A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Cách 2. Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian. ② Cách 3. Muốn chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta có thể chứng   minh AB.CD 0 . ③ Cách 4. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. ④ Cách 5. Dùng định lí ba đường vuông góc (ĐL4). B. BÀI TẬP MẪU       VD 3.16 Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB.AC AC.AD AD.AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại có đúng không ? VD 3.17 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Chứng minh rằng SA  BC , SB  AC , SC  AB . VD 3.18 Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng AB  CD AC 2 BD2 AD2 BC 2 .
  15. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 15 VD 3.19 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn AC , BD , BC , AD . Chứng minh nếu MN PQ thì AB  CD . Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Thực hiện theo các bước sau: a Bước 1. Tìm góc bằng việc lấy một điểm A nào đó (thông thường A a hoặc A b ). Qua A a' dựng a và b theo thứ tự song song với a và b . Khi đó, góc nhọn hoặc vuông tạo bởi a và b A b' là góc giữa a và b . Bước 2. Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc b trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm số sin, côsin trong tam giác thường để xác định số u đo góc giữa a và b . a Cách 2. Thực hiện theo các bước sau: B Bước 1. Tìm 2 vectơ u và v theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a và b . A C Bước 2. Tính số đo góc giữa hai vectơ u và v . b Bước 3. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b : v • bằng góc nếu 00 a 900 • bằng 1800 – nếu là góc tù. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.20 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a và BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC .
  16. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 16 VD 3.21 Cho tứ diện ABCD có AB c , CD c , AC b , BD b , BC a , AD a . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và AD . VD 3.22 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD , BC và AM . VD 3.23 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Tính góc giữa 2 đường thẳng AC và DA , BD và AC .
  17. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 17 VD 3.24 Cho tứ diện ABCD có BC AD a , AC BD b , AB CD c . Tính góc giữa BC và AD 4 VD 3.25 Cho tứ diện ABCD có CD AB . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC , AC , BD . Biết 3 5 JK AB , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB . 6 VD 3.26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên SA AB và SA  BC . a) Tính góc giữa SD và BC b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD . Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vài vị trí của I và J .
  18. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 18 VD 3.27 Cho hình hộp ABCD.A B C D có các cjanh đều bằng a , B· AD 600 , B· AA' D· AA' 1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A D và AC với B D . b) Tính diện tích các hình A B CD và ACC A .
  19. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 19 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2 3.18 Cho ba tia Ox , Oy , Oz không đồng phẳng. 3 a) Đặt x· Oy , ·yOz  , z·Ox  . Chứng minh rằng: cos cos  cos 2 b) Gọi Ox , Oy , Oz lần lượt là các tia phân giác của các góc x· Oy , ·yOz , z·Ox . Chứng minh rằng nếu Ox và Oy vuông góc với nhau thì Oz vuông góc với cả Ox và Oy . 3.19 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . a) Tính độ dài MN theo a . b) Tính góc giữa MN với AB , CD và BC . 3.20 Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau:       a) AB và EG b) AF và EG c) AB và DH 3.21 Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Hãy tính góc giữa AB và CD , biết AB CD 2a và MN a 2 . 3.22 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a , BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB . 3.23 Cho tứ diện ABCD , biết AB AC và DB DC . a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC .   b) Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho MA kMB ,   ND k NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . 3.24 Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng:       a) AB.CD AC.DB AD.BC 0 . Từ đó, suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC .       b) Nếu AB.AC AC.AD AD.AB thì AB  CD , AC  DB , AD  BC . Điều ngược lại có đúng không ? c) Nếu AD BD CD và B· DC C· DA thì AB  CD , AC  DB , AD  BC . 3.25 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và B· AC B· AD 600 , C· AD 900 . Chứng minh rằng: a) AB vuông góc với CD . b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ  AB và IJ  CD . 3.26 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC và A· SB B· SC C· SA . Chứng minh rằng SA  BC , SB  AC , SC  AB . 3.27 Cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , CB , BC ,C A. Chứng minh rằng:
  20. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 20 a) AB  CC . b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 3.28 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD là các tam giác vuông tại A . Chứng minh rằng: a) SA vuông góc với BC và CD . b) SA vuông góc với AC và BD . 3.29 Cho hai hình vuông ABCD và ABC D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O . Cmr: AB  OO và tứ giác CDD C là hình chữ nhật. 3.30 Cho vectơ n (khác 0 ) và hai vectơ a và b thì ba vectơ n , a và b không đồng phẳng. 3.31 Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ n (khác 0 ) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra, các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng. 1  2  2   2 3.32 Gọi S là diện tích ABC . Chứng minh rằng: S AB AC AB.AC 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.10 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a//b . B. Nếu a//b và c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b . D. Nếu a và b cùng nằm trong mp (a)//c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . a 3 TN3.11 Cho tứ diện ABCD có AB CD a, IJ . ( I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số 2 đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A.300 . B. 450 . C. 600 . D.900 . TN3.12 Cho tứ diện ABCD có AC a, BD 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD . Tính MN a 10 a 6 3a 2 2a 3 A. MN .B. MN . C. MN . D. MN . 2 3 2 3 TN3.13 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây ? A. BDB B. AB C C. DB B D. DA C       TN3.14 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB.AC AC.AD AD.AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:          Bước 1: AB.AC AC.AD AC. AB AD 0 AC.DB 0 AC  BD         Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD AD.AB ta được AD  BC và AB.AC AD.AB ta được AB  CD. Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đươ ng. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. ĐúngB. Sai từ bước 1C. Sai từ bước 1 D. Sai ở bước 3 TN3.15 Cho tứ diện đều ABCD (tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 TN3.16 Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A C  BD B. BB  BD C. A B  DC D. BC  A D
  21. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 21 TN3.17 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng: 3 2 3 1 A. b) C. D. 6 2 2 2 TN3.18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 TN3.19 Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ,CD bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 TN3.20 Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD . Góc giữa IE, JF bằng: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900
  22. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 22 Vấn đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG I. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: a ① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó. b a  ( ) a  ( ) a  b, b  ( ) ;  a  b b ( )  a ② Định lí 3: Nếu đường thẳng d vuông góc với b,c  ( )  hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm b caét c  a  ( ) O b trong mặt phẳng ( ) thì đường thẳng d a  b,a  c c vuông góc với mặt phẳng ( ) . II. Tính chất a O ① Tính chất 4: O ⓐ Có duy nhất một mặt phẳng P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước. ⓑ Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và M vuông góc với một mặt phẳng P cho trước. ② Định nghĩa 6: Mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn AB và vuông A O B góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . M maët trung tröïc cuûa AB MA = MB III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ① Tính chất 5: Nếu mặt phẳng nào vuông góc với một ⓐ a//b  a b  ( )  b trong hai đường thẳng song song thì cũng ( )  a vuông góc với đường thẳng còn lại. ⓑ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc a  ( ) với một mặt phẳng thì chúng song song với b  ( ) a//b nhau. a  b  a ② Tính chất 6: ⓐ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. ( )  a  ( )//( )   a  ( ) ( )  a  ( )//( ) a  ( )  ( )  ( ) ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. ③ Tính chất 7:
  23. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 23 ⓐ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ( ) thì cũng vuông góc với a . a a  ( ) a//( )   b  a a  b  a//( ) b  ( ) ( )  b  b ⓑ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. IV. Định lí ba đường vuông góc ① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ) theo phương l vuông góc với mặt phẳng ( ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( ) . ② Định lí 4: (Định lí 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng b nằm trong ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a B trên ( ) . a A b  ( )  a a  ( )  thì b  a b  a ' a' Ch a a '  A' b B' V. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) bằng 900 . a  ( ) [a,( )] 900 ⓑ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) thì góc giữa a và hình chiếu a của a trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt A a phẳng ( ) a,( ) (a, a ) ·AOH a' O H  Chú ý: 00 a,( ) 900 Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong P . ② Chứng minh a nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến d vuông góc với mặt còn lại (ĐL7). ③ Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3 (HQ2). ④ Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a  P .
  24. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 24 ⑤ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. (TC6). ⑥ Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong P B. BÀI TẬP MẪU VD 3.28 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , SA ABC . a) Chứng minh: BC  SAB b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB . Chứng minh AH  SBC . c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC . Chứng minh SC  AHK . d) Đường thẳng HK cắt BC tại I . Chứng minh IA  SAC .
  25. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 25 VD 3.29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD . a) Chứng minh: BC  SAB và CD  SAD . b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB . Chứng minh AH  SBC . c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAD . Chứng minh SC  AHK . d) Trong mặt phẳng ABCD kẻ AM  BD tại M . Chứng minh BD  SAM .
