Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Nai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Nai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC : 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (1,75 điểm) 1) Giải phương trình 2x2 - 7x + 6 = 0. ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải phương trình íï îï 3x + 4y = 18 3) Giải phương trình x4 + 7x2 - 18 = 0. Câu 2. (2,25 điểm) - 1 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 Câu 3. ( 2 điểm) 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î ¡ . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình x - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) . 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Câu 4. ( 1 điểm) æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức P = ç ÷ç ÷ ( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ ïì 4x2 - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H .
2. Biết ba góc C·AB, A·BC,B·CA đều là góc nhọn. 1) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh DE vuông góc với OA 3) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL song song với AC . Câu 6. (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 3 3 3 (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab). HẾT
3. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN – TỈNH ĐỒNG NAI Câu 1. (1,75 điểm) 1) Giải phương trình 2x2 - 7x + 6 = 0. ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải phương trình íï îï 3x + 4y = 18 3) Giải phương trình x4 + 7x2 - 18 = 0. Lời giải 1) Giải phương trình: 2x2 - 7x + 6 = 0. 2 Ta có: D = b2 - 4ac = (- 7) - 4.2.6 = 1 > 0 é 7 + 1 ê = = êx1 2 Þ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ê 2.2 . ê 7 - 1 3 êx = = ëê 2 2.2 2 ïì 3 ïü Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = íï ;2ýï . îï 2 þï ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải hệ phương trình : íï îï 3x + 4y = 18 ïì 17y = 51 ïì y = 3 ïì 2x - 3y = - 5 ïì 6x - 9y = - 15 ï ï ïì x = 2 í Û í Û í 3y - 5 Û í 3.3- 5 Û í . îï 3x + 4y = 18 îï 6x + 8y = 36 ï x = ï x = îï y = 3 îï 2 îï 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y)= (2;3). 3) Giải hệ phương trình: x4 + 7x2 - 18 = 0. Đặt x2 = t(t ³ 0). Khi đó ta có phương trình Û t2 + 7t - 18 = 0 (1) Ta có: D = 72 + 4.18 = 121 > 0 é - 7 + 121 - 7 + 11 êt = = = 2 (tm) ê1 2 2 Þ (1) có hai nghiệm phân biệt: ê ê - 7 - 121 - 7 - 11 êt = = = - 9(ktm) ëê2 2 2 Với t = 2 Þ x2 = 2 Û x = ± 2.
4. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S = {- 2 ; 2}. Câu 2 ( 2,25 điểm): - 1 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 Lời giải - 1 1) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ 2 1 +) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 2 Ta có bảng giá trị: x -4 -2 0 2 4 1 y = - x2 2 -8 -2 0 -2 -8 1 Vậy đồ thị hàm số y = - x2 là đường cong đi qua các điểm (- 4;- 8), (- 2;2), (0;0), (2;- 2), 2 (4;- 8) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. +) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 1 Ta có bảng giá trị: x 0 -2 y = 2x - 1 -1 -5 Vậy đường thẳng y = 2x - 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: (0;- 1), (- 2;- 5).
5. 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. Hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. ïì ém = 1 ïì 2 + = ïì 2 = ï ê ï m 1 2 ï m 1 ï ê Û í Û í Û í ëm = - 1Û m = 1. îï m ¹ - 1 îï m ¹ - 1 ï îï m ¹ - 1 Vậy m = 1 thỏa mãn bài toán. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 ïì 5 ïì 5 ïì 3x - 5 ³ 0 ïì 3x ³ 5 ï x ³ ï x ³ Û ï Û ï Û ï Û ï Biểu thức M đã cho xác định í 2 í 2 í 3 í 3 . îï x - 4 ¹ 0 îï x ¹ 4 ï ï îï x ¹ ± 2 îï x ¹ 2 5 Vậy biểu thức M xác định khi và chỉ khi x ³ ,x ¹ 2. 3 Câu 3( 2 điểm) (VD): 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î ¡ . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình x - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) .
6. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Lời giải 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 0 ) Do đó hình nón có độ dài đường sinh là l = MP = 5a. 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq = pRl = p.3a.5a = 15pa . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình x - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) . ïì x + x = 3 Phương trình x2 - 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x ,x ( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: íï 1 2 1 2 ï îï x1x2 = 1 Xét các tổng và tích sau: 2 2 2 2 S = 2x1 - (x2 ) + 2x2 - (x1 ) = 2(x1 + x2 )- (x1 + 2 ) 2 = 2(x + x )- é(x + x ) - 2x x ù= 2.3- é32 - 2.1ù= - 1 1 2 ëê 1 2 1 2 ûú ëê ûú 2 2 2 P = é2x - (x ) ùé2x - (x ) ù= 4x x - 2x3 - 2x3 + (x x ) ëê 1 2 ûúëê 2 1 ûú 1 2 1 2 1 2 3 3 2 = 4x1x2 - 2(x1 + x2 )+ (x1x2 ) é 3 ù 2 = 4.1- 2 ëê3 - 3.1.3ûú+ 1 = - 31. 2 Ta có S2 = (- 1) = 1 ³ 4P = - 124
7. 2 2 Þ 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) là 2 nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0 Û X 2 + X - 31 = 0. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x ( %/năm) ( ĐK: x > 0 ). Số tiền lãi bác B phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100x% = x ( triệu đồng). Þ Số tiền bác B phải trả sau 1 năm là 100 + x ( triệu đồng). Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B (100 + x)x phải trả sau 2 năm là (100 + x)x% = ( triệu đồng). 100 Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình: (100 + x)x 100 + x + = 121 Û 10000 + 100x + 100x + x2 = 12100 100 Û x2 + 200x - 2100 = 0 Û x2 - 10x + 210x - 2100 = 0 Û x(x - 10)+ 210(x - 10)= 0 Û (x - 10)(x + 210)= 0 éx - 10 = 0 éx = 10 (tm) Û ê Û ê ê ê ëx + 210 = 0 ëêx = - 210 (ktm) Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm. Câu 4 ( 1 điểm) æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức P = ç ÷ç ÷ ( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ ïì 4x2 - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 Lời giải æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức: P = ç ÷ç ÷( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷
8. Với a ³ 0 và a ¹ 4 thì: æ + öæ - + ö a (1 + a) - - + ç a a÷ça 3 a 2÷ a 2 a a 2 P = ç ÷ç ÷= . èç1 + a ø÷èç a - 2 ÷ø 1 + a a - 2 a ( a - 2)- ( a - 2) ( a - 1)( a - 2) = a. = a. a - 2 a - 2 = a.( a - 1)= a - a Vậy P = a - a. ïì 4x2 - xy = 2 1) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 ì 2 ï 4x - xy = 2(1) í ï 2 îï y - 3xy = - 2(2) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được: 4x2 - xy + y2 - 3xy = 0Û 4x2 - 4xy + y2 = 0 2 Û (2x - y) = 0Û 2x - y = 0 Û y = 2x Thay y = 2x vào (2) ta được: Û - 2x2 = - 2 Û x2 = 1 Û x = ± 1 Với x = 1 thì y = 2.1 = 2. Với x = - 1 thì y = 2.(- 1)= - 2. Vậy hệ có nghiệm (x; y)Î {(1;2),(- 1;- 2)}. Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Biết ba góc C·AB, A·BC,B·CA đều là góc nhọn. 2) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 3) Chứng minh DE vuông góc với OA
9. 4) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL song song với AC . Lời giải Phương pháp: 1) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax chứng minh Ax //DE. Cách giải: ì · ï BD ^ AC Þ BDC = 90° 1) Ta có: íï ï · îï CE ^ AB Þ CEB = 90° Tứ giác BEDC có B·DC = B·EC = 90° nên nó là tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Suy ra bốn điểm B , D , C , E cùng thuộc một đường tròn. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) tại A . Khi đó Ax ^ AO ( tính chất tiếp tuyến). Ta có: C·Ax = C·BA ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) (1)
10. Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) Þ C·BA = E·DA ( góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diên đỉnh đó) (2) Từ (1) và(2) suy ra C·Ax = E·DA(= C·BA). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE //Ax . Mà Ax ^ AO (cmt) nên DE ^ AO (đpcm). Câu 6 (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 3 3 3 (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab). Lời giải Phương pháp: - Đặt x = a2 - bc, y = b2 - ca, z = c2 - ab đưa bất đẳng thức cần chứng minh về x3 + y3 + z3 ³ 3xyz. - Chứng minh đẳng thức x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) - Từ đó đánh gái hiệu x3 + y3 + z3 - 3xyz và kết luận. Đặt x = a2 - bc, y = b2 - ca, z = c2 - ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x3 + y3 + z3 ³ 3xyz. Ta có: x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x3 + y3 )- 3xyz + z3 3 = (x + y) - 3xy(x + y)- 3xyz + z3 3 = (x + y) + z3 - 3xy(x + y + z) 2 = (x + y + z)é(x + y) - (x + y)z + z2 ù- 3xy(x + y + z) ëê ûú é 2 2 2 ù = (x + y + z)ëêx + 2xy + y - xz - yz + z - 3xyûú = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Dễ thấy:
11. 1 x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = (x2 - 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + z2 - 2zx + x2 ) 2 1 é 2 2 2 ù = ê(x - y) + (y - z) + (z - x) ú³ 0, " x, y, z 2 ë û Do đó ta đi xét dấu của x + y + z Ta có: x + y + z = a2 - bc + b2 - ca + c2 - ab 2 2 2 1 é 2 2 2 ù = a + b + c - ab - bc - ca = ê(a - b) + (b - c) + (c - a) ú³ 0, " a,b,c 2 ë û Suy ra x + y + z ³ 0Þ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)³ 0 3 3 3 Þ x3 + y3 + z3 ³ 3xyz hay (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab) (đpcm) Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c