›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 1: Giới hạn. Liên tục - Vấn đề 1: Giới hạn của dãy số

doc 69 trang nhungbui22 12/08/2022 2750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 1: Giới hạn. Liên tục - Vấn đề 1: Giới hạn của dãy số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chu_de_1_gioi_han_lien_tu.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề 1: Giới hạn. Liên tục - Vấn đề 1: Giới hạn của dãy số

  1. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.651 Chủ đề 1 GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A - GIỚI HẠN HỮU HẠN  Giới hạn hữu hạn • lim un 0 un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. n • Dãy số un cĩ giới hạn là L nếu: lim vn L lim vn L 0 n n  Lưu ý: Ta cĩ thể viết gọn: limun 0, limun L .  Giới hạn đặc biệt 1 1 1 1) lim 0 2) lim 0 3) lim 0 4) u 0 limu 0 n n 3 n n n 1 5) limC C,C ¡ 6) lim qn 0 nếu q 1) 7) lim 0, k ¥ * nk 8) lim qn nếu q 1 9) lim nk , k ¥ *  Định lí về giới hạn • Nếu hai dãy số un và vn cùng cĩ giới hạn thì ta cĩ: 1) lim(un vn ) limun limvn 2) lim un .vn limun .limvn un limun 3) lim (Nếu limvn 0 ) 4) lim k.un k.limun , (k ¡ ) vn limvn 2k 2k 5) lim | un | | limun | 6) lim un limun (nếu un 0 ) (căn bậc chẵn) 2k 1 2k 1 7) lim un limun (căn bậc lẻ) 8) Nếu un vn và limvn 0 thì limun 0 . - Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số un , vn , wn và L ¡ . Nếu un vn wn , n ¥ * và limun lim wn L thì vn cĩ giới hạn và limvn L . un • Nếu limun a và limvn thì lim 0 . vn 1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì cĩ giới hạn. 2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì cĩ giới hạn. n 1 Chú ý: e lim 1+ 2,718281828459 , là một số vơ tỉ. n  Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn • Một cấp số nhân cĩ cơng bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn. u Ta cĩ : S u u q u q2  1 (với | q | 1) 1 1 1 1 q B - GIỚI HẠN VƠ CỰC  Định nghĩa • lim un un cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. n
  2. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 2 • lim un un cĩ thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. n • lim un lim un n n  Lưu ý: Ta cĩ thể viết gọn: limun . 1  Định lí Nếu lim un = + thì lim = 0 un 1 Nếu limun 0, un 0,n ¥ lim un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Qui tắc 2: Qui tắc 3: Nếu limun Nếu limun Nếu limun L , và limvn , và limvn L 0, limvn 0 và vn 0 hoặc thì lim un .vn là: thì lim un .vn là: vn 0 kể từ một số hạng nào đĩ trở đi thì: Dấu của un lim un lim vn lim un .vn lim un lim un .vn L Dấu của v lim L n vn + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dạng 1. Dãy cĩ giới hạn 0 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dãy (un) cĩ giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi, đều cĩ giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đĩ. Khi đĩ ta viết: lim(un ) 0 hoặc limun 0 hoặc un 0 . * limun 0  0,n0 ¥ : n n0 un  • Một số kết quả: (xem phần tĩm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, B. BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Chứng minh các dãy sau cĩ giới hạn là 0: 1 ( 1)n 1 1 a) u b) u c) u d) u , k nguyên dương n n 3 n n 4 n n2 n nk 1 ( 1)n c) u b) u c) u (0,99)n d) u ( 0,97)n n 3n n 2n n n
  3. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.653 1 ( 1)n cos n VD 1.2 Chứng minh các dãy sau cĩ giới hạn là 0: a) u b) v n n(n 1) n n2 2 VD 1.3 Tính các giới hạn sau: sin n cos3n ( 1)n sin 2n a) u b) u c) u d) u n n 5 n n 1 n 3n 1 n (1,2)n n 2sin(n 1) ( 2)n VD 1.4 Tính: a) lim b) lim c) lim n 1 n d) lim 2 n2 1 n 3n n 3 n 2 3 n 3 4
  4. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 4 3 3 3 3 VD 1.5 Chứng minh các dãy sau cĩ giới hạn bằng 0: a) un n 1 n b) vn n 1 n n VD 1.6 Cho dãy số (un) với u . n 3n un 1 2 a) Chứng minh với mọi n b) Chứng minh rằng dãy un cĩ giới hạn 0 un 3 1 2 un VD 1.7 Cho dãy số (un) với u , u u , n 1. 1 4 n 1 n 2 1 a) Chứng minh 0 u với mọi n b) Tính limu n 4 n
  5. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.655 Dạng 2. Khử dạng vơ định A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI m m 1 a0n a1n am • Đối với dãy un k k 1 , a0 0, b0 0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức b0n b1n bk cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử nm hoặc mẫu nk , việc này cũng như đặt thừa số chung cho nm hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vơ định. Kết quả: 0 khi m k a0 a0 limun khi m k (dấu hoặc tùy theo dấu của ) b0 b0 khi m k • Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa ra ngồi căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu. • Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ cĩ cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đĩ.  Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, và sử dụng các kết quả đã biết. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Tính các giới hạn sau: 2n 1 n2 3n 5 n3 n2 n 1 2n4 1 a) lim b) lim c) lim d) lim 3n 2 3n2 4 2n3 n2 2 3n4 n 2
  6. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 6 VD 1.9 Tính các giới hạn sau: 3n2 n 1 n4 4 2n3 3n 2 a) lim b) lim c) lim n3 4n2 6 n5 5 3n 2 n5 n4 3n 2 (n 2)(3n 1) (2n 1)2 (4 n) d) lim e) lim f) lim 4n3 6n2 9 4n2 n 1 (3n 5)3
  7. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.657 VD 1.10 Tính các giới hạn sau: n4 3n 2 3 n6 7n3 5n 8 2n2 n 6n4 n 1 a) lim b) lim c) lim d) lim 2n2 n 3 n 12 1 3n2 2n 1 VD 1.11 Tính các giới hạn sau: 4n 3n 2.5n 3.2n 1 2.3n 1 22n 5n 2 a) lim b) lim c) lim d) lim 2.3n 4n 7 3.5n 4 3n 3n 5.4n
  8. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 8 Dạng 3. Khử dạng vơ định - A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI m m 1 • Đối với dãy un amn am 1n a0 , am 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất m của n là n . Khi đĩ: limun nếu am 0 và limun nếu am 0 • Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: A B2 A B3 A B =  3 A B = A B 3 A2 B.3 A B2 A B A B3  A B =  3 A B = A B 3 A2 B.3 A B2 A B2 A B  A B =  3 A 3 B = A B 3 A2 3 A.B 3 B2 A B A B  A B =  3 A 3 B = A B 3 A2 3 A.B 3 B2 • Đặc biệt, đơi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới cĩ cùng dạng vơ định, chẳng hạn: 3 n3 2 n2 1 3 n3 2 n n n2 1 ; n2 n 3 2 n3 n2 n n n 3 2 n3 • Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ cĩ cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.12 Tính các giới hạn sau: a) lim n2 14n 7 b) lim 2n2 3n 19 c) lim 2n2 n 1 d) lim 3 8n3 n2 n 3
  9. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.659 VD 1.13 Tính các giới hạn sau: a) lim n2 n 1 n b) lim n 1 n n c) lim 3 n3 n2 3 n3 1 n2 2 n2 1 d) lim 3 n3 1 n e) lim 3 n3 n2 n2 3n f) lim 3 n3 2 3 n3 n2
  10. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 10 VD 1.14 Tính các giới hạn sau: a) lim n n 2 n 1 b) lim 3 n2 7 2n c) lim 2.3n n 2 1 2 d) lim n2 n 2 n 1 e) lim f) lim n 2 n 1 3n 2 2n 1
  11. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 11 Dạng 4. Cấp số nhân lùi vơ hạn A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một cấp số nhân cĩ cơng bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn. u Ta cĩ : S u + u q u q2 + 1 , với | q | 1. 1 1 1 1 q B. BÀI TẬP MẪU VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: 0,444 ; 0,212121 5 39 VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nĩ là . Tìm số 3 25 hạng đầu và cơng bội của cấp số đĩ. VD 1.17 Cho q 1. Tính tổng vơ hạn sau: a) A 1 2q 3p2 nqn 1 b) B 1 4q 9 p2 n2qn 1
