›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố

doc 37 trang nhungbui22 12/08/2022 2960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_bien_co_xac_suat_cua_bien.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố

  1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1. Phép thử và biến cố. a. Phép thử ngẫu nhiên và khơng gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà : Kết quả của nĩ khơng đốn trước được; Cĩ thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử đĩ. Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T. Tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử được gọi là khơng gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ơ-mê-ga). b. Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay khơng xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A. Tập hơp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A hoặc n(A) . Với mỗi phép thử T cĩ một biến cố luơn xảy ra, gọi là biến cố chắc chắn. Với mỗi phép thử T cĩ một biến cố khơng bao giờ xảy ra, gọi là biến cố khơng thể. Kí hiệu  . 2. Tính chất Giải sử  là khơng gian mẫu, A và B là các biến cố. \A A được gọi là biến cố đối của biến cố A. A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A  B cịn được viết là AB. Nếu AB  , ta nĩi A và B xung khắc. 3. Xác suất của biến cố a. Định nghĩa cổ điển của xác suất: Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với khơng gian mẫu  là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mơ ta bằng A   . Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi cơng thức  Số kết quả thuận lợi cho A P(A) A .  Số kết quả có thể xảy ra Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta n(A) đồng nhất  với A nên ta cĩ : P(A) A n() P() 1, P() 0, 0 P(A) 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  2. b. Định nghĩa thống kê của xác suất Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đĩ. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A Khi đĩ xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau: Số lần xuất hiện của biến cố A P(A) . N B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN. Vấn đề 1. Xác định khơng gian mẫu và biến cố Phương pháp . Phương pháp: Để xác định khơng gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau Cách 1: Liệt kê các phần tử của khơng gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm. Cách 2:Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của khơng gian mẫu và biến cố. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của: 1. Khơng gian mẫu A.10626 B.14241C.14284D.31311 2. Các biến cố: A: “ 4 viên bi lấy ra cĩ đúng hai viên bi màu trắng” A. n(A) 4245 B. n(A) 4295 C. n(A) 4095 D. n(A) 3095 B: “ 4 viên bi lấy ra cĩ ít nhất một viên bi màu đỏ” A. n(B) 7366 B. n(B) 7563 C. n(B) 7566 D. n(B) 7568 C: “ 4 viên bi lấy ra cĩ đủ 3 màu” A. n(C) 4859 B. n(C) 58552 C. n(C) 5859 D. n(C) 8859 Lời giải: 4 1. Ta cĩ: n() C24 10626 2 2 2. Số cách chọn 4 viên bi cĩ đúng hai viên bị màu trắng là: C10 .C14 4095 Suy ra: n(A) 4095 . 4 Số cách lấy 4 viên bi mà khơng cĩ viên bi màu đỏ được chọn là: C18 4 4 Suy ra : n(B) C24 C18 7566 . 4 4 4 Số cách lấy 4 viên bi chỉ cĩ một màu là: C6 C8 C10 Số cách lấy 4 viên bi cĩ đúng hai màu là: 4 4 4 4 4 4 C14 C18 C14 2(C6 C8 C10 ) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  3. Số cách lấy 4 viên bị cĩ đủ ba màu là: 4 4 4 4 4 4 4 C24 (C14 C18 C14 ) (C6 C8 C10 ) 5859 Suy ra n(C) 5859 . Ví dụ 2. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi Ak là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ k ” với k 1,2,3,4 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’ A. A A1  A2  A3  A4 B. A A1  A2  A3  A4 C. A A1  A2  A3  A4 D. A A1  A2  A3  A4 B: “Bắn trúng bia ít nhất một lần’’ A. B A1  A2  A3  A4 B. B A1  A2  A3  A4 C. B A1  A2  A3  A4 D. B A1  A2  A3  A4 c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’ A. C Ai  Aj  Ak  Am , i, j,k,m 1,2,3,4 và đơi một khác nhau. B. C Ai  Aj  Ak  Am , i, j,k,m 1,2,3,4 và đơi một khác nhau. C. C Ai  Aj  Ak  Am , i, j,k,m 1,2,3,4 và đơi một khác nhau. D. C Ai  Aj  Ak  Am , i, j,k,m 1,2,3,4 và đơi một khác nhau. Lời giải: Ta cĩ: Ak là biến cố lần thứ k ( k 1,2,3,4 ) bắn khơng trúng bia. Do đĩ: A A1  A2  A3  A4 B A1  A2  A3  A4 C Ai  Aj  Ak  Am với i, j,k,m 1,2,3,4 và đơi một khác nhau. CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Tính số phần tử của: 1. Xác định khơng gian mẫu A.36 B.40C.38D.35 2. Các biến cố: A:“ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau” A. n(A) 12 B. n(A) 8 C. n(A) 16 D. n(A) 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  4. B:“ Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung chia hết cho 3” A. n(B) 14 B. n(B) 13 C. n(B) 15 D. n(B) 11 C: “ Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai”. A. n(C) 16 B. n(C) 17 C. n(C) 18 D. n(C) 15 Lời giải: 1. Khơng gian mẫu gồm các bộ (i; j) , trong đĩ i, j 1,2,3,4,5,6 i nhận 6 giá trị, j cũng nhận 6 giá trị nên cĩ 6.6 36 bộ (i; j) Vậy  (i, j)|i, j 1,2,3,4,5,6 và n() 36 . 2. Ta cĩ: A (1,1);(2,2);(3,3),(4; 4),(5; 5),(6;6) , n(A) 6 Xét các cặp (i, j) với i, j 1,2,3,4,5,6 mà i j3 Ta cĩ các cặp cĩ tổng chia hết cho 3 là(1,2);(1,5);(2,4),(3,3),(3,6),(4,5) Hơn nữa mỗi cặp (trừ cặp (3,3)) khi hốn vị ta được một cặp thỏa yêu cầu bài tốn. Vậy n(B) 11 . Số các cặp (i, j);i j là (2,1);(3,1);(3,2);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1) (5,2);(5,3);(5,4),(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5) . Vậy n(C) 15 . Bài 2: Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác định và tính số phần tử của 1. Khơng gian mẫu A. n() 8 B. n() 16 C. n() 32 D. n() 64 2. Các biến cố: A: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa” A. n(A) 16 B. n(A) 18 C. n(A) 20 D. n(A) 22 B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần” A. n(B) 31 B. n(B) 32 C. n(B) 33 D. n(B) 34 C: “ Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa” A. n(C) 19 B. n(C) 18 C. n(C) 17 D. n(C) 20 Lời giải: 1. Kết quả của 5 lần gieo là dãy abcde với a,b,c,d,e nhận một trong hai giá trị N hoặc S. Do đĩ số phần tử của khơng gian mẫu: n() 2.2.2.2.2 32 . 2. Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp nên a chỉ nhận giá trị S; b,c,d,e nhận S hoặc N nên n(A) 1.2.2.2.2 16 . Kết quả 5 lần gieo mà khơng cĩ lần nào xuất hiện mặt sấp là 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  5. Vậy n(B) 32 1 31 . 