Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 1: Giới hạn của dãy số

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 1: Giới hạn của dãy số

1. Chủ đề. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Thời lượng dự kiến: 4 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương. - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. - Giới hạn tại vô cực. 2. Kĩ năng - Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số. - Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 3.Về tư duy, thái độ - Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống. - Tự giác tích cực học tập. - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Học sinh tiếp cận với khái niệm “giới hạn” Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt sinh động Hình bên nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường tròn Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên). Bạn có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận? Rõ ràng, khi n không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: + Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. + Một số giới hạn đặc biệt của dãy số. + Một số định lí về giới hạn của dãy số và công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn. + Định nghĩa giới hạn vô cực, định lí về giới hạn vô cực. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động Yêu cầu hs thực hiện hoạt động 1 (sgk) HS lên bảng biểu diễn hình học và 1
2. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 1 nhận xét: Cho dãy số (u ) với u .Viết dạng khai triển của dãy số và n n n biểu diễn hình học dãy số trên trục số ? a) K/c từ un tới 0 càng nhỏ khi n a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thế nào khi càng lớn n trở nên rất lớn? b) Bắt đầu từ số hạng u nào của dãy số thì khoảng cách từ u b) Từ số hạng thứ 101 trở đi n n Từ số hạng thứ 1001 trở đi đến 0 nhỏ hơn 0,01?0,001? Phương thức: cá nhân-tại lớp. I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: 1. Định nghĩa: -HS ghi nhận định nghĩa 1 ĐỊNH NGHĨA 1: Ta nói dãy số (un ) ó giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu un có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un 0 hay un 0 khi n n 1 -HS đứng tại chỗ trả lời Ví dụ : lim 0 n n D. n0 11. 1 n Câu hỏi : Cho dãy số u với u . Kể từ số hạng thứ n n n2 1 n trở đi thì ta có u . Hãy chọn số n nhỏ nhất. 0 n 100 0 A. n0 10. B. n0 101. C. n0 100. D. n0 11. 1 ● Cho dãy số (un) với u 2 n n Dãy số này có giới hạn như thế nào? Để giải bài toán này ta nghiên cứu ĐN2 ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói dãy số (v n) có giới hạn là số a (hay v n dần tới a) khi -HS đọc định nghĩa 2 và ghi nhận n , nếu lim vn a 0 . n Kí hiệu: lim nn a n hay v a khi n n 2n 1 ● Thực hiện HĐ2: TL1: lim vn 2 lim 2 n n n H1: chứng minh rằng: lim un 2 n 1 lim 0 n n 2n 1 2n 1 Vậy lim vn lim 2 n n H2: cho dãy số (vn) với vn . Chứng minh rằng n 2n 3 TL2: làm tương tự như trên lim vn 1 n Phương thức: cá nhân-tại lớp. ● Giáo viên nêu các kết quả: 2. Một vài giới hạn đặc biệt: HS tiếp thu kiến thức mới. 1 1 lim 0; lim 0 với k nguyên dương n n n nk 2
3. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động lim qn 0 nếu |q| < 1 Kết quả: n +) 0 Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un lim c c n n +) 0 ,vì /1/3 /<1 +) 2019 Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 1 lim n n 1 n 1 lim n 3 lim 2019 n Phương thức: cá nhân-tại lớp. ● Giáo viên nêu chú ý: từ nay về sau thay cho lim un a ta n viết tắt là: limun a II/ Định lí về giới hạn hữu hạn GV giới thiệu định lí 1 HS tiếp thu kiến thức mới. Định lí 1:( Sgk ) GV cho học sinh thảo luận, trao đổi các ví dụ sgk HS trao đổi nhóm và trình bày bài giải GV phát phiếu học tập số 1 2n2 n 1 Ví dụ :Tính các giới hạn sau a/ lim 2 2 1 n 2n n 1 n a/ 1 3 lim 1 n2 2 n n n2 2 = lim 2 1 3n n 1 b/ lim 1 n 1 5n n2 ( Phiếu học tập số 1 ) b/ Chia cả tử và mẫu cho n : GV cho học sinh thực hành theo nhóm trên cơ sở các ví dụ sgk 1 GV hướng dẫn: 2 3 1 3n n2 3 + Chia cả tử và mẫu cho n2 lim lim n n 1 + Áp dụng các định lí và suy ra kết quả 1 5n 5 5 Phương thức: theo nhóm-tại lớp. n III/ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn. -GV giới thiệu các ví dụ , các em có nhận xét gì về công bội q của các dãy số này. 1 + Dãy số thứ nhất có công bội q 1 1 1 1 + Dãy số , , , , , 2 2 4 8 2n 1 + Dãy số thứ hai có công bội q 1 1 1 1 + Dãy số 1, , , , ,( )n 1, 3 3 9 27 3 + Cả hai dãy số đều có công -Từ đó GV cho HS nắm định nghĩa bội q thoả : 1q1 *Định nghĩa: CSN (un ) có công bội q với q 1 gọi là CSN lùi vô hạn. + Dự kiến kết quả: Tổng cấp nhân n u1(1 q ) + GV cho tính lim u1 u2 u3 un S n n 1 q + GV cho ghi nhận công thức. n *Tổng cấp nhân lùi vô hạn với công bội q : mà lim q 0, q 1 3
4. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động u u S 1 ,( q 1) nên S lim S 1 1 q n 1 q -GV phát phiếu học tập thứ hai và cho hs hoạt động nhóm. + Dự kiến kết quả các nhóm Ví dụ : a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) với un =. 1 1 Câu a. u1 ,q 1 3 3 3n 1 1 b/ Tính tổng Nên S 3 n 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 8 2 1 ( Phiếu học tập số 2 ) Câu b. u1 1,q Phương thức: theo nhóm-tại lớp. 2 1 2 Nên S 1 1 3 2 IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC Thực hiện hoạt động 2 sgk HS trao đổi và rút ra kết quả: Phương thức: theo nhóm-tại lớp a) Khi n tăng lên vô hạn thì un cũng n tăng lên vô hạn. GV : Ta cũng chứng minh được rằng u có thể lớn hơn n 10 b) n > 384.1010 một số dương bất kì, kể từ một số hạn nào đó trở đi. Khi đó, dãy số (un) nói trên được gọi là dần tới dương vô cực, khi n ) HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến GV nêu định nghĩa và yêu cầu HS xem ở SGK. thức 1)Định nghĩa: (sgk) GV nêu các giới hạn đặc biệt và ghi lên bảng 2)Vài giới hạn đặc biệt: HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến a) lim nk= với k nguyên dương; thức b) lim qn= nếu q>1. Gọi HS lấy một số ví dụ đơn giản TL: lim n3 ; lim5n HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến GV nêu và chiếu lên bảng nội dung định lí 2. thức 3) Định lí: un Định lí 2: a)Nếu lim un = a và lim vn= thì lim 0 . vn un b)Nếu lim un=a>0, lim vn=0 và vn>0 với mọi n thì lim vn c) Nếu lim un= và lim vn=a>0 thì lim unvn= HS trao đổi để rút ra kết quả: Ví dụ: Tính các giới hạn: 5 2n 5 2 a) lim ; b) lim(3n2 -2n-1) 2n 5 n n a) lim lim n.3 n.3n 3n Phương thức: theo nhóm-tại lớp 5 vì lim(2 ) 2 và lim3n nên n 2n 5 lim 0 n.3n 4
5. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 2 1 b)lim(3n2 -2n-1) =lim[n2 (3 )] n n2 2 1 lim n2 ; lim(3- ) 3 0 n n2 lim(3n2 -2n-1)=+ C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động tập của học sinh Giải bài tập 2: (SGK) HS trao đổi và rút ra kết quả: 1 1 1 Biết dãy số (u ) thỏa mãn u 1 với mọi Vì lim 0 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé n n n3 n3 n3 n. Chứng minh rằng: limun 1. tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (un- Phương thức: theo nhóm-tại lớp 1)=0. Do đó, lim un=1 Giải bài tập 3(SGK) Dự kiến kết quả Tìm các giới hạn sau: 3 3 a)2; b) ; c)5; d) . 6n 1 3n2 n 5 2 4 a) lim ; b) lim 3n 2 2n2 1 3n 5.4n 9n2 n 1 b) lim ; d) lim 4n 2n 4n 2 Phương thức: cá nhân-tại lớp. Giải bài tập 6(SGK) Dự kiến kết quả Cho a=1,02020202 Hãy viết a dưới dạng phân Ta có: số? 2 2 2 a 1,02020202 1 GV gợi ý: 100 1002 100n 1,02020202 1 0,02 0,0002 0,000002 2 2 2 2 101 =1 1 100 100 1002 100n 1 1 99 100 2 2 2 Xét dãy: , , , , là một CSN lùi 100 1002 100n vô hạn do đó ta tính được S Phương thức: theo nhóm-tại lớp. Dự kiến kết quả a) 2 1 1 lim(n3 2n2 n 1) lim[n3 (1 )] Giải bài tập 7(SGK) n n2 n3 Gợi ý: áp dụng giới hạn vô cực. 5 2 Gv gọi 4 học sinh lên bảng thực hiện. b) lim( n2 5n 2) lim[n2 ( 1 )] 1 n n2 Chú ý: lim 0,k ¥ * nk c) n 1 1 Phương thức: cá nhân-tại lớp. lim( n2 n n) lim lim 2 1 2 n n n 1 1 n 5
6. d) lim( n2 n n) Giải bài tập 8(SGK) Dự kiến kết quả Biết limu 3;limv . Tính 3u 1 3.3 1 n n a) lim n 2 3u 1 u 1 3 1 a) lim n n u 1 1 2 n v 2 v 2 v v2 b) lim n b) lim n lim n n 0 2 2 1 vn 1 vn 1 1 2 Gợi ý: áp dụng các định lí về giới hạn. vn Phương thức: cá nhân-tại lớp. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: Học sinh thấy mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh GV cho bài tập sau : 1 2 3 4 5 Ta có: u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 .; Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi 2 3 4 5 6 1 n * u1 Dự đoán u với n ¥ 2 n . n 1 1 Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương u , n 1 n 1 pháp quy nạp. 2 un n 1 Tìm kết quả đúng của limu . Từ đó limu lim lim 1. n n n 1 1 1 1 A. 0 . B.1. C. 1. D. n 2 Phương thức: cá nhân-ở nhà IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT 1 Câu 1. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 2. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 3n3 n Câu 3. Giá trị của lim bằng: n2 A. B. C. 0 D. 1 2 n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 2n 1 Câu 5. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C. 2 D. 1 2n 3 Câu 6. Giá trị của B lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 6
7. 2 THÔNG HIỂU 4n2 3n 1 Câu 1. Giá trị của. B lim bằng: (3n 1)2 4 A. B. C. D. 1 9 n2 2n 1 Câu 2. Kết quả đúng của lim là 3n4 2 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 n3 2n 5 Câu 3. Chọn kết quả đúng của lim : 3 5n 2 A. 5 . B. . C. .D. . 5 n2 2n Câu 4. Giá trị của B lim bằng: n 3n2 1 1 A. B. C. 0D. 1 3 3 VẬN DỤNG n 1 4 Câu 1. Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A.1.B. 0 .C. 1 D. . 2 1 3 5 2n 1 Câu 2. Tính giới hạn: lim 3n2 4 1 2 A. 0 .B. .C. .D. 1. 3 3 2 5n 2 Câu 3. Kết quả đúng của lim là: 3n 2.5n 5 1 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 50 2 2 3n 4.2n 1 3 Câu 4. lim bằng: 3.2n 4n A. . B. .C. 0 . D. 1. 4 VẬN DỤNG CAO Câu 1. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C. 0D. 1 1 1 1 Câu 2. Tính giới hạn: lim 1.2 2.3 n n 1 7
8. 3 A. 0 B.1.C. . D. Không có giới hạn. 2 8