  12. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 12 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1 1.1 Tìm các giới hạn sau: 1) lim( 2n3 3n 5) 2) lim 3n4 5n3 7n 3) lim(3n3 7n 11) 4) lim 2n4 n2 n 2 5) lim 3 1 2n n3 6) lim( n3 3n 2) 1.2 Tìm các giới hạn sau: 4n2 n 1 2n 3n3 1 3n3 5n 1 1) lim 2) lim 3) lim 3 2n2 n3 n2 n2 4 (2 3n)3 (n 1)2 2n 3 3n2 2n 1 4) lim 5) lim 6) lim 1 4n5 4n 5 4n2 5n 2 4n2 3 (n 1)(2n 1) n(3n 2)(4n 5) 7) lim 8) lim 9) lim n3 3n 1 (3n 2)(n 3) (2n 3)2 2(n 1)3 (n2 n 1)2 (2n 1)3 (n 3)5 (n2 1)(n 3) n3 2 10) lim 11) lim 12) lim (n3 2n 5)(3 2n)6 3(n 1)9 (2n2 1)(3 n) n3 2n 1 4n5 n 1 6n3 2n 1 13) lim 14) lim 15) lim 2n2 n 3 (2n 1)( n 1)(n2 2) 2n3 n (n2 1)(n 1)2 2n3 3n 2 2n3 n 3 16) lim 17) lim 18) lim (n 1)(3n 2)3 3n 2 5n 1 1.3 Tìm các giới hạn sau: 3n2 1 n 2n n n 1 1) lim 2) lim 3) lim 1 2n2 n2 2n 1 n 1 3 n3 n n2 2 n 3 (2n n 1)( n 3) 4) lim 5) lim 6) lim n 2 2n2 n n (n 1)(n 3) 2n n 3 n 1 2 3 2n 2n n 3 7) lim 8) lim 9) lim n2 n 1 3n2 n 2 n2 3 n 2 1.4 Tìm các giới hạn sau: n2 n 1 4n2 2 2n 1 n2 2n 4 4n2 3 2n 1 1) lim 2) lim 3) lim n 3 3n n2 7 n( n2 3 2n) 4n2 3 2n 1 3n2 1 n2 1 1 4) lim 5) lim 6) lim n2 2n n n n2 2 n2 4 n( 3 2 n3 n) 2n 1 n n n2 1 7) lim 8) lim 9) lim n2 1 n 3n 1 n2 2n
  13. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 13 4n2 1 2n 1 n6 n 1 n2 4n2 3 2n 1 10) lim 11) lim 12) lim n2 4n 1 n 3n2 n2 1 n2 4n n 1.5 Tìm các giới hạn sau: 1) lim n( n2 1 n2 2) 2) lim n( n2 1 n2 2) 3) lim(1 n2 n4 3n 1) 4) lim(2n 1 4n2 6n 7) 5) lim( n3 3n n 5) 6) lim( n2 2n n 1) 7) lim( n2 2n n 1) 8) lim( n2 n n2 1) 9) lim( n 1 n) 10) lim( n2 n 1 n) 11) lim( n2 n 2 n 1) 12) lim( 3 2n n3 n 1) 1 n2 1 n 1 1 13) lim 14) lim 9) lim n 2 n 1 3n 2 3n 2 2n 1 10) lim(3 n 3 n 2 n) 11) lim( 3 n3 2n2 n) 12) lim( 3 n3 2n2 2n 1) 13) lim( 3 n n3 n) 14) lim( 3 n3 1 n) 15) lim( 3 2 n3 n) n( 3 2 n3 n) 16) lim 17) lim( 3 8n3 n2 1 3 2n) 18) lim( 3 n3 3n n2 4n) n2 1 2n2 1.6 Tìm các giới hạn sau: n n 1 n n n 1 ( 2) 4.5 1) lim[4 ( 2) ] 2) lim 2 3) lim n n n 2.4 3.5 n 2 3n 1 2n ( 2)n 3n 4) lim - 5) lim 6) lim 4n 1 2n ( 2)n 1 3n 1 3n 4n 2n 1 3n 1 2n 3n 4n 3 7) lim 8) lim 9) lim 3n 4n 2n 3n 2n 3n 1 4n 1 n2 ( 1)n 3 4n 3n 4n 5n 10) lim 11) lim 12) lim 2n2 ( 1)n 1 1 3.4n 3n 4n 5n 1 2n 3n 1 3n 4n 1 4.3n 7n 1 13) lim 14) lim 15) lim 2n 5.3n 2.4n 2n 2.5n 7n 3n 2.5n 4n 5n 16) lim 2n 3n 17) lim 18) lim 7 3.5n 2n 3.5n 2n 3n 4.5n 2 1 a a2  an 19) lim 20) lim (với a 1; b 1) 2n 1 3n 2 5n 1 1 b b2  bn 1.7 Tính tổng vơ hạn: 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1) S 1  2) S 1  3) S  2 4 8 3 9 27 2 4 8 27 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4) S  5) S 8 4 2 1 6) S 33.99.27 27.8181  2 1 2 2 2 2 2 2 34 34 34 7) 1 0,9 0,9 0,9  8) S  100 10000 1000000 1.8 Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vơ hạn tuần hồn sau: 1) 34, 12  2) 0, 25  3) 3, 123  4) 2,131131
  14. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 14 1.9 Cho hai dãy số un và vn . Chứng minh rằng nếu limvn 0 và | un | vn với mọi n thì lim un 0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau: 1 ( 1)n 2 n( 1)n 1) u 2) u 3) u n n! n 2n 1 n 1 2n2 n n 4) un (0,99) cos n 5) un 5 cos n
  15. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 15 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.1 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn khác 0 ? n 1 1 1 cos n A. . B. .C. D. . n n n 1 n TN1.2 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0 ? n n n n 3 5 2 4 A. .B. . C. .D. . 2 4 3 3 TN1.3 Dãy nào sau đây khơng cĩ giới hạn? n n 2 2 n n A. .B. . C. 0,99 .D. 1 . 3 3 1 n TN1.4 lim cĩ giá trị bằng n 2 1 1 A. .B. 0 .C. 1.D. . 2 2 1 2n TN1.5 lim cĩ giá trị bằng 4n 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 4 4 2 2 3n 5n TN1.6 lim cĩ giá trị bằng 5n 3 8 A. 1.B. 0 .C. .D. . 5 5 2n3 n 5 TN1.7 lim cĩ giá trị bằng n4 2n 2 A. .B. 2 .C. 0 .D. 6 . 2n4 n 1 TN1.8 lim cĩ giá trị bằng 3n4 2n 2 2 A. 0 .B. C. .D. . 3 5 2n2 3n3 TN1.9 lim cĩ giá trị bằng 2n3 4n2 1 3 3 A. .B. 0 .C. 1.D. . 2 2 2n3 n2 4 TN1.10 lim cĩ giá trị bằng n2 2n 3 A. 2 .B. 0 .C. .D. 2 . n2 2n 2n3 1 4n 5 TN1.11 lim cĩ giá trị bằng n4 3n 1 3n2 7 8 A. 0 .B. .C. 1 . D. . 3
  16. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 16 2n n3 3n2 1 TN1.12 lim cĩ giá trị bằng 2n 1 n4 7 3 A. 1. B. 3 .C. .D. . 2 TN1.13 lim 2n3 2n2 3 cĩ giá trị bằng A. 2 . B. 1.C. .D. . TN1.14 lim 3n4 4n2 n 1 cĩ giá trị bằng A. .B. .C. 3 .D. 7 . 9n2 n n 2 TN1.15 lim cĩ giá trị bằng 3n 2 A. 1.B. 3 .C. 0 .D. . TN1.16 lim n2 4 n2 1 cĩ giá trị bằng A. 3 .B. 1.C. 0 .D. . TN1.17 lim n2 2n 1 2n2 n cĩ giá trị bằng A. 1 2 .B. .C. 1.D. . TN1.18 lim n2 2n 3 n cĩ giá trị bằng A. 1. B. 0 .C. . D. 1. TN1.19 lim 2n2 n 1 2n2 3n 2 cĩ giá trị bằng 1 A. . B. 0 .C. . D. . 2 1 1 TN1.20 lim cĩ giá trị bằng n 1 n 2 1 A. 1.B. 0 .C. . D. . 2 TN1.21 lim n n 2 n 3 cĩ giá trị bằng A. 1. B. 0 .C. 1. D. . 3 TN1.22 Nếu limun L thì lim un 8 cĩ giá trị bằng A. L 2 .B. 3 L 8 . C. 3 L 2 .D. L 8 . 1 TN1.23 Nếu limun L thì lim cĩ giá trị bằng un 9 1 1 1 1 A. . B. .C. .D. . L 3 L 9 L 3 L 9 3 n 1 TN1.24 lim cĩ giá trị bằng 3 n 8
  17. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 17 1 1 A. 1.B. .C. .D. . 2 8 3 8n3 2n2 1 TN1.25 lim cĩ giá trị bằng 2n2 1 A. 2 .B. 2 .C. 1.D. . 3n ( 1)n cos3n TN1.26 lim cĩ giá trị bằng n 1 3 A. .B. 3 .C. 5 . D. 1. 2 n TN1.27 lim 3n 5 cĩ giá trị bằng A. 3 . B. .C. .D. 5 . n 5 2n 1 1 TN1.28 lim n 1 cĩ giá trị bằng 5.2n 5 3 1 1 2 1 A. .B. .C. . D. . 3 5 5 5 n 3n 22n TN1.29 lim cĩ giá trị bằng 3 n 3n 22n 2 1 A. 1.B. .C. .D. 1. 4 n n2 1 TN1.30 lim cĩ giá trị bằng n2 n 2 A. 1.B. 2 .C. 0 .D. 1. TN1.31 lim 3 n3 2n2 n cĩ giá trị bằng 2 1 A. .B. .C. 1.D. 0 . 3 3 TN1.32 lim 3 n2 n3 +n cĩ giá trị bằng 1 A. .B. .C. 1.D. 0 . 3 TN1.33 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0 ? n2 1 1 3n 1 2n2 1 2n A. u . B. u . C. u . D. u . n n 3n2 n n 3n2 n n 5 n n 5 TN1.34 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ? n2 2n 1 2n 2 n2 n2 2 A. u . B. u . C. u . D. u . \ n 3n 3n2 n 3n 3 n 3n 3 n n 5n3 TN1.35 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ? n2 3n 2018 2017n A. u . B. u . n 2n n2 n n 1
  18. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 18 2 2 C. un 2017n 2016n . D. un n 1. TN1.36 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 3n2 1 2n3 3 3n2 1 n3 3 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3n3 2 2n3 1 3n3 3n2 n2 1 TN1.37 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 5n2 2 2n 5n3 2n2 n4 3 5n3 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 5n3 4 2n2 1 n3 2n2 n2 1 TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1? n2 2 2n n3 3n2 2n3 3 2n4 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . n3 4 2n2 1 2n3 4n2 2n2 1 TN1.39 Dãy số nào sau đây khơng cĩ giới hạn? n A. lim 1 sin n . B. limsin n . 2 C. limcos n . D. limcos n . 2 TN1.40 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 1? A. limsin n .B. limcos n . n 2 ncos n 2 C. limsin .D. lim 2 . 2n 1 n 1 1 1 TN1.41 Tổng S cĩ giá trị bằng 5 52 5n 1 1 2 5 A. .B. .C. . D. . 5 4 5 4 n 1 1 1 1 1 TN1.42 Tổng S + + n là 2 4 8 2 1 3 2 A. 1. B. . C. . D. 3 4 3 1 3 5 (2n 1) TN1.43 lim cĩ giá trị bằng 5n2 4 1 1 A. 0 . B. .C. .D. . 4 5 1 2 3 n TN1.44 lim cĩ giá trị bằng n2 2 1 A. 1.B. .C. 0 .D. . 2 1 1 1 TN1.45 cĩ giá trị bằng lim 1.2 2.3 n n 1 1 A. .B. 1.C. 0 .D. . 2
  19. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 19 n 2 cos 2n TN1.46 Kết quả đúng của lim 5 là: 2 n 1 1 A. 4. B. 5. C. –4. D. . 4 2 5n 2 TN1.47 Kết quả đúng của lim là: 3n 2.5n 5 5 25 A. –. B. 1. C. . D. –. 2 2 2 n 2 2n 1 TN1.48 Kết quả đúng của lim là 3n 4 2 3 2 1 1 A. –. B. –. C. –. D. . 3 3 2 2 3n n 4 TN1.49 Giới hạn dãy số u với un = là: n 4n 5 3 A. – . B. + . C. . D. 0. 4 3n 4.2n 1 3 TN1.50 lim bằng : 3.2n 4n A. + . B. – . C. 0. D. 1. n3 2n 5 TN1.51 Chọn kết quả đúng của lim : 3 5n 2 A. 5. B. . C. – . D. + . 5 TN1.52 Giá trị đúng của lim n 2 1 3n 2 2 là: A. + . B. – . C. –2. D. 0. TN1.53 Giá trị đúng của lim 3n 5n là: A. – . B. C. 2. D. –2. n TN1.54 lim n 2 sin 2n3 bằng: 5 A. + . B. 0. C. –2 . D. – . TN1.55 Giá trị đúng của lim n n 1 n 1  là: A. –1. B. 0. C. 1. D. + . 2n 2 TN1.56 Cho dãy số (un) với un = (n 1) . Chọn kết quả đúng của limun là: n 4 n 2 1 A. – . B. 0. C. 1. D. + . 5n 1 TN1.57 lim bằng : 3n 1 A. + . B. 1. C. 0. D. – . 10 TN1.58 lim bằng : n 4 n 2 1 A. + . B. 10. C. 0. D. – . TN1.59 lim5 200 3n5 2n 2 bằng : A. 0. B. 1. C. + . D. – .