1 Kết quả của 5 lần gieo mà mặt N xuất hiện đúng một lần: C5 2 Kết quả của 5 lần gieo mà mặt N xuất hiện đúng hai lần: C5 Số kết quả của 5 lần gieo mà số lần mặt S xuất hiện nhiều hơn số lần mặt N là: 2 1 n(C) 32 C5 C5 17 . Bài 3: Cĩ 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của: 1. Khơng gian mẫu 5 5 1 1 A. n() C100 B. n() A100 C. n() C100 D. n() A100 2. Các biến cố: A: “ Số ghi trên các tấm thẻ được chọn là số chẵn” 5 5 5 5 A. n(A) A50 B. n(A) A100 C. n(A) C50 D. n(A) C100 B: “ Cĩ ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”. 5 5 5 5 5 5 5 5 A. n(B) C100 C67 B. n(B) C100 C50 C. n(B) C100 C50 D. n(B) C100 C67 Lời giải: 5 1. Ta cĩ n() C100 2. Trong 100 tấm thẻ cĩ 50 tấm được ghi các số chẵn, do đĩ 5 n(A) C50 Từ 1 đến 100 cĩ 33 số chia hết cho 3. Do đĩ, số cách chọn 5 tấm thẻ mà khơng cĩ tấm thẻ 5 nào ghi số chia hết cho 3 là: C67 5 5 Vậy n(B) C100 C67 . Vấn đề 2. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Phương pháp: Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng cơng Số lần xuất hiện của biến cố A thức: P(A) . N n(A) Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng cơng thức : P(A) . n() Các ví dụ Ví dụ 1. Bộ bài tú - lơ khơ cĩ 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  6. A: “Rút ra được tứ quý K ‘’ 1 1 1 1 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 2707 20725 70725 27025 B: “4 quân bài rút ra cĩ ít nhất một con Át” 15229 129 159 1229 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 54145 54145 54145 4145 C: “4 quân bài lấy ra cĩ ít nhất hai quân bích’’ 539 535 539 5359 A. P(C) B. P(C) C. P(C) D. P(C) 20825 2085 20825 20825 Lời giải: 4 Ta cĩ số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: C52 270725 Suy ra n() 270725 Vì bộ bài chỉ cĩ 1 tứ quý K nên ta cĩ n(A) 1 1 Vậy P(A) . 270725 4 Vì cĩ C48 cách rút 4 quân bài mà khơng cĩ con Át nào, 15229 suy ra N(b) C 4 C 4 P(B) . 52 48 54145 Vì trong bộ bài cĩ 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đĩ số quân bích 2 2 3 1 4 0 khơng ít hơn 2 là: C13 .C39 C13C39 C13 .C39 69667 5359 Suy ra n(C) 69667 P(C) . 20825 Ví dụ 2. Trong một chiếc hộp cĩ 20 viên bi, trong đĩ cĩ 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để: 1. 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ 14 4 14 1 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 285 285 25 285 2. 3 viên bi lấy ra cĩ khơng quá hai màu. 3 43 4 3 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 7 57 57 57 Lời giải: Gọi biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ” B : “3 viên bi lấy ra cĩ khơng quá hai màu” 3 3 Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: C20 nên ta cĩ:  C20 1140 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  7. 3 1. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: C8 56 nên A 56  56 14 Do đĩ: P(A) A .  1140 285 2. Ta cĩ: 3 3 3 Số cách lấy 3 viên bi chỉ cĩ một màu: C8 C7 C5 101 Số các lấy 3 viên bi cĩ đúng hai màu 3 3 3 Đỏ và xanh: C15 C8 C7 3 3 3 Đỏ và vàng: C13 C8 C5 3 3 3 Vàng và xanh: C12 C5 C7 Nên số cách lấy 3 viên bi cĩ đúng hai màu: 3 3 3 3 3 3 C15 C13 C12 2 C8 C7 C5 759  43 Do đĩ:  860 . Vậy P(B) B . B  57 Ví dụ 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80 1. Tính xác suất của biến cố A : “trong 3 số đĩ cĩ và chỉ cĩ 2 số là bội số của 5” 96 6 96 96 A. n(A) B. n(A) C. n(A) D. n(A) 127 1027 107 1027 2. Tính xác suất của biến cố B : “trong 3 số đĩ cĩ ít nhất một số chính phương” 53 56 563 53 A. n(B) B. n(B) C. n(B) D. n(B) 254 205 2054 204 Lời giải: 3 Số cách chọn 3 số từ 80 số là: n() C80 82160 80 1. Từ 1 đến 80 cĩ 16 số chia hết cho 5 và cĩ 80 16 64 số khơng chia hết cho 5. 5 C1 .C 2 96 1 2 64 16 Do đĩ: n(A) C64 .C16 P(A) 3 . C80 1027 2. Từ 1 đến 80 cĩ 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64. 3 Số cách chọn 3 số khơng cĩ số chính phương nào được chọn là: C72 C 3 C 3 563 3 3 80 72 Suy ra n(B) C80 C72 P(B) 3 . C80 2054 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  8. CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Gieo con súc sắc 100 lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau Số chấm Số lần xuất hiện 1 14 2 18 3 30 4 12 5 14 6 12 Hãy tìm xác suất của các biến cố A: “mặt sáu chấm xuất hiện” 3 11 13 17 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 25 100 100 100 B: “ mặt hai chấm xuất hiện” 12 11 3 9 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 50 50 50 50 C: “ một mặt lẻ xuất hiện” 9 29 2 3 A. P(C) B. P(C) C. P(C) D. P(C) 50 50 50 50 Lời giải: Xem việc tung con súc sắc là một phép thử ngẫu nhiên Số lần thực hiện phép thử: N 100 Số lần xuất hiện của biến cố A: 12 12 3 Suy ra : P(A) 100 25 Số lần xuất hiện của biến cố B: 18 18 9 Suy ra P(B) 100 50 Số lần xuất hiện của biến cố C: 14 30 14 58 58 29 Suy ra P(C) . 100 50 Bài 2 Tung một đồng tiền hai lần. Tìm xác suất để hai lần tung đĩ 1. Đều là mặt S 1 1 3 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 1 4 2 4 2. Một S một N – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  9. 1 1 1 A. P(B) B. P(B) C. P(B) 1 D. P(B) 3 4 2 Lời giải: Ta cĩ khơng gian mẫu  SS,SN,NN,NS n() 4 Gọi các biến cố: A: “ hai lần tung đều là mặt sấp” B: “ hai lần tung cĩ một S một N” Suy ra A SS n(A) 1; B SN,NS n(B) 2 n(A) 1 1. Ta cĩ: P(A) n() 4 n(B) 2 1 2. Ta cĩ: P(B) . n() 4 2 Bài 3 Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ. 1. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất của các biến cố : A: “Lấy được 3 viên đỏ “ 1 1 1 1 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 50 60 56 560 B: “ Lấy cả ba viên bi khơng cĩ bi đỏ” 143 13 14 13 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 280 280 280 20 C: “ Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ” 13 7 11 9 A. P(C) B. P(C) C. P(C) D. P(C) 40 40 40 40 2. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi .Tình xác suất của các biến cố X: “Lấy đúng 1 viên bi trắng” 22 21 23 1 A. P(X) B. P(X) C. P(X) D. P(X) 65 65 65 65 Y: “ Lấy đúng 2 viên bi trắng” 27 21 22 7 A. P(Y) B. P(Y) C. P(Y) D. P(Y) 65 65 65 65 3. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi .Tính xác suất của biến cố D: “lấy được 5 viên bi trắng , 3 bi đen, 2 bi đỏ”. 5 15 25 45 A. P(D) B. P(D) C. P(D) D. P(D) 286 286 286 286 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  10. Lời giải: 3 1. Ta cĩ: n() C16 560 1 n(A) C 3 1 P(A) 3 560 143 n(B) C 3 286 P(B) 13 280 9 n(C) C1C1C1 126 P(C) 7 6 3 40 4 2. Ta cĩ : n() C16 1820 21 n(X) C1.C 3 588 P(X) 7 9 65 27 n(Y) C 2 .C 2 756 P(Y) . 7 9 65 10 3. Ta cĩ: n() C16 8008 45 n(D) C 5 .C 3 .C 2 1260 P(D) . 7 6 3 286 Bài 4. Tung một đồng tiền ba lần 1. Mơ tả khơng gian mẫu A.  SSS,SSN,SNS,SNN,NSN,NNS,NNN B.  SSS,SSN,SNN,NSN,NSS,NNS,NNN C.  SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NNS,NNN D.  SSS,SSN,SNS,SNN,NSN,NSS,NNS,NNN 2. Xác định các biến cố sau và tính xác suất các biến cố đĩ A: “ Cĩ ít nhất một lần xuất hiện mặt S” 7 3 5 4 A. B. C. D. 8 8 8 8 B: “ Mặt N xuất hiện ít nhất hai lần” 7 3 5 4 A. B. C. D. 8 8 8 8 C: “ Lần thứ hai xuất hiện mặt S” 7 3 5 4 A. B. C. D. 8 8 8 8 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  11. 1. Ta cĩ:  SSS,SSN,SNS,SNN,NSN,NSS,NNS,NNN 2. Ta cĩ: A SSS,SSN,SNS,SNN,NSN,NSS,NNS B NNS,NSN,SNN,NNN C SSS,SSN,NSS,NSN Bài 5. Trong một chiếc hộp cĩ 7 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ và 10 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 6 viên bi 1. Tính số phần tử của khơng gian mẫu A. n() 177100 B. n() 177121 C. n() 1771001 D. n() 17700 2. Tính xác suất của các biến cố sau A: “ 6 viên bi lấy ra cùng một màu” 7 17 73 27 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 5060 5060 5060 5060 B: “ cĩ ít nhất một viên bi màu vàng” 47 7 44 447 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 460 460 461 460 C: “ 6 viên bi lấy ra cĩ đủ ba màu” 22 20 2 202 A. P(C) B. P(C) C. P(C) D. P(C) 253 253 253 253 Lời giải: 6 1. Ta cĩ: n() C25 177100 7 2. Ta cĩ: n(A) C6 C6 C6 245 P(A) 7 8 10 5060 447 Ta cĩ: n(B) C6 n(B) C6 C6 172095 P(B) 15 25 15 460 Ta cĩ: Số cách lấy 6 viên bi cùng một màu: 245 cách Số cách lấy 6 viên bi gồm hai màu: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 C15 C8 C7 C17 C10 C7 C18 C10 C8 35455 202 Suy ra n(C) 177100 35455 245 141400 . Vậy P(C) . 253 Bài 6 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ .Tính xác suất để trong sấp bài chứa hai bộ đơi ( hai con cùng thuộc 1 bộ ,hai con thuộc bộ thứ 2,con thứ 5 thuộc bộ khác – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  12. 198 19 198 198 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 465 415 4165 416 Lời giải: Gọi A là biến cố cách chọn thỏa yêu cầu bài tốn. 2 2 Chọn hai bộ 2 cĩ C13 cách, mỗi bộ cĩ C4 cách vậy cĩ 2 2 2 C13 .C4 .C4 cách . cĩ 11 cách chọn bộ 1 . 2 2 2 5 Mỗi cách chọn bộ 1 cĩ 4 cách chọn vậy cĩ C13 .C4 .C4 .11.4 n(A) ; n() C52 . Vậy 198 P(A) . 4165 Bài 7 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài .Tính xác suất để trong sấp bài cĩ 5 quân lập thành bộ liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) .(10 –J-Q-K-A) .Quân A vừa là quân bé nhất vừa là quân lớn nhất. 128 18 18 128 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 3287 32487 3287 32487 Lời giải: 5 Ta cĩ n() C52 . Cĩ 10 bộ thỏa mãn bài tốn 128 Mỗi bộ cĩ 4.4.4.4.4=1024 vậy n(A) 10240 P(A) . 32487 Bài 8 Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3 9 .Rút ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính xác suất để 1. Các thẻ ghi số 1,2,3 C 2 C 2 C 2 C 3 5 6 6 6 A. P A 5 B. P A 5 C. P A 4 D. P A 5 C9 C9 C9 C9 2. Cĩ đúng 1 trong ba thẻ ghi 1,2,3 được rút C1C 4 C1C 4 C1C 4 C1 C 4 6 6 5 6 3 6 3 6 A. P B 5 B. P B 5 C. P B 5 D. P B 5 C9 C9 C9 C9 3. Khơng cĩ thẻ nào trong ba thẻ được rút C 4 C 5 C 5 C 2 6 6 6 6 A. P C 5 B. P C 4 C. P C 5 D. P C 5 C9 C9 C9 C9 Lời giải: C 2 C1C 4 C 5 6 3 6 6 1. P A 5 2. P B 5 3. P C 5 . C9 C9 C9 Bài 9 Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập 1,2, ,10,11 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  13. 1. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 7 5 2 7 A. P A 4 B. P A 3 C. P A 3 D. P A 3 C11 C11 C11 C11 2. Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ C1 C 3C0 C1C 2 C0 6 6 5 6 5 5 A. P B 3 B. P B 3 C11 C11 C1C 2 C 3C0 C1 C0 6 5 6 5 6 5 C. P B 3 D. P B 3 C11 C11 Lời giải: Ta cĩ: 12 1 2 9 1 3 8 1 4 7 1 5 6 2 3 7 2 4 6 3 4 5. 7 C1C 2 C 3C0 6 5 6 5 1. P A 3 2. P B 3 C11 C11 Bài 10 Một người đi du lịch mang 5 hộp thịt, 4 hộp quả, 3 hộp sữa .Do trời mưa các hộp bị mất nhãn .Người đĩ chọn ngẫu nhiên 3 hộp .Tính xác suất để trong đĩ cĩ 1 hộp thịt, một hộp sữa và một hộp quả. C1C1 C1 C1 C1C1 5 4 3 5 4 3 A. P A 3 B. P A 3 C12 C12 C1 C1 C1 C1C1C1 5 4 3 5 4 3 C. P A 3 D. P A 3 C12 C12 Lời giải: C1C1C1 5 4 3 Đáp số P A 3 C12 Bài 11 Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi cĩ 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đĩ rút ngẫu nhiên được một đề thi cĩ 4 câu học thuộc. C 4 C1 C 4 C1 C 4 C1 80 20 80 20 80 20 A. P A 5 B. P A 5 C. P A 5 D. P A 5 C100 C100 C100 C100 Lời giải: 5 Chọn 5 câu làm một đề  C100 C 4 C1 4 1 80 20 Chọn n(A) C80C20 P A 5 C100 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  14. Bài 12 Một đồn tàu cĩ 7 toa ở một sân ga. Cĩ 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau A: “ Một toa 1 người, một toa 2 người, một toa cĩ 4 người lên và bốn toa khơng cĩ người nào cả” 450 40 450 450 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 1807 16807 16807 1607 B: “ Mỗi toa cĩ đúng một người lên”. 6! 5! 8! 7! A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 77 77 77 77 Lời giải: Số cách lên toa của 7 người là:  77 . 1. Tính P(A) ? Ta tìm số khả năng thuận lợi của A như sau 3 Chọn 3 toa cĩ người lên: A7 4 Với toa cĩ 4 người lên ta cĩ: C7 cách chọn 2 Với toa cĩ 2 người lên ta cĩ: C3 cách chọn Người cuối cùng cho vào toa cịn lại nên cĩ 1 cách 3 4 2 Theo quy tắc nhân ta cĩ: A A7 .C7 .C3  450 Do đĩ: P(A) A .  16807 2. Tính P(B) ? Mỗi một cách lên toa thỏa yêu cầu bài tốn chính là một hốn vị của 7 phần từ nên ta cĩ: B 7!  7! Do đĩ: P(B) B .  77 Bài 13 Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào 4 bì thư đã được ghi địa chỉ. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “ Cĩ ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nĩ”. 5 3 1 7 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 8 8 8 8 Lời giải: Số cách bỏ 4 lá thư vào 4 bì thư là:  4! 24 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  15. Kí hiệu 4 lá thư là: L1 , L2 , L3 , L4 và bộ L1 , L2 , L3 , L4 là một hĩa vị của các số 1,2,3,4 trong đĩ Li i (i 1,4 ) nếu lá thư Li bỏ đúng địa chỉ. Ta xét các khả năng sau cĩ 4 lá thư bỏ đúng địa chỉ: (1,2,3,4) nên cĩ 1 cách bỏ cĩ 2 là thư bỏ đúng địa chỉ: 2 +) số cách bỏ 2 lá thư đúng địa chỉ là: C4 +) khi đĩ cĩ 1 cách bỏ hai là thư cịn lại 2 Nên trường hợp này cĩ: C4 6 cách bỏ. Cĩ đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ: Số cách chọn lá thư bỏ đúng địa chỉ: 4 cách Số cách chọn bỏ ba lá thư cịn lại: 2.1 2 cách Nên trường hợp này cĩ: 4.2 8 cách bỏ. Do đĩ: A 1 6 8 15  15 5 Vậy P(A) A .  24 8 Bài 14 Gieo một con xúc sắc đồng chất cân đối ba lần liên tiếp. Tìm xác suất của các biến cố sau: A: “ Tổng số chấm xuất hiện trong ba lần là 10” 1 3 1 1 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 8 8 4 8 B: “Cĩ ít nhất một mặt chẵn xuất hiện”. 7 3 5 1 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 8 8 8 8 Lời giải: Ta cĩ các khả năng xảy ra là:  6.6.6 216 1. Gọi dãy (x1 ,x2 ,x3 ) là kết quả theo thứ tự của ba lần gieo với x1 ,x2 ,x3 1,2,3,4,5,6 . Phương trình x1 x2 x3 10 cĩ các bộ nghiệm (chưa tính hốn vị) là: (1,3,6) ; (1,4,5) ; (2,2,6); (2,3,5) ; (2,4,4) ; (3,4,3) . Với mỗi bộ nghiệm ba số phân biệt cho ta 3! 6 khả năng xảy ra, cịn các bộ nghiệm (2,2,6); (2,4,4) và (3,4,3) chỉ cĩ ba khả năng xảy ra  1 Do đĩ  6.3 3.3 27 nên P(A) A . A  8 2. Khả năng xuất hiện mặt lẻ của mỗi lần gieo là: 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  16. Suy ra khả năng ba lần gieo đều xuất hiện mặt lẻ là: 33 27  189 7 Do đĩ  216 27 189 nên P(B) B . B  216 8 Vấn đề 3. Các quy tắt tính xác suất Phương pháp 1. Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P(A  B) P(A) P(B) Mở rộng quy tắc cộng xác suất Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak đơi một xung khắc. Khi đĩ: P(A1  A2   Ak ) P(A1 ) P(A2 ) P(Ak ). P(A) 1 P(A) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đĩ: P(A  B) P A P B P AB . 2. Quy tắc nhân xác suất Ta nĩi hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay khơng xảy ra) của A khơng làm ảnh hưởng đến xác suất của B. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P AB P A .P B . Bài tốn 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và cơng thức biến cố đối, cơng thức biến cố hợp. P(A  B) P(A) P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc P(A) 1 P(A) . Các ví dụ Ví dụ 1. Một con súc sắc khơng đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt cịn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn 5 3 7 1 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 8 8 8 8 Lời giải: Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i 1,2,3,4,5,6) 1 Ta cĩ P(A ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A ) x 1 2 3 5 6 3 4 6 1 Do  P(Ak ) 1 5x 3x 1 x k 1 8 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  17. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A A2  A4  A6 Vì cá biến cố Ai xung khắc nên: 1 3 1 5 P(A) P(A ) P(A ) P(A ) . 2 4 6 8 8 8 8 Ví dụ 2. Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố A: “ Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần” 4 4 4 4 5 1 5 5 A. P A 1 B. P A 1 C. P A 3 D. P A 2 6 6 6 6 B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần” 5 5 5 5 A. P A B. P A C. P A D. P A 324 32 24 34 Lời giải: 1. Gọi Ai là biến cố “ mặt 4 chấm xuất hiện lần thứ i ” với i 1,2,3,4 . Khi đĩ: Ai là biến cố “ Mặt 4 chấm khơng xuất hiện lần thứ i ” 1 5 Và P A 1 P(A ) 1 i i 6 6 Ta cĩ: A là biến cố: “ khơng cĩ mặt 4 chấm xuất hiện trong 4 lần gieo” Và A A1.A2 .A3 .A4 . Vì các Ai độc lập với nhau nên ta cĩ 4 5 P(A) P A1 P A2 P A3 P A4 6 4 5 Vậy P A 1 P A 1 . 6 2. Gọi Bi là biến cố “ mặt 3 chấm xuất hiện lần thứ i ” với i 1,2,3,4 Khi đĩ: Bi là biến cố “ Mặt 3 chấm khơng xuất hiện lần thứ i ” Ta cĩ: A B1.B2 .B3 .B4  B1.B2 .B3 .B4  B1.B2 .B3 .B4  B1.B2 .B3 .B4 Suy ra P A P B1 P B2 P B3 P B4 P B1 P B2 P B3 P B4 P B1 P B2 P B3 P B4 P B1 P B2 P B3 P B4 1 5 Mà P B , P B . i 6 i 6 3 1 5 5 Do đĩ: P A 4. . . 6 6 324 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  18. Ví dụ 3. Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi: 1. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu 5 5 7 11 A. P(X) B. P(X) C. P(X) D. P(X) 18 8 18 18 2. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu 13 5 3 11 A. P(X) B. P(X) C. P(X) D. P(X) 18 18 18 18 Lời giải: 1. Gọi A là biến cố "Chọn được 2 viên bi xanh"; B là biến cố "Chọn được 2 viên bi đỏ", C là biến cố "Chọn được 2 viên bi vàng" và X là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu". Ta cĩ X A  B C và các biến cố A,B,C đơi một xung khắc. Do đĩ, ta cĩ: P(X) P(A) P(B) P(C) . C 2 1 C 2 1 C 2 1 4 3 2 Mà: P(A) 2 ; P(B) 2 ; P(C) 2 C9 6 C9 12 C9 36 1 1 1 5 Vậy P(X) . 6 12 36 18 2. Biến cố "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính là biến cố X . 13 Vậy P(X) 1 P(X) . 18 Bài tốn 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân Phưng pháp: Để áp dụng quy tắc nhân ta cần: Chứng tỏ A và B độc lập Áp dụng cơng thức: P(AB) P(A).P(B) Các ví dụ Ví dụ 1. Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh cĩ ít nhất 1 con trai A. P A 0,88 B. P A 0,23 C. P A 0,78 D. P A 0,32 Lời giải: Gọi A là biến cố ba lần sinh cĩ ít nhất 1 con trai, suy ra A là xác suất 3 lần sinh tồn con gái. Gọi Bi là biến cố lần thứ i sinh con gái ( i 1,2,3 ) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  19. Suy ra P(B1 ) P(B2 ) P(B3 ) 0,49 Ta cĩ: A B1  B2  B3 3 P A 1 P A 1 P B1 P B2 P B3 1 0,49 0,88 . Ví dụ 2. Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7.Tính xác suất để cĩ ít nhất 1 cầu thủ làm bàn A. P X 0,42 B. P X 0,94 C. P X 0,234 D. P X 0,9 Lời giải: Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn Ta cĩ: X (A  B)  A  B  A  B P X P(A).P(B) P(B).P(A) P(A).P(B) 0,94 . Ví dụ 3. Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu cĩ 4 đáp án và chỉ cĩ một đáp án đúng. Bạn An làm đúng 12 câu, cịn 8 câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Hỏi Anh cĩ khả năng được bao nhiêu điểm? 1 1 1 1 A. 6 B. 5 C. 6 D. 5 47 42 42 47 Lời giải: An làm đúng 12 câu nên cĩ số điểm là 12.0,5 6 1 Xác suất đánh hú họa đúng của mỗi câu là , do đĩ xác suất để An đánh đúng 8 câu 4 8 1 1 cịn lại là: 4 48 Vì 8 câu đúng sẽ cĩ số điểm 8.0,5 4 1 1 Nên số điểm cĩ thể của An là: 6 .4 6 . 48 47 Ví dụ 4. Một hộp đựng 40 viên bi trong đĩ cĩ 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng,4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi cùng màu”. 4 6 4 64 A. P A B. P A C. P A D. P A 195 195 15 195 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  20. 2 Ta cĩ:  C40 2 Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta cĩ: D C20 190 ; 2 X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta cĩ: X C10 45 ; 2 V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta cĩ: V C6 15 ; 2 T: “ lấy được 2 bi màu trắng” ta cĩ: T C4 6 . Ta cĩ D, X, V, T là các biến cố đơi một xung khắc và A D  X  V T 256 64 P A P D P X P V P T 2 . C40 195 Ví dụ 5. Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai ( Sinh được con trai rồi thì khơng sinh nữa, chưa sinh được thì sẽ sinh nữa ). Xác suất sinh được con trai trong một lần sinh là 0,51. Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đĩ mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2. A. P(C) 0,24 B. P(C) 0,299 C. P(C) 0,24239 D. P(C) 0,2499 Lời giải: Gọi A là biến cố : “ Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta cĩ: P(A) 1 0,51 0,49 . Gọi B là biến cố: “ Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta cĩ: P(B) 0,51 Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai” Ta cĩ: C AB , mà A,B độc lập nên ta cĩ: P(C) P(AB) P(A).P(B) 0,2499 . CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Một hộp đựng 10 viên bi trong đĩ cĩ 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi cùng màu” 1 2 4 1 A. P C B. P C C. P C D. P C 9 9 9 3 Lời giải: 2 Ta cĩ: n() C10 Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 viên đỏ” ; X: “lấy được 2 viên xanh” ; V: “lấy được 2 viên vàng” Ta cĩ D, X, V là các biến cố đơi một xung khắc và C D  X  V 2 C 2 1 10 2 P C P D P X P V 3 . 5 45 15 45 9 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  21. Bài 2 Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số cĩ 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé khơng cĩ chữ số 2 hoặc chữ số 7” A. P(X) 0,8533 B. P(X) 0,85314 C. P(X) 0,8545 D. P(X) 0,853124 Lời giải: Ta cĩ n() 105 Gọi A: “lấy được vé khơng cĩ chữ số 2” B: “lấy được vé số khơng cĩ chữ số 7” 5 Suy ra n(A) n(B) 95 P A P B 0,9 Số vé số trên đĩ khơng cĩ chữ số 2 và 7 là: 85 , suy ra n(A  B) 85 P(A  B) (0,8)5 Do X A  B P(X) P A  B P A P B P A  B 0,8533 . Bài 3: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc Hộp thứ nhất : Cĩ 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh , 2 bút màu đen Hộp thứ hai : Cĩ 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen Hộp thứ ba : Cĩ 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hú họa từ hộp đĩ ra 2 bút Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được hai bút màu xanh” 1 2 2 2 A. P A B. P A C. P A D. P A 63 33 66 63 Tính xác suất của xác suất B: “Lấy được hai bút khơng cĩ màu đen” 1 3 13 31 A. P B B. P B C. P B D. P B 63 63 63 63 Lời giải: 1 Gọi X là biến cố rút được hộp thứ i , i 1,2,3 P X i i 3 Gọi Ai là biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i, i 1,2,3 1 Ta cĩ: P A1 P A2 2 ,P A3 0 . C7 1 1 2 Vậy P A 2. 0 . 2 3 C7 63 Gọi Bi là biến cố rút hai bút ở hộp thứ i khơng cĩ màu đen. C 2 C 2 C 2 5 4 6 P B1 2 ,P B2 2 ,P B3 2 C7 C7 C7 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  22. 1 C 2 C 2 C 2 31 Vậy cĩ P B 5 4 6 . 2 3 C7 63 Bài 4: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Hãy tính xác suất để : 1. Cả hai người cùng bắn trúng ; A. P(A) 0,56 B. P(A) 0,6 C. P(A) 0,5 D. P(A) 0,326 2. Cả hai người cùng khơng bắn trúng; A. P(B) 0,04 B. P(B) 0,06 C. P(B) 0,08 D. P(B) 0,05 3. Cĩ ít nhất một người bắn trúng. A. P(C) 0,95 B. P(C) 0,97 C. P(C) 0,94 D. P(C) 0,96 Lời giải: 1. Gọi A1 là biến cố “ Người thứ nhất bắn trúng bia” A2 là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia” Gọi A là biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy ra A A1  A2 Vì A1 , A2 là độc lập nên P(A) P(A1 )P(A2 ) 0,8.0,7 0,56 2. Gọi B là biến cố "Cả hai người bắn khơng trúng bia". Ta thấy B A1 A2 . Hai biến cố A1 và A2 là hai biến cố độc lập nên P(B) P A1 P A2 1 P(A1 ) 1 P(A2 ) 0,06 3. Gọi C là biến cố "Cĩ ít nhất một người bắn trúng bia", khi đĩ biến cố đối của B là biến cố C. Do đĩ P(C) 1 P(D) 1 0,06 0,94 . Bài 5 Một chiếc máy cĩ hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác suất để 1. Cả hai động cơ đều chạy tốt ; A. P(C) 0,56 B. P(C) 0,55 C. P(C) 0,58 D. P(C) 0,50 2. Cả hai động cơ đều khơng chạy tốt; A. P(D) 0,23 B. P(D) 0,56 C. P(D) 0,06 D. P(D) 0,04 3. Cĩ ít nhất một động cơ chạy tốt. A. P(K) 0,91 B. P(K) 0,34 C. P(K) 0,12 D. P(K) 0,94 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  23. 1. Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt", B là biến cố "Động cơ II chạy tốt" C là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy tốt".Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C AB . Ta cĩ P(C) P(AB) P(A)P(B) 0,56 2. Gọi D là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy khơng tốt".Ta thấy D AB . Hai biến cố A và B độc lập với nhau nên P(D) 1 P(A) 1 P(B) 0,06 . 3. Gọi K là biến cố "Cĩ ít nhất một động cơ chạy tốt",khi đĩ biến cố đối của K là biến cố D. Do đĩ P(K) 1 P(D) 0,94 . Bài 6 Cĩ hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II .Xác suất bắn trúng của I là 0,9 ; xác suất của II là 0,8 lấy ngẫu nhiên một trong hai xạ thủ, bắn một viên đạn .Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích. A. P A 0,4124 B. P A 0,842 C. P A 0,813 D. P A 0,82 Lời giải: Gọi Bi là biến cố “Xạ thủ được chọn lọa i ,i=1,2 A là biến cố viên đạn trúng đích . Ta cĩ : 2 8 P B , P B & P A / B 0,9P A / B 0,8 i 10 2 10 1 2 2 9 8 8 Nên P A P B P A / B P B P A / B . . 0,82 1 1 2 2 10 10 10 10 Bài 7 Bốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu .Biết xác suất 1 2 4 5 bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là P A .P B ,P C ,P D .Tính 2 3 5 7 xác suất để mục tiêu bị bắn trúng 14 4 A. P D B. P D 105 15 4 104 C. P D D. P D 105 105 Lời giải: 1 1 1 2 1 Tính xác suất mục tiêu khơng bị bắn trúng: P H . . . 2 3 5 7 105 1 104 Vậy xác suất trúng đích P D 1 . 105 105 Bài 8 Một hộp đựng 10 viên bi trong đĩ cĩ 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng,1 viên bi trắng .Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố 1. 2 viên lấy ra màu đỏ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  24. C 2 C 2 C 2 C 2 4 5 4 7 A. n(A) 2 B. n(A) 2 C. n(A) 2 D. n(A) 2 C10 C10 C8 C10 2. 2 viên bi một đỏ ,1 vàng 8 2 8 8 A. n(B) B. n(B) C. n(B) D. n(B) 55 5 15 45 3. 2 viên bi cùng màu 7 1 5 2 A. P C B. P C C. P C D. P C 9 9 9 9 Lời giải: 2  C10 ; A là biến cố câu a, B là biến cố câu b, C là biến cố câu c C 2 2 4 1. n(A) C4 P A 2 C10 C1.C1 8 1 1 4 2 2. n(B) C4 .C2 P B 2 C10 45 3. Đ là biến cố 2 viên đỏ ,X là biến cố 2 viên xanh ,V là biến cố 2 viên vàng Đ , X, V là các biến cố đơi một xung khắc 2 C 2 1 10 2 P C P D P X P V 3 . 