Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2019- 2020 MễN: TOÁN (Chuyờn) Thời gian: 150 phỳt Ngày thi: 31 thỏng 5 năm 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Cõu 1: (3 điểm) x + x +1 1 1 a. Rỳt gọn biểu thức A = + + với x³ 0, xạ 1 x + x - 2 x - 1 x +2 9x2 b. Giải phương trỡnh x2 + = 40 ( x - 3) 2 ỡ x2 - 2y2 = - 1 c. Giải hệ phương trỡnh ù ớ 3 3 ợù 2x - y = 2y - x Cõu 2( 2 điểm) a. Cho cỏc số thực a,b thỏa món a +b ³ 2 . Chứng minh phương trỡnh ax2 +bx - 2a +2 = 0 luụn cú nghiệm. b. Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (m;n) thỏa món phương trỡnh 2m.m2 = 9n2 - 12n +19. Cõu 3: (1 điểm) 1 1 1 Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món + + Ê 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức a b c 1 1 1 P = + + a2 - ab +3b2 +1 b2 - bc +3c2 +1 c2 - ca +3a2 +1 Cõu 4 (3 điểm) Cho đường trũn (O) ngoại tiếp tam giỏc nhọn ABC với AB< AC. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng AI cắt đường trũn (O) tại J khỏc A. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc IBJ cắt đường thẳng AB tại M khỏc B và đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ICJ cắt đường thẳng AC tại N khỏc C. a. Chứng minh rằng Bã JM = Cã JN và ba điểm M,I,N thẳng hàng. b. Chứng minh JA là tia phõn giỏc của gúc Bã JN và OA vuụng gúc với MN. c. Tia phõn giỏc của gúc Bã AC cắt MN tại E. Tia phõn giỏc của cỏc gúc Bã ME và Cã NE lần lượt cắt BE,CE tại P,Q. Chứng minh PB.QE=PE.QC.
2. Bài 5 (1 điểm) Trờn mặt phẳng cho 17 điểm phõn biệt, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kỡ trong ba điểm đó cho ta nối một đoạn thẳng và trờn đoạn thẳng đú ghi một số nguyờn dươn (cỏc số ghi trờn cỏc đoạn thẳng là cỏc số nguyờn dương khỏc nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giỏc cú cạnh là cỏc đoạn thẳng đó nối mà tổng cỏc số ghi trờn ba cạnh của tam giỏc đú chia hết cho 3. HẾT
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2019- 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MễN THI: TOÁN CHUYấN (Hướng dẫn chấm cú 07 trang) Nội dung Điểm Cõu í Cõu 1 x + x +1 1 1 a. Rỳt gọn biểu thức A = + + với x³ 0, xạ 1 x + x - 2 x - 1 x +2 (3 điểm) 9x2 b. Giải phương trỡnh x2 + = 40 ( x - 3) 2 ỡ x2 - 2y2 = - 1 c. Giải hệ phương trỡnh ù ớ 3 3 ợù 2x - y = 2y - x a x + x +1 1 1 A = + + 0,25 x + x - 2 x - 1 x +2 x +3 x +2 = 0,25 ( x - 1)( x +2) x +1 x +2 x +1 = ( )( ) = ( ) 0,25 x2 ( x - 1)( x +2) ( x - 1) 2 b 9x2 ổ 3x ử2 6x2 ổ x2 ử x2 x2 + = 40 Û ỗx + ữ - - 40 = 0Û ỗ ữ - 6. - 40 = 0 2 ỗ ữ ỗ ữ 0,25 ( x - 3) ố x - 3ứ x - 3 ốx - 3ứ x - 3 x2 ột =10 Đặt t = ta cú phương trỡnh t2 – 6t -40 =0Û ờ 0,25 x - 3 ởờt = - 4 x2 t =10 ị =10Û x2 - 10x +30 = 0 vụ nghiệm 0,25 x - 3
4. x2 ộx = 2 t = - 4 ị = - 4Û x2 +4x - 12 = 0Û ờ x - 3 ờx = - 6 ở 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S ={- 2;6} 2 2 c ùỡ x - 2y = - 1 (1) ớ 3 3 ợù 2x - y = 2y - x (2) ị 2x3 - y3 = (x2 - 2y2 )(x - 2y)Û x3 +2x2 y +2xy2 - 5y3 = 0 0,25 ộx = y Û x - y x2 +3xy +5y2 = 0Û ờ ( )( ) 2 2 0,25 ởờx +3xy +5y = 0 TH1: x=y, thay vào phương trỡnh (1) ta được x=y=±1 0,25 TH2: 2 ỡ 3 2 2 ổ 3 ử 11 2 ù x + y = 0 x +3xy +5y = 0Û ỗx + yữ + y = 0Û ớ 2 Û x = y = 0 ố 2 ứ 4 ù ợ y = 0 0,25 Thử lại , ta thấy x=y=0 khụng là nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm là (1;1), (-1;-1). Cõu 2 a. Cho cỏc số thực a,b thỏa món a +b ³ 2 . Chứng minh phương trỡnh ax2 +bx - 2a +2 = 0 luụn cú nghiệm. (2 điểm) b. Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (m;n) thỏa món phương trỡnh 2m.m2 = 9n2 -12n +19. a 2 Nếu a=0 thỡ b³ 2 và do đú phương trỡnh cú nghiệm x = - 0,25 b Nếu aạ 0 thỡ D= b2 +8a(a - 1) 0,25 ộa < 0 + Nếu ờ ị a(a - 1) ³ 0 ị D³ 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm 0,25 ởờa ³ 1 + Nếu 0<a<1 thỡ
5. a +b ³ 2 ị b ³ 2 - a >0 ị b2 ³ (2 - a) 2 ị D³ (2 - a)2 +8a(a - 1) = (3a - 2)2 ³ 0 Nờn phương trỡnh cú nghiệm Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi số thực a,b thỏa 0,25 món a +b ³ 2 b Ta cú 2m.m2 = 9n2 -12n +19Û 2m.m2 = (3n-2)2 +15 Nếu m lẻ ị m= 2k +1, kẻ Ơ * ị 2m.m2 =2.4k.m2 = (3+1)k 2m2 º 2m2 (mod3) mà m2º 0;1 (mod3) 0,25 nờn 2.4k.m2 º 0;2 (mod3). Mặt khỏc (3n-2)2 +15 º 1 (mod3) Vậy trường hợp này khụng xảy ra Nếu m chẵnị m= 2k , kẻ Ơ * thỡ ta cú phương trỡnh 22k.m2 - (3n-2)2 = 15 Û (2k.m +3n-2) (2k.m -3n+2) = 15 (*) Vỡ m,n ẻ Ơ * nờn 2k.m +3n-2 > 2k.m -3n+2 và 0,25 2k.m +3n-2 >0 ị 2k.m -3n+2 >0 ộ2k.m +3n - 2 =15 ộ2k.m +3n - 2 = 5 Do dú (*) Û ờ hoặc ờ ờ k ờ k ở2 .m - 3n +2 =1 ở2 .m - 3n +2 = 3 ộ2k.m +3n - 2 =15 ùỡ 2k.2k =8 TH1: ờ Û ớ (vụ nghiệm) ờ k 0,25 ở2 .m - 3n +2 =1 ợù n = 3 ộ2k.m +3n - 2 = 5 ùỡ 2k.2k = 4 ùỡ k =1 ùỡ m = 2 TH2: ờ Û ớ Û ớ ị ớ ờ k ở2 .m - 3n +2 = 3 ợù n =1 ợù n =1 ợù n =1 0,25 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm m=2, n=1 1 1 1 Cõu 3 Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món + + Ê 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu a b c (1 điểm) 1 1 1 thức P = + + a2 - ab +3b2 +1 b2 - bc +3c2 +1 c2 - ca +3a2 +1
6. 1 Ta sẽ chứng minh a2 - ab +3b2 +1 ³ (a +5b +2)," a,b >0 (*) 0,25 4 Thật vậy ta cú (*)Û 16(a2 - ab +3b2 +1) ³ (a +5b +2)2 0,25 Û 13(a - b) 2 +10(b - 1)2 +2(a - 1)2 ³ 0 (luụn đỳng) 4 4 4 Do đú P Ê + + a +5b +2 b +5c +2 c +5a +2 1 1 4 Áp dụng BĐT quen thuộc + ³ " x, y >0 ta cú x y x + y 0,25 ổ 1 1 ử P Ê ồ ỗ + ữ ốa +b +2 4b ứ 1 ổ 1 1 ử 1 ổ1 ử 3 1 3 3 Ê ồ ỗ + ữ+ồ ỗ ữÊ ồ + Ê 4 ốa +b 2 ứ 4 ốa ứ 8 a 8 2 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1. Vậy max P= 3 2 Lưu ý: Cú thể dựng bất đẳng thức Cauchy- Schwart để chứng minh (*) như sau: 0,25 2 ộổ b ử2 11 ựộ1 11 ự ộ1 ổ b ử 11 ự ờỗa - ữ + b2 +1ỳờ + +1ỳ³ ờ ỗa - ữ+ b +1ỳ ờỗ ữ ỳờ ỳ ờ ỗ ữ ỳ ởố 2 ứ 4 ỷở4 4 ỷ ở2 ố 2 ứ 4 ỷ 1 Û a2 - ab +3b2 +1 ³ (a +5b +2) 4 Cõu 4 Cho đường trũn (O) ngoại tiếp tam giỏc nhọn ABC với AB< AC. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng AI cắt đường trũn (O) tại J khỏc A. Đường (3 điểm) trũn ngoại tiếp tam giỏc IBJ cắt đường thẳng AB tại M khỏc B và đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ICJ cắt đường thẳng AC tại N khỏc C. a. Chứng minh rằng Bã JM = Cã JN và ba điểm M,I,N thẳng hàng. b. Chứng minh JA là tia phõn giỏc của gúc Bã JN và OA vuụng gúc với MN. c. Tia phõn giỏc của gúc Bã AC cắt MN tại E. Tia phõn giỏc của cỏc gúc Bã ME và Cã NE lần lượt cắt BE,CE tại P,Q. Chứng minh PB.QE=PE.QC.
7. Tứ giỏc ABJC nội tiếp nờn JãCN = Mã BJ 0,25 Tứ giỏc MBIJ nội tiếp nờn Bã MJ = Jã IC 0,25 Tứ giỏc NCJI nội tiếp nờn Jã IC = JãNC ị JãNC = Bã MJ a Do đú DBJM ~ DCJN ị Bã JM = Cã JN 0,25 Ta lại cú Bã IM = Bã JM ;Cã IN = Cã JN ị Bã IM = Cã IN 0,25 Suy ra M,I,N thẳng hàng ABJC và CNIJ là tứ giỏc nội tiếp nờn à JB = ãACB = Nã CI; Nã CI = Nã JI 0,25 Suy ra à JB = à JN ị JA là tia phõn giỏc của gúc Bã JN 0,25 b Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trũn (O). Suy ra à JB = Bã Ax 0,25 Ta lại cú à JB = Bã MN . do đú Bã Ax = Bã MN nờn MN//Ax 0,25
8. Vậy AO vuụng gúc với MN 2 SDBJM MB Vỡ DBJM ~ DCJN ị = 2 0,25 SDCJN CN Vỡ I là trung điểm của BC nờn SDABJ = SDACJ 2 0,25 SDABJ SDABJ SDCJN AB MB NC AB.MB Suy ra 1 = = . = . 2 . = SDACJ SDBJM SDACJ MB NC AC AC.CN c Ta lại cú MNIJ, NCJI nội tiếp nờn AB.AM=AI.AJ=AN.AC MB AC AM EM MB NC 0,25 Suy ra = = = ị = NC AB AN EN ME NE Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc ta cú MB PB QC NC = ; = ME PE QE NE 0,25 PB QC ị = ị PB.QE = PE.QC PE QE Bài 5 Trờn mặt phẳng cho 17 điểm phõn biệt, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kỡ trong ba điểm đó cho ta nối một đoạn thẳng và trờn (1 điểm) đoạn thẳng đú ghi một số nguyờn dươn (cỏc số ghi trờn cỏc đoạn thẳng là cỏc số nguyờn dương khỏc nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giỏc cú cạnh là cỏc đoạn thẳng đó nối mà tổng cỏc số ghi trờn ba cạnh của tam giỏc đú chia hết cho 3. Ta tụ màu cỏc đoạn thẳng bằng ba màu đỏ, xanh, vàng. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tam giỏc cú ba cạnh được tụ cựng màu. Gọi A là một điểm đó cho, nối A với 16 điểm cũn lại ta được 16 đoạn 0,25 thẳng. Ta cú 16=3.5+1 nờn theo định lớ Dirichlet tồn tại ớt nhất 6 đoạn thẳng được tụ cựng một màu Giả sử 6 đoạn thẳng đú là AB, AC, AD, AE, AF, AG cú cựng màu đỏ. Xột cỏc đoạn thẳng nối từng cặp điểm trong 6 điểm B,C,D,E,F,G thỡ xảy 0,25 ra trường hợp sau TH1: tồn tại một đoạn thẳng được tụ màu đỏ, chẳng hạn là BC thỡ tam
9. giỏc ABC cú ba cạnh cựng màu đỏ TH2: tất cả cỏc đoạn thẳng nối B,C,D,E,F,G chỉ cú màu xanh hoặc vàng. Ta xột 5 đoạn thẳng BC,BD,BE,BF,BG được tụ bởi hai màu thỡ theo nguyờn lớ Dirichlet tồn tại ớt nhất 3 đoạn thẳng cú cựng một màu. Giả sử BC,BD,BE cú cựng màu xanh. + Nếu trong ba đoạn thẳng CD,CE,DE cú một đoạn tụ màu xanh, chẳng hạn CD thỡ tam giỏc BCD cú ba cạnh cựng màu xanh. + Nếu trong ba đoạn thẳng CD,CE,DE khụng cú đoạn nào tụ màu xanh, thỡ tam giỏc CDE cú ba cạnh cựng màu vàng. 0,25 Do vậy tồn tại một tam giỏc cú ba cạnh được tụ cựng màu. Lấy cỏc số nguyờn dương trờn mỗi đoạn thẳng chia cho 3 ta được cỏc số dư là 0,1,2. Tụ màu cỏc đoạn thẳng cú số dư 0,1,2 tương ứng với ba màu đỏ, xanh, vàng. Theo kết quả thỡ luụn tồn tại một tam giỏc cú ba cạnh được tụ cựng màu, 0,25 tức là ba số ghi trờn cạnh của tam giỏc cú cựng số dư r khi chia cho 3, chẳng hạn là 3h+r, 3k+r, 3q+r. Khi đú 3h+r +3k+r +3q+r =3(h+h+q+r) là số chia hết cho 3