  20. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 20 1 u n 2 TN1.60 Cho dãy số cĩ giới hạn (un) xác định bởi : . Tìm két quả đúng của limun 1 un 1 ,n 1 2 un 1 A. 0. B. 1. C. –1. D. . 2 1 1 1 1 TN1.61 Tìm giá trị đúng của S = 2 1 . 2 4 8 2n 1 A. 2 +1. B. 2. C. 22 . D. . 2 4n 2n 1 TN1.62 lim4 bằng : 3n 4n 2 1 1 A. 0. B. . C. . D. + . 2 4 n 1 4 TN1.63 Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A. 1. B. 0. C. –1. D. . 2 1 3 5 (2n 1) TN1.64 Tính giới hạn: lim 3n 2 4 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 3 1 1 1 TN1.65 Tính giới hạn: lim 1.3 3.5 n(2n 1) 2 A. 1. B. 0. C. . D. 2. 3 1 1 1 TN1.66 Tính giới hạn: lim 1.3 2.4 n(n 2) 3 2 A. . B. 1. C. 0. D. . 2 3 1 1 1 TN1.67 Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 1 2 2 3 n 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 n 2 1 1 TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim3 . 3 n 2 2n 1 A. 4. B. 3. C. 2. D. . 2 27 81 TN1.69 Tổng vơ hạn 12 9  bằng: 4 16 48 39 75 A. B. C. D. Khơng tồn tại 7 4 16 TN1.70 Biểu diễn số thập phân 1,245454545 như một phân số: 249 137 27 69 A. B. C. D. 200 110 22 55
  21. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 21 Vấn đề 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ  Giới hạn hữu hạn • Giới hạn tại một điểm: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hsố y f x xác định trên K hoặc trên K \ x0. Dãy xn bất kì, xn K \ x0 và xn x0 , thì lim f xn L • Giới hạn bên phải: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x0 ; b : lim f (x) L dãy x bất kì, x lim f (x) L x b và x x thì lim f x L n 0 n n 0 n x x0 x x0 • Giới hạn bên trái: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; x0 : lim f (x) L dãy x bất kì, a x lim f (x) x và x x thì lim f x L n n 0 n 0 n x x0 x • Cho hàm số y f x xác định trên khoảng (a; ) : lim f (x) L dãy xn bất kì, xn a và xn thì lim f xn L x • Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ( ; a) : lim f (x) L dãy xn bất kì, xn a và xn thì lim f xn L x  Giới hạn vơ cực • Cho hàm số y f x xác định trên khoảng (a; ) dãy xn bất kì, xn a và xn thì lim f xn • Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y f x xác định trên K hoặc trên K \ x0. . lim f (x) dãy xn bất kì, xn a , xn K \ x0 và xn x0 thì lim f xn x x0 • Các giới hạn: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) được định nghĩa tương tự. x x x  Nhận xét: f x cĩ giới hạn f x cĩ giới hạn .  Các giới hạn đặc biệt c 1) lim x x0 2) lim x x0 (c: hằng số) 3) lim 0 (c: hằng số) x x x0 x x0 x 1 k k nếu k chẵn 4) lim k 0 5) lim x ( k ¥ * ) 6) lim x x x x x nếu k lẻ  Định lí về giới hạn ở hữu hạn • Định lí 1. - Nếu lim f (x) L và lim g(x) M , thì: x x0 x x0  lim c. f (x) c.L (với C là hằng số)  lim [ f (x) g(x)] L M x x0 x x0  lim [ f (x) g(x)] L M  lim [ f (x).g(x)] L . M x x0 x x0 f (x) L  lim (M 0)  lim f (x) L x x0 g(x) M x x0 1  lim 3 f (x) 3 L  Nếu lim f (x) thì lim 0 x x0 x x0 x x0 f (x) - Nếu f x 0 và lim f (x) L thì L 0 và lim f (x) L x x0 x x0
  22. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 22  Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x • Định lí 2. lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x x x x x 0 0 0 • Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J \ x0 . Nếu f x g x h x , x J \ x0 và lim f (x) lim h(x) L thì x x0 x x0 lim g(x) L . x x0  Quy tắc về giới hạn vơ cực f(x) • Quy tắc tìm giới hạn của tích f x .g x • Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) Dấu f (x) x x x x lim f (x) lim g(x) lim 0 0 x x0 x x x x 0 0 của x x x x x x x x0 g(x) 0 0 0 x x x x x x 0 0 x x x x x 0 g x x L Tùy ý 0 + + L > 0 + + L > 0 0 + + L < 0 L < 0 0 + + Dạng 1. Định nghĩa giới hạn A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tĩm tắt lí thuyết) • Chú ý: 1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f x trên cơ sở giới hạn các dãy f xn . Nếu cĩ 2 dãy xn và xn cùng tiến đến x0 mà lim f (xn ) lim f (xn ) thì khơng tồn tại lim f (x) x x0 2) Với mọi số nguyên dương k , ta cĩ: lim xk ; lim x2k , lim x2k 1 , x x x 1 lim 0 x xk 3) Xác định dấu hoặc – dựa trên dấu của tích số, thương số, x x0 , x x0 , x B. BÀI TẬP MẪU VD 1.18 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: x2 3x 4 1 a) . lim(3x2 x 1) . b) lim 3 x 6 c) lim d) lim x 4 x 1 x 1 x 1 x 2 5 x 2 5 e) lim x cos f) lim 2 g) lim sin x h) lim cos 2x x 0 x x 2 (x 2) x x
  23. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 23 VD 1.19 Tính các giới hạn sau: 3 2 2 x x a) lim(3x 7x 11) b) lim x 4 c) lim 4 x 2 x 3 x 1 (2x 1)(x 3) x4 3x 1 1 x 3 d) lim 2 e) lim x 3 f) lim 2 x 2 2x 1 x 0 x x 9 9x x
  24. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 24 Dạng 2. Giới hạn một bên A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nếu lim f (x) lim f (x) thì khơng tồn tại lim f (x) x x x x0 x x0 0 x x0 x x0 x x x x • Nếu lim f (x) lim f (x) L thì lim f (x) L 0 0 x x0 x x0 x x0 B. BÀI TẬP MẪU 3x 5 1 VD 1.20 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: a) lim b) lim x 2 x 1 x 3 x 3 2x 1 2x 1 2x 1 VD 1.21 Tính các giới hạn sau: lim ; lim ; lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 VD 1.22 Tính các giới hạn sau: lim ; lim ; lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
  25. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 25 x 2 x 4 x2 VD 1.23 Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim x 0 x x x 2 2 x x2 2x 3 khi x 2 VD 1.24 Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu cĩ) 3 4x 29 khi x 2 x 2 x 2 x 0 2 x 1 khi x 1 VD 1.25 Cho f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu cĩ) 2 x 1 2x 1 khi x 1 x ( 1) x ( 1) 2 4x 5x khi x 2 VD 1.26 Cho . f (x) Tìm a để hàm số cĩ giới hạn khi x 2. x 7 4a khi x 2
  26. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 26 Dạng 3. Khử dạng vơ định A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp chung: • Trước khi giải bài tốn tìm giới hạn là thế thử x x0 hoặc x , x – theo yêu cầu đề xem xét giới hạn cần tìm cĩ dạng vơ định khơng. • Nếu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, thì dùng định lí về các phép tốn tổng, hiệu, thương để giải. • Nếu mẫu thức tiến đến + hoặc – và tử tiến đến một số khác 0 thì giới hạn cho bằng 0. • Nếu mẫu thức tiến đến 0 là tử và tử thức tiến đến một số khác 0 thì giới hạn là dạng + hoặc – , tùy theo dấu các thừa số, của tử và của mẫu. (Xem bảng Quy tắc tìm giới hạn của thương) 0 • Nếu cĩ dạng vơ định: , , 0. , thì chọn phương pháp tương ứng để khử dạng vơ 0 định. 2. Phương pháp khử dạng vơ định khi x + , x – • Đối với hàm phân thức, ta chia tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x, việc này cũng như đặt thừa số chung cho lũy thừa cao nhất đĩ. (Làm tương tự như giái hạn của dãy số) 0 khi m n m m 1 a0 x a1x am a0 Xét hàm số: f (x) , a0 0, b0 0 thì lim f (x) khi m n n n 1 x b0 x b1x bn b0 khi m n a (dấu + hoặc – tùy theo dấu của 0 ) b0 • Đối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức đưa về dạng phân thức đã nêu.  Chú ý: 1) Hướng tìm giới hạn hàm số này tương tự như dãy số 2) Với các biểu thức hỗn hợp, ta thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số để chia tách thành các phân thức mà các giới hạn mới vẫn giữa nguyên dạng vơ định .
  27. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 27 3) Đưa biểu thức ra ngồi dấu căn:  A2 A , 3 B3 B  Khi x thì x2 x ; Khi x thì x2 x 4) Một số bài phức tạp cĩ thể đặt ẩn phụ và chuyển quan hệ giới hạn sang ẩn mới. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.27 Tính các giới hạn sau: 5x 2 2x3 x 10 3x4 5x2 7 a) lim b) lim c) lim x 3x 1 x x3 3x 3 x x3 15x 2x3 5x2 1 x4 x3 3 (x 1)2 (2x 1)2 d) lim e) lim f) lim x 7x2 x 4 x 2x6 7 x (2x3 1)(x 2)3
  28. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 28 VD 1.28 Tính các giới hạn sau: x2 x 2x 2x2 7x 1 x2 2x a) lim b) lim c) lim 3 x 2x 3 x 3 x 7 x 8x2 x 5 x x 5 x4 x x6 8x d) lim e) lim f) lim x x2 x 2 x 1 3x x x4 2x2 2
  29. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 29 Dạng 4. Khử dạng vơ định 0 0 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI f (x) f (x) (x x0 ). f1(x) • Đối với hàm phân thức: lim , ta phân tích rồi rút gọn cho x x0 x x 0 g(x) g(x) (x x0 ).g1(x) • Đối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thừa số x x0 rồi rút gọn.  Chú ý: 1) Sử dụng các hằng đẳng thức, nhĩm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoĩcne, 2) Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo 0 x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vơ định . 0 3) Nếu lim f (x) ; lim g(x) thì x x0 x x0 lim (x) g(x) ; lim (x).g(x) x x0 x x0 4) Mở rộng HĐT: an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 a2bn 3 abn 2 bn 1) B. BÀI TẬP MẪU VD 1.29 Tính các giới hạn sau: x3 8 x3 3 3 x4 16 a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 2 x 4 x 3 3 x x 2 x 6x 8 x4 27x 2x2 5x 3 2x2 5x 3 d) lim 2 e) lim 2 f) lim 2 x 3 2x 3x 9 x ( 3) (x 3) x ( 3) (x 3) xn 1 xn 1 x5 x3 2 4x5 5x4 1 g) lim h) lim i) lim j) lim x 1 x 1 x 1 xm 1 x 1 x2 1 x 1 (x 1)(x3 x 2)
  30. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 30 VD 1.30 Tính các giới hạn sau: 3 x 2 4 x x3 1 1 a) lim b) lim c) lim x 9 9 x x 0 x x 0 x2 x 2x x2 1 8 2x 2 1 x x 1 d) lim 2 e) lim f) lim x 1 x x x ( 2) x 2 x 1 x2 x3
  31. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 31 VD 1.31 Tính các giới hạn sau: 3 3x 8 2 3 2x 1 3 x x 2 2x a) lim b) lim c) lim x 0 5x x 1 x 1 x 2 x 1 3 x 4 x2 2 x 1 2x 1 x2 3x 1 x 2 x2 x 1 d) lim e) lim f) lim x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 4x 3
  32. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 32 Dạng 5. Khử dạng vơ định - , 0. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp chung: • Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x • Quy đồng mẫu phân số • Nhân chia lượng liên hợp để khử căn 0 • Chuyển về dạng hoặc đã biết. 0 B. BÀI TẬP MẪU VD 1.32 Tính các giới hạn sau: a) lim (3x3 8x2 7) b) lim 2x4 3x 12 c) lim x2 3 x d) lim x2 x 4 x2 x x x x
  33. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 33 VD 1.33 Tính các giới hạn sau: 1 1 1 1 3x a) lim b) lim c) lim (x3 1) 2 2 2 x 0 x x x 2 x 2 x 4 x ( 1) x 1 x 1 2 1 n 1 d) lim (x 2) 3 e) lim 2 f) lim n x x x x 1 1 x 1 x x 1 1 x 1 x
  34. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 34 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2 1.10 Tìm các giới hạn sau: x2 1 4 x2 2x 6 1) lim 2) lim 3) lim x 3 x 1 x 2 x 2 x 4 x 17 x 3 3 2x2 x 1 4) lim 5) lim 6) lim x x2 1 x 6 x 6 x 3 x 3x 5 2x 7 2x 7 7) lim 2 8) lim 9) lim x 2 (x 2) x 1 x 1 x 1 x 1 2x 3 10) lim 11) lim (x4 x2 x 1) 12) lim ( 2x3 3x2 5) x 4 x 4 x x x2 1 x x 3 13) lim x2 2x 5 14) lim 15) lim x x 5 2x x 2 x2 x 4 x2 5x 6 2x 5 x 3 16) lim 2 17) lim 18) lim x 3 x 3x x 4 x 4 x 3x 1 x2 2x 4 x 19) lim ( x3 x2 2x 1) 20) lim x x 3x 1 1.11 Tìm các giới hạn sau: x2 3x 4 1 1) lim 2) lim 3) lim(3x2 7x 11) x 1 x 1 x 1 5 x x 2 x x3 1 x 3 4) lim 4 5) lim x 1 6) lim 2 x 1 (2x 1)(x 3) x 0 x x 9 9x x 4 2 x 3x 1 2 7) lim | x 4 | 8) lim 2 9) lim | x 8 | x 3 x 2 2x 1 x 3 x2 x 1 x3 2x(x 1) 10) lim 11) lim 12) lim 3 x 2 x2 2x x 1 x2 3 x 3 x2 6 1 x3 3x x3 8 x3 2 2 13) lim 2 14) lim 15) lim 2 x 2 2x x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x4 27x x4 16 2 2x 1 16) lim 2 17) lim 2 18) lim 2  x 3 2x 3x 9 x 2 x 6x 8 x 1 (x 1) 2x 3
  35. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 35 1 1 x3 8 2x x2 1 19) lim 2 20) lim 2 21) lim 2 x 0 x x x 2 x 4 x 1 x x x 1 x3 1 1 2 | x 1| 5 x2 3 22) lim 23) lim 24) lim x 1 x 3 2 x 0 x2 x x 2 2x 3 3 x 2 4 x x3 3 3 25) lim 26) lim 27) lim 2 x 9 9 x x 0 x x 3 3 x x4 4 x4 x3 11 x 2 28) lim 29) lim 30) lim x x 4 x 2x 7 x 4 x2 4x x2 x 1 1 x x x2 5 3 31) lim 32) lim 33) lim x 0 3x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 (1 x)3 1 1 1 34) lim 2 35) lim 26) lim 2  2 1 x 3 x 2x 3 x 0 x x 0 x x 1 x 5 x2 1 1 2x3 5x 4 37) lim 38) lim 39) lim 2 x 5 x 5 x 0 4 x2 16 x 1 (x 1) x 5 5 3 x 4 40) lim 41) lim 42) lim x 2 x2 x 3 x 1 (x 1)(x2 3x 2) x 2 (x 2)2 4 x 1.12 Tìm các giới hạn sau: 3x2 x 7 2x4 7x2 15 x6 2 1) lim 2) lim 3) lim x 2x3 1 x x4 1 x 3x3 1 x6 2 x2 2x x x 4) lim 5) lim 3 6) lim x 3x3 1 x 8x2 x 3 x x2 x 2 x3 5 2x5 x3 1 2 | x | 3 3 7) lim 2 8) lim 2 3 9) lim x x 1 x (2x 1)(x x) x x2 x 5 x2 x 2x x x4 4 10) lim 11) lim (x 1) 12) lim x 2x 3 x 2x4 x2 1 x x 4 | x | x2 x x4 x 13) lim 14) lim 15) lim x2 1 x x x 10 x 1 2x x 2x2 7x 12 2x3 x 16) lim 2x2 1 x 17) lim 18) lim x x x 3| x | 17 x x5 x2 3 x4 x3 11 x2 x 5 19) lim 20) lim 21) lim x2 x 4 x2 x 2x 7 x 2x 1 x 2x4 x2 1 2x2 x 10 22) lim 2x4 3x 12 23) lim 24) lim x x 1 2x x 9 3x3 x2 3x x 1 x 5 25) lim 26) lim 27) lim x x 2 x x2 1 x x 5 1 2x 3x2 2x4 5x 1 (x2 1)(1 2x)5 28) lim 29) lim 30) lim x x3 9 x 1 x2 x4 x x7 x 3 31) lim x x2 x 1 32) lim x3 2x2 x 1 33) lim x x2 1 x x x x x 4x2 x 1 x3 2x 2 34) lim 35) lim 36) lim (3x3 5x2 7) x 1 2x x 3x3 2x2 x 10 x
  36. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 36 4x3 3x2 7x 5 2x2 4x 3 x2 2x 3 4x 37) lim 3 38) lim 3 2 39) lim x 2x x 2 x x 2x 3x 1 x 4x2 1 x 1 1.13 Tìm các giới hạn sau: x 2 x 1) lim x 1 2) lim 5 x 2x 3) lim x 1 x 5 x 0 x x 4 x2 x2 3x 2 x2 7x 12 4) lim 5) lim 6) lim x 2 2 x x ( 1) x5 x4 x 3 9 x2 x2 3x 2 1 x x 1 2x 1 7) lim 8) lim 9) lim x ( 1) x5 x4 x 1 x2 x3 x 2 x 2 2x 1 x 1 1 10) lim 11) lim (x3 1) 12) lim 2 2 x 2 x 2 x ( 1) x 1 x 2 x 2 x 4 2x2 5x 3 2x2 5x 3 x 1 13) lim 2 14) lim 2 15) lim 2 x ( 3) (x 3) x ( 3) (x 3) x 1 x x x2 x x x 1 x 3 x 16) lim 2 17) lim 18) lim x 0 x x 1 2 1 x 1 x x 3 27 x3 x3 8 x4 1 8 2x 2 19) lim 2 20) lim 2 21) lim x 2 x 2x x ( 3) x 4x 3 x ( 3) x 2 1 1 x 3 3x 1 22) lim 23) lim x2 8x 3 24) lim 2 x 2 x 4 x 2 x 3 x 1 x 1 x2 3x 2 x2 5x 10 x2 3x 2 25) lim 2 26) lim 2 27) lim 2 x 1 x 5x 4 x 5 x 25 x 1 x 5x 4 1.14 Tìm các giới hạn sau: 1 1 1 1) lim 2) lim 3) lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 | x 2 | | x 2 | | x 2 | 4) lim 5) lim 6) lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1.15 Tìm giới hạn bên phải, bên trái và giới hạn (nếu cĩ) của cá hàm số: 2 | x | 1 khi x 2 1) f (x) khi x 2 2 2x 1 khi x 2 x2 2x 3 khi x 2 2) f (x) khi x 2 4x 3 khi x 2 2x 1 khi x 1 3) f (x) 2 khi x 1 x 3 khi x 1 x2 4 khi x 2 x 2 4) f (x) khi x 2 x 6 2 khi x 2 x 2 2x 1 khi x 1 5) f (x) x khi x 1 5x 3 khi x 1