5 45 15 45 9 Bài 9 Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 lần .Tính xác suất để một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần trong 6 lần gieo 23 13 13 13 A. B. C. D. 729 79 29 729 Lời giải: Gọi A là biến cố một số lớn hơn hay bẳng 5 chấm trong mỗi lần gieo .A xảy ra ,con xúc 2 1 xắc xuất hiện mặt 5 ,chấm hoặc 6 chấm ta cĩ P A . 6 3 6 1 Trong 6 lần gieo xác suất để biến cố A xảy ra đúng 6 lần P A.A.A.A.A.A 3 Xác suất để được đúng 5 lần xuất hiện A và 1 lần khơng xuất hiện A theo một thứ tự 5 1 2 nào đĩ . 3 3 5 1 2 12 Vì cĩ 6 cách để biến cố này xuất hiện : 6. . 3 3 729 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  25. 6 12 1 13 Vậy xác xuất để A xuất hiện ít nhất 5 lần là . 729 3 729 Bài 10 Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thơi (các phát súng độc lập nhau ). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,6 .Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn A. P H 0,03842 B. P H 0,384 C. P H 0,03384 D. P H 0,0384 Lời giải: Gọi Ai là biến cố trúng đích lần thứ 4 H là biến cố bắn lần thứ 4 thì ngừng H A1  A2  A3  A4 P H 0,4.0,4.0,4.0,6 0,0384 . Bài 11 Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số cĩ 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé khơng cĩ chữ số 1 hoặc chữ số 2” . A. P(X) 0,8534 B. P(X) 0,84 C. P(X) 0,814 D. P(X) 0,8533 Lời giải: Ta cĩ  105 Gọi A: “lấy được vé khơng cĩ chữ số 1” B: “lấy được vé số khơng cĩ chữ số 2” 5 5 Suy ra A B 9 P A P B 0,9 5 5 Số vé số trên đĩ khơng cĩ chữ số 1 và 2 là: 8 , suy ra AB 8 Nên ta cĩ: P(A  B) (0,8)5 Do X A  B . Vậy P(X) P A  B P A P B P A  B 0,8533 . Bài 12 Một máy cĩ 5 động cơ gồm 3 động cơ bên cánh trái và hai động cơ bên cánh phải. Mỗi động cơ bên cánh phải cĩ xác suất bị hỏng là 0,09 , mỗi động cơ bên cánh trái cĩ xác suất bị hỏng là 0,04 . Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện được chuyến bay an tồn nếu cĩ ít nhất hai động cơ làm việc. Tìm xác suất để máy bay thực hiện được chuyến bay an tồn. A. P(A) 0,9999074656 B. P(A) 0,981444 C. P(A) 0,99074656 D. P(A) 0,91414148 Lời giải: Gọi A là biến cố: “Máy bay bay an tồn”. Khi đĩ A là biến cố: “Máy bay bay khơng an tồn” . Ta cĩ máy bay bay khơng an tồn khi xảy ra một trong các trường hợp sau – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  26. TH 1: Cả 5 động cơ đều bị hỏng 3 2 Ta cĩ xác suất để xảy ra trường hợp này là: 0,09 . 0,04 TH 2: Cĩ một động cơ ở cánh phải hoạt động và các động cơ cịn lại đều bị hỏng. Xác 2 suất để xảy ra trường hợp này là: 3. 0,09 .0,91.(0,04)2 TH 3: Cĩ một động cơ bên cánh trái hoạt động, các động cơ cịn lại bị hỏng Xác suất xảy ra trường hợp này là: 2.0,04.0,96.(0,09)3 3 2 2 P A 0,09 . 0,04 3. 0,09 .0,91.(0,04)2 2.0,04.0,96.(0,09)3 0,925344.10 4 . Vậy P(A) 1 P A 0,9999074656 . Bài 13 Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là x , y và 0,6 (với x y ) . Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336 . Tính xác suất để cĩ đúng hai cầu thủ ghi bàn. A. P(C) 0,452 B. P(C) 0,435 C. P(C) 0,4525 D. P(C) 0,4245 Lời giải: Gọi Ai là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i 1,2,3 . Ta cĩ các Ai độc lập với nhau và P A1 x, P A2 y, P A3 0,6 . Gọi A là biến cố: “ Cĩ ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn” B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn” C: “Cĩ đúng hai cầu thủ ghi bàn” Ta cĩ: A A1.A2 .A3 P A P A1 .P A2 .P A3 0,4(1 x)(1 y) Nên P(A) 1 P A 1 0,4(1 x)(1 y) 0,976 3 47 Suy ra(1 x)(1 y) xy x y (1). 50 50 Tương tự: B A1.A2 .A3 , suy ra: 14 P B P A .P A .P A 0,6xy 0,336 hay là xy (2) 1 2 3 25 14 xy 25 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ: , giải hệ này kết hợp với x y ta tìm được 3 x y 2 x 0,8 và y 0,7 . Ta cĩ: C A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  27. Nên P(C) (1 x)y.0,6 x(1 y).0,6 xy.0,4 0,452 . Bài 14 Một bài trắc nghiệm cĩ 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi cĩ 4 phương án lựa chọn trong đĩ cĩ 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh khơng học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1. A. P(A) 0,7124 B. P(A) 0,7759 C. P(A) 0,7336 D. P(A) 0,783 Lời giải: 1 3 Ta cĩ xác suất để học sinh trả lời câu đúng là và xác suất trả lời câu sai là . 4 4 Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đĩ số câu trả lời sai là 10 x Số điểm học sinh này đạt được là : 4x 2(10 x) 6x 20 21 Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 6x 20 1 x 6 Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1,2,3 . Gọi Ai ( i 0,1,2,3) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu” A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1” Suy ra: A A0  A1  A2  A3 và P(A) P(A0 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) i 10 i i 10 i 1 3 3 1 3 i i Mà: P(Ai ) C10 . nên P(A) C10 . 0,7759 . 4 4 i 0 4 4 Vấn đề 4. Biến cố ngẫu nhiên Phương pháp 1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nĩ. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là X a hay X a Giải sử X cĩ tập các giá trị là {x1, x2, ,xn} Đặt: p1 P X x1 , , pn P X xn . Ta cĩ bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. X x1 x2 xn p P p1 p2 n 2. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  28. Giả sử X là biến ngẫu nhiên cĩ bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi cơng thức: n  E X x1p1 xn pn  xi pi (2) i 1 Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X) , là một số được cho bởi cơng thức: n n 2 2 2 V(X)  xi E(X) pi  xi pi E(X) i 1 i 1 Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: (X) , là một số được cho bởi cơng thức: (X) V(X) Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X. Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X. Bài tốn 01: Lập bảng phân bố xác suất Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngãu nhiên X ta làm như sau Tìm tập giá trị của X Để tìm tập giá trị của X ta cĩ thể tiến hành theo hai cách sau Cách 1: Dựa vào cách mơ tả của X ta cĩ thể liệt kê được các giá trị cảu X cĩ thể nhận, khơng cần mơ tả khơng gian mẫu. Cách 2: Liệt kê các kết quả của khơng gian mẫu  ; với mỗi kết quả a , tính giá trị X(a) của biến cố X tại a . Từ đĩ ta cĩ tập giá trị của X() . (X x ) . . Giả sử X() x ,x , ,x  , tính p P(X x ) i 1 2 n i i  Lập bảng phân bố xác suất Ví dụ . Ta cĩ hai hộp bi: hộp 1 cĩ 3 bi trắng và 1 bi đỏ; hộp 2 cĩ 2 bi trắng và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 viên bi và bỏ vào hộp 2. Sau đĩ, lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 ra 2 viên bỏ vào hộp 1. Gọi X là số bi trắng ở hộp 1 sau hai lần chuyển bi như trên. Lập bảng phân phối xác suất của X Lời giải: Lấy 2 viên từ hộp 1. Cĩ thể cĩ 2 trường hợp sau: TH 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 1 cĩ 2 trắng, hộp 2 cĩ 3 đỏ, 3 trắng TH 2: 2 trắng, suy ra hộp 1 cĩ 1 trắng, 1đỏ, hộp 2 cĩ 4 trắng, 2 đỏ Lấy 2 viên từ hộp 2. Với TH1 ta cĩ 3 khả năng Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng suy ra hộp 2 cĩ 2 đỏ, 2 trắng, hộp 1 cĩ 3 trắng, 1 đỏ. Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 cĩ 1 đỏ, 3 trắng; hộp 1 cĩ 2 đỏ, 2 trắng. Khả năng 3: 2 trắng, suy ra hộp 2 cĩ 3 đỏ, 1 trắng; hộp 1 cĩ 4 trắng Với TH2 ta cĩ các khả năng sau Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 2 cĩ 1 đỏ, 3 trắng, hộp 1 cĩ 2 trắng, 2 đỏ. Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 cĩ 4 trắng; hộp 1 cĩ 3 đỏ, 1 trắng. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  29. Khả năng 3: 2 trắng suy ra hộp 2 cĩ 2 đỏ, 2 trắng; hộp 1 cĩ 3 trắng, 1 đỏ. Vậy sau khi chuyển qua, chuyển về thì hộp 1 cĩ thể cĩ X = 1, 2, 3, 4 và hộp 2 cĩ Y = 1, 2, 3, 4 Ta cĩ: P(X=1)= P(lần đầu chọn 2 trắng và lần sau chọn 2 đỏ) C 2 C 2 1 3 2 Suy ra : P(X 1) 2 . 2 C4 C6 30 C1C1 C 2 C 2 C1C1 11 1 3 3 3 4 2 Tương tự: P X 2 2 . 2 2 . 2 C4 C6 C4 C6 30 C1C1 C1C1 C 2 C 2 1 1 3 3 3 3 4 P X 3 2 . 2 2 . 2 C4 C6 C4 C6 2 C1C1 C 2 1 1 3 3 P(X 4) 2 . 2 C4 C6 10 Bảng phân bố xác suất X 1 2 3 4 1 11 1 1 P 30 30 2 10 Bài tốn 02: Tính kỳ vọng và phương sai Phương pháp: Để tính kỳ vọng và phương sai của biến cố ngẫu nhiên X ta làm như sau: Tìm tập giá trị X() x1 ,x2 , ,xn Lập bảng phân bố xác suất X x1 x2 xn p P p1 p2 n n Tính kì vọng theo cơng thức: E(X)  xi pi i 1 Tính phương sai theo cơng thức: n n 2 2 2 V(X)  xi E(X) pi  xi pi E(X) . i 1 i 1 Các ví dụ Ví dụ 1. Ta cĩ hai hộp bi: hộp 1 cĩ 3 bi trắng và 1 bi đỏ; hộp 2 cĩ 2 bi trắng và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 viên bi và bỏ vào hộp 2. Sau đĩ, lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 ra 2 viên bỏ vào hộp 1. Gọi X là số bi trắng ở hộp 1 sau hai lần chuyển bi như trên. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X Lời giải: Ta cĩ bảng phân bố xác suất X 1 2 3 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  30. 1 11 1 1 P 30 30 2 10 1 11 1 1 8 Kì vọng của X là: E(X) 1. 2. 3. 4. 30 30 2 10 3 Phương sai của X là: 2 2 2 2 8 1 8 11 8 1 8 1 22 V(X) 1 . 2 . 3 . 4 . 3 30 3 30 3 2 3 10 45 Độ lệch chuẩn của X: (X) V(X) 0,699 . Ví dụ 2. Số vị vi phạm an tồn giao thơng trên một đoạn đường vào giờ cao điểm làm một biến ngẫu nhiên rời rạc và cho biết X 0,1,2,3,4,5 : P(X 0) 0,2 , P(X 1) 0,15 , P(X 2) 0,15 , P(X 3) 0,4 , P(X 4) 0,05 , P(X 6) 0,05 . 1. Lập bảng phân bố xác suất và tính xác suất để trên đoạn đường đĩ vào giờ cao điểm cĩ khơng quá 3 vụ tai nạn giao thơng; 2. Tính kì vọng và phương sai của X . Lời giải: 1. Ta cĩ bảng phân bố như sau X 0 1 2 3 4 5 P 0,4 0,15 0,15 0,2 0,05 0,05 P(X 3) 0,4 0,15 0,15 0,2 0,9 . 5 2. Ta cĩ: E(X)  xi pi 0.0,4 1.0,15 2.0,15 3.0,2 4.0,05 5.0,05 i 1 Suy ra E(X) 1,95 . n 2 2 Phương sai: V(X)  xi pi E(X) 2,5975 . i 1 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần. 1. Xác định khơng gian mẫu 2. Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X cĩ thể nhận. 3. Tính các xác suất để X nhận các giá trị đĩ. Lập bảng phân phối xác suất của X. Lời giải: 1. Trong phép thử gieo đồng tiền 3 lần, khơng gian mẫu gồm 23 = 8 phần tử.  SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN 2. X cĩ thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3. Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1”: khi xảy ra một trong các kết quả SNN, NSN, NNS , nghĩa là: X 1 SNN, NSN, NNS – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  31. 1 3. Vì X 0 NNN nên P X 0 8 3 Tương tự X 1 NNS, SNN, NSN nên P X 1 8 3 X 2 SSN, SNS, NSS nên P X 2 8 1 X 3 SSS nên P X 3 8 Từ đĩ ta cĩ bảng phân phối sau: X 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8 Bài 2 Từ một hộp cĩ 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi. Gọi X là số bi xanh trong 4 bi đã chọn. 1. Lập bảng phân phối xác suất của X. 2. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn cĩ ít nhất 1 bi xanh 3. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn cĩ nhiều nhất 2 bi đỏ, 4. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Lời giải: 1. X cĩ tập giá trị là 0,1,2,3 C kC 4 k 3 6 Ta cĩ: P X k 4 , k 0,1,2,3 C9 Từ đĩ ta cĩ bảng phân phối sau: X 0 1 2 3 15 60 45 6 P 126 126 126 126 2. Kí hiệu X a là biến cố “X nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a ”. Ta tính P X 1 Vì X 1 là biến cố đối của biến cố X 0 nên: 5 111 P X 1 1 P X 0 1 126 126 3. Vì số bi đỏ được lấy là 4 X X 2 nên 51 P X 2 P X 2 P X 3 126 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  32. 15 60 45 6 4 4. Ta cĩ: E(X) 0. 1. 2. 3. 126 126 126 126 3 15 60 45 6 5 V(X) 02. 12. 22. 32. (E(X))2 126 126 126 126 9 5 (X) V(X) . 3 Bài 3 Trong một hộp kín cĩ 5 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen cĩ cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu ra khỏi hộp. Gọi X là số quả cầu đen trong 3 quả cầu được lấy ra. 1. Lập bảng phân bố xác xuất của X 2. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Lời giải: 1. Bảng phân bố xác suất X 0 1 2 3 P 5 10 15 1 42 21 42 21 37 2. Kì vọng của X: E(X) 42 Phương sai của X là: V(X) 0,75 Độ lệch chuẩn của X: (X) V(X) 0,87 Bài 4 Gieo đồng thời hai con súc sắc đồng chất. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện của hai con súc sắc. 1. Lập bảng phân bố xác suất của X 2. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Lời giải: 1. Bảng phân bố xác suất của X X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 36 18 12 9 36 6 6 9 12 18 36 211 2. Kì vọng của X: E(X) 18 Phương sai của X: V(X) 37,75; độ lêch chuẩn: (X) 6,14 . Bài 5 Một túi chứa 4 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Hai người chơi A và B lần lượt rút một quả cầu trong túi (rút xong khơng trả lại vào túi).Trị chơi kết thúc khi cĩ người rút được quả cầu đen. Người đĩ xem như thua cuộc và phải trả cho người kia số tiền là X (X bằng số quả cầu đã rút ra nhân với 5USD). – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  33. 