Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Chủ đề 5: Đạo hàm cấp hai

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Chủ đề 5: Đạo hàm cấp hai

1. Chủ đề : ĐẠO HÀM CẤP HAI Thời lượng dự kiến: 2 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Nắm được khái niệm đạo hàm cấp hai, cách tính đạo hàm cấp 2 bằng định nghĩa. - Hiểu được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai, cách tính gia tốc của một chuyển động bằng đạo hàm cấp hai. - Nắm được khái niệm đạo hàm cấp n của một hàm số. 2. Kĩ năng - Tính được đạo hàm cấp 2 của hàm số đã chỉ ra. - Giải bài toán vật lý. 3. Về tư duy, thái độ - Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: + Năng lực tực học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót. + Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống đặt ra trong học tập. + Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lí nhóm của mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ vủa mình và hoàn thành nhiệm vụ được giao. + Năng lực giao tiếp: Tiếp thu các kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp. + Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm; trách nhiệm của bản thân, đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề. + Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, + Kế hoạch bài học. 2. Học sinh + Đọc trước bài. + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Làm cho học sinh thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu đạo hàm cấp 2 của hàm số . Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động Cho học sinh nhắc lại câu chuyện dân gian Rùa và Thỏ chạy Học sinh còn lại quan sát theo dõi bài đua.Rút ra ý nghĩa của câu chuyện. làm của bạn. Học sinh nhận xét và Bây giờ ta chuyển thành bài toán vật lí lớp 10 đã học. Giã sử trong cuộc thi chạy đua của Rùa và Thỏ, hai con cùng xuất điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. phát tại vị trí A. Sau 30 giây Thỏ chạy đến điểm B và đạt vận tốc 3(m/s). Sau 40 giây Thỏ chạy đến điểm C và đạt vận tốc 5(m/s). Tính gia tốc của Thỏ chạy là bao nhiêu? GV : - Cho học sinh thảo luận và trình bày lời giải của mình. - Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. - Giáo viên chính xác hóa bài giải: Theo vật lí 10 ta đã học ta Nhớ lại công thức tính gia tốc ở môn chọn mốc thời gian là lúc xuất phát vật lí lớp 10.
2. t0 30(s);v0 3(m / s) Theo đề: . Ta có công thức gia tốc là: t 40(s);v 5(m / s) v v 5 3 2 a 0 0,2(m / s2 ) t t0 40 30 10 Vậy gia tốc trong toán học sẽ được tính như thế nào. Đó là ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai ta sẽ học trong bài này. Phương thức tổ chức: Nêu vấn đề. Phân nhóm – Tại lớp. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp 2 của hàm số, nắm được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. . Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động Nội dung 1: Định nghĩa đạo hàm cấp hai Tiếp cận kiến thức: Tính đạo hàm của các hàm số: 1. a) f (x) x3 3x2 x 2018 b) g(x) 3x2 6x 1 2. a) f (x) sinx b) g(x) cosx - Học sinh tính được đạo hàm các - Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào hàm số trên. giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) - Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. - Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được. - Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. Hình thành kiến thức: Từ bài 1. ta có: f '(x) 3x2 6x 1 và g '(x) 6x 6 Từ bài 2. ta có: f (x)' cos x và g '(x) sinx - Nhận xét thấy f '(x) g(x) ; từ đó - Cho học sinh nhận xét mối quan hệ giữa các hàm số g '(x) ; suy ra f '(x) ' g '(x) f '(x) và f (x) trong mỗi bài trên.   Vậy ta thấy  f '(x)' là đạo hàm 2 lần của f (x) . 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x a;b . Nếu hàm số Nhận biết được định nghĩa đạo hàm cấp 2 của hàm số. y ' f '(x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp 2 của hàm số y =f(x). Kí hiệu: y’’ hoặc f’’(x). Củng cố: Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1 4 2 1) y x 2x 2018 2) y cos2019x y ' x3 4x y '' 3x2 4 4 1)
3. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động 3) y x 4) y x.sinx 2) y ' 2019.sin 2019x - Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày kết quả. Nhóm khác nhận y '' 4076361.cos2019x 1 1 xét. Giáo viên nhận xét và kết luận. 3) y ' y '' 2 x 4x x 4) y' sinx x.cosx y'' cosx cosx x.sinx 2cosx x.sinx Nội dung 2 : Đạo hàm cấp cao. Tính được đạo hàm cấp 3, cấp 4 của Tiếp cận kiến thức:Từ kết quả đạo hàm cấp hai của hàm số: 1 4 2 1 hàm số y x 2x 2018 y x4 2x2 2018 cho học sinh tính đạo hàm lần 3, lần 4. 4 4 - Đạo hàm lần 3 của hàm số 1 - Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. y x4 2x2 2018 là đạo hàm của - Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của 4 đạo hàm cấp 2 của hàm số đó. bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn - Đạo hàm lần 4 của hàm số nếu sai. 1 y x4 2x2 2018 là đạo hàm của 4 đạo hàm lần 3 của hàm số đó. Hình thành kiến thức: Từ bài trên ta có: *Định nghĩa: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp n 1(n N,n 4) . Kí hiệu f n 1 x . Nếu f n 1 x có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n - Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao của hàm số. của f x . - Nắm được công thức n n n n 1 Kí hiệu: f x hoặc y . Viết: f x f x . ' n n 1 f (x) f (x) ;n N,n 2. *Chú ý: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x là f x hoặc f 3 x hay y . Củng cố: Ví dụ 2 : Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau: 1) y x5 5x3 2018x2 x 2 2) y sin 2x 1) y ' 5x4 15x2 4036x 1 - Cho học sinh thảo luận và trình bày kết quả. Học sinh khác y '' 20x3 30x 4036 nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận. y ''' 60x2 30 2) y ' 2cos 2x y '' 4sin 2x y ''' 8cos2x . Phương thức tổ chức: Tổ chức hoạt động theo nhóm 2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Tiếp cận kiến thức: Cho học sinh nhắc lại định nghĩa của đạo hàm và ghi lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa. - HS nhắc lại được định nghĩa đạo - Học sinh khác nhận xét bài bạn hàm.
4. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động - Giáo viên chính xác hóa: Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a;b) . Nếu tồn tại giới hạn (hữu f (x) f (x ) hạn) lim 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm x x 0 x x0 của hàm số y f (x) tại điểm x0 f (x) f (x0 ) Kí hiệu: f (x0) = lim x x 0 x x0 Đặt x x x0 là số gia của đối số tại x0 và y f (x) f (x0 ) là số gia của hàm số tại x0 . y Khi đó : lim f '(x0 ) y '(x0 ) x 0 x v v Hình thành kiến thức: Từ ví dụ ban đầu ta có a 0 là gia t t0 tốc. Vậy nếu một chất điểm chuyển động với pt: s s(t) thì vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là v(t0 ) s '(t0 ) - Nếu t0 nhận một số gia t t t0 thì v(t0 ) nhận số gia là v v(t0 t) v(t0 ) v Vậy theo định nghĩa đạo hàm ta có: lim v '(t0 ) a(t0 ) là t 0 t gia tốc tức thời của chuyển động. *Ý nghĩa: Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s s(t) với s(t) là hàm số có đạo hàm cấp hai. Công thức tính vận tốc và gia tốc tại Khi đó gia tốc tức thời a(t0 ) của chuyển động tại thời điểm thời điểm t của một chuyển động có phương trình s = s(t). t0 bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s(t) tại thời điểm t0 kí hiệu là: a(t0 ) s ''(t0 ) . Vậy a(t0 ) v '(t0 ) s ''(t0 ) *Chú ý: Gia tốc tại thời điểm t0 đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó. Bài toán : Ta có: v(t) = g.t. 1. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do cps phương trình 1 Vậy, gia tốc của chuyển động tại thời 푠 = g푡2 2 2 điểm t là:  (t) v'(t) g 9,8m / s . 2. Xét chuyển động có phương trình: Ta có: v(t) S'(t) A cos(t ) S A.sin(t ); A,, là các hằng số.Tính gia tốc Gia tốc của chuyển động tại thời điểm của chất điểm tại thời điểm t. t là: 훾(푡) = 푣′(푡) = ― 휔2.sin(휔푡 + 휑).
5. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động Củng cố: Xét ví dụ 1) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: 1) s '(t) 5 6t a(t) s ''(t) 6 s(t) 5t 3t 2 ( với s tính bằng mét(m); t 0 tính bằng giây 2a) s '(t) 3t 2 8t (s)). Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t 4(s) . a(t) s ''(t) 6t 8 2) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: a(4) 32(m / s2 ) s(t) t3 4t 2 2018 ( với s tính bằng mét(m); t 0 tính 2b) v(t) s '(t) 3t 2 8t 11 bằng giây (s)). 3t 2 8t 11 0 . a)Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t 4(s) . t 1(nh) b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc 11 của chuyển động bằng 11(m/s). t (l) 3 - Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào Vậy a(1) 6.1 8 14(m / s2 ) giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) - Gọi 2 học sinh nhóm I, III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. - Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được. - Cho 2 học sinh nhóm II, IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. Phương thức tổ chức: Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo nhóm C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Cho học sinh nhắc lại định nghĩa đạo hàm cấp hai, cấp 3, và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động Bài tập rèn luyện: Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I bài 1-2); nhóm II làm bài 3-4); nhóm III làm bài 5- 6); nhóm IV làm bài 7-8)) - Gọi mỗi nhóm đại diện 1 học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. - Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được. - Cho học sinh trong nhóm bổ sung nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. 5 Câu 1: Cho f x 2x 3 . Tính f 3 . Câu 1: Đáp án B. Ta có: f x 10 2x 3 4 A. 4230 B. 4320 .
6. C. 4204 . D. 4132 . f x 80 2x 3 3 f x 480 2x 3 2 f 3 4320 Câu 2: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y sin x là: Câu 2: Đáp án D. Ta có: (3) 5 (3) A. .y sin x B. . y sin x y cos x sin x nên : 2 2 2 (3) (3) 3 C. .y sin x D. . y sin x y cos x sin x sin x 2 2 2 2 3 y cos x sin x 2 Câu 3: Đáp án A. Câu 3: Cho hàm số y 2x x2 . Mệnh đề nào sau đây là 1 x Ta có: y , đúng ? 2x x2 3 2 A. .y .y 1 B.0 . y .y 1 0 1 2 3 y C. 3y .y 1 0. D. 2y .y 3 0. 3 2x x2 Thay vào: y3.y '' 1 1 (2x x2 )3 . 1 (2x x2 )3 1 1 0 Câu 4: Đáp án B. Câu Câu 4: Phương trình chuyển động của một chất điểm Ta có: s t3 3t 2 9t 2 (s tính bằng mét, t >0 tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0. t 1 l 2 2 2 v t s t 0 3t 6t 9 0 A. .1 0 m / s B. . 12 m / s t 3 2 2 C. .8 m / s D. . 16 m / s 2  (3) 12m / s . Câu 5: Đáp án C. Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x ? Ta có: y x3 , y 3x2 , y 6x A yB. 3x2 . y 2x3 C y x3 D y x2 Câu 6: Đáp án B. Câu 6: Cho hàm số y sin 2x . Đẳng thức nào sau đây là Ta có: đúng với mọi x ? 2 2 A. y y 4 .B 4y y 0 y 2cos2x, y 4sin 2x 4y y 0 C. 4y y 0 . D y y .tan 2x Câu 7: Đáp án B. Câu Câu 7 : Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi Ta có: 3 2 phương trình s t 2t 4t 1 trong đó t là giây,s là mét. s t 3t 2 4t 4, s t 6t 4 . Gia tốc của chuyển động khi t 2 là: 2 A 1B.2.m / s 8m / s Vậy gia tốc  2 s 2 8 m / s C 7 m / s D 6m / s Câu 8: Đáp án D.