  37. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 37 7 x 2 khi x 3 3 4 x 6) f (x) khi x 3 4 khi x 3 5 x2 x 2 khi x 1 7) f (x) x 1 khi x 1 2 x x 1 khi x 1 x 3 2 khi x 1 x 1 8) f (x) khi x 1 2 2x 3x 1 2 khi x 1 4(3x 5x 2) 3 khi x 0 2 9) f (x) khi x 0 x 1 1 khi x 0 3 1 x 1 4 x2 khi x 2 10) f (x) x 2 khi x 2 1 2x khi x 2 1.16 Với giá trị nào của m thì hàm số sau cĩ giới hạn khi x 1 ? Tìm giới hạn đĩ. x3 1 1 3 khi x 1 khi x 1 1) f (x) x 1 2) f (x) x 1 x3 1 mx 2 khi x 1 mx 2 khi x 1 x2 x 3 khi x 1 x3 1 khi x 1 3) f (x) x m 4) f (x) 2x 2 khi x 1 x m khi x 1 1.17 Tìm các giới hạn sau: 2x2 3x 2 x2 x 6 x3 8 1) lim 2) lim 3) lim x 2 x2 4 x 3 x2 9 x 2 x2 3x 2 1 2 1 12 4 x2 4) lim 2 5) lim 3 6) lim 3 x 1 x 1 x 1 x 2 2 x 8 x x 2 x 8 x2 3x 2 2x2 3x 1 9 x2 7) lim 8) lim 9) lim x 2 (x 2)2 x 1 x3 x2 x 1 x 3 x3 27 4 x2 x4 1 x3 x2 x 1 10) lim 11) lim 12) lim x 2 x3 8 x 1 x5 1 x 1 x2 3x 2 (x 1)2 2(1 x) 3 x3 1 (x2 x 2)2 13) lim 14) lim 15) lim x 2 (x 1)3 2(x 1)2 1 x 1 x3 x2 x 1 x 2 x3 12x 16 2x3 5x2 7x 2 3x3 5x2 2 x2 2 16) lim 2 17) lim 2 18) lim x 2 x 3x 2 x 1 3x 5x 2 x 2 x2 x 2 2 x4 x3 x 1 x3 3x2 9x 2 2x3 3x 5 19) lim 20) lim 21) lim x 1 x3 5x2 7x 3 x 2 x3 x 6 x 1 x3 3x2 x 1 4x2 3x 7 2x3 x2 2x 1 23) lim 24) lim x 1 x3 1 x 1 x3 1 1.18 Tìm các giới hạn sau:
  38. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 38 3x 1 x 3 1 3x 1 x 3x 2 1) lim 2) lim 3) lim x 1 x3 1 x 0 3x x 2 x2 4 x2 4 2 x2 1 1 x x 2 4) lim 5) lim 6) lim x 0 3 3x2 9 x 0 x2 16 4 x 2 4x 1 3 x 1 x2 x 1 3 x 1 x 1 x 4 3 7) lim 8) lim 9) lim x 0 x x 1 4 x 1 x 0 x 1 3 1 x x 2 x 8 1 x 1 10) lim 11) lim 12) lim x 0 3x x 1 x 3 x 3 x 0 x 3 1 x 1 x x2 3x 2 3 x 1 13) lim 14) lim 15) lim x 0 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 3x 2 3 x 9 2x 16) lim 4 17) lim 2 18) lim x 2 x 4 x 0 x x x 0 4x2 x3 3 x 1 1 x 1 x 2x 4 19) lim 20) lim 21) lim x 1 x2 3 2 x 0 3 1 x 3 1 x x 8 3 x 2 3 1 x2 1 2x 1 x 1 2x 22) lim 23) lim 24) lim x 0 x2 x x 0 3 1 x 1 x 0 1 3 2x 1 1.19 Tìm các giới hạn sau: 1 3 2 1 1) lim 3 2) lim 2 x 1 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3) lim (2x 1 4x2 6x 3) 4) lim (1 3x 9x2 2x 1) x x 5) lim ( x2 4x x) 6) lim ( x2 x 3 x) x x 7) lim ( 4x2 4x 1 2x 3) 8) lim ( 4x2 3x 1 2x 5) x x 9) lim ( x2 x 1 x2 x 1) 10) lim ( x2 5x x2 3x 1) x x 11) lim x( x2 1 x) 12) lim x( x2 2x 2 x2 x x) x x 13) lim ( 3 x3 x2 x) 14) lim ( 3 x3 3x2 x2 2x) x x 15) lim ( 3 x3 5x2 3 x3 8x) 16) lim ( 3 x 5 x) x x 1.20 Tìm các giới hạn sau: x3 3x 1 x 2 x2 1 x 1) lim 2) lim 3) lim x x2 x x x x2 x 1 x 3x 5 1 2 x x x 2x2 3 4) lim 5) lim 6) lim x x 3 x 1 | x | x 4x 2 3x 2 x 1 3x 2 x x4 5x (2x 3)4 (3x2 x 1)3 7) lim 8) lim 9) lim x 4 2 x x x 2x2 4x 5 x 3x2 (4x 1)3 x 3 x 4 x 1 2 x x 2x3 3x2 5 10) lim 11) lim 12) lim x 2x 1 x 3 4 x x 4x3 2x 3 (4x 3)2 (3x2 1)6 (3x 1)2 (4x2 1)3 x 2 13) lim 3 3 4 14) lim 4 2 15) lim x (3x 4) (2x 1) x (2x 1) x x2 x x
  39. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 39 9x2 2x 5x x2 1 2x 3 x2 x 1 16) lim 17) lim 18) lim x 2x x2 2 x x 1 x2 1 x x 1 3 8x3 2x 1 x 1 x x3 x2 19) lim 20) lim 21) lim 2 x x2 x 1 x x2 x 1 x 3x 4 3x 2 1.21 Tìm các giới hạn sau: 1 sin x 1 cos x cos x cos3x 1) lim 2) lim 3) lim 2 x cos x x 0 sin x x 0 sin x 2 1 sin x cos x tan x sin x 2sin x 1 4) lim 5) lim 6) lim 3 2 x 0 1 sin x cos x x 0 sin x x 4cos x 3 6 cos x cos3x 1 2 1 7) lim 8) lim tan x 9) lim 2 x 0 sin 2x x cos x x 0 sin x 1 cos x 2 cos 2x cos 4x 1 sin2 x cos x cos3x cos x 10) lim 11) lim 12) lim x 0 sin x x 0 sin2 x x 0 cos5x cos3x sin x 1.22 Cho lim 1. Tìm các giới hạn sau: x 0 x x tan x 1 cos5x sin x 3 cos5x 1) lim 2) lim 3) lim 4) lim x 0 sin x x 0 x x 0 x2 x 0 3x 1 x2 x3 x2 1 y y 1.23 Cho hai hàm số f (x) và g(x) . x2 x2 1) Tính lim f (x) , lim g(x) , lim f (x) , lim g(x) . x 0 x 0 x x 1 2) Hai đường cong sau là dồ thị của hai hàm 1 O x O x số đã cho. Từ kết quả câu 1), hãy xác định -1 xem đường cong nào là đồ thị của hàm số a) b) y nào? 2x2 15x 12 1.24 Cho hàm số : f (x) 2 cĩ đồ thị như hình vẽ. x 5x 4 3 1) Dựa vào đồ thị, dự đốn giới hạn của hàm số f(x) khi x 1 , x 1 , x 4 , x 4 , x và x . 2 2) Chứng minh dự đốn đĩ. O 1 4 x
  40. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 40 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.71 lim 2 cĩ giá trị bằng x 2 A. 2 .B. 2 .C. 0 .D. 4 . TN1.72 lim x2 x 2 cĩ giá trị bằng x 2 A. 4 .B. 8 .C. 0 .D. 4 . x 2 TN1.73 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1 1 A. 1. B. 2 .C. .D. . 2 x3 3x 2 TN1.74 lim cĩ giá trị bằng x 2x3 x2 1 1 A. .B. 2 .C. 0 .D. 1. 2 3x3 4x4 2 TN1.75 lim cĩ giá trị bằng x 2x3 2x2 3 3 A. 2 . B. .C. .D. . 2 2x3 9x5 1 TN1.76 lim cĩ giá trị bằng x 4x5 2x3 3 1 3 9 A. .B. .C. 1.D. . 2 2 4 3x2 x4 TN1.77 lim cĩ giá trị bằng x 1 5x5 3x6 2 1 3 A. .B. 1.C. 0 .D. . 5 5 x4 2x3 TN1.78 lim cĩ giá trị bằng x 1 x4 x2 1 A. 1. B. 1.C. 3 .D. . x3 2x TN1.79 lim cĩ giá trị bằng x 3 x3 3x 2 21 21 A. .B. .C. 0 .D. 1. 16 20 2x 2 TN1.80 lim cĩ giá trị bằng x 2 x 2 1 A. .B. 2 .C. 0 .D. 1. 2 2 x 3 TN1.81 lim cĩ giá trị bằng x 7 x2 49
  41. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 41 1 A. 1.B. 1.C. 2 .D. . 56 TN1.82 lim 3x3 4x 1 cĩ giá trị bằng x 2 A. 1.B. 2 .C. 17 .D. 17 . x3 2x2 3 TN1.83 lim cĩ giá trị bằng x 1 x2 9x3 2 3 2 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 3 2 x3 10x 3 TN1.84 lim cĩ giá trị bằng x 3 x2 x 2 3 3 A. 1. B. .C. .D. . 4 2 x2 2 TN1.85 lim 2 cĩ giá trị bằng x 2 x x A. 3 .B. 3 .C. 0 .D. 1. x 1 TN1.86 lim cĩ giá trị bằng x 2 x 2 1 A. 1.B. .C. .D. . 2 x 1 TN1.87 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1 A. 1.B. 1.C. .D. . x 3 TN1.88 lim cĩ giá trị bằng x 1 1 x A. .B. .C. 1.D. 3 . TN1.89 lim x 2 x 1 cĩ giá trị bằng x A. . B. .C. 0 .D. 1. TN1.90 lim x x2 3 x cĩ giá trị bằng x 3 3 A. .B. .C. 3 .D. . 2 2 TN1.91 lim x x2 1 x cĩ giá trị bằng x A. 2 .B. .C. 1.D. 3 . x3 1 TN1.92 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1 A. . B. .C. 3 .D. 1. x4 1 TN1.93 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1
  42. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 42 A. 4 .B. 2 .C. 1.D. . x4 1 TN1.94 lim cĩ giá trị bằng x 1 x3 1 4 3 A. .B. .C. 1.D. . 3 4 x 2 x2 x 2 TN1.95 lim cĩ giá trị bằng x 0 x 2 A. 2 .B. .C. 2 .D. 0 . 2 x2 3x 2 TN1.96 lim cĩ giá trị bằng x 2 3x 6 2 1 1 A. . B. .C. .D. 1. 3 3 3 x2 x 6 TN1.97 lim cĩ giá trị bằng x 3 x 2 A. 6 .B. 0 .C. 1.D. . x2 x 6 TN1.98 lim cĩ giá trị bằng x 2 3x 6 5 4 5 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 x2 x 12 TN1.99 lim cĩ giá trị bằng x 4 2x 8 1 7 A. .B. 1.C. .D. . 2 2 x2 x 6 TN1.100 lim cĩ giá trị bằng x 2 x2 4 4 1 5 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 x3 8 TN1.101 lim cĩ giá trị bằng x 2 x2 2x A. 6 . B. 5 .C. 1.D. 0 . x2 3x 2 TN1.102 lim cĩ giá trị bằng x 1 x3 1 1 A. 3 .B. 1.C. 0 .D. . 3 x2 5x 4 TN1.103 lim cĩ giá trị bằng x 4 x 2 A. 6 . B. 0 .C. 12.D. 1. 2 3x 4 TN1.104 lim cĩ giá trị bằng x 0 x2 3x 1 1 A. . B. 0 .C. .D. 1. 4 4
  43. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 43 2 3 4x 8 TN1.105 lim cĩ giá trị bằng x 0 x 4 2 1 A. 3 .B. 1.C. 0 .D. . 3 3 5 3x 2 TN1.106 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1 1 1 A. .B. 1.C. 0 .D. . 4 4 2 3 4x 8 TN1.107 lim cĩ giá trị bằng x 0 x 4 2 1 4 A. .B. 1.C. 0 .D. . 3 3 x2 3 TN1.108 lim cĩ giá trị bằng x 1 x 1 A. .B. .C. 3 .D. 0 . 2x2 x 3 TN1.109 lim cĩ giá trị bằng x 2 x 2 A. .B. .C. 2 .D. 0 . x 3 TN1.110 lim 2 cĩ giá trị bằng x 2 x 4 3 A. .B. .C. 0 .D. . 4 x 3 TN1.111 lim 2 cĩ giá trị bằng x 1 x 4x 3 A. . B. 0 .C. .D. 1. x 2 TN1.112 lim x 1 cĩ giá trị bằng x x3 8 A. 0 .B. 1.C. . D. . 1 3 TN1.113 lim 3 cĩ giá trị bằng x 1 1 x 1 x A. 1.B. .C. .D. 0 . 2 1 TN1.114 lim 2 cĩ giá trị bằng x 1 x 1 x 1 1 A. .B. .C. 0 .D. . 2 x3 1 khi x 1 TN1.115 Cho hàm số f x . Khi đĩ lim f x bằng 2 khi x 1 x 1 A. 1.B. 2 .C. 0 .D. khơng tồn tại.
