Đề thi Olympic Toán Lớp 10 lần thứ XXVI - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán Lớp 10 lần thứ XXVI - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 TRƯỜNG THPT CHUYấN Ngày thi: 03/4/2021 Lấ HỒNG PHONG MễN THI: TOÁN - KHỐI: 10 THỜI GIAN: 180 phỳt Hỡnh thức làm bài: Tự luận ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi cú 01 trang Lưu ý: - Thớ sinh làm mỗi cõu trờn một tờ giấy riờng và ghi rừ cõu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi. - Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay. Cõu 1. (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 2. Chứng minh a3 b3 c3 3abc 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 3. 6 x2 1 y 1 2 Cõu 2. (4,0 điểm) Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món y 1 z 1 2 z 1 x 1. Chứng minh x y z là số nguyờn. Cõu 3. (4,0 điểm) Với số nguyờn dương n 2, xột bảng vuụng gồm cú 2n 1 2n 1 ụ vuụng, người ta viết vào mỗi ụ chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1 sao cho trong mỗi bảng con 2 2 luụn tỡm được 3 ụ cú tổng bằng 0 . Gọi Sn là giỏ trị lớn nhất của tổng tất cả cỏc số trong bảng. Chứng minh a. S2 5. 2 b. Sn n n 1. Cõu 4. (4,0 điểm) a. Chứng minh tồn tại 2 cặp số (a, b) với a , b là cỏc số nguyờn dương thỏa món a2 3b2 79 . b. Hóy tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho phương trỡnh x2 y2 xy 7n cú nghiệm trong tập số nguyờn khụng chia hết cho 7. Cõu 5. (5,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trũn (O). Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại L. Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC. Giả sử tiếp tuyến qua A của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc A BC cắt cỏc tia AB, AC lần lượt tại cỏc điểm D, E. a. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc A BD , A CE , A AL cựng đi qua một điểm khỏc A . b. Gọi J là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc JDE tiếp xỳc với (O). HẾT Họ tờn thớ sinh: SBD: Trường: Tỉnh/TP:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 TRƯỜNG THPT CHUYấN Ngày thi: 03/4/2021 Lấ HỒNG PHONG MễN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phỳt Hỡnh thức làm bài: Tự luận ĐÁP ÁN Đề thi cú 01 trang Bài Nội dung Điểm Cho a,b,c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 2. Chứng minh 1 a3 b3 c3 3abc 3,0 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 3. 6 Do a,b,c là độ dài ba cạnh tam giỏc nờn 0 c a b 0 2c a b c 2 0 c 1. Chứng minh tương tự, ta được 0 a 1, 0 b 1. 2,0 Đặt A a2 b2 b2 c2 c2 a2 . Ta cú A 6(a2 b2 c2 ) 6(a b c) 2 3 . (1) Nhận xột: Từ 0 a,b,c 1 suy ra 2 a2 b2 a b 4 . (a b)2 (a b)2 Ta cú 2(a2 b2 ) a b . 2(a2 b2 ) a b 4 Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta cú 1,0 (a b)2 (b c)2 (c a)2 A 2 4 4 (a b)2 (b c)2 (c a)2 a3 b3 c3 3abc 2 3 2 3 2 Từ (1) và (2), ta cú điều phải chứng minh. Trang 3
