Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 3: Cấp số cộng

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 3: Cấp số cộng

1. Chủ đề 3. CẤP SỐ CỘNG Trong toán học, một cấp số cộng là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11, là một cấp số cộng với các phần tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng. Thời lượng dự kiến: 3 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: Học sinh nắm được: - Định nghĩa cấp số cộng: xác định công sai, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số cộng. - Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. - Một số tính chất của cấp số cộng 2. Kỹ năng: - Sau khi học xong bài này, học sinh cần tính được các số hạng, công sai của cấp số cộng. - Giải được một số dạng toán về cấp số cộng và các bài toán thực tế. 3. Thái độ: - Tự giác tích cực trong học tập. - Biết phân biệt rõ các khái niện cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. - Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Tạo tình huống có vấn đề cần giải quyết. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động Giáo viên kể một mẩu chuyện về nhà toán học Gauss giúp cha làm nghề kế toán và một mẩu chuyện tính tổng S 1 2 3  100 khi Gauss còn ở tiểu học. Nhà toán học Gauss (1777 - 1855)
2. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Giúp học sinh hình thành định nghĩa cấp số cộng. HS biết chứng minh một dãy số cho trước là cấp số cộng; xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng; tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Học sinh biết được tính chất các số hạng của cấp số cộng, từ đó giải quyết một số bài toán liên quan đến cấp số cộng. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) thỏa mãn : HS trả lời : * * un 1 un 5,n ¥ . un 1 un 5,n ¥ . Nhận xét về khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau Hai số hạng liên tiếp cách nhau 5 đơn vị. của dãy. 1. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số (u ) là cấp số cộng hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với n số không đổi d . u u d vôùi n ¥ * Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. n 1 n Nếu (un ) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi * un 1 un d vôùi n ¥ Đặc biệt: Khi d 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi. 1 HS viết được 6 số hạng đầu của cấp số cộng Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un ) có u1 , d 3 . 3 1 8 17 26 35 44 ; ; ; ; ; . Viết 6 số hạng đều tiên của cấp số cộng. 3 3 3 3 3 3 Ví dụ 3: Chứng minh dãy số: 15; 3;9;21;33;45 là * Xét hiệu u u 12,n ¥ * . Do đó dãy số một cấp số cộng, tìm công sai. n 1 n dã cho là một cấp số cộng có công sai d 12 . Ví dụ 4: Chứng minh dãy số: (u ) với n * Xét hiệu 3n 2 * 3 n 1 2 un ,n ¥ 3n 2 3 * 5 un 1 un ,n ¥ 5 5 5 là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai. Do đó dãy số dã cho là một cấp số cộng có số * Chú ý: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta xét 3 hiệu u u . hạng đầu u 1, công sai d . n 1 n 1 5 + Nếu kết quả là một hằng số thì ta kết luận dãy số đó là 1 cấp số cộng với công sai d chính là hàng số vừa tìm được. + Nếu kết quả không phải 1 hằng số ta kết luận dãy số không phải 1 cấp số cộng. 2. Số hạng tổng quát Ví dụ 5 : Bạn Hoa xếp các que diêm thành hình tháp Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp trên mặt sân như hình vẽ : Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp Giả sử để xếp n tầng thì cần un que xếp tầng 1 tầng 2 tầng 3 tầng
3. đế, khi đó ta có: Hỏi nếu tháp có 5 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp u 3 tầng đế của tháp? 1 Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm u2 u1 4 xếp tầng đế của tháp? u3 u2 4 u1 2.4 u4 u3 4 u1 3.4 Định lý 1: Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và u5 u4 4 u1 4.4 công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: u u (n 1)d với n 2 . n 1 u100 u99 4 u1 99.4 3 99.4 399 HS kết luận công thức tổng quát của cấp số cộng khi biết số hạng đầu và công sai. a) u15 – 5 14.3 37 Ví dụ 6: Cho CSC (un) với u1 – 5, d 3. b) un 100 – 5 n – 1 .3 n 36 a) Tìm u . 15 Số 100 là số hạng thứ 13. b) Số hạng 100 là số hạng thứ mấy ?? c) u1 u2 u3 u4 u5 c) Biểu diễn các số hạng u1, u2 , u3 , u4 ,u5 lên trục số. Nhận xét về vị trí của ba điểm liền kề. -5 2 1 4 7 Nhận xét mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề bên cạnh. Ta có u3 là trung điểm đoạn u2u4 hay u u u 2 4 1. 3 2 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng. HS viết uk , uk 1 thành tổng của số hạng lền Định lý 2: Cho cấp số cộng (un ) . Khi đó trước và công sai. uk 1 uk 1 uk , k 2 . 2 uk uk 1 d; uk 1 uk d Nhận xét : Điều kiện cần và đủ để 3 số a, b, c tạo uk uk 1 uk 1 uk thành một CSC. u u u k 1 k 1 a c k a, b, c là CSC b . 2 2 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng HĐ 4 SGK trang 96 HS điền vào bảng Viết các số hạng theo thứ tự ngược lại và nhận xét về 8(u u ) HS tính tổng S và so sánh với 1 8 . tổng các số hạng ở mỗi cột. 8 2 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 8(u1 u8) –1 3 7 11 15 19 23 27 Rút ra kết luận S8 104 . 27 23 19 15 11 7 3 -1 2 26 26 26 26 26 26 26 26 n(u1 un ) HS tổng quát hóa cho Sn : Sn . Định lý 3: Cho cấp số cộng (un ) . Đặt 2 Sn u1 u2 u3 un . Khi đó n(u u ) n(n 1) S 1 n nu .d a) u – u 3 (u ) là một cấp số cộng với n 2 1 2 n 1 n n u1 2, d 3 . Ví dụ 6: Cho dãy số (un ) vớiun 3n – 1. 502.2 (50 1).3 a) Chứng minh dãy (un ) là một cấp số cộng. Tính u1 b) S50 = 3775. 2 và d . n(n 1) b) Tính tổng của 50 số hạng đầu. c) 260 2n .3 n 13. c) Biết S 260 . Tìm n . 2 n 1 100 100 Giải quyết bái toán ban đầu : Tính tổng S 5050. S 1 2 3  100 . 2
4. C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Thực hiện được các dạng bài tập cơ bản trong SGK . Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính toán. Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng áp dụng kiến thức vào các dạng bài toán khác. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động a) Áp dụng công thức Bài 1 : Cho cấp số cộng (un ) biết số hạng đầu u1 23 , u u (n 1)d, với n 2 công sai d 11 . n 1 a) Tìm số hạng thứ 17 của cấp số cộng. suy ra: u17 23 17.11 164 b) Số 318 là số hạng thứ bao nhiêu? b) Giả sử 318 là số hạng thứ n, khi đó: 318 23 (n 1).11 n 32 . u u 28 Ta có :u 3 5 14 ; Bài 2: Cho cấp số cộng có 7 số hạng biết tổng số hạng thứ 3 4 2 2 và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số u u 140 u 5 7 70 hạng cuối bằng 140. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số 6 2 2 cộng đó? u1 3d 14 u1 70 u1 5d 70 d 28 Gọi un là mức lương ở quý thứ n thì: Bài 3: Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức u1 4,5 và d 0,3. sau: Mức lương quý đầu tiên là 4,5 triệu đồng/ quý. Kể từ u 4,5 12 1 .0,3 7,8. quý tiếp theo, mỗi quý được tăng thêm 0,3 triệu đồng. Hỏi 12 tổng số tiền lương anh A nhận được sau 3 năm làm việc. u u 12 4,5 7,8 .12 S 1 12 73,8 12 2 6 (triệu đồng). Số tiếng chuông từ 0 giờ đến 12 giờ là Bài 4: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu một cấp số cộng có u1 1 và d 1. tiếng chuông, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng Tính tổng S12 . chuông bằng số giờ ? 12.11 S 12.u .d 78 12 1 2 Sử dụng công thức un u1 n 1 d . u1 u1 2d u1 4d 10 a) (I) u1 u1 5d 17 u 2d 10 u 16 1 1 . Bài 5 : Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau: 2u1 5d 17 d 3 u1 u3 u5 10 u7 u3 8 a) (I) b) u1 6d u1 2d 8 b) Ta có hệ sau u1 u6 17 u2 .u7 75 u1 d . u1 6d 75 d 2 . u1 d . u1 6d 75 Giải hệ ta được nghiệm u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = - 17 và d = 2. Giả sử A B C, ta có: Bài 6 : Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự A B C 1800 A 30O lập thành CSC. Tính 3 góc đó. C 900 B 60O . O 2B A C C 90 Bài 7: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm Hs thảo luận và trình bày.
5. đại lượng u1,d,n,un , Sn . Để xác định các yếu tố còn lại ta cần biết ít nhất ba trong năm yếu tố a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải u ,d,n,u , S . biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng 1 n n còn lại ? u1 d un n Sn b) Lập bảng theo mẫu và điền số vào ô thích hợp. (Bảng xem sgk trang 97). -2 3 55 20 530 36 -4 -20 15 120 3 4 27 7 28 140 -5 2 17 12 72 2 -5 10 -43 -205 D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: Học sinh vận dụng kiến thức về cấp số cộng để giải quyết một số bài toán thực tế. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh Bài toán 1: Khi ký hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được Gọi n là số năm ký hợp đồng làm việc với công ty tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai A ( n 0 ) phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể: Nếu ký hợp đồng theo phương án 1 thì tổng số tiền Phương án 1: lương nhận được trong n năm là: Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm làm việc thứ hai n(n 1) 3n2 69n mức lương sẽ tăng 3 triệu đồng mỗi năm. S1 n.36 .3 (triệu đồng) 2 2 Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho Nếu ký hợp đồng theo phương án 2 thì tổng số tiền quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ hai mức lương nhận được trong n năm là: lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý. Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công 4n(4n 1) S 4n.7 .0,5 4n2 27n (triệu đồng) ty liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào? 2 2 CÔNG TY LIÊN DOANH A 3n2 69n 5n2 15n Xét S S (4n2 27n) 1 2 2 2 5n2 15n S S 0 0 0 n 3 1 2 2 Vậy nếu làm việc không quá 3 năm thì lựa chọn theo phương án 1, nếu làm việc trên 3 năm thì lựa chọn phương án 2. Theo giả thiết thì tốc độ tăng dân luôn ổn định đều Bài toán 2: qua các năm. Do vậy số dân hằng năm lập thành Dân số nước ta năm 2008 là 84 triệu người, (đứng một cấp số cộng với công sai d 1triệu,u1 84 thứ 13 trên thế giới), bình quân dân số tăng 1 triệu triệu. Nên dân số năm 2020 là người/ năm (bằng dân số 1 tỉnh). Với tốc độ tăng
6. dân số như thế, năm 2020 dân số nước ta là bao u13 84 13 1 96 triệu. nhiêu? Dự đoán đến năm nào thì dân số nước ta Theo dự đoán dân số nước ta được 1 tỉ người khi đạt mốc 1 tỷ người? n 1 1000 – 84 n 917 Như vậy dân số nước ta được 1 tỷ vào năm 2924. IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là sai? 1 u 1 1 3 1 2 A. Dãy số ;0; ;1; ; là một cấp số cộng: . 2 2 2 1 d 2 1 u 1 1 1 1 2 B. Dãy số ; ; ; là một cấp số cộng: . 2 22 23 1 d ;n 3 2 u1 2 C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng . d 0 D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng. Lời giải Chọn B. 1 u 1 1 1 1 2 Dãy số ; ; ; không phải cấp số cộng do u2 1. 2 22 23 1 d 2 1 1 Câu 2 : Cho một cấp số cộng có u ; d . Hãy chọn kết quả đúng 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển : ;0;1; ;1 B. Dạng khai triển : ;0; ;0; 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ;2; ; D. Dạng khai triển: ;0; ;1; 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D. 2 THÔNG HIỂU Câu 3 : Cho một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm d ? A. d 5 . B. d 7 . C. d 6 . D. d 8 . Lời giải
7. Chọn C. Ta có: u6 27 u1 5d 27 3 5d 27 d 6 1 Câu 4 : Cho một cấp số cộng có u ; u 26 Tìm d ? 1 3 8 11 3 10 3 A. d .B. d . C. d . D. d . 3 11 3 10 Lời giải Chọn A. 1 11 Ta có: u 26 u 7d 26 7d 26 d 8 1 3 3 Câu 5 : Cho cấp số cộng un có: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1,6 .B. 6 .C. 0,5.D. 0,6 . Lời giải Chọn C. 1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u u n 1 .0,1 u 0,1 7 1 .0,1 n n 1 7 2 Câu 6 : Cho cấp số cộng un có: u1 0,1; d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6. C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 .D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9. Lời giải Chọn B. 11 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u 0,1 n 1 .1 n . n n 10 11 8 Giả sử tồn tại k ¥ * sao cho u 0,5 k 0,5 k (loại). Tương tự số 0,6 k 10 5 Câu 7 : Cho cấp số cộng un có: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5. C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7. Lời giải Chọn D. 11 Ta có: u 8 u 7d 8 0,3 7d 8 d 8 1 10 11 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u 0,3 n 1 u 6,9 n n 10 7 Câu 8 : Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
8. A. 7; 12; 17 .B. 6; 10;14.C. 8;13;18 . D. 6;12;18. Lời giải Chọn A. u2 2 5 7 u1 2 Khi đó 22 u1 4d d 5 u3 7 5 12 u5 22 u4 12 5 17 1 16 Câu 9 : Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; .B. ; ; ; .C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Lời giải Chọn B. 1 1 4 4 7 u u 1 ;u 1 1 3 16 2 3 3 3 3 3 Ta có u1 5d d 1 . 16 3 10 13 u u ;u 6 3 4 3 5 3 Câu 10 : Cho dãy số un với : un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 3 số hạng đầu của dãy:u 1 5;u2 3;u3 1. B. Số hạng thứ n + 1:un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng có d = – 2. D. Số hạng thứ 4: u4 1. Lời giải Chọn B. Thay n 1;2;3;4 đáp án A, D đúng * un 1 7 2 n 1 5 2n 7 2n ( 2) un ( 2)n ¥ . suy ra đáp án B sai 1 Câu 11 : Cho dãy số u với :u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1: u n . n 1 2 1 C. Hiệu :u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S 12 . n 1 n 2 5 Lời giải Chọn C. 1 1 1 1 Ta có: u n 1 1 n 1 u n ¥ * Đáp án C đúng. n 1 2 2 2 n 2 Câu 12 : Cho dãy số un với : un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
9. C. Số hạng thứ n + 1:un 1 2n 7 .D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4 40 Lời giải Chọn A. Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai. * Thật vậy un 1 2 n 1 5 2n 5 2 un +2 n ¥ đáp án A sai. 1 Câu 13 : Cho dãy số u có:u 3;d . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 2 1 1 A. u 3 n 1 .B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. un 3 n 1 . D. un n 3 n 1 . 2 4 Lời giải Chọn C. 1 Sử dụng công thức SHTQ u u n 1 d n 2 . Ta có: u 3 n 1 n 1 n 2 1 1 Câu 14 : Cho dãy số u có:u ;d . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 4 4 5 4 5 4 A. S . B. S . C. S . D. S . 5 4 5 5 5 4 5 5 Lời giải. Chọn C. n 2u n 1 d 1 n u1 un * Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: S , n ¥ n 2 2 5 Tính được: S 5 4 Câu 15 : Cho dãy số un có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? 1 1 A. u 16 B.u 16 C. u1 D. u1 1 1 16 16 Lời giải Chọn A. n u1 un Sn 2 u1 u8 2S8 :8 u8 u1 18 u1 16. u u u u 7d u u 14 Ta có: d n 1 8 1 8 1 n 1
10. Câu 16 : Cho dãy số un có d 0,1;S5 0,5.Tính u1 ? 10 10 A. u 0,3. B.u . C. u . D. u 0,3. 1 1 3 1 3 1 Lời giải Chọn D. un u1 n 1 d u5 u1 4.0,1 2S u1 0,3 Ta có : n u u 0,25 . Suy ra chọn đáp án D. un u1 5 1 n Câu 17 : Cho dãy số un có u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? A. n 20 . B. n 21.C. n 22 .D. n 23 . Lời giải Chọn D n 2u n 1 d 1 2 n 23 Ta có: Sn 2.483 n. 2. 1 n 1 .2 n 2n 483 0 2 n 21 Do n N * n 23. Câu 18 : Cho dãy số un có u1 2;d 2;S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng. Lời giải Chọn B. n 2u n 1 d 1 2 n 6 Ta có: Sn 2.21 2 n. 2. 2 n 1 . 2 n n 21 0 2 n 7 Do n N * n 6 . Suy ra chọn đáp án B. Câu 19 : Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n 2. ? A. un u1 d .B. un u1 n 1 d C. un u1 n 1 d D. un u1 n 1 d . Lời giải Chọn D. Công thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d , n 2 . Câu 20 : Xác định x để 3 số : 1 x; x2 ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
11. A. Không có giá trị nào của x .B. x 2. C. x 1.D. x 0 . Lời giải : Chọn C. Ba số : 1 x; x2 ;1 x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x2 1 x 1 x x2 2x2 2 x 1 suy ra chọn đáp án C. Câu 21 : Xác định x để 3 số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3 A. x 3. B. x . 2 3 C. x . D. Không có giá trị nào của x . 4 Lời giải Chọn B. Ba số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2x2 1 1 2x 2x 2x2 1 3 4x2 3 x . Suy ra chọn đáp án B. 2 Câu 22 : Xác định a để 3 số : 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a .B. a 0 . C. a 1 D. a 2 . Lời giải Chọn A. Ba số : 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a2 5 1 3a 1 a a2 5 a2 3a 4 a2 a 4 a2 a 4 0 . PT vô nghiệm Suy ra chọn đáp án A. 3 VẬN DỤNG Câu 23 : Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc .B. a2 c2 2ab 2bc .
12. C. a2 c2 2ab 2bc . D. a2 c2 ab bc . Lời giải Chọn B. a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b a c b b a 2 c b 2 a2 c2 2ab 2bc . Suy ra chọn đáp án B. Câu 24 : Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc 2ac .B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac .D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Lời giải Chọn C. a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b a c b b a 2 c b 2 a2 c2 2ab 2bc a2 c2 2c2 2ab 2bc 2ab 2c c b 2ab 2c b a 2ab 2bc 2ac Câu 25: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng? A. 2b2 ,a,c2 .B. 2b, 2a, 2c .C. 2b,a,c .D. 2b, a, c . Lời giải Chọn B. Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b 2 b c 2.2a 2b 2c 2 2a 2b, 2a, 2c lập thành một cấp số cộng Câu 26 : Cho cấp số cộng un có u4 12;u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 20,d 3 .B. u1 22,d 3. C. u1 21,d 3.D. u1 21,d 3. Lời giải Chọn C. u4 u1 3d u1 3d 12 d 3 Ta có : . Suy ra chọn đáp án C u14 u1 13d u1 13d 18 u1 21 Câu 27 : Cho cấp số cộng un cóu4 12;u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24. B. S = –24.C. S = 26.D. S = –25.
13. Lời giải Chọn A. n 2u n 1 d 16 2. 21 15.3 Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S 1 S 24. n 2 16 2 Câu 28 : Cho cấp số cộng un có u5 15;u20 60 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 35,d 5.B. u1 35,d 5.C. u1 35,d 5 D. u1 35,d 5 . Lời giải Chọn B. u5 u1 4d u1 4d 15 d 5 Ta có : . Suy ra chọn B. u20 u1 19d u1 19d 60 u1 35 Câu 29 : Cho cấp số cộng un có u5 15;u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S20 = 200B. S 20 = –200C. S 20 = 250D. S 20 = –25 Lời giải Chọn C. n 2u n 1 d 20 2. 35 19.5 Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S 1 S 250. n 2 20 2 Câu 30 : Cho cấp số cộng (u ) có u u 20, u u 29 . Tìm u ,d ? n 2 3 5 7 1 A. u1 20;d 7 . B. u1 20,5;d 7 .C. u1 20,5;d 7 . D.u1 20,5;d 7 . Lời giải Chọn C. 2u1 3d 20 u1 20,5 Áp dụng công thức un u1 (n 1)d ta có . 2u1 10d 29 d 7 Câu 31 : Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14; Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên? A. d 3;S20 510 . B. d 3;S20 610. C. d 3;S20 610 . D. d 3;S20 610 . Lời giải Chọn B. Ta có 5 2 ( 3); 8 5 ( 3); 11 8 ( 3); 14 11 ( 3); nên d 3. n(n 1) Áp dụng công thức S nu d , ta có S 610 . n 1 2 20
14. Câu 32 : Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25 o . Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o.B. 75 o ; 80o.C. 60 o ; 95o. D. 60o ; 90o. Lời giải Chọn D. Ta có :u1 u2 u3 180 25 25 d 25 2d 180 d 35 . Vâỵ u2 60; u3 90. Câu 33 : Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại? A. 75o ; 120o; 165o.B. 72 o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o.D. 80 o ; 110o; 135o. Lời giải Chọn C. Ta có: u1 u2 u3 u4 360 30 30 d 30 2d 30 3d 360 d 40 . Vậy u2 70; u3 110; u4 150 . 1 1 3 5 Câu 34 : Cho dãy số u : ; - ; - ; - ; Khẳng định nào sau đây sai? n 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng.B. có d 1. C. Số hạng u20 19,5.D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . Lời giải Chọn C. 1 1 3 1 5 3 Ta có ( 1); - ( 1); - ( 1); Vậy dãy số trên là cấp số cộng với 2 2 2 2 2 2 công sai d 1. Ta có u20 u1 19d 18,5 . 2n 1 Câu 35 : Cho dãy số u có u . Khẳng định nào sau đây đúng? n n 3 1 2 1 2 A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d .B. (u n) là cấp số cộng có u1 = ; d . 3 3 3 3 C. (un) không phải là cấp số cộng.D. (u n) là dãy số giảm và bị chặn. Lời giải Chọn B. 2(n 1) 1 2n 1 2 1 Ta có u u và u . n 1 n 3 3 3 1 3
15. 1 Câu 36 : Cho dãy số u có u . Khẳng định nào sau đây sai? n n n 2 A. Các số hạng của dãy luôn dương. B. là một dãy số giảm dần. 1 C. là một cấp số cộng.D. bị chặn trên bởi M = . 2 Lời giải Chọn C. 1 1 1 Ta có u ; u ; u . u u u u nên dãy số không phải là cấp số cộng. 1 3 2 4 3 5 2 1 3 2 2n2 1 Câu 37 : Cho dãy số u (un) có u . Khẳng định nào sau đây sai? n n 3 1 2 2(n 1)2 1 A. Là cấp số cộng có u ; d ; B. Số hạng thứ n+1: u 1 3 3 n 1 3 2(2n 1) C. Hiệu u u D. Không phải là một cấp số cộng. n 1 n 3 Lời giải Chọn A. 2(n 1)2 1 2n2 1 2(2n 1) Ta có u u . Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng. n 1 n 3 3 3 4 VẬN DỤNG CAO
16. V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 VÀI NÉT SƠ LƯỢC TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC GAU – XƠ (GAUSS) Nhà toán học người Đức Gauss (1777 - 1855) được mệnh danh là "ông hoàng của các nhà toán học". Các công trình của ông rộng khắp các lĩnh vực trong toán học, thiên văn học, vật lý, trắc địa và có ảnh hưởng sâu sắc đối với sự phát triển của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Ông được xếp ngang hàng cùng Archimede, Euler và Newton, những nhà toán học vĩ đại nhất của nhân loại. Toán học ở Châu Âu đã phục hồi và nhanh chóng phát triển từ thời kỳ Phục hưng. Sự phát triển nhanh chóng của toán học ở giai đoạn này, cùng với sự phát triển của các ngành khoa học khác nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế và khoa học kỹ thuật của Châu Âu. Thế kỷ XVII chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn Châu Âu. Đến thế kỷ XIX, toán học ngày càng trở nên trừu tượng hơn. Có thể nói chính Gauss là bước tiếp nối và phát triển những thành tựu vĩ đại của khoa học trước đó. Từ nhỏ, ông đã là một thần đồng. Giai thoại kể rằng lúc đang học tiểu học, ông đã giải bài toán tính tổng các số từ 1 đến 100 chỉ mất vài giây. Lúc học trung học, ông đã khám phá ra một số định lý toán học. Nổi tiếng nhất là bài toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước kẻ và compa, một bài toán làm đau đầu các nhà toán học trong hơn 2.000 năm. Ông là người đặt nền móng cho bộ môn Lý thuyết số với những công trình: đồng dư, nghịch đảo toàn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm của đa thức Ông đóng góp cho đại số các công trình Định lý cơ bản của đại số. Ông góp phần phát triển số phức nhằm hoàn thiện dần môn đại số như ngày nay. Ông cũng là người tuyên bố đã khám phá ra hình học phi Euclide. Gauss là người cẩn thận trong khoa học, tự trọng trong đời sống và là người có sức làm việc phi thường. Ông chỉ cho đăng các công trình của mình sau khi nó được hoàn thiện kỹ càng, qua phản biện và được khẳng định về tính đúng đắn của khoa học. Chính vì điều này mà sau khi ông mất, người ta tìm thấy rất nhiều ghi chép khoa học của ông chưa được công bố. Khẩu hiệu của ông là "ít nhưng chắc chắn". Phải chăng đó là nguyên nhân mà ông không công bố công trình hình học phi Euclide? Nhà viết sử Bell năm 1937 đã ước đoán rằng, nếu Gauss xuất bản hết mọi công trình của ông từ lúc ông còn sống thì toán học đã có thể tiến nhanh hơn 50 năm. Thật đáng kinh ngạc về đóng góp của cá nhân ông đối với nhân loại! Ông được nhận tước hiệu Công tước với mức lương cao. Vì nhiều lý do, trong đó có việc ông đánh giá những đóng góp của mình cho toán học không xứng được chu cấp nhiều như vậy, nên ông đã chuyển sang ngành thiên văn học. Ông làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ năm 1807 đến hết đời. Từ đó, ông tiếp tục đóng góp công sức của mình trong lĩnh vực thiên văn học, quang học, từ học Với toán học, ông tiếp tục khám phá ra hình vi phân, sai số ông cũng là người thầy của nhiều nhà khoa học tài năng. Thành tựu khoa học vĩ đại của Gauss đã được nhân loại ghi nhận. Tên ông được đặt cho một hố trên bề Mặt Trăng. Ảnh ông được in trên mặt đồng tiền của Đức. Giải thưởng Gauss được thành lập năm 2006,
17. dành tặng cho những thành tựu toán học ứng dụng vào các ngành khác và cuộc sống. Tại Canada, cuộc thi toán cho học sinh trung học mang tên ông. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Cấp số Nắm chắc định nghĩa Tính chất cấp số - Chứng minh dãy số Tính một số yếu tố cộng cấp số cộng. cộng. Số hạng tổng là cấp số cộng. của cấp số cộng khi quát của cấp số đã biết một số yếu cộng, công thức - Tính các số hạng tố khác. tính tổng cấp số đầu và công sai của cộng. cấp số cộng.