  44. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 44 Vấn đề 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC  Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa:  Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f (x) f (x0 ) x x0  Hàm số khơng liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f x .  Theo định nghĩa trên, hàm số f x xác định trên khoảng a; b là liên tục tại điểm x a; b nếu và chỉ nếu lim f (x) và lim f (x) tồn tại và lim f (x) lim f (x) f (x ) 0 0 x x0 x x0 x x0 x x0  Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn  Hàm số f x xác định trên khoảng a; b được gọi là liên tục trên khoảng đĩ, nếu nĩ liên tục tại mọi điểm của khoảng đĩ.  Hàm số f x xác định trên đoạn a; b được gọi là liên tục trên đoạn đĩ, nếu nĩ liên tục trên khoảng a; b và lim f (x) f (a) , lim f (x) f (b) (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b ) x a x b Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đĩ. ❖ Tính liên tục của một số hàm số:  Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàn số liên tục tại điểm đĩ (giá trị của mẫu tại điểm đĩ phải khác 0).  Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.  Các hàm y sin x, y cos x, y tan x, y cot x liên tục trên tập xác định của chúng.  Tính chất của hàm số liên tục  Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a; b. Nếu f a f b thì với mỗi số thực M nằm giữa f a và f b , tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c M .  Hệ quả 1:Nếu hàm f liên tục trên a; b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c 0 .  Hệ quả 2:Nếu hàm f liên tục trên a; b và f x 0 vơ nghiệm trên a; b thì hàm số f cĩ dấu khơng đổi trên a; b. Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
  45. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 45 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để xét sự liên tục của hàm số y f (x) tại điểm tại x0 ta thực hiện các bước: ✓ Bước 1: Tính f x0 ✓ Bước 2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp để tính lim f (x) ta cần tính lim f (x) và x x x x 0 0 x x0 lim f (x) ) x x0 ✓ Bước 3: So sánh lim f (x) và f x0 rồi rút ra kết luận. x x0 ✓ Chú ý: Hàm số khơng liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 . B. BÀI TẬP MẪU VD 1.34 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: x 3 x2 3x 2 khi x 1 khi x 2 a) f (x) x 1 (x0 1) b) f (x) x 2 (x0 2) 1 khi x 1 1 khi x 2 x 1 x3 x2 x 1 2 khi x 1 2 khi x 1 c) f (x) x 1 (x0 1) d) f (x) x 3x 2 (x0 1) 2 khi x 1 1 khi x 1 VD 1.35 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: x 5 (x 1)2 khi x 0 khi x 5 a) f (x) (x0 0) b) f (x) 2x 1 3 (x0 5) 1 khi x 0 2 (x 5) 3 khi x 5
  46. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 46 1 khi x 1 x 5 x 2 khi x 5 c) f (x) (x0 1) d) f (x) 2x 1 3 (x0 5) 1 2 khi x 1 (x 5) 3 khi x 5 x VD 1.36 Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x0 : x3 x2 2x 2 x2 3x 2 khi x 1 2 khi x 2 a) f (x) x 1 (x0 1) b) f (x) x 2x (x0 2) 3x m khi x 1 mx m 1 khi x 2 x 2 2 x2 4x 3 khi x 2 khi x 1 c) f (x) x 7 3 (x0 2) d) f (x) x 1 (x0 1) 2 x 3mx khi x 2 12 m khi x 1
  47. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 47 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.25 Xét tính liên tục của hàm số f tại x0 : x3 x2 x 1 2 khi x 1 1) f (x) x 3x 2 tại x0 1, x0 2 , x0 3. 1 khi x 1 x3 x 2 khi x 1 x3 1 2) f (x) tại x0 1, x0 1 . 4 khi x 1 3 1 2x 3 khi x 2 3) f (x) 2 x tại x0 2 , x0 1, x0 6 . 1 khi x 2 x 2 khi x 4 4) f (x) x 5 3 tại x0 4 . 1 khi x 4 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 5) f (x) tại x0 2 . 3 khi x 2 4 | x 2 | x khi x 2 6) f (x) x 2 tại x0 2 . 3 khi x 2 3x 2 4x2 x 2 khi x 1 x2 3x 2 7) f (x) tại x0 1. 1 khi x 1 2 | x 2 | x khi x 2 8) f (x) x 2 tại x0 2 . 3 khi x 2 x3 8 khi x 2 9) f (x) 4x 8 tại x0 2 . 3 khi x 2 1.26 Xét tính liên tục của hàm số f tại x0 : x2 4x 3 khi x 3 1) f (x) x 3 tại x0 3, x0 4 . 2x 4 khi x 3 x 5 khi x 5 2) f (x) 2x 1 3 tại x0 5, x0 6 . 2 (x 5) 3 khi x 5 x2 x 2 khi x 1 x 1 3) f (x) 2 khi x 1 tại x0 1, x0 4 . x 1 khi x 1 x 1
  48. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 48 x 3 2 khi x 1 x 1 1 3) f (x) khi x 1 tại x0 1, x0 2 . 4 x2 1 2 khi x 1 x 6x 7 x 2 khi x 4 x 5 3 5) f (x) tại x0 4 . x2 5x 8 khi x 4 6 2x 1 2 khi x 1 x 1 6) f (x) tại x0 1, x0 1. x2 8 1 khi x 1 3 sin x cos x khi x 4 tan x 7) f (x) 4 tại x0 . 4 2sin x khi x 4 1.27 Định a để hàm số f liên tục tại x0 : x2 6x 5 khi x 1 x2 1 1) f (x) tại x0 1. 5 a khi x 1 2 x3 4x2 3 khi x 1 x2 1 2) f (x) tại x0 1. 5 ax khi x 1 2 x3 4x 3 khi x 1 x2 4x 3 3) f (x) tại x0 1. 3 a khi x 1 2 x4 4x3 2x 1 khi x 1 x3 1 4) f (x) tại x0 1. 1 a khi x 1 3 x 2 khi x 4 x 5 3 5) f (x) tại x0 4 . 5 ax khi x 4 2 3x 1 x 3 khi x 1 x2 1 6) f (x) tại x0 1. 5 a khi x 1 4
  49. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 49 x 4 2 khi x 0 x 7) f (x) tại x0 0 . 5 2a khi x 0 4 2x 1 x 5 khi x 4 8) f (x) x 4 tại x0 4 . a 2 khi x 4 x2 x 2 khi x 2 9) f (x) x 2 tại x0 2 . a khi x 2 x3 3x2 4 2 khi x 1 10) f (x) x 1 tại x0 1. a khi x 1 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 11) f (x) tại x0 2 . 1 ax khi x 2 4 1.28 Định a, b để hàm số f liên tục tại x0 : 1 x 1 x khi x 0 x 1) f (x) tại x0 0 . 4 x a khi x 0 x 2 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 2) f (x) tại x0 2 . 4 ax khi x 2 4 1 x 1 x khi x 0 2x 3) f (x) tại x0 0 . x3 3x 1 a khi x 0 x 2 3x2 8 2 khi x 2 x 2 4) f (x) tại x0 2 . 1 ax khi x 2 4 2sin x 3 khi x 2cos x 1 3 5) f (x) tại x0 . 3 3 2a x khi x 3 1.29 Định f x0 để hàm số f liên tục tại x0 : x2 2x x2 2x 1) f (x) (x 0) tại x 0 2) f (x) (x 0) tại x 0 x 0 x 0 x3 3x2 2x x2 1 1 3) f (x) 2 (x 2) tại x0 2 4) f (x) (x 0) tại x0 0 x 5x 6 x2 16 4
  50. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 50 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ✓ Để chứng minh hàm số y f ( x ) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận. ✓ Khi nĩi xét tính liên tục của hàm số (mà khơng nĩi rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nĩ. ✓ Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nĩ hàm số khơng liên tục tại các điểm nào. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.37 Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1 a) f (x) x2 x 3 b) f (x) 1 x 2 x x 2 2 x 2 x3 8 khi x 2 khi x 2 c) f (x) x 2 d) f (x) 4x 8 2 2 khi x 2 3 khi x 2 x3 27 1 2 khi x 3 khi x 1 x 9 x 2 e) f (x) f) f (x) 5 khi x 3 1 khi x 1 2x 1 khi x 3 x
  51. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 51 2 x 1 x 1 khi x 1 VD 1.38 Chứng minh rằng hàm số f (x) x2 2x 3 liên tục trên 1; . 1 khi x 1
  52. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 52 x2 x khi x 1 VD 1.39 Tìm m để hàm số f (x) 1 khi x 1 liên tục trên tập xác định của nĩ mx 1 khi x 1 VD 1.40 Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: 3x2 4x 5 1 cos x khi x 0 a) f (x) 2 b) f (x) x 4x 3 x 1 khi x 0
  53. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 53 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.30 Chứng minh rằng: x3 1 1) Các hàm số f x x3 – x 3 và g x liên tục trên ¡ . x2 1 x2 3x 2 khi x 2 2) Hàm số f (x) x 2 liên tục tại điểm x 2 . 1 khi x 2 x3 1 khi x 1 3) Hàm số f (x) x 1 gián đoạn tại điểm x 1. 2 khi x 1 (x 1)2 khi x 0 4) Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm . 2 x 0 x 2 khi x 0 5) Hàm số f x x4 – x2 2 liên tục trên ¡ . 1 6) Hàm số f x liên tục trên khoảng ( 1; 1) . 1 x2 7) Hàm số f(x) = 8 2x2 liên tục trên đoạn[ 2; 2]. 1 8) Hàm số f(x) = 2x 1 liên tục trên khoảng ; . 2 x2 3x 4 9) Hàm số f (x) liên tục trên tập xác định của nĩ. 2x 1 1 10) Hàm số f (x) x2 x 3 liên tục trên tập xác định của nĩ. x 2 11) Hàm số f (x) 1 x 2 x liên tục trên tập xác định của nĩ. 12) Hàm số f (x) x 3 liên tục trên tập xác định của nĩ. 13) Hàm số f x x2 sin x – 2cos2 x 3 liên tục trên ¡ . x3 x cos x sin x 14) Hàm số f (x) liên tục trên ¡ . 2sin x 3 (2x 1)sin x cos3 x 15) Hàm số f (x) liên tục trên ¡ \{k , k ¡ }. xsin x 1.31 Xét tính liên tục của hàm số f trên tập xác định: x2 x 1 1 2x 3 1) f (x) 2) f (x) x2 4 2 x x3 x 2 x3 3x 2 3 khi x 1 2 khi x 1 x 1 x 1 3) f (x) 4) f (x) 4 1 khi x 1 khi x 1 3 2 3 x 1 2 khi x 1 3 (x 1) x2 1 x khi x 1 5) f (x) 6) f (x) x 1 1 khi x 1 4 khi x 1 6
  54. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 54 1 | x 1| khi x 1 x khi x 1 x 2 7) f (x) x 1 8) f (x) 1 2 khi x 1 khi x 1 x 2x 1 khi x 0 x2 khi x 0 2 9) f (x) (x 1) khi 0 x 2 10) f (x) 0 khi x 1 2 khi x 2 x 2 khi x 2 x3 khi x 1 x2 x 1 khi x 1 11) f (x) 12) f (x) 3x 1 khi x 1 cos x khi x 1 x2 2 1 x khi x 2 2 khi x 2 13) f (x) x 2 14) f (x) (x 2) 2 khi x 2 3 khi x 2 1.32 Xét tính liên tục của hàm số f theo a : x3 x2 2x 2 x3 5x2 5x 3 khi x 1 khi x 3 1) f (x) x 1 2) f (x) x2 9 a khi x 1 a 4x khi x 3 x3 8 x2 x 2 khi x 2 khi x 2 3) f (x) x 2 4) f (x) x 2 a khi x 2 a x khi x 2 1.33 Định a để hàm số f liên tục trên ¡ : x2 3x 2 x 1 khi x 1 2 khi x 2 1) f (x) x 2x 2) f (x) 2 3 ax khi x 1 ax a 1 khi x 2 x2 1 khi x 2 ax2 khi x 2 3) f (x) 4) f (x) 3x a khi x 2 3 khi x 2 3 3x 2 2 sin x khi x 2 3 x 2 khi x 5) f (x) 6) f (x) 1 2cos x 3 1 ax khi x 2 4 a tan khi x 6 3 1.34 Định a, b để hàm số f liên tục trên ¡ : 2sin x khi x 2 1 x khi x 3 1) f (x) ax b khi 3 x 5 2) f (x) asin x b khi x 2 2 x2 4x 2 khi x 5 cos x khi x 2 1.35 Định a để hàm số f liên tục trên I : x 4 khi x 4 1) f (x) 3( x 2) trên I 0; 4 a khi x 4 x 3 3 3x 5 khi x 1 2) f (x) x 1 trên I  3; ax 1 khi x 1
  55. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 55 x 1 khi x 1 3) f (x) x2 1 trên I 0; 2 a khi x 1 1.36 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau: x 1 x 1) f (x) 2) f (x) x3 4x 2cos x 1 3) f (x) tan x cot x 4) f (x) x x 1 khi x 1 x2 1 khi x 0 5) f (x) 6) f (x) 1 2 khi x 0 2 khi x 1 x 3x x2 5x 4 2x 2 khi x 1 khi x 1 x2 1 x2 3x 2 7) f (x) 8) f (x) 3 1 khi x 1 khi x 1 2 2 1.37 Xét xem các hàm số sau cĩ liên tục tại mọi x khơng, nếu khơng liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn: 2x 1 1) f (x) x3 2x2 3x 1 2) f (x) x2 3x 2 x2 16 x2 5x 6 khi x 4 3) f (x) 2 4) f (x) x 4 x 2x 8 khi x 4 Dạng 3. Chứng minh phương trình cĩ nghiệm A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Biến đổi phương trình về dạng: f (x) 0 • Tìm hai số a, b sao cho f (a). f (b) 0 (Dùng chức năng TABLE của máy tính tìm cho nhanh) • Chứng minh f x liên tục trên a; b từ đĩ suy ra f (x) 0 cĩ nghiệm ✓ Chú ý: Nếu f (a). f (b) 0 thì phương trình cĩ nghiệm thuộc a; b Để chứng minh f (x) 0 cĩ ít nhất n nghiệm trên a; b, ta chia đoạn a; b thành n khoảng nhỏ rời nhau, rồi chứng minh trên mỗi khoảng đĩ phương trình cĩ ít nhất một nghiệm B. BÀI TẬP MẪU VD 1.41 Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm: a) x5 3x 3 0 b) x4 x3 3x2 x 1 0 c) (1 m2 )(x 1)3 x2 x 3 0 d) m(2cos x 2) 2sin 5x 1
  56. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 56 VD 1.42 Chứng minh phương trình: a) 3x3 12x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm. b) x5 5x3 4x 1 0 cĩ đúng 5 nghiệm. c) x2 cos x xsin x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . d) x3 x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm âm lớn hơn – 1. e) 2x3 6x 1 0 cĩ ba nghệm phân biệt.