3. x2 1 y 1 2 Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món y 1 z 1 Bài 2 2 4,0 z 1 x 1. Chứng minh rằng x y z là số nguyờn. Nhõn theo vế cỏc phương trỡnh đó cho, ta được (x 1)(y 1)(z 1)[(x 1)(y 1)(z 1) 1] 0 x 1 y 1 z 1 1,0 x 1 y 1 z 1 1. Nếu x 1 thỡ y z 1, suy ra x y z 3 Â . Nếu y 1 hoặc z 1 làm tương tự. Xột trường hợp x 1 y 1 z 1 1 0 (*). Đặt p x y z,q xy yz zx,r xyz ta cú * r p q 2 r q p 2 . (1) 0,5 Cộng ba phương trỡnh ban đầu theo vế ta được x2 y2 z2 x y z 6 p2 p 6 2q. (2) x2 1 y 1 x2 y 2 2 2 Ta cú y 1 z 1 y z 2 2 2 z 1 x 1. z x 2 0,5 Nhõn cỏc phương trỡnh trờn theo vế, ta được xyz 2 x 2 y 2 z 2 r 2 r 4 p 2q 8. (3) Thay (1) và (2) vào (3) ta được 2 2 2 p p 6 p p 6 2 p 2 p 2 4 p p p 6 8. 2 2 2,0 Giải phương trỡnh trờn thu được 4 nghiệm p 0;1; 1;6. Vậy trong mọi trường hợp, ta đều cú p x y z là số nguyờn. Trang 4
4. Với số nguyờn dương n 2, xột bảng vuụng gồm cú (2n − 1)ì(2n − 1) ụ vuụng, người ta viết vào mỗi ụ chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc −1 sao cho trong mỗi bảng con Bài 3 2ì2 luụn tỡm được 3 ụ cú tổng bằng 0. Gọi Sn là giỏ trị lớn nhất của tổng tất cả cỏc 4,0 số trong bảng. Chứng minh 2 a) S2 5. b) Sn n n 1. Nhận xột: Ta thấy tổng cỏc số trong bảng con 2 2 thỡ luụn nhỏ hơn hoặc bằng 1. 0,5 Đặt Tn là tổng cỏc số trong bảng vuụng 2n 1 2n 1 . Xột cấu hỡnh gồm 7 ụ như sau Ta cú a b c d 1 và d e f g 1. Từ đú suy ra a) 1,0 a b c d e f g a b c d d e f g d 2 d 3. Xột bảng vuụng 3 3 , ta cú T2 3 1 1 5 . Ta chỉ ra một cỏch điền số để dấu bằng xảy ra như sau 0,5 Vậy S2 5 . 2 Ta chứng minh “ Sn n n 1, với mọi n Ơ ,n 2 ” bằng phương phỏp quy nạp theo n . 2  Với n 2 thỡ S2 2 2 1 5 (đỳng theo cõu a). 2  Giả sử mệnh đề đỳng với n k Ơ , k 2 , tức là Sk k k 1. 2 2  Ta cần chứng minh Sk 1 k 1 k 1 1 k 3k 1. Ta chia bảng vuụng 2k 1 2k 1 thành 4 vựng như sau b) 1,0 Trang 5
5. 2 ➢ Tổng cỏc số trong vựng (I) khụng vượt quỏ Sk k k 1. ➢ Ta chia vựng (II) thành k 1 hỡnh vuụng 2 2 riờng biệt, khi đú tổng cỏc số trong vựng (II) khụng vượt quỏ k 1 .1 k 1. ➢ Ta chia vựng (III) thành k 1 hỡnh vuụng 2 2 riờng biệt, khi đú tổng cỏc số trong vựng (III) khụng vượt quỏ k 1 .1 k 1. ➢ Xột riờng vựng (IV) 0,5 a b c d e f g h a b d e c d f g d h 1 1 1 1 4 2 2 Khi đú Tk 1 k k 1 k 1 k 1 4 k 3k 1. (*) Xột cỏch điền số vào bảng 2k 1 2k 1 như sau: ➢ Điền số 1 vào tất cả ụ trờn cỏc dũng 1, 3, 5, , 2k 1. ➢ Điền số 1 vào cỏc ụ 2i,2 j với i 1;2; ;k và j 1;2; ;k. ➢ Cỏc ụ cũn lại điền số 0. 0,5 Minh họa cỏch điền số với n = 4 2 Khi đú Sk 1 k 3k 1. 2 * Vậy theo nguyờn lý quy nạp, ta cú Sn n n 1 với mọi n Ơ , n 2 , đpcm. Trang 6