1. Giả sử A là người rút trước và X là số tiền A thu được. Lập bảng phân bố xác suất của X. Tính E(X). 2. Nếu chơi 150 ván thì trung bình A được bao nhiêu. Lời giải: 1. Gọi D là bi đen, T là bi trắng ta cĩ các trường hợp sau D, TD, TTD, TTTD, TTTTD Khi đĩ X nhận các giá trị: 5,10, 15,20, 25 Bảng phân bố xác suất X 5 10 15 20 25 P 3 4 18 12 1 7 7 35 35 7 6 Kì vọng của X: E(X) . 7 6 2. Bình quân mỗi ván A thua USD nên nếu chơi 150 ván thì số tiền A thua là: 7 6 .150 128,6 USD . 7 Bài 6 Trong một chiếc hộp cĩ 4 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 4. Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ rồi cộng 2 số ghi trên thẻ với nhau. Gọi X là kết quả. Lập bảng phân bố xác suất của X và tính E(X). Lời giải: Ta cĩ các giá trị của X nhận là: 3,4,5,6,7 Bảng phân bố xác suất X 3 4 5 6 7 P 1 1 1 1 1 6 6 3 6 6 Do đĩ, kì vọng của X là: E(X) 5. Bài 7 Trong 1 chiếc hộp cĩ 5 bĩng đèn trong đĩ cĩ 2 bĩng đèn tốt, 3 bĩng hỏng. Ta chọn ngẫu nhiên từng bĩng để thử (thử xong khơng trả lại) cho đến khi thu được 2 bĩn đèn tốt. Gọi X là số lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X, rồi tính E(X). Lời giải: Ta cĩ các giá trị của X nhận là: 2,3,4,5 Bảng phân bố xác suất X 2 3 4 5 P 1 1 3 2 10 5 10 5 Do đĩ, kì vọng của X là: E(X) 4 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  34. Bài 8 Trong một chiếc hộp cĩ 7 bĩng đèn, trong đĩ cĩ 5 bĩng tốt và 2 bĩng bị hỏng. Ta chọn ngẫu nhiên từng bĩng đèn để thử (khi thử xong khơng trả lại) cho đến khi tìm được hai bĩng bị hỏng. Gọi X là số cần thử cần thiết: 1. Lập bảng phân bố của đại lượng ngẫu nhiên X 2 Trung bình cần bao nhiêu lần thử. Lời giải: 1. Gọi Ai là biến cố “ Lần thứ i lấy bĩng tốt” thì Ai là biến cố: “ lần thứ i lấy bĩng hỏng”. Ta cĩ X là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập 2,3,4,5,6,7 Ta tính P(X 2) ? Ta cĩ: P(X 2) P A1 .P A2 2 Xác suất chọn được bĩng hỏng ở lần thứ nhất là: 7 1 Xác suất chọn được bĩng hỏng ở lần thứ hai là: 6 2 1 1 Nên P(X 2) . . 7 6 21 Tương tự: P(X 3) P(A1 )P A2 P A3 P(A1 )P A2 P A3 5 2 1 2 5 1 2 . . . . 7 6 5 7 6 5 21 P(X 4) P A1 P A2 P A3 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 5 4 2 1 5 2 4 1 2 5 4 1 1 P A P A P A P A . . . . . . . . . 1 2 3 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 P(X 5) P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 2 5 4 3 1 5 2 4 3 1 5 4 2 3 1 5 4 3 2 1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 21 5 P(X 6) 21 6 6 P(X 7) 1  P(X i) . i 2 21 Bảng phân bố xác suất. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  35. X 2 3 4 5 6 7 P 1 2 1 4 5 6 21 21 7 21 21 21 1 2 1 4 5 6 104 2. Ta cĩ: E(X) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 21 21 7 21 21 21 21 Vậy trung bình cần 5 lần thử. Bài 9. Cĩ một khối lập phương được tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt nhau. Ở mỗi mặt, chính giữa khoét một dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt này sang tâm mặt đối diện (cĩ ba dãy, mỗi dãy chín khối). Lấy sơn bơi lên tồn bộ bề mặt trong ngồi của hình lập phương lớn. Lấy ngẫu nhiên một khối lập phương nhỏ trong đĩ. Tính xác suất để 1. Khối đĩ chỉ cĩ một mặt bị bơi đen 2 3 302 32 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 729 729 729 729 2. Khối đĩ chỉ cĩ hai mặt bị bơi đen 118 158 138 238 A. P(B) B. P(B) C. P(B) D. P(B) 729 729 729 729 3. Khối đĩ cĩ ba mặt bị bơi đen. 4 24 4 4 A. P(C) B. P(C) C. P(C) D. P(C) 243 2433 2433 1343 4. Khối đĩ khơng cĩ mặt nào bị bơi đen. 57 247 287 257 A. P(D)= B. P(D)= C. P(D)= D. P(D)= 729 729 729 729 Lời giải: Gọi T là biến cố: “lấy ngẫu nhiên mơt khối lập phương nhỏ trong hình lập phương” A “Khối đĩ chỉ cĩ một mặt bị bơi đen”. B “Khối đĩ chỉ cĩ hai mặt bị bơi đen”. C “Khối đĩ cĩ ba mặt bị bơi đen”. D “Khối đĩ khơng cĩ mặt nào bị bơi đen”. Dựa vào sự quan sát hình vẽ, ta cĩ:  729, A 302, B 158, C 12, D 257 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  36. 302 158 Do đĩ: P(A) , P(B) , 729 729 4 257 P(C) , P(D)= . 243 729 Bài 10 . Cho 8 quả cân trọng lượng 1kg, 2 kg, , 7kg, 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 nhiên quả cân. Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân được chọn khơng vượt quá 9 kg. 7 1 5 3 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 8 8 8 8 Lời giải: 3 Ta cĩ:  C8 56 Gọi A là biến cố “tổng trọng lượng 3 quả cân lấy ra khơng vượt quá 9 kg”. Để ý rằng: 1+2+3=6 ; 1+2+4=7; 1+2+5=8; 1+2+6=9; 1+3+4=8; 1+3+5=9; 2+3+4=9 Vậy chỉ cĩ 7 cách chọn ra 3 quả cân sao cho tổng của chúng khơng vượt quá 9kg nên 7 1  7 P(A) . A 56 8 Bài 11 . Cĩ 3 chiếc xe ơtơ màu đỏ, 2 ơtơ màu vàng, 1 ơtơ màu xanh cùng đỗ bên đường.Tìm xác suất để khơng cĩ 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau. 7 1 1 3 A. P(A) B. P(A) C. P(A) D. P(A) 8 8 6 8 Lời giải: Gọi A là biến cố “khơng cĩ 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau” Ta cĩ:  6! 720 Tính các khả năng của biến cố A. Đánh số thứ tự của các xe từ 1 đến 6, số thứ tự các vị trì từ I đến VI TH1: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí III, xe đỏ thứ ba ở vi trí V số cách đỗ xe là: 3!.3! 36 . TH2: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí IV, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2 24 . TH3: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí II, xe đỏ thứ hai ở vị trí IV, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.3! 36 . TH4: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí III, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2 24 . 1 Vậy  120 P(A) . A 6 Bài 12. Một máy cĩ 5 động cơ gồm 3 động cơ bên cánh trái và hai động cơ bên cánh phải. Mỗi động cơ bên cánh phải cĩ xác suất bị hỏng là 0,09 , mỗi động cơ bên cánh trái – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  37. cĩ xác suất bị hỏng là 0,04 . Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện được chuyến bay an tồn nếu mỗi cánh cĩ ít nhất một động cơ làm việc. Tìm xác suất để máy bay thực hiện được chuyến bay an tồn. A. P(A) 0,99342 B. P(A) 0,9924 C. P(A) 0,9918 D. P(A) 0,9934 Lời giải: Gọi A1 : “ Cĩ ít nhất một động cơ cánh trái hoạt động” A2 : “ Cĩ ít nhất một động cơ cánh phải hoạt động” 3 Ta cĩ: P A1 1 P A1 1 (0,04) 0,9999 2 P A2 1 P A2 1 (0,09) 0,9919 Gọi A là biến cố : “Máy bay thực hiện chuyến bay an tồn” A A1.A2 P(A) P A1 .P A2 0,9918 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất