Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Ninh Bình (Có đáp án)

1. STT 43. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. (2,5 điểm). a) Rút gọn biểu thức: A 3( 12 3) b) Tìm m để đường thẳng y (m 1)x 3 song song với đường thẳng y 2x 1. x 2y 4 c) Giải hệ phương trình: 5x 2y 8 Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình: x2 2(m 2)x 4m 1 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m 2 . b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân 2 2 biệt. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để x1 x2 30 . Câu 3. (1,5 điểm). Một ô tô dự định đi từ bến xe A đến bến xe B cách nhau 90 km với vận tốc không đổi. Tuy nhiên, ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định. Để đến bến xe B đúng giờ ô tô đã tăng vận tốc thêm 5 km/h so với vận tốc dự định. Tìm vận tốc dự định của ô tô. Câu 4. (3,5 điểm). Cho đường tròn tâm O , bán kính R . Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA , CB và cát tuyến CMN với đường tròn O ( A , B là hai tiếp điểm, M nằm giữa C và N ). Gọi H là giao điểm của CO và AB . a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp. b) Chứng minh rằng: CH.CO CM.CN . c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn O cắt CA , CB theo thứ tự tại E , F . Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt CA , CB theo thứ tự tại P , Q . Chứng minh P· OE O· FQ . d) Chứng minh rằng: PE QF PQ . Câu 5. (0,5 điểm). Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3a2 2ab 3b2 3b2 2bc 3c2 3c2 2ca 3a2 . 166
2. STT 43. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. (2,5 điểm). a) Rút gọn biểu thức: A 3( 12 3) b) Tìm m để đường thẳng y (m 1)x 3 song song với đường thẳng y 2x 1. x 2y 4 c) Giải hệ phương trình: 5x 2y 8 Lời giải a) A 3( 12 3) 3. 12 3. 3 6 3 3 b) Đường thẳng y (m 1)x 3 song song với đường thẳng y 2x 1 m 1 2 m 3. 3 1 Vậy m 3 thì đường thẳng y (m 1)x 3 song song với đường thẳng y 2x 1. x 2y 4 6x 12 x 2 x 2 c) 5x 2y 8 x 2y 4 x 2y 4 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm x; y 2;1 . Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình: x2 2(m 2)x 4m 1 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m 2 . b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân 2 2 biệt. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để x1 x2 30 . Lời giải a) Thay m 2 vào phương trình 1 ta được phương trình: x2 8x 7 0 * Ta có: 1 8 7 0 Phương trình * có hai nghiệm x1 1, x2 7 . b) Ta có: ' (m 2)2 ( 4m 1) . m2 5 0 với m Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m . x1 x2 2(m 2) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 4m 1 2 2 2 x1 x2 30 (x1 x2 ) 2x1x2 30 2 2 m 1 [-2(m 2)] 2(4m 1) 30 m 2m 3 0 . m 3 2 2 Vậy m 3 hoặc m 1 thì phương trình 1 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 30 . Câu 3. (1,5 điểm). Một ô tô dự định đi từ bến xe A đến bến xe B cách nhau 90 km với vận tốc không đổi. Tuy nhiên, ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định. Để đến bến xe B đúng giờ ô tô đã tăng vận tốc thêm 5 km/h so với vận tốc dự định. Tìm vận tốc dự định của ô tô. Lời giải 167
3. 1 Đổi: 12 phút giờ. 5 Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (đơn vị: km/h, điều kiện: x 0 ). Vận tốc thực tế của ô tô là x 5 (km/h). 90 Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là: (giờ). x 90 Thời gian thực tế để ô tô đi từ A đến B là: (giờ). x 5 90 90 1 Theo bài ra ta có phương trình: . x x 5 5 90.5(x 5) 90.5x x(x 5) x2 5x 2250 0 x 50 x 45 So sánh với điều kiện x 0 suy ra vận tốc dự định của ô tô là 45 km/h. Câu 4. (3,5 điểm). Cho đường tròn tâm O , bán kính R . Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA , CB và cát tuyến CMN với đường tròn O ( A , B là hai tiếp điểm, M nằm giữa C và N ). Gọi H là giao điểm của CO và AB . a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp. b) Chứng minh rằng: CH.CO CM.CN . c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn O cắt CA , CB theo thứ tự tại E , F . Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt CA , CB theo thứ tự tại P , Q . Chứng minh P· OE O· FQ . d) Chứng minh rằng: PE QF PQ . Lời giải A P E N M C O H F B Q a) C· AO 90 (Do CA là tiếp tuyến của O ở A ). C· BO 90 (Do CB là tiếp tuyến của O ở B ). C· AO ·CBO 180 . Vậy tứ giác AOBC là tứ giác nội tiếp. b) Xét CAM và CNA có: ·ACN là góc chung ·CAM C· NA (Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ). Do đó CAM đồng dạng với CNA g.g 168
4. CA CM CA2 CM.CN 1 . CN CA Mặt khác ta có: CA CB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R CO là đường trung trực của AB . CO  AB tại H . Xét CAO vuông ở A có AH  CO CA2 CH.CO 2 . Từ 1 và 2 suy ra: CH.CO CM.CN . c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất góc ngoài của tam giác ta có: 1 1 1 O· FQ E· FQ P· CQ C· EF 2P· CO 180 2P· EO 2 2 2 P· CO 90 ·AEO P· OA ·AOE P· OE d) Xét POE và QFO có: P· OE O· FQ (câu c). Tương tự: P· EO Q· OF . PO PE Do đó POE đồng dạng với QFO g.g PO.QO PE.QF . QF QO Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: PQ PQ PE QF 2 PE.QF 2 PO.QO 2 . PQ ( đpcm) 2 2 Câu 5. (0,5 điểm). Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3a2 2ab 3b2 3b2 2bc 3c2 3c2 2ca 3a2 . Lời giải 3a2 2ab 3b2 2(a b)2 (a b)2 2(a b)2 3a2 2ab 3b2 2(a b) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Chứng minh tương tự ta có: 3b2 2bc 3c2 2(b c) 3c2 2ca 3a2 2(c a) P 3a2 2ab 3b2 3b2 2bc 3c2 3c2 2ca 3a2 2 2(a b c) 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a 1 2 a;b 1 2 b;c 1 2 c a b c 2( a b c) 3 3 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Từ 1 và 2 suy ra: P 6 2 . Đẳng thức xảy ra a b c 1. Vậy min P 6 2 , khi a b c 1. 169