  57. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 57 4 7 VD 1.43 Chứng minh phương trình x x 3 0 cĩ ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn x0 12 VD 1.44 Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luơn luơn cĩ nghiệm với mọi tham số trong trường hợp 5a 4b 6c 0 . VD 1.45 Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luơn luơn cĩ nghiệm với mọi tham số trong trường hợp 12a 15b 20c 0 .
  58. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 58 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.38 Chứng minh rằng phương trình: 1)3x2 2x – 2 0 cĩ ít nhất một nghiệm 2)x3 x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 . 3)3x3 2x – 2 0 cĩ ít nhất một nghiệm 4)4x4 2x2 – x – 3 0 cĩ ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc ( 1; 1) 5)x5 x –1 0 cĩ ít nhất ba nghiệm thuộc ( 1; 1) 6)x3 – 3x 1 0 cĩ ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc ( 2; 2) 7)2x3 – 6x 1 0 cĩ ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc ( 2; 2) 8)2x4 – 3x 5x – 6 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc 1; 2 9)x3 – 3x – 7 0 luơn cĩ nghiệm 10)x5 7x4 – 3x2 x 2 0 luơn cĩ nghiệm 11)x4 – 3x – 5 0 luơn cĩ nghiệm 12)x4 – 3x3 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc ( 1; 3) 13)x5 – 3x4 5x – 2 0 cĩ ít nhất ba nghiệm thuộc ( 2; 5) 14)x3 6x 1 2 0 cĩ nghiệm dương 15)cos 2x 2sin x – 2 cĩ ít nhất hai nghiệm thuộc ; 6 16)x2 cos x xsin x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) 17)cos x x luơn cĩ nghiệm 1.39 Chứng minh các phương trình sau cĩ nghiệm: 1) m x –1 2 x 2 2x 3 0 2) cos x mcos 2x 0 3) sin x cos x – msin x cos x 0 4) 2x –1 tan x 0 5) m2 m 1 x4 2x – 2 0 6) 1– m2 x 1 3 x2 – x – 3 0 7) m(2cos x – 2) 2sin 5x 1 8) a x – b x – c b x – c x – a c x – b x – b 0 Dạng 4. Xét dấu biểu thức A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta áp dụng hệ quả: “Nếu y f (x) liên tục trên a; b và f (x) 0,x (a; b) thì f (x) khơng đổi dấu trên (a; b) ” để xét dấu biểu thức f (x) trên miền D theo các bước sau: Bước 1:Tìm các điểm gián đoạn của f (x) trên D Bước 2:Tìm tất cả các xi D, (i 1,n) sao cho f (xi ) 0. Bước 3:Chia miền D thành những khoảng nhỏ bởi các điểm gián đoạn của f (x) và các điểm xi D, (i 1,n) vừa tìm được ở bước 2. Bước 4:Trên mỗi khoảng nhỏ lấy một số m tùy ý, tính f (m) , dấu của f (x) trên khoảng đĩ
  59. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 59 chính là dấu của f (m) . Từ đĩ suy ra được dấu của f (x) trên miền D . B. BÀI TẬP MẪU VD 1.46 Xét dấu các biểu thức sau: a) f (x) 2x4 7x3 5x2 28x 12 b) f (x) x2 3 9 x2 / C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.40 Xét dấu các biểu thức sau: 1) f x x5 –1 2) f x 2sin x –1 (2 2cos x) với x [0; 2 ] 3) f x 3 x – 2 12x 3x2 4) f x 2x –1– x2 2x 9 5) f x x2 4 2x 6) f (x) x2 x 3 x 1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x 3 3 x TN1.116 Cho hàm số f x với x 0 . Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì f 0 bằng x 2 3 3 A. . B. .C. 1.D. 0 . 3 3 x2 3x 2 TN1.117 Cho hàm số f x với x 1. Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì f 1 bằng x 1 A. 2 .B. 1.C. 0 .D. 1. x TN1.118 Cho hàm số f x với x 0 . Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì f 0 bằng x 4 2
  60. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 60 A. 0 . B. 2 .C. 4 .D. 1. x3 8 khi x 2 TN1.119 Cho hàm số f x 4x 8 . Hàm số f x liên tục tại 3 khi x 2 A. x 2.B. x 3.C. x 2 .D. x 3. x2 4x 3 khi x 3 TN1.120 Cho hàm số f x x 3 . Để hàm số f x liên tục tại x 3 thì a bằng a khi x 3 A. 2 .B. 4 .C. 0 .D. 2 . x2 5x 6 khi x 3 TN1.121 Cho hàm số f x 4x 3 x . Để hàm số f x liên tục tại x 3 thì a bằng 1 ax khi x 3 4 2 A. .B. 3 .C. 0 .D. . 3 3 5 4x x khi x 1 TN1.122 Cho hàm số f x 1 x . Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì a bằng (a 4)x khi x 1 A. 3 .B. 1.C. 1.D. 0 . 3x 1 3 2 6x khi x 1 TN1.123 Cho hàm số f x x 1 . Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì a x khi x 1 a bằng 1 5 A. 2 .B. 1.C. . D. . 4 4 3 3x 2 2 khi x 2 TN1.124 Cho hàm số f x x 2 . Để hàm số f x liên tục trên ¡ thì a bằng a khi x 2 1 A. 0 . B. 2 .C. . D. 1. 4 x2 1 khi x 3, x 1 x 1 TN1.125 Cho hàm số f x 4 khi x 1 . Hàm số f x liên tục tại: x 1 khi x 3 A. mọi điểm thuộc .B. mọi điểm trừ x 1. C. mọi điểm trừ x 3.D. mọi điểm trừ x 1 và x 3. 1 1 TN1.126 lim 2 bằng: x 2 x 2 x 4 A. Khơng tồn tạiB. C. D. Đáp số khác x 1 TN1.127 lim (x 2) bằng: x x3 x A. 0 B. 1 C. D. Đáp số khác x, khi x [0;4] TN1.128 Cho hàm số f (x) . Định m để f (x) liên tục trên [0;6] : 1 m, khi x (4;6] A. m 3 B. m 4 C. m 0 D. m 1
  61. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 61 TN1.129 Cho hàm số f (x) x3 3x 1 xác định trên ¡ . Số nghiệm của phương trình f (x) 0 trên ¡ là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 TN1.130 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 1;4] sao cho f ( 1) 3, f (4) 5 . Cĩ thể nĩi gì về số nghiệm của phương trình f (x) 8 trên đoạn [ 1;4] : A. Vơ nghiệm B. Cĩ ít nhất một nghiệm C. Cĩ hai nghiệmD. Khơng thể kết luận gì
  62. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 62 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 4 TN1.131 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn khác 0? 1 1 n 1 sin n A. ;B. ;C. ;D. . n n n n TN1.132 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0? n n n n 4 4 5 1 A. ; B. ;C. ;D. . 3 3 3 3 TN1.133 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0? n n n n A. 0,999 ;B. 1,01 ;C. 1,01 ;D. 2,001 . TN1.134 Dãy nào sau đây khơng cĩ giới hạn? n n n n A. 0,99 ;B. 1 ;C. 0,99 ;D. 0,89 . 1 n TN1.135 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? n 3 1 1 A. ;B. 1;C. 0 ;D. . 3 4 3 4n TN1.136 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 5n 3 3 4 4 A. ;B. ;C. ; D. . 5 5 5 5 2n 3n TN1.137 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 3n 2 5 A. 0 ;B. 1; C. ; D. . 3 3 cos 2n TN1.138 lim 4 cĩ giá trị là bao nhiêu? n A. 0 ;B. 2 ;C. 2 ;D. 4 . 3n3 2n 1 TN1.139 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 4n4 2n 1 3 2 A. 0 ;B. ;C. ; D. . 4 7 3n4 2n 3 TN1.140 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 4n4 2n 1 3 4 A. 0 ;B. ;C. ; D. . 4 7 2n2 3n4 TN1.141 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 4n4 5n 1 3 1 3 A. ;B. 0 ;C. ; D. . 4 2 4 3n4 2n 4 TN1.142 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 4n2 2n 3
  63. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 63 3 4 A. 0 ;B. ;C. ; D. . 4 3 TN1.143 lim 3n3 2n2 5 cĩ giá trị là bao nhiêu? A. 3 ;B. 6 ;C. ;D. . TN1.144 lim 2n4 n2 5n cĩ giá trị là bao nhiêu? A. ;B. 0 ;C. 2 ;D. . 4n2 5 n 4 TN1.145 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 2n 1 A. 0 ;B. 1; C. 2 ;D. . TN1.146 lim n 10 n cĩ giá trị là bao nhiêu? A. ;B. 10 ;C. 10 ; D. 0 . 3 2n 4n2 TN1.147 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 4n2 5n 3 3 4 A. 0 ;B. 1; C. ; D. . 4 3 TN1.148 Nếu limun L thì lim un 9 cĩ giá trị là bao nhiêu? A. L 9 ;B. L 3 ;C. L 9 ; D. L 3 . 1 TN1.149 Nếu limun L thì lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 3 un 8 1 1 1 1 A. ;B. ;C. ; D. . L 8 L 8 3 L 2 3 L 8 n 4 TN1.150 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? n 1 A. 1;B. 2 ;C. 4 ;D. . 1 2n 2n2 TN1.151 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 5n2 5n 3 1 2 2 A. 0 ;B. ;C. ; D. . 5 5 5 104 n TN1.152 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 104 2n A. ;B. 10000 ;C. 5000 ; D. 1. 1 2 3 n TN1.153 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 2n2 1 1 A. 0 ;B. ;C. ; D. . 4 2 3 n3 n TN1.154 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? 6n 2 1 1 3 2 A. ;B. ;C. ; D. 0 . 6 4 6
  64. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 64 TN1.155 lim n n2 1 n2 3 cĩ giá trị là bao nhiêu? A. ;B. 4 ;C. 2 ;D. 1. n sin 2n TN1.156 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? n 5 2 1 A. ;B. ;C. 0 ;D. 1. 5 5 TN1.157 lim 3n 4n3 cĩ giá trị là bao nhiêu? A. ;B. 4 ;C. 3 ; D. . TN1.158 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0? n2 2n 1 2n 1 2n2 1 2n A. u ; B. u ;C. u ; D. u . n 5n 5n2 n 5n 5 n 5n 5 n 5n 5n2 TN1.159 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ? 2 3 2 3 2 3 4 A. un 3n n ;B. un n 4n ;C. un 3n n ; D. un 3n n . TN1.160 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ? 4 3 3 4 2 2 3 A. un n 3n ;B. un 3n n ;C. un 3n n ; D. un n 4n . n 1 1 1 1 TN1.161 Tổng của cấp số nhân vơ hạn ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 2 4 2n 1 1 2 A. 1;B. ;C. ;D. . 3 3 3 n 1 1 1 TN1.162 Tổng của cấp số nhân vơ hạn ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 2 4 2n 1 1 2 A. ;B. ;C. ;D. 1. 3 3 3 n 1 1 1 1 TN1.163 Tổng của cấp số nhân vơ hạn ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 3 9 3n 1 1 3 A. ;B. ;C. ; D. 4 . 4 2 4 1 1 1 TN1.164 Tổng của cấp số nhân vơ hạn ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 2 6 2.3n 1 1 3 3 3 A. ;B. ;C. ; D. . 3 8 4 2 n 1 1 1 1 TN1.165 Tổng của cấp số nhân vơ hạn ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 2 6 2.3n 1 8 3 2 3 A. ;B. ;C. ; D. . 3 4 3 8 n 1 1 1 1 TN1.166 Tổng của cấp số nhân vơ hạn 1; ; ; ; ; cĩ giá trị là bao nhiêu? 2 4 2n 1 2 2 3 A. ;B. ;C. ; D. 2. 3 3 2 TN1.167 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ?
  65. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 65 n2 2n 1 2n 1 n2 n2 2 A. u ; B. u ;C. u ;D. u . n 5n 5n2 n 5n 5 n 5n 5 n 5n 5n3 TN1.168 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn là ? 9n2 7n 2007 2008n A. u ;B. u ; n n n2 n n 1 2 2 C. un 2008m 2007n ;D. un n 1. TN1.169 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 2n2 3 2n2 3 2n2 3 2n3 3 A. lim ;B. lim ; C. lim ; D. lim . 2n3 4 2n2 1 2n3 2n2 2n2 1 TN1.170 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 2n2 3 2n 3n3 2n2 3n4 3 2n3 A. lim ;B. lim ;C. lim ; D. lim . 2n3 4 2n2 1 2n3 2n2 2n2 1 TN1.171 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ? 2n2 3 2n 3n3 2n2 3n4 3 2n3 A. lim ;B. lim ;C. lim ; D. lim . n3 4 2n2 1 2n3 2n2 2n2 1 1 TN1.172 Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng ? 5 n2 2n 1 2n 1 2n2 1 2n A. u ; B. u ;C. u ; D. u . n 5n 5n2 n 5n 5 n 5n 5 n 5n 5n2 TN1.173 lim 3 cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 2 ;B. 1;C. 0;D. 3. TN1.174 lim x2 2x 3 cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 0;B. 2;C. 4; D. 6. TN1.175 lim x2 3x 5 cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 A. 15 ;B. 7 ;C. 3; D. . 3x4 2x 3 TN1.176 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5x4 3x 1 4 3 A. 0;B. ;C. ;D. . 9 5 3x4 2x5 TN1.177 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5x4 3x 2 2 3 A. ;B. ;C. ;D. . 5 5 3x2 x5 TN1.178 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x x4 x 5 A. ;B. 3;C. 1; D. . 3x4 2x5 TN1.179 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5x4 3x6 1 3 2 A. ;B. ;C. ;D. 0. 5 5
  66. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 66 3x4 2x5 TN1.180 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 5x4 3x6 1 1 3 2 2 A. ;B. ;C. ;D. . 9 5 5 3 3x4 2x5 TN1.181 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 5x4 3x2 1 1 5 3 5 A. ;B. ;C. ;D. . 3 9 5 3 3x4 x5 TN1.182 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x4 x 5 4 4 2 2 A. ;B. ;C. ; D. . 5 7 5 7 3x4 2x TN1.183 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 x4 3x 2 13 7 11 13 A. ;B. ;C. ; D. . 6 4 6 6 x2 x3 TN1.184 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 x2 x 3 4 12 4 A. ;B. ;C. ; D. . 9 5 3 x4 2x5 TN1.185 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 2x4 3x5 2 1 1 2 1 A. ;B. ;C. ;D. . 12 7 3 2 x x3 TN1.186 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 x2 x 1 10 10 6 A. ;B. ; C. ; D. . 7 3 7 TN1.187 lim 4x3 2x 3 cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 9;B. 5;C. 1; D. 5 . 3x4 4x5 3 TN1.188 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 9x5 5x4 1 1 3 2 A. 0;B. ;C. ;D. . 3 5 3 x4 4x2 3 TN1.189 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 7x2 9x 1 1 1 35 A. ;B. ;C. ;D. . 15 3 9 x4 4x2 3x TN1.190 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x2 16x 1
  67. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 67 1 3 3 A. ;B. ;C. ;D. . 8 8 8 1 x3 TN1.191 lim 2 cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 3x x 1 1 A. 0;B. 1;C. ; D. . 2 3 x 2 TN1.192 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x 1 1 1 A. ;B. ;C. ;D. . 2 2 10 x3 TN1.193 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 3x2 x 3 11 9 11 A. ;B. ; C. ; D. . 2 4 2 2 TN1.194 lim x 3 x 5 cĩ giá trị là bao nhiêu? x A. 0;B. 3 5 ; C. ;D. . 2x4 x3 2x2 1 TN1.195 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x x 2x4 A. – 2;B. – 1;C. 1; D. 2. TN1.196 lim x x2 5 x cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5 5 A. ;B. ;C. 5 ; D. . 2 2 TN1.197 lim x x2 1 x cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 1 A. ;B. 0;C. ; D. . 2 2 y4 1 TN1.198 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? y 1 y 1 A. ;B. 4;C. 2;D. . y4 a4 TN1.199 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? y a y a A. ;B. 2a3 ;C. 4a3 ;D. 4a2 . y4 1 TN1.200 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? y 1 y3 1 3 4 A. ;B. 0;C. ; D. . 4 3 4x2 2 x 3 TN1.201 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2x 3 A. 0;B. 1;C. 2; D. .
  68. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 68 x 1 x2 x 1 TN1.202 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 0 x 1 A. 0;B. – 1;C. ;D. . 2 x2 3x 2 TN1.203 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 2x 4 3 1 1 A. ;B. ;C. ; D. . 2 2 2 x2 12x 35 TN1.204 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 2 x 5 A. ;B. 5;C. – 5;D. – 14. x2 12x 35 TN1.205 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5 5x 25 1 2 2 A. ;B. ;C. ; D. . 5 5 5 x2 2x 15 TN1.206 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5 2x 10 1 A. – 8;B. – 4;C. ; D. . 2 x2 2x 15 TN1.207 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5 2x 10 A. – 4;B. – 1;C. 4; D. . x2 9x 20 TN1.208 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5 2x 10 5 3 A. ;B. – 2;C. ;D. . 2 2 3x4 2x5 TN1.209 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 5x4 3x 2 2 3 A. ;B. ;C. ;D. . 5 5 x3 1 TN1.210 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x2 x A. – 3;B. – 1;C. 0; D. 1. x TN1.211 lim x 2 cĩ giá trị là bao nhiêu? x x3 1 A. ;B. 0;C. 1;D. . x2 3x 2 TN1.212 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x3 1 1 1 A. ;B. ;C. 0;D. 1. 3 3 TN1.213 lim x 3 x 5 cĩ giá trị là bao nhiêu? x A. ;B. 4;C. 0;D. .
  69. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cĩ lời giải – 0982.56.33.65 69 3x2 7x TN1.214 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 3 2x 3 3 A. ;B. 2;C. 6; D. . 2 6x3 x2 x TN1.215 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x 2 8 4 8 A. ;B. – 2; C. ;D. . 3 3 3 x2 1 TN1.216 lim cĩ giá trị là bao nhiêu? x 1 x 1 A. ;B. 2;C. 1;D. . x 2 2 x TN1.217 Cho f x với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm x số liên tục trên ¡ . 1 1 A. 0;B. 1;C. ; D. . 2 2 2 x TN1.218 Cho f x với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên x 1 1 tục trên ¡ . A. 0;B. 1;C. 2 ;D. 2. x2 5x TN1.219 Cho f x với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên 3x tục trên ¡ . 5 1 5 A. ;B. ;C. 0;D. . 3 3 3 x2 với x 1, x 0 x TN1.220 Cho hàm số f x 0 với x 0 . Hàm số f x liên tục tại: x với x 1 A. mọi điểm thuộc ¡ ;B. mọi điểm trừ x 0 ; C. mọi điểm trừ x 1; D. mọi điểm trừ x 0 và x 1.