7. Câu Câu 8: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi Ta có: phương trình s t3 9t 2 t 10 trong đó t tính bằng v(t) s '(t) 3t 2 18t 1 giây, s tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt 38 3(t 3)2 28 giá trị lớn nhất là: A tB. .5s t 6 s Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t 3s C t 2 s D t 3s Phương thức tổ chức : Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo cá nhân và theo nhóm. D, HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG MụcE tiêu: Áp dụng đạo hàm để giải một số bài toán về tổ hợp Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động 1 2 3 n 1 n Câu 1. Tính tổng S Cn 2Cn 3Cn 1 .n.Cn . A. 0 . B. 1 . C. 10. D 100 Câu 2. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1.C1 2.C 2 3.C3 n.C n 11264 . n n n n HS nêu được công thức khai triển nhị A. n 9 . B n 1 0C. .n 1 1 D. n 12 thức Niutơn . n 1 x C 0 C1 x1 C 2 x2 C n xn * Hướng dẫn giải : n n n n Câu 1. Đáp án A. Lấy được đạo hàm 2 vế phương trình (*) n 0 1 1 2 2 n n Từ nhị thức 1 x Cn Cn x Cn x Cn x * lấy đạo hàm hai vế: n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 x Cn 2xCn 3x Cn nx Cn . Thay x 1 ta được 1 2 3 n 1 n S Cn 2Cn 3Cn 1 Cn 0 . Câu 2. Đáp án C. Xét khai triển nhị thức 1 x n . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 x C n 2 xC n 3x C n nx C n Cho x 1 ta được 1 2 3 n n 1 1Cn 2Cn 3Cn nCn n.2 11264 n 11 Phương thức tổ chức : Nêu và giải quyết vấn đề. Tổ chức hoạt động theo cá nhân . IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Câu 1. Đạo hàm cấp hai của hàm số y f x xsin x 3 là biểu thức nào trong các biểu thức sau? A. f x 1 cos x B. f x 2cos x xsin x C. f x xsin x D. f x sin x x cos x Câu 2. Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng
8. A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 . Câu 3. Cho hàm số f x cos2x . Tính P f . A. P 4 B. P 0 C. P 4 D. P 1 2 THÔNG HIỂU Câu 1. Cho chuyển động được xác định bởi phương trình S t3 2t 2 3t , với t là thời gian tính bằng giây, S là quãng đường chuyển động tính bằng mét. Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, tại thời điểm t 2 giây thì gia tốc a của chuyển động có giá trị bằng bao nhiêu? A. a 8m/ s2 . B. a 6m/ s2 . C. a 7m/ s2 . D. a 16m/ s2 . Câu 2. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y 2x 5 là : 1 1 1 1 A. y . B. y . C. y D. y . 2x 5 (2x 5) 2x 5 2x 5 (2x 5) 2x 5 1 Câu 3. Cho hàm số f x . Tính f 1 . 2x 1 2 8 4 8 A. . B. C. . D. 9 27 27 27 Câu 4. Cho hàm số y e 2x .cos x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. y 4y 5y 0 . B. y 4y 5y 0 . C. y 4y 5y 0. D. y 4y 5y 0. 3 VẬN DỤNG 2 Câu 1. Cho hàm số y . Khi đó y(3) (1) bằng: 1 x 3 3 4 4 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 3 Câu 2. Đạo hàm cấp n của hàm số y 2x 1 là : ( 1)n 1.3.5 (2n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) A. y(n) . B. y(n) . (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 ( 1)n 1.3.5 (3n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) C. y(n) . D. y(n) . (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 Câu 3. Cho hàm số y sin2 x . Đạo hàm cấp 4 của hàm số là: A. 8cos 2x . B. 8cos 2x . C. cos2 2x . D. cos2 2x . 4 Câu 4. Cho hàm số y f x cos 2x . Phương trình f x 8 có các nghiệm thuộc đoạn 3 0; là: 2 A. x 0 , x . B. x 0 , x . C. x 0 , x . D. x . 2 6 3 2 4 VẬN DỤNG CAO Câu 1. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y tan x cot x sin x cos x bằng: 2 tan x 2cot x A. tan 2 x cot 2 x cos x sin x . B. sin x cos x . cos2 x sin2 x 2 tan x 2cot x C. sin x cos x . D. 0 . cos2 x sin2 x x2 Câu 2. Cho hàm số f x . Tìm f 30 x . x 1 A. f 30 x 30! 1 x 30 . B. f 30 x 30! 1 x 31 .
9. C. f 30 x 30! 1 x 30 . D. f 30 x 30! 1 x 31 . Câu 3. Đạo hàm cấp n của hàm số y Sin 2x là : (n) n 1 (n) n 1 A. y 2 sin 2x n . B. y 2 sin 2x n . 2 2 (n) n (n) n C. y 2 sin 2x . D. y 2 sin 2x n . 2 2 V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao