Lý thuyết Đại số Lớp 11 - Chuyên đề: Tổ hợp. Xác suất

Nội dung text: Lý thuyết Đại số Lớp 11 - Chuyên đề: Tổ hợp. Xác suất

1. CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP – XÁC SUẤT 1. Hoán vị ➢ Tổng quát : - Cho tập A gồm n phần tử ( n 1). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, ( gọi tắt là một hoán vị của A). - Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn n! n.(n 1).(n 2) 3.2.1 . 2. Chỉnh hợp ➢ Tổng quát: - Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 k n ). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A). n! - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là : Ak . n (n k)! 0 n - Một số qui ước : 0! 1, An 1, An n! 3. Tổ hợp ➢ Tổng quát: - Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, , (1 k n ). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. n! Ak - Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là : C k n . n (n k)!k! k! n! - Một số quy ước C 0 1,C n 1, với qui ước này ta có C k đúng với số nguyên n n n (n k)!k! dương k, thỏa 0 k n . k n k k k k 1 - Tính chất : Cn Cn ,(0 k n) và Cn 1 Cn Cn ,(1 k n) : được gọi là hằng đẳng thức Pascal.
2. NHỊ THỨC NEWTON 1. Nhị thức Newton n n k n k k 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n (a b) Cn a .b Cn a Cna b Cn ab Cn b k 0 2. Nhận xét - Trong khai triển (a b)n có n 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số k n k hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau : Cn Cn k n k k - Số hạng tổng quát dạng : Tn 1 Cn a b và số hạng thứ N thì k N 1. - Trong khai triển (a b)n thì dấu đan nhau nghĩa là , rồi , rồi , - Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n. - Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như : n 0 n 1 n 1 n x 1 0 1 n n • (1 x) Cn x Cn x Cn  Cn Cn Cn 2 . n 0 n 1 n 1 n n x 1 0 1 n n • (1 x) Cn x Cn x ( 1) Cn  Cn Cn ( 1) Cn 0 3. Tam giác Pascal Các hệ số của khai triển: (a b)0 ,(a b)1,(a b)2 , ,(a b)n có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác PASCAL. n = 0 : 1 Hằng đẳng thức PASCAL n = 1 : 1 1 n = 2 : 1 2 1 n = 3 : 1 3 3 1 C k 1 C k n = 4 : 1 4 6 4 1 n 1 n 1 n = 5 : 1 5 10 10 5 1  n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1 k n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1 Cn
3. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1. Biến cố a) Phép thử và không gian mẫu - Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà : + Kết quả của nó không đoán trước được. + Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. - Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là  Số phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là n() . b) Biến cố Tổng quát : • Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. • Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. • Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là  A . 2. Xác suất ➢ Tổng quát : Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và  A là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số , kí hiệu là P(A) , được xác định bởi công thức :  n(A) Số phần tử của A ➢ P(A) A  n() Số phần tử của  Từ định nghĩa, suy ra 0 P(A) 1, P() 1, P() 0
4. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1. Quy tắc cộng xác suất. c) Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra “ , kí hiệu là A B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó :  A  B   d) Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B . Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó  A  B   . e) Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc • Nếu A và b là hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A B là P(A B) P(A) P(B) • Cho n biến cố A1, A2 , , An đôi một xung khắc với nhau. Khi đó P(A1  A2   An ) P(A1) P(A2 ) P(An ) . f) Biến cố đối Cho A là một biến cố . Khi đó biến cố “ không A’, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của A. Ta nói A và A là hai biến cố đối của nhau. Khi đó :  A  \  A P(A) 1 P(A) .
5. 2. Quy tắc nhân xác suất . a) Biến cố giao Chao hai biến cố A và b. Biến cố “ A và B cùng xảy ra’ , kí hiệu A B ( hay AB ), gọi là giao của hai biến cố A và B. b) Hai biến cố độc lập. • Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia. • Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B , A và B, A và B cũng là độc lập. c) Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập • Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có P(AB) P(A).P(B) • Cho n biến cố A1, A2 , , An độc lập với nhau từng đôi một. khi đó : n n P(A1.A2 An ) P(A1)P(A2 ) P(An ) hay P( Ai )  P(Ai ) 1 1