6. a) Chứng minh tồn tại 2 cặp số (a,b) với a,b là cỏc số nguyờn dương thỏa món a2 3b2 79. Bài 4 b) Hóy tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho phương trỡnh 4,0 x2 y2 xy 7n cú nghiệm trong tập số nguyờn khụng chia hết cho 7. a) Hai cặp nghiệm là (74.2,74 ) và (73.10,73.9) . 1,5 Ta biến đổi phương trỡnh đó cho thành 2 x2 y2 xy 7n 4x2 4y2 4xy 4.7n 2x y 3y2 4.7n . Ta chứng minh phương trỡnh a2 3b2 7n (*) cú nghiệm (a,b) mà 0,5 a  0, b  0 (mod 7) (1) bằng phương phỏp quy nạp theo n. + Với n 1, phương trỡnh * cú nghiệm a1,b1 2,1 thỏa (1). * + Giả sử với n k Ơ , phương trỡnh (*) cú nghiệm ak ,bk thỏa (1), tức là 2 2 k ak 3bk 7 và 1,0 ak  0, bk  0 (mod 7). Ta cú k 1 2 2 2 2 2 2 7 7 ak 3bk 2ak 3bk 3 ak 2bk 2ak 3bk 3 ak 2bk . Ta thấy 2ak 3bk 2ak 3bk 4ak  0 (mod 7) , nờn phải tồn tại một trong hai số khụng chia hết cho 7, giả sử 2a 3b  0 (mod 7). b) k k  Do 2 2ak 3bk 3 ak 2bk 7ak  0 (mod 7) nờn ak 2bk  0 (mod 7). 0,5 Do đú với n k 1 thỡ ak 1,bk 1 2ak 3bk , ak 2bk là một nghiệm của phương trỡnh (*) và thỏa điều kiện (1). Ta chứng minh phương trỡnh đó cho cú nghiệm với mọi n nguyờn dương. Với mỗi số nguyờn dương n , gọi an ,bn là một nghiệm thỏa điều kiện (1) của phương trỡnh a2 3b2 7n . Chọn xn an bn , yn 2bn thỡ 2 2 2 2 2 2 n 2xn yn 3yn 4an 12bn 4 an 3bn 4.7 . Suy ra x , y a b , 2b là nghiệm của phương trỡnh x2 xy y2 7n . n n n n n 0,5 Hiển nhiờn yn 2bn  0 (mod 7) do bn  0 (mod 7). Giả sử xn  0 (mod 7) an  bn (mod 7). n 2 2 2 Khi đú 7 an 3bn  4bn (mod 7) bn  0 (mod 7) (vụ lớ). Do đú xn  0 (mod 7). Vậy với mọi n nguyờn dương thỡ phương trỡnh x2 y2 xy 7n cú nghiệm trong tập hợp cỏc số nguyờn khụng chia hết cho 7. Trang 7
7. Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB AC , nội tiếp đường trũn (O). Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại L. Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC. Tiếp tuyến qua A của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc A BC cắt cỏc tia AB, AC lần lượt tại cỏc điểm D, E. Chứng minh Bài 5 5,0 a) Đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc A BD, A CE, A AL cựng đi qua một điểm khỏc A . b) Gọi J là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc JDE tiếp xỳc với (O). Giả sử cỏc điểm cú vị trớ như hỡnh vẽ, cỏc trường hợp khỏc chứng minh tương tự. 1,0 a) a) Gọi T là giao điểm khỏc A của A BD và A CE . Ta cú Bã TC 360o Bã TA Cã TA 180o Bã TA 180o Cã TA ả à o ã D1 E1 180 BAC Suy ra T O . ã ã ã à o ả à à à Khi đú ATA ATB BTA C1 180 D1 C1 A1 B1 à ả ã C1 C2 2BAA 2Cà 2Lã AC 1 1,0 2ãALB ãALA . Suy ra ALTA là tứ giỏc nội tiếp. Vậy A BD , A CE , A AL cựng đi qua T . ã à à o à o à à ã Ta cú DTE B1 C3 2 90 B 2 90 C 2A DJE nờn T (DJE). 1,0 Kẻ tiếp tuyến của O là Tx như hỡnh vẽ. Ta cú Dã Tx Dã TB xã TB à ã b) A1 TCB ả ã C2 TCB 2,0 TãCA Tã ED. Suy ra Tx cũng là tiếp tuyến của TJED . Vậy JDE và O tiếp xỳc nhau tại T . Trang 8
8. Trang 9