  26. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 26 VD 3.30 Cho hình chóp A.BCD . Gọi O là hình chiếu của A lên BCD . Chứng minh rằng AB AC AD OB OC OD . VD 3.31 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , A· SB 900 , B· SC 600 , C· SA 1200 . Gọi I là trung điểm cạnh AC . Chứng minh SI  ABC . VD 3.32 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , BC 2CC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BC và AI . a) Chứng minh B C  (A AI) b) Chứng minh AK  (A BC) c) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên A C . Chứng minh B , H , K thẳng hàng
  27. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 27 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.33 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC . Gọi I là trung điểm của BC . a) Chứng minh rằng BC  ADI . b) Gọi AH là đường cao của ADI , chứng minh rằng AH  BCD . 3.34 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng ABC . a) Chứng minh rằng BC  OAH , CA  OBH , AB  OCH . b) Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC . 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng . OH 2 OA2 OB2 OC 2 2 2 2 2 d) Chứng minh rằng S ABC S OAB S OBC S OCA . e) Chứng minh rằng các góc của ABC đều nhọn. 3.35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và có SA SB SC SD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . a) Chứng minh SO  ABCD b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , BC . Chứng minh IJ  SBD . c) Gọi G là trọng tâm ACD và H ở trên cạnh SD sao cho HD 2HS . Cm HG  ABCD . 3.36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và có SA SC và SB SD . a) SO  ABCD b) AC  SBD và BD  SAC . 3.37 Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD , S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) sao cho SA SC , SB SD . Chứng minh rằng: a) SO  ( ) . b) Nếu trong mặt phẳng SAB kẻ SH  AB tại H thì AB  SOH . 3.38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có cạnh SA vuông góc với ABCD . Gọi SI SK I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho . Chứng minh: SB SD a) BD  SC . b) IK  SAC 3.39 Cho tứ diện SABC có SA  ABC và có ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng SAB kẻ SM SN AM  SB tại M . Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng: SB SC a) BC  SAB và AM  SBC . b) MN  SAB , từ đó suy ra SB  AN . 3.40 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trục tâm của tam giác ABC và SBC . Chứng minh: a) AH , SK và BC đồng qui. b) SC  BHK c) HK  SBC 3.41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với ABCD . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC và SD . a) Chứng minh rằng BC  SAB , CD  SAD .
  28. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 28 b) Chứng minh rằng SAC là mặt trung trực của đoạn BD . c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba đường thẳng AH , AI , AK cùng nằm trong một mặt phẳng. d) Chứng minh rằng SAC là mặt trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK  AI . e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA AB a . Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ta thường dùng các cách sau đây:  Cách 1: Bước 1. Tìm O a  ( ) . A a Bước 2. Lấy A a và dựng AH  ( ) tại H. Khi đó a,( ) (a, a ') ·AOH . · Bước 3. Tính số đo của góc AOH a'  Chú ý: 00 a,( ) 900 O H  Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau: Hướng 1: Chọn một đường thẳng d // a mà góc giữa d và có thể tính được. Từ đó ta có: a·,( ) d· ,( ) Hướng 2: Chọn một mặt phẳng  // mà góc giữa a và  có thể tính được. Từ đó ta có: a·,( ) a·,( ) B. BÀI TẬP MẪU VD 3.33 Cho tứ diện đều ABCD . Tính góc giữa đường thẳng AB và BCD ĐS: 54044 VD 3.34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 2 . Tính góc giữa: a) SC , SD với ABCD b) BD với SAC ĐS: a) 450; 54044 b) 900
  29. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 29 VD 3.35 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD 2a , AB BC CD a . hình chiếu vuông góc của S trên ABCD là trung điểm I của AD . Tam giác SAD là tam giác đều. a) Tính góc giữa SC và ABCD b) Gọi K là trung điểm AB , tính góc giữa KI và mặt phẳng SAB c) Tính góc giữa BD với SAB d) Tính góc giữa SA và MBD ĐS: a) 600 b) arctan(1/2 ) c) arctan 2 d) arcsin(1/4 )
  30. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 30 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O ; SA  ABCD , SA a 2 . Tính góc giữa: a) SO và ABCD b) SC và SAB c) BD và SAD d) SB và SAC ĐS: a) arctan2 b) 300 c) 450 d) arcsin( 6 /6 ) 3.43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AD 2BC và AB BC a . SA vuông góc với ABCD và SA a 2 . Tính góc giữa: a) SC và SAD b) SD và SAC c) SB và SAC d) AC và SCD ĐS: a) 300 b) arctan( 2 /2 ) c) arcsin( 6 /6 ) d) 450 3.44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O ; SA  ABCD . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD . a) Chứng minh MN //BD và SC  AMN . b) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng AMN . Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau. c) Nếu cho AB a và SA a 6 , tính góc giữa cạnh SC và mặt phẳng ABCD và góc giữa BD và mặt phẳng SBC . ĐS: c) 600 , arcsin( 21 /7 ) a 3 3.45 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC a , SA SB SC . 2 a) Tính khoảng cách từ S tới mp ABC . a 2 3 b) Tính góc giữa SA và mp ABC . ĐS: a) b) cos 2 3 3.46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 6 . Tính góc giữa: a) SC với các mặt phẳng ABCD và SAB . 7 b) SB với mặt phẳng SAC . ĐS: a) 600 ; arctan 7 14 21 c) AC với mặt phẳng SBC . ĐS: b) arctan c) arctan 14 7 3.47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , O là tâm của đáy SO  ABCD , M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , CD . Cho biết MN tạo với đáy ABCD một góc 600 . a) Tính MN và SO . a 5 2 15 b) Tính góc giữa MN và mp SBD . ĐS: a) MN ; SO a 5 b) arcsin 2 15
  31. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 31 3.48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , O là tâm của đáy, SO  ABCD , và SA tạo với ABCD và SBC hai góc bằng nhau. H là hình chiếu của A trên SBC . a a) Chứng minh SO AH và khi HB . Tính SA . 2 b) Tính tan góc giữa SA với mp ABCD . ĐS: a) a/2 b) 6 /2 3.49 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . a) Tính góc của AB và BC ; AC và CD . b) IK với (A B C D ) , trong đó I , K là trung điểm của BC , A D . ĐS: a) 600 ; 900 b) 450 3.50 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính góc giữa: a) B D và (AA D D) b) BD và (B AC) ĐS: a) arctan( 2 /2 ) b) arctan 2 Dạng 3. Thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tìm thiết diện của khối đa diện S với mặt phẳng P , P qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước, ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Dựng mặt phẳng P như sau:  Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường qua M .  Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là ( ) .  Xác định thiết diện theo phương pháp đã học. Cách 2. Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a , b cùng vuông góc với d thì:  P //a hay P chứa a chuyển về dạng qua điểm M và song song với a  P //b hay P chứa b chuyển về dạng qua điểm M và song song với b B. BÀI TẬP MẪU VD 3.36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  (ABCD. Hãy xác định thiết diện của: a) mặt phẳng P qua trung điểm I của AB và vuông góc với AC với tứ diện S.ABD . b) mặt phẳng Q qua A , vuông góc với SC và hình chóp S.ABCD .
  32. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 32 VD 3.37 Cho tứ diện đều ABCD . Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng P qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB . VD 3.38 Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB a , SA  ABC , SA a . Gọi là mặt phẳng đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB . a) Xác định mặt phẳng ĐS: b) S 5a2 2 /32 (đvdt) b) cắt tứ diện SABC theo thiết diện là hình gì ? tính diện tích của thiết diện. VD 3.39 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân, AB AC a , AA a 2 . Ba điểm I , K , M lần lượt là trung điểm của BC , CC và BI . a) Chứng minh B C  AKI ĐS: b) S 5a2 2 /32 (đvdt) b) Xác định thiết diện do mặt phẳng P qua M và vuông góc với B C cắt hình lăng trụ.
  33. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 33 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.51 Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác ABC vuông tại B , SA  ABC và SA AB . Gọi P là mặt phẳng qua một điểm M thuộc cạnh AB và vuông góc với SB . Hãy xác định thiết diện do P cắt hình chóp. Thiết diện là hình gì ? Thiết diện có thể là hình bình hành được không ? 3.52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông đáy lớn là AD , SA  ABCD . Mặt phẳng qua M thuộc cạnh SC và vuông góc với AB . Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng . Thiết diện là hình gì ? 3.53 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tma giác đều cạnh a và SA SB SC b . Gọi G là trọng tâm ABC . a) Chứng minh rằng SG  ABC . Tính SG . b) Xét mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để P cắt SC tại điểm C nằm giữa S và C . Khi đó, hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt P . ĐS: a) SG 9b2 3a2 /3 b) a b 2; S a2 3b2 a2 /(4b) (đvdt) 3.54 Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại O , lấy a 6 điểm S sao cho SO . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB , SC , 2 SD tại B , C , D . a) Tính AC . Chứng minh C là trung điểm của SC . ĐS: AC'=a 6 /2 b) Chứng minh B D song song với BD . Từ đó suy ra cách dựng hai điểm B và D . Dạng 4. Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Tập hợp điểm thường gặp: Cho 3 điểm A , B , C không thẳng hàng và mặt phẳng ✓ Nếu M là điểm thỏa mãn AM  BC thì điểm M nằm trên mặt phẳng P qua A và vuông góc với BC. ✓ Nếu điểm M thỏa mãn : AM  thì điểm M nằm trên mặp phẳng P qua A và vuông góc với ✓ Nếu điểm M thỏa mãn MA MB thì M nằm trên mặt phẳng P qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB , chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
  34. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 34 ✓ Nếu M thỏa mãn MA MB MC MA MB và MA MC thì M nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng P (mặt phẳng trung trực của AB ) và mặt phẳng Q (mặt phẳng trung trực của AC ), giao tuyến này chính là trục của tam giác ABC . O ② Hai bài toán quỹ tích: Bài toán 1: “Quĩ tích hình chiếu H của điểm cố định O lên d đường thẳng di động d trong mặt phẳng quay quanh B A điểm cố định A ”. H Gọi B là hình chiếu của O trên Ch OH BH   BH  d B· HA và H Do OH  d  2 Quĩ tích là đường tròn đường kính BA trong Bài toán 2: “Quĩ tích hình chiếu H của điểm cố định A trên mặt phẳng di động và luôn chứa một đường thẳng cố định d ”. Bước 1. Xác định mặt phẳng P qua A và vuông góc với d . Tìm a ( )  P PB A Bước 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên a , thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A trên P . Bước 3. Gọi E là giao điểm của d với P . Trong P , a d H · 0 ta có AHE 90 nên quĩ tích là đường tròn đường E kính AE trong P . B. BÀI TẬP MẪU VD 3.40 Tìm tập hợp các điểm M cách đều 2 mút của đoạn thẳng AB VD 3.41 Tìm tập hợp các điểm M cách đều ba đỉnh của tma giác ABC VD 3.42 Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm: a) M sao cho MA  BC b) N sao cho: NA  BC , NB  CA, NC  AB
  35. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 35 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.55 Cho hình thang ABCD vuông tại A và B , có AD 2a , AB BC a . Trên tia Ax  ABCD lấy một điểm S . Gọi C , D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SD . Chứng minh rằng: a) S· BC S· CD 900 . b) AD , AC và AB cùng nằm trên một mặt phẳng. c) Đường thẳng C D luôn luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên Ax . 3.56 Cho mặt phẳng và một điểm O ngoài . A là một điểm cố định thuộc sao cho OA không vuông góc với , d là một đường thẳng di động trong nhưng luôn luôn qua A . Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên d . a) Tìm tập hợp các điểm M thỏa các tính chất nêu trên. b) Tìm vị trí của d để độ dài OM là lớn nhất. 3.57 Cho hình vuông ABCD tâm O , S là một điểm di động trên tia Ax vuông góc với ABCD . a) Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SB . b) Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh D của SDC . BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3 3.58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA SB SC SD b và cùng hợp với đáy góc 600 . Gọi I là trung điểm của CD . Tính góc hợp bởi đường thẳng: a) SC và SBD b) SI và SAB ĐS: a) 300 b) 44024 3.59 Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc với nhau và AB a , BC b , CD c . a) Tính AD . b) Chỉ ra điểm cách đều A , B , C , D (Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện) c) Tính góc giữa đường thẳng AD với các mặt phẳng BCD và ABC 3.60 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có cạnh AB a , AD 2a , AA 3a và B· AD 600 . a) Chứng minh AB  (BD D) . b) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên BD và BC . Chứng minh BC  DHK . 3.61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA a và SA  ABCD . a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại B , C , D . Chứng minh B D // BD và AB  SB .
  36. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 36 3.62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA SC , SB SD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . a) Chứng minh: SO  ABCD . b) Gọi d1 SAB  SCD , d2 SBC  SAD . Chứng minh: SO  d1,d2 3.63 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , SA  ABC . a) Trong SAB kẻ đường cao AH . Chứng minh rằng BC  SAB , AH  SBC . b) Trong SAC kẻ đường cao AK . Chứng minh rằng SC  AHK . c) Trong ABC kẻ đường cao BM . Chứng minh rằng BM // AHK . 3.64 Cho ABC cân tại A có ¶A 1200 , cạnh BC a 3 . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa ABC sao cho SA a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp SBC . a) Chứng minh: AO  SBC . b) Tính AO khi SBC vuông tại S . ĐS: a/2 3.65 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 2 và SA  ABCD . Gọi AH là đường cao của SAB . SH a) Tính tỉ số và độ dài AH . SB b) Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB , cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích của thiết diện. ĐS: a) SH / SB 2 / 3, AH a 6 / 3 b) S 5a2 6 /18 (đvdt) 3.66 Cho tam giác đều ABC có đường cao AH 2a . Gọi O là trung điểm của AH . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại O , lấy điểm S sao cho OS 2a . Gọi I là một điểm trên OH , đặt AI x , a x 2a . Gọi là mặt phẳng qua I và vuông góc với đường thẳng OH . a) Xác định mặt phẳng . b) Dựng thiết diện của với tứ diện SABC. Thiết diện là hình gì? ĐS: S 2 3(3x 2a)(2a x) / 3 c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện. Với x nào thì diện tích thiết diện lớn nhất ? x 4a / 9 3.67 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , Bµ 600 , SA a và SA  ABCD . Gọi M là một điểm trên cạnh SB . a) Khi M là trung điểm của cạnh SB , tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với ADM . b) Khi M di động trên cạnh SB , tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ADM . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.21 Khẳng định nào sau đây sai ? A. Nếu đường thẳng d  ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( ) . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d  ( ) . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ) . D. Nếu d  ( ) và đường thẳng a//( ) thì d  a .
  37. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 37 TN3.22 Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với cho trước? A. 1.B. 2.C. 3.D. Vô số. TN3.23 Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước? A. 1.B. 2.C. 3.D. Vô số. TN3.24 Mệnh đề nào sau đây có thể sai ? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. TN3.25 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và ABC vuông ở B . Gọi AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SA  BC . B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . TN3.26 Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là: A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB . C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A .D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB . TN3.27 Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  ABC . B. AC  BD . C. CD  ABD . D. BC  AD . TN3.28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâmO . Biết SA SC và SB =SD . Khẳng định nào sau đây đây là khẳng định sai ? A. SO  ABCD . B. AC  SBD . C. BD  SAC . D. CD  AC . TN3.29 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . B. H trùng với trực tâm tam giác ABC. C. H trùng với trung điểm của AC . D. H trùng với trung điểm của BC . TN3.30 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ? A.CH  SA. B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . TN3.31 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. O là trọng tâm tam giác ABC . B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. O là trực tâm tam giác ABC . D. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . TN3.32 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABC và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABC và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. BC  SB .B. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . C. IO  ABCD . D. Tam giác SCD vuông ở D. TN3.33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ABCD . Gọi I, J, K lần l ượt là trung điểm của AB, BC và SB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. IJK // SAC . B. BD  IJK . C. Góc giữa SC và BD có số đo 600 . D. BD  SAC .
  38. TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 38 TN3.34 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B,C, D . A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. O là trọng tâm tam giác ACD . C. O là trung điểm cạnh BD . D. O là trung điểm cạnh AD . TN3.35 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  BC . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . H là hình chiếu vuông góc của O lên ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H là trung điểm cạnh AB .B. H là trung điểm cạnh AC . C. H là trọng tâm tam giác ABC . D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . TN3.36 Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH  BCD . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. AB CD .B. AC BD .C. AB  CD .D. CD  BD . TN3.37 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có tâm O , SA  ABCD . Gọi I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. IO  ABCD .B. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . C. BD  SC .D. SA SB SC . TN3.38 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Góc giữa AC và BCD là góc ACD . B. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . C. Góc giữa AC và ABD là góc CAB .D. Góc giữa CD và ABD là góc CBD . TN3.39 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với a 6 (ABC) lấy điểm S sao cho SA . Tính số đo giữa đường thẳng SB và ABC 2 A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 TN3.40 Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng2a . Trên đường thẳng qua O vuông góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 450 . Tính độ dài SO. a 3 a 2 A. SO a 3 .B. SO a 2 .C. SO .D. SO . 2 2 TN3.41 Cho hình thoi ABCD có tâm O , BD 4a , AC 2a . Lấy điểm S không thuộc ABCD 1 sao cho SO  ABCD . Biết tan S· BO . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD . 2 A. 300 .B. 450 . C. 600 .D. 750 . TN3.42 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  ABCD . Biết a 6 SA . Tính góc giữa SC và ABCD . 3 A. 300 .B. 450 . C. 600 .D. 750 . TN3.43 Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhauSA SB SC SD . Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. HA HB HC HD . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
  39. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 39 C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau. TN3.44 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300 .B. 450 . C. 600 .D. 750 . TN3.45 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300 .B. 450 . C. 600 .D. 750 .