Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2021 – 2022. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả thí sinh) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 15/06/2021. (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình:13 5 x 18 x 8 61 x 3 (5 x)(x 8) Bài 2. (2,0 điểm) x4 y4 6x2 y2 1 Giải hệ phương trình: 4 x(x y) x y Bài 3. (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7 ,9 ,11,13 ta nhận được các số dư tương ứng là 3 , 4 ,5 , 6 . Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm trong tam giác ( P không nằm trên các cạnh). Gọi J , K , L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PBC, PCA , PAB 1) Chứng minh rằng B· JC C· KA A· LB 450. 2) Giả sử PB PC và PC PA . Gọi X , Y , Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của J , K , L trên các cạnh BC,CA,AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác B· AC . Bài 5. (1,0 điểm) Cho tập A {1,2,3,,2021}. Tìm số nguyên dương k lớn nhất (k 2) sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng. HẾT
2. LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2021 – 2022. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả thí sinh) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 15/06/2021. (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình:13 5 x 18 x 8 61 x 3 (5 x)(x 8) Lời giải 5 x 0 ĐKXĐ: 8 x 5 . x 8 0 13 5 x 18 x 8 61 x 3 5 x x 8 1 a 5 x,a 0 1 : 13a 18 13 a2 61 5 a2 3a 13 a2 3 13 a2 6 a a2 13a 66 2 9 13 a2 6 a 2 a2 13a 66 9 13 a2 a2 12a 36 a4 26a3 37a2 1716a 4356 10a4 82a3 244a2 312a 144 0 a 2 a 3 10a2 32a 24 0 a 2 x 1 a 3 x 4 6 89 a x 5 25 Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện, 89  Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;1;  . 25 Cách khác: Ta có 13 5 x 18 x 8 61 x 3 5 x x 8 26 5 x 36 x 8 122 2x 6 5 x x 8 2 2 2 3 5 x x 8 5 x 8 3 5 x 2 1 2 x 8 3 a a 3 x 8 2 2 Đặt a 3 b 2 13 2 . 2 5 x 2 b b 2 5 x Khi đó, 1 3 a b 2 a2 b2 3a2 6ab 3b2 a2 b2 2 2 a b 0 2a 3ab b 0 a b 2a b 0 2a b 0
3. Trường hợp 1: a b 0 b a . Khi đó 2 a 3 2 2 a 2 13 a2 6a 9 a2 4a 4 13 2a2 2a 0 a 0 x 8 3 0 x 8 3 x 1 t / m . a 1 x 8 3 1 x 8 2 x 4 Trường hợp 2: 2a b 0 b 2a . Khi đó 2 a 3 2 2 2a 2 13 a2 6a 9 4a2 8a 4 13 5a2 2a 0 a 0 x 8 3 0 x 8 3 x 1 2 2 17 89 t / m . a x 8 3 x 8 x 5 5 5 25 89  Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;1;  . 25 Bài 2. (2,0 điểm) x4 y4 6x2 y2 1 Giải hệ phương trình: 4 x(x y) x y Lời giải Cách 1: TH1: x 0 y 0 : loại TH2: x 0 x4 y4 6x2 y2 1 1 Suy ra 4 4 2 2 2 2 y x y 6x y 4xy x y 1 2 x y Lấy 2 1 ta được: 4xy x2 y2 x y 0 2 2 2 . 4x x y 1 Với y 0, thay vào phương trình 1 , được x4 1 x 1. Với 4x2 x2 y2 1(phương trình vô nghiệm do vế trái của phương trình luôn không âm). Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm x; y là 1;0 ; 1;0 . Cách 2: 4 4 2 2 x y 6x y 1 4 x x y x y 4 4 2 2 x y 6x y 1 4 4 2 2 3 3 x x y 6x y 4x y 4xy x y 4 4 2 2 x y 6x y 1 3 3 x 1 4x y 4xy x y x4 y4 6x2 y2 1 4 2 3 4x y 4x y y 0
4. 4 4 2 2 x y 6x y 1 4 2 2 y 4x 4x y 1 0 x4 1 (vì 4x4 4x2 y2 1 0 ). y 0 x4 1 x 1 . y 0 y 0 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm x; y là 1;0 ; 1;0 . Bài 3. (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7 ,9 ,11,13 ta nhận được các số dư tương ứng là 3 , 4 ,5 , 6 . Lời giải Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6 Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8 Vì n chia 11 dư 5 nên 2n chia 11 dư 10 Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12 2n 1 chia hết cho 7; 9; 11; 13 Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên: 2n 1 BCNN 7;9;11;13 2n 1 7.9.11.13 n 4504 Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm trong tam giác ( P không nằm trên các cạnh). Gọi J , K , L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PBC , PCA , PAB 1) Chứng minh rằng B· JC C· KA ·ALB 450 . 2) Giả sử PB PC và PC PA . Gọi X , Y , Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của J , K , L trên các cạnh BC , CA , AB . Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác B· AC . Lời giải
5. 1) Chứng minh rằng B· JC C· KA ·ALB 450 . Ta có: 1 B· JC 180 P· BC P· CB 2 1 C· KA 180 P· AC P· CA 2 1 ·ALB 180 P· AB P· BA 2 1 B· JC C· KA ·ALB 540 180 450 2 2) Giả sử PB PC và PC PA . Gọi X , Y , Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của J , K , L trên các cạnh BC , CA , AB . Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác B· AC .
6. Kẻ BM // XY M AC CN // XZ N AB Vì X là trung điểm của BC Y là trung điểm của MC Suy ra W là trung điểm của MN 1 Mặt khác: Y là trung điểm của MC AM AC 2CY AC AC CP AP (vì K là tâm đường tròn nội tiếp ACP ) AP CP Tương tự AN AP BP mà BP CP AM AN Suy ra AMN cân tại A 2 Từ 1 và 2 , suy ra AW là phân giác của B· AC Bài 5. (1,0 điểm) Cho tập A {1,2,3,,2021}. Tìm số nguyên dương k lớn nhất (k 2) sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng. Lời giải Gọi k số các số nguyên dương lớn nhất có thể chọn được là a1;a2 ;a3 ;ak không mất tính tổng quát giả sử a1 a2 a3 ak Dễ thấy ai 1 ai 1 i 1,2, k 1 Mặt khác nếu tồn tại i 1,2, k 1 sao cho ai 1 ai 2 thì khi đó ai và ai 1 cùng tính chẵn lẻ nên ta có ai 1 ai ai 1 ai ( trái với giả thiết) từ đó suy ra ai 1 ai 3 . 2023 a k 1 .3 a 3k 2 ta lại có a 2021 3k 2 2021 k k 674 k 1 k 3
7. Nhận xét nếu có hai số cùng chia cho 3 dư 2 thì tổng của chúng chia cho 3 dư 1, còn hiệu của chúng chia hết 3. Nên tổng hai số này không chia hết cho hiệu của chúng. Các số thuộc tập A có tất cả 674 số chia cho 3 dư 2 . Vậy giá trị lớn nhất của k là 674 . Cách 2: Gọi B là tập con của tập A thoả mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B Thật vậy, Với 3 số: x, x 1, x 2 nếu có 2 phần tử trong B thì x x 2 2x 2 chia hết cho x 2 – x 2 x x 1 2x 1chia hết cho x 1– x 1 (x+1)+(x+2)=2x+3 chia hết x 2 x 1 1 2021 Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của tập B không thể lớn hơn 1 674 3 Tập B 1,4,7,.2020 có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy giá trị lớn nhất của k là 674 .